Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2022, sesiunea august (varianta 07)

Arătați că \(2i(3-i)-6i=2\), unde \(i^2=-1\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Desfacem paranteza

   2i(3-i)-6i=6i-2i^2-6i

   Înmulțim \(2i\) cu fiecare termen din paranteză: \(2i\cdot 3=6i\) și \(2i\cdot(-i)=-2i^2\). Distributivitatea înmulțirii față de scădere se aplică și la numerele complexe, la fel ca la numerele reale.

2. 2

   Reducem termenii și folosim \(i^2=-1\)

   6i-2i^2-6i=-2\cdot(-1)=2

   Termenii \(6i\) și \(-6i\) se reduc, deci rămâne \(-2i^2\). Cum \(i^2=-1\), obținem \(-2\cdot(-1)=2\), exact valoarea cerută. Așadar egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(2i(3-i)-6i=6i-2i^2-6i=-2\cdot(-1)=2\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-mx\), unde \(m\) este număr real. Determinați numărul real \(m\) pentru care \(f(-1)=f(1)\).

Metoda: Calculul valorii funcției în puncte

1. 1

   Calculăm f(-1) și f(1)

   f(-1)=(-1)^2-m\cdot(-1)=1+m,\quad f(1)=1^2-m\cdot 1=1-m

   Înlocuim pe rând \(x\) cu \(-1\) și cu \(1\) în formula \(f(x)=x^2-mx\). Pentru \(x=-1\): \((-1)^2=1\), iar \(-m\cdot(-1)=+m\), deci \(f(-1)=1+m\). Pentru \(x=1\): \(1^2=1\) și \(-m\cdot 1=-m\), deci \(f(1)=1-m\).

2. 2

   Egalăm valorile și aflăm m

   1+m=1-m\Rightarrow 2m=0\Rightarrow m=0

   Condiția \(f(-1)=f(1)\) devine ecuația \(1+m=1-m\). Mutăm \(m\) din dreapta în stânga: \(m+m=1-1\), adică \(2m=0\), deci \(m=0\).

3. 3

   Verificare

   f(x)=x^2,\; f(-1)=1=f(1)

   Pentru \(m=0\) avem \(f(x)=x^2\), iar \(f(-1)=1\) și \(f(1)=1\). Egalitatea este adevărată, deci \(m=0\) este corect.

Răspuns: \(m=0\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(27^{x-1}=9^{x}\).

Metoda: Ecuație exponențială, aceeași bază

1. 1

   Scriem ambele puteri în baza 3

   27^{x-1}=9^{x} \Rightarrow (3^3)^{x-1}=(3^2)^x \Rightarrow 3^{3x-3}=3^{2x}

   Observăm că \(27=3^3\) și \(9=3^2\). Folosim regula \((a^m)^n=a^{mn}\). Așa ajungem la două puteri cu aceeași bază, 3, ceea ce ne permite să comparăm direct exponenții.

2. 2

   Egalăm exponenții

   3^{3x-3}=3^{2x} \Rightarrow 3x-3=2x

   Funcția exponențială \(a^t\) cu \(a>0\), \(a\neq 1\) este injectivă. Deci, dacă două puteri ale lui 3 sunt egale, atunci și exponenții sunt egali.

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul I

   3x-3=2x \Rightarrow x=3

   Mutăm termenii cu x în stânga: \(3x-2x=3\), deci \(x=3\). Verificare: \(27^{2}=729\) și \(9^{3}=729\), deci soluția este corectă.

Răspuns: \(x=3\)

Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mici sau egale cu \(3\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt \(10, 11, \dots, 99\). Ca să le numărăm, scădem primul număr din ultimul și adăugăm \(1\), deoarece ambele capete se numără. Obținem \(90\) de cazuri posibile.

2. 2

   Numărăm cazurile favorabile

   3\cdot 4=12

   Un număr \(\overline{ab}\) de două cifre are cifra zecilor \(a\) și cifra unităților \(b\). Condiția cere \(a\le 3\) și \(b\le 3\). Cifra zecilor nu poate fi \(0\) (altfel nu ar mai avea două cifre), deci \(a\in\{1,2,3\}\), adică \(3\) variante. Cifra unităților poate fi \(b\in\{0,1,2,3\}\), adică \(4\) variante. Cele două alegeri sunt independente, deci înmulțim: \(3\cdot 4=12\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}

   Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: \(p=\frac{12}{90}\). Simplificăm fracția prin \(6\) și obținem \(\frac{2}{15}\).

Răspuns: \(p=\dfrac{2}{15}\)

În sistemul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(3,2)\) și \(B(1,-1)\). Determinați coordonatele punctului \(C\) pentru care \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}\).

Metoda: Vectori și mijlocul unui segment

1. 1

   Interpretăm egalitatea de vectori

   \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}\;\Rightarrow\; B \text{ este mijlocul lui } AC

   Vectorul \(\overrightarrow{AC}\) este de două ori mai lung decât \(\overrightarrow{BC}\) și au același sens. Deci A, B, C sunt coliniare, iar B se află între A și C. Cum \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\), din \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}\) rezultă \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\), adică B este mijlocul segmentului \(AC\).

2. 2

   Scriem formula mijlocului pentru coordonate

   x_B=\frac{x_A+x_C}{2},\quad y_B=\frac{y_A+y_C}{2}

   Coordonatele mijlocului unui segment sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor. Înlocuim \(A(3,2)\), \(B(1,-1)\) și notăm \(C(x_C,y_C)\): \(\frac{x_C+3}{2}=1\) și \(\frac{y_C+2}{2}=-1\).

3. 3

   Rezolvăm ecuațiile

   x_C+3=2\Rightarrow x_C=-1,\quad y_C+2=-2\Rightarrow y_C=-4

   Înmulțim fiecare ecuație cu 2 și apoi scădem termenul cunoscut. Pentru abscisă: \(x_C+3=2\), deci \(x_C=-1\). Pentru ordonată: \(y_C+2=-2\), deci \(y_C=-4\). Deci \(C(-1,-4)\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   \overrightarrow{AC}=(-4,-6),\quad \overrightarrow{BC}=(-2,-3)

   Calculăm vectorii cu formula \((x_{capăt}-x_{început},\,y_{capăt}-y_{început})\): \(\overrightarrow{AC}=(-1-3,-4-2)=(-4,-6)\) și \(\overrightarrow{BC}=(-1-1,-4+1)=(-2,-3)\). Se vede că \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BC}\), deci \(C(-1,-4)\) este corect.

Răspuns: \(C(-1,-4)\)

Se consideră expresia \(E(x)=\sin 2x-2\,\mathrm{tg}\,x\cdot\sin\frac{2x}{3}\), unde \(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\). Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0\).

Metoda: Calcul prin înlocuire directă

1. 1

   Înlocuim x cu π/4 și scriem valorile trigonometrice

   E\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{2}-2\,\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}\cdot\sin\frac{\pi}{6}

   Pentru \(x=\frac{\pi}{4}\) avem \(2x=\frac{\pi}{2}\), iar \(\frac{2x}{3}=\frac{2\cdot\frac{\pi}{4}}{3}=\frac{\pi}{6}\). Valorile cunoscute sunt: \(\sin\frac{\pi}{2}=1\), \(\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1\), \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\). Le folosim pentru că sunt valori standard din tabelul de unghiuri remarcabile, deci putem calcula exact.

2. 2

   Calculăm valoarea expresiei

   E\left(\frac{\pi}{4}\right)=1-2\cdot1\cdot\frac{1}{2}=1-1=0

   Înlocuim valorile: \(\sin\frac{\pi}{2}=1\), \(\mathrm{tg}\frac{\pi}{4}=1\), \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\). Facem întâi înmulțirea \(2\cdot1\cdot\frac{1}{2}=1\), apoi scăderea \(1-1=0\). Astfel am arătat că \(E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0\), exact ce ni se cerea.

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{4}\right)=1-2\cdot1\cdot\frac{1}{2}=0\), deci egalitatea cerută este adevărată.

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x&1-x&1\\1-x&x&1\\1&1&0\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(0))=2\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(0)

   A(0)=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(x\) cu \(0\) în matricea \(A(x)\). Atunci \(x=0\), \(1-x=1\), iar elementele \(1\) și \(0\) din ultima linie rămân neschimbate. Facem asta pentru că determinantul cerut este al matricei \(A(0)\), deci trebuie să o avem scrisă explicit.

2. 2

   Scriem determinantul

   \det(A(0))=\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}

   Determinantul matricei este același tabel de numere, scris între bare verticale. Îl calculăm cu regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.

3. 3

   Aplicăm regula lui Sarrus

   \det(A(0))=0\cdot0\cdot0+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1-1\cdot0\cdot1-0\cdot1\cdot1-1\cdot1\cdot0=0+1+1-0-0-0

   Termenii cu plus: diagonala principală \(0\cdot0\cdot0=0\) și paralelele ei \(1\cdot1\cdot1=1\) și \(1\cdot1\cdot1=1\). Termenii cu minus: diagonala secundară \(1\cdot0\cdot1=0\) și paralelele ei \(0\cdot1\cdot1=0\) și \(1\cdot1\cdot0=0\). Rămâne doar suma celor doi de \(1\).

Răspuns: \(\det(A(0))=2\), exact ca în barem.

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x&1-x&1\\1-x&x&1\\1&1&0\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Arătați că \(A(1)\cdot A(x)-A(x-1)=2I_3\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Calcul matriceal direct

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}

   Înlocuim x cu 1 în matricea \(A(x)\): \(x=1\), \(1-x=0\). Obținem pe prima linie 1, 0, 1, pe a doua 0, 1, 1, iar pe a treia 1, 1, 0.

2. 2

   Calculăm produsul A(1)·A(x)

   A(1)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}x+1&2-x&1\\2-x&x+1&1\\1&1&2\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Linia 1 din \(A(1)\) este (1, 0, 1): cu coloana 1 din \(A(x)\), adică \((x,1-x,1)\), dă \(x+0+1=x+1\); cu coloana 2, \((1-x,x,1)\), dă \(1-x+0+1=2-x\); cu coloana 3, \((1,1,0)\), dă \(1\). Linia 2 (0,1,1): \(1-x+1=2-x\); \(x+1\); \(1\). Linia 3 (1,1,0): \(x+1-x=1\); \(1-x+x=1\); \(1+1=2\).

3. 3

   Scriem matricea A(x−1)

   A(x-1)=\begin{pmatrix}x-1&2-x&1\\2-x&x-1&1\\1&1&0\end{pmatrix}

   Înlocuim x cu \(x-1\). Atunci \(1-(x-1)=2-x\), deci diagonala principală (primele două elemente) devine \(x-1\), iar elementele alăturate devin \(2-x\).

4. 4

   Scădem și obținem 2I₃

   A(1)A(x)-A(x-1)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=2I_3

   Scădem element cu element: \((x+1)-(x-1)=2\); \((2-x)-(2-x)=0\); \(1-1=0\); pe linia 3: \(1-1=0\), \(1-1=0\), \(2-0=2\). Rezultă matricea cu 2 pe diagonală și 0 în rest, adică \(2I_3\), pentru orice x real.

Răspuns: \(A(1)\cdot A(x)-A(x-1)=2I_3\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x&1-x&1\\1-x&x&1\\1&1&0\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A(1)\cdot A(1)\cdot A(x)=3A(1)+2I_3\).

Metoda: Folosirea relației de la punctul b)

1. 1

   Scriem produsul ca A(1)·(A(1)·A(x))

   A(1)\cdot A(1)\cdot A(x)=A(1)\cdot\big(A(1)\cdot A(x)\big)

   Înmulțirea matricelor este asociativă, deci putem grupa ultimii doi factori. Astfel apare exact produsul \(A(1)\cdot A(x)\) din punctul b).

2. 2

   Înlocuim produsul A(1)·A(x) cu ajutorul relației de la b)

   A(1)\cdot A(x)=A(x-1)+2I_3 \Rightarrow A(1)\cdot A(1)\cdot A(x)=A(1)\cdot\big(A(x-1)+2I_3\big)

   Din b) avem \(A(1)\cdot A(x)-A(x-1)=2I_3\), deci \(A(1)\cdot A(x)=A(x-1)+2I_3\). Înlocuim în expresia de la pasul 1.

3. 3

   Desfacem parantezele

   A(1)\cdot\big(A(x-1)+2I_3\big)=A(1)\cdot A(x-1)+2A(1)\cdot I_3=A(1)\cdot A(x-1)+2A(1)

   Înmulțirea matricelor este distributivă față de adunare, iar \(I_3\) este elementul neutru la înmulțire: \(A(1)\cdot I_3=A(1)\). Mai trebuie să calculăm \(A(1)\cdot A(x-1)\). Aplicăm din nou relația de la b), dar cu \(x-1\) în loc de \(x\) (valabilă pentru orice real): \(A(1)\cdot A(x-1)=A(x-2)+2I_3\). Rezultă că produsul este \(A(x-2)+2I_3+2A(1)\), la fel ca în barem.

4. 4

   Egalăm cu partea dreaptă și aflăm x

   A(x-2)+2I_3+2A(1)=3A(1)+2I_3\Rightarrow A(x-2)=A(1)

   Scădem \(2I_3\) și \(2A(1)\) din ambele părți. Rămâne \(A(x-2)=A(1)\). Elementul din stânga sus al lui \(A(t)\) este \(t\), deci matricele sunt egale doar dacă \(x-2=1\), adică \(x=3\).

Răspuns: \(x=3\)

Pe mulțimea \(M=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=\dfrac{xy(x+y)}{xy+1}\). a) Arătați că \(1*3=3\).

Metoda: Calcul prin înlocuire în lege

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 3 în formulă

   1*3=\frac{1\cdot 3\cdot(1+3)}{1\cdot 3+1}

   Legea spune că \(x*y=\dfrac{xy(x+y)}{xy+1}\). Pentru \(1*3\), peste tot unde apare \(x\) scriem 1, iar unde apare \(y\) scriem 3. Obținem la numărător \(1\cdot 3\cdot(1+3)\), iar la numitor \(1\cdot 3+1\).

2. 2

   Calculăm numărătorul și numitorul

   1*3=\frac{3\cdot 4}{4}=\frac{12}{4}=3

   Numărătorul este \(1\cdot 3\cdot 4=12\), iar numitorul este \(1\cdot 3+1=4\). Fracția \(\dfrac{12}{4}\) este egală cu 3, adică exact ce trebuia arătat. Același rezultat se vede și simplificând cu 4 de la început.

Răspuns: \(1*3=3\), deci egalitatea cerută este adevărată.

Pe mulțimea \(M=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=\dfrac{xy(x+y)}{xy+1}\). Subiectul II, 2. b): Arătați că \(e=1\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(*\)”.

Metoda: Definiția elementului neutru

1. 1

   Ce avem de arătat

   x*1=1*x=x,\ \forall x\in M

   Prin definiție, \(e\) este element neutru dacă \(x*e=e*x=x\) pentru orice \(x\in M\). Trebuie deci verificate ambele egalități, pentru că legea nu e neapărat comutativă.

2. 2

   Calculăm \(x*1\)

   x*1=\frac{x\cdot 1\cdot(x+1)}{x\cdot 1+1}=\frac{x(x+1)}{x+1}=x

   Înlocuim \(y=1\) în formulă: numărătorul devine \(x\cdot1\cdot(x+1)=x(x+1)\), iar numitorul \(x\cdot1+1=x+1\). Pentru \(x\ge0\) avem \(x+1\ge1>0\), deci putem simplifica prin \(x+1\).

3. 3

   Calculăm \(1*x\)

   1*x=\frac{1\cdot x\cdot(1+x)}{1\cdot x+1}=\frac{x(x+1)}{x+1}=x

   Acum înlocuim \(x=1\) pe prima poziție. Numărătorul este \(x(1+x)\), numitorul \(x+1\), și se simplifică la fel. Rezultatul este tot \(x\) (legea este de fapt comutativă, dar verificăm explicit).

4. 4

   Concluzia

   x*1=1*x=x,\ \forall x\in M\Rightarrow e=1

   Am obținut \(x*1=x\) și \(1*x=x\) pentru orice \(x\in M\). Conform definiției, \(e=1\) este elementul neutru al legii „\(*\)”. Mai trebuie observat că \(1\in M=[0,+\infty)\).

Răspuns: Pentru orice \(x\in M\) avem \(x*1=1*x=x\), deci \(e=1\) este elementul neutru al legii „\(*\)”.

Pe mulțimea \(M=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x * y=\dfrac{xy(x+y)}{xy+1}\). c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale nenule, cu \(m\le n\), pentru care \(\dfrac{1}{m}*\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{16}\cdot(m*n)\).

Metoda: Calcul direct cu legea dată

1. 1

   Calculăm \(\frac1m * \frac1n\)

   \frac{1}{m}*\frac{1}{n}=\frac{\frac{1}{mn}\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{mn}+1}=\frac{m+n}{mn(mn+1)}

   Înlocuim în definiție \(x=\frac1m\) și \(y=\frac1n\). Avem \(xy=\frac{1}{mn}\) și \(x+y=\frac{m+n}{mn}\). Numărătorul devine \(\frac{m+n}{(mn)^2}\), iar numitorul \(\frac{1+mn}{mn}\). Prin împărțire se obține \(\frac{m+n}{mn(mn+1)}\).

2. 2

   Calculăm \(\frac{1}{16}(m*n)\)

   \frac{1}{16}\cdot(m*n)=\frac{1}{16}\cdot\frac{mn(m+n)}{mn+1}

   Aplicăm direct definiția legii pentru \(m\) și \(n\), apoi înmulțim rezultatul cu \(\frac1{16}\).

3. 3

   Egalăm și simplificăm

   \frac{m+n}{mn(mn+1)}=\frac{mn(m+n)}{16(mn+1)}\Rightarrow m^2n^2=16

   Numărul \(m+n\) este nenul, iar \(mn+1\) la fel, deci se simplifică ambii. Rămâne \(\frac{1}{mn}=\frac{mn}{16}\), adică \((mn)^2=16\).

4. 4

   Găsim perechile \((m,n)\)

   mn=4,\ m\le n\Rightarrow (m,n)\in\{(1,4),(2,2)\}

   Descompunem 4 ca produs de două numere naturale nenule: \(1\cdot4\), \(2\cdot2\), \(4\cdot1\). Condiția \(m\le n\) elimină perechea (4,1).

Răspuns: Perechile sunt \((1,4)\) și \((2,2)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{e^x}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{(x-1)(4-x)}{e^x}\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata unui cât de funcții

1. 1

   Alegem regula de derivare

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția \(f\) este un cât, cu \(u(x)=x^2-3x+1\) la numărător și \(v(x)=e^x\) la numitor. De aceea folosim formula derivatei câtului. Calculăm \(u'(x)=2x-3\) și \(v'(x)=e^x\), pentru că derivata lui \(e^x\) este tot \(e^x\).

2. 2

   Înlocuim în formulă

   f'(x)=\frac{(2x-3)e^x-(x^2-3x+1)e^x}{(e^x)^2}

   Punem \(u'\), \(v\), \(u\) și \(v'\) în formula câtului. Numitorul este \((e^x)^2\). Această etapă corespunde primei părți din barem.

3. 3

   Simplificăm cu \(e^x\)

   f'(x)=\frac{e^x\left(2x-3-x^2+3x-1\right)}{e^{2x}}=\frac{-x^2+5x-4}{e^x}

   Dăm factor comun \(e^x\) la numărător. Apoi simplificăm cu \(e^x\), pentru că \(e^{2x}=e^x\cdot e^x\). În paranteză reducem termenii asemenea: \(2x+3x=5x\) și \(-3-1=-4\).

4. 4

   Descompunem numărătorul în factori

   -x^2+5x-4=-(x^2-5x+4)=-(x-1)(x-4)=(x-1)(4-x)

   Rădăcinile lui \(x^2-5x+4\) sunt \(1\) și \(4\), deoarece suma lor este \(5\) și produsul \(4\). Deci \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\). Cu semnul minus din față, \(-(x-1)(x-4)=(x-1)(4-x)\). Obținem exact forma cerută.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{-x^2+5x-4}{e^x}=\dfrac{(x-1)(4-x)}{e^x}\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{e^x}\). Arătați că axa \(Ox\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Limită la +∞ cu regula lui l'Hospital

1. 1

   Scriem ce trebuie demonstrat

   \lim_{x\to+\infty} f(x)=0

   Dreapta \(y=l\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) dacă \(\lim_{x\to+\infty} f(x)=l\) este finită. Axa Ox are ecuația \(y=0\), deci trebuie să obținem \(l=0\).

2. 2

   Aplicăm l'Hospital prima dată

   \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-3x+1}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-3}{e^x}

   La \(+\infty\) numărătorul tinde la \(+\infty\) și numitorul \(e^x\) tinde la \(+\infty\), deci avem cazul \(\frac{\infty}{\infty}\). Putem aplica regula lui l'Hospital: derivăm separat numărătorul și numitorul. Derivata lui \(x^2-3x+1\) este \(2x-3\), iar derivata lui \(e^x\) este \(e^x\).

3. 3

   Aplicăm l'Hospital a doua oară

   \lim_{x\to+\infty}\frac{2x-3}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^x}=0

   Din nou avem cazul \(\frac{\infty}{\infty}\), deci derivăm încă o dată: derivata lui \(2x-3\) este 2, iar a lui \(e^x\) este \(e^x\). Acum numărătorul este constant, iar \(e^x\to+\infty\), deci fracția tinde la 0.

4. 4

   Concluzia

   y=0\ \text{este asimptotă orizontală spre }+\infty

   Am obținut \(\lim_{x\to+\infty} f(x)=0\). Deci dreapta \(y=0\), adică axa Ox, este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) la graficul lui f.

Răspuns: Deoarece \(\lim_{x\to+\infty} f(x)=0\), dreapta \(y=0\) (axa Ox) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției f.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{e^x}\). c) Demonstrați că ecuația \(f(x)=n\) are soluție unică, pentru orice număr natural nenul \(n\).

Metoda: Studiul monotoniei și al limitelor

1. 1

   Derivata și punctele critice

   f'(x)=\frac{(x-1)(4-x)}{e^x},\quad f'(x)=0\iff x\in\{1,4\}

   Din subpunctul a) avem \(f'(x)=\dfrac{(x-1)(4-x)}{e^x}\). Cum \(e^x>0\), semnul lui \(f'\) este dat doar de produsul \((x-1)(4-x)\). Acesta se anulează pentru \(x=1\) și \(x=4\), deci doar în aceste puncte se poate schimba monotonia.

2. 2

   Semnul derivatei și monotonia

   f'<0\text{ pe }(-\infty,1),\quad f'>0\text{ pe }(1,4),\quad f'<0\text{ pe }(4,+\infty)

   Produsul \((x-1)(4-x)=-x^2+5x-4\) este o parabolă cu ramurile în jos, deci este negativ în afara rădăcinilor și pozitiv între ele. Rezultă: \(f\) este strict descrescătoare pe \((-\infty,1)\), strict crescătoare pe \((1,4)\) și strict descrescătoare pe \((4,+\infty)\).

3. 3

   Limita la −∞ și valoarea f(4)

   \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty,\quad f(4)=\frac{5}{e^4}<1

   Când \(x\to-\infty\), numărătorul \(x^2-3x+1\to+\infty\), iar \(e^x\to0^+\), deci \(f(x)\to+\infty\). Pentru \(x=4\): \(16-12+1=5\), deci \(f(4)=\dfrac{5}{e^4}\). Cum \(e>2\), avem \(e^4>2^4=16>5\), deci \(f(4)<1\). De asemenea \(f(1)=\dfrac{1-3+1}{e}=-\dfrac1e<0\).

4. 4

   Concluzia: soluție unică

   f:(-\infty,1]\to[-\tfrac1e,+\infty)\text{ bijectivă};\quad f(x)\le f(4)<1\le n\text{ pe }[1,+\infty)

   Pe \((-\infty,1]\), \(f\) este continuă, strict descrescătoare, cu limita \(+\infty\) la \(-\infty\) și \(f(1)<0<n\). Deci \(f\) ia valoarea \(n\) (continuitate, proprietatea lui Darboux) și o ia o singură dată (monotonie strictă). Pe \([1,+\infty)\), cea mai mare valoare a lui \(f\) este \(f(4)<1\le n\), deci acolo ecuația \(f(x)=n\) nu are soluții. Așadar ecuația are exact o soluție, pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\).

Răspuns: Pe \((-\infty,1]\), \(f\) este continuă, strict descrescătoare, cu \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\) și \(f(1)<0\), deci ia fiecare valoare \(n\ge1\) exact o dată. Pe \([1,+\infty)\) avem \(f(x)\le f(4)=\frac{5}{e^4}<1\le n\), deci nu apar alte soluții. Ecuația \(f(x)=n\) are soluție unică pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\sqrt{x^2+4}\). Arătați că \(\int_0^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=2\).

Metoda: Simplificare și integrală de bază

1. 1

   Înlocuim f(x) și simplificăm fracția

   \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{x\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}=x

   Înlocuim \(f(x)=x\sqrt{x^2+4}\) în integrandul \(\frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}\). Radicalul \(\sqrt{x^2+4}\) apare și la numărător, și la numitor, iar el este mereu strict pozitiv (\(x^2+4\ge 4\)), deci putem simplifica. Obținem \(x\), iar integrala devine \(\int_0^2 x\,dx\).

2. 2

   Calculăm integrala lui x

   \int_0^2 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^2=\frac{4}{2}-0=2

   O primitivă a lui \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în limita de sus minus valoarea ei în limita de jos. Avem \(\frac{2^2}{2}-\frac{0^2}{2}=2-0=2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=\int_0^2 x\,dx=2\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\sqrt{x^2+4}\). Arătați că \(\int_0^{\sqrt{5}} f(x)\,dx=\frac{19}{3}\).

Metoda: Integrare prin substituție (formă \(u'\cdot\sqrt{u}\))

1. 1

   Recunoaștem derivata de sub radical

   (x^2+4)'=2x \Rightarrow x=\tfrac12 (x^2+4)'

   Derivata expresiei de sub radical, \(x^2+4\), este \(2x\). Deci putem scrie \(x=\frac12(x^2+4)'\). Astfel integrala devine \(\frac12\int_0^{\sqrt5}(x^2+4)'\sqrt{x^2+4}\,dx\), de forma \(u'\sqrt{u}\), pentru care știm primitiva.

2. 2

   Găsim primitiva

   \int u'\sqrt{u}\,dx=\frac{2}{3}u\sqrt{u}\ \Rightarrow\ \frac12\cdot\frac23(x^2+4)\sqrt{x^2+4}=\frac13(x^2+4)\sqrt{x^2+4}

   Pentru \(u'\sqrt{u}=u'u^{1/2}\) primitiva este \(\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac23 u\sqrt{u}\). Înmulțind cu \(\frac12\) obținem \(\frac13(x^2+4)\sqrt{x^2+4}\), exact ca în barem.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_0^{\sqrt5}f(x)\,dx=\frac13(x^2+4)\sqrt{x^2+4}\Big|_0^{\sqrt5}=\frac13\left(9\cdot3-4\cdot2\right)

   Calculăm primitiva în capătul de sus și scădem valoarea din capătul de jos. Pentru \(x=\sqrt5\): \(x^2+4=9\), \(\sqrt9=3\), deci \(9\cdot3=27\). Pentru \(x=0\): \(x^2+4=4\), \(\sqrt4=2\), deci \(4\cdot2=8\).

4. 4

   Concluzia

   \frac13(27-8)=\frac{19}{3}

   Rezultatul \(\frac{19}{3}\) coincide cu cel cerut în enunț și cu cel din barem, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_0^{\sqrt5} f(x)\,dx=\frac{19}{3}\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\sqrt{x^2+4}\). Pentru fiecare număr natural \(n\), \(n\ge 2\), se consideră numărul \(I_n=\int_1^2 \frac{x^n}{f^2(x)}\,dx\). Determinați numărul natural \(n\), \(n\ge 2\), pentru care \(I_{n+2}+4I_n=\frac{3}{n-1}\).

Metoda: Integrare directă a funcțiilor raționale

1. 1

   Simplificăm expresia lui \(I_n\)

   f^2(x)=x^2(x^2+4)\;\Rightarrow\; I_n=\int_1^2 \frac{x^{n-2}}{x^2+4}\,dx

   Ridicăm \(f(x)\) la pătrat: \(f^2(x)=x^2\cdot(x^2+4)\), deoarece pătratul unei rădăcini pătrate este chiar expresia de sub radical. Apoi simplificăm \(x^n\) cu \(x^2\) (pe \([1,2]\), \(x\neq 0\)) și rămâne \(x^{n-2}\) la numărător.

2. 2

   Formăm suma \(I_{n+2}+4I_n\)

   I_{n+2}+4I_n=\int_1^2 \frac{x^{n}+4x^{n-2}}{x^2+4}\,dx=\int_1^2 \frac{x^{n-2}(x^2+4)}{x^2+4}\,dx=\int_1^2 x^{n-2}\,dx

   Pentru \(I_{n+2}\) înlocuim \(n\) cu \(n+2\), deci numărătorul este \(x^{n}\). Punem ambele integrale sub același semn de integrare. La numărător dăm factor comun \(x^{n-2}\), iar parantezea \(x^2+4\) se simplifică cu numitorul. De aceea suma este aleasă cu factorul 4 în față.

3. 3

   Calculăm integrala

   \int_1^2 x^{n-2}\,dx=\frac{x^{n-1}}{n-1}\Big|_1^2=\frac{2^{n-1}-1}{n-1}

   Primitiva lui \(x^{n-2}\) este \(\frac{x^{n-1}}{n-1}\), valabilă deoarece \(n\ge 2\) implică \(n-1\ge 1\), deci \(n-1\neq 0\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în 2 minus valoarea în 1.

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   \frac{2^{n-1}-1}{n-1}=\frac{3}{n-1}\;\Rightarrow\;2^{n-1}=4\;\Rightarrow\;n-1=2\;\Rightarrow\;n=3

   Cele două fracții au același numitor \(n-1\neq 0\), deci numărătorii sunt egali: \(2^{n-1}-1=3\), adică \(2^{n-1}=4=2^2\). Bazele sunt egale, deci exponenții sunt egali: \(n-1=2\), de unde \(n=3\). Verificăm: \(n=3\) este natural și \(n\ge 2\), deci convine.

Răspuns: n = 3