Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2022, simulare

Se consideră numerele complexe \(z_1 = 1-2i\) și \(z_2 = 2+i\). Arătați că \((z_1+i)(z_2-1)=2\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Calculăm prima paranteză

   z_1+i=(1-2i)+i=1-i

   Înlocuim \(z_1 = 1-2i\) în prima paranteză. Adunăm separat părțile reale și părțile imaginare: partea reală rămâne \(1\), iar partea imaginară este \(-2i+i=-i\). Așa obținem \(1-i\).

2. 2

   Calculăm a doua paranteză

   z_2-1=(2+i)-1=1+i

   Înlocuim \(z_2 = 2+i\) și scădem 1 din partea reală: \(2-1=1\). Partea imaginară rămâne \(i\). Rezultă \(1+i\).

3. 3

   Înmulțim și folosim \(i^2=-1\)

   (1-i)(1+i)=1-i^2=1-(-1)=2

   Cele două paranteze sunt numere complexe conjugate, deci produsul lor este de forma \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), cu \(a=1\) și \(b=i\). Obținem \(1-i^2\). Cum \(i^2=-1\), rezultă \(1-(-1)=2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \((z_1+i)(z_2-1)=(1-i)(1+i)=1-i^2=2\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+4x+m\), unde \(m\) este număr real. Determinați valorile reale ale lui \(m\) pentru care \(f(x)>0\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Semnul funcției de gradul II

1. 1

   Identificăm condiția pentru f(x) > 0

   a=1>0,\quad \Delta<0

   Funcția \(f(x)=ax^2+bx+c\) cu \(a>0\) are graficul o parabolă cu ramurile în sus. Ea este strict pozitivă pentru orice \(x\) real doar dacă nu intersectează axa Ox, adică dacă \(f(x)=0\) nu are rădăcini reale. Asta înseamnă \(\Delta<0\). Aici \(a=1>0\), deci rămâne condiția \(\Delta<0\).

2. 2

   Calculăm discriminantul

   \Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot m=16-4m

   Pentru \(f(x)=x^2+4x+m\) avem \(a=1\), \(b=4\), \(c=m\). Înlocuim în formula \(\Delta=b^2-4ac\) și obținem \(\Delta=16-4m\).

3. 3

   Rezolvăm inecuația \(\Delta<0\)

   16-4m<0\iff 4m>16\iff m>4

   Impunem \(16-4m<0\). Mutăm \(4m\) în partea dreaptă și obținem \(16<4m\). Împărțim la 4 (număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează) și obținem \(m>4\). Deci \(m\in(4,+\infty)\).

Răspuns: \(m\in(4,+\infty)\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(1+2\log_2\sqrt{x-2}=\log_2 x\).

Metoda: Ecuații logaritmice, proprietăți ale logaritmilor

1. 1

   Condițiile de existență

   x-2>0 \text{ și } x>0 \Rightarrow x\in(2,+\infty)

   Logaritmul există doar pentru argument strict pozitiv. Radicalul \(\sqrt{x-2}\) cere \(x-2\ge 0\), iar logaritmul din el cere \(\sqrt{x-2}>0\), deci \(x>2\). În plus, \(\log_2 x\) cere \(x>0\). Din ambele rezultă \(x>2\).

2. 2

   Simplificăm termenul cu radical

   2\log_2\sqrt{x-2}=\log_2\left(\sqrt{x-2}\right)^2=\log_2(x-2)

   Folosim \(a\log_b c=\log_b c^a\). Pentru \(x>2\), \((\sqrt{x-2})^2=x-2\). Ecuația devine \(1+\log_2(x-2)=\log_2 x\).

3. 3

   Grupăm logaritmii

   \log_2 x-\log_2(x-2)=1 \Rightarrow \log_2\frac{x}{x-2}=1

   Mutăm \(\log_2(x-2)\) în dreapta și folosim \(\log_a b-\log_a c=\log_a\frac{b}{c}\). Numărul 1 rămâne singur în cealaltă parte.

4. 4

   Trecem de la logaritm la ecuația simplă

   \frac{x}{x-2}=2^1=2 \Rightarrow x=2x-4 \Rightarrow x=4

   Din \(\log_2 A=1\) rezultă \(A=2^1=2\). Rezolvăm \(\frac{x}{x-2}=2\): înmulțim cu \(x-2\), obținem \(x=2x-4\), deci \(x=4\).

5. 5

   Verificăm soluția

   x=4\in(2,+\infty)

   Valoarea \(4>2\), deci respectă condițiile de existență. Verificare directă: \(1+2\log_2\sqrt{2}=1+1=2\) și \(\log_2 4=2\). Egalitatea este adevărată, deci \(x=4\) convine.

Răspuns: x = 4

Se consideră mulțimea \(A\), a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea \(A\), acesta să aibă exact doi multipli în mulțimea \(A\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile / posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   A=\{10,11,\dots,99\},\quad |A|=99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt de la 10 la 99. Câte numere sunt între 10 și 99 inclusiv? \(99-10+1=90\). Alegerea unui număr din \(A\) poate da oricare dintre cele 90 de numere, deci avem 90 de cazuri posibile.

2. 2

   Condiția pentru exact doi multipli

   n,\ 2n\in A,\ 3n\notin A \iff 2n\le 99<3n

   Multiplii lui \(n\) în \(A\) sunt \(n, 2n, 3n,\dots\) cât timp nu depășesc 99 (iar \(n\ge 10\) este deja în \(A\)). Avem exact doi multipli dacă \(n\) și \(2n\) sunt în \(A\), iar \(3n\) nu mai este, adică \(2n\le 99\) și \(3n>99\).

3. 3

   Aflăm numerele favorabile

   2n\le 99 \Rightarrow n\le 49,\quad 3n>99 \Rightarrow n>33 \Rightarrow n\ge 34

   Din \(2n\le 99\) obținem \(n\le 49{,}5\), deci \(n\le 49\). Din \(99<3n\) obținem \(n>33\), deci \(n\ge 34\). Așadar \(n\in\{34,35,\dots,49\}\), în total \(49-34+1=16\) numere, deci 16 cazuri favorabile.

4. 4

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{16}{90}=\frac{8}{45}

   Aplicăm formula: cazuri favorabile pe cazuri posibile, apoi simplificăm fracția prin 2.

Răspuns: \(p=\dfrac{8}{45}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(-2,-2)\), \(B(3,1)\) și \(M(2,4)\). Determinați coordonatele punctului \(N\), știind că patrulaterul \(ABMN\) este paralelogram.

Metoda: Mijlocul diagonalelor paralelogramului

1. 1

   Aflăm mijlocul diagonalei AM

   P\left(\frac{-2+2}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=P(0,1)

   Diagonalele paralelogramului \(ABMN\) sunt \(AM\) și \(BN\) (unesc vârfurile opuse). Notăm cu \(P\) mijlocul segmentului \(AM\) și îl calculăm cu formula mijlocului: media aritmetică a absciselor și media aritmetică a ordonatelor. Obținem \(P(0,1)\).

2. 2

   Folosim faptul că P este și mijlocul lui BN

   \frac{3+x_N}{2}=0,\quad \frac{1+y_N}{2}=1

   Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc reciproc, deci \(P\) este și mijlocul lui \(BN\). Scriem formula mijlocului pentru \(B(3,1)\) și \(N(x_N,y_N)\) și o egalăm cu \(P(0,1)\).

3. 3

   Rezolvăm și obținem coordonatele lui N

   x_N=-3,\quad y_N=2\cdot1-1=1\ \Rightarrow\ N(-3,1)

   Din \(3+x_N=0\) rezultă \(x_N=-3\). Din \(1+y_N=2\) rezultă \(y_N=1\). Deci \(N(-3,1)\), la fel ca în barem. Verificare: mijlocul lui \(BN\) este \(\left(\frac{3-3}{2},\frac{1+1}{2}\right)=(0,1)=P\).

Răspuns: \(N(-3,1)\)

Se consideră triunghiul \(ABC\), în care \(\sin(A+B)+\cos C=1\). Arătați că triunghiul \(ABC\) este dreptunghic.

Metoda: Unghiuri suplementare și sin 2C

1. 1

   Scriem \(A+B\) în funcție de \(C\)

   A+B=\pi-C \Rightarrow \sin(A+B)=\sin(\pi-C)=\sin C

   Într-un triunghi \(A+B+C=\pi\), deci \(A+B=\pi-C\). Sinusul unghiurilor suplementare este egal: \(\sin(\pi-C)=\sin C\). Astfel relația din enunț devine una care conține doar unghiul \(C\): \(\sin C+\cos C=1\).

2. 2

   Ridicăm relația la pătrat

   (\sin C+\cos C)^2=1 \Rightarrow \sin^2 C+2\sin C\cos C+\cos^2 C=1

   Din \(\sin C+\cos C=1\) ridicăm la pătrat ambii membri. Apare \(\sin^2 C+\cos^2 C\), care este \(1\) (formula fundamentală). Rămâne \(1+2\sin C\cos C=1\), deci \(2\sin C\cos C=0\), adică \(\sin 2C=0\).

3. 3

   Aflăm unghiul \(C\)

   \sin 2C=0,\ C\in(0,\pi)\Rightarrow 2C\in(0,2\pi)\Rightarrow 2C=\pi\Rightarrow C=\frac{\pi}{2}

   Unghiul \(C\) al unui triunghi este în \((0,\pi)\), deci \(2C\) este în \((0,2\pi)\). Singura valoare din acest interval pentru care sinusul este 0 este \(\pi\). Rezultă \(2C=\pi\), deci \(C=\dfrac{\pi}{2}=90^\circ\). Un triunghi cu un unghi drept este dreptunghic, deci am demonstrat cerința.

Răspuns: Din \(\sin C+\cos C=1\) rezultă \(\sin 2C=0\), deci \(C=\dfrac{\pi}{2}\) și triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(C\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1&3&a\\2&1&-1\\a&3&1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}x+3y+az=2\\2x+y-z=-1\\ax+3y+z=1\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=0\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea \(A(1)\)

   A(1)=\begin{pmatrix}1&3&1\\2&1&-1\\1&3&1\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(a\) cu 1 în matricea \(A(a)\). Prima linie devine \(1,3,1\), a doua rămâne \(2,1,-1\), iar a treia devine \(1,3,1\).

2. 2

   Aplicăm regula lui Sarrus

   \det(A(1))=1\cdot1\cdot1+2\cdot3\cdot1+3\cdot(-1)\cdot1-1\cdot1\cdot1-(-1)\cdot3\cdot1-2\cdot3\cdot1

   Adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și paralelele ei. Aici \(3\cdot(-1)\cdot1\) este produsul pe una dintre paralelele diagonalei principale, iar \(-(-1)\cdot3\cdot1\) provine din diagonala secundară.

3. 3

   Adunăm și scădem termenii

   \det(A(1))=1+6-3-1+3-6=0

   Scădem produsele de pe diagonala secundară: \(-1\) și \(-(-3)=+3\) și \(-6\). Rezultatul este 0, deci \(\det(A(1))=0\), exact ce trebuia arătat. De altfel, liniile 1 și 3 ale lui \(A(1)\) sunt identice, ceea ce explică de ce determinantul este 0.

Răspuns: \(\det(A(1))=0\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1&3&a\\2&1&-1\\a&3&1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. Arătați că \(B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=a^3B(1)\), pentru orice număr real \(a\), unde \(B(a)=A(a)-A(0)\).

Metoda: Calcul matriceal, puteri de matrice

1. 1

   Aflăm matricea B(a)

   B(a)=A(a)-A(0)=\begin{pmatrix}0&0&a\\0&0&0\\a&0&0\end{pmatrix}

   Scădem matricele element cu element: \(B(a)=A(a)-A(0)\). Matricea \(A(0)\) se obține punând \(a=0\) în \(A(a)\), adică \(A(0)=\begin{pmatrix}1&3&0\\2&1&-1\\0&3&1\end{pmatrix}\). Toate elementele care nu conțin pe \(a\) se anulează la scădere, iar elementele \(a\) rămân \(a-0=a\). Rămân nenule doar pozițiile (1,3) și (3,1).

2. 2

   Calculăm B(a)·B(a)

   B(a)\cdot B(a)=\begin{pmatrix}0&0&a\\0&0&0\\a&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&a\\0&0&0\\a&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2&0&0\\0&0&0\\0&0&a^2\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Elementul (1,1) este \(0\cdot0+0\cdot0+a\cdot a=a^2\). Elementul (3,3) este \(a\cdot a+0\cdot0+0\cdot0=a^2\). Toate celelalte elemente ies 0, deoarece linia a doua este nulă, iar în rest se înmulțește cu zerouri. De exemplu, elementul (1,3) este \(0\cdot a+0\cdot0+a\cdot0=0\).

3. 3

   Calculăm B(a)·B(a)·B(a) și îl scriem cu B(1)

   B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=\begin{pmatrix}a^2&0&0\\0&0&0\\0&0&a^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&a\\0&0&0\\a&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&a^3\\0&0&0\\a^3&0&0\end{pmatrix}=a^3\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}=a^3B(1)

   Înmulțim rezultatul de la pasul anterior cu încă un factor \(B(a)\). Elementul (1,3) este \(a^2\cdot a=a^3\), iar elementul (3,1) este \(a^2\cdot a=a^3\); restul sunt 0. Apoi scoatem factor comun \(a^3\) și rămâne matricea cu 1 pe pozițiile (1,3) și (3,1). Aceasta este chiar \(B(1)\), obținută din formula de la pasul 1 pentru \(a=1\). Deci egalitatea este demonstrată pentru orice \(a\) real.

Răspuns: Am obținut \(B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=a^3B(1)\), pentru orice număr real \(a\), exact ca în barem.

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1&3&a\\2&1&-1\\a&3&1\end{pmatrix}\) și sistemul \(\begin{cases}x+3y+az=2\\2x+y-z=-1\\ax+3y+z=1\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci \(x_0y_0+y_0z_0+z_0x_0\le 0\), pentru orice soluție \((x_0,y_0,z_0)\) a sistemului de ecuații, cu \(x_0\), \(y_0\) și \(z_0\) numere reale.

Metoda: Discuția sistemului cu determinantul

1. 1

   Condiția pentru infinitate de soluții

   \det(A(a))=0

   Dacă \(\det(A(a))\neq 0\), sistemul are soluție unică (sistem Cramer). Deci, pentru o infinitate de soluții, trebuie ca \(\det(A(a))=0\). Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus: \(\det A(a)=1\cdot1\cdot1+2\cdot3\cdot a+3\cdot(-1)\cdot a-a\cdot1\cdot a-(-1)\cdot3\cdot1-2\cdot3\cdot1=1+6a-3a-a^2+3-6=-a^2+3a-2\).

2. 2

   Valorile posibile ale lui a

   -a^2+3a-2=0\Rightarrow a\in\{1,2\}

   Rezolvăm ecuația \(a^2-3a+2=0\): \(\Delta=9-8=1\), deci \(a=\frac{3\pm1}{2}\), adică \(a=1\) sau \(a=2\). Trebuie să verificăm fiecare valoare, pentru că determinantul zero nu garantează automat o infinitate de soluții: sistemul poate fi și incompatibil.

3. 3

   Eliminăm a = 1

   a=1:\ \begin{cases}x+3y+z=2\\2x+y-z=-1\\x+3y+z=1\end{cases}

   Pentru \(a=1\), prima și a treia ecuație au aceeași parte stângă \(x+3y+z\), dar membrii drepți diferiți (2 și 1). Ar trebui ca \(2=1\), imposibil. Sistemul este incompatibil, deci nu are nicio soluție și nu convine.

4. 4

   Soluțiile pentru a = 2

   a=2:\ (x_0,y_0,z_0)=(\alpha-1,\,-\alpha+1,\,\alpha),\ \alpha\in\mathbb{R}

   Pentru \(a=2\) sistemul este compatibil și are o infinitate de soluții (baremul dă forma lor). Alegem \(z=\alpha\) parametru. Din a doua ecuație \(2x+y=\alpha-1\). Din prima \(x+3y=2-2\alpha\). Rezolvând: din a doua \(y=\alpha-1-2x\); în prima: \(x+3\alpha-3-6x=2-2\alpha\), deci \(-5x=5-5\alpha\), \(x=\alpha-1\), apoi \(y=\alpha-1-2\alpha+2=-\alpha+1\). Verificare în a treia: \(2(\alpha-1)+3(-\alpha+1)+\alpha=-2+3=1\). Corect.

5. 5

   Demonstrăm inegalitatea

   x_0y_0+y_0z_0+z_0x_0=(\alpha-1)(-\alpha+1)+\alpha(-\alpha+1)+\alpha(\alpha-1)=-(\alpha-1)^2\le 0

   Înlocuim soluția în expresie. Primul termen: \((\alpha-1)(-\alpha+1)=-(\alpha-1)^2\). Ceilalți doi: \(\alpha(-\alpha+1)+\alpha(\alpha-1)=0\), se reduc. Rămâne \(-(\alpha-1)^2\), care este \(\le 0\) pentru orice \(\alpha\) real, deoarece un pătrat este nenegativ. Deci inegalitatea este adevărată pentru orice soluție a sistemului.

Răspuns: Sistemul are o infinitate de soluții doar pentru a = 2, cu soluțiile (α−1, −α+1, α), iar x₀y₀+y₀z₀+z₀x₀ = −(α−1)² ≤ 0 pentru orice α real.

Subiectul II, itemul 2. a): Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție \( z_1 * z_2 = \dfrac{z_1+z_2}{4\cdot |z_1 z_2|+1} \). Arătați că \( (-1)*2 = \dfrac{1}{9} \).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim în definiția legii

   (-1)*2=\frac{-1+2}{4\cdot|(-1)\cdot 2|+1}

   Legea spune că rezultatul este suma numerelor împărțită la \(4\cdot|z_1z_2|+1\). Punem \(z_1=-1\) și \(z_2=2\). La numărător apare suma \(-1+2\), iar la numitor modulul produsului \((-1)\cdot 2\).

2. 2

   Calculăm modulul din numitor

   |(-1)\cdot 2|=|-2|=2

   Produsul este \(-2\). Modulul unui număr real este valoarea lui fără semn, deci \(|-2|=2\). Atenție: modulul nu poate fi negativ, de aceea numitorul nu devine \(-8+1\).

3. 3

   Calculăm numitorul și rezultatul

   (-1)*2=\frac{1}{4\cdot 2+1}=\frac{1}{9}

   Numitorul este \(4\cdot 2+1=9\), iar numărătorul este \(1\). Obținem exact \(\dfrac{1}{9}\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \((-1)*2=\dfrac{1}{9}\)

Subiectul II, 2. b): Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție \( z_1 * z_2 = \dfrac{z_1+z_2}{4\cdot|z_1 z_2|+1} \). Arătați că \( e=0 \) este elementul neutru al legii de compoziție „\( * \)”.

Metoda: Verificarea definiției elementului neutru

1. 1

   Calculăm \( z*0 \)

   z*0=\dfrac{z+0}{4\cdot|z\cdot 0|+1}=\dfrac{z}{4\cdot 0+1}=z

   Înlocuim în definiția legii \( z_1=z \) și \( z_2=0 \). La numărător avem \( z+0=z \). La numitor, \( |z\cdot 0|=|0|=0\), deci numitorul devine \( 4\cdot 0+1=1 \). Rezultă \( z*0=z \), pentru orice număr complex z.

2. 2

   Calculăm \( 0*z \)

   0*z=\dfrac{0+z}{4\cdot|0\cdot z|+1}=\dfrac{z}{1}=z

   Legea nu este neapărat comutativă după definiție, deci verificăm și ordinea inversă. Acum \( z_1=0 \) și \( z_2=z \). Numărătorul este \( 0+z=z \), iar \( |0\cdot z|=0 \), deci numitorul este 1. Obținem \( 0*z=z \), pentru orice număr complex z.

3. 3

   Concluzia

   z*0=0*z=z,\ \forall z\in\mathbb{C}\ \Rightarrow\ e=0\text{ este element neutru}

   Am arătat că \( z*0=z \) și \( 0*z=z \) pentru orice z complex. Aceasta este exact definiția elementului neutru, deci e = 0 este elementul neutru al legii „*”.

Răspuns: Am obținut \( z*0=0*z=z \) pentru orice \( z\in\mathbb{C} \), deci \( e=0 \) este elementul neutru al legii „*”.

Subiectul II, punctul 2.c): Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție \( z_1 * z_2 = \dfrac{z_1+z_2}{4\cdot|z_1 z_2|+1} \). Demonstrați că există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică egalitatea \( |z*z| = |z| \).

Metoda: Calcul cu modulul numerelor complexe

1. 1

   Calculăm z * z

   z*z=\frac{2z}{4|z|^2+1}

   Înlocuim în definiția legii \(z_1=z_2=z\). La numărător avem \(z+z=2z\). La numitor avem \(4\cdot|z\cdot z|+1\), iar \(|z\cdot z|=|z^2|=|z|^2\), deci numitorul este \(4|z|^2+1\).

2. 2

   Scriem egalitatea pentru module

   \left|\frac{2z}{4|z|^2+1}\right|=|z|\;\Rightarrow\;\frac{2|z|}{4|z|^2+1}=|z|

   Numitorul \(4|z|^2+1\) este un număr real pozitiv, deci modulul fracției este \(\dfrac{|2z|}{4|z|^2+1}=\dfrac{2|z|}{4|z|^2+1}\). Egalăm cu \(|z|\).

3. 3

   Aflăm modulul lui z

   4|z|^2+1=2\;\Rightarrow\;|z|^2=\frac14\;\Rightarrow\;|z|=\frac12

   Cum \(z\neq 0\), avem \(|z|\neq 0\) și împărțim cu \(|z|\): \(\dfrac{2}{4|z|^2+1}=1\), deci \(4|z|^2+1=2\). Rezultă \(|z|^2=\dfrac14\), iar \(|z|=\dfrac12\) fiindcă modulul este pozitiv.

4. 4

   Dăm trei exemple de numere distincte

   z_1=\frac12,\; z_2=-\frac12,\; z_3=\frac{i}{2}

   Orice număr complex cu modulul \(\dfrac12\) verifică egalitatea. Numerele \(\dfrac12\), \(-\dfrac12\) și \(\dfrac i2\) sunt distincte, nenule și au toate modulul \(\dfrac12\). Deci există cel puțin trei astfel de numere, ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Egalitatea \(|z*z|=|z|\) pentru \(z\neq 0\) este echivalentă cu \(|z|=\dfrac12\). Numerele distincte și nenule \(\dfrac12\), \(-\dfrac12\) și \(\dfrac i2\) o verifică.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^4+16}}{x}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivata câtului de funcții

1. 1

   Scriem formula derivatei câtului

   f'(x)=\frac{\left(\sqrt{x^4+16}\right)'\cdot x-\sqrt{x^4+16}\cdot x'}{x^2}

   Funcția este o fracție \(\dfrac{u}{v}\) cu \(u=\sqrt{x^4+16}\) și \(v=x\). Formula este \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\). Cum \(v'=1\), la numărător al doilea termen devine \(\sqrt{x^4+16}\).

2. 2

   Derivăm radicalul

   \left(\sqrt{x^4+16}\right)'=\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+16}}

   Folosim \((\sqrt{w})'=\dfrac{w'}{2\sqrt{w}}\), cu \(w=x^4+16\), deci \(w'=4x^3\). Astfel obținem \(\dfrac{4x^3}{2\sqrt{x^4+16}}\).

3. 3

   Aducem numărătorul la același numitor

   f'(x)=\frac{\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+16}}\cdot x-\sqrt{x^4+16}}{x^2}=\frac{\frac{2x^4-(x^4+16)}{\sqrt{x^4+16}}}{x^2}=\frac{x^4-16}{x^2\sqrt{x^4+16}}

   Primul termen devine \(\dfrac{2x^4}{\sqrt{x^4+16}}\). Pentru al doilea amplificăm cu \(\sqrt{x^4+16}\): \(\sqrt{x^4+16}=\dfrac{x^4+16}{\sqrt{x^4+16}}\). Scădem și obținem \(2x^4-x^4-16=x^4-16\). Apoi împărțim la \(x^2\).

4. 4

   Descompunem diferența de pătrate

   x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4)\Rightarrow f'(x)=\frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}

   Observăm că \(x^4=(x^2)^2\) și \(16=4^2\), deci aplicăm \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Am ajuns exact la forma cerută în enunț, pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Răspuns: Am obținut \(f'(x)=\dfrac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}\), \(x\in(0,+\infty)\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^4+16}}{x}\). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Asimptota oblică prin limite

1. 1

   Calculăm panta m

   m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^4+16}}{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{16}{x^4}}=1

   Panta asimptotei oblice este \(m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\). Împărțim \(\sqrt{x^4+16}\) la \(x^2=\sqrt{x^4}\) (pentru \(x>0\)), ca să scoatem \(x^4\) de sub radical. Apoi \(\frac{16}{x^4}\to 0\), deci limita este \(\sqrt{1}=1\).

2. 2

   Calculăm termenul liber n

   n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^4+16}-x^2}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{16}{x\left(\sqrt{x^4+16}+x^2\right)}=0

   Termenul liber este \(n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx)\), cu \(m=1\). Aducem la același numitor și obținem \(\frac{\sqrt{x^4+16}-x^2}{x}\). Aici avem diferență de radicali (nedeterminare \(\infty-\infty\)), deci amplificăm cu conjugata \(\sqrt{x^4+16}+x^2\). La numărător rămâne \((x^4+16)-x^4=16\). Numitorul tinde la \(+\infty\), deci limita este \(0\).

3. 3

   Scriem ecuația asimptotei

   y=mx+n=x

   Cu \(m=1\) și \(n=0\), asimptota oblică spre \(+\infty\) este dreapta \(y=x\). Limitele sunt finite, deci asimptota există.

Răspuns: Asimptota oblică spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\) este dreapta \(y=x\).

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=\frac{\sqrt{x^4+16}}{x} \). c) Determinați valorile reale ale lui \( m \) pentru care ecuația \( f(x)+f\left(\frac{4}{x}\right)=m \) are exact două soluții.

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Simplificăm suma f(x)+f(4/x)

   f\left(\tfrac{4}{x}\right)=\frac{\sqrt{\frac{256}{x^4}+16}}{\frac{4}{x}}=\frac{x}{4}\cdot\frac{4\sqrt{16+x^4}}{x^2}=f(x)

   Calculăm \( f\left(\frac{4}{x}\right) \) înlocuind pe \( x \) cu \( \frac{4}{x} \). Sub radical avem \( \frac{256}{x^4}+16=\frac{16(16+x^4)}{x^4} \), deci radicalul este \( \frac{4\sqrt{x^4+16}}{x^2} \). Împărțind la \( \frac{4}{x} \), obținem exact \( \frac{\sqrt{x^4+16}}{x} \), adică \( f(x) \). Deci ecuația dată devine \( 2f(x)=m \). Definim \( g(x)=f(x)+f\left(\frac{4}{x}\right)=2f(x) \).

2. 2

   Semnul derivei lui f

   f'(x)=\frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}=0\iff x=2

   Folosim derivata de la punctul a). Pe \( (0,+\infty) \) factorii \( x^2+4 \), \( x^2 \) și radicalul sunt pozitivi, deci semnul lui \( f' \) este semnul lui \( x^2-4 \). Rezultă \( f'(x)<0 \) pentru \( x\in(0,2) \) și \( f'(x)>0 \) pentru \( x\in(2,+\infty) \). Deci \( f \) scade pe \( (0,2) \) și crește pe \( (2,+\infty) \), iar \( x=2 \) este punct de minim. Funcția \( g=2f \) are aceeași monotonie.

3. 3

   Valoarea minimă și limitele la capete

   g(2)=2f(2)=2\cdot\frac{\sqrt{32}}{2}=4\sqrt2,\quad \lim_{x\to0}g(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty

   Calculăm \( f(2)=\frac{\sqrt{16+16}}{2}=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2 \), deci \( g(2)=4\sqrt2 \). Când \( x\to0 \), numărătorul tinde la 4, iar numitorul la 0 prin valori pozitive, deci \( g\to+\infty \). Când \( x\to+\infty \), \( f(x)\approx x \), deci \( g\to+\infty \). Funcția este continuă.

4. 4

   Concluzie: numărul de soluții ale ecuației g(x)=m

   m\in\left(4\sqrt2,+\infty\right)

   Funcția \( g \) este continuă, strict descrescătoare pe \( (0,2) \) de la \( +\infty \) la \( 4\sqrt2 \) și strict crescătoare pe \( (2,+\infty) \) de la \( 4\sqrt2 \) la \( +\infty \). Dacă \( m>4\sqrt2 \), dreapta \( y=m \) taie graficul o dată pe fiecare ramură, deci exact două soluții. Dacă \( m=4\sqrt2 \), există o singură soluție, \( x=2 \). Dacă \( m<4\sqrt2 \), nu există soluții.

Răspuns: \( m\in\left(4\sqrt2,+\infty\right) \)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{e^x}\). a) Arătați că \(\int_0^3 e^x f(x)\,dx=12\).

Metoda: Calculul integralei definite

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   e^x f(x)=e^x\cdot\frac{x^2+1}{e^x}=x^2+1

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia sa. Deoarece \(e^x\neq 0\), putem simplifica \(e^x\) de la numărător cu \(e^x\) de la numitor. Rămâne doar polinomul \(x^2+1\), care se integrează foarte simplu.

2. 2

   Calculăm integrala cu primitiva

   \int_0^3 (x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_0^3

   O primitivă a lui \(x^2\) este \(\frac{x^3}{3}\), iar a lui \(1\) este \(x\). Apoi aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea în capătul de jos.

3. 3

   Înlocuim limitele și obținem rezultatul

   \left(\frac{3^3}{3}+3\right)-\left(\frac{0^3}{3}+0\right)=\frac{27}{3}+3=9+3=12

   În limita de sus \(x=3\) obținem \(\frac{27}{3}+3=12\), iar în limita de jos \(x=0\) obținem 0. Diferența este 12, exact ce trebuia arătat, la fel ca în barem.

Răspuns: \(\int_0^3 e^x f(x)\,dx=\int_0^3 (x^2+1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_0^3=\frac{27}{3}+3=12\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{e^x}\). b) Arătați că orice primitivă \(G\) a funcției \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{1}{f(x)}\) este convexă.

Metoda: Derivata a doua și convexitatea

1. 1

   Legătura dintre G și g

   G'(x)=g(x)\ \Rightarrow\ G''(x)=g'(x)

   Dacă \(G\) este primitivă a lui \(g\), atunci prin definiție \(G'(x)=g(x)\). Derivând încă o dată, obținem \(G''(x)=g'(x)\). Deci semnul lui \(G''\) este același cu semnul lui \(g'\). Funcția \(G\) este convexă dacă \(G''(x)\ge 0\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

2. 2

   Scriem funcția g explicit

   g(x)=\frac{1}{f(x)}=\frac{e^x}{x^2+1}

   Din \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{e^x}\) obținem inversul \(g(x)=\dfrac{e^x}{x^2+1}\). Numitorul \(x^2+1\) este mereu pozitiv, deci \(g\) este definită pe \(\mathbb{R}\) și derivabilă.

3. 3

   Calculăm g'(x)

   g'(x)=\frac{e^x(x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}

   Folosim formula de derivare a câtului: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), cu \(u=e^x\) și \(v=x^2+1\). Apoi dăm factor comun \(e^x\) și recunoaștem \(x^2-2x+1=(x-1)^2\).

4. 4

   Concluzia: G este convexă

   G''(x)=g'(x)=\frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\ge 0,\ \forall x\in\mathbb{R}

   Avem \(e^x>0\), \((x-1)^2\ge 0\) și \((x^2+1)^2>0\) pentru orice \(x\) real. Un produs de factori pozitivi sau nuli, împărțit la un număr pozitiv, este mai mare sau egal cu 0. Deci \(G''(x)\ge 0\) pe \(\mathbb{R}\), adică orice primitivă \(G\) este convexă.

Răspuns: \(G''(x)=g'(x)=\dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\ge 0\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), deci orice primitivă \(G\) a lui \(g\) este convexă.

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{x^2+1}{e^x} \). c) Determinați numărul real \( a \) pentru care \( \displaystyle\int_0^1 \frac{x^3}{\sqrt{e^x f(x)}}\,dx=\frac{a-\sqrt{2}}{3} \).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm integrandul

   e^x f(x)=x^2+1 \;\Rightarrow\; \int_0^1 \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\,dx

   Avem \( e^x f(x)=e^x\cdot\frac{x^2+1}{e^x}=x^2+1 \). Deci exponențiala dispare și integrala devine \( \int_0^1 \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}dx \). Facem asta pentru că o integrală fără \( e^x \) e mult mai simplă.

2. 2

   Pregătim integrarea prin părți

   \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}=x^2\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=x^2\cdot\left(\sqrt{x^2+1}\right)'

   Observăm că \( \left(\sqrt{x^2+1}\right)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \). Scriem \( x^3=x^2\cdot x \), deci integrandul este \( x^2\cdot(\sqrt{x^2+1})' \), potrivit pentru integrare prin părți.

3. 3

   Aplicăm formula de integrare prin părți

   \int_0^1 x^2\left(\sqrt{x^2+1}\right)'dx=x^2\sqrt{x^2+1}\Big|_0^1-\int_0^1 2x\sqrt{x^2+1}\,dx

   Formula este \( \int fg'=fg-\int f'g \), cu \( f=x^2 \), \( g=\sqrt{x^2+1} \). Primul termen: \( 1\cdot\sqrt2-0=\sqrt2 \). Pentru al doilea, \( 2x\sqrt{x^2+1}=\left(\frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2}\right)' \), deci integrala este \( \frac23(2\sqrt2-1) \).

4. 4

   Calculăm valoarea integralei

   \sqrt2-\frac23\left(2\sqrt2-1\right)=\frac{3\sqrt2-4\sqrt2+2}{3}=\frac{2-\sqrt2}{3}

   Reducem la același numitor: \( \sqrt2=\frac{3\sqrt2}{3} \). Rezultă \( \frac{2-\sqrt2}{3} \), valoarea din barem.

5. 5

   Determinăm a

   \frac{2-\sqrt2}{3}=\frac{a-\sqrt2}{3}\;\Rightarrow\; a=2

   Două fracții cu același numitor sunt egale când numărătorii sunt egali: \( a-\sqrt2=2-\sqrt2 \), deci \( a=2 \).

Răspuns: \( a=2 \)