Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2022, sesiunea august (varianta 07)

Arătați că media aritmetică a numerelor \(a = 20 - \sqrt{21}\) și \(b = 22 + \sqrt{21}\) este egală cu 21.

Metoda: Formula mediei aritmetice

1. 1

   Scriem formula mediei aritmetice

   m_a = \frac{a+b}{2} = \frac{20-\sqrt{21}+22+\sqrt{21}}{2}

   Media aritmetică a două numere \(a\) și \(b\) este \(\frac{a+b}{2}\). Înlocuim \(a\) și \(b\) cu valorile date, păstrând parantezele mentale: \(a = 20-\sqrt{21}\) și \(b = 22+\sqrt{21}\). Facem asta ca să avem totul într-o singură fracție.

2. 2

   Reducem radicalii și adunăm numerele întregi

   \frac{20-\sqrt{21}+22+\sqrt{21}}{2} = \frac{42}{2}

   La numărător avem \(-\sqrt{21}\) și \(+\sqrt{21}\), care se reduc (suma lor este 0). Rămân doar numerele întregi: \(20+22 = 42\). Așa scăpăm de radicali.

3. 3

   Împărțim la 2 și obținem rezultatul

   \frac{42}{2} = 21

   Împărțim 42 la 2 și obținem 21, exact ce trebuia arătat. Deci media aritmetică a celor două numere este 21.

Răspuns: Media aritmetică este \(m_a = \frac{42}{2} = 21\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-1\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=3-x\). Arătați că \(f(a)+g(a)=2\), pentru orice număr real \(a\).

Metoda: Calcul direct cu valorile funcțiilor

1. 1

   Calculăm f(a)

   f(a)=a-1

   Funcția \(f\) spune: ia numărul și scade 1. Dacă numărul este \(a\), obținem \(a-1\). Această egalitate este valabilă pentru orice număr real \(a\), deoarece \(f\) este definită pe \(\mathbb{R}\).

2. 2

   Calculăm g(a)

   g(a)=3-a

   La fel, în formula \(g(x)=3-x\) înlocuim \(x\) cu \(a\) și obținem \(3-a\), pentru orice \(a\) real.

3. 3

   Adunăm și reducem termenii

   f(a)+g(a)=(a-1)+(3-a)=a-1+3-a=2

   Adunăm cele două expresii. Termenii \(a\) și \(-a\) se reduc, iar \(-1+3=2\). Rezultatul nu mai depinde de \(a\), deci este 2 pentru orice număr real \(a\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(f(a)+g(a)=(a-1)+(3-a)=2\), pentru orice \(a\in\mathbb{R}\).

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{7x-6}=x\).

Metoda: Ridicare la pătrat și verificare

1. 1

   Ridicăm ecuația la pătrat

   7x-6=x^2

   Radicalul dispare dacă ridicăm ambii membri la pătrat. Ecuația \(\sqrt{7x-6}=x\) devine \(7x-6=x^2\). Trebuie să ținem minte că soluțiile obținute trebuie verificate la final, deoarece, prin ridicare la pătrat, pot apărea soluții care nu convin (condiția este \(x\ge 0\), fiindcă o radical este mereu pozitiv sau zero).

2. 2

   Aducem ecuația la forma generală

   x^2-7x+6=0

   Mutăm toți termenii într-un singur membru, ca să obținem o ecuație de gradul al doilea de forma \(ax^2+bx+c=0\). Din \(7x-6=x^2\) obținem \(x^2-7x+6=0\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul al doilea

   \Delta=49-24=25,\quad x=\frac{7\pm5}{2}\Rightarrow x=1\text{ sau }x=6

   Calculăm discriminantul \(\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot6=25\). Apoi \(x=\frac{7\pm5}{2}\), deci \(x_1=1\) și \(x_2=6\). Putem vedea și prin factorizare: \((x-1)(x-6)=0\).

4. 4

   Verificăm soluțiile în ecuația inițială

   x=1:\ \sqrt{7-6}=1\ \checkmark;\qquad x=6:\ \sqrt{42-6}=\sqrt{36}=6\ \checkmark

   Verificarea este obligatorie la ecuațiile cu radicali. Pentru \(x=1\): \(\sqrt{7\cdot1-6}=\sqrt{1}=1\), adevărat. Pentru \(x=6\): \(\sqrt{7\cdot6-6}=\sqrt{36}=6\), adevărat. Ambele soluții convin, deoarece sunt pozitive și verifică ecuația inițială.

Răspuns: \(x=1\) sau \(x=6\), ambele soluții convin.

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, au cifrele elemente ale mulțimii \(\{1,2,3,4\}\).

Metoda: Principiul multiplicării (alegeri succesive)

1. 1

   Alegem cifra unităților

   \text{cifra unităților} \in \{2,4\} \Rightarrow 2 \text{ moduri}

   Un număr este par dacă ultima cifră este pară. Din mulțimea \(\{1,2,3,4\}\) cifrele pare sunt doar \(2\) și \(4\), deci cifra unităților se poate alege în \(2\) moduri.

2. 2

   Alegem cifra zecilor

   \text{cifra zecilor} \in \{1,2,3,4\} \Rightarrow 4 \text{ moduri}

   Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi oricare din cele \(4\) cifre ale mulțimii. Cifrele nu trebuie să fie diferite, deci se pot repeta (de exemplu \(22\) și \(44\) sunt acceptate). Nu apare problema cifrei \(0\) la început, pentru că \(0\) nu este în mulțime.

3. 3

   Aplicăm regula produsului

   2 \cdot 4 = 8

   Fiecare alegere a cifrei unităților (\(2\) moduri) se combină cu fiecare alegere a cifrei zecilor (\(4\) moduri), deci numărul total este produsul: \(2\cdot 4=8\). Numerele sunt: \(12, 22, 32, 42, 14, 24, 34, 44\).

Răspuns: Se pot forma 8 numere.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(6,0)\) și \(B(6,6)\). Arătați că triunghiul \(AOM\) este isoscel, unde punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(OB\).

Metoda: Formula mijlocului și distanța

1. 1

   Aflăm coordonatele mijlocului M

   M\left(\frac{0+6}{2},\frac{0+6}{2}\right)=M(3,3)

   Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(OB\), unde \(O(0,0)\) și \(B(6,6)\). Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: \(x_M=\frac{x_O+x_B}{2}\) și \(y_M=\frac{y_O+y_B}{2}\). Avem nevoie de \(M\) ca să putem calcula apoi distanțele.

2. 2

   Calculăm lungimile OM și AM

   OM=\sqrt{(3-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2,\quad AM=\sqrt{(3-6)^2+(3-0)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2

   Folosim formula distanței dintre două puncte: \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\). Pentru \(OM\) avem \(O(0,0)\) și \(M(3,3)\), deci \(9+9=18\). Pentru \(AM\) avem \(A(6,0)\) și \(M(3,3)\), deci \((-3)^2+3^2=18\). Cum \(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt2\), ambele lungimi sunt \(3\sqrt2\).

3. 3

   Concluzia

   OM=AM=3\sqrt2\ \Rightarrow\ \triangle AOM\text{ isoscel}

   Un triunghi este isoscel dacă are două laturi congruente. Am obținut \(OM=AM=3\sqrt2\), deci triunghiul \(AOM\) este isoscel, cu vârful în \(M\).

Răspuns: M(3,3), OM = AM = 3√2, deci triunghiul AOM este isoscel.

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), astfel încât \(AC=4\) și măsura unghiului \(B\) este egală cu \(60^\circ\). Arătați că înălțimea din vârful \(A\) a triunghiului \(ABC\) are lungimea egală cu 2.

Metoda: Triunghi dreptunghic cu unghi de 30°

1. 1

   Aflăm măsura unghiului C

   \widehat{C}=90^\circ-60^\circ=30^\circ

   Într-un triunghi dreptunghic, cele două unghiuri ascuțite au suma 90°. Cum unghiul \(A\) este de \(90^\circ\) și unghiul \(B\) este de \(60^\circ\), rezultă că unghiul \(ACB\) are \(30^\circ\). Ne trebuie acest unghi ca să putem folosi mai departe proprietatea unghiului de \(30^\circ\).

2. 2

   Construim înălțimea AD și privim triunghiul ACD

   AD\perp BC,\quad D\in BC \Rightarrow \triangle ACD \text{ dreptunghic în } D,\ \widehat{ACD}=30^\circ

   Fie \(AD\) înălțimea din \(A\), deci \(AD\perp BC\). Atunci triunghiul \(ACD\) are unghi drept în \(D\). Unghiul din \(C\) este chiar unghiul \(ACB\), adică \(30^\circ\), pentru că \(D\) se află pe \(BC\). Ipotenuza triunghiului \(ACD\) este \(AC=4\).

3. 3

   Folosim cateta opusă unghiului de 30°

   AD=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2

   În triunghiul \(ACD\), cateta \(AD\) este opusă unghiului de \(30^\circ\) din \(C\). Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză. Deci \(AD=\frac{AC}{2}=2\). Același rezultat se obține cu sinusul: \(AD=AC\cdot\sin 30^\circ=4\cdot\frac12=2\).

Răspuns: Înălțimea din vârful \(A\) are lungimea \(AD=\frac{AC}{2}=2\).

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}1&-x\\x&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=3\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}

   Cerința ne cere determinantul lui A(1), deci întâi trebuie să știm cum arată matricea pentru x=1. Înlocuim peste tot x cu 1: elementul -x devine -1, elementul x devine 1, iar x+1 devine 2.

2. 2

   Aplicăm formula determinantului de ordin 2

   \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&-1\\1&2\end{vmatrix}=1\cdot 2-(-1)\cdot 1

   Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici diagonala principală are 1 și 2, iar cea secundară are -1 și 1.

3. 3

   Calculăm și concluzionăm

   1\cdot 2-(-1)\cdot 1=2+1=3

   Scăderea unui număr negativ înseamnă adunare: \(2-(-1)=2+1\). Obținem exact valoarea cerută în enunț, deci afirmația este demonstrată.

Răspuns: \(\det(A(1))=3\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}1&-x\\x&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Arătați că \(A(-1)\cdot A(2)-A(-1)=2I_2\).

Metoda: Calcul matriceal direct

1. 1

   Scriem matricele A(-1) și A(2)

   A(-1)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad A(2)=\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x\) în formula \(A(x)=\begin{pmatrix}1&-x\\x&x+1\end{pmatrix}\). Pentru \(x=-1\): \(-x=1\), \(x=-1\), \(x+1=0\). Pentru \(x=2\): \(-x=-2\), \(x=2\), \(x+1=3\). Trebuie să avem matricele concrete ca să putem calcula.

2. 2

   Calculăm produsul A(-1)·A(2)

   A(-1)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}

   Se înmulțește linie cu coloană. Linia 1 cu coloana 1: \(1\cdot1+1\cdot2=3\). Linia 1 cu coloana 2: \(1\cdot(-2)+1\cdot3=1\). Linia 2 cu coloana 1: \((-1)\cdot1+0\cdot2=-1\). Linia 2 cu coloana 2: \((-1)(-2)+0\cdot3=2\).

3. 3

   Scădem A(-1) și comparăm cu 2I₂

   \begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I_2

   Scăderea se face element cu element: \(3-1=2\), \(1-1=0\), \(-1-(-1)=0\), \(2-0=2\). Rezultatul este \(2\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=2I_2\), deci egalitatea cerută este demonstrată.

Răspuns: A(-1)·A(2) − A(-1) = [[2,0],[0,2]] = 2I₂, deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}1&-x\\x&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(A(x)\cdot A(-x)+xA(x)=3I_2\).

Metoda: Calcul matriceal și ecuație de gradul II

1. 1

   Scriem matricea A(-x) și calculăm produsul

   A(-x)=\begin{pmatrix}1&x\\-x&1-x\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x\) cu \(-x\) în \(A(x)\): \(A(-x)=\begin{pmatrix}1&x\\-x&-x+1\end{pmatrix}\). Apoi înmulțim linie cu coloană: \(A(x)\cdot A(-x)=\begin{pmatrix}1\cdot1+(-x)(-x)&1\cdot x+(-x)(1-x)\\x\cdot1+(x+1)(-x)&x\cdot x+(x+1)(1-x)\end{pmatrix}\). Calculând: \(1+x^2\); \(x-x+x^2=x^2\); \(x-x^2-x=-x^2\); \(x^2+1-x^2=1\). Deci produsul este \(\begin{pmatrix}1+x^2&x^2\\-x^2&1\end{pmatrix}\).

2. 2

   Calculăm xA(x)

   xA(x)=\begin{pmatrix}x&-x^2\\x^2&x^2+x\end{pmatrix}

   Înmulțirea unei matrici cu un număr se face element cu element: \(x\cdot1=x\), \(x\cdot(-x)=-x^2\), \(x\cdot x=x^2\), \(x(x+1)=x^2+x\).

3. 3

   Adunăm matricele

   A(x)A(-x)+xA(x)=\begin{pmatrix}1+x+x^2&0\\0&1+x+x^2\end{pmatrix}=(x^2+x+1)I_2

   Adunăm element cu element: stânga sus \(1+x^2+x\); dreapta sus \(x^2-x^2=0\); stânga jos \(-x^2+x^2=0\); dreapta jos \(1+x^2+x\). Obținem o matrice scalară, adică \((x^2+x+1)I_2\), pentru orice \(x\) real.

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   (x^2+x+1)I_2=3I_2\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow x\in\{-2,\,1\}

   Două matrici \(aI_2\) și \(bI_2\) sunt egale exact când \(a=b\). Deci \(x^2+x+1=3\), adică \(x^2+x-2=0\). Discriminantul este \(\Delta=1+8=9\), iar \(x=\frac{-1\pm3}{2}\), deci \(x=1\) sau \(x=-2\). Verificare: \(1^2+1-2=0\) și \((-2)^2+(-2)-2=0\).

Răspuns: x = -2 sau x = 1

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = 4(xy+1) - 3(x+y)\). Arătați că \(1 \circ 2 = 3\).

Metoda: Calcul direct cu legea dată

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 2 în formulă

   1 \circ 2 = 4(1\cdot 2+1) - 3(1+2)

   Legea spune că pentru orice două numere \(x\) și \(y\) rezultatul este \(4(xy+1)-3(x+y)\). Ca să calculăm \(1 \circ 2\), punem \(1\) în locul lui \(x\) și \(2\) în locul lui \(y\). Fiecare \(x\) devine \(1\), fiecare \(y\) devine \(2\).

2. 2

   Calculăm paranteza și facem înmulțirile

   4(1\cdot 2+1) - 3(1+2) = 4\cdot 3 - 3\cdot 3 = 12 - 9

   Respectăm ordinea operațiilor: întâi parantezele. Avem \(1\cdot 2+1=3\) și \(1+2=3\). Apoi facem înmulțirile \(4\cdot 3=12\) și \(3\cdot 3=9\).

3. 3

   Scădem și obținem rezultatul

   12 - 9 = 3

   Ultimul pas este scăderea. Obținem \(1 \circ 2 = 3\), exact ce trebuia arătat. Deoarece am pornit din partea stângă și am ajuns la valoarea din dreapta, egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(1 \circ 2 = 4(1\cdot 2+1) - 3(1+2) = 12 - 9 = 3\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = 4(xy+1) - 3(x+y)\). Arătați că, dacă \(a \circ 3 = 4\), atunci \(a \circ (-a) = 0\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Calculăm \(a \circ 3\)

   a \circ 3 = 4(3a+1) - 3(a+3) = 9a - 5

   Înlocuim în formula legii \(x = a\) și \(y = 3\). Obținem \(4(a\cdot 3+1) - 3(a+3) = 12a + 4 - 3a - 9 = 9a - 5\). Facem asta pentru a transforma condiția din enunț într-o ecuație simplă în a.

2. 2

   Aflăm valoarea lui a

   9a - 5 = 4 \Rightarrow 9a = 9 \Rightarrow a = 1

   Condiția din ipoteză este \(a \circ 3 = 4\). Cum \(a \circ 3 = 9a - 5\), rezolvăm ecuația \(9a - 5 = 4\). Adunăm 5 la ambii membri și împărțim la 9.

3. 3

   Calculăm \(a \circ (-a)\) pentru a = 1

   1 \circ (-1) = 4(-1+1) - 3(1-1) = 0

   Cu \(a = 1\), expresia \(a \circ (-a)\) devine \(1 \circ (-1)\). Înlocuim \(x = 1\), \(y = -1\): produsul \(xy = -1\), deci \(xy + 1 = 0\), iar \(x + y = 0\). Ambii termeni sunt 0, deci rezultatul este 0, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: Din \(a \circ 3 = 9a - 5 = 4\) obținem \(a = 1\), iar \(a \circ (-a) = 1 \circ (-1) = 0\).

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y=4(xy+1)-3(x+y)\). Determinați valorile reale ale lui \(x\) pentru care \((x\circ 1)\circ(x-1)\le 4\).

Metoda: Calcul cu legea de compoziție

1. 1

   Calculăm \(x\circ 1\)

   x\circ 1=4(x\cdot 1+1)-3(x+1)=4x+4-3x-3=x+1

   Înlocuim \(y=1\) în formula legii: \(x\circ 1=4(x\cdot 1+1)-3(x+1)\). Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea. Rezultă \(x\circ 1=x+1\), deci 1 se comportă simplu în această lege.

2. 2

   Calculăm \((x+1)\circ(x-1)\)

   (x+1)\circ(x-1)=4\big((x+1)(x-1)+1\big)-3\big((x+1)+(x-1)\big)=4x^2-6x

   Cum \(x\circ 1=x+1\), expresia devine \((x+1)\circ(x-1)\). Aplicăm formula cu primul număr \(x+1\) și al doilea \(x-1\). Produsul este \(x^2-1\), suma este \(2x\). Deci \(4(x^2-1+1)-3\cdot 2x=4x^2-6x\).

3. 3

   Rezolvăm inecuația

   4x^2-6x\le 4\iff 2x^2-3x-2\le 0,\quad \Delta=9+16=25,\ x_1=-\tfrac12,\ x_2=2

   Inecuația devine \(4x^2-6x\le 4\), adică \(2x^2-3x-2\le 0\) (după împărțirea la 2). Rădăcinile sunt \(\frac{3\pm 5}{4}\), adică \(-\frac12\) și \(2\). Coeficientul lui \(x^2\) este pozitiv, deci trinomul este negativ sau zero între rădăcini.

Răspuns: \(x\in\left[-\tfrac12,\,2\right]\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x^2+x+3-5\ln x\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{(x-1)(4x+5)}{x}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivarea și aducerea la numitor comun

1. 1

   Derivăm funcția termen cu termen

   f'(x)=(2x^2)'+(x)'+(3)'-5(\ln x)'=4x+1+0-\frac{5}{x}

   Derivata unei sume este suma derivatelor. Folosim \((x^n)'=nx^{n-1}\), derivata unei constante este 0, iar \((\ln x)'=\frac{1}{x}\). Astfel \((2x^2)'=4x\), \((x)'=1\), \((3)'=0\) și \((5\ln x)'=\frac{5}{x}\). Obținem \(f'(x)=4x+1-\frac{5}{x}\).

2. 2

   Aducem la numitor comun și factorizăm

   f'(x)=\frac{4x^2+x-5}{x}=\frac{(x-1)(4x+5)}{x}

   Aducem termenii la numitorul x: \(4x+1-\frac{5}{x}=\frac{4x^2+x-5}{x}\). Numărătorul \(4x^2+x-5\) are rădăcinile \(x=1\) și \(x=-\frac{5}{4}\), deci se scrie \(4(x-1)(x+\frac{5}{4})=(x-1)(4x+5)\). Verificăm prin înmulțire: \((x-1)(4x+5)=4x^2+5x-4x-5=4x^2+x-5\). Așadar \(f'(x)=\frac{(x-1)(4x+5)}{x}\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(f'(x)=4x+1-\dfrac{5}{x}=\dfrac{4x^2+x-5}{x}=\dfrac{(x-1)(4x+5)}{x}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x^2+x+3-5\ln x\). b) Arătați că \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)+5\ln x}{3-x-x^2}=-2\).

Metoda: Calculul limitei de tip raport

1. 1

   Simplificăm numărătorul

   f(x)+5\ln x=2x^2+x+3-5\ln x+5\ln x=2x^2+x+3

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia lui. Termenii \(-5\ln x\) și \(+5\ln x\) se anulează, deci numărătorul devine un simplu polinom. Așa scăpăm de logaritm, care ar fi făcut limita mai grea.

2. 2

   Scriem limita ca raport de polinoame

   \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+x+3}{3-x-x^2}

   Acum avem un raport de polinoame de gradul 2 și limita pentru \(x\to+\infty\) este de forma \(\frac{\infty}{\infty}\), deci nu putem înlocui direct. Dăm factor comun \(x^2\), cea mai mare putere, sus și jos.

3. 3

   Dăm factor comun și simplificăm

   \frac{x^2\left(2+\frac1x+\frac3{x^2}\right)}{x^2\left(\frac3{x^2}-\frac1x-1\right)}=\frac{2+\frac1x+\frac3{x^2}}{\frac3{x^2}-\frac1x-1}

   Simplificăm cu \(x^2\), care este nenul. Așa apar fracții de forma \(\frac1x\) și \(\frac3{x^2}\), care tind la 0 când \(x\to+\infty\).

4. 4

   Calculăm limita și verificăm

   \frac{2+0+0}{0-0-1}=-2

   Înlocuim fracțiile care tind la 0 cu 0. Numărătorul tinde la \(2\), numitorul la \(-1\), deci limita este \(\frac{2}{-1}=-2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)+5\ln x}{3-x-x^2}=-2\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x^2+x+3-5\ln x\). c) Demonstrați că \(2x^2+x\ge 3+5\ln x\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Monotonia și minimul funcției

1. 1

   Scriem inegalitatea cu ajutorul lui f

   2x^2+x\ge 3+5\ln x \iff 2x^2+x+3-5\ln x\ge 6 \iff f(x)\ge 6

   Mutăm termenii: scădem \(5\ln x\) din ambele părți și adunăm 3. Obținem exact expresia lui \(f(x)\) în stânga, iar în dreapta apare 6. Deci ajunge să arătăm că \(f(x)\ge 6\) pentru orice \(x>0\).

2. 2

   Semnul derivatei

   f'(x)=\frac{(x-1)(4x+5)}{x},\quad f'(x)=0\Rightarrow x=1

   Din punctul a) știm derivata. Pe \((0,+\infty)\) avem \(x>0\) și \(4x+5>0\), deci semnul lui \(f'\) este dat de factorul \(x-1\). Singura rădăcină a derivatei este \(x=1\). Pentru \(x\in(0,1]\), \(f'(x)\le 0\), deci f este descrescătoare pe \((0,1]\). Pentru \(x\in[1,+\infty)\), \(f'(x)\ge 0\), deci f este crescătoare pe \([1,+\infty)\).

3. 3

   Valoarea minimă a lui f

   f(x)\ge f(1)=2+1+3-5\ln 1=6

   Cum f scade până în 1 și crește după 1, valoarea ei cea mai mică este \(f(1)\). Deci \(f(x)\ge f(1)\) pentru orice \(x>0\). Calculăm \(f(1)=2\cdot1^2+1+3-5\ln 1\), iar \(\ln 1=0\), deci \(f(1)=6\).

4. 4

   Concluzia

   f(x)\ge 6 \Rightarrow 2x^2+x+3-5\ln x\ge 6 \Rightarrow 2x^2+x\ge 3+5\ln x

   Din \(f(x)\ge 6\) scriem explicit \(f(x)\) și scădem 3 din ambele părți, apoi mutăm \(5\ln x\) în dreapta. Obținem exact inegalitatea cerută, valabilă pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Răspuns: Cum \(f(x)\ge f(1)=6\) pentru orice \(x>0\), rezultă \(2x^2+x\ge 3+5\ln x\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(3-2x)e^x\). a) Arătați că \(\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}\,dx=2\).

Metoda: Integrare directă a unui polinom

1. 1

   Simplificăm fracția de sub integrală

   \frac{f(x)}{e^x}=\frac{(3-2x)e^x}{e^x}=3-2x

   Înlocuim \(f(x)=(3-2x)e^x\) în fracție. Cum \(e^x\neq 0\) pentru orice \(x\), putem simplifica prin \(e^x\). Rămâne \(3-2x\), mult mai ușor de integrat. Integrala devine \(\int_0^1 (3-2x)\,dx\).

2. 2

   Aflăm o primitivă

   \int_0^1 (3-2x)\,dx=\left(3x-2\cdot\frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1=\left(3x-x^2\right)\Big|_0^1

   Integrăm termen cu termen: primitiva lui \(3\) este \(3x\), iar a lui \(-2x\) este \(-2\cdot\frac{x^2}{2}=-x^2\). Deci o primitivă este \(3x-x^2\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \left(3x-x^2\right)\Big|_0^1=(3\cdot 1-1^2)-(3\cdot 0-0^2)=2-0=2

   Calculăm primitiva în limita de sus (\(x=1\)) și scădem valoarea ei în limita de jos (\(x=0\)). Obținem \(3-1=2\) (în barem: \(3-1=2\)). Exact rezultatul cerut, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}\,dx=2\), deci egalitatea cerută este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(3-2x)e^x\). b) Arătați că \(\int_0^2 f(x)\,dx=e^2-5\).

Metoda: Integrarea prin părți

1. 1

   Scriem integrala și alegem părțile

   \int_0^2 (3-2x)e^x\,dx=\int_0^2 (3-2x)(e^x)'\,dx

   Integrala are forma \(\int u\cdot v'\,dx\). Alegem \(u=3-2x\), pentru că derivata ei este o constantă și produsul se simplifică, iar \(v'=e^x\), pentru că \(v=e^x\) (primitiva exponențialei este ea însăși). Formula este \(\int_a^b u v'\,dx=uv\big|_a^b-\int_a^b u'v\,dx\).

2. 2

   Aplicăm formula de integrare prin părți

   \int_0^2 (3-2x)e^x\,dx=(3-2x)e^x\Big|_0^2-\int_0^2 (-2)e^x\,dx=(3-2x)e^x\Big|_0^2+2\int_0^2 e^x\,dx

   Cu \(u=3-2x\), \(u'=-2\), \(v=e^x\), obținem \(uv\big|_0^2-\int_0^2 u'v\,dx\). Semnul minus din fața integralei se combină cu \(-2\) și dă \(+2\). Astfel, integrala rămasă este doar \(2\int_0^2 e^x\,dx\), una simplă.

3. 3

   Calculăm termenul \((3-2x)e^x\) la capete

   (3-2x)e^x\Big|_0^2=(3-4)e^2-(3-0)e^0=-e^2-3

   Înlocuim \(x=2\): \(3-2\cdot2=-1\), deci obținem \(-e^2\). Înlocuim \(x=0\): \(3\cdot e^0=3\). Facem diferența: \(-e^2-3\).

4. 4

   Calculăm integrala rămasă

   2\int_0^2 e^x\,dx=2e^x\Big|_0^2=2e^2-2

   Primitiva lui \(e^x\) este \(e^x\). Evaluăm între 0 și 2: \(e^2-e^0=e^2-1\). Înmulțim cu 2 și obținem \(2e^2-2\).

5. 5

   Adunăm rezultatele și concluzionăm

   \int_0^2 f(x)\,dx=-e^2-3+2e^2-2=e^2-5

   Adunăm cele două părți: \(-e^2+2e^2=e^2\) și \(-3-2=-5\). Obținem \(e^2-5\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^2 f(x)\,dx=e^2-5\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(3-2x)e^x\). Determinați \(a\in(-\infty,1)\) pentru care \(\int_a^1 \frac{e^{3x}}{f^3(x)}\,dx=\frac{2}{9}\).

Metoda: Integrare prin formula primitivelor

1. 1

   Simplificăm fracția de sub integrală

   \frac{e^{3x}}{f^3(x)}=\frac{e^{3x}}{(3-2x)^3e^{3x}}=\frac{1}{(3-2x)^3}

   Ridicăm la puterea a treia: \(f^3(x)=(3-2x)^3\cdot(e^x)^3=(3-2x)^3e^{3x}\). Factorul \(e^{3x}\) apare și la numărător, deci se simplifică. Pentru \(x<1\) avem \(3-2x>1>0\), deci fracția este bine definită.

2. 2

   Găsim o primitivă

   \int\frac{1}{(3-2x)^3}dx=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{(3-2x)^2}

   Observăm că \((3-2x)'=-2\). Scriem \(\frac{1}{(3-2x)^3}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{(3-2x)'}{(3-2x)^3}\). Primitiva lui \(\frac{u'}{u^3}\) este \(-\frac{1}{2u^2}\). Deci primitiva este \(-\frac12\cdot\left(-\frac{1}{2(3-2x)^2}\right)=\frac{1}{4(3-2x)^2}\). Verificăm prin derivare: \(\left(\frac{1}{4}(3-2x)^{-2}\right)'=\frac14\cdot(-2)(3-2x)^{-3}\cdot(-2)=(3-2x)^{-3}\). Corect.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_a^1\frac{dx}{(3-2x)^3}=\frac14\cdot\frac{1}{(3-2x)^2}\Big|_a^1=\frac14\left(1-\frac{1}{(3-2a)^2}\right)

   Calculăm primitiva în \(1\) și în \(a\) și scădem. În \(x=1\): \(3-2=1\), deci \(\frac14\cdot\frac{1}{1}=\frac14\). În \(x=a\): \(\frac14\cdot\frac{1}{(3-2a)^2}\). Diferența dă expresia de mai sus.

4. 4

   Rezolvăm ecuația în a

   \frac14\left(1-\frac{1}{(3-2a)^2}\right)=\frac29\Rightarrow \frac{1}{(3-2a)^2}=\frac19\Rightarrow (3-2a)^2=9

   Înmulțim cu \(4\): \(1-\frac{1}{(3-2a)^2}=\frac89\), deci \(\frac{1}{(3-2a)^2}=1-\frac89=\frac19\). Atunci \((3-2a)^2=9\), adică \(3-2a=3\) sau \(3-2a=-3\). Prima dă \(a=0\), a doua dă \(a=3\). Cum \(a\in(-\infty,1)\), convine doar \(a=0\); \(a=3\) nu este mai mic decât \(1\).

5. 5

   Verificare

   a=0:\ \frac14\left(1-\frac19\right)=\frac14\cdot\frac89=\frac29

   Înlocuim \(a=0\): \(3-2\cdot0=3\), deci \(\frac{1}{9}\). Rezultă \(\frac14\cdot\frac89=\frac29\), exact valoarea din enunț.

Răspuns: \(a=0\)