Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2022, model de subiect

Arătați că numărul \(N = \log_2 24 - \log_2 12 + 3\) este pătratul unui număr natural.

Metoda: Proprietățile logaritmilor

1. 1

   Reunim logaritmii într-unul singur

   N = \log_2 \frac{24}{12} + 3

   Folosim formula \(\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}\), valabilă pentru \(x,y>0\). Cei doi logaritmi au aceeași bază 2, deci putem aplica formula. Obținem \(\log_2 24 - \log_2 12 = \log_2 \frac{24}{12}\).

2. 2

   Calculăm logaritmul

   N = \log_2 2 + 3 = 1 + 3 = 4

   Avem \(\log_2 2 = 1\), pentru că \(2^1 = 2\). Deci \(N = 1 + 3 = 4\).

3. 3

   Arătăm că N este pătrat perfect

   N = 4 = 2^2

   Am obținut \(N = 4\), iar \(4 = 2^2\). Numărul 2 este natural, deci N este pătratul unui număr natural, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(N = 4 = 2^2\), deci N este pătratul numărului natural 2.

Determinați numărul real \(a\) pentru care punctul \(A(a, a^2)\) aparține graficului funcției \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-1\).

Metoda: Condiția de apartenență la grafic

1. 1

   Scriem condiția de apartenență la grafic

   A(a,a^2)\in G_f \iff f(a)=a^2

   Punctul \(A(a,a^2)\) are abscisa \(a\) și ordonata \(a^2\). El se află pe graficul lui \(f\) dacă \(f(a)=a^2\), adică dacă valoarea funcției în \(a\) este chiar ordonata punctului.

2. 2

   Obținem și rezolvăm ecuația

   2a-1=a^2 \iff a^2-2a+1=0 \iff (a-1)^2=0

   Înlocuim \(f(a)=2a-1\) și mutăm toți termenii în partea dreaptă. Obținem \(a^2-2a+1=0\), care este dezvoltarea pătratului \((a-1)^2\). Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci \(a-1=0\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   a=1:\ A(1,1),\ f(1)=2\cdot 1-1=1

   Pentru \(a=1\) punctul este \(A(1,1)\). Calculăm \(f(1)=2\cdot1-1=1\), egal cu ordonata \(1^2=1\). Deci punctul este pe grafic.

Răspuns: \(a=1\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{x^2-2x-2}=x-2\).

Metoda: Ridicarea la pătrat și verificare

1. 1

   Ridicăm ecuația la pătrat

   x^2-2x-2=(x-2)^2

   Radicalul dispare dacă ridicăm ambii membri la pătrat: \(\left(\sqrt{x^2-2x-2}\right)^2=x^2-2x-2\), iar în dreapta obținem \((x-2)^2\). Facem asta pentru a transforma ecuația irațională într-una polinomială. Atenție: din \(a=b\) rezultă \(a^2=b^2\), dar invers nu e mereu adevărat, de aceea vom verifica la final.

2. 2

   Dezvoltăm și rezolvăm ecuația

   x^2-2x-2=x^2-4x+4 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3

   Dezvoltăm \((x-2)^2=x^2-4x+4\). Termenii \(x^2\) se reduc în ambele părți. Rămâne \(-2x-2=-4x+4\), deci \(2x=6\) și \(x=3\).

3. 3

   Verificăm soluția

   \sqrt{3^2-2\cdot 3-2}=\sqrt{1}=1=3-2

   Verificăm în ecuația inițială. Sub radical: \(9-6-2=1\), deci \(\sqrt{1}=1\). În dreapta: \(3-2=1\). Cei doi membri sunt egali, deci \(x=3\) convine. Condiția \(x-2\ge 0\) este de asemenea îndeplinită, fiindcă radicalul nu poate fi negativ.

Răspuns: \(x=3\) (soluția convine).

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea \(A = \{1!, 2!, 3!, \ldots, 10!\}\), acesta să fie divizibil cu \(9\).

Metoda: Probabilitatea ca raport de cazuri

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   \text{nr. cazuri posibile} = 10

   Mulțimea \(A\) conține numerele \(1!, 2!, \ldots, 10!\), deci are \(10\) elemente. Fiecare poate fi ales, așa că avem \(10\) cazuri posibile.

2. 2

   Aflăm când \(n!\) se împarte la 9

   9 = 3^2,\quad n! \text{ conține } 3 \text{ și } 6 \Rightarrow 3^2 \mid n! \text{ pentru } n\ge 6

   Avem \(9 = 3^2\), deci \(n!\) trebuie să-l conțină pe factorul \(3\) de cel puțin două ori. În \(n!\) apar factorii \(3\) (care dă un \(3\)) și \(6 = 2\cdot 3\) (care mai dă un \(3\)) abia când \(n \ge 6\). Pentru \(n \le 5\) apare un singur \(3\): de exemplu \(5! = 120\) nu se împarte la \(9\), pentru că \(120 = 9\cdot 13 + 3\).

3. 3

   Numărăm cazurile favorabile

   6!,\ 7!,\ 8!,\ 9!,\ 10! \Rightarrow 5 \text{ cazuri favorabile}

   Numerele divizibile cu \(9\) sunt \(6!, 7!, 8!, 9!, 10!\). Pentru \(n \ge 6\), \(n!\) este multiplu al lui \(6!\), deci rămâne divizibil cu \(9\). Sunt \(5\) cazuri favorabile.

4. 4

   Calculăm probabilitatea

   p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

   Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile. Obținem \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\), exact rezultatul din barem.

Răspuns: \(p = \dfrac{1}{2}\)

Se consideră triunghiul \(ABC\) și punctul \(D\) mijlocul segmentului \(BC\). Arătați că, pentru orice puncte \(E\) și \(F\) astfel încât \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}\), are loc relația \(2(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).

Metoda: Descompunere prin regula lui Chasles

1. 1

   Descompunem vectorii EB și FC

   \overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}

   Folosim regula lui Chasles: \(\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\) (trecem prin \(A\)) și \(\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}\) (trecem prin \(D\)). Alegem punctele \(A\) și \(D\) tocmai pentru că ele apar în condiția \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}\).

2. 2

   Folosim condiția AE = FD

   \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{FD}=-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FD}=\vec{0}\ \Rightarrow\ \overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}

   Din \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}\) rezultă \(\overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{FD}\). Deci \(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{FD}=\vec{0}\) și acești doi termeni dispar. Rămâne \(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\), fără \(E\) și \(F\).

3. 3

   Înmulțim cu 2 și folosim mijlocul D

   2(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC})=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

   Cum \(D\) este mijlocul lui \(BC\), avem \(\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\), deci \(2\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}\).

4. 4

   Ajungem la AB + AC

   2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}

   Scriem \(2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\) și grupăm \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) tot după Chasles. Astfel obținem exact relația cerută.

Răspuns: Am obținut \(2(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\), adică exact relația cerută, pentru orice puncte \(E\) și \(F\) cu \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}\).

Arătați că \((\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=2\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Formule trigonometrice și identități

1. 1

   Dezvoltăm cele două pătrate

   (\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=4\sin x\cos x

   Folosim \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) și \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), cu \(a=\sin x\), \(b=\cos x\). Termenii \(\sin^2 x+\cos^2 x\) apar în ambele paranteze și se reduc la scădere, rămânând \(2\sin x\cos x-(-2\sin x\cos x)=4\sin x\cos x\). Alternativ, diferența de pătrate \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) dă \(2\sin x\cdot 2\cos x\), același rezultat.

2. 2

   Folosim sinusul unghiului dublu

   4\sin x\cos x=2\cdot(2\sin x\cos x)=2\sin 2x

   Formula \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) ne permite să grupăm \(4\sin x\cos x\) ca \(2\cdot 2\sin x\cos x\), deci \(2\sin 2x\).

3. 3

   Trecem de la sinus la cosinus

   2\sin 2x=2\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)

   Formula de reducere spune că \(\sin t=\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\). Luăm \(t=2x\) și obținem exact partea dreaptă a egalității cerute. Cum \(x\) a fost oarecare, identitatea e adevărată pentru orice număr real \(x\).

Răspuns: Am obținut \((\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=4\sin x\cos x=2\sin 2x=2\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), deci identitatea este demonstrată.

Se consideră matricea \( A(x)=\begin{pmatrix} x^2 & 1 \\ x-1 & 1 \end{pmatrix} \), unde \( x \) este număr real. Arătați că \( \det(A(-1))=3 \).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(-1)

   A(-1)=\begin{pmatrix} (-1)^2 & 1 \\ -1-1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \( x \) cu \( -1 \) în matricea \( A(x) \). În stânga sus avem \( x^2=(-1)^2=1 \), iar în stânga jos \( x-1=-1-1=-2 \). Coloana a doua nu depinde de \( x \), deci rămâne 1 și 1.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(-1))=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}=1\cdot 1-1\cdot(-2)=1+2=3

   Determinantul unei matrice de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici: \( 1\cdot 1=1 \) și \( 1\cdot(-2)=-2 \). Scăzând, obținem \( 1-(-2)=3 \), deci egalitatea cerută este adevărată.

Răspuns: \( \det(A(-1))=3 \)

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix} x^2 & 1 \\ x-1 & 1 \end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Demonstrați că matricea \(A(x)\) este inversabilă, pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Criteriul determinantului nenul

1. 1

   Calculăm determinantul lui A(x)

   \det(A(x))=\begin{vmatrix} x^2 & 1 \\ x-1 & 1 \end{vmatrix}=x^2\cdot 1-1\cdot (x-1)=x^2-x+1

   Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici: \(x^2\cdot 1-1\cdot(x-1)=x^2-x+1\). Facem asta pentru că inversabilitatea se verifică prin determinant.

2. 2

   Arătăm că determinantul nu se anulează

   x^2-x+1=0 \Rightarrow \Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0

   Verificăm dacă ecuația \(x^2-x+1=0\) are soluții reale. Discriminantul este \(\Delta=1-4=-3<0\), deci ecuația nu are rădăcini reale. Cum coeficientul lui \(x^2\) este pozitiv, expresia \(x^2-x+1\) este strict pozitivă pentru orice \(x\) real, deci în particular diferită de 0.

3. 3

   Concluzia

   \det(A(x))\neq 0,\ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow A(x)\text{ inversabilă}

   Am arătat că \(\det(A(x))=x^2-x+1\neq 0\) pentru orice \(x\) real. Prin criteriul determinantului, matricea \(A(x)\) este inversabilă pentru orice număr real \(x\).

Răspuns: \(\det(A(x))=x^2-x+1\) și, deoarece \(\Delta=-3<0\), determinantul este diferit de 0 pentru orice \(x\) real, deci \(A(x)\) este inversabilă pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix} x^2 & 1 \\ x-1 & 1 \end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați matricea \(X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) pentru care \(A(1)\cdot X\cdot A(1)=A(2)\).

Metoda: Ecuație matriceală cu inversa

1. 1

   Calculăm A(1) și A(2)

   A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\quad A(2)=\begin{pmatrix}4&1\\1&1\end{pmatrix}

   Înlocuim x cu 1, apoi cu 2, în matricea \(A(x)\). Pentru x=1: \(x^2=1\), \(x-1=0\). Pentru x=2: \(x^2=4\), \(x-1=1\). Avem nevoie de ambele matrici pentru că apar în ecuație.

2. 2

   Aflăm inversa lui A(1)

   \det A(1)=1\cdot1-1\cdot0=1\neq0,\quad \big(A(1)\big)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}

   Determinantul este 1, deci A(1) este inversabilă. Pentru o matrice \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) cu determinant 1, inversa este \(\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\). Verificare: \(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\).

3. 3

   Izolăm necunoscuta X

   A(1)\cdot X\cdot A(1)=A(2)\Rightarrow X=\big(A(1)\big)^{-1}\cdot A(2)\cdot\big(A(1)\big)^{-1}

   Înmulțim ecuația la stânga cu \(\big(A(1)\big)^{-1}\) și la dreapta tot cu \(\big(A(1)\big)^{-1}\). Înmulțirea matricelor nu este comutativă, deci inversa se pune pe aceeași parte pe care se află A(1) în ecuație. Astfel \(A(1)^{-1}A(1)=I_2\) în stânga și \(A(1)A(1)^{-1}=I_2\) în dreapta, iar X rămâne singur.

4. 4

   Calculăm X

   X=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-3\\1&0\end{pmatrix}

   Facem înmulțirile pe rând. Primul produs: linia 1 este \((4-1,\;1-1)=(3,0)\), linia 2 este \((1,1)\). Apoi înmulțim cu \(\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\): linia 1 este \((3,\;-3+0)=(3,-3)\), linia 2 este \((1,\;-1+1)=(1,0)\). Obținem exact rezultatul din barem.

Răspuns: \(X=\begin{pmatrix}3&-3\\1&0\end{pmatrix}\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru \(x \circ y = xy - \sqrt{2}(x+y-1) + 2\). Subiectul II, 2. a): Arătați că \(\sqrt{2} \circ 0 = \sqrt{2}\).

Metoda: Calcul direct cu legea dată

1. 1

   Înlocuim în formula legii

   \sqrt{2}\circ 0=\sqrt{2}\cdot 0-\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+0-1\right)+2

   Legea este \(x\circ y = xy-\sqrt{2}(x+y-1)+2\). Peste tot unde apare \(x\) scriem \(\sqrt{2}\), iar unde apare \(y\) scriem \(0\). Astfel obținem o expresie numerică pe care o putem calcula.

2. 2

   Calculăm și simplificăm

   \sqrt{2}\cdot 0-\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)+2=0-2+\sqrt{2}+2=\sqrt{2}

   Primul termen este 0. Apoi distribuim: \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\) și \(\sqrt{2}\cdot(-1)=-\sqrt{2}\), deci \(-\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=-2+\sqrt{2}\). Adunăm cu 2: \(-2+\sqrt{2}+2=\sqrt{2}\). Am obținut exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\sqrt{2}\circ 0=\sqrt{2}\), deci egalitatea este demonstrată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru \(x\circ y = xy-\sqrt{2}(x+y-1)+2\). Subiectul II, 2. b): Determinați numerele reale \(x\) pentru care \((x-\sqrt{2})\circ(x+\sqrt{2}) = x\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Scriem legea cu expresiile date

   (x-\sqrt{2})\circ(x+\sqrt{2})=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})-\sqrt{2}\left(x-\sqrt{2}+x+\sqrt{2}-1\right)+2

   Legea spune că \(a\circ b = ab-\sqrt{2}(a+b-1)+2\). Punem \(a=x-\sqrt{2}\) și \(b=x+\sqrt{2}\). Așa transformăm ecuația cu legea într-o ecuație obișnuită în \(x\).

2. 2

   Simplificăm expresia

   x^2-2-\sqrt{2}(2x-1)+2=x^2-2\sqrt{2}\,x+\sqrt{2}

   În paranteză, \(-\sqrt{2}\) și \(+\sqrt{2}\) se reduc, deci rămâne \(2x-1\). Apoi \(-2+2=0\), iar \(-\sqrt{2}(2x-1)=-2\sqrt{2}x+\sqrt{2}\).

3. 3

   Formăm ecuația de gradul al doilea

   x^2-2\sqrt{2}\,x+\sqrt{2}=x \iff x^2-(2\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}=0

   Cerința este ca rezultatul să fie egal cu \(x\). Mutăm \(x\) în stânga și obținem o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți \(a=1\), \(b=-(2\sqrt{2}+1)\), \(c=\sqrt{2}\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   \Delta=(2\sqrt{2}+1)^2-4\sqrt{2}=8+4\sqrt{2}+1-4\sqrt{2}=9,\quad x=\frac{2\sqrt{2}+1\pm 3}{2}

   Calculăm discriminantul: \(\Delta=9\), deci \(\sqrt{\Delta}=3\). Rădăcinile sunt \(x_1=\frac{2\sqrt{2}+1-3}{2}=\sqrt{2}-1\) și \(x_2=\frac{2\sqrt{2}+1+3}{2}=\sqrt{2}+2\).

Răspuns: \(x=\sqrt{2}-1\) sau \(x=\sqrt{2}+2\).

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru \(x\circ y = xy-\sqrt{2}(x+y-1)+2\). Determinați numerele raționale al căror simetric în raport cu legea de compoziție „\(\circ\)” este număr rațional.

Metoda: Simetricul față de element neutru

1. 1

   Aflăm elementul neutru

   e=\sqrt{2}+1

   Din subiect știm că legea are element neutru, iar baremul îl dă: \(e=\sqrt{2}+1\). Îl putem verifica: \(x\circ e = x\) pentru orice \(x\). Aflarea lui e este necesară, pentru că simetricul lui a este numărul a' pentru care \(a\circ a'=a'\circ a=e\).

2. 2

   Scriem condiția de simetrizabilitate

   aa'-\sqrt{2}(a+a'-1)+2=\sqrt{2}+1

   Elementul a este simetrizabil dacă există a' cu \(a\circ a'=a'\circ a=e=\sqrt{2}+1\). Legea este comutativă (expresia e simetrică în x și y), deci e de ajuns o singură egalitate. Înlocuim în definiție.

3. 3

   Separăm partea rațională de cea irațională

   aa'+1-\sqrt{2}(a+a')=0

   Din egalitatea de la pasul anterior mutăm totul într-o parte: \(aa'-\sqrt{2}a-\sqrt{2}a'+\sqrt{2}+2=\sqrt{2}+1\), deci \(aa'+1-\sqrt{2}(a+a')=0\). Dacă a și a' sunt raționale, \(aa'+1\) și \(a+a'\) sunt raționale. Egalitatea \(aa'+1=\sqrt{2}(a+a')\) cere ca \(a+a'=0\), altfel \(\sqrt{2}\) ar fi egal cu un raport de numere raționale, deci rațional, ceea ce este fals. Atunci și \(aa'+1=0\).

4. 4

   Rezolvăm sistemul și verificăm

   a+a'=0,\ aa'=-1\Rightarrow -a^2=-1\Rightarrow a=\pm 1

   Din \(a'=-a\) și \(aa'=-1\) obținem \(-a^2=-1\), deci \(a^2=1\), adică \(a=-1\) sau \(a=1\). Pentru \(a=1\) simetricul este \(a'=-1\), iar pentru \(a=-1\) este \(a'=1\). Ambele sunt raționale, deci convin. Verificare: \(1\circ(-1)=-1-\sqrt{2}(1-1-1)+2=1+\sqrt{2}\), care este chiar e.

Răspuns: Numerele căutate sunt \(a=-1\) și \(a=1\) (simetricele lor sunt 1, respectiv −1).

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to(0,+\infty),\ f(x)=x\left(1-\frac{1}{x}\ln\left(x^2+1\right)\right) \). a) Arătați că \( f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+1},\ x\in(0,+\infty) \).

Metoda: Derivarea funcțiilor compuse

1. 1

   Simplificăm expresia funcției

   f(x)=x\left(1-\frac{1}{x}\ln(x^2+1)\right)=x-\ln(x^2+1)

   Înmulțim pe \(x\) cu fiecare termen din paranteză. Cum \(x\cdot\frac{1}{x}=1\) pentru \(x>0\), obținem \(f(x)=x-\ln(x^2+1)\). Această formă este mult mai ușor de derivat decât produsul inițial.

2. 2

   Derivăm funcția

   f'(x)=\left(x-\ln(x^2+1)\right)'=1-\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x

   Derivata sumei este suma derivatelor. Pentru \(\ln(x^2+1)\) folosim formula \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\), cu \(u=x^2+1\) și \(u'=2x\). Obținem \(1-\frac{2x}{x^2+1}\).

3. 3

   Aducem la numitor comun

   f'(x)=\frac{x^2+1-2x}{x^2+1}=\frac{x^2-2x+1}{x^2+1}=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}

   Scriem \(1=\frac{x^2+1}{x^2+1}\) și scădem fracțiile. La numărător apare \(x^2-2x+1\), care este pătratul perfect \((x-1)^2\). Astfel am ajuns exact la forma cerută, pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Răspuns: \( f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+1},\ x\in(0,+\infty) \)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)\), \(f(x)=x\left(1-\frac{1}{x}\ln(x^2+1)\right)\). b) Determinați numărul natural nenul \(n\), știind că tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul \(A(n,f(n))\) este paralelă cu dreapta de ecuație \(y=\frac{1}{5}x+1\).

Metoda: Panta tangentei și derivata

1. 1

   Panta dreptei date

   m=\frac{1}{5}

   Dreapta \(y=\frac{1}{5}x+1\) este scrisă sub forma \(y=mx+n\), deci panta ei este coeficientul lui \(x\), adică \(\frac{1}{5}\). Dreptele paralele au pante egale, deci și tangenta trebuie să aibă panta \(\frac{1}{5}\).

2. 2

   Condiția \(f'(n)=\frac{1}{5}\)

   f'(n)=\frac{1}{5}

   Panta tangentei la graficul lui \(f\) în punctul de abscisă \(n\) este \(f'(n)\). Din subpunctul a) avem \(f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\). Paralelismul înseamnă \(f'(n)=\frac{1}{5}\), deci \(\frac{(n-1)^2}{n^2+1}=\frac{1}{5}\).

3. 3

   Rezolvarea ecuației

   5(n-1)^2=n^2+1\iff 2n^2-5n+2=0

   Înmulțim în cruce: \(5(n-1)^2=n^2+1\). Desfacem: \(5n^2-10n+5=n^2+1\), deci \(4n^2-10n+4=0\), adică \(2n^2-5n+2=0\). Discriminantul este \(\Delta=25-16=9\), deci \(n=\frac{5\pm3}{4}\), adică \(n=2\) sau \(n=\frac{1}{2}\).

4. 4

   Alegerea soluției și verificare

   n\in\mathbb{N}^*\Rightarrow n=2

   Cerința spune că \(n\) este număr natural nenul, deci \(n=\frac{1}{2}\) nu convine. Rămâne \(n=2\). Verificăm: \(f'(2)=\frac{(2-1)^2}{2^2+1}=\frac{1}{5}\), exact panta cerută.

Răspuns: n = 2

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)\), \(f(x)=x\left(1-\frac{1}{x}\ln\left(x^2+1\right)\right)\). c) Demonstrați că funcția \(f\) este bijectivă.

Metoda: Monotonie, continuitate și limite

1. 1

   Simplificăm funcția și recapitulăm derivata

   f(x)=x-\ln(x^2+1),\quad f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}

   Distribuim x în paranteză: \(x\cdot\frac{1}{x}\ln(x^2+1)=\ln(x^2+1)\). Derivata a fost calculată la punctul a): \(f'(x)=1-\frac{2x}{x^2+1}=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\). O folosim ca să aflăm semnul derivatei, deci monotonia.

2. 2

   Semnul derivatei și injectivitatea

   f'(x)>0\ \forall x\in(0,1)\cup(1,+\infty)\Rightarrow f\text{ strict crescătoare pe }(0,1)\text{ și pe }(1,+\infty)

   Numărătorul \((x-1)^2\) este pozitiv pentru \(x\ne1\), iar numitorul \(x^2+1\) este mereu pozitiv. Deci f' > 0 pe (0,1) și pe (1,+∞), adică f este strict crescătoare pe fiecare dintre aceste intervale. Cum f este continuă în \(x=1\), cele două bucăți se leagă și f este strict crescătoare pe tot \((0,+\infty)\). O funcție strict crescătoare este injectivă.

3. 3

   Limitele la capetele intervalului

   \lim_{x\to0}f(x)=0-\ln1=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

   Pentru \(x\to0\): \(x\to0\) și \(\ln(x^2+1)\to\ln1=0\), deci limita este 0. Pentru \(x\to+\infty\): \(f(x)=x\left(1-\frac{\ln(x^2+1)}{x}\right)\) și \(\frac{\ln(x^2+1)}{x}\to0\) (logaritmul crește mai încet decât x), deci produsul tinde la \(+\infty\cdot1=+\infty\).

4. 4

   Surjectivitatea și concluzia

   f\text{ continuă, strict crescătoare},\ f((0,+\infty))=(0,+\infty)\Rightarrow f\text{ surjectivă}

   O funcție continuă și strict crescătoare ia toate valorile dintre limitele de la capete, adică toate valorile din \((0,+\infty)\) (proprietatea lui Darboux). Deci imaginea lui f este exact codomeniul \((0,+\infty)\), adică f este surjectivă. Fiind și injectivă, f este bijectivă.

Răspuns: f este strict crescătoare (deci injectivă) și, fiind continuă cu limitele 0 și +∞ la capete, este surjectivă; deci f este bijectivă.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{2\ln x}{x^3}\) și funcția \(F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(F(x)=\frac{\ln x}{x^2}\), o primitivă a lui \(f\). a) Arătați că \(\int_1^e x^2\left(f(x)+\frac{2\ln x}{x^3}\right)dx=1\).

Metoda: Calculul integralei definite

1. 1

   Simplificăm expresia din paranteză

   f(x)+\frac{2\ln x}{x^3}=\frac{1}{x^3}-\frac{2\ln x}{x^3}+\frac{2\ln x}{x^3}=\frac{1}{x^3}

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia sa. Termenii \(-\frac{2\ln x}{x^3}\) și \(+\frac{2\ln x}{x^3}\) se reduc, deci în paranteză rămâne doar \(\frac{1}{x^3}\). Facem asta întâi pentru că o expresie mai simplă se integrează mult mai ușor.

2. 2

   Înmulțim cu \(x^2\) și simplificăm

   x^2\cdot\frac{1}{x^3}=\frac{1}{x}

   Funcția de integrat este \(x^2\) înmulțit cu rezultatul de la pasul anterior. Deoarece \(\frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}\), integrala devine \(\int_1^e \frac{1}{x}\,dx\), una de tip uzual.

3. 3

   Calculăm integrala cu Leibniz-Newton

   \int_1^e \frac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_1^e=\ln e-\ln 1=1-0=1

   O primitivă a lui \(\frac{1}{x}\) pe \((0,+\infty)\) este \(\ln x\). Conform formulei Leibniz-Newton, scădem valoarea primitivei în limita inferioară din valoarea ei în limita superioară. Cum \(\ln e=1\) și \(\ln 1=0\), obținem \(1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_1^e x^2\left(f(x)+\frac{2\ln x}{x^3}\right)dx=\ln e-\ln 1=1\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{2\ln x}{x^3}\) și funcția \(F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(F(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}\), o primitivă a lui \(f\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^{\sqrt5} x\cdot f(x^2+3)\,dx=-\dfrac{5\ln 2}{128}\).

Metoda: Primitivă și schimbare implicită de variabilă

1. 1

   Observăm derivata lui \(x^2+3\)

   (x^2+3)'=2x \Rightarrow x=\tfrac12 (x^2+3)'

   În integrală avem \(x\cdot f(x^2+3)\). Argumentul funcției \(f\) este \(x^2+3\), iar derivata acestuia este \(2x\). De aceea putem scrie \(x=\frac12\,(x^2+3)'\), ceea ce pregătește forma \(u'\cdot f(u)\), a cărei primitivă este \(F(u)\).

2. 2

   Scriem integrala cu primitiva \(F\)

   \int_1^{\sqrt5} x f(x^2+3)\,dx=\frac12\int_1^{\sqrt5}(x^2+3)'\,f(x^2+3)\,dx=\frac12 F(x^2+3)\Big|_1^{\sqrt5}

   Deoarece \(F'=f\), avem \((F(x^2+3))'=F'(x^2+3)\cdot(x^2+3)'=f(x^2+3)\cdot 2x\). Deci \(\frac12 F(x^2+3)\) este o primitivă a lui \(x\,f(x^2+3)\), iar integrala definită se calculează cu formula Leibniz-Newton.

3. 3

   Calculăm valorile la limite

   x^2+3\Big|_{x=\sqrt5}=8,\quad x^2+3\Big|_{x=1}=4

   Pentru limita superioară \(x=\sqrt5\) obținem \(5+3=8\), iar pentru cea inferioară \(x=1\) obținem \(1+3=4\). Deci integrala este \(\frac12\,(F(8)-F(4))\).

4. 4

   Calculăm \(F(8)\) și \(F(4)\)

   F(8)=\frac{\ln 8}{64},\quad F(4)=\frac{\ln 4}{16}

   Din \(F(x)=\frac{\ln x}{x^2}\) obținem \(F(8)=\frac{\ln 8}{8^2}=\frac{\ln 8}{64}\) și \(F(4)=\frac{\ln4}{4^2}=\frac{\ln 4}{16}\).

5. 5

   Reducem la \(\ln 2\) și finalizăm

   \frac12\left(\frac{\ln8}{64}-\frac{\ln4}{16}\right)=\frac12\left(\frac{3\ln2}{64}-\frac{8\ln2}{64}\right)=\frac12\cdot\frac{-5\ln2}{64}=-\frac{5\ln2}{128}

   Folosim \(\ln 8=3\ln2\) și \(\ln4=2\ln2\). Aducem la numitor comun 64: \(\frac{2\ln2}{16}=\frac{8\ln2}{64}\). Diferența este \(\frac{3\ln2-8\ln2}{64}=\frac{-5\ln2}{64}\), iar înmulțită cu \(\frac12\) dă \(-\frac{5\ln2}{128}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_1^{\sqrt5} x\,f(x^2+3)\,dx=\frac12\left(\frac{\ln 8}{64}-\frac{\ln 4}{16}\right)=-\frac{5\ln 2}{128}\)

Subiectul III, 2. c): Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{2\ln x}{x^3}\) și funcția \(F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(F(x)=\frac{\ln x}{x^2}\), o primitivă a lui \(f\). c) Determinați numerele reale \(a\) pentru care \(\int_{e}^{e^2} x\cdot F(x)\,dx=\frac{a^2-1}{2}\).

Metoda: Calcul de integrală prin substituție

1. 1

   Simplificăm funcția de integrat

   x\cdot F(x)=x\cdot\frac{\ln x}{x^2}=\frac{\ln x}{x}

   Înlocuim \(F(x)\) cu \(\frac{\ln x}{x^2}\) și simplificăm prin \(x\). Obținem o formă \(\frac{\ln x}{x}\), în care apare \(\ln x\) și derivata lui, \((\ln x)'=\frac{1}{x}\). Acest lucru ne permite să găsim ușor o primitivă.

2. 2

   Calculăm integrala

   \int_e^{e^2}\frac{\ln x}{x}\,dx=\frac{\ln^2 x}{2}\Big|_e^{e^2}=\frac{\ln^2(e^2)-\ln^2 e}{2}

   Observăm că \(\frac{\ln x}{x}=\ln x\cdot(\ln x)'\). O primitivă este \(\frac{\ln^2 x}{2}\), deoarece derivata ei este \(\frac{2\ln x\cdot\frac1x}{2}=\frac{\ln x}{x}\). Apoi aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea la limita de sus minus valoarea la limita de jos.

3. 3

   Evaluăm limitele

   \frac{\ln^2(e^2)-\ln^2 e}{2}=\frac{2^2-1^2}{2}=\frac{3}{2}

   Avem \(\ln e^2=2\) și \(\ln e=1\). Deci numărătorul este \(4-1=3\), iar integrala este \(\frac32\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația în a

   \frac{a^2-1}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a\in\{-2,\,2\}

   Egalăm rezultatul integralei cu \(\frac{a^2-1}{2}\). Înmulțim cu 2: \(a^2-1=3\), deci \(a^2=4\). Ecuația are două soluții reale: \(a=-2\) și \(a=2\).

Răspuns: a = -2 sau a = 2