Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2022, simulare

Calculați termenul \(b_4\) al progresiei geometrice \((b_n)_{n\geq 1}\), știind că \(b_1=\sqrt{2}\) și \(b_2=4\).

Metoda: Formula termenului general

1. 1

   Aflăm rația progresiei

   q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}

   Rația \(q\) este raportul dintre doi termeni consecutivi: \(b_2=b_1\cdot q\), deci \(q=\frac{b_2}{b_1}\). Raționalizăm: \(\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\).

2. 2

   Calculăm \(b_4\) cu formula termenului general

   b_4=b_1\cdot q^3=\sqrt{2}\cdot(2\sqrt{2})^3=32

   Formula termenului general este \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\), deci pentru \(n=4\) avem \(q^3\). Calculăm \((2\sqrt{2})^3=8\cdot 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}\). Apoi \(\sqrt{2}\cdot 16\sqrt{2}=16\cdot 2=32\).

Răspuns: \(b_4=32\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=mx^2-2x+1\), unde \(m\) este număr real nenul. Determinați numărul real nenul \(m\) pentru care axa \(Ox\) este tangentă graficului funcției \(f\).

Metoda: Condiția \(\Delta=0\) pentru tangență

1. 1

   Traducem tangența în condiție algebrică

   f(x)=0 \text{ are o singură soluție} \Leftrightarrow \Delta=0

   Punctele în care graficul intersectează axa Ox sunt soluțiile ecuației \(f(x)=0\), adică \(mx^2-2x+1=0\). Dacă axa Ox este tangentă graficului, parabola are un singur punct comun cu axa. Ecuația de gradul al II-lea are atunci o singură soluție (soluție dublă), deci discriminantul este zero: \(\Delta=0\).

2. 2

   Calculăm discriminantul

   \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot m\cdot 1=4-4m

   Pentru \(mx^2-2x+1\) avem \(a=m\), \(b=-2\), \(c=1\). Înlocuim în formula \(\Delta=b^2-4ac\) și obținem \(\Delta=4-4m\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația \(\Delta=0\)

   4-4m=0 \Rightarrow m=1

   Punem condiția \(\Delta=0\): \(4-4m=0\), deci \(4m=4\) și \(m=1\). Valoarea este nenulă, deci convine enunțului.

4. 4

   Verificare

   f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2

   Pentru \(m=1\) obținem \(f(x)=(x-1)^2\). Ecuația \(f(x)=0\) are doar soluția \(x=1\), deci graficul atinge axa Ox exact în punctul \((1,0)\). Așadar axa Ox este tangentă graficului.

Răspuns: \(m=1\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(3^{x+2}-3^{x}-6\cdot 3^{x-1}=6\).

Metoda: Factor comun și ecuație exponențială

1. 1

   Scoatem factor comun \(3^{x-1}\)

   3^{x+2}=3^{x-1}\cdot 3^{3},\quad 3^{x}=3^{x-1}\cdot 3,\quad 6\cdot 3^{x-1}

   Folosim regula \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\). Exponentul cel mai mic este \(x-1\). Avem \(x+2=(x-1)+3\) și \(x=(x-1)+1\). Deci \(3^{x+2}=3^{x-1}\cdot 3^3\) și \(3^x=3^{x-1}\cdot 3\). Ecuația devine \(3^{x-1}\left(3^3-3-6\right)=6\).

2. 2

   Calculăm paranteza

   3^{x-1}\cdot 18=6

   În paranteză avem \(27-3-6=18\). Ecuația devine \(3^{x-1}\cdot 18=6\).

3. 3

   Izolăm puterea \(3^{x-1}\)

   3^{x-1}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}

   Împărțim ambii membri la 18. Obținem \(3^{x-1}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\).

4. 4

   Egalăm exponenții și aflăm x

   3^{x-1}=3^{-1}\Rightarrow x-1=-1\Rightarrow x=0

   Scriem \(\frac13=3^{-1}\). Funcția exponențială cu baza 3 este injectivă, deci exponenții sunt egali: \(x-1=-1\), de unde \(x=0\). Verificare: \(3^2-3^0-6\cdot 3^{-1}=9-1-2=6\).

Răspuns: \(x=0\)

Se consideră mulțimea \(A\), a numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea \(A\), numărul \(2n-60\) să aparțină mulțimii \(A\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile / posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   A=\{10,11,\dots,99\},\quad |A|=99-10+1=90

   Mulțimea A conține toate numerele naturale de la 10 la 99. Alegem un număr n din A, deci avem tot atâtea cazuri posibile câte elemente are A. Numărul elementelor unui șir de numere consecutive de la 10 la 99 este 99−10+1.

2. 2

   Punem condiția ca 2n−60 să fie în A

   10\le 2n-60\le 99

   Numărul 2n−60 aparține lui A dacă este număr natural de două cifre, adică se află între 10 și 99. Scriem această condiție ca o dublă inegalitate.

3. 3

   Rezolvăm inegalitatea și numărăm cazurile favorabile

   70\le 2n\le 159 \Rightarrow 35\le n\le 79{,}5 \Rightarrow n\in\{35,36,\dots,79\}

   Adunăm 60 în toate părțile: 70 ≤ 2n ≤ 159. Împărțim la 2: 35 ≤ n ≤ 79,5. Cum n este natural, n merge de la 35 la 79. Toate aceste valori sunt în A (sunt între 10 și 99). Numărul lor este 79−35+1=45, ca în barem.

4. 4

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}

   Împărțim numărul cazurilor favorabile la numărul cazurilor posibile și simplificăm fracția prin 45.

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{2}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(-1,4)\), \(B(5,2)\) și \(C\), mijlocul segmentului \(AB\). Determinați ecuația dreptei \(d\) care trece prin punctul \(C\) și este perpendiculară pe dreapta \(AB\).

Metoda: Pantă și ecuația dreptei

1. 1

   Panta dreptei AB

   m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-4}{5-(-1)}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}

   Panta unei drepte care trece prin două puncte este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor. Avem nevoie de ea pentru a afla panta dreptei perpendiculare. Calculăm \(m_{AB}=\frac{2-4}{5-(-1)}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}\).

2. 2

   Panta dreptei perpendiculare d

   d\perp AB\Rightarrow m_d\cdot m_{AB}=-1\Rightarrow m_d=3

   Două drepte (neverticale) sunt perpendiculare când produsul pantelor este \(-1\). Deci \(m_d\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-1\), de unde \(m_d=3\).

3. 3

   Coordonatele mijlocului C

   C\left(\frac{-1+5}{2},\frac{4+2}{2}\right)=C(2,3)

   Mijlocul unui segment are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Obținem \(x_C=\frac{-1+5}{2}=2\) și \(y_C=\frac{4+2}{2}=3\).

4. 4

   Ecuația dreptei d

   y-3=3(x-2)\Rightarrow y=3x-3

   Dreapta care trece prin \(C(2,3)\) și are panta \(3\) are ecuația \(y-y_C=m_d(x-x_C)\), adică \(y-3=3(x-2)\). Desfacem parantezele: \(y=3x-6+3=3x-3\).

Răspuns: \(d: y=3x-3\)

Se consideră triunghiul isoscel \(ABC\), cu măsura unghiului \(A\) egală cu \(120^\circ\) și \(AB = 6\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(9\sqrt{3}\).

Metoda: Formula ariei cu sinus

1. 1

   Aflăm a doua latură

   AC = AB = 6

   Într-un triunghi isoscel cu vârful în \(A\), laturile care pornesc din \(A\) sunt egale. Unghiul de \(120^\circ\) este în \(A\), deci vârful triunghiului isoscel este \(A\) și \(AB = AC\). Așadar \(AC = 6\).

2. 2

   Scriem formula ariei

   \mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{AB \cdot AC \cdot \sin A}{2}

   Aria unui triunghi este jumătate din produsul a două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele. Cunoaștem laturile \(AB\) și \(AC\) și unghiul dintre ele, \(A = 120^\circ\), deci formula se potrivește perfect.

3. 3

   Înlocuim și calculăm

   \mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{6 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}

   Punem \(AB = AC = 6\) și \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Numărătorul este \(6\cdot 6\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 18\sqrt{3}\), apoi împărțim la 2 și obținem \(9\sqrt{3}\), adică exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria triunghiului \(ABC\) este \(9\sqrt{3}\).

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) și \(B(x)=xI_2+iA\), unde \(x\) este număr real și \(i^2=-1\). a) Arătați că \(\det A=1\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem determinantul matricei A

   \det A=\begin{vmatrix}0&1\\-1&0\end{vmatrix}

   Pentru a calcula determinantul, scriem matricea A între bare verticale. Elementele sunt: pe prima linie 0 și 1, pe a doua linie -1 și 0. Diagonala principală conține 0 și 0, iar cea secundară conține 1 și -1.

2. 2

   Aplicăm formula și calculăm

   \det A=0\cdot0-1\cdot(-1)=0+1=1

   Scădem produsul de pe diagonala secundară din cel de pe diagonala principală: \(0\cdot0-1\cdot(-1)\). Produsul \(1\cdot(-1)\) este \(-1\), iar scăderea lui \(-1\) înseamnă adunarea lui 1. Obținem \(0+1=1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det A=0\cdot0-1\cdot(-1)=0+1=1\), deci \(\det A=1\).

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) și \(B(x)=xI_2+iA\), unde \(x\) este număr real și \(i^2=-1\). b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(B(3)\cdot B(5)=8B(x)\).

Metoda: Calcul matriceal cu \(A^2=-I_2\)

1. 1

   Calculăm \(A^2\)

   A^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I_2

   Avem nevoie de \(A^2\) pentru că, la înmulțirea \(B(3)\cdot B(5)\), apare produsul \((iA)(iA)=i^2A^2\). Înmulțim linie cu coloană și obținem \(A^2=-I_2\). Deci \(i^2A^2=(-1)(-I_2)=I_2\).

2. 2

   Calculăm produsul \(B(3)\cdot B(5)\)

   B(3)B(5)=(3I_2+iA)(5I_2+iA)=15I_2+3iA+5iA+i^2A^2=15I_2+8iA+I_2=16I_2+8iA

   Desfacem parantezele ca la înmulțirea a două binoame. Matricea \(I_2\) se comportă ca numărul 1, deci \(3I_2\cdot5I_2=15I_2\). Termenii \(3iA\) și \(5iA\) se adună în \(8iA\). Ultimul termen este \(i^2A^2=I_2\), iar \(15I_2+I_2=16I_2\).

3. 3

   Scriem rezultatul ca \(8B(x)\) și aflăm \(x\)

   16I_2+8iA=8(2I_2+iA)=8B(2)\ \Rightarrow\ x=2

   Dăm factor comun 8: \(16I_2+8iA=8(2I_2+iA)\). Expresia din paranteză are forma \(xI_2+iA\) cu \(x=2\), deci este \(B(2)\). Cum \(B(3)B(5)=8B(2)\), iar \(x\) trebuie să verifice \(B(3)B(5)=8B(x)\), obținem \(x=2\).

Răspuns: x = 2

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\) și \(B(x)=xI_2+iA\), unde \(x\) este număr real și \(i^2=-1\). c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere întregi pentru care matricea \(B(m)+iB(n)\) nu este inversabilă.

Metoda: Determinantul matricei de ordin 2

1. 1

   Calculăm matricea \(B(m)+iB(n)\)

   B(m)+iB(n)=\begin{pmatrix}m+in & i-1\\ -i+1 & m+in\end{pmatrix}

   Avem \(B(m)=mI_2+iA\) și \(B(n)=nI_2+iA\). Atunci \(B(m)+iB(n)=mI_2+iA+inI_2+i^2A=(m+in)I_2+(i-1)A\). Cum \(I_2\) are 1 pe diagonală și \(A\) are elementele \(1\) și \(-1\) pe diagonala secundară, pe diagonala principală obținem \(m+in\), iar pe cea secundară \((i-1)\cdot 1=i-1\) și \((i-1)\cdot(-1)=-i+1\).

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det\big(B(m)+iB(n)\big)=(m+in)^2-(i-1)(-i+1)=(m+in)^2-2i

   Determinantul unei matrici de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară. Aici \((i-1)(-i+1)=-(i-1)^2=-(i^2-2i+1)=-(-2i)=2i\). Deci determinantul este \((m+in)^2-2i\).

3. 3

   Punem condiția de neinversabilitate

   (m+in)^2-2i=0 \iff m^2-n^2+2(mn-1)i=0

   Matricea nu este inversabilă când determinantul este 0. Dezvoltăm \((m+in)^2=m^2+2mni+i^2n^2=m^2-n^2+2mni\). Deci determinantul este \(m^2-n^2+2mni-2i=m^2-n^2+2(mn-1)i\). Un număr complex \(a+bi\) cu \(a,b\) reale este 0 doar dacă \(a=0\) și \(b=0\). Cum \(m,n\) sunt întregi, obținem sistemul \(m^2-n^2=0\) și \(mn=1\).

4. 4

   Rezolvăm sistemul în numere întregi

   mn=1,\ m^2=n^2 \Rightarrow (m,n)\in\{(-1,-1),(1,1)\}

   Din \(mn=1\) cu \(m,n\) întregi rezultă că \(m\) și \(n\) sunt divizori ai lui 1, deci \(\pm1\), cu același semn (produsul e pozitiv). Perechile posibile sunt \((1,1)\) și \((-1,-1)\). Ambele verifică și \(m^2-n^2=0\), căci \(1-1=0\). Perechile \((1,-1)\) și \((-1,1)\) nu merg, pentru că dau \(mn=-1\).

Răspuns: Perechile căutate sunt \((-1,-1)\) și \((1,1)\).

Pe mulțimea \(M=[1,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=xy-\sqrt{(x-1)(y-1)}\). a) Arătați că \(2*5=8\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x = 2 și y = 5 în definiția legii

   2*5=2\cdot 5-\sqrt{(2-1)(5-1)}

   Legea este o regulă: pentru orice două numere x și y din M, rezultatul este \(xy-\sqrt{(x-1)(y-1)}\). Ca să calculăm \(2*5\), punem 2 în locul lui x și 5 în locul lui y. Ambele numere sunt în \([1,+\infty)\), deci radicalul are sens.

2. 2

   Calculăm rezultatul

   2*5=10-\sqrt{4}=10-2=8

   Sub radical avem 4, iar \(\sqrt{4}=2\). Rămâne \(10-2=8\), exact valoarea cerută în enunț.

Răspuns: \(2*5=10-\sqrt{4}=8\), deci egalitatea este adevărată.

Pe mulțimea \(M=[1,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=xy-\sqrt{(x-1)(y-1)}\). b) Arătați că \(e=1\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(*\)”.

Metoda: Verificarea elementului neutru

1. 1

   Calculăm \(x*1\)

   x*1=x\cdot 1-\sqrt{(x-1)(1-1)}=x

   Înlocuim \(y=1\) în definiția legii. Cum \(1-1=0\), produsul de sub radical devine 0, iar \(\sqrt{0}=0\). Rămâne doar \(x\cdot 1=x\). Acest lucru este valabil pentru orice \(x\in M\), deoarece \(x\ge 1\) face ca \(x-1\ge 0\) și expresia are sens.

2. 2

   Calculăm \(1*x\)

   1*x=1\cdot x-\sqrt{(1-1)(x-1)}=x

   Legea nu este spusă a fi comutativă, deci verificăm și în cealaltă ordine. Acum \(x=y\) din definiție devine 1 pe prima poziție: factorul \(1-1=0\) face radicalul 0 și rămâne \(x\).

3. 3

   Concluzia

   x*1=1*x=x,\ \forall x\in M

   Am obținut \(x*1=x\) și \(1*x=x\) pentru orice \(x\in M\). Aceasta este exact definiția elementului neutru. În plus, \(1\in M=[1,+\infty)\), deci \(e=1\) aparține mulțimii pe care e definită legea.

Răspuns: Am arătat că \(x*1=1*x=x\) pentru orice \(x\in M\), deci \(e=1\) este elementul neutru al legii „\(*\)”.

Subiectul II, itemul 2. c): Pe mulțimea \(M=[1,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y = xy-\sqrt{(x-1)(y-1)}\). Demonstrați că \((nx)*y \ge x(n*y)\), pentru orice \(x,y\in M\) și orice număr natural \(n\), \(n\ge 2\).

Metoda: Diferența celor doi membri

1. 1

   Scriem cei doi membri cu definiția legii

   (nx)*y = nxy-\sqrt{(nx-1)(y-1)},\quad x(n*y)=x\left(ny-\sqrt{(n-1)(y-1)}\right)

   Aplicăm definiția legii: \(a*b=ab-\sqrt{(a-1)(b-1)}\). Pentru primul membru luăm \(a=nx\), \(b=y\). Pentru al doilea, mai întâi calculăm \(n*y\), apoi înmulțim cu \(x\). Observăm că \(nx\ge 1\), deci \(nx\in M\) și expresiile au sens.

2. 2

   Calculăm diferența

   (nx)*y-x(n*y)=x\sqrt{(n-1)(y-1)}-\sqrt{(nx-1)(y-1)}=\sqrt{y-1}\left(x\sqrt{n-1}-\sqrt{nx-1}\right)

   Termenii \(nxy\) se reduc. Rămâne \(x\sqrt{(n-1)(y-1)}-\sqrt{(nx-1)(y-1)}\). Scoatem factor comun \(\sqrt{y-1}\), care este bine definit deoarece \(y\ge 1\). Am adus problema la semnul unei diferențe de două radicali.

3. 3

   Raționalizăm diferența de radicali

   x\sqrt{n-1}-\sqrt{nx-1}=\frac{x^2(n-1)-(nx-1)}{x\sqrt{n-1}+\sqrt{nx-1}}

   Baremul folosește conjugata: \(A-B=\frac{A^2-B^2}{A+B}\) cu \(A=x\sqrt{n-1}\), \(B=\sqrt{nx-1}\). Baremul scrie numărătorul ca \((x-1)(nx-x-1)\) (de fapt \(x^2(n-1)-nx+1=(x-1)(nx-x-1)\), verifică prin desfacerea parantezelor). Numitorul este pozitiv.

4. 4

   Stabilim semnul și concluzionăm

   nx-x-1=x(n-1)-1\ge 0 \Rightarrow (nx)*y\ge x(n*y)

   Avem \(x\ge1\) și \(n\ge2\), deci \(n-1\ge1\) și \(x(n-1)\ge1\), adică \(nx-x-1\ge0\). De asemenea \(x-1\ge0\) și \(\sqrt{y-1}\ge0\). Fracția are numărător \(\ge0\) și numitor \(>0\), iar înmulțită cu \(\sqrt{y-1}\ge0\) dă diferența \(\ge0\). Deci inegalitatea este demonstrată.

Răspuns: Diferența \((nx)*y-x(n*y)\) este un produs de factori pozitivi sau nuli, deci \((nx)*y\ge x(n*y)\) pentru orice \(x,y\in M\) și \(n\ge2\).

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{4\sqrt{x}}{x^2+3} \). a) Arătați că \( f'(x)=\dfrac{6(1-x^2)}{\sqrt{x}\,(x^2+3)^2} \), \( x\in(0,+\infty) \).

Metoda: Derivata unui cât de funcții

1. 1

   Alegem formula de derivare

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția are forma \( \dfrac{u}{v} \), cu \( u(x)=4\sqrt{x} \) și \( v(x)=x^2+3 \). Pentru un cât se folosește formula \( \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} \). Derivatele necesare sunt \( u'(x)=\dfrac{4}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2}{\sqrt{x}} \) și \( v'(x)=2x \).

2. 2

   Înlocuim în formulă

   f'(x)=\frac{\frac{2}{\sqrt{x}}\,(x^2+3)-4\sqrt{x}\cdot 2x}{(x^2+3)^2}

   Punem \( u', v, u, v' \) în formula câtului. Numitorul este \( (x^2+3)^2 \), iar la numărător apare \( \dfrac{2}{\sqrt{x}}(x^2+3)-4\sqrt{x}\cdot 2x \).

3. 3

   Aducem numărătorul la o singură fracție

   f'(x)=\frac{2x^2+6-8x^2}{\sqrt{x}\,(x^2+3)^2}

   Amplificăm cu \( \sqrt{x} \) ca să scăpăm de fracția din numărător. Observăm că \( 4\sqrt{x}\cdot 2x=8x\sqrt{x} \), iar \( 8x\sqrt{x}=\dfrac{8x^2}{\sqrt{x}} \), deoarece \( x=\dfrac{x^2}{x}\) și \( \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x \). Atunci numărătorul devine \( \dfrac{2(x^2+3)-8x^2}{\sqrt{x}} \), iar \( \sqrt{x} \) trece la numitor.

4. 4

   Dăm factor comun și încheiem

   f'(x)=\frac{6-6x^2}{\sqrt{x}\,(x^2+3)^2}=\frac{6(1-x^2)}{\sqrt{x}\,(x^2+3)^2}

   Reducem \( 2x^2-8x^2=-6x^2 \), deci numărătorul este \( 6-6x^2 \). Dăm factor comun 6 și obținem \( 6(1-x^2) \). Astfel am obținut exact expresia din enunț, pentru orice \( x\in(0,+\infty) \).

Răspuns: \( f'(x)=\dfrac{6(1-x^2)}{\sqrt{x}\,(x^2+3)^2} \), pentru orice \( x\in(0,+\infty) \).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4\sqrt{x}}{x^2+3}\). b) Determinați \(a\in(0,+\infty)\), știind că tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul \(A(a,f(a))\) este paralelă cu axa \(Ox\).

Metoda: Panta tangentei și derivata

1. 1

   Traducem condiția în limbaj de derivată

   m_{t}=f'(a)=0

   Panta tangentei la graficul lui \(f\) în punctul de abscisă \(a\) este \(f'(a)\). O dreaptă paralelă cu axa \(Ox\) are panta \(0\). Deci tangenta este paralelă cu \(Ox\) exact când \(f'(a)=0\).

2. 2

   Scriem ecuația \(f'(a)=0\)

   f'(a)=\frac{6\,(1-a^2)}{\sqrt{a}\,(a^2+3)^2}=0

   Din subpunctul a) avem \(f'(x)=\dfrac{6(1-x^2)}{\sqrt{x}(x^2+3)^2}\). Înlocuim \(x\) cu \(a\). O fracție este zero când numărătorul este zero, iar numitorul este nenul. Pentru \(a>0\) numitorul este strict pozitiv, deci rămâne \(6(1-a^2)=0\), adică \(1-a^2=0\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația și alegem soluția bună

   1-a^2=0\Rightarrow a^2=1\Rightarrow a=\pm 1,\quad a>0\Rightarrow a=1

   Din \(a^2=1\) obținem \(a=1\) sau \(a=-1\). Dar enunțul cere \(a\in(0,+\infty)\), deci \(a=-1\) nu convine. Rămâne \(a=1\). Este același rezultat ca în barem.

Răspuns: \(a=1\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4\sqrt{x}}{x^2+3}\). c) Demonstrați că \(\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+3}>\dfrac{\sqrt{x+\frac{1}{x}}}{x^2+\frac{1}{x^2}+5}\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\).

Metoda: Monotonia funcției cu derivata

1. 1

   Recunoaștem funcția f în inegalitate

   \frac{\sqrt{x}}{x^2+3}=\frac{1}{4}f(x),\quad \frac{\sqrt{x+\frac1x}}{x^2+\frac1{x^2}+5}=\frac{1}{4}f\left(x+\frac1x\right)

   Avem \(f(x)=\frac{4\sqrt{x}}{x^2+3}\), deci \(\frac{\sqrt{x}}{x^2+3}=\frac{f(x)}{4}\). Pentru \(t=x+\frac1x\) avem \(t^2+3=x^2+2+\frac1{x^2}+3=x^2+\frac1{x^2}+5\). Deci \(f(t)=\frac{4\sqrt{t}}{t^2+3}=\frac{4\sqrt{x+\frac1x}}{x^2+\frac1{x^2}+5}\). Inegalitatea cerută devine \(f(x)>f\left(x+\frac1x\right)\).

2. 2

   Stabilim monotonia lui f pe (1, +∞)

   f'(x)=\frac{6(1-x^2)}{\sqrt{x}(x^2+3)^2}<0,\ \forall x>1

   Din punctul a) știm că \(f'(x)=\frac{6(1-x^2)}{\sqrt{x}(x^2+3)^2}\). Pentru \(x>1\) avem \(x^2>1\), deci \(1-x^2<0\), iar numitorul este pozitiv. Așadar \(f'(x)<0\) pe \((1,+\infty)\), deci f este strict descrescătoare pe \((1,+\infty)\).

3. 3

   Comparăm x cu x + 1/x și concluzionăm

   1<x<x+\frac1x\ \Rightarrow\ f(x)>f\left(x+\frac1x\right)

   Pentru \(x>1\) avem \(\frac1x>0\), deci \(x<x+\frac1x\). Ambele numere sunt în \((1,+\infty)\), unde f este strict descrescătoare, deci cel mai mic număr are valoarea mai mare: \(f(x)>f\left(x+\frac1x\right)\). Împărțind la 4 și folosind pasul 1, obținem \(\frac{\sqrt{x}}{x^2+3}>\frac{\sqrt{x+\frac1x}}{x^2+\frac1{x^2}+5}\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\).

Răspuns: Inegalitatea este adevărată pentru orice \(x\in(1,+\infty)\), deoarece este echivalentă cu \(f(x)>f\left(x+\frac1x\right)\), iar f este strict descrescătoare pe \((1,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x+2x}{e^x}\). a) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 e^x f(x)\,dx = e\).

Metoda: Integrare directă a unei sume

1. 1

   Simplificăm produsul \(e^x f(x)\)

   e^x f(x)=e^x\cdot\frac{e^x+2x}{e^x}=e^x+2x

   Înmulțim funcția cu \(e^x\). Numitorul \(e^x\) se simplifică cu factorul \(e^x\), deci rămâne doar numărătorul \(e^x+2x\). Facem asta ca să scăpăm de fracție și să integrăm o expresie simplă.

2. 2

   Scriem integrala și găsim o primitivă

   \int_0^1 (e^x+2x)\,dx=\left(e^x+x^2\right)\Big|_0^1

   Integrala unei sume este suma integralelor. Primitiva lui \(e^x\) este \(e^x\), iar primitiva lui \(2x\) este \(x^2\). Așadar o primitivă a lui \(e^x+2x\) este \(e^x+x^2\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \left(e^1+1^2\right)-\left(e^0+0^2\right)=e+1-1=e

   Calculăm primitiva în limita de sus (1) și scădem valoarea ei în limita de jos (0). Avem \(e^0=1\), deci rămâne \(e+1-1=e\), exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^1 e^x f(x)\,dx=e\)

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{e^x+2x}{e^x} \). b) Arătați că \( \int_{-1}^{0} f(x)\,dx=-1 \).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm funcția

   f(x)=\frac{e^x+2x}{e^x}=1+2xe^{-x}

   Împărțim fiecare termen de la numărător la \(e^x\). Avem \(\frac{e^x}{e^x}=1\) și \(\frac{2x}{e^x}=2xe^{-x}\). Astfel integrala devine suma a două integrale mai simple.

2. 2

   Aflăm o primitivă prin părți

   \int 2xe^{-x}dx=-2xe^{-x}+\int 2e^{-x}dx=-2xe^{-x}-2e^{-x}=-2(x+1)e^{-x}

   Alegem \(u=2x\) și \(v'=e^{-x}\), deci \(u'=2\) și \(v=-e^{-x}\). Formula \(\int uv'=uv-\int u'v\) dă rezultatul. Deci o primitivă a lui \(f\) este \(x-2(x+1)e^{-x}\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_{-1}^{0}f(x)dx=\left(x-2(x+1)e^{-x}\right)\Big|_{-1}^{0}

   Calculăm primitiva în capătul de sus (0) și în cel de jos (−1), apoi scădem. La 0: \(0-2\cdot1\cdot1=-2\). La −1: \(-1-2\cdot0\cdot e=-1\). Diferența este \(-2-(-1)=-1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_{-1}^{0}f(x)\,dx=-2-(-1)=-1\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x+2x}{e^x}\). c) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(\int_0^1 F(x)f''(x)\,dx=\dfrac{a(e+1)}{e^2}\), unde \(F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) este primitiva funcției \(f\) cu proprietatea \(F(0)=0\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm f și calculăm f'

   f(x)=1+2xe^{-x},\quad f'(x)=2e^{-x}-2xe^{-x}=2(1-x)e^{-x}

   Împărțim fiecare termen la \(e^x\): \(f(x)=1+2xe^{-x}\). Derivăm cu regula produsului pentru \(2xe^{-x}\): \((2x)'e^{-x}+2x(e^{-x})'=2e^{-x}-2xe^{-x}\). Observăm că \(f'(1)=0\), lucru util mai târziu.

2. 2

   Integrăm prin părți

   \int_0^1 F(x)f''(x)\,dx=F(x)f'(x)\Big|_0^1-\int_0^1 F'(x)f'(x)\,dx

   Formula este \(\int u v'=uv-\int u'v\), cu \(u=F\) și \(v=f'\), deci \(v'=f''\). Cum \(F'=f\), integrala rămasă este \(\int_0^1 f(x)f'(x)\,dx\).

3. 3

   Calculăm integrala rămasă

   \int_0^1 f(x)f'(x)\,dx=\frac{f^2(x)}{2}\Big|_0^1=\frac{f^2(1)-f^2(0)}{2}

   Deoarece \((f^2)'=2ff'\), o primitivă a lui \(ff'\) este \(\frac{f^2}{2}\). Deci \(\int_0^1 F f''=F(1)f'(1)-F(0)f'(0)-\frac{f^2(1)-f^2(0)}{2}\).

4. 4

   Înlocuim valorile

   f'(1)=0,\ F(0)=0\Rightarrow \int_0^1 F f''=-\frac{f^2(1)-f^2(0)}{2}

   Primii doi termeni dispar: \(F(1)f'(1)=0\) deoarece \(f'(1)=0\), iar \(F(0)f'(0)=0\) deoarece \(F(0)=0\). Calculăm \(f(0)=1\) și \(f(1)=1+2e^{-1}=\frac{e+2}{e}\). Atunci \(f^2(1)-f^2(0)=\frac{(e+2)^2-e^2}{e^2}=\frac{4e+4}{e^2}=\frac{4(e+1)}{e^2}\). Rezultă integrala \(=-\frac{1}{2}\cdot\frac{4(e+1)}{e^2}=\frac{-2(e+1)}{e^2}\).

5. 5

   Determinăm a

   \frac{-2(e+1)}{e^2}=\frac{a(e+1)}{e^2}\Rightarrow a=-2

   Egalăm rezultatul cu forma dată în enunț și simplificăm cu \(\frac{e+1}{e^2}\neq0\). Obținem \(a=-2\), ca în barem.

Răspuns: a = -2