Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2022, sesiunea specială (varianta 03)

Arătați că \( \sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2+\sqrt{2}\right)=2 \).

Metoda: Calcul cu radicali și diferența de pătrate

1. 1

   Înmulțim primii doi factori

   \sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)=2-\sqrt{2}

   Distribuim factorul \(\sqrt{2}\) în paranteză: \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\) și \(\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}\). Facem asta pentru ca primul produs să devină \(2-\sqrt{2}\), care seamănă cu al treilea factor, \(2+\sqrt{2}\).

2. 2

   Aplicăm diferența de pătrate

   \left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)=2^2-\left(\sqrt{2}\right)^2=4-2

   Expresia are forma \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), cu \(a=2\) și \(b=\sqrt{2}\). Astfel radicalii dispar și rămân doar numere întregi.

3. 3

   Concluzia

   4-2=2

   Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \( \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})=(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=4-2=2 \), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x^2-4x\). Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției \(f\) cu axa \(Ox\).

Metoda: Rezolvarea ecuației f(x)=0

1. 1

   Punem condiția de intersecție cu axa Ox

   f(x)=0 \Leftrightarrow 2x^2-4x=0

   Un punct al graficului are forma \((x, f(x))\). El se află pe axa Ox atunci când ordonata este 0, adică \(f(x)=0\). De aceea egalăm funcția cu zero și obținem ecuația \(2x^2-4x=0\).

2. 2

   Rezolvăm ecuația prin factor comun

   2x^2-4x=0 \Leftrightarrow 2x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ sau } x=2

   Ecuația nu are termen liber, deci putem da factor comun pe \(2x\): \(2x(x-2)=0\). Un produs este zero când cel puțin un factor este zero: \(2x=0\), deci \(x=0\), sau \(x-2=0\), deci \(x=2\).

3. 3

   Verificare și concluzie

   f(0)=0,\quad f(2)=0

   Înlocuim soluțiile în funcție: \(f(0)=0\) și \(f(2)=8-8=0\). Ambele valori sunt 0, deci graficul trece prin punctele \(O(0,0)\) și \((2,0)\). Abscisele cerute sunt 0 și 2.

Răspuns: Abscisele punctelor de intersecție cu axa Ox sunt \(x=0\) și \(x=2\).

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(2^{x-3}=\dfrac{1}{2^{2x}}\).

Metoda: Ecuație exponențială, aceeași bază

1. 1

   Scriem ambele părți cu baza 2

   \frac{1}{2^{2x}}=2^{-2x}\quad\Rightarrow\quad 2^{x-3}=2^{-2x}

   Folosim formula \(\frac{1}{a^n}=a^{-n}\). Astfel partea dreaptă devine o putere a lui 2, la fel ca partea stângă. Această scriere ne permite să comparăm direct exponenții.

2. 2

   Egalăm exponenții

   2^{x-3}=2^{-2x}\ \Leftrightarrow\ x-3=-2x

   Funcția \(a^x\) cu \(a=2>1\) este injectivă (crescătoare), deci două puteri ale lui 2 sunt egale doar dacă exponenții sunt egali.

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul I

   x-3=-2x\ \Leftrightarrow\ 3x=3\ \Leftrightarrow\ x=1

   Adunăm \(2x\) în ambele părți și apoi adunăm 3. Obținem \(3x=3\), deci \(x=1\).

4. 4

   Verificare

   2^{1-3}=2^{-2}=\frac14,\quad \frac{1}{2^{2}}=\frac14

   Înlocuim \(x=1\) în ecuația inițială. Ambele părți dau \(\frac14\), deci soluția este corectă.

Răspuns: \(x=1\)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 11.

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile / posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt toate numerele de la 10 la 99. Ca să le numărăm, scădem primul număr din ultimul și adăugăm 1, pentru că le includem pe ambele capete. Obținem \(99-10+1=90\) cazuri posibile.

2. 2

   Numărăm cazurile favorabile

   11\cdot 1=11,\ 11\cdot 2=22,\ \dots,\ 11\cdot 9=99

   Multiplii lui 11 de două cifre sunt 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Următorul multiplu, \(11\cdot 10=110\), are trei cifre, deci nu mai convine. Rămân 9 cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}

   Aplicăm formula \(p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}\). Avem \(p=\frac{9}{90}\). Simplificăm fracția prin 9 și obținem \(\frac{1}{10}\).

Răspuns: \(p=\frac{1}{10}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(-1,0)\), \(B(0,3)\) și \(C(4,0)\). Arătați că triunghiul \(ABC\) este isoscel.

Metoda: Formula distanței dintre două puncte

1. 1

   Calculăm lungimea laturii AC

   AC=\sqrt{(4-(-1))^2+(0-0)^2}=\sqrt{25}=5

   Folosim formula distanței dintre punctele \(M(x_1,y_1)\) și \(N(x_2,y_2)\): \(MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\). Punctele \(A\) și \(C\) sunt pe axa \(Ox\), deci diferența ordonatelor este 0. Avem \(AC=\sqrt{5^2+0^2}=5\).

2. 2

   Calculăm lungimea laturii BC

   BC=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

   Aplicăm aceeași formulă pentru \(B(0,3)\) și \(C(4,0)\). Diferența absciselor este \(4-0=4\), iar a ordonatelor este \(0-3=-3\), care la pătrat dă 9. Obținem \(BC=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\).

3. 3

   Concluzia: triunghiul este isoscel

   AC=BC=5

   Am obținut \(AC=5\) și \(BC=5\), deci două laturi ale triunghiului sunt egale. Prin definiție, triunghiul \(ABC\) este isoscel, cu baza \(AB\).

Răspuns: Deoarece \(AC=BC=5\), triunghiul \(ABC\) este isoscel.

Se consideră \(E(x)=\operatorname{tg}x+\sin\frac{3x}{2}-2\cos\frac{x}{2}\), unde \(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\). Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{3}\right)=1\).

Metoda: Înlocuire și valori trigonometrice

1. 1

   Înlocuim x = π/3 în expresie

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}+\sin\frac{3\cdot\frac{\pi}{3}}{2}-2\cos\frac{\frac{\pi}{3}}{2}

   Peste tot unde apare x scriem \(\frac{\pi}{3}\). Valoarea \(\frac{\pi}{3}\) aparține intervalului \(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), deci putem calcula expresia.

2. 2

   Simplificăm unghiurile

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{2}-2\cos\frac{\pi}{6}

   Unghiul de la sinus: \(\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\). Unghiul de la cosinus: \(\frac{\pi}{3}:2=\frac{\pi}{6}\). Astfel obținem unghiuri pentru care știm valorile.

3. 3

   Folosim valorile din tabel și calculăm

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}+1-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1

   Din tabelul valorilor: \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\), \(\sin\frac{\pi}{2}=1\), \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Produsul \(2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\), iar \(\sqrt{3}\) se reduce cu \(-\sqrt{3}\), rămâne 1, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}+1-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=1\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricele \( M(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix} \), unde \( x \) este număr real. a) Arătați că \( \det(M(1))=4 \).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Calculăm matricea M(1)

   M(1)=\begin{pmatrix} 1+1 & -1 \\ -2\cdot 1 & 2\cdot 1+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}

   Cerința cere determinantul lui \( M(1) \), deci înlocuim peste tot \( x=1 \) în matricea \( M(x) \). Obținem: \( x+1=2 \), \( -x=-1 \), \( -2x=-2 \), \( 2x+1=3 \).

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(M(1))=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}=2\cdot 3-(-1)\cdot(-2)

   Pentru o matrice \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) determinantul este \( ad-bc \). Aici \( a=2 \), \( b=-1 \), \( c=-2 \), \( d=3 \). Ținem cont de semne: produsul \( (-1)\cdot(-2) \) este pozitiv, dar el se scade.

3. 3

   Finalizăm calculul

   \det(M(1))=6-2=4

   Scădem cele două produse obținute: \( 6-2=4 \). Am arătat astfel că \( \det(M(1))=4 \), exact ce cerea enunțul.

Răspuns: \( \det(M(1))=6-2=4 \)

Se consideră matricele \( M(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix} \), unde \( x \) este număr real. b) Arătați că \( M(x)\cdot M(1)=M(4x+1) \), pentru orice număr real \( x \).

Metoda: Înmulțirea matricelor

1. 1

   Scriem matricea M(1)

   M(1)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}

   Înlocuim \( x=1 \) în \( M(x) \): \( x+1=2 \), \( -x=-1 \), \( -2x=-2 \), \( 2x+1=3 \). Avem nevoie de \( M(1) \) ca să putem face produsul.

2. 2

   Calculăm produsul M(x)·M(1)

   M(x)\cdot M(1)=\begin{pmatrix} 4x+2 & -4x-1 \\ -8x-2 & 8x+3 \end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Elementul (1,1): \( (x+1)\cdot 2+(-x)(-2)=2x+2+2x=4x+2 \). Elementul (1,2): \( (x+1)(-1)+(-x)\cdot 3=-x-1-3x=-4x-1 \). Elementul (2,1): \( -2x\cdot 2+(2x+1)(-2)=-4x-4x-2=-8x-2 \). Elementul (2,2): \( -2x\cdot(-1)+(2x+1)\cdot 3=2x+6x+3=8x+3 \).

3. 3

   Recunoaștem forma M(4x+1)

   \begin{pmatrix} (4x+1)+1 & -(4x+1) \\ -2(4x+1) & 2(4x+1)+1 \end{pmatrix}=M(4x+1)

   Rescriem elementele cu \( 4x+1 \): \( 4x+2=(4x+1)+1 \), \( -4x-1=-(4x+1) \), \( -8x-2=-2(4x+1) \), \( 8x+3=2(4x+1)+1 \). Matricea obținută are exact forma \( M(t) \) cu \( t=4x+1 \). Deci \( M(x)\cdot M(1)=M(4x+1) \), pentru orice \( x \) real.

Răspuns: \( M(x)\cdot M(1)=M(4x+1) \), pentru orice număr real \( x \).

Se consideră matricele \( M(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix} \), unde \( x \) este număr real. c) Determinați numărul real \( x \) pentru care \( M(x)\cdot M(1)\cdot M(1)=M(x+2) \).

Metoda: Relația din punctul b) și egalarea matricelor

1. 1

   Prima înmulțire cu M(1)

   M(x)\cdot M(1)\cdot M(1)=\big(M(x)\cdot M(1)\big)\cdot M(1)=M(4x+1)\cdot M(1)

   Înmulțirea matricelor este asociativă, deci putem grupa primii doi factori. Din punctul b) știm că \( M(x)\cdot M(1)=M(4x+1) \), așa că înlocuim produsul cu o singură matrice de aceeași formă.

2. 2

   A doua înmulțire cu M(1)

   M(4x+1)\cdot M(1)=M\big(4(4x+1)+1\big)=M(16x+5)

   Relația de la b) este valabilă pentru orice număr real, deci și pentru \( 4x+1 \) în loc de \( x \). Înlocuim în formula \( M(t)\cdot M(1)=M(4t+1) \) valoarea \( t=4x+1 \) și obținem \( 4(4x+1)+1=16x+5 \).

3. 3

   Egalarea indicilor și rezolvarea ecuației

   M(16x+5)=M(x+2)\Rightarrow 16x+5=x+2\Rightarrow 15x=-3\Rightarrow x=-\frac{1}{5}

   Două matrice de forma \( M(a) \) și \( M(b) \) sunt egale doar dacă elementele lor coincid, de exemplu elementul din colțul stânga-sus: \( a+1=b+1 \), deci \( a=b \). De aceea egalăm indicii și rezolvăm ecuația de gradul I obținută.

Răspuns: \( x=-\dfrac{1}{5} \)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = 5xy + 10x + 10y + 18\). Arătați că \((-1)\circ 0 = 8\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x = -1 și y = 0 în formulă

   (-1)\circ 0 = 5\cdot(-1)\cdot 0 + 10\cdot(-1) + 10\cdot 0 + 18

   Legea ne spune cum se calculează \(x \circ y\) pentru orice două numere reale. Aici avem \(x=-1\) și \(y=0\), așa că punem aceste valori peste tot unde apar \(x\) și \(y\) în formulă. Punem -1 între paranteze, ca să nu greșim semnele.

2. 2

   Calculăm termenii și obținem rezultatul

   0 - 10 + 0 + 18 = 8

   Primul termen este 0, pentru că se înmulțește cu 0. Al doilea este \(10\cdot(-1) = -10\). Al treilea este \(10\cdot 0 = 0\). Rămâne \(-10 + 18 = 8\), exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \((-1)\circ 0 = -10 + 18 = 8\), deci egalitatea este adevărată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = 5xy + 10x + 10y + 18\). b) Demonstrați că \(x \circ y = 5(x+2)(y+2) - 2\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).

Metoda: Factorizare prin grupare de termeni

1. 1

   Scriem legea și ne uităm la forma țintă

   x\circ y = 5xy+10x+10y+18

   Forma de demonstrat conține produsul \(5(x+2)(y+2)\). Dacă îl desfacem în minte, apare \(5xy + 10x + 10y + 20\). Legea noastră are \(18\) în loc de \(20\). Deci ne lipsesc \(2\) unități, pe care le obținem scriind \(18 = 20 - 2\).

2. 2

   Înlocuim 18 cu 20 − 2 și grupăm termenii

   x\circ y = 5xy+10x+10y+20-2 = 5x(y+2)+10(y+2)-2

   Grupăm primii doi termeni, \(5xy + 10x = 5x(y+2)\), și următorii doi, \(10y + 20 = 10(y+2)\). Astfel apare factorul comun \(y+2\) în ambele grupe.

3. 3

   Scoatem factor comun \(y+2\)

   5x(y+2)+10(y+2)-2 = (5x+10)(y+2)-2 = 5(x+2)(y+2)-2

   Acum \(y+2\) apare în ambii termeni, deci îl scoatem factor comun și obținem \((5x+10)(y+2)\). Apoi \(5x+10 = 5(x+2)\). Rezultatul este exact forma cerută, valabilă pentru orice \(x, y\) reali, fiindcă am folosit doar transformări algebrice.

Răspuns: Am obținut \(x\circ y = 5(x+2)(y+2)-2\), pentru orice \(x, y\in\mathbb{R}\), deci egalitatea este demonstrată.

Subiectul II, 2. c) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y=5xy+10x+10y+18\). Determinați numărul întreg \(m\) pentru care \(m\circ m=m\).

Metoda: Forma canonică a legii de compoziție

1. 1

   Scriem \(m\circ m\) cu forma de la punctul b)

   m\circ m=5(m+2)^2-2

   De la punctul b) știm că \(x\circ y=5(x+2)(y+2)-2\) pentru orice numere reale. Punem \(x=y=m\) și obținem \(m\circ m=5(m+2)(m+2)-2=5(m+2)^2-2\). Forma aceasta este mai comodă decât cea cu \(5xy+10x+10y+18\), pentru că \(m\) apare grupat.

2. 2

   Punem condiția \(m\circ m=m\) și aducem ecuația la forma cu produs

   5(m+2)^2-2=m \iff 5(m+2)^2-(m+2)=0 \iff (m+2)(5m+9)=0

   Egalăm \(5(m+2)^2-2\) cu \(m\). Observăm că \(-2-m=-(m+2)\), deci mutând totul în stânga obținem \(5(m+2)^2-(m+2)=0\). Dăm factor comun \(m+2\): \((m+2)(5(m+2)-1)=(m+2)(5m+9)=0\). Forma de produs ne permite să rezolvăm ecuația direct.

3. 3

   Rezolvăm ecuația și alegem soluția întreagă

   m+2=0\Rightarrow m=-2;\quad 5m+9=0\Rightarrow m=-\tfrac{9}{5}\notin\mathbb{Z}

   Un produs este zero când un factor este zero. Din \(m+2=0\) rezultă \(m=-2\), care este întreg. Din \(5m+9=0\) rezultă \(m=-\frac{9}{5}\), care nu este număr întreg, deci nu convine. Cerința impune \(m\) întreg, așa că singura soluție este \(m=-2\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   (-2)\circ(-2)=5(-2)(-2)+10(-2)+10(-2)+18=-2

   Calculăm \((-2)\circ(-2)\) cu definiția inițială: \(5\cdot 4-20-20+18=20-40+18=-2\). Rezultatul este egal cu \(m=-2\), deci soluția este corectă.

Răspuns: \(m=-2\)

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{x^2-x-2}{(x-1)^2}\), \(x\in(1,+\infty)\).

Metoda: Derivarea unui raport și a logaritmului

1. 1

   Derivăm fiecare termen al sumei

   f'(x)=\left(\frac{x^2+1}{x-1}\right)'+\left(\ln(x-1)\right)'

   Derivata unei sume este suma derivatelor: \((u+v)'=u'+v'\). Facem asta pentru că cei doi termeni sunt foarte diferiți (o fracție și un logaritm) și e mai simplu să-i tratăm pe rând.

2. 2

   Aplicăm formula câtului pe primul termen

   \left(\frac{x^2+1}{x-1}\right)'=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)\cdot 1}{(x-1)^2}

   Formula câtului este \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\). Aici \(u=x^2+1\), \(u'=2x\), \(v=x-1\), \(v'=1\). Astfel obținem numărătorul \(2x(x-1)-(x^2+1)\) și numitorul \((x-1)^2\).

3. 3

   Aducem la numitor comun

   f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2}+\frac{1}{x-1}=\frac{2x^2-2x-x^2-1+(x-1)}{(x-1)^2}

   Al doilea termen are numitorul \(x-1\). Îl amplificăm cu \(x-1\) ca să aibă numitorul \((x-1)^2\), la fel ca primul. Acum putem aduna numărătorii.

4. 4

   Reducem termenii asemenea

   f'(x)=\frac{x^2-2x-1+x-1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-x-2}{(x-1)^2},\ x\in(1,+\infty)

   La numărător: \(2x^2-x^2=x^2\), \(-2x+x=-x\), \(-1-1=-2\). Obținem exact expresia cerută în enunț, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{x^2-x-2}{(x-1)^2}\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)\). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=2\), situat pe graficul funcției \(f\).

Metoda: Ecuația tangentei într-un punct

1. 1

   Calculăm f(2)

   f(2)=\frac{2^2+1}{2-1}+\ln(2-1)=5+\ln 1=5

   Ordonata punctului de tangență se obține înlocuind \(x=2\) în formula funcției. Avem \(\frac{4+1}{1}=5\), iar \(\ln 1=0\), deci \(f(2)=5\). Punctul de tangență este \(A(2,5)\).

2. 2

   Calculăm f'(2)

   f'(x)=\frac{x^2-x-2}{(x-1)^2}\ \Rightarrow\ f'(2)=\frac{4-2-2}{1}=0

   Panta tangentei este derivata în punctul de tangență. Folosim formula de la punctul a): \(f'(x)=\frac{x^2-x-2}{(x-1)^2}\). Pentru \(x=2\), numărătorul este \(4-2-2=0\), iar numitorul este \(1\), deci \(f'(2)=0\).

3. 3

   Scriem ecuația tangentei

   y-f(2)=f'(2)(x-2)\ \Rightarrow\ y-5=0\cdot(x-2)\ \Rightarrow\ y=5

   Înlocuim în formula tangentei valorile găsite: \(f(2)=5\) și \(f'(2)=0\). Obținem \(y-5=0\), adică \(y=5\), o dreaptă paralelă cu axa \(Ox\).

Răspuns: Ecuația tangentei este \(y=5\).

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)\). Demonstrați că \(\dfrac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)\ge 5\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\).

Metoda: Monotonia și minimul funcției

1. 1

   Folosim derivata calculată la punctul a)

   f'(x)=\frac{x^2-x-2}{(x-1)^2}=\frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)^2}

   De la punctul a) avem \(f'(x)=\dfrac{x^2-x-2}{(x-1)^2}\), pentru \(x\in(1,+\infty)\). Descompunem numărătorul: \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\), pentru că rădăcinile ecuației \(x^2-x-2=0\) sunt \(2\) și \(-1\). Forma factorizată ne ajută să vedem ușor semnul derivatei.

2. 2

   Studiem semnul derivatei

   x\in(1,2]\Rightarrow f'(x)\le 0,\qquad x\in[2,+\infty)\Rightarrow f'(x)\ge 0

   Pe \((1,+\infty)\) avem \(x+1>0\) și \((x-1)^2>0\), deci semnul lui \(f'(x)\) este semnul lui \(x-2\). Pentru \(x\in(1,2]\), \(x-2\le 0\), deci \(f'(x)\le 0\) și \(f\) este descrescătoare pe \((1,2]\). Pentru \(x\in[2,+\infty)\), \(x-2\ge 0\), deci \(f'(x)\ge 0\) și \(f\) este crescătoare pe \([2,+\infty)\).

3. 3

   Deducem că \(f(x)\ge f(2)\) și încheiem

   f(x)\ge f(2)=\frac{2^2+1}{2-1}+\ln 1=5

   Funcția scade până în \(x=2\) și crește după, deci \(x=2\) este punct de minim. Prin urmare \(f(x)\ge f(2)\) pentru orice \(x\in(1,+\infty)\). Calculăm \(f(2)=\dfrac{4+1}{1}+\ln 1=5+0=5\). Rezultă \(\dfrac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)\ge 5\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\), ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Funcția \(f\) are minimul \(f(2)=5\), deci \(\dfrac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)\ge 5\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x+4}{6x^2+1}\). Arătați că \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\left(6x^2+1\right)dx=10\).

Metoda: Simplificare și integrală definită

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)\left(6x^2+1\right)=\frac{x+4}{6x^2+1}\cdot\left(6x^2+1\right)=x+4

   Înlocuim f(x) cu expresia ei. Factorul \(6x^2+1\) apare și la numitor, și la înmulțire, deci se simplifică. Se poate face simplificarea pentru orice x real, deoarece \(6x^2+1\ge 1>0\), deci nu se anulează niciodată. Rămâne \(x+4\), iar integrala devine \(\int_0^2 (x+4)\,dx\).

2. 2

   Calculăm integrala definită

   \int_0^2 (x+4)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+4x\right)\Big|_0^2=\left(\frac{2^2}{2}+4\cdot 2\right)-0=2+8=10

   O primitivă a lui \(x+4\) este \(\frac{x^2}{2}+4x\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 2 minus valoarea ei în 0. În 0 primitiva este 0. În 2 obținem \(\frac{4}{2}+8=2+8=10\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^2 f(x)(6x^2+1)\,dx=\int_0^2 (x+4)\,dx=10\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x+4}{6x^2+1}\). Arătați că \(\displaystyle\int_0^2\left(f(x)-\dfrac{4}{6x^2+1}\right)dx=\dfrac{\ln 5}{6}\).

Metoda: Integrare prin derivata numitorului

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-\frac{4}{6x^2+1}=\frac{x+4}{6x^2+1}-\frac{4}{6x^2+1}=\frac{x}{6x^2+1}

   Cele două fracții au același numitor \(6x^2+1\), deci scădem numărătorii: \((x+4)-4=x\). Rămâne o fracție mult mai simplă, pe care o putem integra.

2. 2

   Pregătim derivata numitorului

   \int_0^2\frac{x}{6x^2+1}\,dx=\frac{1}{12}\int_0^2\frac{(6x^2+1)'}{6x^2+1}\,dx

   Derivata numitorului este \((6x^2+1)'=12x\). La numărător avem doar \(x\), adică \(\frac{1}{12}\cdot 12x\). Scoatem factorul \(\frac{1}{12}\) în fața integralei și apare forma \(\frac{u'}{u}\).

3. 3

   Aflăm primitiva și aplicăm Leibniz-Newton

   \frac{1}{12}\ln(6x^2+1)\Big|_0^2=\frac{1}{12}\left(\ln 25-\ln 1\right)=\frac{1}{12}\ln 25

   Știm că \(\int\frac{u'}{u}dx=\ln|u|\). Cum \(6x^2+1>0\), nu avem nevoie de modul. Pentru \(x=2\): \(6\cdot 4+1=25\). Pentru \(x=0\): \(6\cdot 0+1=1\), iar \(\ln 1=0\).

4. 4

   Ajungem la rezultatul cerut

   \frac{1}{12}\ln 25=\frac{1}{12}\ln 5^2=\frac{2\ln 5}{12}=\frac{\ln 5}{6}

   Scriem \(25=5^2\) și folosim \(\ln a^2=2\ln a\). Apoi simplificăm fracția \(\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\), obținând exact valoarea de demonstrat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^2\left(f(x)-\frac{4}{6x^2+1}\right)dx=\frac{1}{12}\ln 25=\frac{\ln 5}{6}\), așa cum se cerea.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x+4}{6x^2+1}\). Determinați numărul real \(m\) pentru care \(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x+4}{f(x)}\cdot e^{2x}\,dx=m\left(e^2-1\right)\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   \frac{x+4}{f(x)}=\frac{x+4}{\frac{x+4}{6x^2+1}}=6x^2+1

   Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Factorul \(x+4\) se simplifică (pe intervalul \([0,1]\) este nenul). Integrala devine \(\int_0^1 (6x^2+1)e^{2x}\,dx\).

2. 2

   Alegem părțile pentru integrarea prin părți

   e^{2x}=\left(\frac{e^{2x}}{2}\right)',\quad \int_0^1 (6x^2+1)\left(\frac{e^{2x}}{2}\right)'dx=(6x^2+1)\frac{e^{2x}}{2}\Big|_0^1-\int_0^1 12x\cdot\frac{e^{2x}}{2}\,dx

   Folosim formula \(\int u v'=uv-\int u'v\), cu \(u=6x^2+1\) și \(v'=e^{2x}\), deci \(v=\frac{e^{2x}}{2}\). Alegem așa pentru că derivând polinomul îi scădem gradul, iar exponențiala rămâne simplă. Ultimul termen este \(\int_0^1 6xe^{2x}dx\).

3. 3

   Calculăm termenul tăiat și rămâne a doua integrală

   (6x^2+1)\frac{e^{2x}}{2}\Big|_0^1=\frac{7e^2-1}{2},\quad \int_0^1 6xe^{2x}dx

   La \(x=1\): \(7\cdot\frac{e^2}{2}\). La \(x=0\): \(1\cdot\frac{1}{2}\). Diferența este \(\frac{7e^2-1}{2}\). Pentru \(\int_0^1 6xe^{2x}dx\) mai facem o integrare prin părți, cu \(u=6x\).

4. 4

   A doua integrare prin părți

   \int_0^1 6xe^{2x}dx=3xe^{2x}\Big|_0^1-\int_0^1 3e^{2x}dx=3e^2-\frac{3e^2-3}{2}=\frac{3e^2+3}{2}

   Luăm \(u=6x\), \(v'=e^{2x}\), deci \(uv=3xe^{2x}\). Termenul tăiat dă \(3e^2\). Apoi \(\int_0^1 3e^{2x}dx=\frac{3e^{2x}}{2}\Big|_0^1=\frac{3e^2-3}{2}\). Rezultă \(\frac{3e^2+3}{2}\).

5. 5

   Adunăm și aflăm m

   \frac{7e^2-1}{2}-\frac{3e^2+3}{2}=\frac{4e^2-4}{2}=2e^2-2=2(e^2-1)\Rightarrow m=2

   Integrala inițială este primul rezultat minus a doua integrală. Obținem \(2(e^2-1)\). Comparând cu \(m(e^2-1)\), rezultă \(m=2\).

Răspuns: m = 2