Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2023, sesiunea august (varianta 07)

Determinați termenul \(a_6\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n\geq 1}\), cu \(a_1=3\) și \(a_5=23\).

Metoda: Rația progresiei aritmetice

1. 1

   Aflăm rația progresiei

   4r=a_5-a_1=23-3=20 \Rightarrow r=5

   Între \(a_1\) și \(a_5\) facem 4 salturi, fiecare de mărime \(r\), deci \(a_5=a_1+4r\). De aici \(4r=a_5-a_1=23-3=20\), deci \(r=20:4=5\). Facem asta pentru că rația este cheia pentru a găsi orice alt termen.

2. 2

   Calculăm \(a_6\)

   a_6=a_5+r=23+5=28

   Fiecare termen este termenul precedent plus rația. Deci \(a_6=a_5+r=23+5=28\). Verificăm și altfel: \(a_6=a_1+5r=3+25=28\), același rezultat.

Răspuns: \(a_6=28\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-6x+8\). Determinați numărul real \(m\), știind că punctul \(A(m,-1)\) aparține graficului funcției \(f\).

Metoda: Punct pe graficul funcției

1. 1

   Condiția de apartenență la grafic

   A(m,-1)\in G_f \Rightarrow f(m)=-1

   Punctul \(A(m,-1)\) are abscisa \(m\) și ordonata \(-1\). Dacă se află pe graficul lui \(f\), atunci valoarea funcției în \(m\) trebuie să fie chiar ordonata, adică \(f(m)=-1\).

2. 2

   Scriem ecuația în m

   m^2-6m+8=-1 \Rightarrow m^2-6m+9=0

   Înlocuim \(x\) cu \(m\) în formula lui \(f\) și egalăm cu \(-1\). Apoi mutăm \(-1\) în stânga: \(8+1=9\), deci obținem o ecuație de gradul al II-lea în forma generală.

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   m^2-6m+9=(m-3)^2=0 \Rightarrow m=3

   Expresia \(m^2-6m+9\) este pătratul perfect \((m-3)^2\), deoarece \(3^2=9\) și \(2\cdot 3=6\). Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci \(m=3\). Alternativ, \(\Delta=36-36=0\), deci soluție dublă \(m=\frac{6}{2}=3\).

4. 4

   Verificare

   f(3)=3^2-6\cdot 3+8=9-18+8=-1

   Verificăm înlocuind \(m=3\) în funcție: obținem \(-1\), deci punctul \(A(3,-1)\) se află pe grafic.

Răspuns: \(m=3\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(3^{2x-1}=9\cdot 3^{x+1}\).

Metoda: Ecuație exponențială, aceeași bază

1. 1

   Scriem 9 ca putere a lui 3

   9=3^2

   Vrem ca în dreapta să avem tot baza 3, ca în stânga. Cum \(9=3^2\), putem înlocui 9 cu \(3^2\). Astfel ecuația devine \(3^{2x-1}=3^2\cdot 3^{x+1}\).

2. 2

   Folosim regula produsului de puteri

   3^2\cdot 3^{x+1}=3^{2+x+1}=3^{x+3}

   La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se adună: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\). Așadar membrul drept devine \(3^{x+3}\), iar ecuația este \(3^{2x-1}=3^{x+3}\).

3. 3

   Egalăm exponenții

   2x-1=x+3

   Funcția \(t\mapsto 3^t\) este injectivă, deci dacă \(3^a=3^b\), atunci \(a=b\). De aceea putem egala exponenții și obținem o ecuație de gradul I.

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul I

   2x-x=3+1\Rightarrow x=4

   Mutăm termenii cu x în stânga și numerele în dreapta: \(2x-x=3+1\), deci \(x=4\).

5. 5

   Verificare

   3^{7}=9\cdot 3^{5}

   Pentru \(x=4\): în stânga \(2\cdot 4-1=7\), deci \(3^7\). În dreapta \(x+1=5\), deci \(9\cdot 3^5\). Ambele sunt 2187, deci soluția este corectă.

Răspuns: \(x=4\)

Se consideră mulțimea \(A=\{1,2,3,4,5\}\). Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii \(A\), care au cel mult două elemente.

Metoda: Combinări și regula sumei

1. 1

   Ce submulțimi căutăm

   k\in\{1,2\}

   Submulțimea este nevidă, deci are cel puțin 1 element. Are cel mult două elemente, deci are cel mult 2. Prin urmare numărul de elemente \(k\) poate fi doar 1 sau 2. Cazul \(k=0\) (mulțimea vidă) este exclus de cuvântul „nevide”.

2. 2

   Numărăm submulțimile cu un element și cu două elemente

   C_5^1=5,\quad C_5^2=\dfrac{5\cdot 4}{2}=10

   Numărul submulțimilor cu \(k\) elemente ale unei mulțimi cu 5 elemente este \(C_5^k\), deoarece ordinea elementelor nu contează. Pentru \(k=1\) avem \(C_5^1=5\) submulțimi (câte una pentru fiecare element). Pentru \(k=2\) avem \(C_5^2=\dfrac{5\cdot4}{2}=10\) submulțimi.

3. 3

   Adunăm cazurile

   C_5^1+C_5^2=5+10=15

   Cele două cazuri nu se suprapun: o submulțime nu poate avea în același timp 1 și 2 elemente. De aceea numărul total se obține adunând: \(5+10=15\).

Răspuns: Există 15 submulțimi nevide ale lui \(A\) cu cel mult două elemente.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(3,1)\) și \(B(4,4)\). Determinați coordonatele punctului \(C\), știind că \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}\).

Metoda: Egalitatea vectorilor prin coordonate

1. 1

   Scriem vectorul \(\overrightarrow{OA}\)

   \overrightarrow{OA}=3\vec{i}+\vec{j}

   \(O\) este originea reperului, \(O(0,0)\). Coordonatele vectorului \(\overrightarrow{OA}\) se obțin scăzând coordonatele originii din cele ale lui \(A\): \(3-0=3\) și \(1-0=1\). Deci \(\overrightarrow{OA}=3\vec{i}+\vec{j}\).

2. 2

   Scriem vectorul \(\overrightarrow{BC}\)

   \overrightarrow{BC}=(x_C-4)\vec{i}+(y_C-4)\vec{j}

   Notăm \(C(x_C,y_C)\). Coordonatele vectorului \(\overrightarrow{BC}\) sunt coordonatele extremității minus coordonatele originii vectorului: \(x_C-x_B\) și \(y_C-y_B\), cu \(B(4,4)\).

3. 3

   Egalăm coordonatele și aflăm \(C\)

   x_C-4=3,\; y_C-4=1 \Rightarrow x_C=7,\; y_C=5

   Din \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}\) rezultă că coordonatele corespunzătoare sunt egale: \(x_C-4=3\) și \(y_C-4=1\). Deci \(x_C=7\) și \(y_C=5\), adică \(C(7,5)\).

Răspuns: \(C(7,5)\)

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB=6\) și înălțimea \(AD=3\). Arătați că raza cercului circumscris triunghiului \(ABC\) este egală cu \(2\sqrt{3}\).

Metoda: Pitagora și cercul circumscris

1. 1

   Aflăm BD în triunghiul ADB

   BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}

   Înălțimea \(AD\) este perpendiculară pe \(BC\), deci triunghiul \(ADB\) este dreptunghic în \(D\), cu ipotenuza \(AB=6\) și catetele \(AD=3\) și \(BD\). Aplicăm teorema lui Pitagora: \(BD^2=AB^2-AD^2=36-9=27\), deci \(BD=3\sqrt{3}\).

2. 2

   Aflăm ipotenuza BC

   \sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle B=30^\circ,\quad AB=BC\cos B\Rightarrow BC=\frac{6}{\frac{\sqrt3}{2}}=4\sqrt{3}

   În triunghiul \(ABC\), cateta \(AB\) este media geometrică dintre ipotenuza \(BC\) și proiecția sa \(BD\) (teorema catetei): \(AB^2=BD\cdot BC\). Deci \(36=3\sqrt{3}\cdot BC\), de unde \(BC=\frac{36}{3\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\). Se obține același rezultat ca în barem: \(BC=4\sqrt{3}\).

3. 3

   Raza cercului circumscris

   R=\frac{BC}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}

   Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci raza este jumătate din ipotenuză. Astfel \(R=\frac{BC}{2}=2\sqrt{3}\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: Raza cercului circumscris triunghiului \(ABC\) este \(R=2\sqrt{3}\).

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix} x & x & x \\ 1 & x & 1 \\ -1 & -x & -1 \end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=0\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea pentru x = 1

   A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}

   Cerința vorbește despre \(A(1)\), deci în matricea dată înlocuim peste tot \(x\) cu 1. Prima linie devine \(1,1,1\), a doua \(1,1,1\), iar a treia \(-1,-1,-1\) (pentru că \(-x=-1\)).

2. 2

   Scriem determinantul

   \det(A(1))=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix}

   Determinantul unei matrice de ordin 3 se calculează cu regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.

3. 3

   Aplicăm regula lui Sarrus și obținem 0

   \det(A(1))=1\cdot1\cdot(-1)+1\cdot1\cdot(-1)+1\cdot1\cdot(-1)-(-1)\cdot1\cdot1-(-1)\cdot1\cdot1-(-1)\cdot1\cdot1=-1-1-1+1+1+1=0

   Cele trei produse cu plus (diagonala principală și paralelele ei) sunt \(1\cdot1\cdot(-1)=-1\), de trei ori. Cele trei produse cu minus (diagonala secundară și paralelele ei) sunt \((-1)\cdot1\cdot1=-1\), de trei ori, dar se scad, deci dau \(+1\) fiecare. Suma: \(-3+3=0\). Deci \(\det(A(1))=0\), exact ce trebuia arătat. Observație: liniile 1 și 2 sunt egale (și linia 3 este opusa lor), de aceea determinantul iese 0.

Răspuns: \(\det(A(1))=0\)

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix} x & x & x \\ 1 & x & 1 \\ -1 & -x & -1 \end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. Itemul b): Arătați că \(A(x)\cdot A(y)-A(xy)=(x+y-2)A(0)\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).

Metoda: Calcul direct cu matrice

1. 1

   Calculăm produsul A(x)·A(y)

   A(x)\cdot A(y)=\begin{pmatrix} xy & xy & xy \\ x+y-1 & xy & x+y-1 \\ -x-y+1 & -xy & -x-y+1 \end{pmatrix}

   Înmulțim matricele „linie pe coloană”. Linia 1 din \(A(x)\) este \((x,x,x)\), iar coloanele lui \(A(y)\) sunt \((y,1,-1)\), \((y,y,-y)\), \((y,1,-1)\). Prima coloană dă \(x(y+1-1)=xy\), a doua \(x(y+y-y)=xy\). Linia 2 este \((1,x,1)\): pe prima coloană \(y+x-1\), pe a doua \(y+xy-y=xy\). Linia 3 este opusa liniei 2, deci se obțin opusele rezultatelor, cu excepția coloanei a doua: \(-y-xy+y=-xy\).

2. 2

   Scriem A(xy) și facem diferența

   A(x)A(y)-A(xy)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ x+y-2 & 0 & x+y-2 \\ -x-y+2 & 0 & -x-y+2 \end{pmatrix}

   Din definiție, \(A(xy)=\begin{pmatrix} xy & xy & xy \\ 1 & xy & 1 \\ -1 & -xy & -1 \end{pmatrix}\), adică îl înlocuim pe \(x\) cu \(xy\). Scădem element cu element: pe linia 1 și pe coloana 2 obținem 0, pe linia 2 \((x+y-1)-1=x+y-2\), iar pe linia 3 \((-x-y+1)-(-1)=-x-y+2\).

3. 3

   Scoatem factorul x+y-2 și recunoaștem A(0)

   (x+y-2)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}=(x+y-2)A(0)

   Toate elementele nenule ale diferenței sunt \(\pm(x+y-2)\), deci scoatem factorul comun \(x+y-2\). Matricea rămasă este chiar \(A(0)=\begin{pmatrix} 0&0&0\\1&0&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}\), obținută din definiție pentru \(x=0\). Astfel \(A(x)A(y)-A(xy)=(x+y-2)A(0)\), pentru orice \(x,y\) reali.

Răspuns: A(x)·A(y) − A(xy) = (x+y−2)·A(0), pentru orice numere reale x și y, ceea ce trebuia demonstrat.

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix} x & x & x \\ 1 & x & 1 \\ -1 & -x & -1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. Determinați numerele reale \(x\) și \(y\) pentru care \(A(-1)\cdot A(3)\cdot A(x)=A(y)\).

Metoda: Relația de la b) și identificarea matricelor

1. 1

   Calculăm \(A(-1)\cdot A(3)\)

   A(-1)\cdot A(3)=A(-3)+(-1+3-2)A(0)=A(-3)

   Din b) știm că \(A(x)\cdot A(y)=A(xy)+(x+y-2)A(0)\), pentru orice \(x,y\) reali. Cu \(x=-1\) și \(y=3\) avem \(xy=-3\) și \(x+y-2=-1+3-2=0\). Termenul cu \(A(0)\) dispare, deci \(A(-1)\cdot A(3)=A(-3)\).

2. 2

   Calculăm \(A(-3)\cdot A(x)\)

   A(-3)\cdot A(x)=A(-3x)+(-3+x-2)A(0)=A(-3x)+(x-5)A(0)

   Aplicăm din nou relația de la b), acum cu numerele \(-3\) și \(x\). Produsul lor este \(-3x\), iar \(-3+x-2=x-5\). Rămâne de rezolvat ecuația \(A(-3x)+(x-5)A(0)=A(y)\).

3. 3

   Egalăm elementele matricelor

   A(-3x)+(x-5)A(0)=A(y)\ \Rightarrow\ \begin{cases} -3x=y \\ 1+(x-5)\cdot 1=1\end{cases}

   Două matrici sunt egale dacă au aceleași elemente. Elementul din linia 1, coloana 1 este \(-3x\) în \(A(-3x)\), iar \(A(0)\) are acolo 0. În \(A(y)\) este \(y\). Deci \(y=-3x\). Elementul din linia 2, coloana 1 este 1 în \(A(-3x)\) și 1 în \(A(0)\), deci în membrul stâng avem \(1+(x-5)\cdot 1=x-4\), iar în \(A(y)\) avem 1. Rezultă \(x-4=1\), adică \(x=5\). Atunci \(y=-3\cdot 5=-15\).

4. 4

   Verificare

   x=5:\ A(-15)+0\cdot A(0)=A(-15)=A(y)\ \Rightarrow\ y=-15

   Pentru \(x=5\), coeficientul \(x-5\) devine 0 și rămâne \(A(-15)=A(y)\). Se vede că \(y=-15\) convine pe toate pozițiile, nu doar pe cele folosite mai sus.

Răspuns: \(x=5\) și \(y=-15\).

Se consideră polinomul \(f = X^4 + 2X^3 - 8X^2 + 3mX + m\), unde \(m\) este număr real. a) Pentru \(m = 2\), arătați că \(f(1) = 3\).

Metoda: Valoarea numerică a polinomului

1. 1

   Scriem polinomul pentru m = 2

   f = X^4 + 2X^3 - 8X^2 + 6X + 2

   Pentru \(m = 2\) avem \(3m = 6\) și \(m = 2\). Înlocuim în coeficienții lui \(X\) și ai termenului liber. Astfel obținem un polinom concret, fără parametri, cu care putem lucra.

2. 2

   Calculăm f(1)

   f(1) = 1^4 + 2\cdot 1^3 - 8\cdot 1^2 + 6\cdot 1 + 2 = 1 + 2 - 8 + 6 + 2 = 3

   Valoarea polinomului în 1 se obține înlocuind \(X\) cu 1 peste tot. Puterile lui 1 sunt toate egale cu 1, deci calculul se reduce la suma coeficienților: \(1 + 2 - 8 + 6 + 2\). Rezultatul este 3, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Pentru \(m = 2\) obținem \(f(1) = 1 + 2 - 8 + 6 + 2 = 3\), deci \(f(1) = 3\).

Se consideră polinomul \(f = X^4 + 2X^3 - 8X^2 + 3mX + m\), unde \(m\) este număr real. b) Pentru \(m = 0\), determinați rădăcinile polinomului \(f\).

Metoda: Factor comun și ecuația de gradul II

1. 1

   Înlocuim m = 0 în polinom

   f = X^4 + 2X^3 - 8X^2

   Pentru \(m=0\) avem \(3mX = 0\) și \(m = 0\), deci acești doi termeni dispar. Rămân doar primii trei termeni.

2. 2

   Dăm factor comun \(X^2\)

   f = X^2\left(X^2 + 2X - 8\right)

   Toți termenii conțin cel puțin \(X^2\). Scoțând-ul în față, ecuația \(f=0\) se sparge în două ecuații mai simple: \(X^2=0\) sau \(X^2+2X-8=0\).

3. 3

   Rezolvăm \(X^2 = 0\)

   X^2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = 0

   Un produs este 0 când un factor este 0. Din \(X^2=0\) obținem rădăcina 0, care apare dublă (de două ori), pentru că factorul este la puterea a doua.

4. 4

   Rezolvăm \(X^2 + 2X - 8 = 0\)

   \Delta = 2^2 - 4\cdot 1\cdot(-8) = 36,\quad x = \frac{-2 \pm 6}{2}

   Aceasta este o ecuație de gradul II cu \(a=1,\ b=2,\ c=-8\). Calculăm discriminantul \(\Delta=b^2-4ac=4+32=36\), deci \(\sqrt{\Delta}=6\). Rădăcinile sunt \(\frac{-2+6}{2}=2\) și \(\frac{-2-6}{2}=-4\).

5. 5

   Verificăm rădăcinile

   2^2+2\cdot 2-8=0,\quad (-4)^2+2\cdot(-4)-8=0

   Înlocuim rădăcinile găsite în factorul de gradul II. Dacă obținem 0, sunt corecte.

Răspuns: Rădăcinile polinomului sunt \(x_1 = x_2 = 0\), \(x_3 = -4\) și \(x_4 = 2\).

Se consideră polinomul \(f = X^4 + 2X^3 - 8X^2 + 3mX + m\), unde \(m\) este număr real. c) Determinați numărul rațional \(m\) pentru care polinomul \(f\) are rădăcina \(x_1 = 1+\sqrt{3}\).

Metoda: Relațiile lui Viète

1. 1

   Rădăcina conjugată

   x_2 = 1-\sqrt{3}

   Dacă un polinom cu coeficienți raționali are rădăcina \(a+\sqrt{b}\) (cu \(\sqrt{b}\) irațional), atunci are și rădăcina conjugată \(a-\sqrt{b}\). Cum \(m\) este rațional, toți coeficienții lui \(f\) sunt raționali, deci \(x_2 = 1-\sqrt{3}\) este și ea rădăcină.

2. 2

   Relațiile lui Viète pentru cele patru rădăcini

   x_1+x_2+x_3+x_4=-2,\quad \sum_{i<j}x_ix_j=-8

   Pentru \(f = X^4+2X^3-8X^2+3mX+m\), suma rădăcinilor este \(-\frac{2}{1}=-2\), iar suma produselor luate câte două este \(\frac{-8}{1}=-8\). Produsul tuturor rădăcinilor este \(\frac{m}{1}=m\). Notăm cu \(x_3, x_4\) celelalte două rădăcini.

3. 3

   Aflăm suma și produsul lui x₃ și x₄

   x_3+x_4=-4,\quad x_3x_4=2

   Din prima relație: \(2+x_3+x_4=-2\), deci \(x_3+x_4=-4\). Din a doua: \(x_1x_2+(x_1+x_2)(x_3+x_4)+x_3x_4=-8\), adică \(-2+2\cdot(-4)+x_3x_4=-8\), deci \(x_3x_4=-8+2+8=2\).

4. 4

   Calculăm m din produsul rădăcinilor

   x_1x_2x_3x_4=m \Rightarrow (-2)\cdot 2=m \Rightarrow m=-4

   Produsul rădăcinilor este \(m\). Avem \(x_1x_2=(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1-3=-2\) și \(x_3x_4=2\), deci \(m=-2\cdot 2=-4\). Valoarea este rațională, deci convine.

Răspuns: \(m=-4\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{3e^x}{x^2+x+1}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata unui raport de funcții

1. 1

   Scriem formula derivării câtului

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția \(f\) este un cât de două funcții derivabile: \(u(x)=3e^x\) și \(v(x)=x^2+x+1\). De aceea aplicăm formula \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), valabilă pentru \(v(x)\neq 0\). Aici \(v(x)>0\) pentru orice \(x\), deoarece discriminantul \(1-4=-3<0\).

2. 2

   Înlocuim în formulă

   f'(x)=\frac{3e^x(x^2+x+1)-3e^x(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}

   Punem \(u'=3e^x\), \(v=x^2+x+1\), \(u=3e^x\), \(v'=2x+1\) în formula câtului. Numitorul rămâne \(v^2=(x^2+x+1)^2\).

3. 3

   Dăm factor comun și simplificăm numărătorul

   f'(x)=\frac{3e^x\,(x^2+x+1-2x-1)}{(x^2+x+1)^2}=\frac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}

   La numărător, ambii termeni conțin \(3e^x\), deci îl scoatem factor comun. În paranteză rămâne \(x^2+x+1-(2x+1)=x^2+x+1-2x-1=x^2-x\). Astfel obținem exact forma cerută, pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Răspuns: Am obținut \(f'(x)=\dfrac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\), exact ca în barem.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{3e^x}{x^2+x+1}\). Arătați că \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(2x)}{f(x)}=+\infty\).

Metoda: Calcul de limită cu forme nedeterminate

1. 1

   Scriem raportul \(f(2x)/f(x)\)

   \frac{f(2x)}{f(x)}=\frac{3e^{2x}}{4x^2+2x+1}\cdot\frac{x^2+x+1}{3e^x}

   Înlocuim \(x\) cu \(2x\) în formula lui \(f\): \(f(2x)=\dfrac{3e^{2x}}{(2x)^2+2x+1}=\dfrac{3e^{2x}}{4x^2+2x+1}\). Împărțirea la \(f(x)\) înseamnă înmulțirea cu inversul lui \(f(x)\), adică \(\dfrac{x^2+x+1}{3e^x}\). Facem asta ca să avem raportul într-o formă pe care o putem simplifica.

2. 2

   Simplificăm și separăm factorii

   \frac{f(2x)}{f(x)}=e^x\cdot\frac{x^2+x+1}{4x^2+2x+1}

   Factorul 3 se simplifică, iar \(\dfrac{e^{2x}}{e^x}=e^x\). Obținem produsul dintre \(e^x\) și o fracție rațională. Așa putem studia separat comportarea fiecărui factor.

3. 3

   Calculăm limita fiecărui factor

   \lim_{x\to+\infty}e^x\cdot\frac{1+\frac1x+\frac1{x^2}}{4+\frac2x+\frac1{x^2}}=+\infty\cdot\frac14=+\infty

   Pentru fracția rațională dăm factor comun \(x^2\) la numărător și la numitor și simplificăm. Termenii \(\frac1x\), \(\frac2x\), \(\frac1{x^2}\) tind la 0, deci fracția tinde la \(\dfrac{1}{4}\), un număr strict pozitiv. Cum \(e^x\to+\infty\), produsul \(+\infty\cdot\dfrac14\) este \(+\infty\). Nu apare nedeterminare, pentru că o fracție cu limită finită nenulă înmulțește un factor care tinde la infinit.

Răspuns: \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(2x)}{f(x)}=+\infty\)

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{3e^x}{x^2+x+1} \). c) Demonstrați că ecuația \( f(x)=m \) are exact trei soluții, pentru orice \( m\in(e,3) \).

Metoda: Studiul monotoniei și limitelor

1. 1

   Semnul derivatei

   f'(x)=\frac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}=0\iff x(x-1)=0\iff x\in\{0,1\}

   De la punctul a) avem \( f'(x)=\dfrac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2} \). Numitorul este pozitiv (\( x^2+x+1>0 \), discriminantul fiind negativ) și \( 3e^x>0 \). Deci semnul lui \( f' \) este semnul lui \( x^2-x=x(x-1) \). Derivata se anulează la \( x=0 \) și \( x=1 \).

2. 2

   Monotonia funcției

   \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & 1 & & +\infty\\ \hline f' & & + & 0 & - & 0 & + & \\ f & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \end{array}

   Pentru \( x\in(-\infty,0) \): \( x^2-x>0 \), deci \( f'>0 \) și f este strict crescătoare. Pentru \( x\in(0,1) \): \( x^2-x<0 \), deci f este strict descrescătoare. Pentru \( x\in(1,+\infty) \): \( f'>0 \), deci f este strict crescătoare. Așadar f are un maxim local în 0 și un minim local în 1.

3. 3

   Limitele și valorile în punctele de extrem

   \lim_{x\to-\infty}f(x)=0,\quad f(0)=3,\quad f(1)=e,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

   Pentru \( x\to-\infty \): \( e^x\to0 \), iar numitorul tinde la \( +\infty \), deci limita este 0. Pentru \( x\to+\infty \): exponențiala crește mai repede decât polinomul, deci limita este \( +\infty \). Avem \( f(0)=\frac{3e^0}{1}=3 \) și \( f(1)=\frac{3e}{1+1+1}=e \).

4. 4

   Concluzia: exact trei soluții

   f:(-\infty,0]\nearrow\,(0,3],\quad f:[0,1]\searrow\,[e,3],\quad f:[1,+\infty)\nearrow\,[e,+\infty)

   Fie \( m\in(e,3) \). Pe \( (-\infty,0] \) f este continuă, strict crescătoare și ia valori de la 0 (neatins) la 3, deci \( m\in(0,3) \) este atins exact o dată. Pe \( [0,1] \) f este continuă, strict descrescătoare de la 3 la e, deci m este atins exact o dată (în interior, căci \( e<m<3 \)). Pe \( [1,+\infty) \) f este continuă, strict crescătoare de la e la \( +\infty \), deci m este atins exact o dată. Cele trei soluții sunt în intervale diferite (și diferite de 0 și 1, unde f ia valorile 3 și e), deci sunt distincte. Ecuația are exact trei soluții.

Răspuns: Ecuația \( f(x)=m \) are exact trei soluții pentru orice \( m\in(e,3) \): câte una pe \( (-\infty,0) \), \( (0,1) \) și \( (1,+\infty) \).

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=6x+\ln(x+1)\). a) Arătați că \(\int_{1}^{2}\left(f(x)-\ln(x+1)\right)dx=9\).

Metoda: Calcul direct al integralei definite

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-\ln(x+1)=6x+\ln(x+1)-\ln(x+1)=6x

   Înlocuim \(f(x)=6x+\ln(x+1)\) în paranteză. Termenul \(\ln(x+1)\) apare o dată cu plus și o dată cu minus, deci se reduce. Rămâne doar \(6x\), o funcție mult mai simplă de integrat. Astfel, integrala devine \(\int_1^2 6x\,dx\).

2. 2

   Aflăm o primitivă și aplicăm Leibniz-Newton

   \int_{1}^{2}6x\,dx=3x^2\Big|_{1}^{2}

   O primitivă a lui \(6x\) este \(3x^2\), pentru că derivata lui \(3x^2\) este \(6x\). Conform formulei Leibniz-Newton, integrala definită este valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea ei în capătul de jos, adică \(3\cdot 2^2-3\cdot 1^2\).

3. 3

   Calculăm și verificăm rezultatul

   3\cdot 2^2-3\cdot 1^2=12-3=9

   Înlocuim în primitivă: \(3\cdot 4=12\) la limita superioară și \(3\cdot 1=3\) la cea inferioară. Diferența este \(12-3=9\), exact valoarea cerută în enunț, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_{1}^{2}\left(f(x)-\ln(x+1)\right)dx=\int_1^2 6x\,dx=3x^2\Big|_1^2=12-3=9\)

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=6x+\ln(x+1)\). Arătați că \(\int_0^{e-1}\frac{f(x)-6x}{x+1}\,dx=\frac{1}{2}\).

Metoda: Integrare prin recunoașterea derivatei

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-6x=\ln(x+1)\ \Rightarrow\ \frac{f(x)-6x}{x+1}=\frac{\ln(x+1)}{x+1}

   Înlocuim \(f(x)=6x+\ln(x+1)\). Termenul \(6x\) se reduce, deci rămâne doar \(\ln(x+1)\) la numărător. Integrala devine \(\int_0^{e-1}\frac{\ln(x+1)}{x+1}dx\).

2. 2

   Recunoaștem derivata lui ln(x+1)

   \frac{1}{x+1}=\big(\ln(x+1)\big)'\ \Rightarrow\ \int_0^{e-1}\ln(x+1)\big(\ln(x+1)\big)'dx

   Fracția \(\frac{1}{x+1}\) este exact derivata lui \(\ln(x+1)\). Deci integrala are forma \(\int u\cdot u'\,dx\), cu \(u=\ln(x+1)\). Așa procedează și baremul.

3. 3

   Calculăm primitiva

   \int_0^{e-1}\ln(x+1)\big(\ln(x+1)\big)'dx=\frac{\ln^2(x+1)}{2}\Big|_0^{e-1}

   Pentru \(\int u\,u'\,dx\) primitiva este \(\frac{u^2}{2}\), pentru că derivata lui \(\frac{u^2}{2}\) este \(u\,u'\). Aici \(u=\ln(x+1)\).

4. 4

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \frac{\ln^2 e}{2}-\frac{\ln^2 1}{2}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}

   La limita superioară \(x=e-1\) avem \(x+1=e\) și \(\ln e=1\). La limita inferioară \(x=0\) avem \(x+1=1\) și \(\ln 1=0\). Rezultă \(\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^{e-1}\frac{f(x)-6x}{x+1}dx=\frac{\ln^2(x+1)}{2}\Big|_0^{e-1}=\frac{1}{2}\)

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=6x+\ln(x+1)\). c) Determinați numărul real \(a\), știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=f(x^2)\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=0\) și \(x=1\) este egală cu \(a\pi+\ln 2\).

Metoda: Aria cu integrare prin părți

1. 1

   Scriem funcția g

   g(x)=f(x^2)=6x^2+\ln(x^2+1)

   Înlocuim x cu \(x^2\) în \(f(x)=6x+\ln(x+1)\). Obținem \(g(x)=6x^2+\ln(x^2+1)\).

2. 2

   Aria ca integrală; scăpăm de modul

   \mathcal{A}=\int_0^1 |g(x)|\,dx=\int_0^1 g(x)\,dx

   Aria este \(\int_0^1|g(x)|dx\). Pe [0,1] avem \(6x^2\ge 0\) și \(x^2+1\ge 1\), deci \(\ln(x^2+1)\ge 0\). Așadar \(g\ge 0\) și modulul dispare.

3. 3

   Despărțim integrala și integrăm prin părți

   \mathcal{A}=\int_0^1 6x^2dx+\int_0^1 \ln(x^2+1)dx=2x^3\Big|_0^1+\left(x\ln(x^2+1)\Big|_0^1-\int_0^1 \frac{2x^2}{x^2+1}dx\right)

   Prima integrală: \(\int_0^1 6x^2dx=2x^3|_0^1=2\). La a doua folosim integrarea prin părți cu \(u=\ln(x^2+1)\), \(v'=1\), deci \(u'=\frac{2x}{x^2+1}\), \(v=x\). Rezultă \(x\ln(x^2+1)|_0^1=\ln 2\).

4. 4

   Calculăm integrala rămasă

   \int_0^1\frac{2x^2}{x^2+1}dx=\int_0^1\left(2-\frac{2}{x^2+1}\right)dx=\left(2x-2\,\mathrm{arctg}\,x\right)\Big|_0^1=2-\frac{\pi}{2}

   Scriem \(\frac{2x^2}{x^2+1}=2-\frac{2}{x^2+1}\), pentru că \(2x^2=2(x^2+1)-2\). Apoi \(\int\frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{arctg}\,x\). La x=1, \(\mathrm{arctg}\,1=\frac{\pi}{4}\), deci \(2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\).

5. 5

   Adunăm și aflăm a

   \mathcal{A}=2+\ln 2-\left(2-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}+\ln 2=a\pi+\ln 2\ \Rightarrow\ a=\frac12

   Adunăm: \(2+\ln 2-2+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+\ln 2\). Din egalitatea cu \(a\pi+\ln2\) rezultă \(a=\frac12\).

Răspuns: \(a=\dfrac{1}{2}\)