Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2023, model de subiect

Determinați numerele reale \(a\) și \(b\) pentru care \((a+bi)(1+i)=4\), unde \(i^2=-1\).

Metoda: Egalarea părților reale și imaginare

1. 1

   Efectuăm înmulțirea

   (a+bi)(1+i)=a+ai+bi+bi^2=(a-b)+(a+b)i

   Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua. Folosim \(i^2=-1\), deci \(bi^2=-b\). Apoi grupăm separat termenii fără \(i\) (partea reală) și termenii cu \(i\) (partea imaginară).

2. 2

   Egalăm părțile reale și imaginare

   (a-b)+(a+b)i=4+0i \Rightarrow \begin{cases} a-b=4 \\ a+b=0 \end{cases}

   Numărul 4 se scrie \(4+0\cdot i\). Două numere complexe sunt egale dacă părțile reale sunt egale și părțile imaginare sunt egale. Obținem un sistem de două ecuații cu necunoscutele \(a\) și \(b\).

3. 3

   Rezolvăm sistemul

   a+b=0\Rightarrow b=-a;\quad a-(-a)=4\Rightarrow 2a=4\Rightarrow a=2,\ b=-2

   Din a doua ecuație \(b=-a\). Înlocuim în prima: \(a-b=a+a=2a=4\), deci \(a=2\) și \(b=-2\). Verificăm: \((2-2i)(1+i)=2+2i-2i-2i^2=2+2=4\).

Răspuns: \(a=2\) și \(b=-2\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=mx^2-2x+m\), unde \(m\) este număr real nenul. Determinați numerele reale \(m\) pentru care \(f(m-x)=f(m+x)\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Egalarea expresiilor și identificarea coeficienților

1. 1

   Scriem egalitatea cerută

   m(m-x)^2-2(m-x)+m=m(m+x)^2-2(m+x)+m

   Înlocuim pe rând x cu \(m-x\) și cu \(m+x\) în formula \(f(x)=mx^2-2x+m\). Așa obținem cele două părți ale egalității \(f(m-x)=f(m+x)\).

2. 2

   Reducem egalitatea la o expresie în x

   m(m-x)^2-m(m+x)^2-2(m-x)+2(m+x)=0 \Rightarrow x(m^2-1)=0

   Mutăm totul într-o parte; termenii \(+m\) se reduc. Avem \(m\big[(m-x)^2-(m+x)^2\big]=m\cdot(-4mx)=-4m^2x\), iar \(-2(m-x)+2(m+x)=4x\). Deci rămâne \(-4m^2x+4x=0\), adică \(4x(1-m^2)=0\), echivalent cu \(x(m^2-1)=0\).

3. 3

   Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice x

   x(m^2-1)=0,\ \forall x\in\mathbb{R} \Rightarrow m^2-1=0

   Produsul \(x(m^2-1)\) este zero pentru orice x doar dacă factorul fără x este zero. Dacă \(m^2-1\neq 0\), egalitatea ar fi adevărată doar pentru \(x=0\), nu pentru orice x.

4. 4

   Rezolvăm ecuația și verificăm condiția

   m^2=1 \Rightarrow m\in\{-1,1\}

   Din \(m^2=1\) rezultă \(m=-1\) sau \(m=1\). Ambele sunt nenule, deci convin condiției din enunț (m ≠ 0). Verificare: pentru m=1, \(f(x)=x^2-2x+1\), graficul este simetric față de dreapta x=1, iar \(f(1-x)=f(1+x)=x^2\). Pentru m=−1, \(f(x)=-x^2-2x-1\), simetric față de x=−1, iar \(f(-1-x)=f(-1+x)=-x^2\).

Răspuns: m = −1 sau m = 1

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(2\log_2(2x)-1=\log_2(x^2+x+2)\).

Metoda: Ecuație logaritmică, condiții de existență

1. 1

   Condiții de existență

   2x>0 \Rightarrow x>0

   Logaritmul \(\log_2(2x)\) are sens doar dacă \(2x>0\), adică \(x>0\). Pentru \(\log_2(x^2+x+2)\) argumentul \(x^2+x+2\) este mereu pozitiv (discriminantul \(1-8<0\) și coeficientul lui \(x^2\) este pozitiv). Deci singura condiție este \(x>0\).

2. 2

   Aducem membrul stâng la un singur logaritm

   2\log_2(2x)-1=\log_2(2x)^2-\log_2 2=\log_2\frac{4x^2}{2}=\log_2(2x^2)

   Folosim \(a\log_2 b=\log_2 b^a\) și \(1=\log_2 2\). Astfel \(2\log_2(2x)=\log_2(4x^2)\), iar scăderea lui \(\log_2 2\) înseamnă împărțire la 2, deci obținem \(\log_2(2x^2)\). Ecuația devine \(\log_2(2x^2)=\log_2(x^2+x+2)\).

3. 3

   Egalăm argumentele

   2x^2=x^2+x+2 \Rightarrow x^2-x-2=0

   Funcția logaritm este injectivă, deci dacă \(\log_2 A=\log_2 B\), atunci \(A=B\). Mutăm totul într-o parte și obținem o ecuație de gradul II.

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   \Delta=1+8=9,\quad x=\frac{1\pm 3}{2}\Rightarrow x_1=-1,\ x_2=2

   Calculăm discriminantul: \(\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)=9\). Atunci \(x=\frac{1\pm3}{2}\), deci \(x=-1\) sau \(x=2\).

5. 5

   Verificăm condiția de existență

   x=-1<0\ \text{nu convine};\quad x=2>0\ \text{convine}

   Din primul pas avem \(x>0\). Deci \(x=-1\) se elimină, pentru că \(2x=-2<0\). Pentru \(x=2\): stânga \(2\log_2 4-1=3\), dreapta \(\log_2 8=3\). Egalitatea se verifică.

Răspuns: Soluția ecuației este \(x=2\) (valoarea \(x=-1\) nu convine).

Se consideră mulțimile \(A=\{1,2,3,4\}\) și \(F=\{f \mid f:A\to A\}\). Determinați probabilitatea ca, alegând un element \(f\) din mulțimea \(F\), acesta să verifice inegalitatea \(f(n)\le n\), pentru orice \(n\in A\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   |F|=4^4=256

   O funcție \(f:A\to A\) este complet determinată de valorile \(f(1),f(2),f(3),f(4)\). Fiecare valoare poate fi aleasă în 4 moduri (oricare element din A), independent de celelalte. Prin regula produsului obținem \(4\cdot4\cdot4\cdot4=4^4=256\) funcții, deci 256 de cazuri posibile.

2. 2

   Numărăm cazurile favorabile

   f(1)\in\{1\},\ f(2)\in\{1,2\},\ f(3)\in\{1,2,3\},\ f(4)\in\{1,2,3,4\}

   Condiția \(f(n)\le n\) spune că \(f(n)\) poate fi doar unul dintre numerele \(1,2,\dots,n\). Deci \(f(n)\) se alege în \(n\) moduri: \(f(1)\) în 1 mod, \(f(2)\) în 2 moduri, \(f(3)\) în 3 moduri, \(f(4)\) în 4 moduri. Alegerile sunt independente, deci înmulțim: \(1\cdot2\cdot3\cdot4=24\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{24}{256}=\frac{3}{32}

   Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile: \(p=\frac{24}{256}\). Simplificăm prin 8 și obținem \(\frac{3}{32}\).

Răspuns: \(p=\dfrac{3}{32}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(5,3)\) și \(B(-1,5)\). Determinați coordonatele punctului \(C\), știind că \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{OC}\).

Metoda: Vectori și mijlocul segmentului

1. 1

   Introducem mijlocul M al segmentului AB

   \overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)

   Dacă M este mijlocul segmentului AB, atunci pentru orice punct C avem \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}\). Această regulă a medianei ne ajută să înlocuim suma de doi vectori cu un singur vector.

2. 2

   Folosim relația din enunț

   2\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{OC}\Rightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OC}

   Din enunț, \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{OC}\). Dar suma este și \(2\overrightarrow{CM}\), deci \(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OC}\). Doi vectori egali au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime, deci C se află pe segmentul OM, exact la jumătate: C este mijlocul segmentului OM.

3. 3

   Calculăm coordonatele lui M

   x_M=\frac{5+(-1)}{2}=2,\quad y_M=\frac{3+5}{2}=4

   Coordonatele mijlocului unui segment sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor. Pentru \(A(5,3)\) și \(B(-1,5)\) obținem \(M(2,4)\).

4. 4

   Calculăm coordonatele lui C

   x_C=\frac{0+2}{2}=1,\quad y_C=\frac{0+4}{2}=2

   C este mijlocul segmentului OM, unde \(O(0,0)\) și \(M(2,4)\). Facem din nou media coordonatelor și obținem \(C(1,2)\).

Răspuns: C(1,2)

Se consideră triunghiul \(ABC\), cu \(AB=8\), măsura unghiului \(C\) de \(30^\circ\) și punctul \(O\), centrul cercului circumscris triunghiului \(ABC\). Determinați distanța de la punctul \(O\) la latura \(AB\).

Metoda: Teorema sinusurilor și triunghi echilateral

1. 1

   Aflăm raza cercului circumscris

   \frac{AB}{\sin C}=2R \Rightarrow R=\frac{8}{2\cdot\frac{1}{2}}=8

   Teorema sinusurilor spune că într-un triunghi raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este egal cu \(2R\), unde \(R\) este raza cercului circumscris. Latura \(AB\) este opusă unghiului \(C\), iar \(\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\). Deci \(2R=\frac{8}{1/2}=16\), de unde \(R=8\).

2. 2

   Identificăm triunghiul OAB

   OA=OB=R=8,\ AB=8 \Rightarrow \triangle OAB \text{ echilateral}

   Punctul \(O\) este centrul cercului, deci \(OA\) și \(OB\) sunt raze și sunt egale cu \(R=8\). Cum și \(AB=8\), toate cele trei laturi ale triunghiului \(OAB\) sunt egale cu 8, deci triunghiul este echilateral.

3. 3

   Calculăm distanța de la O la AB

   OM=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}

   Distanța de la \(O\) la dreapta \(AB\) este lungimea perpendicularei \(OM\), cu \(M\) mijlocul lui \(AB\). În triunghiul echilateral, această perpendiculară este înălțime, deci are lungimea \(\frac{l\sqrt{3}}{2}\) cu \(l=8\). Rezultă \(OM=4\sqrt{3}\). Același rezultat se obține cu Pitagora: \(OM=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\).

Răspuns: Distanța de la O la AB este \(4\sqrt{3}\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}3 & a & -2\\ 2a+1 & 1-a & -1\\ a+2 & -2 & 1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}3x+ay-2z=b\\ (2a+1)x+(1-a)y-z=c\\ (a+2)x-2y+z=-1\end{cases}\), unde \(a\), \(b\) și \(c\) sunt numere reale. a) Arătați că \(\det(A(0))=5\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(0)

   A(0)=\begin{pmatrix}3 & 0 & -2\\ 1 & 1 & -1\\ 2 & -2 & 1\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(a=0\) în matricea \(A(a)\). Obținem: \(a\to 0\), \(2a+1\to 1\), \(1-a\to 1\), \(a+2\to 2\). Facem asta pentru că ni se cere determinantul exact pentru valoarea \(a=0\).

2. 2

   Scriem determinantul și aplicăm regula lui Sarrus

   \det(A(0))=3\cdot1\cdot1+0\cdot(-1)\cdot2+(-2)\cdot1\cdot(-2)-(-2)\cdot1\cdot2-3\cdot(-1)\cdot(-2)-0\cdot1\cdot1

   La regula lui Sarrus adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Astfel obținem toți cei 6 termeni ai determinantului.

3. 3

   Efectuăm calculele

   \det(A(0))=3+0+4-(-4)-6-0=3+4+4-6=5

   Primii trei termeni sunt 3, 0 și 4. Cei scăzuți sunt \(-4\), 6 și 0, deci \(-(-4)=+4\), apoi \(-6\) și \(-0\). Suma este 5, exact valoarea cerută. Baremul scrie același rezultat sub forma \(3+4+0+4-6-0=5\).

Răspuns: \(\det(A(0))=5\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}3 & a & -2\\ 2a+1 & 1-a & -1\\ a+2 & -2 & 1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}3x+ay-2z=b\\ (2a+1)x+(1-a)y-z=c\\ (a+2)x-2y+z=-1\end{cases}\), unde \(a\), \(b\) și \(c\) sunt numere reale. II.1. b) Determinați numerele reale \(a\) pentru care matricea \(A(a)\) este inversabilă.

Metoda: Condiția det(A) ≠ 0

1. 1

   Condiția de inversabilitate

   A(a)\text{ inversabilă}\iff \det(A(a))\neq 0

   O matrice pătratică are inversă numai dacă determinantul ei este nenul. De aceea tot ce trebuie să facem este să calculăm determinantul în funcție de \(a\) și să găsim când este zero.

2. 2

   Calculul determinantului

   \det(A(a))=\begin{vmatrix}3&a&-2\\2a+1&1-a&-1\\a+2&-2&1\end{vmatrix}=5(1+a)(1-a)

   Se dezvoltă determinantul prin regula lui Sarrus: produsele de pe diagonala principală și paralelele ei, minus cele de pe diagonala secundară. Obținem \(3(1-a)+a(a+2)\cdot(-1)\cdot... \) iar după reducerea termenilor rezultă \(5(1+a)(1-a)=5-5a^2\), valabil pentru orice \(a\) real. Verificare: la \(a=0\) obținem 5, ca la punctul a).

3. 3

   Rezolvarea condiției \(\det\neq0\)

   5(1+a)(1-a)=0\iff a=-1\text{ sau }a=1

   Un produs este zero când unul dintre factori este zero. Factorul 5 nu e zero, deci \(1+a=0\) sau \(1-a=0\), adică \(a=-1\) sau \(a=1\). Pentru aceste două valori matricea nu este inversabilă, iar pentru toate celelalte este.

Răspuns: Matricea \(A(a)\) este inversabilă dacă și numai dacă \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}3 & a & -2\\ 2a+1 & 1-a & -1\\ a+2 & -2 & 1\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases}3x+ay-2z=b\\ (2a+1)x+(1-a)y-z=c\\ (a+2)x-2y+z=-1\end{cases}\), unde \(a\), \(b\) și \(c\) sunt numere reale. Itemul 1. c): Determinați numerele reale \(b\) și \(c\) pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numărul real \(a\).

Metoda: Teorema Kronecker–Capelli (determinant caracteristic)

1. 1

   Cazul \(a\neq\pm1\)

   \det A(a)=5(1+a)(1-a)\neq 0

   Dacă \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\), determinantul matricei sistemului este nenul. Sistemul este atunci compatibil determinat (are soluție unică) pentru orice \(b\) și \(c\). Deci în acest caz nu apare nicio condiție pentru \(b\) și \(c\).

2. 2

   Cazul \(a\in\{-1,1\}\): determinantul principal

   \begin{vmatrix} a & -2\\ 1-a & -1\end{vmatrix}\neq 0

   Pentru \(a=\pm1\) avem \(\det A(a)=0\), deci rangul matricei este cel mult 2. Alegem un determinant principal de ordinul 2, format din coeficienții lui \(y\) și \(z\) din primele două ecuații. Pentru \(a=-1\) el este \(\begin{vmatrix}-1&-2\\2&-1\end{vmatrix}=5\), iar pentru \(a=1\) este \(\begin{vmatrix}1&-2\\0&-1\end{vmatrix}=-1\). Ambele sunt nenule, deci rangul matricei este 2. Conform teoremei Kronecker–Capelli, sistemul este compatibil dacă și numai dacă determinantul caracteristic (bordat cu coloana termenilor liberi) este zero.

3. 3

   Determinantul caracteristic pentru \(a=-1\)

   \begin{vmatrix}-1&-2&b\\2&-1&c\\-2&1&-1\end{vmatrix}=5c-5=0

   Pentru \(a=-1\), coloanele lui \(y\), \(z\) și ale termenilor liberi sunt \((-1,2,-2)\), \((-2,-1,1)\) și \((b,c,-1)\). Dezvoltăm după prima linie: \(-1\cdot(1-c)+2\cdot(-2+2c)+b\cdot(2-2)=-1+c-4+4c=5c-5\). Coeficientul lui \(b\) este \(0\), deci \(b\) dispare. Condiția \(5c-5=0\) dă \(c=1\).

4. 4

   Determinantul caracteristic pentru \(a=1\) și concluzia

   \begin{vmatrix}1&-2&b\\0&-1&c\\-2&1&-1\end{vmatrix}=1+3c-2b=0\ \Rightarrow\ b=2,\ c=1

   Pentru \(a=1\), coloanele sunt \((1,0,-2)\), \((-2,-1,1)\) și \((b,c,-1)\). Dezvoltăm după prima linie: \(1\cdot(1-c)+2\cdot(2c)+b\cdot(-2)=1+3c-2b\). Punem condiția \(=0\) și înlocuim \(c=1\) din pasul anterior: \(1+3-2b=0\), deci \(b=2\). Ambele condiții trebuie să fie îndeplinite, pentru că sistemul trebuie compatibil și la \(a=-1\), și la \(a=1\). Răspuns: \(b=2\) și \(c=1\).

Răspuns: b = 2 și c = 1

Subiectul II, itemul 2. a): Se consideră polinomul \(f = X^4 + aX^3 + aX^2 + 8X - 8\), unde \(a\) este număr real. Arătați că \(f(-1) = -15\), pentru orice număr real \(a\).

Metoda: Calculul valorii polinomului

1. 1

   Înlocuim X cu −1

   f(-1)=(-1)^4+a\cdot(-1)^3+a\cdot(-1)^2+8\cdot(-1)-8

   Valoarea unui polinom în \(-1\) se obține scriind \(-1\) în locul lui \(X\) în fiecare termen. Punem \(-1\) între paranteze ca să nu greșim semnele.

2. 2

   Calculăm puterile și reducem termenii cu a

   f(-1)=1-a+a-8-8

   Avem \((-1)^4=1\), \(a\cdot(-1)^3=-a\), \(a\cdot(-1)^2=a\), \(8\cdot(-1)=-8\). Termenii \(-a\) și \(+a\) se anulează, deci \(a\) dispare din rezultat.

3. 3

   Calculăm numerele rămase

   f(-1)=1-8-8=-15

   După reducerea lui \(a\) rămâne \(1-8-8=-15\). Rezultatul nu depinde de \(a\), deci \(f(-1)=-15\) pentru orice număr real \(a\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(f(-1)=1-a+a-8-8=-15\), pentru orice număr real \(a\).

Se consideră polinomul \(f = X^4 + aX^3 + aX^2 + 8X - 8\), unde \(a\) este număr real. b) Determinați numărul real \(a\) pentru care restul împărțirii polinomului \(f\) la polinomul \(g = X^2 - 1\) este egal cu \(15X\).

Metoda: Teorema împărțirii cu rest

1. 1

   Scriem teorema împărțirii cu rest

   f = (X^2-1)\cdot q + r,\quad r = mX + n

   Conform teoremei împărțirii cu rest, există polinoamele \(q\) (cât) și \(r\) (rest), cu gradul lui \(r\) mai mic decât gradul lui \(g\), adică 2. Deci restul este de forma \(r = mX + n\), cu \(m, n\) numere reale.

2. 2

   Folosim rădăcinile lui g

   f(1) = r(1) = m+n,\quad f(-1) = r(-1) = -m+n

   Polinomul \(g = X^2-1 = (X-1)(X+1)\) are rădăcinile \(1\) și \(-1\). Înlocuind \(X\) cu aceste valori în relația \(f = g\cdot q + r\), termenul \(g\cdot q\) devine 0, deci \(f(1) = r(1)\) și \(f(-1) = r(-1)\).

3. 3

   Calculăm f(1) și f(-1)

   f(1) = 1 + a + a + 8 - 8 = 2a+1,\quad f(-1) = 1 - a + a - 8 - 8 = -15

   Înlocuim în \(f = X^4 + aX^3 + aX^2 + 8X - 8\). Pentru \(X=1\): \(1 + a + a + 8 - 8 = 2a + 1\). Pentru \(X=-1\): \(1 - a + a - 8 - 8 = -15\), indiferent de \(a\).

4. 4

   Aflăm restul în funcție de a

   \begin{cases} m+n = 2a+1 \\ -m+n = -15 \end{cases} \Rightarrow n = a-7,\; m = a+8

   Adunând cele două ecuații obținem \(2n = 2a - 14\), deci \(n = a - 7\). Scăzând a doua din prima: \(2m = 2a + 16\), deci \(m = a + 8\). Restul este \(r = (a+8)X + a - 7\), la fel ca în barem.

5. 5

   Egalăm restul cu 15X

   (a+8)X + a - 7 = 15X \Rightarrow a+8 = 15,\; a-7 = 0 \Rightarrow a = 7

   Două polinoame sunt egale dacă au coeficienții egali. Coeficientul lui \(X\): \(a+8 = 15\), deci \(a = 7\). Termenul liber: \(a - 7 = 0\), deci tot \(a = 7\). Cele două condiții sunt compatibile, deci \(a = 7\).

Răspuns: a = 7

Subiectul II, 2. c): Se consideră polinomul \(f = X^4 + aX^3 + aX^2 + 8X - 8\), unde \(a\) este număr real. Arătați că, pentru orice număr real \(a\), polinomul \(f\) nu are toate rădăcinile numere întregi.

Metoda: Raționament prin reducere la absurd

1. 1

   Presupunem că toate rădăcinile sunt întregi și deducem că a este întreg

   x_1+x_2+x_3+x_4=-a \Rightarrow a\in\mathbb{Z}

   Presupunem prin absurd că rădăcinile \(x_1, x_2, x_3, x_4\) ale lui \(f\) sunt numere întregi. Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este \(-\frac{a}{1} = -a\). Suma unor numere întregi este un număr întreg, deci \(-a\), și implicit \(a\), este întreg.

2. 2

   Folosim produsul rădăcinilor

   x_1x_2x_3x_4=-8 \Rightarrow |x_1|\cdot|x_2|\cdot|x_3|\cdot|x_4|=8

   Din relațiile lui Viète, produsul rădăcinilor este termenul liber (grad par, deci cu semnul lui), adică \(-8\). Luând modulul, produsul valorilor absolute este \(8\). Cum \(8 = 2^3\) iar rădăcinile sunt întregi nenule, nu putem avea patru factori toți cu modul cel puțin 2, pentru că produsul ar fi cel puțin \(2^4 = 16 > 8\). Deci cel puțin o rădăcină are modulul egal cu 1.

3. 3

   Eliminăm rădăcina −1 și deducem că 1 este rădăcină

   f(-1)=-15\neq 0 \Rightarrow f(1)=0

   La punctul a) am arătat că \(f(-1) = -15\) pentru orice \(a\), deci \(-1\) nu poate fi rădăcină. Rămâne că rădăcina cu modulul 1 este \(1\), adică \(f(1) = 0\).

4. 4

   Calculăm f(1) și obținem contradicția

   f(1)=1+a+a+8-8=2a+1=0 \Rightarrow a=-\frac{1}{2}

   Înlocuim \(x = 1\): \(f(1) = 1 + a + a + 8 - 8 = 2a + 1\). Din \(f(1) = 0\) rezultă \(a = -\frac{1}{2}\). Dar la primul pas am arătat că \(a\) este întreg, iar \(-\frac{1}{2}\) nu este întreg. Contradicție! Deci presupunerea făcută este falsă.

Răspuns: Presupunerea că toate rădăcinile sunt întregi duce la \(a\in\mathbb{Z}\) și, simultan, la \(a=-\frac{1}{2}\), ceea ce este fals. Deci, pentru orice număr real \(a\), polinomul \(f\) nu are toate rădăcinile numere întregi.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=1-x-(x^4-1)\operatorname{arctg}x\). a) Arătați că \(f'(x)=-x^2(4x\operatorname{arctg}x+1)\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata unui produs

1. 1

   Derivăm fiecare termen al funcției

   f'(x)=(1)'-(x)'-\left[(x^4-1)\operatorname{arctg}x\right]'

   Derivata unei sume sau diferențe este suma sau diferența derivatelor. Avem trei termeni: \(1\), \(x\) și produsul \((x^4-1)\operatorname{arctg}x\). Derivata lui \(1\) este \(0\), iar derivata lui \(x\) este \(1\). Rămâne produsul, pe care îl tratăm la pasul următor.

2. 2

   Aplicăm regula de derivare a produsului

   \left[(x^4-1)\operatorname{arctg}x\right]'=4x^3\operatorname{arctg}x+(x^4-1)\cdot\frac{1}{x^2+1}

   Regula este \((u\cdot v)'=u'v+uv'\). Aici \(u=x^4-1\), deci \(u'=4x^3\), iar \(v=\operatorname{arctg}x\), deci \(v'=\frac{1}{x^2+1}\). Obținem astfel \(f'(x)=-1-4x^3\operatorname{arctg}x-(x^4-1)\cdot\frac{1}{x^2+1}\), exact ca în barem.

3. 3

   Simplificăm fracția

   x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)\ \Rightarrow\ \frac{x^4-1}{x^2+1}=x^2-1

   Descompunem \(x^4-1\) ca diferență de pătrate: \(x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)\). Factorul \(x^2+1\) se simplifică cu numitorul (este mereu nenul). Rămâne \(x^2-1\), deci \(f'(x)=-1-4x^3\operatorname{arctg}x-(x^2-1)=-1-4x^3\operatorname{arctg}x-x^2+1\).

4. 4

   Reducem termenii și dăm factor comun

   f'(x)=-4x^3\operatorname{arctg}x-x^2=-x^2(4x\operatorname{arctg}x+1)

   În \(-1-4x^3\operatorname{arctg}x-x^2+1\) termenii \(-1\) și \(+1\) se reduc. Rămâne \(-4x^3\operatorname{arctg}x-x^2\). Dăm factor comun \(-x^2\): \(-4x^3\operatorname{arctg}x=-x^2\cdot 4x\operatorname{arctg}x\) și \(-x^2=-x^2\cdot 1\). Obținem forma cerută, valabilă pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Răspuns: \(f'(x)=-x^2(4x\operatorname{arctg}x+1)\), \(x\in\mathbb{R}\), ceea ce trebuia demonstrat.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=1-x-(x^4-1)\operatorname{arctg}x\). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) care este paralelă cu axa \(Ox\).

Metoda: Tangenta paralelă cu Ox: f'(x₀)=0

1. 1

   Condiția de paralelism cu Ox

   f'(x_0)=0

   Tangenta la grafic în punctul \(A(x_0,f(x_0))\) are panta \(f'(x_0)\). O dreaptă paralelă cu axa \(Ox\) are panta 0, deci trebuie ca \(f'(x_0)=0\).

2. 2

   Rezolvarea ecuației f'(x₀)=0

   -x_0^2\left(4x_0\operatorname{arctg}x_0+1\right)=0

   Înlocuim derivata de la a). Produsul este nul dacă un factor este nul. Factorul \(4x_0\operatorname{arctg}x_0+1\) nu se anulează, pentru că \(x_0\operatorname{arctg}x_0\ge 0\) pentru orice \(x_0\) real (x și arctg x au același semn), deci \(4x_0\operatorname{arctg}x_0+1\ge 1>0\). Rămâne \(x_0^2=0\), adică \(x_0=0\).

3. 3

   Calculul lui f(0)

   f(0)=1-0-(0^4-1)\operatorname{arctg}0=1

   Pentru ecuația tangentei avem nevoie și de ordonata punctului de tangență. Cum \(\operatorname{arctg}0=0\), obținem \(f(0)=1\).

4. 4

   Ecuația tangentei

   y-f(0)=f'(0)(x-0)\;\Rightarrow\; y=1

   Folosim formula \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\). Cu \(f(0)=1\) și \(f'(0)=0\) obținem \(y-1=0\), deci \(y=1\). Aceasta este o dreaptă orizontală, deci este paralelă cu \(Ox\), așa cum cerea problema.

Răspuns: Ecuația tangentei la graficul lui \(f\) paralele cu axa \(Ox\) este \(y=1\), în punctul \(x_0=0\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=1-x-(x^4-1)\operatorname{arctg}x\). Itemul 1. c): Demonstrați că \(\operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\ge f(\operatorname{tg}x)\), pentru orice \(x\in[0,1]\).

Metoda: Monotonie și inegalitatea tg x ≥ x

1. 1

   Semnul derivatei lui f

   f'(x)=-x^2(4x\operatorname{arctg}x+1)\le 0

   Din punctul a) știm că \(f'(x)=-x^2(4x\operatorname{arctg}x+1)\). Produsul \(x\operatorname{arctg}x\) este mereu \(\ge 0\): dacă \(x\ge0\), atunci \(\operatorname{arctg}x\ge0\), iar dacă \(x<0\), atunci \(\operatorname{arctg}x<0\) și produsul e pozitiv. Deci paranteza \(4x\operatorname{arctg}x+1\ge1>0\), iar \(-x^2\le0\). Rezultă \(f'(x)\le0\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

2. 2

   Valorile lui f pe [0,1]

   f \text{ descrescătoare},\; f(0)=1,\; f(1)=0 \Rightarrow 0\le f(x)\le1

   Cum \(f'\le0\), funcția \(f\) este descrescătoare pe \(\mathbb{R}\). Calculăm \(f(0)=1-0-(0-1)\cdot0=1\) și \(f(1)=1-1-(1-1)\operatorname{arctg}1=0\). Pentru \(x\in[0,1]\) avem \(0\le x\le1\), deci \(f(1)\le f(x)\le f(0)\), adică \(0\le f(x)\le1\).

3. 3

   Inegalitatea tg x ≥ x pe [0,1]

   g(x)=\operatorname{tg}x-x,\; g'(x)=\frac{1}{\cos^2x}-1\ge0

   Definim \(g:[0,1]\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\operatorname{tg}x-x\). Atunci \(g'(x)=\frac{1}{\cos^2x}-1\ge0\), deoarece \(\cos^2x\le1\). Deci \(g\) este crescătoare, iar \(g(0)=0\), de unde \(g(x)\ge0\), adică \(\operatorname{tg}x\ge x\) pentru \(x\in[0,1]\).

4. 4

   Concluzia

   \operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\ge f(\operatorname{tg}x)

   Primul semn: \(f(x)\in[0,1]\), iar pe \([0,1]\) avem \(\operatorname{tg}t\ge t\). Luăm \(t=f(x)\) și obținem \(\operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\). Al doilea semn: pentru \(x\in[0,1]\) avem \(\operatorname{tg}x\ge x\) și \(f\) este descrescătoare, deci \(f(\operatorname{tg}x)\le f(x)\). Cele două inegalități dau \(\operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\ge f(\operatorname{tg}x)\), pentru orice \(x\in[0,1]\).

Răspuns: Am arătat că \(0\le f(x)\le1\) și \(\operatorname{tg}x\ge x\) pe \([0,1]\), deci \(\operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\ge f(\operatorname{tg}x)\) pentru orice \(x\in[0,1]\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}\). a) Arătați că \(\int_0^3 \left(1+e^{-x}\right) f(x)\,dx = 8+e^3\).

Metoda: Integrare directă a unei funcții simple

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   \left(1+e^{-x}\right)f(x)=\left(1+e^{-x}\right)\cdot\frac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}=x^2+e^x

   Înlocuim \(f(x)\) cu formula ei. Factorul \(1+e^{-x}\) apare la numărător și la numitor, iar el este mereu strict pozitiv (deci diferit de zero), așa că se simplifică. Rămâne \(x^2+e^x\), o funcție ușor de integrat.

2. 2

   Aflăm o primitivă și aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_0^3\left(x^2+e^x\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+e^x\right)\Big|_0^3

   Primitiva lui \(x^2\) este \(\frac{x^3}{3}\), iar primitiva lui \(e^x\) este tot \(e^x\). Apoi, pentru integrala definită, calculăm primitiva în capătul de sus și scădem valoarea ei în capătul de jos.

3. 3

   Calculăm valorile și obținem rezultatul

   \left(\frac{27}{3}+e^3\right)-\left(0+e^0\right)=9+e^3-1=8+e^3

   În capătul de sus, \(3^3=27\), deci \(\frac{27}{3}=9\), iar termenul cu exponențială este \(e^3\). În capătul de jos, \(\frac{0^3}{3}=0\) și \(e^0=1\). Scăzând, \(9+e^3-1=8+e^3\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^3 (1+e^{-x})f(x)\,dx = 8+e^3\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_{-m}^{m}\dfrac{f(x)}{x^2+e^x}\,dx=m\), pentru orice \(m\in(0,+\infty)\).

Metoda: Integrare prin derivata lui \(e^x+1\)

1. 1

   Simplificăm funcția de integrat

   \frac{f(x)}{x^2+e^x}=\frac{1}{1+e^{-x}}

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia ei: \(\dfrac{f(x)}{x^2+e^x}=\dfrac{x^2+e^x}{(1+e^{-x})(x^2+e^x)}\). Factorul \(x^2+e^x\) este strict pozitiv (\(e^x>0\)), deci putem simplifica și rămâne \(\dfrac{1}{1+e^{-x}}\).

2. 2

   Aducem fracția la forma cu derivata la numărător

   \frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{e^x}{e^x+1}=\frac{(e^x+1)'}{e^x+1}

   Amplificăm fracția cu \(e^x\): \(\dfrac{1\cdot e^x}{(1+e^{-x})e^x}=\dfrac{e^x}{e^x+1}\), deoarece \(e^{-x}\cdot e^x=1\). Numărătorul \(e^x\) este chiar derivata numitorului \(e^x+1\), deci integrala este de forma \(\int \frac{u'}{u}=\ln|u|\).

3. 3

   Calculăm integrala și obținem \(m\)

   \int_{-m}^{m}\frac{e^x}{e^x+1}dx=\ln(1+e^x)\Big|_{-m}^{m}=\ln(1+e^m)-\ln(1+e^{-m})=\ln\frac{1+e^m}{\frac{1+e^m}{e^m}}=\ln e^m=m

   Primitiva este \(\ln(1+e^x)\) (nu avem nevoie de modul, \(1+e^x>0\)). Aplicăm formula Leibniz–Newton. Apoi \(1+e^{-m}=\dfrac{e^m+1}{e^m}\), iar diferența de logaritmi devine logaritmul câtului: \(\ln\dfrac{1+e^m}{(1+e^m)/e^m}=\ln e^m=m\). Așadar egalitatea este demonstrată pentru orice \(m>0\).

Răspuns: \(\displaystyle\int_{-m}^{m}\frac{f(x)}{x^2+e^x}dx=\ln(1+e^x)\Big|_{-m}^{m}=\ln e^m=m\), pentru orice \(m\in(0,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}\). c) Determinați numărul real nenul \(a\) pentru care \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{e^{ax}-1}\int_0^x f(t)\,dt\right)=1\).

Metoda: Regula lui l'Hôpital

1. 1

   Recunoaștem nedeterminarea 0/0

   \int_0^x f(t)\,dt\to 0,\quad e^{ax}-1\to 0 \ \text{pentru } x\to 0

   Funcția \(f\) este continuă pe \(\mathbb{R}\), deci \(F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\) este derivabilă și \(F'(x)=f(x)\). Când \(x\to 0\), integrala pe un interval de lungime tinzând la 0 tinde la 0 (\(F(0)=0\)). La numitor, \(e^{ax}\to 1\), deci \(e^{ax}-1\to 0\). Avem forma \(\frac{0}{0}\), deci putem aplica l'Hôpital.

2. 2

   Aplicăm regula lui l'Hôpital

   \lim_{x\to0}\frac{\int_0^x f(t)\,dt}{e^{ax}-1}=\lim_{x\to0}\frac{\left(\int_0^x f(t)\,dt\right)'}{\left(e^{ax}-1\right)'}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{a\,e^{ax}}

   Derivăm numărătorul: conform teoremei fundamentale a calculului integral, derivata integralei cu limita superioară \(x\) este \(f(x)\). Derivăm numitorul: \((e^{ax}-1)'=a\,e^{ax}\). Obținem raportul \(\frac{f(x)}{ae^{ax}}\).

3. 3

   Calculăm limita

   \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{a e^{ax}}=\frac{f(0)}{a\cdot e^{0}}=\frac{1}{a}\cdot f(0),\quad f(0)=\frac{0^2+e^0}{1+e^{0}}=\frac{1}{2}

   Funcția \(f\) este continuă, deci \(\lim_{x\to0}f(x)=f(0)\). Calculăm \(f(0)=\frac{0+1}{1+1}=\frac12\). Iar \(a e^{ax}\to a\). Rezultă că limita este \(\frac{1}{2a}\).

4. 4

   Determinăm a

   \frac{1}{2a}=1\ \Rightarrow\ a=\frac12

   Condiția din enunț cere ca limita să fie 1, deci \(\frac{1}{2a}=1\), de unde \(2a=1\) și \(a=\frac12\). Valoarea este nenulă, deci convine.

Răspuns: \(a=\dfrac12\)