Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2023, sesiunea august (varianta 07)

Arătați că \(3-4i+i(4-i)=4\), unde \(i^2=-1\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Desfacem paranteza

   3-4i+i(4-i)=3-4i+4i-i^2

   Înmulțim pe \(i\) cu fiecare termen din paranteză: \(i\cdot 4=4i\) și \(i\cdot(-i)=-i^2\). Facem asta ca să scăpăm de paranteză și să putem reduce termenii asemenea.

2. 2

   Reducem termenii și folosim \(i^2=-1\)

   3-4i+4i-i^2=3-i^2=3-(-1)=3+1

   Termenii \(-4i\) și \(+4i\) se anulează, deoarece sunt opuși. Rămâne \(3-i^2\). Cum \(i^2=-1\), obținem \(3-(-1)=3+1\).

3. 3

   Concluzia

   3+1=4

   Am obținut exact 4, deci egalitatea cerută este adevărată.

Răspuns: Am obținut \(3-4i+i(4-i)=3+1=4\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=4-2x\). Arătați că \((f\circ f)(1)=0\).

Metoda: Compunerea funcțiilor

1. 1

   Calculăm f(1)

   f(1)=4-2\cdot 1=2

   Compunerea \((f\circ f)(1)\) înseamnă \(f(f(1))\). Funcția din interior se aplică prima, deci întâi aflăm \(f(1)\), înlocuind pe x cu 1 în formula \(f(x)=4-2x\).

2. 2

   Calculăm f(f(1)) = f(2)

   (f\circ f)(1)=f(f(1))=f(2)=4-2\cdot 2=0

   Am obținut \(f(1)=2\), deci \(f(f(1))=f(2)\). Înlocuim acum x cu 2 în formulă: \(4-2\cdot 2=4-4=0\). Astfel am arătat că \((f\circ f)(1)=0\).

Răspuns: \((f\circ f)(1)=f(f(1))=f(2)=0\), deci egalitatea este demonstrată.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_5\left(x^2-2x+6\right)=\log_5 6\).

Metoda: Injectivitatea funcției logaritm

1. 1

   Condiția de existență și egalarea argumentelor

   x^2-2x+6=6

   Logaritmul \(\log_5 u\) există doar pentru \(u>0\). Aici \(x^2-2x+6=(x-1)^2+5>0\) pentru orice \(x\), deci nu apar restricții. Cum baza este aceeași (5) și funcția logaritm este injectivă, din \(\log_5 A=\log_5 B\) rezultă \(A=B\). Obținem \(x^2-2x+6=6\).

2. 2

   Rezolvarea ecuației de gradul al doilea

   x^2-2x=0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ sau } x=2

   Scădem 6 din ambii membri și obținem \(x^2-2x=0\). Dăm factor comun pe \(x\): \(x(x-2)=0\). Un produs este zero când un factor este zero, deci \(x=0\) sau \(x=2\).

3. 3

   Verificarea soluțiilor

   x=0:\ 0-0+6=6>0;\quad x=2:\ 4-4+6=6>0

   Verificăm că argumentul logaritmului este pozitiv pentru ambele valori. Pentru \(x=0\) și \(x=2\) se obține 6, deci \(\log_5 6=\log_5 6\), adevărat. Ambele soluții convin.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=0\) și \(x=2\), adică \(S=\{0,2\}\).

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu \(3\) și cu \(7\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt \(10, 11, \ldots, 99\). Pentru a număra elementele unui șir de numere consecutive, scădem primul din ultim și adăugăm \(1\), ca să includem ambele capete. Obținem \(90\) de cazuri posibile.

2. 2

   Găsim cazurile favorabile

   21k,\ k\in\mathbb{N},\ 10\le 21k\le 99 \Rightarrow k\in\{1,2,3,4\}

   Un număr divizibil cu \(3\) și cu \(7\) este divizibil cu \(3\cdot 7=21\), pentru că \(3\) și \(7\) sunt prime între ele. Deci căutăm multiplii lui \(21\) de două cifre: \(21, 42, 63, 84\). Următorul ar fi \(105\), care are trei cifre. Sunt deci \(4\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}

   Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: \(p=\frac{4}{90}\). Simplificăm fracția prin \(2\) și obținem \(\frac{2}{45}\), la fel ca în barem.

Răspuns: \(p=\dfrac{2}{45}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,2)\), \(B(a,0)\) și \(C(0,b)\). Determinați numerele reale \(a\) și \(b\), știind că punctul \(A\) este mijlocul segmentului \(BC\).

Metoda: Formula coordonatelor mijlocului

1. 1

   Scriem coordonatele mijlocului segmentului BC

   A\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+b}{2}\right)

   Mijlocul unui segment cu capetele \(B(x_B,y_B)\) și \(C(x_C,y_C)\) are coordonatele \(\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)\). Aici \(B(a,0)\) și \(C(0,b)\), deci \(x_B=a\), \(y_B=0\), \(x_C=0\), \(y_C=b\). Cum \(A\) este mijlocul, coordonatele lui \(A\) sunt aceste valori.

2. 2

   Egalăm cu coordonatele lui A și aflăm a și b

   \frac{a}{2}=1,\quad \frac{b}{2}=2 \Rightarrow a=2,\; b=4

   Știm că \(A(1,2)\). Egalăm abscisa: \(\frac{a}{2}=1\), deci \(a=2\). Egalăm ordonata: \(\frac{b}{2}=2\), deci \(b=4\). Verificare: mijlocul segmentului cu \(B(2,0)\) și \(C(0,4)\) este \(\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(1,2)\), adică exact \(A\).

Răspuns: \(a=2\) și \(b=4\)

Se consideră triunghiul \(ABC\), cu \(AB = AC = 10\) și \(BC = 16\). Arătați că \(AD = 6\), unde \(AD\) este înălțime în triunghiul \(ABC\).

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Aflăm lungimea lui BD

   BD=\frac{BC}{2}=\frac{16}{2}=8

   Triunghiul \(ABC\) este isoscel cu \(AB = AC\), iar \(AD\perp BC\). Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârf este și mediană, deci \(D\) este mijlocul lui \(BC\). De aceea \(BD = 16 : 2 = 8\). Astfel triunghiul \(ABD\) este dreptunghic în \(D\), cu ipotenuza \(AB = 10\) și catetele \(BD = 8\) și \(AD\).

2. 2

   Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABD

   AD^2=AB^2-BD^2=10^2-8^2=100-64=36

   În triunghiul dreptunghic \(ABD\) (unghi drept în \(D\)), pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor: \(AB^2 = AD^2 + BD^2\). Din această relație scoatem \(AD^2 = AB^2 - BD^2\).

3. 3

   Aflăm AD

   AD=\sqrt{36}=6

   Cum \(AD\) este o lungime, deci pozitivă, \(AD=\sqrt{36}=6\). Am arătat astfel că \(AD = 6\), exact ce ni se cerea.

Răspuns: \(AD = 6\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x+1&2x+1\\x-1&2x-1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(B(2))=4\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea B(2)

   B(2)=\begin{pmatrix}2+1&2\cdot 2+1\\2-1&2\cdot 2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5\\1&3\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(x\) cu \(2\) în \(B(x)\). Facem asta pentru că determinantul se calculează pentru o matrice cu numere, nu cu necunoscută. Obținem \(x+1=3\), \(2x+1=5\), \(x-1=1\), \(2x-1=3\).

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(B(2))=\begin{vmatrix}3&5\\1&3\end{vmatrix}=3\cdot 3-5\cdot 1=9-5=4

   Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici \(3\cdot 3=9\) și \(5\cdot 1=5\), deci \(9-5=4\), exact cât trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(B(2))=4\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x+1&2x+1\\x-1&2x-1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(B(0)\cdot B(1)=aA\).

Metoda: Înmulțirea matricelor

1. 1

   Calculăm B(0) și B(1)

   B(0)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix},\quad B(1)=\begin{pmatrix}2&3\\0&1\end{pmatrix}

   Înlocuim pe rând \(x=0\) și \(x=1\) în fiecare element al matricei \(B(x)\). Pentru \(x=0\): \(0+1=1\), \(2\cdot0+1=1\), \(0-1=-1\), \(2\cdot0-1=-1\). Pentru \(x=1\): \(1+1=2\), \(2\cdot1+1=3\), \(1-1=0\), \(2\cdot1-1=1\).

2. 2

   Calculăm produsul B(0)·B(1)

   B(0)\cdot B(1)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\-2&-4\end{pmatrix}

   Elementul de pe linia \(i\), coloana \(j\) se obține înmulțind linia \(i\) din prima matrice cu coloana \(j\) din a doua: \(1\cdot2+1\cdot0=2\); \(1\cdot3+1\cdot1=4\); \(-1\cdot2+(-1)\cdot0=-2\); \(-1\cdot3+(-1)\cdot1=-4\).

3. 3

   Scriem produsul ca multiplu al lui A

   \begin{pmatrix}2&4\\-2&-4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}=2A

   Fiecare element al produsului este de două ori elementul corespunzător din \(A\): \(2=2\cdot1\), \(4=2\cdot2\), \(-2=2\cdot(-1)\), \(-4=2\cdot(-2)\). Deci \(B(0)\cdot B(1)=2A\).

4. 4

   Determinăm a

   aA=2A\ \Rightarrow\ a=2

   Din \(B(0)\cdot B(1)=aA\) și \(B(0)\cdot B(1)=2A\) rezultă \(aA=2A\). Cum \(A\) nu este matricea nulă, egalitatea are loc doar pentru \(a=2\).

Răspuns: \(a=2\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x+1&2x+1\\x-1&2x-1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A\cdot B(x)=A\cdot\left(B(0)-3I_2\right)\).

Metoda: Calcul matriceal și egalarea matricelor

1. 1

   Calculăm A·B(x)

   A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x+1&2x+1\\x-1&2x-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-1&6x-1\\-3x+1&-6x+1\end{pmatrix}

   Înmulțim matricele „linie cu coloană”. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este \(1\cdot(x+1)+2\cdot(x-1)=3x-1\). Linia 1, coloana 2: \(1\cdot(2x+1)+2\cdot(2x-1)=6x-1\). Linia 2, coloana 1: \(-(x+1)-2(x-1)=-3x+1\). Linia 2, coloana 2: \(-(2x+1)-2(2x-1)=-6x+1\).

2. 2

   Calculăm B(0) − 3I₂

   B(0)-3I_2=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\-1&-4\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x=0\) în \(B(x)\): \(B(0)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\). Apoi scădem \(3I_2\) element cu element.

3. 3

   Calculăm A·(B(0) − 3I₂)

   A\cdot\left(B(0)-3I_2\right)=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&1\\-1&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&-7\\4&7\end{pmatrix}

   Aceeași regulă linie cu coloană: \(1\cdot(-2)+2\cdot(-1)=-4\); \(1\cdot1+2\cdot(-4)=-7\); \(-1\cdot(-2)-2\cdot(-1)=4\); \(-1\cdot1-2\cdot(-4)=7\).

4. 4

   Egalăm matricele și aflăm x

   \begin{pmatrix}3x-1&6x-1\\-3x+1&-6x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&-7\\4&7\end{pmatrix}\Rightarrow 3x-1=-4\Rightarrow x=-1

   Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Din \(3x-1=-4\) obținem \(3x=-3\), deci \(x=-1\). Verificăm și celelalte elemente: \(6x-1=-7\), \(-3x+1=4\), \(-6x+1=7\), toate adevărate pentru \(x=-1\).

Răspuns: x = -1

Se consideră polinomul \(f = X^3 + 2X^2 + mX - 3\), unde \(m\) este număr real. a) Pentru \(m = 0\), arătați că \(f(1) = 0\).

Metoda: Calculul valorii unui polinom

1. 1

   Scriem polinomul pentru m = 0

   f = X^3 + 2X^2 - 3

   Enunțul ne spune că \(m = 0\). Termenul \(mX\) devine \(0 \cdot X = 0\), deci dispare. Rămâne polinomul \(f = X^3 + 2X^2 - 3\).

2. 2

   Calculăm f(1)

   f(1) = 1^3 + 2\cdot 1^2 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0

   Pentru a afla \(f(1)\), înlocuim \(X\) cu 1 în polinom. Avem \(1^3 = 1\) și \(2 \cdot 1^2 = 2\). Suma \(1 + 2 - 3\) dă 0, deci \(f(1) = 0\), ceea ce trebuia arătat. Asta înseamnă și că 1 este rădăcină a lui \(f\).

Răspuns: Pentru \(m = 0\), \(f(1) = 1 + 2 - 3 = 0\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră polinomul \(f = X^3 + 2X^2 + mX - 3\), unde \(m\) este număr real. Determinați numărul real \(m\) pentru care polinomul \(f\) este divizibil cu polinomul \(X+1\).

Metoda: Teorema lui Bézout

1. 1

   Folosim teorema lui Bézout (restul împărțirii)

   f \text{ divizibil cu } X+1 \iff f(-1)=0

   Restul împărțirii lui \(f\) la \(X-a\) este \(f(a)\). Aici \(X+1 = X-(-1)\), deci \(a=-1\). Polinomul \(f\) este divizibil cu \(X+1\) exact când restul este zero, adică \(f(-1)=0\).

2. 2

   Calculăm \(f(-1)\)

   f(-1)=(-1)^3+2(-1)^2+m(-1)-3=-1+2-m-3=-m-2

   Înlocuim \(X\) cu \(-1\) peste tot. Avem \((-1)^3=-1\) și \((-1)^2=1\), deci \(2\cdot 1=2\). Termenul cu \(m\) devine \(-m\). Adunând numerele: \(-1+2-3=-2\).

3. 3

   Punem condiția \(f(-1)=0\) și aflăm \(m\)

   -m-2=0 \Rightarrow m=-2

   Restul trebuie să fie zero, deci \(-m-2=0\). Mutăm \(2\) în dreapta: \(-m=2\), deci \(m=-2\).

4. 4

   Verificare

   f=X^3+2X^2-2X-3,\quad f(-1)=-1+2+2-3=0

   Pentru \(m=-2\), înlocuim din nou \(X=-1\) și obținem \(0\), deci \(X+1\) divide \(f\).

Răspuns: \(m=-2\)

Se consideră polinomul \(f = X^3 + 2X^2 + mX - 3\), unde \(m\) este număr real. Determinați numărul real \(m\) pentru care \((1-x_1)(1-x_2)(1-x_3) = x_1x_2x_3\), unde \(x_1\), \(x_2\) și \(x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).

Metoda: Descompunere după rădăcini și relațiile Viète

1. 1

   Scriem polinomul cu ajutorul rădăcinilor

   f = (X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)

   Polinomul \(f\) are gradul 3, coeficientul dominant 1 și rădăcinile \(x_1, x_2, x_3\). Prin urmare se descompune ca \(f = (X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)\). Facem acest pas ca să putem recunoaște produsul din enunț ca o valoare a lui \(f\).

2. 2

   Recunoaștem produsul ca valoarea lui f în 1

   (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3) = f(1)

   Înlocuim \(X = 1\) în descompunerea de la pasul anterior și obținem \(f(1) = (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)\). Calculăm \(f(1)\) direct din forma polinomului: \(f(1) = 1 + 2 + m - 3 = m\). Deci partea stângă a egalității din enunț este egală cu \(m\), pentru orice \(m\) real.

3. 3

   Aflăm produsul rădăcinilor cu relațiile lui Viète

   x_1x_2x_3 = -\frac{-3}{1} = 3

   Pentru un polinom de gradul 3, \(aX^3 + bX^2 + cX + d\), produsul rădăcinilor este \(-\frac{d}{a}\). Aici \(a = 1\) și \(d = -3\), deci \(x_1x_2x_3 = 3\).

4. 4

   Egalăm și aflăm m

   m = 3

   Egalitatea din enunț devine \(m = 3\), pentru că partea stângă este \(m\), iar partea dreaptă este 3. Deci \(m = 3\). Verificare: pentru \(m=3\), \(f = X^3+2X^2+3X-3\), iar \(f(1) = 3\) este egal cu produsul rădăcinilor, 3.

Răspuns: \(m = 3\)

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2+x-2}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}\), \(x\in(1,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui cât de funcții

1. 1

   Scriem formula derivatei câtului

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția \(f\) este un cât: \(u(x)=3x^2\) la numărător și \(v(x)=x^2+x-2\) la numitor. Pentru un cât folosim formula \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\). Calculăm separat derivatele: \(u'(x)=6x\) și \(v'(x)=2x+1\).

2. 2

   Înlocuim în formulă

   f'(x)=\frac{6x(x^2+x-2)-3x^2(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}

   Punem în formulă \(u'=6x\), \(v=x^2+x-2\), \(u=3x^2\), \(v'=2x+1\). Numitorul rămâne \(v^2=(x^2+x-2)^2\). Astfel obținem exact prima egalitate din barem.

3. 3

   Desfacem parantezele și reducem termenii

   6x^3+6x^2-12x-6x^3-3x^2=3x^2-12x

   La numărător înmulțim: \(6x(x^2+x-2)=6x^3+6x^2-12x\) și \(3x^2(2x+1)=6x^3+3x^2\). Scădem: termenii \(6x^3\) se reduc, iar \(6x^2-3x^2=3x^2\). Rămâne \(3x^2-12x\).

4. 4

   Dăm factor comun și încheiem

   3x^2-12x=3x(x-4)\ \Rightarrow\ f'(x)=\frac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}

   Din \(3x^2-12x\) dăm factor comun \(3x\) și obținem \(3x(x-4)\). Numitorul rămâne neschimbat. Astfel am ajuns exact la forma cerută, pentru orice \(x\in(1,+\infty)\).

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}\), pentru \(x\in(1,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2+x-2}\). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Calculul limitei la plus infinit

1. 1

   Calculăm limita funcției la +∞

   \lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{x^2+x-2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=3

   Avem o fracție cu polinoame de același grad (2) la numărător și numitor. Împărțim numărătorul și numitorul la \(x^2\), cea mai mare putere a lui \(x\). Obținem \(\dfrac{3}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}\). Când \(x\to+\infty\), fracțiile \(\dfrac{1}{x}\) și \(\dfrac{2}{x^2}\) tind la 0, deci numitorul tinde la 1, iar limita este \(\dfrac{3}{1}=3\).

2. 2

   Scriem ecuația asimptotei

   y=3

   Limita lui \(f\) la \(+\infty\) este numărul real 3. Prin definiție, dreapta \(y=\ell\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției când \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\). Deci dreapta de ecuație \(y=3\) este asimptota orizontală spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\).

Răspuns: Asimptota orizontală spre \(+\infty\) are ecuația \(y=3\).

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2+x-2}\). c) Demonstrați că \(f(x)+f(x^2)\ge \dfrac{17}{3}\), pentru orice \(x\in(1,2]\).

Metoda: Monotonia funcției cu derivata

1. 1

   Semnul derivatei pe (1, 4]

   f'(x)=\frac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}\le 0,\ x\in(1,4]

   De la punctul a) știm că \(f'(x)=\dfrac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}\). Numitorul este un pătrat, deci pozitiv pe \((1,+\infty)\) (aici \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)>0\)). Factorul \(3x\) este pozitiv, iar \(x-4\le 0\) pentru \(x\le 4\). Deci \(f'(x)\le 0\) pe \((1,4]\), iar \(f\) este descrescătoare pe \((1,4]\).

2. 2

   Comparăm x și x² cu 2 și 4

   1<x\le 2\Rightarrow 1<x^2\le 4

   Dacă \(x\in(1,2]\), atunci \(x\) și \(x^2\) sunt ambele în \((1,4]\), unde \(f\) este descrescătoare. Cum \(x\le 2\), avem \(x^2\le 4\). Deoarece f descrește, \(x\le 2\Rightarrow f(x)\ge f(2)\) și \(x^2\le 4\Rightarrow f(x^2)\ge f(4)\).

3. 3

   Calculăm f(2) și f(4)

   f(2)=\frac{3\cdot 4}{4+2-2}=3,\quad f(4)=\frac{3\cdot 16}{16+4-2}=\frac{48}{18}=\frac{8}{3}

   Înlocuim în formula funcției. Pentru \(x=2\): numărătorul este \(3\cdot 4=12\), numitorul \(4+2-2=4\), deci \(f(2)=3\). Pentru \(x=4\): numărătorul \(48\), numitorul \(16+4-2=18\), deci \(f(4)=\frac{8}{3}\).

4. 4

   Adunăm inegalitățile

   f(x)+f(x^2)\ge f(2)+f(4)=3+\frac{8}{3}=\frac{17}{3}

   Adunăm \(f(x)\ge f(2)=3\) cu \(f(x^2)\ge f(4)=\frac{8}{3}\). Obținem \(f(x)+f(x^2)\ge 3+\frac{8}{3}=\frac{17}{3}\), pentru orice \(x\in(1,2]\), ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Am arătat că \(f(x)+f(x^2)\ge \dfrac{17}{3}\) pentru orice \(x\in(1,2]\), folosind că f este descrescătoare pe (1, 4], cu f(2)=3 și f(4)=8/3.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x(x-1)^2\). a) Arătați că \(\int_{3}^{7}\frac{f(x)}{(x-1)^2}\,dx=20\).

Metoda: Simplificare și integrală de bază

1. 1

   Simplificăm funcția de sub integrală

   \frac{f(x)}{(x-1)^2}=\frac{x(x-1)^2}{(x-1)^2}=x

   Înlocuim \(f(x)=x(x-1)^2\) în fracție. Pe intervalul \([3,7]\) avem \(x-1\neq 0\), deci putem simplifica prin \((x-1)^2\). Rămâne doar \(x\), iar integrala devine \(\int_3^7 x\,dx\).

2. 2

   Găsim o primitivă și aplicăm Leibniz-Newton

   \int_3^7 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_3^7

   O primitivă a lui \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\), conform formulei \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Formula Leibniz-Newton spune că integrala definită este valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea ei în capătul de jos.

3. 3

   Calculăm rezultatul și verificăm

   \frac{49}{2}-\frac{9}{2}=\frac{40}{2}=20

   Scădem cele două fracții cu același numitor: \(49-9=40\), iar \(\frac{40}{2}=20\). Obținem exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_3^7\frac{f(x)}{(x-1)^2}dx=\int_3^7 x\,dx=\frac{49}{2}-\frac{9}{2}=20\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x(x-1)^2\). b) Arătați că \(\int_{2}^{3}\frac{x}{f(x)}\,dx=\frac{1}{2}\).

Metoda: Integrare directă prin derivata lui x-1

1. 1

   Simplificăm fracția de sub integrală

   \frac{x}{f(x)}=\frac{x}{x(x-1)^2}=\frac{1}{(x-1)^2}

   Înlocuim f(x) cu x(x−1)². Pe intervalul [2,3] avem x ≠ 0 și x ≠ 1, deci putem simplifica prin x. Facem asta ca să obținem o funcție mult mai simplă de integrat.

2. 2

   Găsim primitiva

   \int_{2}^{3}\frac{(x-1)'}{(x-1)^2}\,dx=-\frac{1}{x-1}\Big|_{2}^{3}

   Observăm că (x−1)'=1, deci \(\frac{1}{(x-1)^2}\) este de forma \(\frac{u'}{u^2}\), cu u=x−1. O primitivă a lui \(\frac{u'}{u^2}\) este \(-\frac{1}{u}\). Verificare: derivata lui \(-\frac{1}{x-1}\) este \(\frac{1}{(x-1)^2}\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   -\frac{1}{3-1}-\left(-\frac{1}{2-1}\right)=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}

   Calculăm primitiva în limita de sus (x=3) și scădem valoarea ei în limita de jos (x=2). Obținem −1/2 − (−1) = −1/2 + 1 = 1/2, exact rezultatul cerut.

Răspuns: \(\int_{2}^{3}\frac{x}{f(x)}\,dx=\frac{1}{2}\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x(x-1)^2\). c) Arătați că \(\int_0^1 \frac{x f(e^x)}{e^x}\,dx=\frac{e^2-5}{4}\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm funcția de sub integrală

   \frac{x f(e^x)}{e^x}=\frac{x\cdot e^x(e^x-1)^2}{e^x}=x(e^x-1)^2

   Înlocuim \(x\) cu \(e^x\) în \(f(x)=x(x-1)^2\): obținem \(f(e^x)=e^x(e^x-1)^2\). Factorul \(e^x\) de la numărător se reduce cu \(e^x\) de la numitor. Rămâne \(x(e^x-1)^2\).

2. 2

   Dezvoltăm pătratul

   x(e^x-1)^2=x\left(e^{2x}-2e^x+1\right)

   Folosim formula \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) cu \(a=e^x\), \(b=1\). Ne trebuie primitiva lui \(e^{2x}-2e^x\), care este ușor de găsit.

3. 3

   Alegem primitiva pentru integrarea prin părți

   \left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right)'=e^{2x}-2e^x

   Integrala devine \(\int_0^1 x\left[(e^{2x}-2e^x)+1\right]dx\). Scriem \(e^{2x}-2e^x\) ca derivata lui \(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\), iar \(1\) ca derivata lui \(x\). Astfel \(x(e^x-1)^2=x\left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right)'+x\).

4. 4

   Aplicăm formula de integrare prin părți

   \int_0^1 x\left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right)'dx=x\left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right)\Big|_0^1-\int_0^1\left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right)dx

   Formula este \(\int u v'\,dx=uv-\int u'v\,dx\), cu \(u=x\) și \(v=\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\). Cum \(u'=1\), integrala rămasă este una simplă. Partea cu \(+x\) dă \(\int_0^1 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^1=\frac12\).

5. 5

   Calculăm termenul de bord și integrala rămasă

   x\left(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\right)\Big|_0^1=\frac{e^2}{2}-2e,\qquad \left(\frac{e^{2x}}{4}-2e^x\right)\Big|_0^1=\frac{e^2}{4}-2e-\frac14+2

   La \(x=1\) termenul de bord este \(\frac{e^2}{2}-2e\), iar la \(x=0\) este \(0\). Primitiva lui \(\frac{e^{2x}}{2}-2e^x\) este \(\frac{e^{2x}}{4}-2e^x\); o evaluăm între 0 și 1: \(\left(\frac{e^2}{4}-2e\right)-\left(\frac14-2\right)\).

6. 6

   Adunăm și obținem rezultatul

   \frac{e^2}{2}-2e-\left(\frac{e^2}{4}-2e+\frac74\right)+\frac12=\frac{e^2}{4}-\frac74+\frac12=\frac{e^2-5}{4}

   Termenii \(-2e\) se reduc. Rămâne \(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}=\frac{e^2}{4}\). Apoi \(-\frac74+\frac12=-\frac74+\frac24=-\frac54\). Deci rezultatul este \(\frac{e^2-5}{4}\), adică exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^1 \frac{x f(e^x)}{e^x}\,dx=\frac{e^2-5}{4}\)