Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2023, sesiunea iunie–iulie

Arătați că \(4-6\sqrt{3}+3\left(2\sqrt{3}-1\right)=1\).

Metoda: Calcul cu radicali și reducerea termenilor

1. 1

   Desfacem paranteza

   4-6\sqrt{3}+3\left(2\sqrt{3}-1\right)=4-6\sqrt{3}+6\sqrt{3}-3

   Înmulțim numărul 3 din fața parantezei cu fiecare termen din interior (distributivitatea): \(3\cdot 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\) și \(3\cdot(-1)=-3\). Facem asta ca să scăpăm de paranteză și să putem aduna termenii între ei.

2. 2

   Reducem termenii asemenea

   4-6\sqrt{3}+6\sqrt{3}-3=(4-3)+\left(-6\sqrt{3}+6\sqrt{3}\right)=4-3

   Termenii \(-6\sqrt{3}\) și \(+6\sqrt{3}\) sunt opuși, deci se anulează. Rămân doar numerele fără radical: \(4-3\). Gruparea termenilor de același fel ne duce direct la rezultat.

3. 3

   Calculăm rezultatul final

   4-3=1

   După ce radicalii s-au anulat, rămâne \(4-3=1\). Aceasta este exact valoarea cerută în enunț, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: Am obținut \(4-6\sqrt{3}+3\left(2\sqrt{3}-1\right)=4-3=1\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=5x-3\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=2x+3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)=g(a)\).

Metoda: Rezolvarea unei ecuații de gradul I

1. 1

   Scriem ecuația \(f(a)=g(a)\)

   5a-3=2a+3

   Înlocuim pe \(x\) cu \(a\) în formula lui \(f\): \(f(a)=5a-3\). Apoi în formula lui \(g\): \(g(a)=2a+3\). Condiția din enunț cere ca cele două valori să fie egale, deci punem semnul egal între ele și obținem o ecuație în necunoscuta \(a\).

2. 2

   Rezolvăm ecuația

   5a-2a=3+3 \Rightarrow 3a=6 \Rightarrow a=2

   Strângem termenii cu \(a\) în stânga și numerele în dreapta. Mutăm \(2a\) în stânga (scădem \(2a\) din ambele părți) și \(-3\) în dreapta (adunăm 3 la ambele părți). Obținem \(3a=6\), apoi împărțim la 3 și rezultă \(a=2\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   f(2)=5\cdot 2-3=7,\quad g(2)=2\cdot 2+3=7

   Calculăm ambele funcții în \(a=2\). Dacă obținem aceeași valoare, soluția este corectă. Aici ambele dau 7, deci \(f(2)=g(2)\).

Răspuns: \(a=2\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(2^{2x+1}\cdot 2^{3}=1\).

Metoda: Ecuație exponențială, aceeași bază

1. 1

   Reunim puterile cu aceeași bază

   2^{2x+1}\cdot 2^{3}=2^{2x+1+3}=2^{2x+4}

   Cele două puteri au aceeași bază, 2. Când înmulțim puteri cu aceeași bază, păstrăm baza și adunăm exponenții: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\). Aici exponenții sunt \(2x+1\) și \(3\), deci suma este \(2x+4\).

2. 2

   Scriem 1 ca putere a lui 2

   2^{2x+4}=1=2^{0}

   Pentru a egala exponenții, trebuie ca ambii membri să fie puteri ale lui 2. Știm că orice număr nenul ridicat la puterea 0 este 1, deci \(1=2^0\).

3. 3

   Egalăm exponenții și rezolvăm

   2x+4=0 \Rightarrow 2x=-4 \Rightarrow x=-2

   Funcția \(t\mapsto 2^t\) este injectivă (strict crescătoare), deci din \(2^{2x+4}=2^0\) rezultă că exponenții sunt egali: \(2x+4=0\). De aici \(2x=-4\), deci \(x=-2\).

4. 4

   Verificăm soluția

   2^{2\cdot(-2)+1}\cdot 2^{3}=2^{-3}\cdot 2^{3}=2^{0}=1

   Înlocuim \(x=-2\) în ecuația inițială: exponentul \(2x+1\) devine \(-3\). Apoi \(2^{-3}\cdot 2^3=2^0=1\), deci egalitatea este adevărată.

Răspuns: \(x=-2\)

Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea \(A=\{3,4,5,6\}\).

Metoda: Principiul multiplicării (numărare)

1. 1

   Alegem cifra zecilor

   4 \text{ moduri}

   Numărul are forma \(\overline{ab}\), unde \(a\) este cifra zecilor și \(b\) cifra unităților. Cifra zecilor poate fi oricare element din \(A=\{3,4,5,6\}\). Nu putem avea problema cifrei 0 în față, deoarece 0 nu face parte din mulțime. Deci avem 4 alegeri pentru cifra zecilor.

2. 2

   Alegem cifra unităților

   4-1=3 \text{ moduri}

   Cifrele trebuie să fie distincte, deci cifra unităților trebuie să fie diferită de cea a zecilor, care a fost deja folosită. Rămân 3 cifre disponibile, pentru orice alegere a cifrei zecilor.

3. 3

   Înmulțim posibilitățile

   4\cdot 3=12

   Pentru fiecare dintre cele 4 alegeri ale cifrei zecilor avem câte 3 alegeri ale cifrei unităților. Conform principiului multiplicării, numărul total de numere este produsul: \(4\cdot 3=12\). Numerele sunt: 34, 35, 36, 43, 45, 46, 53, 54, 56, 63, 64, 65.

Răspuns: Se pot forma 12 numere.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(4,0)\), \(B(0,2)\), \(C(3,3)\) și \(M\), mijlocul segmentului \(AB\). Arătați că segmentele \(MO\) și \(MC\) au lungimile egale.

Metoda: Formula mijlocului și distanța

1. 1

   Aflăm coordonatele mijlocului M

   M\left(\frac{4+0}{2},\frac{0+2}{2}\right)=M(2,1)

   Mijlocul unui segment \(AB\) are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor: \(x_M=\frac{x_A+x_B}{2}\) și \(y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\). Avem \(A(4,0)\) și \(B(0,2)\), deci \(x_M=\frac{4+0}{2}=2\) și \(y_M=\frac{0+2}{2}=1\). Rezultă \(M(2,1)\). Avem nevoie de \(M\) ca să putem calcula distanțele cerute.

2. 2

   Calculăm lungimea MO

   MO=\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}

   Distanța dintre punctele \(P(x_1,y_1)\) și \(Q(x_2,y_2)\) este \(PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\). Originea este \(O(0,0)\) și \(M(2,1)\). Diferențele sunt \(2-0=2\) și \(1-0=1\), deci \(MO=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\).

3. 3

   Calculăm lungimea MC

   MC=\sqrt{(3-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}

   Acum folosim aceeași formulă pentru \(M(2,1)\) și \(C(3,3)\). Diferențele sunt \(3-2=1\) și \(3-1=2\). Rezultă \(MC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\).

4. 4

   Concluzia

   MO=\sqrt{5}=MC

   Am obținut \(MO=\sqrt{5}\) și \(MC=\sqrt{5}\). Cele două lungimi sunt egale, deci segmentele \(MO\) și \(MC\) au aceeași lungime, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(M(2,1)\), \(MO=\sqrt{5}\) și \(MC=\sqrt{5}\), deci \(MO=MC\).

Se consideră \(E(x)=2\sin x\sin 2x-\cos x\), unde \(x\) este număr real. Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{6}\right)=0\).

Metoda: Valori ale funcțiilor trigonometrice

1. 1

   Înlocuim x cu π/6

   E\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\frac{\pi}{6}\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{6}\right)-\cos\frac{\pi}{6}=2\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{6}

   Punem \(\frac{\pi}{6}\) peste tot unde apare \(x\). Observăm că \(2x=\frac{\pi}{3}\), deci avem nevoie de valorile lui sinus și cosinus pentru \(\frac{\pi}{6}\) și \(\frac{\pi}{3}\). Acestea sunt unghiuri remarcabile, ale căror valori se știu din tabel.

2. 2

   Valorile din tabel

   \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}

   Acestea sunt valori de memorat pentru unghiurile de 30° și 60°. \(\frac{\pi}{6}\) înseamnă 30°, iar \(\frac{\pi}{3}\) înseamnă 60°. Atenție: la 30° sinusul este \(\frac12\), iar cosinusul este \(\frac{\sqrt3}{2}\); la 60° se inversează.

3. 3

   Calculăm și obținem 0

   E\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0

   Înlocuim valorile din tabel. Produsul \(2\cdot\frac12=1\), deci primul termen devine \(\frac{\sqrt3}{2}\). Acesta este egal cu al doilea termen, iar diferența lor este 0, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{6}\right)=0\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}3+a&2-2a\\1-a&1+3a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(0))=1\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(0)

   A(0)=\begin{pmatrix}3+0&2-2\cdot 0\\1-0&1+3\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}

   Matricea \(A(a)\) depinde de parametrul \(a\). Ca să îl avem pe \(A(0)\), înlocuim peste tot \(a\) cu \(0\) și calculăm fiecare element. Obținem \(3+0=3\), \(2-2\cdot 0=2\), \(1-0=1\), \(1+3\cdot 0=1\).

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(0))=\begin{vmatrix}3&2\\1&1\end{vmatrix}=3\cdot 1-2\cdot 1=3-2=1

   Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici: \(3\cdot 1\) minus \(2\cdot 1\). Rezultă \(3-2=1\), exact cât cerea enunțul.

Răspuns: \(\det(A(0))=1\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}3+a&2-2a\\1-a&1+3a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. b) Arătați că \(A(0)\cdot\left(A(a)-A(0)\right)=aI_2\), pentru orice număr real \(a\).

Metoda: Calcul matriceal direct

1. 1

   Scriem matricea A(0)

   A(0)=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}

   Înlocuim \(a=0\) în \(A(a)\): \(3+0=3\), \(2-0=2\), \(1-0=1\), \(1+0=1\). Avem nevoie de ea atât pentru diferență, cât și pentru produs.

2. 2

   Calculăm diferența A(a) − A(0)

   A(a)-A(0)=\begin{pmatrix}a&-2a\\-a&3a\end{pmatrix}

   Scădem matricele element cu element: \(3+a-3=a\), \(2-2a-2=-2a\), \(1-a-1=-a\), \(1+3a-1=3a\). Observăm că fiecare element conține factorul \(a\).

3. 3

   Înmulțim A(0) cu diferența

   A(0)\cdot\left(A(a)-A(0)\right)=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&-2a\\-a&3a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3a-2a&-6a+6a\\a-a&-2a+3a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}

   Aplicăm regula linie × coloană. Elementul (1,1): \(3a+2(-a)=a\). (1,2): \(3(-2a)+2\cdot 3a=0\). (2,1): \(1\cdot a+1\cdot(-a)=0\). (2,2): \(1(-2a)+1\cdot 3a=a\).

4. 4

   Concluzia

   \begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=aI_2

   Scoatem factorul \(a\) din matrice și recunoaștem \(I_2\). Calculul nu a depus nicio ipoteză despre \(a\), deci egalitatea e valabilă pentru orice \(a\) real.

Răspuns: \(A(0)\cdot(A(a)-A(0))=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}=aI_2\), pentru orice număr real \(a\).

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}3+a&2-2a\\1-a&1+3a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. c) Demonstrați că \(\det\left(A(a^2)-aA(a)\right)\ge 0\), pentru orice număr real \(a\).

Metoda: Calcul de matrice și determinant

1. 1

   Scriem matricea \(A(a^2)\) și matricea \(aA(a)\)

   A(a^2)=\begin{pmatrix}3+a^2&2-2a^2\\1-a^2&1+3a^2\end{pmatrix},\quad aA(a)=\begin{pmatrix}3a+a^2&2a-2a^2\\a-a^2&a+3a^2\end{pmatrix}

   În formula lui \(A(a)\) înlocuim peste tot \(a\) cu \(a^2\) și obținem \(A(a^2)\). Apoi înmulțim fiecare element al lui \(A(a)\) cu \(a\). Facem asta pentru a putea scădea cele două matrice.

2. 2

   Calculăm diferența \(A(a^2)-aA(a)\)

   A(a^2)-aA(a)=\begin{pmatrix}3-3a&2-2a\\1-a&1-a\end{pmatrix}

   Scădem element cu element. Pe prima linie: \(3+a^2-3a-a^2=3-3a\) și \(2-2a^2-2a+2a^2=2-2a\). Pe a doua linie: \(1-a^2-a+a^2=1-a\) și \(1+3a^2-a-3a^2=1-a\). Termenii cu \(a^2\) se reduc, de aceea matricea iese simplă.

3. 3

   Calculăm determinantul

   \det=(3-3a)(1-a)-(2-2a)(1-a)=3(1-a)^2-2(1-a)^2=(1-a)^2

   Determinantul unei matrice \(2\times2\) este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară. Scoatem factor: \(3-3a=3(1-a)\) și \(2-2a=2(1-a)\). Obținem \(3(1-a)^2-2(1-a)^2=(1-a)^2\).

4. 4

   Concluzia

   (1-a)^2\ge 0,\ \forall a\in\mathbb{R}

   Orice număr real ridicat la pătrat este mai mare sau egal cu 0. Deci \(\det\left(A(a^2)-aA(a)\right)=(1-a)^2\ge0\) pentru orice \(a\) real, ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(\det\left(A(a^2)-aA(a)\right)=(1-a)^2\ge 0\), pentru orice \(a\in\mathbb{R}\).

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = x^2 - 4xy + 3y^2\). a) Arătați că \(0 \circ 2 = 12\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x = 0 și y = 2 în formulă

   0 \circ 2 = 0^2 - 4\cdot 0\cdot 2 + 3\cdot 2^2

   Legea spune că primul număr din stânga simbolului \(\circ\) ia locul lui \(x\), iar al doilea ia locul lui \(y\). Deci în \(0 \circ 2\) avem \(x=0\) și \(y=2\). Scriem formula punând 0 în locul lui \(x\) și 2 în locul lui \(y\), cu paranteze mentale pentru a nu greși puterile.

2. 2

   Calculăm termenii și obținem rezultatul

   0^2 - 4\cdot 0\cdot 2 + 3\cdot 2^2 = 0 - 0 + 12 = 12

   Calculăm fiecare termen separat: \(0^2=0\); \(4\cdot 0\cdot 2=0\) pentru că orice număr înmulțit cu 0 dă 0; \(3\cdot 2^2 = 3\cdot 4 = 12\). Adunăm: \(0-0+12=12\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(0 \circ 2 = 12\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y = x^2 - 4xy + 3y^2\). b) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \((2x)\circ x = -1\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim în definiția legii

   (2x)\circ x=(2x)^2-4\cdot(2x)\cdot x+3x^2

   Legea spune că primul număr se ridică la pătrat, apoi se scade \(4\) ori produsul celor două, apoi se adaugă \(3\) ori pătratul celui de-al doilea. Primul număr este \(2x\), al doilea este \(x\), deci înlocuim peste tot \(x\to 2x\) și \(y\to x\).

2. 2

   Simplificăm expresia

   (2x)\circ x=4x^2-8x^2+3x^2=-x^2

   Calculăm fiecare termen: \((2x)^2=4x^2\), \(4\cdot 2x\cdot x=8x^2\), iar ultimul este \(3x^2\). Adunăm termenii asemenea: \(4-8+3=-1\). Obținem \((2x)\circ x=-x^2\), pentru orice \(x\) real.

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   -x^2=-1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=-1 \text{ sau } x=1

   Ecuația \((2x)\circ x=-1\) devine \(-x^2=-1\). Înmulțim cu \(-1\) și obținem \(x^2=1\). Un pătrat egal cu \(1\) provine din două numere: \(1\) și \(-1\).

Răspuns: \(x=-1\) sau \(x=1\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y=x^2-4xy+3y^2\). c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere întregi, cu \(m<n\), pentru care \(m\circ n=3\).

Metoda: Descompunere în factori

1. 1

   Descompunem expresia în factori

   m\circ n=m^2-mn-3mn+3n^2=(m-n)(m-3n)

   Scriem \(-4mn=-mn-3mn\) și grupăm: \(m(m-n)-3n(m-n)=(m-n)(m-3n)\). Facem asta pentru că produsul de factori întregi egal cu 3 se rezolvă ușor prin divizori.

2. 2

   Scriem ecuația ca produs egal cu 3

   (m-n)(m-3n)=3

   Condiția \(m\circ n=3\) devine \((m-n)(m-3n)=3\). Ambii factori sunt numere întregi, deci sunt divizori ai lui 3.

3. 3

   Folosim condiția m < n

   m-n<0 \Rightarrow m-n\in\{-1,-3\}

   Din \(m<n\) rezultă \(m-n<0\). Deci primul factor este negativ, iar produsul fiind pozitiv, și al doilea e negativ. Rămân cazurile \((m-n,\,m-3n)=(-1,-3)\) și \((-3,-1)\).

4. 4

   Rezolvăm cele două sisteme

   \begin{cases}m-n=-1\\ m-3n=-3\end{cases}\Rightarrow (0,1);\quad \begin{cases}m-n=-3\\ m-3n=-1\end{cases}\Rightarrow (-4,-1)

   Primul sistem: scădem ecuațiile, \(2n=2\), deci \(n=1\), \(m=0\). Al doilea: \(2n=-2\), deci \(n=-1\), \(m=-4\). Ambele perechi sunt întregi și respectă \(m<n\).

Răspuns: Perechile sunt \((-4,-1)\) și \((0,1)\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=5+\dfrac{4x-4}{x^2}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{4(2-x)}{x^3}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui cât

1. 1

   Aplicăm formula derivatei unui cât

   f'(x)=\frac{(4x-4)'\cdot x^2-(4x-4)\cdot (x^2)'}{x^4}

   Derivata lui 5 este 0, deci derivăm doar fracția \(\frac{4x-4}{x^2}\). Folosim formula \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\), cu \(u=4x-4\) și \(v=x^2\). Numitorul devine \((x^2)^2=x^4\).

2. 2

   Înlocuim derivatele

   f'(x)=\frac{4x^2-(4x-4)\cdot 2x}{x^4}

   Din \((4x-4)'=4\) și \((x^2)'=2x\) obținem \(4\cdot x^2=4x^2\) la primul termen, iar al doilea termen este \((4x-4)\cdot 2x\). Nu uităm paranteza: scădem tot produsul.

3. 3

   Simplificăm numărătorul

   f'(x)=\frac{4x^2-8x^2+8x}{x^4}=\frac{-4x^2+8x}{x^4}=\frac{4x(2-x)}{x^4}

   Desfacem paranteza cu semnul minus: \(4x^2-8x^2+8x=-4x^2+8x\). Apoi dăm factor comun \(4x\): \(-4x^2+8x=4x(2-x)\).

4. 4

   Simplificăm fracția

   f'(x)=\frac{4x(2-x)}{x^4}=\frac{4(2-x)}{x^3},\quad x\in(0,+\infty)

   Cum \(x>0\), putem simplifica prin \(x\): \(\frac{x}{x^4}=\frac{1}{x^3}\). Obținem exact expresia din enunț, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{4(2-x)}{x^3}\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=5+\dfrac{4x-4}{x^2}\). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Limita funcției la infinit

1. 1

   Reținem definiția asimptotei orizontale

   \lim_{x\to+\infty} f(x)=l\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ y=l \text{ asimptotă orizontală spre } +\infty

   Dacă pe măsură ce \(x\) devine foarte mare, valorile \(f(x)\) se apropie de un număr real \(l\), atunci graficul se apropie de dreapta \(y=l\). Aceasta este asimptota orizontală spre \(+\infty\). De aceea calculăm limita funcției la \(+\infty\).

2. 2

   Calculăm limita funcției la +∞

   \lim_{x\to+\infty}\left(5+\frac{4x-4}{x^2}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(5+\frac{4}{x}-\frac{4}{x^2}\right)=5+0-0=5

   Împărțim fracția în două: \(\dfrac{4x-4}{x^2}=\dfrac{4}{x}-\dfrac{4}{x^2}\). Când \(x\to+\infty\), numitorii cresc foarte mult, deci \(\dfrac{4}{x}\to 0\) și \(\dfrac{4}{x^2}\to 0\). Rămâne doar constanta 5.

3. 3

   Scriem ecuația asimptotei

   y=5

   Limita este finită și egală cu 5, deci dreapta \(y=5\) este asimptota orizontală spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\), exact ca în barem.

Răspuns: Dreapta de ecuație \(y=5\) este asimptota orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=5+\dfrac{4x-4}{x^2}\). c) Demonstrați că \(|f(x)-f(y)|\le 1\), pentru orice \(x,y\in[1,+\infty)\).

Metoda: Monotonie și mărginirea funcției

1. 1

   Semnul derivatei

   f'(x)=\frac{4(2-x)}{x^3}=0\Leftrightarrow x=2

   De la punctul a) știm că \(f'(x)=\dfrac{4(2-x)}{x^3}\). Pentru \(x>0\), numitorul \(x^3\) este pozitiv, deci semnul derivatei este dat de \(2-x\). Derivata se anulează în \(x=2\). Pe \([1,2]\) avem \(2-x\ge 0\), deci \(f'(x)\ge 0\) și f este crescătoare. Pe \([2,+\infty)\) avem \(2-x\le 0\), deci \(f'(x)\le 0\) și f este descrescătoare.

2. 2

   Valorile în punctele importante

   f(1)=5,\quad f(2)=6,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=5

   Calculăm \(f(1)=5+\dfrac{4-4}{1}=5\) și \(f(2)=5+\dfrac{8-4}{4}=6\). Din punctul b) știm că \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=5\) (asimptota orizontală \(y=5\)).

3. 3

   Încadrarea lui f(x) între 5 și 6

   5\le f(x)\le 6,\ \forall x\in[1,+\infty)

   Pe \([1,2]\) f crește de la 5 la 6, deci valorile sunt între 5 și 6. Pe \([2,+\infty)\) f descrește de la 6 spre limita 5, fără să o atingă, deci valorile sunt în intervalul \((5,6]\). Împreună: \(5\le f(x)\le 6\) pentru orice \(x\ge 1\).

4. 4

   Concluzia

   |f(x)-f(y)|\le 6-5=1

   Dacă \(f(x)\) și \(f(y)\) se află amândouă în intervalul \([5,6]\), distanța dintre ele nu poate depăși lungimea intervalului, adică \(6-5=1\). Deci \(|f(x)-f(y)|\le 1\) pentru orice \(x,y\in[1,+\infty)\), ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Pe \([1,+\infty)\) avem \(5\le f(x)\le 6\), deci \(|f(x)-f(y)|\le 1\) pentru orice \(x,y\in[1,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x^2+4\ln x\). Arătați că \(\int_1^2 \left(f(x)-4\ln x\right)dx=7\).

Metoda: Calculul integralei definite

1. 1

   Simplificăm funcția de sub integrală

   f(x)-4\ln x = 3x^2+4\ln x-4\ln x = 3x^2

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia dată. Termenii \(4\ln x\) se reduc, deci rămâne doar \(3x^2\). Astfel integrala devine \(\int_1^2 3x^2\,dx\), mult mai simplă, fără logaritm.

2. 2

   Aflăm o primitivă și aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_1^2 3x^2\,dx = x^3\Big|_1^2 = 2^3-1^3

   O primitivă a lui \(3x^2\) este \(x^3\), pentru că derivata lui \(x^3\) este \(3x^2\). Formula Leibniz-Newton spune că integrala definită este valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea ei în capătul de jos.

3. 3

   Efectuăm calculul final

   2^3-1^3 = 8-1 = 7

   Calculăm \(2^3=8\) și \(1^3=1\), apoi scădem. Obținem exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_1^2 (f(x)-4\ln x)\,dx=\int_1^2 3x^2\,dx=x^3\Big|_1^2=8-1=7\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x^2+4\ln x\). b) Arătați că \(\int_1^e x\left(f(x)-3x^2\right)dx=e^2+1\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-3x^2=4\ln x \Rightarrow x\left(f(x)-3x^2\right)=4x\ln x

   Înlocuim \(f(x)=3x^2+4\ln x\). Termenul \(3x^2\) se reduce și rămâne doar \(4\ln x\). Înmulțit cu \(x\), obținem \(4x\ln x\). Astfel integrala devine \(\int_1^e 4x\ln x\,dx\).

2. 2

   Pregătim integrarea prin părți

   4x=\left(2x^2\right)' \Rightarrow \int_1^e 4x\ln x\,dx=\int_1^e \left(2x^2\right)'\ln x\,dx

   Formula integrării prin părți este \(\int u'v=uv-\int uv'\). Alegem \(u=2x^2\), deoarece derivata sa este \(4x\), și \(v=\ln x\), care se simplifică prin derivare: \(v'=\frac{1}{x}\).

3. 3

   Aplicăm formula integrării prin părți

   \int_1^e \left(2x^2\right)'\ln x\,dx=2x^2\ln x\Big|_1^e-\int_1^e 2x^2\cdot\frac{1}{x}\,dx=2x^2\ln x\Big|_1^e-\int_1^e 2x\,dx=2x^2\ln x\Big|_1^e-x^2\Big|_1^e

   Termenul \(2x^2\cdot\frac1x=2x\) se simplifică, iar o primitivă a lui \(2x\) este \(x^2\). Obținem două expresii de evaluat între limitele \(1\) și \(e\).

4. 4

   Calculăm cu limitele de integrare

   2e^2\ln e-2\cdot1^2\ln 1-e^2+1^2=2e^2-0-e^2+1=e^2+1

   Folosim \(\ln e=1\) și \(\ln 1=0\). Primul termen devine \(2e^2\), al doilea \(0\). Apoi scădem \(x^2\big|_1^e=e^2-1\), deci \(-e^2+1\). Rezultă \(2e^2-e^2+1=e^2+1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_1^e x\left(f(x)-3x^2\right)dx=e^2+1\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x^2+4\ln x\). c) Demonstrați că \(\int_{1}^{\sqrt{e}} f(x)F''(x)\,dx=\dfrac{(3e-1)(3e+5)}{2}\), pentru orice primitivă \(F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\) a funcției \(f\).

Metoda: Primitivă și integrare directă

1. 1

   Exprimăm F'' cu ajutorul lui f

   F'(x)=f(x)\Rightarrow F''(x)=f'(x)

   Deoarece F este o primitivă a lui f, avem \(F'(x)=f(x)\) pentru orice \(x>0\). Derivând încă o dată egalitatea, obținem \(F''(x)=f'(x)\). Astfel, nu mai avem nevoie de F, ci doar de f.

2. 2

   Rescriem integrala

   \int_{1}^{\sqrt{e}} f(x)F''(x)\,dx=\int_{1}^{\sqrt{e}} f(x)f'(x)\,dx

   Înlocuim \(F''(x)\) cu \(f'(x)\). Integrala are acum forma \(f\cdot f'\), iar \(f(x)f'(x)=\left(\dfrac{f^2(x)}{2}\right)'\), deci o primitivă a ei este \(\dfrac{f^2(x)}{2}\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_{1}^{\sqrt{e}} f(x)f'(x)\,dx=\left.\frac{f^2(x)}{2}\right|_{1}^{\sqrt{e}}=\frac{f^2(\sqrt{e})-f^2(1)}{2}

   Calculăm diferența valorilor primitivei în capetele intervalului. Trebuie să aflăm \(f(1)\) și \(f(\sqrt{e})\).

4. 4

   Calculăm f(√e) și finalizăm

   f(\sqrt{e})=3e+4\ln\sqrt{e}=3e+2,\quad \frac{(3e+2)^2-3^2}{2}=\frac{(3e-1)(3e+5)}{2}

   Avem \(\ln\sqrt{e}=\frac12\), deci \(4\ln\sqrt{e}=2\) și \(f(\sqrt{e})=3e+2\). Apoi folosim diferența de pătrate \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) cu \(a=3e+2\) și \(b=3\): \((3e+2-3)(3e+2+3)=(3e-1)(3e+5)\). Astfel am obținut exact rezultatul cerut.

Răspuns: \(\int_{1}^{\sqrt{e}} f(x)F''(x)\,dx=\dfrac{(3e-1)(3e+5)}{2}\), pentru orice primitivă F a lui f.