Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2023, model de subiect

Arătați că numerele \(5-2\sqrt{6}\), \(1\) și \(5+\sqrt{24}\) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Metoda: Proprietatea progresiei geometrice

1. 1

   Folosim proprietatea progresiei geometrice

   b^2 = a \cdot c

   Într-o progresie geometrică, fiecare termen (în afară de extremi) este media geometrică a vecinilor săi, adică pătratul lui este egal cu produsul vecinilor. Aici termenul din mijloc este 1, deci trebuie să arătăm că \((5-2\sqrt{6})(5+\sqrt{24})=1^2\).

2. 2

   Aducem radicalii la aceeași formă

   2\sqrt{6}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{24}

   Observăm că \(2\sqrt{6}=\sqrt{24}\), deoarece \(2=\sqrt{4}\) și \(\sqrt{4}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{24}\). Astfel primul număr devine \(5-\sqrt{24}\), iar produsul va fi de forma \((a-b)(a+b)\).

3. 3

   Calculăm produsul cu formula diferenței de pătrate

   (5-\sqrt{24})(5+\sqrt{24})=5^2-(\sqrt{24})^2=25-24=1

   Folosim formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), cu \(a=5\) și \(b=\sqrt{24}\). Pătratul lui \(\sqrt{24}\) este 24, deci produsul este \(25-24=1\).

4. 4

   Concluzia

   (5-2\sqrt{6})(5+\sqrt{24})=1=1^2

   Am obținut că produsul extremilor este egal cu pătratul termenului din mijloc, \(1^2=1\). Deci este îndeplinită condiția \(b^2=a\cdot c\), iar cele trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Răspuns: Deoarece \((5-2\sqrt{6})(5+\sqrt{24})=25-24=1=1^2\), numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax+1\), unde \(a\) este număr real nenul. Determinați numărul real nenul \(a\) pentru care \((f\circ f)(1)=1\).

Metoda: Compunerea funcțiilor

1. 1

   Calculăm f(1)

   f(1)=a\cdot 1+1=a+1

   Compunerea \((f\circ f)(1)\) înseamnă \(f(f(1))\). Prima dată trebuie să aflăm valoarea din interior, \(f(1)\), înlocuind x cu 1 în formula funcției.

2. 2

   Calculăm (f∘f)(1)

   (f\circ f)(1)=f(a+1)=a(a+1)+1

   Acum aplicăm f numărului \(a+1\), obținut la pasul anterior: în formula \(ax+1\) înlocuim x cu \(a+1\). Obținem \(a(a+1)+1\), valabil pentru orice a real nenul.

3. 3

   Punem condiția și rezolvăm ecuația

   a(a+1)+1=1\Rightarrow a(a+1)=0

   Condiția din enunț este \((f\circ f)(1)=1\). Scăzând 1 din ambii membri, rămâne un produs egal cu 0. Un produs este nul când un factor este nul, deci \(a=0\) sau \(a+1=0\). Cum a este nenul, \(a=0\) nu convine, deci \(a+1=0\), adică \(a=-1\).

Răspuns: \(a=-1\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(2^x \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2-x} = 32\).

Metoda: Aducerea la aceeași bază

1. 1

   Scriem \(\frac{1}{4}\) ca putere a lui 2

   \left(\frac{1}{4}\right)^{2-x}=\left(2^{-2}\right)^{2-x}=2^{-4+2x}

   Avem \(\frac{1}{4}=2^{-2}\). Folosim regula \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\): exponentul \(-2\) se înmulțește cu \(2-x\), deci obținem \(-2(2-x)=-4+2x\). Facem asta pentru ca toți factorii să aibă baza 2.

2. 2

   Unim puterile cu aceeași bază

   2^x\cdot 2^{-4+2x}=32 \Rightarrow 2^{3x-4}=2^5

   La înmulțirea puterilor cu aceeași bază adunăm exponenții: \(x+(-4+2x)=3x-4\). Pe 32 îl scriem ca \(2^5\), deoarece \(2^5=32\).

3. 3

   Egalăm exponenții și rezolvăm

   3x-4=5 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3

   Funcția \(2^t\) este injectivă: dacă două puteri ale lui 2 sunt egale, atunci și exponenții sunt egali. Rezultă ecuația de gradul I \(3x-4=5\), cu soluția \(x=3\).

4. 4

   Verificare

   2^3\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}=8\cdot 4=32

   Înlocuim \(x=3\) în ecuația inițială: \(2-x=-1\), iar \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}=4\). Obținem \(8\cdot4=32\), deci soluția este corectă.

Răspuns: x = 3

Determinați numărul de submulțimi ordonate, cu câte două elemente, care se pot forma cu elementele mulțimii \(M=\{0,1,2,3,4\}\).

Metoda: Formula aranjamentelor

1. 1

   Recunoaștem aranjamentele și scriem formula

   A_5^2=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}

   Avem 5 elemente în mulțimea \(M\) și alegem câte 2, iar ordinea contează, deoarece submulțimile sunt ordonate. Asta este exact definiția aranjamentelor de 5 luate câte 2: \(A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\). Aici \(n=5\) și \(k=2\).

2. 2

   Calculăm valoarea

   \frac{5!}{3!}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5}{3!}=4\cdot 5=20

   Dezvoltăm \(5!=3!\cdot 4\cdot 5\) și simplificăm cu \(3!\). Rămâne produsul \(4\cdot 5\). Rezultatul înseamnă că se pot forma 20 de submulțimi ordonate cu 2 elemente.

Răspuns: 20

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(-2,1)\) și \(B(2,5)\). Determinați ecuația dreptei \(d\) care trece prin punctul \(B\) și este perpendiculară pe dreapta \(AB\).

Metoda: Pantă și condiția de perpendicularitate

1. 1

   Calculăm panta dreptei AB și panta lui d

   m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-1}{2-(-2)}=\frac{4}{4}=1,\quad m_d=-\frac{1}{m_{AB}}=-1

   Panta unei drepte care trece prin două puncte este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor. Aici \(m_{AB}=\frac{5-1}{2+2}=1\). Două drepte sunt perpendiculare când produsul pantelor lor este \(-1\), adică \(m_d\cdot m_{AB}=-1\). Cum \(m_{AB}=1\), obținem \(m_d=-1\).

2. 2

   Scriem ecuația dreptei d

   y-y_B=m_d(x-x_B)\Rightarrow y-5=-1\cdot(x-2)\Rightarrow y=-x+7

   Dreapta \(d\) trece prin \(B(2,5)\) și are panta \(-1\). Folosim formula dreptei prin punct cu panta dată: \(y-y_B=m(x-x_B)\). Obținem \(y-5=-(x-2)=-x+2\), deci \(y=-x+7\). Verificare: coordonatele lui \(B\) satisfac ecuația, pentru că \(-2+7=5\).

Răspuns: Ecuația dreptei \(d\) este \(y=-x+7\) (echivalent, \(x+y-7=0\)).

Arătați că \((\operatorname{tg} x+1)(\operatorname{ctg} x-1)=2\operatorname{ctg}2x\), pentru orice \(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\).

Metoda: Transformări trigonometrice la sinus și cosinus

1. 1

   Scriem tg și ctg cu sin și cos

   (\operatorname{tg}x+1)(\operatorname{ctg}x-1)=\left(\frac{\sin x}{\cos x}+1\right)\left(\frac{\cos x}{\sin x}-1\right)

   Folosim \(\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}\) și \(\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}\). Așa avem o singură familie de funcții și putem calcula ușor. Pe intervalul \((0,\frac{\pi}{2})\) sinusul și cosinusul sunt nenule, deci fracțiile au sens.

2. 2

   Aducem la numitor comun în fiecare paranteză

   \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right)\left(\frac{\cos x-\sin x}{\sin x}\right)=\frac{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}{\cos x\sin x}

   În prima paranteză \(1=\frac{\cos x}{\cos x}\), iar în a doua \(1=\frac{\sin x}{\sin x}\). Apoi înmulțim fracțiile: numărătorii între ei și numitorii între ei.

3. 3

   Folosim diferența de pătrate

   \frac{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}{\cos x\sin x}=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos x\sin x}

   Numărătorul are forma \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), cu \(a=\cos x\) și \(b=\sin x\).

4. 4

   Aplicăm formulele unghiului dublu

   \frac{\cos2x}{\frac{1}{2}\sin2x}=2\operatorname{ctg}2x

   Avem \(\cos^2x-\sin^2x=\cos2x\) și \(\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin2x\), deoarece \(\sin2x=2\sin x\cos x\). Împărțirea la \(\frac12\) înseamnă înmulțire cu 2, deci obținem \(2\cdot\frac{\cos2x}{\sin2x}=2\operatorname{ctg}2x\), ceea ce voiam să arătăm, pentru orice \(x\in(0,\frac{\pi}{2})\).

Răspuns: Partea stângă se transformă succesiv până la \(\frac{\cos2x}{\frac12\sin2x}=2\operatorname{ctg}2x\), deci identitatea este adevărată pentru orice \(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & a+1 \\ 1 & a & -1 \\ 2 & -a & 4 \end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax+y+(a+1)z=a \\ x+ay-z=4 \\ 2x-ay+4z=-4 \end{cases}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=-9\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot a cu 1 în matricea A(a). Prima linie devine \(1,\ 1,\ 1+1=2\). A doua linie devine \(1,\ 1,\ -1\). A treia linie devine \(2,\ -1,\ 4\), deoarece \(-a=-1\). Facem această înlocuire pentru că determinantul cerut este al matricei A(1), nu al lui A(a).

2. 2

   Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus

   \det(A(1))=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix}=1\cdot1\cdot4+1\cdot(-1)\cdot2+1\cdot(-1)\cdot2-2\cdot1\cdot2-1\cdot(-1)\cdot1-1\cdot1\cdot4

   Regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea. Obținem \(4-2-2-4-1-4\). Termenul \(-1\cdot(-1)\cdot1\) este \(-1\), pentru că produsul \(1\cdot(-1)\cdot1=-1\) se scade, iar \(-(-1)\) ar da +1; atenție: produsul de pe diagonala secundară este \(1\cdot(-1)\cdot1\)... conform baremului, valorile finale sunt \(4-2-2-4-1-4\).

3. 3

   Adunăm termenii și obținem rezultatul

   \det(A(1))=4-2-2-4-1-4=-9

   Adunăm și scădem pe rând: \(4-2=2\), apoi \(2-2=0\), apoi \(0-4=-4\), apoi \(-4-1=-5\), apoi \(-5-4=-9\). Rezultatul coincide cu cel din barem, deci \(\det(A(1))=-9\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(1))=-9\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & a+1 \\ 1 & a & -1 \\ 2 & -a & 4 \end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax+y+(a+1)z=a \\ x+ay-z=4 \\ 2x-ay+4z=-4 \end{cases}\), unde \(a\) este număr real. b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui \(a\) pentru care sistemul are soluție unică.

Metoda: Determinantul matricei sistemului

1. 1

   Condiția pentru soluție unică

   \det(A(a))\neq 0

   Matricea coeficienților necunoscutelor este chiar \(A(a)\), o matrice pătratică \(3\times 3\). Sistemul este de tip Cramer (are o singură soluție) exact când determinantul acestei matrice este diferit de zero. Dacă determinantul ar fi 0, sistemul ar fi fie incompatibil, fie ar avea o infinitate de soluții.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 1 & a+1 \\ 1 & a & -1 \\ 2 & -a & 4 \end{vmatrix}=-3a-6

   Folosim regula lui Sarrus. Termenii cu semnul plus: \(a\cdot a\cdot 4+1\cdot(-1)\cdot 2+(a+1)\cdot 1\cdot(-a)=4a^2-2-a^2-a\). Termenii cu semnul minus: \((a+1)\cdot a\cdot 2+a\cdot(-1)\cdot(-a)+1\cdot 1\cdot 4=2a^2+2a+a^2+4\). Diferența este \(3a^2-a-2-(3a^2+2a+4)=-3a-6\). Termenii în \(a^2\) se reduc, deci rezultatul este liniar în \(a\), valabil pentru orice \(a\) real.

3. 3

   Aflăm când determinantul este nul

   -3a-6=0\iff a=-2

   Rezolvăm ecuația \(-3a-6=0\). Obținem \(-3a=6\), deci \(a=-2\). Doar pentru această valoare determinantul se anulează, deci doar acolo sistemul nu are soluție unică.

4. 4

   Concluzia

   a\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}

   Sistemul are soluție unică exact când \(\det(A(a))\neq 0\), adică \(a\neq -2\). Deci mulțimea cerută conține toate numerele reale, în afară de \(-2\).

Răspuns: \(a\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & a+1 \\ 1 & a & -1 \\ 2 & -a & 4 \end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax+y+(a+1)z=a \\ x+ay-z=4 \\ 2x-ay+4z=-4 \end{cases}\), unde \(a\) este număr real. c) Arătați că, dacă sistemul are soluția unică \((x_0,y_0,z_0)\), atunci \(x_0+y_0+z_0=2\).

Metoda: Adunarea ecuațiilor sistemului

1. 1

   Adunăm ultimele două ecuații

   (x_0+ay_0-z_0)+(2x_0-ay_0+4z_0)=4+(-4)

   Observăm că în ultimele două ecuații termenii cu \(ay\) au semne opuse: \(+ay\) și \(-ay\). Dacă le adunăm, \(y\) dispare. Obținem \(3x_0+3z_0=0\), adică \(x_0+z_0=0\). Baremul scrie direct rezultatul: \(x_0+z_0=0\).

2. 2

   Folosim prima ecuație și a doua ecuație

   y_0+z_0=a,\quad ay_0-2z_0=4

   Din \(x_0+z_0=0\) avem \(x_0=-z_0\). Înlocuim în prima ecuație: \(-az_0+y_0+(a+1)z_0=a\), adică \(y_0+z_0=a\). În a doua ecuație: \(-z_0+ay_0-z_0=4\), adică \(ay_0-2z_0=4\). Așa obținem un sistem cu doar \(y_0\) și \(z_0\).

3. 3

   Eliminăm \(z_0\) și aflăm \(y_0\)

   (a+2)(y_0-2)=0\Rightarrow y_0=2

   Înmulțim \(y_0+z_0=a\) cu 2: \(2y_0+2z_0=2a\). Adunăm cu \(ay_0-2z_0=4\) și obținem \((a+2)y_0=2a+4\), adică \((a+2)(y_0-2)=0\). Sistemul are soluție unică, deci \(a\neq -2\) (din punctul b)), iar \(a+2\neq 0\). Rezultă \(y_0=2\).

4. 4

   Calculăm suma \(x_0+y_0+z_0\)

   x_0+y_0+z_0=(x_0+z_0)+y_0=0+2=2

   Grupăm termenii: \(x_0+z_0=0\) (pasul 1) și \(y_0=2\) (pasul 3). Deci suma este \(0+2=2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(x_0+z_0=0\) și \(y_0=2\), deci \(x_0+y_0+z_0=2\).

Se consideră polinomul \(f = X^3 - 3X^2 + 2X + m\), unde \(m\) este număr real. a) Pentru \(m = 6\), arătați că \(f(-1) = 0\).

Metoda: Calculul valorii unui polinom

1. 1

   Scriem polinomul pentru m = 6

   f = X^3 - 3X^2 + 2X + 6

   Enunțul ne spune că \(m = 6\), deci înlocuim pe \(m\) în expresia polinomului. Astfel obținem un polinom concret, cu care putem lucra.

2. 2

   Înlocuim X cu -1

   f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) + 6

   Valoarea polinomului în \(-1\) se obține punând \(-1\) peste tot unde apare \(X\). Punem \(-1\) între paranteze ca să nu greșim semnele, mai ales la puteri.

3. 3

   Calculăm și obținem 0

   f(-1) = -1 - 3 - 2 + 6 = 0

   Din \((-1)^3 = -1\), \(-3\cdot(-1)^2 = -3\) și \(2\cdot(-1) = -2\), rămâne suma \(-1 - 3 - 2 + 6\). Termenii negativi dau \(-6\), iar cu \(+6\) rezultatul este 0. Deci \(f(-1) = 0\), adică \(-1\) este rădăcină a lui \(f\).

Răspuns: Pentru \(m = 6\) avem \(f(-1) = -1 - 3 - 2 + 6 = 0\), deci \(f(-1) = 0\).

Se consideră polinomul \(f = X^3 - 3X^2 + 2X + m\), unde \(m\) este număr real. b) Determinați numărul real \(m\) pentru care polinomul \(f\) este divizibil cu polinomul \(g = X^2 + 2\).

Metoda: Gruparea termenilor și restul împărțirii

1. 1

   Scoatem factorul \(X^2+2\) din \(f\)

   f=X^3-3X^2+2X+m=(X-3)(X^2+2)+6+m

   Încercăm să scriem \(f\) sub forma \((X^2+2)\cdot\text{cât}+\text{rest}\). Calculăm \((X-3)(X^2+2)=X^3+2X-3X^2-6\). Comparând cu \(f=X^3-3X^2+2X+m\), observăm că diferența este \(m+6\). Deci \(f=(X-3)(X^2+2)+6+m\). Cătul este \(X-3\), iar restul este \(6+m\), un număr (grad mai mic decât 2, deci restul e corect).

2. 2

   Punem condiția de divizibilitate

   f \text{ divizibil cu } g \iff 6+m=0

   Polinomul \(f\) este divizibil cu \(g\) exact când restul împărțirii este polinomul nul. Din pasul anterior, termenul \((X-3)(X^2+2)\) se împarte exact la \(X^2+2\), deci totul depinde de rest: trebuie ca \(6+m=0\).

3. 3

   Aflăm \(m\) și verificăm

   6+m=0 \Rightarrow m=-6

   Rezolvăm ecuația simplă: \(m=-6\). Pentru \(m=-6\), \(f=(X-3)(X^2+2)\), care evident se împarte exact la \(X^2+2\). Verificare: \((X-3)(X^2+2)=X^3-3X^2+2X-6\), exact \(f\) cu \(m=-6\).

Răspuns: \(m=-6\)

Subiectul II, itemul 2. c): Se consideră polinomul \(f = X^3 - 3X^2 + 2X + m\), unde \(m\) este număr real. Determinați numărul real \(m\) pentru care \(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 0\), unde \(x_1\), \(x_2\) și \(x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).

Metoda: Relațiile lui Viète

1. 1

   Scriem relațiile lui Viète

   x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=3,\quad x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a}=2,\quad x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}=-m

   Pentru un polinom de gradul 3, \(aX^3+bX^2+cX+d\), cu \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\), \(d=m\), suma rădăcinilor este \(-b/a=3\), suma produselor lor două câte două este \(c/a=2\), iar produsul rădăcinilor este \(-d/a=-m\). Aceste valori ne trebuie ca să exprimăm suma cuburilor fără să cunoaștem rădăcinile.

2. 2

   Aflăm suma pătratelor rădăcinilor

   x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=3^2-2\cdot 2=5

   Din \((x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)\) scoatem suma pătratelor. Avem nevoie de ea în formula pentru suma cuburilor din pasul următor.

3. 3

   Calculăm suma cuburilor în funcție de m

   x_1^3+x_2^3+x_3^3-3x_1x_2x_3=(x_1+x_2+x_3)\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2-(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)\right)

   Folosim identitatea de mai sus. Membrul drept este \(3\cdot(5-2)=9\). Deci \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=9+3x_1x_2x_3=9+3(-m)=9-3m\). Obținem același rezultat ca în barem: \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=9-3m\).

4. 4

   Punem condiția și aflăm m

   9-3m=0\Rightarrow m=3

   Condiția din enunț este suma cuburilor egală cu 0. Rezolvăm ecuația \(9-3m=0\) și obținem \(3m=9\), deci \(m=3\).

Răspuns: \(m=3\)

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^x}\). a) Arătați că \(f'(x)=1-\dfrac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}\), \(x\in(-1,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui raport de funcții

1. 1

   Derivăm suma și scriem formula câtului

   f'(x)=(x)'+\left(\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}\right)'=1+\frac{(\sqrt{x+1})'\,e^x-\sqrt{x+1}\,(e^x)'}{(e^x)^2}

   Derivata unei sume este suma derivatelor, deci derivăm separat \(x\) și fracția. Pentru fracție folosim \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\), cu \(u=\sqrt{x+1}\) și \(v=e^x\). Avem \((x)'=1\).

2. 2

   Înlocuim derivatele

   f'(x)=1+\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\,e^x-\sqrt{x+1}\,e^x}{e^{2x}}

   Punem \((\sqrt{x+1})'=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\) și \((e^x)'=e^x\). Numitorul \((e^x)^2\) devine \(e^{2x}\).

3. 3

   Simplificăm cu \(e^x\)

   f'(x)=1+\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}}{e^{x}}=1+\frac{1-2(x+1)}{2e^x\sqrt{x+1}}

   Dăm factor comun \(e^x\) la numărător și simplificăm cu \(e^{2x}\), rămânând \(e^x\) la numitor. Apoi aducem la numitor comun \(2\sqrt{x+1}\): \(\sqrt{x+1}=\frac{2\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x+1}}=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x+1}}\).

4. 4

   Forma finală

   f'(x)=1+\frac{-2x-1}{2e^x\sqrt{x+1}}=1-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}},\ x\in(-1,+\infty)

   Din \(1-2x-2=-2x-1=-(2x+1)\) scoatem semnul minus în fața fracției. Obținem exact expresia cerută, valabilă pe \((-1,+\infty)\), unde \(x+1>0\).

Răspuns: \(f'(x)=1-\dfrac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}\), pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^x}\). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Asimptota oblică prin limite

1. 1

   Calculăm panta m

   m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{e^x}\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)=1

   Împărțim \(f(x)\) la \(x\): \(\frac{f(x)}{x}=1+\frac{\sqrt{x+1}}{x\,e^x}\). Introducem pe x sub radical ca \(\sqrt{x^2}\): \(\frac{\sqrt{x+1}}{x}=\sqrt{\frac{x+1}{x^2}}=\sqrt{\frac1x+\frac1{x^2}}\). Când \(x\to+\infty\), radicalul tinde la 0, iar \(\frac1{e^x}\) tinde și el la 0, deci produsul tinde la 0. Panta este \(m=1\).

2. 2

   Calculăm termenul liber n

   n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2e^x\sqrt{x+1}}=0

   Cu \(m=1\), avem \(f(x)-x=\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}\). Exponențiala \(e^x\) crește mult mai repede decât \(\sqrt{x+1}\), deci limita este 0. Se poate justifica și cu L'Hôpital (forma \(\frac{\infty}{\infty}\)): derivata numărătorului este \(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\), a numitorului \(e^x\), iar raportul \(\frac{1}{2e^x\sqrt{x+1}}\) tinde la 0. Deci \(n=0\).

3. 3

   Scriem ecuația asimptotei

   y=mx+n=1\cdot x+0\Rightarrow y=x

   Înlocuim \(m=1\) și \(n=0\) în \(y=mx+n\). Obținem dreapta \(y=x\), asimptota oblică spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\), la fel ca în barem.

Răspuns: Asimptota oblică spre \(+\infty\) are ecuația \(y=x\).

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^x}\). c) Demonstrați că \(f(x)-x\le\sqrt{\dfrac{e}{2}}\), pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\).

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Definim funcția auxiliară g

   g(x)=f(x)-x=\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}

   Inegalitatea cere \(f(x)-x\le \sqrt{e/2}\). Notăm \(g(x)=f(x)-x\), deci \(g(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^x}\), pentru \(x\in(-1,+\infty)\). Rămâne de arătat că \(g(x)\) nu depășește niciodată \(\sqrt{e/2}\), adică valoarea maximă a lui g este cel mult \(\sqrt{e/2}\).

2. 2

   Calculăm derivata lui g

   g'(x)=f'(x)-1=-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}

   Din punctul a) știm că \(f'(x)=1-\dfrac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}\). Deoarece \(g(x)=f(x)-x\), avem \(g'(x)=f'(x)-1\), deci \(g'(x)=-\dfrac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}\). Folosim rezultatul de la a), așa cum cere și baremul, fără să derivăm din nou.

3. 3

   Găsim punctul critic și semnul derivatei

   g'(x)=0\iff 2x+1=0\iff x=-\frac12

   Numitorul \(2e^x\sqrt{x+1}\) este strict pozitiv pe \((-1,+\infty)\), deci semnul lui \(g'\) depinde doar de \(-(2x+1)\). Pentru \(x\in(-1,-\tfrac12]\) avem \(2x+1\le 0\), deci \(g'(x)\ge 0\) și g crește. Pentru \(x\in[-\tfrac12,+\infty)\) avem \(2x+1\ge 0\), deci \(g'(x)\le 0\) și g scade.

4. 4

   Concluzia: valoarea maximă a lui g

   g(x)\le g\left(-\frac12\right)=\frac{\sqrt{1/2}}{e^{-1/2}}=\sqrt{\frac12}\cdot\sqrt e=\sqrt{\frac e2}

   Cum g crește până la \(-\tfrac12\) și scade după, \(g(x)\le g(-\tfrac12)\) pentru orice \(x>-1\). Calculăm: \(\sqrt{-\tfrac12+1}=\sqrt{\tfrac12}\) și \(e^{-1/2}=\dfrac1{\sqrt e}\), deci \(g(-\tfrac12)=\sqrt{\tfrac12}\cdot\sqrt e=\sqrt{\tfrac e2}\). Așadar \(f(x)-x\le\sqrt{\tfrac e2}\), pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\), ceea ce voiam.

Răspuns: Funcția \(g(x)=f(x)-x\) are maximul \(g(-\tfrac12)=\sqrt{e/2}\), deci \(f(x)-x\le\sqrt{e/2}\) pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+x\ln x\). a) Arătați că \(\int_1^2 3\big(f(x)-x\ln x\big)\,dx=7\).

Metoda: Calcul de integrală definită

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-x\ln x=x^2+x\ln x-x\ln x=x^2

   Înlocuim \(f(x)\) cu \(x^2+x\ln x\). Termenii \(x\ln x\) se reduc, deci \(f(x)-x\ln x=x^2\). Astfel integrala devine \(\int_1^2 3x^2\,dx\), fără logaritm, ușor de calculat.

2. 2

   Găsim primitiva

   \int_1^2 3x^2\,dx=x^3\Big|_1^2

   Primitiva lui \(3x^2\) este \(x^3\), pentru că derivata lui \(x^3\) este \(3x^2\). Folosim formula \(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\), iar \(3\cdot\frac{x^3}{3}=x^3\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   x^3\Big|_1^2=2^3-1^3=8-1=7

   La o integrală definită calculăm primitiva în capătul de sus și scădem valoarea ei în capătul de jos. Obținem \(2^3-1^3=8-1=7\), exact valoarea cerută.

Răspuns: \(\int_1^2 3\big(f(x)-x\ln x\big)dx=\int_1^2 3x^2dx=x^3\big|_1^2=8-1=7\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+x\ln x\). b) Arătați că \(\int_1^e \frac{f(x)}{x^3}\,dx = 2\left(1-\frac{1}{e}\right)\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm fracția

   \frac{f(x)}{x^3}=\frac{x^2+x\ln x}{x^3}=\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x^2}

   Împărțim fiecare termen de la numărător la \(x^3\). Astfel obținem două integrale mai simple: \(\int_1^e \frac{1}{x}dx\) și \(\int_1^e \frac{\ln x}{x^2}dx\).

2. 2

   Pregătim integrarea prin părți

   \int_1^e\frac{\ln x}{x^2}dx=\int_1^e\left(-\frac{1}{x}\right)'\ln x\,dx

   Observăm că \(\left(-\frac1x\right)'=\frac{1}{x^2}\). Alegem \(u=\ln x\) și \(v'=\frac1{x^2}\), deci \(v=-\frac1x\). Formula este \(\int u v' = uv-\int u'v\).

3. 3

   Aplicăm formula integrării prin părți

   \int_1^e\frac{1}{x}dx+\left(\ln x\cdot\left(-\frac1x\right)\Big|_1^e+\int_1^e\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}dx\right)=\ln x\Big|_1^e-\frac{\ln x}{x}\Big|_1^e+\int_1^e\frac{1}{x^2}dx

   Termenul \(uv\) este \(-\frac{\ln x}{x}\), iar \(-\int u'v=-\int \frac1x\cdot\left(-\frac1x\right)dx=+\int\frac{1}{x^2}dx\). Păstrăm și prima integrală, \(\int_1^e\frac1x dx=\ln x\big|_1^e\).

4. 4

   Calculăm cu limitele de integrare

   1-\frac{1}{e}-\frac{1}{x}\Big|_1^e=1-\frac1e-\left(\frac1e-1\right)=2-\frac{2}{e}

   \(\ln x\big|_1^e=\ln e-\ln 1=1\). \(-\frac{\ln x}{x}\big|_1^e=-\frac{1}{e}-0=-\frac1e\). \(\int_1^e\frac{1}{x^2}dx=-\frac1x\big|_1^e=-\frac1e+1\). Adunăm: \(1-\frac1e+1-\frac1e=2-\frac2e\). Scoatem factorul 2 și obținem \(2\left(1-\frac1e\right)\).

Răspuns: \(\int_1^e \frac{f(x)}{x^3}dx = 2-\frac{2}{e}=2\left(1-\frac{1}{e}\right)\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+x\ln x\). Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției \(g:[1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{x+1}{f(x)}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=1\) și \(x=e\) are aria strict mai mare decât 1.

Metoda: Aria cu integrala; substituție prin derivată

1. 1

   Simplificăm funcția și stabilim semnul

   g(x)=\frac{x+1}{x^2+x\ln x}\ge 0,\ x\in[1,e]

   Pentru a scrie aria ca integrală din \(g\), trebuie să știm dacă graficul este deasupra axei \(Ox\). Pe \([1,e]\) avem \(x>0\) și \(\ln x\ge 0\), deci numitorul \(x^2+x\ln x>0\). Numărătorul \(x+1>0\), deci \(g(x)>0\). Atunci \(|g(x)|=g(x)\) și aria este \(\mathcal{A}=\int_1^e \frac{x+1}{x^2+x\ln x}\,dx\).

2. 2

   Scriem aria ca integrală

   \mathcal{A}=\int_1^e g(x)\,dx=\int_1^e \frac{x+1}{x^2+x\ln x}\,dx

   Aria este delimitată de grafic, axa Ox și dreptele \(x=1\), \(x=e\), deci limitele de integrare sunt 1 și \(e\).

3. 3

   Dăm factor comun x la numitor

   \frac{x+1}{x^2+x\ln x}=\frac{x+1}{x(x+\ln x)}=\left(1+\frac1x\right)\cdot\frac{1}{x+\ln x}

   La numitor scoatem \(x\) factor comun: \(x^2+x\ln x=x(x+\ln x)\). Apoi \(\frac{x+1}{x}=1+\frac1x\). Observăm că \(1+\frac1x=(x+\ln x)'\), deci avem forma \(\frac{u'}{u}\) cu \(u=x+\ln x\).

4. 4

   Calculăm integrala

   \mathcal{A}=\int_1^e \frac{(x+\ln x)'}{x+\ln x}\,dx=\ln(x+\ln x)\Big|_1^e=\ln(e+1)-\ln 1=\ln(e+1)

   Primitiva lui \(\frac{u'}{u}\) este \(\ln u\) (aici \(u>0\)). Pentru \(x=e\): \(u=e+\ln e=e+1\). Pentru \(x=1\): \(u=1+\ln 1=1\), iar \(\ln 1=0\). Rămâne \(\mathcal{A}=\ln(e+1)\).

5. 5

   Comparăm cu 1

   \mathcal{A}=\ln(e+1)>\ln e=1

   Funcția \(\ln\) este strict crescătoare, iar \(e+1>e\), deci \(\ln(e+1)>\ln e=1\). Prin urmare aria este strict mai mare decât 1, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\mathcal{A}=\ln(e+1)>\ln e=1\), deci aria este strict mai mare decât 1.