Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2024, sesiunea iunie–iulie (varianta 10)

Arătați că \(2\lg 100+\lg 2+\lg 5=5\).

Metoda: Proprietățile logaritmilor zecimali

1. 1

   Calculăm \(\lg 100\) și grupăm termenii

   2\lg 100+\lg 2+\lg 5=2\cdot 2+\lg 10

   Logaritmul zecimal \(\lg 100\) este puterea la care ridicăm 10 ca să obținem 100. Cum \(100=10^2\), avem \(\lg 100=2\). Apoi folosim \(\lg a+\lg b=\lg(a\cdot b)\): \(\lg 2+\lg 5=\lg(2\cdot 5)=\lg 10\).

2. 2

   Calculăm \(\lg 10\) și adunăm

   2\cdot 2+\lg 10=4+1=5

   Cum \(10=10^1\), avem \(\lg 10=1\). Rămâne de adunat \(4+1\), ceea ce dă 5, exact valoarea cerută în enunț.

Răspuns: \(2\lg 100+\lg 2+\lg 5=4+1=5\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-6\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)+f(3a)=0\).

Metoda: Înlocuirea în funcție și ecuație

1. 1

   Calculăm f(a) și f(3a)

   f(a)=a-6,\quad f(3a)=3a-6

   Regula funcției este \(f(x)=x-6\): în locul lui \(x\) punem ce se află în paranteză. Pentru \(f(a)\) punem \(a\), deci \(f(a)=a-6\). Pentru \(f(3a)\) punem \(3a\), deci \(f(3a)=3a-6\).

2. 2

   Scriem ecuația și o rezolvăm

   a-6+3a-6=0 \Rightarrow 4a-12=0 \Rightarrow a=3

   Condiția din enunț este \(f(a)+f(3a)=0\). Punem expresiile găsite la pasul anterior și obținem \(a-6+3a-6=0\). Reducem termenii asemenea: \(4a-12=0\). Mutăm 12 în dreapta: \(4a=12\), deci \(a=3\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   f(3)=3-6=-3,\quad f(9)=9-6=3,\quad -3+3=0

   Verificăm pentru \(a=3\): \(f(3)=-3\) și \(f(3a)=f(9)=3\). Suma lor este \(-3+3=0\), deci condiția din enunț este îndeplinită.

Răspuns: \(a=3\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(5^{3x}\cdot 5^{2}=5^{x}\).

Metoda: Egalarea exponenților la baze egale

1. 1

   Reunim puterile din stânga la aceeași bază

   5^{3x}\cdot 5^{2}=5^{3x+2}

   În stânga avem un produs de puteri cu aceeași bază, 5. Regula \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) ne spune că exponenții se adună. Astfel ecuația devine \(5^{3x+2}=5^{x}\).

2. 2

   Egalăm exponenții

   5^{3x+2}=5^{x}\Rightarrow 3x+2=x

   Funcția \(t\mapsto 5^t\) este injectivă (strict crescătoare), deci două puteri ale lui 5 sunt egale doar dacă exponenții sunt egali. Obținem ecuația de gradul I \(3x+2=x\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul I

   3x+2=x\Rightarrow 2x=-2\Rightarrow x=-1

   Mutăm termenii cu x în stânga: \(3x-x=-2\), deci \(2x=-2\), de unde \(x=-1\).

4. 4

   Verificăm soluția

   5^{3\cdot(-1)}\cdot 5^{2}=5^{-3+2}=5^{-1}

   Pentru \(x=-1\): stânga este \(5^{-3}\cdot 5^{2}=5^{-1}\), iar dreapta este \(5^{-1}\). Cele două părți sunt egale, deci soluția este corectă.

Răspuns: \(x=-1\)

Determinați câte submulțimi cu două elemente, ambele numere pare, are mulțimea \(A = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}\).

Metoda: Combinări de elemente pare

1. 1

   Găsim numerele pare din mulțimea A

   \{2, 4, 6, 8\}

   Submulțimile cerute trebuie să aibă ambele elemente pare, deci putem alege elementele doar dintre numerele pare din A. Elementele 1 și 9 sunt impare, așa că le lăsăm deoparte. Rămân 2, 4, 6 și 8, adică 4 numere pare.

2. 2

   Alegem 2 elemente din cele 4 numere pare

   C_4^2 = \frac{4!}{2!\cdot 2!}

   Într-o submulțime ordinea elementelor nu contează, de exemplu \(\{2,4\}\) este aceeași cu \(\{4,2\}\). De aceea numărul de submulțimi cu 2 elemente alese dintre 4 este numărul de combinări \(C_4^2\).

3. 3

   Verificăm prin listarea submulțimilor

   \{2,4\},\{2,6\},\{2,8\},\{4,6\},\{4,8\},\{6,8\}

   Putem scrie toate submulțimile cu două elemente pare și să le numărăm. Obținem exact 6, la fel ca în calcul cu combinări.

Răspuns: Există 6 submulțimi cu două elemente, ambele numere pare.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(3,1)\) și \(B(3,0)\). Determinați coordonatele punctului \(C\) pentru care \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}\).

Metoda: Egalitatea vectorilor prin coordonate

1. 1

   Scriem vectorii prin coordonate

   \overrightarrow{AC}=(x_C-3)\vec{i}+(y_C-1)\vec{j},\quad \overrightarrow{OB}=3\vec{i}

   Dacă \(C(x_C,y_C)\) și \(A(3,1)\), vectorul \(\overrightarrow{AC}\) are coordonatele \((x_C-3,\ y_C-1)\), adică „capăt minus origine”. Pentru \(\overrightarrow{OB}\), cu \(O(0,0)\) și \(B(3,0)\), obținem \((3-0,\ 0-0)=(3,0)\), adică \(3\vec{i}\).

2. 2

   Egalăm coordonatele

   (x_C-3)\vec{i}+(y_C-1)\vec{j}=3\vec{i}\Rightarrow x_C-3=3,\ y_C-1=0

   Doi vectori sunt egali dacă au aceleași coordonate. Pe direcția \(\vec{i}\) avem \(x_C-3=3\), iar pe direcția \(\vec{j}\) avem \(y_C-1=0\), deoarece în membrul drept nu apare \(\vec{j}\).

3. 3

   Verificăm și formulăm răspunsul

   C(6,1)

   Verificăm: \(\overrightarrow{AC}=(6-3,\ 1-1)=(3,0)\), care coincide cu \(\overrightarrow{OB}=(3,0)\). Deci punctul căutat este \(C(6,1)\).

Răspuns: \(C(6,1)\)

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu aria egală cu \(18\) și \(B=\frac{\pi}{4}\). Arătați că \(AB=6\).

Metoda: Triunghi dreptunghic isoscel și arie

1. 1

   Aflăm ce fel de triunghi este

   \widehat{B}=\frac{\pi}{4}=45^\circ,\ \widehat{A}=90^\circ \Rightarrow \widehat{C}=45^\circ \Rightarrow AB=AC

   Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\). Deci \(\widehat{C}=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ\). Triunghiul are două unghiuri egale (\(B\) și \(C\)), deci este isoscel, iar laturile opuse acestor unghiuri sunt egale: \(AC=AB\). Catetele sunt egale.

2. 2

   Scriem aria cu catetele

   \mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{AB\cdot AB}{2}=18

   Într-un triunghi dreptunghic, aria este jumătate din produsul catetelor. Cum \(AC=AB\), înlocuim și obținem o ecuație cu o singură necunoscută.

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   AB^2=36 \Rightarrow AB=6

   Înmulțim cu 2: \(AB^2=36\). Cum \(AB\) este o lungime, deci pozitivă, \(AB=\sqrt{36}=6\). Am arătat ce se cerea.

Răspuns: \(AB=6\), deoarece triunghiul este dreptunghic isoscel (\(AB=AC\)) și \(\frac{AB^2}{2}=18\Rightarrow AB^2=36\).

Se consideră matricea \( M(x)=\begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x+2 & x \\ 0 & 2x & x+2 \end{pmatrix} \), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \( \det(M(1))=7 \).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea M(1)

   M(1)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(x\) cu \(1\). Prima poziție devine \(1\), \(x+2\) devine \(1+2=3\), \(x\) devine \(1\), iar \(2x\) devine \(2\). Zerourile rămân zerouri. Facem asta pentru a avea o matrice cu numere, al cărei determinant îl putem calcula.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(M(1))=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix}=9+0+0-0-0-2=7

   Folosim regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt \(1\cdot 3\cdot 3=9\), \(0\cdot 1\cdot 0=0\) și \(0\cdot 0\cdot 2=0\). Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt \(0\cdot 3\cdot 0=0\), \(1\cdot 1\cdot 2=2\) și \(0\cdot 0\cdot 3=0\). Determinantul este suma primelor produse minus suma celorlalte: \(9-2=7\). Rezultatul coincide cu cel cerut.

Răspuns: \(\det(M(1))=7\), deci egalitatea cerută este adevărată.

Se consideră matricea \(M(x)=\begin{pmatrix} x & 0 & 0\\ 0 & x+2 & x\\ 0 & 2x & x+2\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(M(x)\cdot M(2)=M(x-1)\).

Metoda: Produs de matrice și egalitate

1. 1

   Scriem matricea M(2)

   M(2)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&4&2\\0&4&4\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x=2\) în matricea \(M(x)\): \(x=2\), \(x+2=4\), \(2x=4\). Obținem \(M(2)\) cu elementele \(2, 4, 2, 4, 4\) și zerouri în rest.

2. 2

   Calculăm produsul M(x)·M(2)

   M(x)\cdot M(2)=\begin{pmatrix}2x&0&0\\0&8x+8&6x+4\\0&12x+8&8x+8\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Prima linie: \(x\cdot 2=2x\). Pe linia 2: \((x+2)\cdot 4+x\cdot 4=8x+8\) și \((x+2)\cdot 2+x\cdot 4=6x+4\). Pe linia 3: \(2x\cdot 4+(x+2)\cdot 4=12x+8\) și \(2x\cdot 2+(x+2)\cdot 4=8x+8\). Zerourile din prima linie și prima coloană rămân zerouri.

3. 3

   Scriem M(x-1)

   M(x-1)=\begin{pmatrix}x-1&0&0\\0&x+1&x-1\\0&2x-2&x+1\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x\) cu \(x-1\): \(x-1+2=x+1\) și \(2(x-1)=2x-2\).

4. 4

   Egalăm elementele și aflăm x

   2x=x-1\Rightarrow x=-1

   Două matrice sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale. Din poziția (1,1): \(2x=x-1\), deci \(x=-1\). Verificăm și celelalte: \(8x+8=x+1\Rightarrow 7x=-7\Rightarrow x=-1\); \(6x+4=x-1\Rightarrow 5x=-5\Rightarrow x=-1\); \(12x+8=2x-2\Rightarrow 10x=-10\Rightarrow x=-1\). Toate ecuațiile dau aceeași valoare, deci egalitatea este adevărată.

Răspuns: \(x=-1\)

Se consideră matricea \(M(x)=\begin{pmatrix} x & 0 & 0\\ 0 & x+2 & x\\ 0 & 2x & x+2\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați numerele naturale \(n\) pentru care \(2\det(M(n))\le \det(M(2n))\).

Metoda: Calculul determinantului și inecuație

1. 1

   Calculăm determinantul lui M(x)

   \det(M(x))=x\cdot\begin{vmatrix} x+2 & x\\ 2x & x+2\end{vmatrix}=x\left((x+2)^2-2x^2\right)=x(-x^2+4x+4)

   Matricea are prima linie \((x,0,0)\), deci dezvoltăm după prima linie: rămâne \(x\) înmulțit cu determinantul de ordin 2 din colțul dreapta-jos. Acest determinant este \((x+2)(x+2)-x\cdot 2x=x^2+4x+4-2x^2=-x^2+4x+4\). Deci \(\det(M(x))=x(-x^2+4x+4)\).

2. 2

   Scriem determinantul pentru 2n

   \det(M(2n))=2n\left(-(2n)^2+4\cdot 2n+4\right)=2n(-4n^2+8n+4)

   Folosim aceeași formulă generală, doar că în loc de \(x\) punem \(2n\). Atenție: \((2n)^2=4n^2\), iar \(4\cdot 2n=8n\).

3. 3

   Scriem și simplificăm inecuația

   2n(-n^2+4n+4)\le 2n(-4n^2+8n+4)\iff 2n\left(3n^2-4n\right)\le 0\iff n^2(3n-4)\le 0

   Aducem totul în partea dreaptă: \(2n(-4n^2+8n+4)-2n(-n^2+4n+4)=2n(-3n^2+4n)\). Deci inegalitatea devine \(2n(-3n^2+4n)\ge 0\), adică \(2n(3n^2-4n)\le 0\), adică \(2n^2(3n-4)\le 0\), care e echivalentă cu \(n^2(3n-4)\le 0\).

4. 4

   Rezolvăm inecuația în numere naturale

   n^2(3n-4)\le 0\Rightarrow n=0\ \text{sau}\ 3n-4\le 0\Rightarrow n\le \tfrac{4}{3}\Rightarrow n\in\{0,1\}

   Produsul \(n^2(3n-4)\) este \(\le 0\) dacă \(n^2=0\), adică \(n=0\), sau dacă \(n^2>0\) și \(3n-4\le 0\). Din \(3n-4\le 0\) rezultă \(n\le 4/3\). Cum \(n\) este natural, alegem \(n=0\) și \(n=1\). Verificare: pentru \(n=2\) avem \(4\cdot 2=8>0\), deci nu convine.

Răspuns: n = 0 și n = 1

Se consideră polinomul \(f = X^3 - 2X^2 - aX + 2a\), unde \(a\) este număr real. Arătați că \(f(2) = 0\), pentru orice număr real \(a\).

Metoda: Valoarea polinomului într-un punct

1. 1

   Înlocuim X cu 2

   f(2)=2^3-2\cdot 2^2-a\cdot 2+2a

   Valoarea polinomului în \(2\) se obține înlocuind peste tot necunoscuta \(X\) cu numărul \(2\). Parametrul \(a\) rămâne neschimbat, deoarece este doar un număr real fixat.

2. 2

   Reducem termenii și obținem 0

   f(2)=8-8-2a+2a=0

   Cu \(2^3 = 8\) și \(2\cdot 2^2 = 8\), primii doi termeni se anulează. Termenii \(-2a\) și \(+2a\) se anulează și ei. Rămâne \(0\), indiferent de valoarea lui \(a\), deci \(f(2)=0\) pentru orice \(a\) real.

Răspuns: \(f(2)=8-8-2a+2a=0\), pentru orice număr real \(a\). Deci \(2\) este rădăcină a polinomului \(f\) pentru orice \(a\).

Se consideră polinomul \(f = X^3 - 2X^2 - aX + 2a\), unde \(a\) este număr real. b) Pentru \(a = 1\), arătați că polinomul \(f\) este divizibil cu polinomul \(g = X + 1\).

Metoda: Teorema împărțirii cu rest (Bézout)

1. 1

   Particularizăm polinomul pentru a = 1

   f = X^3 - 2X^2 - X + 2

   Înlocuim \(a = 1\) în \(f = X^3 - 2X^2 - aX + 2a\). Termenul \(-aX\) devine \(-X\), iar \(2a\) devine \(2\).

2. 2

   Folosim teorema lui Bézout

   g = X + 1 = X - (-1) \Rightarrow f \text{ divizibil cu } g \iff f(-1) = 0

   Restul împărțirii lui \(f\) la \(X - r\) este \(f(r)\). Polinomul \(g = X + 1\) are rădăcina \(-1\), deci \(f\) se împarte exact la \(g\) dacă și numai dacă \(f(-1) = 0\). Astfel evităm împărțirea polinoamelor.

3. 3

   Calculăm f(-1)

   f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 2 + 1 + 2 = 0

   Înlocuim \(X\) cu \(-1\): \((-1)^3 = -1\), \((-1)^2 = 1\), deci \(-2 \cdot 1 = -2\), iar \(-(-1) = +1\). Adunăm: \(-1 - 2 + 1 + 2 = 0\).

4. 4

   Concluzia

   f(-1) = 0 \Rightarrow (X+1) \mid f

   Cum \(f(-1) = 0\), restul împărțirii lui \(f\) la \(X + 1\) este 0, deci \(f\) este divizibil cu \(g = X + 1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Pentru \(a = 1\) avem \(f(-1) = 0\), deci polinomul \(f\) este divizibil cu \(g = X + 1\).

Se consideră polinomul \(f = X^3 - 2X^2 - aX + 2a\), unde \(a\) este număr real. c) Determinați \(a \in (0,+\infty)\) pentru care \(|x_1|+|x_2|+|x_3| = 8\), unde \(x_1\), \(x_2\) și \(x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).

Metoda: Factorizarea polinomului

1. 1

   Descompunem polinomul în factori

   f = X^2(X-2) - a(X-2) = (X-2)(X^2-a)

   Grupăm termenii doi câte doi: \(X^3 - 2X^2 = X^2(X-2)\) și \(-aX + 2a = -a(X-2)\). Apare factorul comun \(X-2\), în acord cu faptul că \(f(2)=0\). Scoatem factor comun și obținem \(f=(X-2)(X^2-a)\).

2. 2

   Aflăm rădăcinile

   x_1 = 2,\quad x_2 = \sqrt{a},\quad x_3 = -\sqrt{a}

   Un produs este zero când un factor este zero. Din \(X-2=0\) obținem \(x_1=2\). Din \(X^2-a=0\) obținem \(X^2=a\), iar cum \(a>0\), rădăcinile sunt \(\pm\sqrt{a}\), reale.

3. 3

   Calculăm suma modulelor

   |x_1|+|x_2|+|x_3| = 2 + \sqrt{a} + \sqrt{a} = 2 + 2\sqrt{a}

   Modulul unui număr este mereu pozitiv: \(|2|=2\), \(|\sqrt{a}|=\sqrt{a}\) și \(|-\sqrt{a}|=\sqrt{a}\), fiindcă \(a>0\). Le adunăm.

4. 4

   Rezolvăm ecuația și aflăm a

   2 + 2\sqrt{a} = 8 \Rightarrow \sqrt{a} = 3 \Rightarrow a = 9

   Egalăm suma cu 8: \(2\sqrt{a}=6\), deci \(\sqrt{a}=3\), iar prin ridicare la pătrat \(a=9\). Valoarea \(9\) aparține intervalului \((0,+\infty)\), deci convine. Verificare: rădăcinile sunt \(2, 3, -3\), iar \(2+3+3=8\).

Răspuns: \(a = 9\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x(2x-4)+x^2-2x+4\). a) Arătați că \(f'(x)=2(x-1)(e^x+1)\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivarea și factorul comun

1. 1

   Derivăm funcția termen cu termen

   f'(x)=\left(e^x\right)'(2x-4)+e^x(2x-4)'+2x-2

   Funcția are doi termeni: produsul \(e^x(2x-4)\) și polinomul \(x^2-2x+4\). Derivata unei sume este suma derivatelor. Pentru produs folosim regula \((u\cdot v)'=u'v+uv'\), cu \(u=e^x\) și \(v=2x-4\). Pentru polinom, \((x^2-2x+4)'=2x-2\).

2. 2

   Simplificăm expresia derivatei

   f'(x)=e^x(2x-4)+2e^x+2x-2=e^x(2x-4+2)+2x-2=e^x(2x-2)+2x-2

   Deoarece \((e^x)'=e^x\) și \((2x-4)'=2\), primul termen devine \(e^x(2x-4)\), iar al doilea \(2e^x\). Ei au factor comun \(e^x\), deci îi grupăm: \(2x-4+2=2x-2\).

3. 3

   Dăm factor comun \(2(x-1)\)

   f'(x)=e^x(2x-2)+2x-2=2(x-1)e^x+2(x-1)=2(x-1)(e^x+1)

   Observăm că \(2x-2=2(x-1)\) apare în ambii termeni: \(e^x(2x-2)\) și \(2x-2\). Dăm factor comun \(2(x-1)\) și rămâne \(e^x+1\). Astfel obținem exact forma cerută, valabilă pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Răspuns: \(f'(x)=2(x-1)(e^x+1)\), \(x\in\mathbb{R}\), adică exact forma cerută.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x(2x-4)+x^2-2x+4\). Arătați că \(\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{1-e^x}=4\).

Metoda: Regula lui l'Hospital

1. 1

   Verificăm tipul de nedeterminare

   f(0)=e^0(0-4)+0-0+4=0,\quad 1-e^0=0

   Calculăm f(0) și numitorul în x=0. Funcția f este continuă, deci \(\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=0\). Numitorul \(1-e^x\) tinde și el la 0. Obținem nedeterminarea \(\frac{0}{0}\), deci putem aplica regula lui l'Hospital.

2. 2

   Aplicăm regula lui l'Hospital

   \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-e^x}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{(1-e^x)'}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{-e^x}

   Derivăm separat numărătorul și numitorul. Derivata numitorului este \((1-e^x)'=-e^x\). Pentru numărător folosim \(f'(x)=2(x-1)(e^x+1)\), demonstrată la punctul a).

3. 3

   Calculăm limita și concluzionăm

   \lim_{x\to0}\frac{2(x-1)(e^x+1)}{-e^x}=\frac{2\cdot(-1)\cdot(1+1)}{-1}=4

   Acum expresia este continuă în x=0, deci înlocuim direct x=0. Avem \(x-1=-1\), \(e^x+1=2\), \(e^x=1\). Numărătorul devine \(2\cdot(-1)\cdot2=-4\), iar numitorul \(-1\). Câtul este 4, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{1-e^x}=4\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x(2x-4)+x^2-2x+4\). Arătați că ecuația \(f(x)=0\) are exact două soluții.

Metoda: Studiul monotoniei și limitelor

1. 1

   Semnul derivatei

   f'(x)=2(x-1)(e^x+1)=0\iff x=1

   Din punctul a) știm că \(f'(x)=2(x-1)(e^x+1)\). Factorul \(e^x+1\) este mereu strict pozitiv, deci \(f'(x)\) are același semn cu \(x-1\). Derivata se anulează doar în \(x=1\).

2. 2

   Monotonia funcției

   f'(x)<0 \text{ pe } (-\infty,1),\quad f'(x)>0 \text{ pe } (1,+\infty)

   Pe \((-\infty,1)\) derivata este negativă, deci \(f\) este strict descrescătoare. Pe \((1,+\infty)\) derivata este pozitivă, deci \(f\) este strict crescătoare. Așadar \(x=1\) este punct de minim.

3. 3

   Valoarea în punctul de minim

   f(1)=e(2-4)+1-2+4=3-2e<0

   Calculăm \(f(1)=-2e+3\). Cum \(e>2{,}7\), avem \(2e>5\), deci \(3-2e<0\). Valoarea minimă a funcției este negativă, deci graficul coboară sub axa Ox.

4. 4

   Limitele la capete și concluzia

   \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

   Când \(x\to-\infty\), \(e^x(2x-4)\to0\), iar \(x^2-2x+4\to+\infty\), deci \(f\to+\infty\). Când \(x\to+\infty\), \(e^x(2x-4)\to+\infty\) și \(x^2-2x+4\to+\infty\), deci \(f\to+\infty\). Pe \((-\infty,1)\) funcția este continuă, strict descrescătoare, de la \(+\infty\) la \(3-2e<0\), deci taie axa Ox exact o dată. Pe \((1,+\infty)\) este continuă, strict crescătoare, de la \(3-2e<0\) la \(+\infty\), deci taie axa Ox exact o dată. În total, ecuația are exact două soluții.

Răspuns: Ecuația \(f(x)=0\) are exact două soluții: una în \((-\infty,1)\) și una în \((1,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4x}{3x^2+1}\). Arătați că \(\displaystyle\int_3^4 f(x)\left(3x^2+1\right)dx=14\).

Metoda: Simplificare și integrală de bază

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)(3x^2+1)=\frac{4x}{3x^2+1}\cdot(3x^2+1)=4x

   Înlocuim \(f(x)\) cu formula ei. Factorul \(3x^2+1\) apare la numitor și la numărător, deci se simplifică (este mereu nenul, pentru că \(3x^2+1\ge 1\)). Rămâne doar \(4x\), o funcție ușor de integrat.

2. 2

   Calculăm integrala lui 4x pe [3, 4]

   \int_3^4 4x\,dx=4\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_3^4=2x^2\Big|_3^4

   O primitivă a lui \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\). Înmulțită cu 4, primitiva lui \(4x\) este \(2x^2\). Folosim apoi formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în limita de sus minus valoarea ei în limita de jos.

3. 3

   Înlocuim limitele și obținem rezultatul

   2x^2\Big|_3^4=2\cdot 4^2-2\cdot 3^2=32-18=14

   În primitiva \(2x^2\) punem \(x=4\) și \(x=3\) și scădem. Se obține \(32-18=14\), exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_3^4 f(x)(3x^2+1)dx=\int_3^4 4x\,dx=2x^2\Big|_3^4=32-18=14\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4x}{3x^2+1}\). Subiectul III, 2. b): Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=\dfrac{4}{3}\ln 2\).

Metoda: Integrare prin formula \(\int u'/u\)

1. 1

   Scriem integrala și observăm derivata numitorului

   \int_0^1 \frac{4x}{3x^2+1}\,dx,\quad (3x^2+1)'=6x

   Înlocuim \(f(x)\) în integrală. Derivata numitorului \(3x^2+1\) este \(6x\), adică numărătorul \(4x\) înmulțit cu \(\frac{3}{2}\). Deci numărătorul este proporțional cu derivata numitorului, iar formula \(\int \frac{u'}{u}dx=\ln|u|+C\) se poate aplica.

2. 2

   Aducem numărătorul la forma derivatei

   \int_0^1 \frac{4x}{3x^2+1}dx=\frac{2}{3}\int_0^1\frac{6x}{3x^2+1}dx=\frac{2}{3}\int_0^1\frac{(3x^2+1)'}{3x^2+1}dx

   Scriem \(4x=\frac{2}{3}\cdot 6x\), deoarece \(\frac{2}{3}\cdot 6=4\). Scoatem constanta \(\frac{2}{3}\) în fața integralei și rămâne exact forma \(\frac{u'}{u}\).

3. 3

   Aflăm primitiva

   \frac{2}{3}\ln(3x^2+1)\Big|_0^1

   Primitiva lui \(\frac{u'}{u}\) este \(\ln|u|\). Cum \(3x^2+1>0\) pentru orice \(x\), putem scrie \(\ln(3x^2+1)\) fără modul.

4. 4

   Aplicăm formula Leibniz–Newton

   \frac{2}{3}\ln 4-\frac{2}{3}\ln 1=\frac{2}{3}\cdot 2\ln 2=\frac{4}{3}\ln 2

   La \(x=1\): \(3\cdot1+1=4\). La \(x=0\): \(3\cdot 0+1=1\), iar \(\ln 1=0\). Apoi \(\ln 4=\ln 2^2=2\ln 2\). Rezultă \(\frac{2}{3}\cdot 2\ln 2=\frac{4}{3}\ln 2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=\frac{4}{3}\ln 2\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4x}{3x^2+1}\). c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{4\ln x}{f(x)}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=1\) și \(x=e\) este egală cu \(\dfrac{3e^2+5}{4}\).

Metoda: Aria cu integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm expresia lui g(x)

   g(x)=\frac{4\ln x}{\frac{4x}{3x^2+1}}=\frac{(3x^2+1)\ln x}{x}=\Big(3x+\frac1x\Big)\ln x

   Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa ei. Astfel \(g(x)=4\ln x\cdot\dfrac{3x^2+1}{4x}\). Patru se simplifică, iar apoi despărțim fracția \(\dfrac{3x^2+1}{x}=3x+\dfrac1x\), forma comodă pentru integrare.

2. 2

   Scriem aria ca integrală

   \mathcal{A}=\int_1^e |g(x)|\,dx=\int_1^e\Big(3x+\frac1x\Big)\ln x\,dx

   Aria dintre grafic și axa Ox este integrala lui \(|g|\). Pe \([1,e]\) avem \(\ln x\ge 0\) și \(3x+\frac1x>0\), deci \(g(x)\ge 0\) și putem elimina modulul.

3. 3

   Descompunem integrala și integrăm prin părți

   \mathcal{A}=\int_1^e\Big(\frac{3x^2}{2}\Big)'\ln x\,dx+\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx

   Observăm că \(3x=\big(\frac{3x^2}{2}\big)'\), deci prima integrală se calculează prin părți. A doua este de forma \(\int \ln x\,(\ln x)'dx\), care dă \(\dfrac{\ln^2 x}{2}\). Ultima integrală: \(\dfrac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac12\).

4. 4

   Calculăm prima integrală prin părți

   \int_1^e 3x\ln x\,dx=\frac{3x^2}{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\frac{3x}{2}\,dx=\frac{3e^2}{2}-\frac{3}{4}\big(e^2-1\big)=\frac{3e^2}{4}+\frac34

   Formula părților: \(\int u'v=uv-\int uv'\), cu \(u=\frac{3x^2}{2}\) și \(v=\ln x\), deci \(v'=\frac1x\). Atunci \(uv'=\frac{3x}{2}\), cu integrala \(\frac{3x^2}{4}\). La limite: \(\frac{3e^2}{2}\cdot1-0=\frac{3e^2}{2}\) și \(\frac{3}{4}(e^2-1)\). Rezultă \(\frac{3e^2}{2}-\frac{3e^2}{4}+\frac34=\frac{3e^2}{4}+\frac34\).

5. 5

   Adunăm și obținem rezultatul

   \mathcal{A}=\frac{3e^2}{4}+\frac34+\frac12=\frac{3e^2+3+2}{4}=\frac{3e^2+5}{4}

   Adunăm rezultatele celor două integrale: \(\frac{3e^2}{4}+\frac34\) și \(\frac12\). Numitor comun 4: \(\frac34+\frac24=\frac54\). Se obține exact valoarea din enunț.

Răspuns: \(\mathcal{A}=\dfrac{3e^2+5}{4}\)