Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2024, sesiunea specială (varianta 09)

Determinați termenul \(a_3\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n\ge 1}\), în care \(a_1 = 2\) și \(a_2 = 12\).

Metoda: Media aritmetică a termenilor vecini

1. 1

   Scriem proprietatea progresiei aritmetice

   a_2=\frac{a_1+a_3}{2}

   Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă: \(a_2-a_1=a_3-a_2\). Dacă mutăm termenii, obținem \(2a_2=a_1+a_3\), adică \(a_2\) este media aritmetică a lui \(a_1\) și \(a_3\). Asta ne ajută pentru că îl știm pe \(a_2\) și pe \(a_1\), iar necunoscuta este \(a_3\).

2. 2

   Înlocuim datele problemei

   12=\frac{2+a_3}{2}

   Înlocuim \(a_1=2\) și \(a_2=12\) în relația de la pasul anterior. Rămâne o ecuație cu o singură necunoscută, \(a_3\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   24=2+a_3 \Rightarrow a_3=22

   După ce am înmulțit cu 2, obținem \(24=2+a_3\). Scădem 2 din ambii membri și rezultă \(a_3=22\). Verificare: rația este \(r=12-2=10\), deci \(a_3=12+10=22\), la fel.

Răspuns: \(a_3 = 22\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-8\). Determinați numărul real \(m\) pentru care \(f(1+m)=1-m\).

Metoda: Înlocuire în funcție și ecuație

1. 1

   Calculăm \(f(1+m)\)

   f(1+m)=(1+m)-8=m-7

   Funcția \(f\) scade 8 din numărul pe care îl primește. Aici numărul primit este \(1+m\), deci în locul lui \(x\) punem \(1+m\): \(f(1+m)=1+m-8=m-7\). Acest rezultat este valabil pentru orice \(m\) real.

2. 2

   Scriem ecuația

   m-7=1-m

   Condiția din enunț spune că \(f(1+m)\) trebuie să fie egal cu \(1-m\). Cum \(f(1+m)=m-7\), obținem ecuația \(m-7=1-m\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   m-7=1-m \Rightarrow 2m=8 \Rightarrow m=4

   Adunăm \(m\) în ambii membri și adunăm 7: \(m+m=1+7\), deci \(2m=8\), de unde \(m=4\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   f(1+4)=f(5)=5-8=-3,\quad 1-4=-3

   Pentru \(m=4\), \(f(5)=-3\) și \(1-m=-3\). Cele două valori coincid, deci \(m=4\) este corect.

Răspuns: \(m=4\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\lg\left(x^2-3x+5\right)=\lg 5\).

Metoda: Injectivitatea logaritmului și verificare

1. 1

   Condiția de existență și egalarea argumentelor

   x^2-3x+5=5

   Logaritmul există doar pentru argument strict pozitiv, deci trebuie \(x^2-3x+5>0\). Dar \(\lg\) este injectivă: din \(\lg A=\lg B\) rezultă \(A=B\). Deci \(x^2-3x+5=5\). Observăm că argumentul din dreapta este 5>0, așa că orice soluție a ecuației \(x^2-3x+5=5\) satisface automat condiția de existență.

2. 2

   Aducerea ecuației la forma redusă

   x^2-3x+5-5=0 \Rightarrow x^2-3x=0

   Scădem 5 din ambii membri. Obținem o ecuație de gradul II incompletă, fără termen liber: \(x^2-3x=0\).

3. 3

   Rezolvarea ecuației prin factor comun

   x(x-3)=0 \Rightarrow x=0 \text{ sau } x=3

   Dăm factor comun pe \(x\): \(x(x-3)=0\). Un produs este zero când cel puțin un factor este zero, deci \(x=0\) sau \(x-3=0\), adică \(x=3\).

4. 4

   Verificarea soluțiilor

   x=0:\ 0-0+5=5>0;\quad x=3:\ 9-9+5=5>0

   Verificăm condiția de existență: pentru ambele valori, argumentul logaritmului este 5, deci pozitiv. Prin urmare ambele soluții convin, așa cum arată și baremul.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=0\) și \(x=3\), adică \(S=\{0,3\}\).

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul \(\sqrt{n+1}\) să fie natural.

Metoda: Probabilitatea ca raport favorabile/posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   10,11,\dots,99 \Rightarrow 99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt de la \(10\) la \(99\). Numărul lor este ultimul minus primul plus 1, adică \(99-10+1=90\). Deci avem \(90\) de cazuri posibile.

2. 2

   Găsim cazurile favorabile

   n+1=k^2,\ k\in\mathbb{N} \Rightarrow n=k^2-1,\ 10\le n\le 99

   \(\sqrt{n+1}\) este natural exact când \(n+1\) este pătrat perfect. Deci \(n+1\) trebuie să fie între \(11\) și \(100\) și pătrat perfect. Pătratele perfecte din acest interval sunt: \(16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\). (Nu intră \(9\), pentru că \(9-1=8\) nu are două cifre.) Obținem \(n=15, 24, 35, 48, 63, 80, 99\), adică \(7\) numere. Deci avem \(7\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{7}{90}

   Aplicăm formula probabilității: împărțim numărul cazurilor favorabile, \(7\), la numărul cazurilor posibile, \(90\). Fracția \(\dfrac{7}{90}\) nu se mai simplifică, deoarece \(7\) este prim și nu divide \(90\).

Răspuns: \(p=\dfrac{7}{90}\)

În sistemul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,2)\), \(B(3,0)\) și \(C(5,a)\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\), știind că dreptele \(OA\) și \(BC\) sunt paralele.

Metoda: Condiția de paralelism: pante egale

1. 1

   Calculăm panta dreptei OA

   m_{OA}=\frac{y_A-y_O}{x_A-x_O}=\frac{2-0}{1-0}=2

   Panta unei drepte prin două puncte \(M(x_1,y_1)\) și \(N(x_2,y_2)\) este \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Aici O este originea \(O(0,0)\), iar \(A(1,2)\). Panta ne spune cât urcă dreapta când mergem o unitate spre dreapta.

2. 2

   Calculăm panta dreptei BC în funcție de a

   m_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{a-0}{5-3}=\frac{a}{2}

   Folosim aceeași formulă pentru \(B(3,0)\) și \(C(5,a)\). Numitorul este \(5-3=2\), diferit de zero, deci dreapta BC nu este verticală și panta există.

3. 3

   Punem condiția de paralelism și aflăm a

   OA\parallel BC \Rightarrow m_{OA}=m_{BC} \Rightarrow 2=\frac{a}{2} \Rightarrow a=4

   Dreptele sunt paralele dacă au aceleași pante. Egalăm \(2\) cu \(\frac{a}{2}\) și înmulțim ambii membri cu 2, de unde \(a=4\). Verificare: pentru \(C(5,4)\), panta BC este \(\frac{4}{2}=2\), egală cu panta OA.

Răspuns: \(a=4\)

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AC=9\) și \(B=\frac{\pi}{3}\). Arătați că \(AB=3\sqrt{3}\).

Metoda: Tangenta în triunghi dreptunghic

1. 1

   Alegem raportul trigonometric potrivit

   \operatorname{tg} B=\frac{AC}{AB}

   În triunghiul dreptunghic ABC (unghiul drept în A), față de unghiul B cateta opusă este AC, iar cateta alăturată este AB. Tangenta unghiului este raportul dintre cateta opusă și cea alăturată. Alegem tangenta pentru că ea leagă cele două catete, AC (cunoscută) și AB (căutată).

2. 2

   Înlocuim valorile cunoscute

   \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\;\Rightarrow\;\sqrt{3}=\frac{9}{AB}

   Știm că \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) (valoare din tabelul unghiurilor remarcabile) și că \(AC=9\). Înlocuim în relația de la pasul anterior și obținem o ecuație cu necunoscuta AB.

3. 3

   Aflăm AB și raționalizăm

   AB=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}

   Din \(\sqrt{3}=\frac{9}{AB}\) obținem \(AB=\frac{9}{\sqrt{3}}\). Amplificăm fracția cu \(\sqrt{3}\) ca să scăpăm de radical de la numitor: \(\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}\). Am ajuns exact la ce trebuia arătat.

Răspuns: AB = 3\sqrt{3}

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix}1&x&x\\0&0&x-1\\x&1&1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(2))=3\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea \(A(2)\)

   A(2)=\begin{pmatrix}1&2&2\\0&0&1\\2&1&1\end{pmatrix}

   Cerința ne cere determinantul pentru \(x=2\), deci înlocuim peste tot \(x\) cu 2. Prima linie \((1,x,x)\) devine \((1,2,2)\). A doua linie \((0,0,x-1)\) devine \((0,0,1)\), pentru că \(2-1=1\). A treia linie \((x,1,1)\) devine \((2,1,1)\).

2. 2

   Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus

   \det(A(2))=\begin{vmatrix}1&2&2\\0&0&1\\2&1&1\end{vmatrix}=1\cdot0\cdot1+2\cdot1\cdot2+2\cdot0\cdot1-2\cdot0\cdot2-1\cdot1\cdot1-1\cdot0\cdot2

   Regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Produsele pozitive sunt \(1\cdot0\cdot1=0\), \(2\cdot1\cdot2=4\) și \(2\cdot0\cdot1=0\). Produsele negative sunt \(2\cdot0\cdot2=0\), \(1\cdot1\cdot1=1\) și \(1\cdot0\cdot2=0\).

3. 3

   Adunăm și concluzionăm

   \det(A(2))=0+4+0-0-1-0=3

   Adunăm cele trei produse pozitive: \(0+4+0=4\). Scădem apoi produsele negative: \(0+1+0=1\). Obținem \(4-1=3\), exact valoarea cerută, deci am arătat că \(\det(A(2))=3\).

Răspuns: \(\det(A(2))=3\)

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix}1&x&x\\0&0&x-1\\x&1&1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A(x)\cdot A(1)=2A(x)\).

Metoda: Calcul matriceal și egalitatea matricelor

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x=1\) în matricea \(A(x)\). Prima linie devine \(1,1,1\), a doua \(0,0,1-1=0\), iar a treia \(1,1,1\). Avem nevoie de \(A(1)\) ca să putem face produsul din cerință.

2. 2

   Calculăm produsul A(x)·A(1)

   A(x)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1+x&1+x&1+x\\x-1&x-1&x-1\\x+1&x+1&x+1\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Toate coloanele lui \(A(1)\) sunt identice \((1,0,1)\), deci fiecare linie a produsului are trei elemente egale. Pe linia 1: \(1\cdot1+x\cdot0+x\cdot1=1+x\). Pe linia 2: \(0+0+(x-1)\cdot1=x-1\). Pe linia 3: \(x\cdot1+1\cdot0+1\cdot1=x+1\).

3. 3

   Calculăm 2A(x) și egalăm matricele

   2A(x)=\begin{pmatrix}2&2x&2x\\0&0&2x-2\\2x&2&2\end{pmatrix}

   Înmulțim fiecare element al lui \(A(x)\) cu 2. Apoi egalăm elementele de pe aceleași poziții din \(A(x)\cdot A(1)\) și \(2A(x)\). Pe linia 1: \(1+x=2\), deci \(x=1\) (și \(1+x=2x\) dă tot \(x=1\)). Pe linia 2: \(x-1=0\), deci \(x=1\). Pe linia 3: \(x+1=2x\) și \(x+1=2\), deci \(x=1\).

4. 4

   Verificare

   x=1:\ A(1)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}2&2&2\\0&0&0\\2&2&2\end{pmatrix}=2A(1)

   Pentru \(x=1\), produsul \(A(1)\cdot A(1)\) are toate elementele de pe liniile 1 și 3 egale cu 2 și linia 2 nulă. La fel arată și \(2A(1)\). Deci egalitatea se verifică și \(x=1\) este soluția.

Răspuns: x = 1

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix}1 & x & x\\ 0 & 0 & x-1\\ x & 1 & 1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Arătați că, dacă matricea \(A(x)\) este inversabilă, atunci și matricea \(A(-x)\) este inversabilă.

Metoda: Condiția det ≠ 0 pentru inversabilitate

1. 1

   Calculăm determinantul lui A(x)

   \det(A(x))=\begin{vmatrix}1 & x & x\\ 0 & 0 & x-1\\ x & 1 & 1\end{vmatrix}=(x-1)^2(x+1)

   Dezvoltăm determinantul după linia a doua, care are două zerouri, deci rămâne un singur termen. Elementul \(x-1\) se află pe poziția (2,3), deci semnul este \((-1)^{2+3}=-1\). Minorul obținut prin tăierea liniei 2 și coloanei 3 este \(\begin{vmatrix}1 & x\\ x & 1\end{vmatrix}=1-x^2\). Rezultă \(\det(A(x))=-(x-1)(1-x^2)=(x-1)(x^2-1)=(x-1)^2(x+1)\).

2. 2

   Condiția de inversabilitate pentru A(x)

   \det(A(x))\neq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2(x+1)\neq 0 \Leftrightarrow x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}

   Matricea este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Produsul \((x-1)^2(x+1)\) este zero doar pentru \(x=1\) sau \(x=-1\). Deci, dacă \(A(x)\) este inversabilă, atunci \(x\neq1\) și \(x\neq-1\).

3. 3

   Trecem la A(-x) și concluzionăm

   -x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\Rightarrow \det(A(-x))=(-x-1)^2(-x+1)\neq 0

   Dacă \(x\notin\{-1,1\}\), atunci nici \(-x\) nu este în \(\{-1,1\}\), pentru că \(-x=1\) ar da \(x=-1\), iar \(-x=-1\) ar da \(x=1\). Formula determinantului este valabilă pentru orice număr real, deci o aplicăm lui \(-x\): \(\det(A(-x))=(-x-1)^2(-x+1)\), nenul. Prin urmare \(A(-x)\) este inversabilă.

Răspuns: Dacă \(A(x)\) este inversabilă, atunci \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\), deci și \(-x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\), iar \(\det(A(-x))\neq0\). Așadar \(A(-x)\) este inversabilă.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \( x\circ y = xy+\dfrac{2x+2y-1}{4} \). a) Arătați că \( 1\circ 1=\dfrac{7}{4} \).

Metoda: Înlocuire directă în definiția legii

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 1 în definiția legii

   1\circ 1 = 1\cdot 1+\frac{2\cdot 1+2\cdot 1-1}{4}

   Definiția spune că \(x\circ y = xy+\frac{2x+2y-1}{4}\). Pentru \(1\circ 1\) punem \(x=1\) și \(y=1\) peste tot unde apar în formulă. Rezultă produsul \(1\cdot 1\) și fracția cu \(2\cdot 1+2\cdot 1-1\) la numărător.

2. 2

   Calculăm și obținem rezultatul

   1\circ 1 = 1+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}

   Numărătorul este \(2+2-1=3\), deci fracția este \(\frac{3}{4}\). Produsul \(1\cdot 1\) este 1. Adunăm \(1+\frac{3}{4}\), aducând pe 1 la numitorul 4: \(\frac{4}{4}+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}\). Exact valoarea cerută.

Răspuns: \(1\circ 1=\dfrac{7}{4}\), deci egalitatea cerută este demonstrată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x\circ y = xy + \frac{2x+2y-1}{4}\). Arătați că \(e=\frac{1}{2}\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(\circ\)”.

Metoda: Verificarea elementului neutru

1. 1

   Calculăm \(x\circ\frac12\)

   x\circ\frac12 = x\cdot\frac12+\frac{2x+2\cdot\frac12-1}{4}=\frac{x}{2}+\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}=x

   Înlocuim în formula legii \(y\) cu \(\frac12\). Produsul devine \(\frac{x}{2}\). La numărător, \(2\cdot\frac12=1\), iar \(1-1=0\), deci rămâne \(\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}\). Adunând \(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\) obținem \(x\), pentru orice \(x\) real.

2. 2

   Calculăm \(\frac12\circ x\)

   \frac12\circ x=\frac12\cdot x+\frac{2\cdot\frac12+2x-1}{4}=\frac{x}{2}+\frac{2x}{4}=x

   Legea este scrisă simetric în \(x\) și \(y\), dar baremul verifică separat și această ordine, deoarece definiția elementului neutru cere ambele egalități. Calculul este același și obținem din nou \(x\), pentru orice \(x\) real.

3. 3

   Concluzia

   x\circ\frac12=\frac12\circ x=x,\ \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow e=\frac12

   Am arătat că, pentru orice \(x\) real, compunerea cu \(\frac12\) la dreapta și la stânga îl lasă pe \(x\) neschimbat. Aceasta este definiția elementului neutru, deci \(e=\frac12\) este element neutru.

Răspuns: Deoarece \(x\circ\frac12=\frac12\circ x=x\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), numărul \(e=\frac12\) este elementul neutru al legii „\(\circ\)”.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă \(x\circ y = xy+\frac{2x+2y-1}{4}\). c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(\left(\frac{1}{2}-x\right)\circ\left(\frac{1}{2}+x\right)\circ\left(\frac{1}{2}+x^2\right)=\frac{1}{2}-x^2\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Calculăm \(\left(\frac12-x\right)\circ\left(\frac12+x\right)\)

   \left(\tfrac12-x\right)\circ\left(\tfrac12+x\right)=\left(\tfrac12-x\right)\left(\tfrac12+x\right)+\frac{2\left(\frac12-x\right)+2\left(\frac12+x\right)-1}{4}=\tfrac14-x^2+\tfrac14=\tfrac12-x^2

   Înlocuim în definiția legii \(x\circ y=xy+\frac{2x+2y-1}{4}\) primul număr \(\frac12-x\) și al doilea \(\frac12+x\). Produsul este o diferență de pătrate: \(\frac14-x^2\). La numărător, \(-2x\) și \(+2x\) se reduc, rămâne \(1+1-1=1\), deci fracția este \(\frac14\). Rezultă \(\frac12-x^2\).

2. 2

   Calculăm compunerea cu al treilea termen

   \left(\tfrac12-x^2\right)\circ\left(\tfrac12+x^2\right)=\tfrac14-x^4+\frac{2\left(\frac12-x^2\right)+2\left(\frac12+x^2\right)-1}{4}=\tfrac12-x^4

   Din pasul 1, membrul stâng devine \(\left(\frac12-x^2\right)\circ\left(\frac12+x^2\right)\). Aceasta are aceeași formă ca la pasul 1, cu \(x^2\) în locul lui \(x\). Deci rezultatul este \(\frac12-\left(x^2\right)^2=\frac12-x^4\), pentru orice \(x\) real.

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   \tfrac12-x^4=\tfrac12-x^2\Rightarrow x^4-x^2=0\Rightarrow x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\Rightarrow x\in\{-1,0,1\}

   Ecuația devine \(\frac12-x^4=\frac12-x^2\). Scădem \(\frac12\) din ambii membri și mutăm termenii: \(x^4-x^2=0\). Scoatem factor comun \(x^2\): \(x^2(x^2-1)=0\). Fie \(x^2=0\), adică \(x=0\), fie \(x^2=1\), adică \(x=-1\) sau \(x=1\). Toate valorile convin, pentru că egalitatea a fost obținută pentru orice \(x\) real.

Răspuns: \(x\in\{-1,0,1\}\)

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4x^3}{(x-1)^2}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}\), \(x\in(1,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui cât de funcții

1. 1

   Alegem regula de derivare

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția f este un raport: la numărător avem \(u=4x^3\), iar la numitor \(v=(x-1)^2\). De aceea folosim formula de derivare a câtului. Calculăm \(u'=12x^2\) și \(v'=2(x-1)\), după regula derivării unei puteri și a unei funcții compuse simple.

2. 2

   Înlocuim în formula câtului

   f'(x)=\frac{12x^2(x-1)^2-4x^3\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}

   Înlocuim \(u'\), \(v\), \(u\), \(v'\) în formulă. Numitorul devine \(v^2=((x-1)^2)^2=(x-1)^4\). Obținem exact expresia din barem, înainte de simplificare.

3. 3

   Simplificăm cu (x−1)

   f'(x)=\frac{12x^3-12x^2-8x^3}{(x-1)^3}=\frac{4x^3-12x^2}{(x-1)^3}

   Din ambii termeni de la numărător putem da factor comun \((x-1)\), deoarece \(x>1\) și deci \(x-1\neq0\). Simplificând, numitorul devine \((x-1)^3\). Numărătorul: \(12x^2(x-1)-8x^3=12x^3-12x^2-8x^3=4x^3-12x^2\).

4. 4

   Dăm factor comun și încheiem

   4x^3-12x^2=4x^2(x-3)\;\Rightarrow\; f'(x)=\frac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}

   La numărător, factorul comun este \(4x^2\): \(4x^3-12x^2=4x^2(x-3)\). Astfel obținem exact forma cerută în enunț, pentru orice \(x\in(1,+\infty)\), ceea ce era de demonstrat.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}\), \(x\in(1,+\infty)\), exact ca în enunț.

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4x^3}{(x-1)^2}\). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Asimptota oblică prin limite

1. 1

   Formula asimptotei oblice

   y=mx+n,\quad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x},\quad n=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-mx\big)

   Dacă graficul se apropie de o dreaptă \(y=mx+n\) când \(x\to+\infty\), atunci \(m\) este limita raportului \(\frac{f(x)}{x}\), iar \(n\) este limita diferenței \(f(x)-mx\). Trebuie ca ambele limite să fie finite. Funcția este definită pe \((1,+\infty)\), deci are sens să mergem spre \(+\infty\).

2. 2

   Calculăm panta m

   m=\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^3}{x(x-1)^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2}{(x-1)^2}=4

   Împărțim \(f(x)\) la \(x\) și simplificăm un \(x\). Obținem un raport de polinoame de același grad (2 la numărător și 2 la numitor). Limita este raportul coeficienților dominanți: \(\frac{4}{1}=4\). Deci \(m=4\), un număr finit nenul, deci putem continua.

3. 3

   Calculăm termenul liber n

   n=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-4x\big)=\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^3-4x(x-1)^2}{(x-1)^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{8x^2-4x}{(x-1)^2}=8

   Aducem la același numitor: \(f(x)-4x=\frac{4x^3-4x(x^2-2x+1)}{(x-1)^2}\). Dezvoltăm: \(4x^3-4x^3+8x^2-4x=8x^2-4x\). Termenii în \(x^3\) se reduc. Rămâne un raport de grad 2 pe grad 2, cu limita \(\frac{8}{1}=8\). Deci \(n=8\).

4. 4

   Scriem ecuația asimptotei

   y=4x+8

   Cu \(m=4\) și \(n=8\), ambele finite, dreapta \(y=4x+8\) este asimptota oblică spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\). Este exact rezultatul din barem.

Răspuns: Asimptota oblică spre \(+\infty\) are ecuația \(y=4x+8\).

Se consideră funcția \(f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4x^3}{(x-1)^2}\). c) Arătați că ecuația \(f(x)=m\) are exact două soluții, pentru orice \(m\in(27,+\infty)\).

Metoda: Studiul monotoniei și limitelor

1. 1

   Folosim derivata de la punctul a)

   f'(x)=\frac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3},\quad x\in(1,+\infty)

   Din punctul a) știm derivata. Semnul ei ne spune unde funcția crește sau scade. Pe \((1,+\infty)\) avem \(4x^2>0\) și \((x-1)^3>0\), deci semnul derivatei depinde doar de factorul \(x-3\).

2. 2

   Monotonia funcției

   f'(x)<0 \text{ pe } (1,3),\quad f'(x)>0 \text{ pe } (3,+\infty)

   Pe \((1,3)\) avem \(x-3<0\), deci \(f'(x)<0\) și \(f\) este strict descrescătoare. Pe \((3,+\infty)\) avem \(x-3>0\), deci \(f'(x)>0\) și \(f\) este strict crescătoare. Punctul \(x=3\) este minim.

3. 3

   Valoarea minimă și limitele la capete

   f(3)=\frac{4\cdot 27}{4}=27,\quad \lim_{x\to1}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

   Minimul este \(f(3)=\frac{4\cdot3^3}{(3-1)^2}=\frac{108}{4}=27\). Când \(x\to1\), numărătorul tinde la 4, iar numitorul la 0 prin valori pozitive, deci limita este \(+\infty\). Când \(x\to+\infty\), gradul numărătorului (3) este mai mare decât al numitorului (2), deci limita este \(+\infty\).

4. 4

   Concluzia: exact două soluții

   f:(1,3]\to[27,+\infty)\text{ bijecție},\quad f:[3,+\infty)\to[27,+\infty)\text{ bijecție}

   Funcția \(f\) este continuă. Pe \((1,3)\) este strict descrescătoare și ia toate valorile din \((27,+\infty)\), fiecare o singură dată. Pe \((3,+\infty)\) este strict crescătoare și ia tot toate valorile din \((27,+\infty)\), fiecare o singură dată. Deci pentru orice \(m>27\) există o soluție în \((1,3)\) și una în \((3,+\infty)\). În \(x=3\) valoarea este 27, deci \(m\) nu este atins acolo. Așadar ecuația \(f(x)=m\) are exact două soluții.

Răspuns: Funcția \(f\) scade strict pe \((1,3)\) și crește strict pe \((3,+\infty)\), are minimul \(f(3)=27\) și limite \(+\infty\) la capete. Deci pentru orice \(m\in(27,+\infty)\), ecuația \(f(x)=m\) are exact două soluții.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+1+x\ln x\). a) Arătați că \(\int_1^3 \left(f(x)-x\ln x\right)dx=6\).

Metoda: Integrala unei funcții polinomiale

1. 1

   Simplificăm funcția de integrat

   f(x)-x\ln x=(x+1+x\ln x)-x\ln x=x+1

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia dată. Termenul \(x\ln x\) apare o dată cu plus și o dată cu minus, deci se reduce. Rămâne doar \(x+1\), mult mai simplu de integrat.

2. 2

   Aflăm primitiva

   \int_1^3 (x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_1^3

   Primitiva lui \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\), iar a lui \(1\) este \(x\). Folosim formula Leibniz-Newton, deci calculăm primitiva în limitele 3 și 1 și scădem.

3. 3

   Calculăm valorile în limite

   \left(\frac{9}{2}+3\right)-\left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6

   La limita superioară \(x=3\) obținem \(\frac{9}{2}+3=\frac{15}{2}\). La limita inferioară \(x=1\) obținem \(\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\). Scădem și obținem 6, exact cât trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_1^3 \left(f(x)-x\ln x\right)dx=6\), așa cum se cerea.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+1+x\ln x\). b) Arătați că \(\int_1^e (f(x)-x-1)\,dx=\dfrac{e^2+1}{4}\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm funcția de integrat

   f(x)-x-1=(x+1+x\ln x)-x-1=x\ln x

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia dată și reducem termenii: \(x\) cu \(-x\) și \(1\) cu \(-1\). Rămâne doar \(x\ln x\). Astfel integrala devine \(\int_1^e x\ln x\,dx\), mult mai simplă.

2. 2

   Pregătim integrarea prin părți

   x=\left(\frac{x^2}{2}\right)',\qquad \int_1^e x\ln x\,dx=\int_1^e\left(\frac{x^2}{2}\right)'\ln x\,dx

   Pentru produsul \(x\ln x\) folosim formula \(\int u'v=uv-\int uv'\). Alegem \(u'=x\), deci \(u=\frac{x^2}{2}\), și \(v=\ln x\), deci \(v'=\frac1x\). Alegem așa pentru că \(\ln x\) devine mai simplu prin derivare.

3. 3

   Aplicăm formula integrării prin părți

   \int_1^e x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\frac{x^2}{2}\cdot\frac1x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e-\frac{x^2}{4}\Big|_1^e

   Termenul din integrală devine \(\frac{x^2}{2}\cdot\frac1x=\frac{x}{2}\), a cărui primitivă este \(\frac{x^2}{4}\). Obținem astfel expresia din barem, gata de evaluat între limitele \(1\) și \(e\).

4. 4

   Calculăm între limite

   \frac{e^2}{2}\ln e-\frac12\ln 1-\frac{e^2}{4}+\frac14=\frac{e^2}{2}-0-\frac{e^2}{4}+\frac14=\frac{e^2+1}{4}

   Folosim \(\ln e=1\) și \(\ln 1=0\). Rămâne \(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac14\). Cum \(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}=\frac{e^2}{4}\), rezultatul este \(\frac{e^2+1}{4}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_1^e (f(x)-x-1)\,dx=\dfrac{e^2+1}{4}\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+1+x\ln x\). c) Determinați numărul real nenul \(a\) pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei \(Ox\) a graficului funcției \(g:[1,3]\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{1}{(f(x)-x\ln x)^2}\) este egal cu \(\dfrac{7\pi}{24a}\).

Metoda: Volumul corpului de rotație

1. 1

   Simplificăm expresia lui g

   f(x)-x\ln x=x+1 \;\Rightarrow\; g(x)=\frac{1}{(x+1)^2}

   Din \(f(x)=x+1+x\ln x\) rezultă \(f(x)-x\ln x=x+1\). Înlocuim în g și obținem \(g(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}\), \(x\in[1,3]\). Facem asta ca să avem o funcție simplă de integrat.

2. 2

   Scriem formula volumului

   V=\pi\int_1^3 g^2(x)\,dx=\pi\int_1^3\frac{1}{(x+1)^4}\,dx

   Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui g pe \([1,3]\) în jurul axei Ox este \(V=\pi\int_1^3 g^2(x)dx\). Cum \(g^2(x)=\dfrac{1}{(x+1)^4}\), ajungem la integrala din formulă.

3. 3

   Calculăm integrala

   V=\pi\left(-\frac{1}{3(x+1)^3}\right)\Big|_1^3=\pi\left(-\frac{1}{192}+\frac{1}{24}\right)=\frac{7\pi}{192}

   O primitivă a lui \((x+1)^{-4}\) este \(-\dfrac{1}{3(x+1)^3}\). La x=3: \(-\frac{1}{3\cdot 64}=-\frac{1}{192}\). La x=1: \(-\frac{1}{3\cdot 8}=-\frac{1}{24}\). Diferența este \(-\frac{1}{192}+\frac{1}{24}=\frac{-1+8}{192}=\frac{7}{192}\).

4. 4

   Aflăm a

   \frac{7\pi}{192}=\frac{7\pi}{24a}\;\Rightarrow\; a=8

   Egalăm volumul calculat cu cel din enunț. Simplificăm cu \(7\pi\): \(\frac{1}{192}=\frac{1}{24a}\), deci \(24a=192\), de unde \(a=8\), număr real nenul, cum cere problema.

Răspuns: a = 8