Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2024, sesiunea iunie–iulie (rezervă) (varianta 08)

Arătați că \(2\cdot(1{,}2+0{,}1)+0{,}4=3\).

Metoda: Calcul cu numere zecimale

1. 1

   Calculăm paranteza și înmulțirea

   2\cdot(1{,}2+0{,}1)+0{,}4=2\cdot 1{,}3+0{,}4

   Conform ordinii operațiilor, începem cu paranteza: \(1{,}2+0{,}1=1{,}3\). Apoi expresia devine \(2\cdot 1{,}3+0{,}4\). Facem întâi paranteza pentru că ea are prioritate față de înmulțire și adunare.

2. 2

   Efectuăm înmulțirea

   2\cdot 1{,}3=2{,}6

   Acum înmulțim 2 cu 1,3. Înmulțirea se face înaintea adunării cu \(0{,}4\). Rezultatul este \(2{,}6\), deci expresia devine \(2{,}6+0{,}4\).

3. 3

   Efectuăm adunarea finală

   2{,}6+0{,}4=3

   Ultima operație este adunarea: \(2{,}6+0{,}4=3\). Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(2\cdot(1{,}2+0{,}1)+0{,}4=2\cdot1{,}3+0{,}4=2{,}6+0{,}4=3\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+1\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)-f(2)=a\).

Metoda: Calculul valorii funcției și ecuație de gradul I

1. 1

   Scriem f(a) și calculăm f(2)

   f(a)=2a+1,\quad f(2)=2\cdot 2+1=5

   Funcția spune: ia numărul, înmulțește-l cu 2 și adaugă 1. Pentru \(x=a\) obținem \(f(a)=2a+1\). Pentru \(x=2\) înlocuim peste tot x cu 2 și obținem \(f(2)=5\). Avem nevoie de ambele valori ca să putem scrie ecuația.

2. 2

   Scriem ecuația

   2a+1-5=a

   Înlocuim în condiția din enunț \(f(a)-f(2)=a\) valorile găsite: \(f(a)=2a+1\) și \(f(2)=5\). Rezultă o ecuație de gradul I în necunoscuta \(a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   2a-4=a\;\Rightarrow\;2a-a=4\;\Rightarrow\;a=4

   Din \(2a+1-5=a\) obținem \(2a-4=a\). Mutăm termenii cu \(a\) în stânga și numerele în dreapta: \(2a-a=4\), deci \(a=4\). Așa izolăm necunoscuta.

4. 4

   Verificare

   f(4)-f(2)=9-5=4=a

   Verificăm: pentru \(a=4\) avem \(f(4)=2\cdot4+1=9\), iar \(f(2)=5\). Diferența este \(9-5=4\), adică chiar \(a\). Răspunsul este corect.

Răspuns: \(a=4\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_8\left(x^2-5x+5\right)=\log_8 x\).

Metoda: Egalarea argumentelor logaritmilor

1. 1

   Egalăm argumentele logaritmilor

   x^2-5x+5=x

   Funcția \(\log_8\) este injectivă: dacă \(\log_8 A=\log_8 B\), atunci \(A=B\). Deci din ecuația dată obținem \(x^2-5x+5=x\).

2. 2

   Aducem ecuația la forma generală

   x^2-6x+5=0

   Mutăm \(x\) în stânga: \(x^2-5x-x+5=0\), deci \(x^2-6x+5=0\). Este o ecuație de gradul al doilea.

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul al doilea

   \Delta=36-20=16,\quad x=\frac{6\pm4}{2}\Rightarrow x=1\text{ sau }x=5

   Calculăm discriminantul \(\Delta=b^2-4ac=36-20=16\). Apoi \(x=\frac{6\pm 4}{2}\), deci \(x=5\) sau \(x=1\). (Se poate și prin Viète: suma 6, produsul 5.)

4. 4

   Verificăm condițiile de existență

   x>0,\quad x^2-5x+5>0

   Logaritmul există doar pentru argumente strict pozitive. Trebuie \(x>0\) și \(x^2-5x+5>0\). Dar am impus \(x^2-5x+5=x\), deci dacă \(x>0\), și primul argument este pozitiv. Ambele soluții, 1 și 5, sunt pozitive. Pentru \(x=1\): \(1-5+5=1>0\). Pentru \(x=5\): \(25-25+5=5>0\). Deci ambele convin.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=1\) și \(x=5\).

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii \(A=\{1,3,4,6,8\}\).

Metoda: Principiul multiplicării (combinatorică)

1. 1

   Alegem cifra unităților

   \text{unități} \in \{1,3\}

   Un număr este impar dacă ultima cifră este impară. În mulțimea \(A\) cifrele impare sunt doar \(1\) și \(3\), deci cifra unităților se poate alege în \(2\) moduri.

2. 2

   Alegem cifra zecilor

   \text{zeci} : 5-1=4 \text{ moduri}

   Cifrele trebuie să fie distincte. După ce am ales cifra unităților, ea nu mai poate fi folosită la zeci. Din cele \(5\) cifre rămân \(4\), deci cifra zecilor se alege în \(4\) moduri, pentru fiecare alegere a unităților. Niciuna dintre cifrele din \(A\) nu este \(0\), deci nu apare problema cifrei zecilor nenule.

3. 3

   Aplicăm regula produsului

   2\cdot 4=8

   Pentru fiecare dintre cele \(2\) alegeri ale cifrei unităților avem câte \(4\) alegeri pentru cifra zecilor, deci în total \(2\cdot 4=8\) numere. Ele sunt: 41, 61, 81, 31, 43, 63, 83, 13.

Răspuns: Se pot forma 8 numere.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,8)\), \(B(4,2)\) și \(C\), mijlocul segmentului \(OA\). Determinați coordonatele mijlocului segmentului \(BC\).

Metoda: Formula coordonatelor mijlocului

1. 1

   Aflăm coordonatele punctului C

   C\left(\frac{0+0}{2},\frac{0+8}{2}\right)=C(0,4)

   \(C\) este mijlocul lui \(OA\), unde \(O(0,0)\) este originea și \(A(0,8)\). Mijlocul unui segment are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor: \(x_M=\frac{x_1+x_2}{2}\), \(y_M=\frac{y_1+y_2}{2}\). Avem nevoie de \(C\) pentru că el este un capăt al segmentului \(BC\).

2. 2

   Aflăm mijlocul segmentului BC

   M\left(\frac{4+0}{2},\frac{2+4}{2}\right)=M(2,3)

   Acum aplicăm aceeași formulă pentru \(B(4,2)\) și \(C(0,4)\). Abscisa mijlocului este \(\frac{4+0}{2}=2\), iar ordonata este \(\frac{2+4}{2}=3\). Deci mijlocul lui \(BC\) este punctul \((2,3)\).

Răspuns: Mijlocul segmentului \(BC\) are coordonatele \((2,3)\).

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB = 8\) și \(C = \frac{\pi}{4}\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu 32.

Metoda: Triunghi dreptunghic isoscel

1. 1

   Aflăm cealaltă catetă, AC

   \angle B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \Rightarrow AC = AB = 8

   Suma unghiurilor ascuțite într-un triunghi dreptunghic este 90°. Cum \(C = 45^\circ\), rezultă \(B = 45^\circ\). Triunghiul are două unghiuri egale, deci este isoscel, iar laturile opuse lor sunt egale: \(AC = AB = 8\). Același rezultat se obține din \(\operatorname{tg} C = \frac{AB}{AC}\), adică \(1 = \frac{8}{AC}\).

2. 2

   Calculăm aria

   \mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32

   Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt perpendiculare, deci una poate fi bază, iar cealaltă înălțime. Aria este jumătate din produsul catetelor. Înlocuim \(AB = 8\) și \(AC = 8\) și obținem 32.

Răspuns: Aria triunghiului \(ABC\) este 32.

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x-2&x-2\\x-4&x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(B(5))=12\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Înlocuim x = 5 în matricea B(x)

   B(5)=\begin{pmatrix}5-2&5-2\\5-4&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3\\1&5\end{pmatrix}

   Matricea \(B(x)\) depinde de \(x\). Pentru a obține \(B(5)\), punem \(5\) în loc de \(x\) în fiecare element al matricei. Așa obținem o matrice cu numere, al cărei determinant îl putem calcula.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(B(5))=\begin{vmatrix}3&3\\1&5\end{vmatrix}=3\cdot 5-3\cdot 1

   Pentru o matrice \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), determinantul este \(ad-bc\): produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici \(a=3, b=3, c=1, d=5\).

Răspuns: \(\det(B(5))=15-3=12\), deci egalitatea cerută este adevărată.

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x-2&x-2\\x-4&x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Determinați numărul real \(a\) pentru care \((B(4)-B(2))\cdot A=aA\).

Metoda: Operații cu matrice de ordinul 2

1. 1

   Calculăm B(4) și B(2)

   B(4)=\begin{pmatrix}2&2\\0&4\end{pmatrix},\quad B(2)=\begin{pmatrix}0&0\\-2&2\end{pmatrix}

   Înlocuim x cu 4, apoi cu 2, în fiecare element al matricei \(B(x)\). Pentru x=4: \(x-2=2\), \(x-4=0\), \(x=4\). Pentru x=2: \(x-2=0\), \(x-4=-2\), \(x=2\).

2. 2

   Calculăm diferența B(4) − B(2)

   B(4)-B(2)=\begin{pmatrix}2&2\\0&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&0\\-2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}

   Scădem matricele element cu element, adică fiecare element din prima cu elementul de pe aceeași poziție din a doua.

3. 3

   Înmulțim cu A

   \begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&12\\4&12\end{pmatrix}=4A

   Înmulțim linie cu coloană. Primul element: \(2\cdot1+2\cdot1=4\). Al doilea: \(2\cdot3+2\cdot3=12\). Liniile sunt identice, deci rezultatul are aceleași două linii. Matricea \(\begin{pmatrix}4&12\\4&12\end{pmatrix}\) este chiar \(4A\), pentru că \(4\cdot\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&12\\4&12\end{pmatrix}\).

4. 4

   Aflăm a

   4A=aA\ \Rightarrow\ a=4

   Condiția este \((B(4)-B(2))\cdot A=aA\). Am obținut că membrul stâng este \(4A\), deci \(4A=aA\). Cum A nu este matricea nulă, rezultă \(a=4\).

Răspuns: a = 4

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}x-2&x-2\\x-4&x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(\det(A\cdot B(x)-4xI_2)=0\).

Metoda: Calcul matriceal și determinant

1. 1

   Calculăm produsul A·B(x)

   A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-2&x-2\\x-4&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4x-14&4x-2\\4x-14&4x-2\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Elementul din stânga sus: \(1\cdot(x-2)+3\cdot(x-4)=4x-14\). Elementul din dreapta sus: \(1\cdot(x-2)+3\cdot x=4x-2\). Cele două linii ale lui A sunt identice, deci și liniile produsului sunt identice.

2. 2

   Scădem 4xI₂

   A\cdot B(x)-4xI_2=\begin{pmatrix}4x-14-4x&4x-2\\4x-14&4x-2-4x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-14&4x-2\\4x-14&-2\end{pmatrix}

   Matricea \(4xI_2\) are \(4x\) pe diagonala principală și 0 în rest. Scădem deci \(4x\) doar din elementele de pe diagonală. Se simplifică termenii cu x de pe diagonală.

3. 3

   Calculăm determinantul

   \det=(-14)(-2)-(4x-2)(4x-14)=28-(16x^2-64x+28)=-16x^2+64x=-16x(x-4)

   Pentru o matrice 2×2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară. Desfacem: \((4x-2)(4x-14)=16x^2-56x-8x+28=16x^2-64x+28\). Apoi \(28-28\) se reduce și dăm factor comun \(-16x\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   -16x(x-4)=0\Rightarrow x=0\ \text{sau}\ x=4

   Un produs este zero când cel puțin unul dintre factori este zero. Factorul \(-16\) nu este zero, deci rămân \(x=0\) sau \(x-4=0\), adică \(x=4\).

Răspuns: \(x=0\) sau \(x=4\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y = x(x-2)+y(y-2)\). a) Arătați că \(3\circ 3 = 6\).

Metoda: Înlocuire directă în definiția legii

1. 1

   Înlocuim x și y cu 3 în definiția legii

   3\circ 3 = 3(3-2)+3(3-2)

   Legea spune că, pentru orice două numere x și y, rezultatul este \(x(x-2)+y(y-2)\). Pentru \(3\circ 3\) avem \(x=3\) și \(y=3\), deci peste tot unde apare x sau y scriem 3. Acesta este primul pas din barem (3 puncte).

2. 2

   Calculăm și obținem 6

   3(3-2)+3(3-2)=3\cdot 1+3\cdot 1=3+3=6

   Mai întâi calculăm parantezele: \(3-2=1\). Apoi fiecare produs este \(3\cdot 1=3\). Adunând cei doi termeni obținem \(3+3=6\), deci \(3\circ 3=6\), exact ce trebuia arătat (încă 2 puncte).

Răspuns: \(3\circ 3 = 3(3-2)+3(3-2)=3+3=6\), deci egalitatea este demonstrată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = x(x-2) + y(y-2)\). b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(2 \circ x = x^2 + 2\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Calculăm 2 ∘ x folosind definiția

   2 \circ x = 2(2-2) + x(x-2) = x^2 - 2x

   Legea spune că \(a \circ b = a(a-2) + b(b-2)\). Aici primul element este \(a=2\), iar al doilea este \(b=x\). Înlocuim: \(2(2-2) = 2\cdot 0 = 0\), iar al doilea termen rămâne \(x(x-2) = x^2-2x\). Deci \(2 \circ x = x^2 - 2x\).

2. 2

   Scriem ecuația și o simplificăm

   x^2 - 2x = x^2 + 2 \;\Rightarrow\; -2x = 2

   Din enunț, \(2 \circ x\) trebuie să fie egal cu \(x^2+2\). Egalăm cele două expresii: \(x^2 - 2x = x^2 + 2\). Termenii \(x^2\) apar în ambele părți, deci se reduc (scădem \(x^2\) din ambele părți) și rămâne ecuația de gradul I \(-2x = 2\).

3. 3

   Aflăm x și verificăm

   x = \frac{2}{-2} = -1

   Împărțim ecuația \(-2x = 2\) la \(-2\) și obținem \(x = -1\). Verificare: \(2 \circ (-1) = (-1)^2 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3\), iar \(x^2 + 2 = 1 + 2 = 3\). Cele două părți coincid, deci soluția este corectă.

Răspuns: \(x = -1\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = x(x-2) + y(y-2)\). c) Arătați că \(x \circ y \geq -2\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).

Metoda: Formarea de pătrate perfecte

1. 1

   Desfacem parantezele

   x\circ y = x^2-2x+y^2-2y

   Scriem legea explicit, înmulțind \(x\) cu \((x-2)\) și \(y\) cu \((y-2)\). Astfel vedem clar termenii pătratici și cei liniari, ca să putem forma pătrate.

2. 2

   Formăm pătrate perfecte

   x^2-2x+1+y^2-2y+1-2=(x-1)^2+(y-1)^2-2

   Adăugăm 1 lângă \(x^2-2x\) pentru a obține \((x-1)^2\), și 1 lângă \(y^2-2y\) pentru a obține \((y-1)^2\). Ca să nu schimbăm valoarea expresiei, scădem la loc \(1+1=2\).

3. 3

   Folosim faptul că pătratele sunt nenegative

   (x-1)^2\geq 0,\ (y-1)^2\geq 0 \Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2-2\geq -2

   Orice număr real ridicat la pătrat este mai mare sau egal cu 0. Deci suma celor două pătrate este cel puțin 0, iar scăzând 2 obținem cel puțin \(-2\). Egalitatea apare pentru \(x=y=1\).

Răspuns: Am obținut \(x\circ y=(x-1)^2+(y-1)^2-2\geq -2\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\), deci inegalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}-3\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x^2}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivarea funcției termen cu termen

1. 1

   Scriem funcția în formă potrivită pentru derivare

   f(x)=2x^{1/2}-x^{-1}-3

   Derivata o calculăm mai ușor dacă rescriem radicalul și fracția ca puteri: \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) și \(\frac{1}{x}=x^{-1}\). Așa putem folosi formula \((x^n)'=n x^{n-1}\). Dar și formulele \((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) și \(\left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^2}\) sunt din tabelul de derivate.

2. 2

   Derivăm termen cu termen

   f'(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-\left(-\frac{1}{x^2}\right)-0=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}

   Derivata unei sume/diferențe este suma/diferența derivatelor. Avem \((2\sqrt{x})'=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\), \(\left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^2}\), deci cu minusul din față devine \(+\frac{1}{x^2}\), iar derivata constantei 3 este 0. Obținem \(f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}\), exact ca în barem.

3. 3

   Aducem la numitor comun

   \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}=\frac{\sqrt{x}}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{x\sqrt{x}+1}{x^2}

   Raționalizăm primul termen: \(\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{x}\), pentru că \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x\). Apoi amplificăm cu x ca să ajungem la numitorul \(x^2\): \(\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{x\sqrt{x}}{x^2}\). Adunăm fracțiile și obținem \(\frac{x\sqrt{x}+1}{x^2}\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), ceea ce era de demonstrat.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x^2}\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}-3\). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=1\), situat pe graficul funcției \(f\).

Metoda: Ecuația tangentei la grafic

1. 1

   Calculăm f(1), ordonata punctului de tangență

   f(1)=2\sqrt{1}-\frac{1}{1}-3=2-1-3=-2

   Punctul de tangență are abscisa \(x=1\). Ordonata lui este \(f(1)\), deci punctul este \((1,-2)\). Înlocuim \(x=1\) în formula funcției: \(\sqrt{1}=1\), iar \(\frac{1}{1}=1\).

2. 2

   Calculăm f'(1), panta tangentei

   f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}\ \Rightarrow\ f'(1)=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=2

   Panta tangentei este derivata în punctul de tangență. Derivata se obține cu \((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\), deci \((2\sqrt{x})'=\frac{1}{\sqrt{x}}\), apoi \(\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}\), iar constanta \(-3\) dispare. Apoi înlocuim \(x=1\).

3. 3

   Scriem ecuația tangentei

   y-f(1)=f'(1)(x-1)\ \Rightarrow\ y+2=2(x-1)\ \Rightarrow\ y=2x-4

   Formula tangentei în punctul de abscisă \(x_0\) este \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\). Înlocuim \(f(1)=-2\), \(f'(1)=2\), \(x_0=1\). Din \(y+2=2x-2\) obținem \(y=2x-4\), ca în barem.

Răspuns: Ecuația tangentei este \(y=2x-4\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}-3\). c) Demonstrați că funcția \(f\) este bijectivă.

Metoda: Monotonie, limite și continuitate

1. 1

   Semnul derivatei

   f'(x)=\frac{x\sqrt{x}+1}{x^2}>0,\ \forall x\in(0,+\infty)

   De la punctul a) știm că \(f'(x)=\dfrac{x\sqrt{x}+1}{x^2}\). Pentru \(x>0\) numărătorul \(x\sqrt{x}+1\) este strict pozitiv (suma dintre un număr pozitiv și 1), iar numitorul \(x^2\) este și el pozitiv. Deci fracția este pozitivă pe tot intervalul \((0,+\infty)\).

2. 2

   Injectivitatea

   f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ strict crescătoare pe } (0,+\infty) \Rightarrow f \text{ injectivă}

   Dacă derivata este strict pozitivă pe un interval, funcția este strict crescătoare pe acel interval. O funcție strict crescătoare nu poate lua aceeași valoare în două puncte diferite, deci este injectivă.

3. 3

   Limitele la capetele intervalului

   \lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

   Când \(x\to 0^+\), termenul \(-\dfrac{1}{x}\to-\infty\), iar \(2\sqrt{x}\to 0\) și \(-3\) este constant, deci \(f(x)\to-\infty\). Când \(x\to+\infty\), \(2\sqrt{x}\to+\infty\), iar \(-\dfrac1x\to 0\), deci \(f(x)\to+\infty\).

4. 4

   Surjectivitatea și concluzia

   f \text{ continuă},\ \text{limitele } -\infty \text{ și } +\infty \Rightarrow \operatorname{Im} f=\mathbb{R} \Rightarrow f \text{ surjectivă}

   f este continuă pe \((0,+\infty)\), fiind formată din funcții elementare. Fiind continuă și strict crescătoare, cu limita \(-\infty\) la stânga și \(+\infty\) la dreapta, ia toate valorile reale (proprietatea lui Darboux). Deci imaginea este \(\mathbb{R}\), adică f este surjectivă. Fiind și injectivă, f este bijectivă.

Răspuns: Deoarece \(f'(x)>0\), f este strict crescătoare, deci injectivă. Fiind continuă, cu \(\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) și \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\), f este surjectivă. Deci f este bijectivă.

Subiectul al III-lea, 2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}\). a) Arătați că \(\int_1^2 (x^2+1)f(x)\,dx = 6\).

Metoda: Integrare directă după simplificare

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   (x^2+1)f(x)=(x^2+1)\cdot\frac{4x}{x^2+1}=4x

   Înlocuim \(f(x)\) cu formula ei. Deoarece \(x^2+1>0\) pentru orice x real, putem simplifica fracția cu \(x^2+1\). Rămâne doar \(4x\), ceea ce face integrala ușor de calculat.

2. 2

   Scriem integrala simplificată și găsim o primitivă

   \int_1^2 4x\,dx = 2x^2\Big|_1^2

   Integrala devine \(\int_1^2 4x\,dx\). O primitivă a lui \(4x\) este \(2x^2\), deoarece derivata lui \(2x^2\) este \(4x\). Folosim formula \(\int x\,dx=\frac{x^2}{2}\), deci \(4\cdot\frac{x^2}{2}=2x^2\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz–Newton

   2x^2\Big|_1^2=2\cdot 2^2-2\cdot 1^2=8-2=6

   Calculăm primitiva în capătul de sus (\(x=2\)) și scădem valoarea ei în capătul de jos (\(x=1\)). Obținem \(8-2=6\), exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_1^2 (x^2+1)f(x)\,dx = 6\)

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1} \). b) Arătați că \( \int_{2}^{3} f(x)\,dx = 2\ln 2 \).

Metoda: Integrare prin derivata numitorului

1. 1

   Scriem integrala și observăm derivata numitorului

   \int_{2}^{3}\frac{4x}{x^2+1}\,dx = 2\int_{2}^{3}\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}\,dx

   Derivata lui \(x^2+1\) este \(2x\). Deoarece \(4x=2\cdot 2x\), scoatem factorul 2 în fața integralei și lăsăm la numărător exact derivata numitorului. Astfel putem folosi formula \(\int \frac{u'}{u}dx=\ln|u|+C\).

2. 2

   Aflăm primitiva

   2\int_{2}^{3}\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}\,dx = 2\ln\left(x^2+1\right)\Big|_{2}^{3}

   Primitiva lui \(\frac{u'}{u}\) este \(\ln|u|\). Cum \(x^2+1>0\) pentru orice \(x\), putem scrie direct \(\ln(x^2+1)\), fără modul.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   2\ln(3^2+1)-2\ln(2^2+1)=2\ln 10-2\ln 5

   Calculăm primitiva în limita de sus (\(x=3\)) minus primitiva în limita de jos (\(x=2\)). Obținem \(3^2+1=10\) și \(2^2+1=5\).

4. 4

   Simplificăm cu proprietatea logaritmilor

   2\ln 10-2\ln 5=2\left(\ln 10-\ln 5\right)=2\ln\frac{10}{5}=2\ln 2

   Scoatem factorul 2, apoi folosim \(\ln a-\ln b=\ln\frac{a}{b}\). Fiindcă \(10/5=2\), obținem exact \(2\ln 2\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \( \int_{2}^{3} f(x)\,dx = 2\ln 2 \)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}\). c) Determinați \(m\in(1,+\infty)\) pentru care \(\displaystyle\int_1^m \left(\dfrac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\right)^3 dx = 6\).

Metoda: Calculul integralei unei funcții raționale

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}=\frac{4\sqrt{x}}{(x+1)\sqrt{x}}=\frac{4}{x+1},\quad \left(\frac{4}{x+1}\right)^3=\frac{64}{(x+1)^3}

   Înlocuim \(x\) cu \(\sqrt{x}\) în \(f\): \(f(\sqrt{x})=\dfrac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2+1}=\dfrac{4\sqrt{x}}{x+1}\). Împărțim la \(\sqrt{x}\) și radicalii se simplifică. Apoi ridicăm la puterea a treia: \(4^3=64\) și \((x+1)^3\) la numitor. Facem asta ca să obținem o funcție ușor de integrat.

2. 2

   Calculăm integrala în funcție de m

   \int_1^m \frac{64}{(x+1)^3}dx=-\frac{32}{(x+1)^2}\Big|_1^m=-\frac{32}{(m+1)^2}+8

   O primitivă a lui \(64(x+1)^{-3}\) este \(64\cdot\dfrac{(x+1)^{-2}}{-2}=-\dfrac{32}{(x+1)^2}\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea la \(m\) minus valoarea la 1. La \(x=1\): \(-\dfrac{32}{4}=-8\), iar scăderea lui \(-8\) dă \(+8\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația în m

   -\frac{32}{(m+1)^2}+8=6\Rightarrow (m+1)^2=16\Rightarrow m+1=4\Rightarrow m=3

   Egalăm rezultatul cu 6: \(-\dfrac{32}{(m+1)^2}=-2\), deci \((m+1)^2=16\). Cum \(m>1\), avem \(m+1>0\), deci \(m+1=4\) și \(m=3\). Valoarea \(m=-5\) (din \(m+1=-4\)) nu aparține intervalului \((1,+\infty)\).

Răspuns: m = 3