Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2024, sesiunea iunie–iulie (varianta 10)

Determinați termenul \(a_1\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n\ge 1}\), în care \(a_2 = 8\) și \(a_3 = 12\).

Metoda: Rația progresiei aritmetice

1. 1

   Aflăm rația progresiei

   r = a_3 - a_2 = 12 - 8 = 4

   Rația \(r\) este diferența dintre doi termeni consecutivi: \(a_{n+1} = a_n + r\). Cunoaștem \(a_2\) și \(a_3\), deci \(r = a_3 - a_2\). Facem acest pas întâi, pentru că avem nevoie de rație ca să ne întoarcem la \(a_1\).

2. 2

   Aflăm primul termen

   a_1 = a_2 - r = 8 - 4 = 4

   Din \(a_2 = a_1 + r\) obținem \(a_1 = a_2 - r\). Adică facem un pas înapoi în progresie, scăzând rația din al doilea termen.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   a_1 = 4,\ a_2 = 8,\ a_3 = 12

   Cu \(a_1 = 4\) și \(r = 4\) obținem termenii 4, 8, 12, adică exact \(a_2 = 8\) și \(a_3 = 12\) din enunț. Deci rezultatul este corect.

Răspuns: \(a_1 = 4\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x-2\). Determinați numărul real \(m\) pentru care \(f(m)=m\).

Metoda: Calculul valorii funcției și ecuație

1. 1

   Scriem expresia lui f(m)

   f(m)=3m-2

   Funcția \(f\) spune ce facem cu un număr: îl înmulțim cu 3 și scădem 2. Pentru a afla \(f(m)\), înlocuim peste tot pe \(x\) cu \(m\). Acest lucru este valabil pentru orice număr real \(m\).

2. 2

   Punem condiția f(m)=m și rezolvăm ecuația

   3m-2=m \Rightarrow 3m-m=2 \Rightarrow 2m=2 \Rightarrow m=1

   Condiția din enunț este \(f(m)=m\). Cum \(f(m)=3m-2\), obținem ecuația \(3m-2=m\). Ducem termenii cu \(m\) în stânga și numerele în dreapta: \(3m-m=2\), deci \(2m=2\), de unde \(m=1\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   f(1)=3\cdot 1-2=1

   Verificăm că \(m=1\) respectă condiția: \(f(1)=3\cdot 1-2=1\), adică exact \(m\). Deci răspunsul este corect.

Răspuns: \(m=1\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_6\left(9-x^2\right)=\log_6 5\).

Metoda: Ecuație logaritmică, injectivitate

1. 1

   Condiția de existență și egalarea argumentelor

   9-x^2>0,\quad \log_6(9-x^2)=\log_6 5 \Rightarrow 9-x^2=5

   Logaritmul există doar dacă numărul de sub el este strict pozitiv, deci \(9-x^2>0\), adică \(x\in(-3,3)\). Funcția logaritmică este injectivă: dacă \(\log_6 a=\log_6 b\), atunci \(a=b\). De aceea putem „scăpa” de logaritmi și obținem \(9-x^2=5\).

2. 2

   Rezolvarea ecuației de gradul II

   9-x^2=5 \Rightarrow x^2-4=0 \Rightarrow x=-2 \text{ sau } x=2

   Mutăm termenii: \(x^2=9-5=4\), deci \(x^2-4=0\). Aceasta se descompune în \((x-2)(x+2)=0\), de unde \(x=-2\) sau \(x=2\).

3. 3

   Verificarea soluțiilor

   x=\pm 2:\ 9-x^2=9-4=5>0

   Trebuie să vedem dacă soluțiile respectă condiția de existență \(9-x^2>0\). Pentru \(x=2\) și pentru \(x=-2\) obținem \(9-4=5>0\), deci ambele convin. Ele sunt chiar în intervalul \((-3,3)\).

Răspuns: \(x=-2\) sau \(x=2\) (ambele convin), deci mulțimea soluțiilor este \(\{-2,2\}\).

Se consideră mulțimea \(A=\{0,1,2,\ldots,9\}\). Determinați probabilitatea ca, alegând un număr \(n\) din mulțimea \(A\), numărul \(\sqrt{2n+1}\) să aparțină mulțimii \(A\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   \text{card}(A)=10

   Numărul \(n\) este ales din mulțimea \(A=\{0,1,\ldots,9\}\). Fiecare element poate fi ales, deci numărul cazurilor posibile este numărul elementelor lui \(A\). De la 0 la 9 sunt 10 numere.

2. 2

   Găsim cazurile favorabile

   \sqrt{2n+1}\in A \Rightarrow 2n+1\in\{0,1,4,9,16,\ldots\}

   Un caz este favorabil dacă \(\sqrt{2n+1}\) este un număr din \(A\), adică un număr întreg de la 0 la 9. Deci \(2n+1\) trebuie să fie pătrat perfect. Cum \(n\in A\), avem \(2n+1\) între 1 și 19, și este impar (2n este par, plus 1). Pătratele perfecte impare din acest interval sunt 1 și 9. Pentru \(2n+1=1\) obținem \(n=0\), iar pentru \(2n+1=9\) obținem \(n=4\). Verificăm: \(\sqrt{1}=1\in A\) și \(\sqrt{9}=3\in A\). Deci favorabile sunt \(n=0\) și \(n=4\).

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}

   Avem 2 cazuri favorabile (n=0 și n=4) din 10 cazuri posibile. Aplicăm formula probabilității și simplificăm fracția prin 2.

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{5}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,0)\), \(B(4,4)\) și \(C(5,2)\). Arătați că triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(C\).

Metoda: Pantele laturilor, perpendicularitate

1. 1

   Calculăm panta dreptei AC

   m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{2-0}{5-1}=\frac{1}{2}

   Panta unei drepte prin punctele \(A(x_A,y_A)\) și \(C(x_C,y_C)\) este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor. O calculăm pentru că perpendicularitatea se verifică prin pante. Obținem \(m_{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).

2. 2

   Calculăm panta dreptei BC

   m_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{2-4}{5-4}=-2

   Procedăm la fel pentru dreapta \(BC\). Avem \(x_C-x_B=1\neq 0\), deci dreapta nu este verticală și panta există. Rezultă \(m_{BC}=\frac{-2}{1}=-2\).

3. 3

   Verificăm perpendicularitatea

   m_{AC}\cdot m_{BC}=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\;\Rightarrow\; AC\perp BC

   Produsul pantelor este \(-1\), deci dreptele \(AC\) și \(BC\) sunt perpendiculare. Ele se intersectează în \(C\), prin urmare unghiul \(\angle ACB\) este drept, adică triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(C\).

Răspuns: Deoarece \(m_{AC}\cdot m_{BC}=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\), dreptele \(AC\) și \(BC\) sunt perpendiculare, deci triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(C\).

Se consideră expresia \(E(x)=2\sin x\cdot\cos\dfrac{x}{2}+\left(\sin\dfrac{3x}{4}\right)^2\). Arătați că \(E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\).

Metoda: Înlocuire cu valori trigonometrice

1. 1

   Înlocuim x = π/3 în expresie

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos\frac{\pi}{6}+\left(\sin\frac{\pi}{4}\right)^2

   Calculăm argumentele: \(x=\frac{\pi}{3}\), \(\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}\), iar \(\frac{3x}{4}=\frac{3\cdot\pi/3}{4}=\frac{\pi}{4}\). Astfel obținem doar unghiuri remarcabile, ale căror valori le știm.

2. 2

   Scriem valorile trigonometrice

   \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}

   Acestea sunt valori din tabelul unghiurilor remarcabile (30°, 45°, 60°). Le folosim direct, fără alte transformări.

3. 3

   Calculăm și obținem 2

   E\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{3}{2}+\frac{2}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2

   Produsul \(2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\) este \(\frac{2\cdot 3}{4}=\frac{3}{2}\). Pătratul \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\). Suma este \(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2\), deci egalitatea cerută este adevărată.

Răspuns: \(E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\)

Se consideră matricele \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}\) și \(B(a)=\begin{pmatrix}a&a+1\\a-3&4a-1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(B(1))=7\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea B(1)

   B(1)=\begin{pmatrix}1&1+1\\1-3&4\cdot 1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\-2&3\end{pmatrix}

   Pentru \(B(1)\) înlocuim peste tot \(a\) cu 1 în matricea \(B(a)\). Obținem: \(a=1\), \(a+1=2\), \(a-3=-2\), \(4a-1=3\).

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(B(1))=\begin{vmatrix}1&2\\-2&3\end{vmatrix}=1\cdot 3-2\cdot(-2)=3+4=7

   Determinantul unei matrice de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici: \(1\cdot 3=3\) și \(2\cdot(-2)=-4\), iar \(3-(-4)=7\), exact cum cere enunțul.

Răspuns: \(\det(B(1))=7\), deci egalitatea cerută este demonstrată.

Se consideră matricele \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}\) și \(B(a)=\begin{pmatrix}a&a+1\\a-3&4a-1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. b) Arătați că \(B(2)-B(0)\cdot B(1)=4A\).

Metoda: Calcul cu matrice 2x2

1. 1

   Scriem matricele B(0), B(1) și B(2)

   B(0)=\begin{pmatrix}0&1\\-3&-1\end{pmatrix},\ B(1)=\begin{pmatrix}1&2\\-2&3\end{pmatrix},\ B(2)=\begin{pmatrix}2&3\\-1&7\end{pmatrix}

   Înlocuim pe rând \(a=0\), \(a=1\) și \(a=2\) în \(B(a)\). Pentru \(a=0\): \(a+1=1\), \(a-3=-3\), \(4a-1=-1\). Pentru \(a=1\): \(2\), \(-2\), \(3\). Pentru \(a=2\): \(3\), \(-1\), \(7\).

2. 2

   Calculăm produsul B(0)·B(1)

   B(0)\cdot B(1)=\begin{pmatrix}0&1\\-3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\-2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&3\\-1&-9\end{pmatrix}

   Elementul de pe linia i, coloana j se obține înmulțind linia i din prima matrice cu coloana j din a doua. Linia 1 × coloana 1: \(0\cdot1+1\cdot(-2)=-2\). Linia 1 × coloana 2: \(0\cdot2+1\cdot3=3\). Linia 2 × coloana 1: \((-3)\cdot1+(-1)\cdot(-2)=-1\). Linia 2 × coloana 2: \((-3)\cdot2+(-1)\cdot3=-9\).

3. 3

   Calculăm diferența și comparăm cu 4A

   B(2)-B(0)B(1)=\begin{pmatrix}2+2&3-3\\-1+1&7+9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&16\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}=4A

   Scădem element cu element: \(2-(-2)=4\), \(3-3=0\), \(-1-(-1)=0\), \(7-(-9)=16\). Matricea obținută este \(\begin{pmatrix}4&0\\0&16\end{pmatrix}\), iar \(4A=\begin{pmatrix}4&0\\0&16\end{pmatrix}\). Egalitatea este demonstrată.

Răspuns: B(2) − B(0)·B(1) = [[4,0],[0,16]] = 4A, deci egalitatea este adevărată.

Se consideră matricele \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}\) și \(B(a)=\begin{pmatrix}a&a+1\\a-3&4a-1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. c) Determinați numerele reale \(a\) pentru care matricea \(C(a)=B(a)-aA\) nu este inversabilă.

Metoda: Determinantul matricei

1. 1

   Calculăm matricea C(a)

   C(a)=B(a)-aA=\begin{pmatrix}0&a+1\\a-3&-1\end{pmatrix}

   Înmulțim matricea \(A\) cu \(a\): \(aA=\begin{pmatrix}a&0\\0&4a\end{pmatrix}\). Apoi scădem element cu element din \(B(a)\). Pe prima linie: \(a-a=0\) și \(a+1-0=a+1\). Pe a doua linie: \(a-3-0=a-3\) și \(4a-1-4a=-1\).

2. 2

   Calculăm determinantul lui C(a)

   \det(C(a))=0\cdot(-1)-(a+1)(a-3)=-(a-3)(a+1)

   Pentru o matrice \(2\times2\), determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici diagonala principală dă \(0\cdot(-1)=0\), iar cea secundară dă \((a+1)(a-3)\).

3. 3

   Punem condiția de neinversabilitate

   \det(C(a))=0\iff -(a-3)(a+1)=0\iff a=-1\text{ sau }a=3

   Matricea nu este inversabilă când determinantul este zero. Un produs este zero când un factor este zero: \(a+1=0\) dă \(a=-1\), iar \(a-3=0\) dă \(a=3\).

Răspuns: \(a\in\{-1,\,3\}\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = xy - 2x - 3y + 6\). a) Arătați că \(2 * 2 = 0\).

Metoda: Calcul direct în legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim x și y cu 2 în formulă

   2 * 2 = 2\cdot 2 - 2\cdot 2 - 3\cdot 2 + 6

   Legea spune că \(x * y = xy - 2x - 3y + 6\). Pentru \(2 * 2\), peste tot unde apare \(x\) punem 2 și peste tot unde apare \(y\) punem tot 2. Obținem produsul \(2\cdot 2\), apoi scădem \(2\cdot 2\) (din \(2x\)) și \(3\cdot 2\) (din \(3y\)), iar la final adunăm 6.

2. 2

   Calculăm și obținem 0

   2 * 2 = 4 - 4 - 6 + 6 = 0

   Facem înmulțirile: \(2\cdot 2 = 4\), \(2\cdot 2 = 4\), \(3\cdot 2 = 6\). Expresia devine \(4 - 4 - 6 + 6\). Primii doi termeni se anulează (\(4-4=0\)), la fel și ultimii doi (\(-6+6=0\)). Rezultatul este 0, deci \(2 * 2 = 0\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(2 * 2 = 4 - 4 - 6 + 6 = 0\), deci egalitatea este demonstrată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=xy-2x-3y+6\). b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(x*6=x\).

Metoda: Calcul cu lege de compoziție

1. 1

   Calculăm \(x*6\)

   x*6=x\cdot 6-2x-3\cdot 6+6

   Înlocuim \(y\) cu \(6\) în formula \(x*y=xy-2x-3y+6\). Facem asta ca să avem o expresie care depinde doar de \(x\).

2. 2

   Reducem termenii asemenea

   x*6=6x-2x-18+6=4x-12

   Grupăm termenii cu \(x\): \(6x-2x=4x\). Apoi numerele: \(-18+6=-12\). Obținem \(x*6=4x-12\), pentru orice \(x\) real.

3. 3

   Rezolvăm ecuația \(x*6=x\)

   4x-12=x \Rightarrow 3x=12 \Rightarrow x=4

   Ecuația cerută devine \(4x-12=x\). Mutăm \(x\) în stânga și \(-12\) în dreapta: \(4x-x=12\), deci \(3x=12\), de unde \(x=4\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   4*6=4\cdot 6-2\cdot 4-3\cdot 6+6=4

   Înlocuim \(x=4\) în legea inițială ca să ne asigurăm că \(4*6\) chiar dă \(4\).

Răspuns: \(x=4\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=xy-2x-3y+6\). c) Determinați mulțimea numerelor reale \(x\) pentru care \(x*(2*x)\ge 2\).

Metoda: Calcul cu lege de compoziție și inecuație

1. 1

   Calculăm \(2*x\)

   2*x=2x-4-3x+6=2-x

   Folosim definiția \(a*b=ab-2a-3b+6\) cu \(a=2\) și \(b=x\). Obținem \(2x-2\cdot 2-3x+6\). Reducem termenii asemenea: \(2x-3x=-x\) și \(-4+6=2\). Rezultatul este \(2-x\), valabil pentru orice \(x\) real.

2. 2

   Calculăm \(x*(2*x)\)

   x*(2-x)=x(2-x)-2x-3(2-x)+6=-x^2+3x

   Acum al doilea element este \(2-x\). Aplicăm definiția: \(x(2-x)-2x-3(2-x)+6\). Desfacem parantezele: \(2x-x^2-2x-6+3x+6\). Termenii \(2x\) și \(-2x\) se reduc, la fel \(-6\) și \(+6\). Rămâne \(-x^2+3x\).

3. 3

   Rezolvăm inecuația

   -x^2+3x\ge 2 \iff -x^2+3x-2\ge 0 \iff x^2-3x+2\le 0

   Inecuația devine \(-x^2+3x\ge2\). Mutăm totul în stânga: \(-x^2+3x-2\ge0\). Înmulțim cu \(-1\) și schimbăm sensul: \(x^2-3x+2\le0\). Rădăcinile: \(\Delta=9-8=1\), deci \(x=\frac{3\pm1}{2}\), adică \(x=1\) și \(x=2\). Parabola are ramurile în sus, deci expresia este \(\le0\) între rădăcini, inclusiv ele.

4. 4

   Scriem mulțimea soluțiilor

   x\in[1,2]

   Deoarece inegalitatea este nestrictă (\(\le\)), capetele 1 și 2 fac parte din soluție. Mulțimea cerută este intervalul închis \([1,2]\), la fel ca în barem. Verificare: pentru \(x=2\), \(-4+6=2\ge2\), adevărat.

Răspuns: \(x\in[1,2]\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+x+4}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{2(4-x^2)}{(x^2+x+4)^2}\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata unui raport de funcții

1. 1

   Alegem regula de derivare

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția \(f\) este o fracție, deci folosim formula de derivare a câtului. Aici \(u(x)=2x\) și \(v(x)=x^2+x+4\). Numitorul \(v\) nu se anulează niciodată, pentru că \(x^2+x+4\) are discriminantul \(1-16<0\), deci este mereu pozitiv. De aceea \(f\) este derivabilă pe \(\mathbb{R}\).

2. 2

   Calculăm derivatele lui u și v și înlocuim în formulă

   f'(x)=\frac{2(x^2+x+4)-2x(2x+1)}{(x^2+x+4)^2}

   Avem \(u'=2\) și \(v'=2x+1\). Înlocuim în formulă: \(u'v=2(x^2+x+4)\) și \(uv'=2x(2x+1)\). Numitorul rămâne \((x^2+x+4)^2\).

3. 3

   Simplificăm numărătorul

   2x^2+2x+8-4x^2-2x=8-2x^2

   Desfacem parantezele: \(2(x^2+x+4)=2x^2+2x+8\) și \(2x(2x+1)=4x^2+2x\). Scădem: termenii \(2x\) se reduc, iar \(2x^2-4x^2=-2x^2\). Rămâne \(8-2x^2\).

4. 4

   Dăm factor comun și ajungem la forma cerută

   f'(x)=\frac{8-2x^2}{(x^2+x+4)^2}=\frac{2(4-x^2)}{(x^2+x+4)^2},\ x\in\mathbb{R}

   La numărător dăm factor comun pe 2: \(8-2x^2=2(4-x^2)\). Obținem exact expresia din enunț, valabilă pentru orice \(x\) real, fiindcă numitorul nu se anulează.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{2(4-x^2)}{(x^2+x+4)^2}\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), ceea ce era de arătat.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+x+4}\). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Limită la infinit, asimptotă orizontală

1. 1

   Ce înseamnă asimptotă orizontală

   y=l,\quad l=\lim_{x\to+\infty} f(x)

   Dacă \(\lim_{x\to+\infty} f(x)=l\) este un număr real, atunci dreapta \(y=l\) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\). De aceea primul lucru de făcut este să calculăm limita funcției \(f\) la \(+\infty\).

2. 2

   Calculăm limita

   \lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{x^2+x+4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x\left(1+\frac1x+\frac4{x^2}\right)}=0

   Limita are forma \(\frac{\infty}{\infty}\). Dăm factor comun forțat \(x^2\) la numitor: \(x^2+x+4=x^2\left(1+\frac1x+\frac4{x^2}\right)\). Simplificând cu \(x\) obținem \(\dfrac{2}{x\left(1+\frac1x+\frac4{x^2}\right)}\). Când \(x\to+\infty\), parantezele tind la \(1\), iar numitorul tinde la \(+\infty\), deci fracția tinde la \(0\). Pe scurt: gradul numitorului (2) este mai mare decât gradul numărătorului (1), deci limita este \(0\).

3. 3

   Scriem ecuația asimptotei

   y=0

   Limita este \(l=0\), un număr real, deci graficul are asimptotă orizontală spre \(+\infty\) dreapta \(y=0\) (axa \(Ox\)).

Răspuns: Dreapta de ecuație \(y=0\) este asimptota orizontală spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+x+4}\). c) Arătați că \(f(x)-f(4-x)\le 1\), pentru orice \(x\in[4,+\infty)\).

Metoda: Monotonia funcției cu derivata

1. 1

   Punctele critice ale lui f

   f'(x)=\frac{2(4-x^2)}{(x^2+x+4)^2}=0 \Rightarrow x=-2 \text{ sau } x=2

   Din punctul a) avem \(f'(x)=\frac{2(4-x^2)}{(x^2+x+4)^2}\). Numitorul este strict pozitiv (\(x^2+x+4>0\), deoarece discriminantul este negativ), deci semnul derivatei este dat de \(4-x^2\). Derivata se anulează pentru \(x=\pm 2\).

2. 2

   Tabelul de monotonie

   f \searrow \text{ pe } (-\infty,-2],\ f\nearrow \text{ pe } [-2,2],\ f\searrow \text{ pe } [2,+\infty)

   Pe \((-\infty,-2]\) avem \(f'\le 0\), deci f descrește. Pe \([-2,2]\) avem \(f'\ge 0\), deci f crește. Pe \([2,+\infty)\) avem \(f'\le 0\), deci f descrește.

3. 3

   Încadrarea lui x și 4-x

   x\ge 4 \Rightarrow 4-x\le 0,\quad f(x)\le f(4),\quad f(4-x)\ge f(-2)

   Dacă \(x\ge 4\), atunci \(x\in[2,+\infty)\), unde f descrește, deci \(f(x)\le f(4)\). Apoi \(4-x\in(-\infty,0]\). Pe \((-\infty,-2]\) f descrește, deci valorile sunt \(\ge f(-2)\); pe \([-2,0]\) f crește de la \(f(-2)\), deci valorile sunt tot \(\ge f(-2)\). Deci \(f(4-x)\ge f(-2)\), adică -2 este punct de minim.

4. 4

   Calculul valorilor f(4) și f(-2)

   f(4)=\frac{8}{24}=\frac13,\qquad f(-2)=\frac{-4}{4-2+4}=-\frac23

   Înlocuim în formula funcției. Pentru x=4: numitorul este \(16+4+4=24\). Pentru x=-2: numitorul este \(4-2+4=6\).

5. 5

   Concluzia

   f(x)-f(4-x)\le f(4)-f(-2)=\frac13+\frac23=1

   Din \(f(x)\le f(4)\) și \(f(4-x)\ge f(-2)\) rezultă \(-f(4-x)\le -f(-2)\). Adunând inegalitățile, obținem \(f(x)-f(4-x)\le \frac13+\frac23=1\), pentru orice \(x\ge 4\).

Răspuns: Am obținut \(f(x)-f(4-x)\le f(4)-f(-2)=1\), deci inegalitatea este adevărată pentru orice \(x\in[4,+\infty)\).

Se consideră funcția \( f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{x+3}{x+1} \). Arătați că \( \displaystyle\int_0^2 (x+1)f(x)\,dx=8 \).

Metoda: Simplificare și integrală definită

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   (x+1)f(x)=(x+1)\cdot\frac{x+3}{x+1}=x+3

   Pe intervalul \((-1,+\infty)\) avem \(x+1>0\), deci putem simplifica fracția cu \(x+1\). Rămâne doar \(x+3\), o funcție polinomială ușor de integrat.

2. 2

   Calculăm o primitivă și aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_0^2 (x+3)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+3x\right)\Big|_0^2

   O primitivă a lui \(x\) este \(\frac{x^2}{2}\), iar a lui \(3\) este \(3x\). Apoi calculăm valoarea primitivei în 2 minus valoarea ei în 0.

3. 3

   Calculăm valoarea finală

   \left(\frac{2^2}{2}+3\cdot 2\right)-\left(\frac{0^2}{2}+3\cdot 0\right)=2+6=8

   În \(x=2\) obținem \(\frac{4}{2}+6=2+6=8\), iar în \(x=0\) obținem 0. Diferența este 8, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_0^2 (x+1)f(x)\,dx=8\)

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=1+2\ln 2\).

Metoda: Integrare prin descompunerea fracției

1. 1

   Descompunem fracția

   \frac{x+3}{x+1}=\frac{(x+1)+2}{x+1}=1+\frac{2}{x+1}

   Numărătorul \(x+3\) îl scriem ca \((x+1)+2\). Apoi împărțim fiecare termen la \(x+1\): \(\frac{x+1}{x+1}=1\), iar \(\frac{2}{x+1}\) rămâne. Așa obținem o sumă de două funcții ușor de integrat. Pe intervalul \((-1,+\infty)\) avem \(x+1>0\), deci împărțirea este permisă.

2. 2

   Aplicăm integrala pe fiecare termen

   \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\left(1+\frac{2}{x+1}\right)dx=\left(x+2\ln(x+1)\right)\Big|_0^1

   Integrala unei sume este suma integralelor. Primitiva lui 1 este \(x\). Primitiva lui \(\frac{2}{x+1}\) este \(2\ln(x+1)\), deoarece \((\ln(x+1))'=\frac{1}{x+1}\). Nu avem nevoie de modul, pentru că \(x+1>0\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \left(1+2\ln 2\right)-\left(0+2\ln 1\right)=1+2\ln 2-2\ln 1=1+2\ln 2

   Calculăm valoarea primitivei în limita de sus (\(x=1\)) și scădem valoarea în limita de jos (\(x=0\)). La \(x=1\) obținem \(1+2\ln 2\). La \(x=0\) obținem \(0+2\ln 1\). Cum \(\ln 1=0\), al doilea termen dispare și rămâne exact rezultatul cerut.

Răspuns: \(\int_0^1 f(x)\,dx=1+2\ln 2\)

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}\). c) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(\int_1^2 (x^2-1)e^x f(x)\,dx = e(e+a)\).

Metoda: Simplificare și integrare directă

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   (x^2-1)\,e^x\,\frac{x+3}{x+1}=(x-1)(x+3)e^x=(x^2+2x-3)e^x

   Scriem \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Factorul \(x+1\) se simplifică cu numitorul lui \(f(x)\), care este nenul pe intervalul \([1,2]\). Rămâne \((x-1)(x+3)=x^2+2x-3\).

2. 2

   Găsim o primitivă

   \big((x^2-3)e^x\big)'=2x\,e^x+(x^2-3)e^x=(x^2+2x-3)e^x

   Căutăm o primitivă de forma \((x^2+bx+c)e^x\). Derivata ei este \((x^2+(b+2)x+b+c)e^x\). Egalând cu \(x^2+2x-3\) obținem \(b=0\) și \(c=-3\). Deci o primitivă este \((x^2-3)e^x\), iar derivata ei confirmă acest lucru.

3. 3

   Calculăm integrala definită

   \int_1^2 (x^2+2x-3)e^x\,dx=(x^2-3)e^x\Big|_1^2=e^2+2e

   Aplicăm formula Leibniz-Newton: la \(x=2\) avem \((4-3)e^2=e^2\), iar la \(x=1\) avem \((1-3)e=-2e\). Diferența este \(e^2-(-2e)=e^2+2e\).

4. 4

   Aflăm numărul \(a\)

   e(e+a)=e^2+2e\;\Rightarrow\;e+a=e+2\;\Rightarrow\;a=2

   Egalăm rezultatul integralei cu \(e(e+a)=e^2+ae\). Comparând cu \(e^2+2e\) rezultă \(ae=2e\), deci \(a=2\). Același rezultat apare împărțind prin \(e\neq 0\).

Răspuns: \(a=2\)