Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2025, sesiunea iunie–iulie

Se consideră numerele complexe \(z_1 = 1-i\) și \(z_2 = 2+i\). Arătați că \(2z_1 + iz_2 = 1\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Înlocuim \(z_1\) și \(z_2\) în expresie

   2z_1 + iz_2 = 2(1-i) + i(2+i)

   Scriem expresia cerută și înlocuim fiecare număr complex cu valoarea lui dată în enunț. Punem paranteze ca să nu greșim semnele și ca să putem distribui apoi înmulțirile.

2. 2

   Desfacem parantezele

   2(1-i) + i(2+i) = 2 - 2i + 2i + i^2

   Distribuim: \(2\cdot 1 = 2\), \(2\cdot(-i) = -2i\), apoi \(i\cdot 2 = 2i\) și \(i\cdot i = i^2\). Facem asta pentru a scăpa de paranteze și a putea reduce termenii asemenea.

3. 3

   Folosim \(i^2=-1\) și reducem termenii

   2 - 2i + 2i + i^2 = 2 - 1 = 1

   Termenii \(-2i\) și \(+2i\) se reduc, pentru că suma lor este 0. Rămâne \(2 + i^2\). Cum \(i^2 = -1\), obținem \(2 - 1 = 1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(2z_1 + iz_2 = 2 - 2i + 2i + i^2 = 2 - 1 = 1\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+3\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \((f\circ f)(a)=9\).

Metoda: Compunerea funcțiilor

1. 1

   Calculăm f(a)

   f(a)=a+3

   Funcția \(f\) adaugă 3 la orice număr. Dacă numărul este \(a\), obținem \(f(a)=a+3\). Acest rezultat va fi folosit în pasul următor.

2. 2

   Calculăm (f∘f)(a)

   (f\circ f)(a)=f(f(a))=f(a+3)=(a+3)+3=a+6

   Compunerea \((f\circ f)(a)\) înseamnă \(f(f(a))\): aplicăm funcția \(f\) de două ori. Rezultatul primei aplicări, \(a+3\), devine argumentul pentru a doua aplicare, deci adăugăm încă 3. Obținem \(a+6\), pentru orice \(a\) real.

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   a+6=9 \Rightarrow a=9-6=3

   Condiția din enunț este \((f\circ f)(a)=9\). Cum \((f\circ f)(a)=a+6\), obținem ecuația \(a+6=9\). Scădem 6 din ambii membri și găsim \(a=3\).

Răspuns: \(a=3\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{2x^2-3x+2}=x\).

Metoda: Ecuație irațională prin ridicare la pătrat

1. 1

   Ridicăm ecuația la pătrat

   2x^2-3x+2=x^2

   Radicalul dispare dacă ridicăm ambii membri la pătrat. Radicalul este mereu \(\ge 0\), deci soluțiile trebuie să respecte \(x\ge 0\). Verificăm asta la final, la pasul 3.

2. 2

   Aducem la forma ecuației de gradul II

   x^2-3x+2=0

   Mutăm \(x^2\) în stânga: \(2x^2-x^2-3x+2=0\), adică \(x^2-3x+2=0\). Rezolvăm cu discriminantul sau prin descompunere: \(\Delta=9-8=1\), deci \(x=\frac{3\pm1}{2}\), adică \(x=1\) sau \(x=2\).

3. 3

   Verificăm soluțiile în ecuația inițială

   x=1:\ \sqrt{2-3+2}=1 \ ;\quad x=2:\ \sqrt{8-6+2}=2

   Pentru \(x=1\): \(\sqrt{2\cdot1-3+2}=\sqrt{1}=1\), egal cu \(x\). Pentru \(x=2\): \(\sqrt{8-6+2}=\sqrt{4}=2\), egal cu \(x\). Ambele sunt pozitive și verifică ecuația, deci ambele convin, ca în barem.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=1\) și \(x=2\), amândouă convin.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului \(2^6\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile / posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt de la \(10\) la \(99\). Numărul lor este \(99-10+1=90\) (adunăm 1 pentru că se numără și capetele). Deci avem \(90\) de cazuri posibile.

2. 2

   Numărăm cazurile favorabile

   2^6=64,\quad D_{64}=\{1,2,4,8,16,32,64\}

   Divizorii lui \(2^6=64\) sunt puterile lui \(2\): \(2^0,2^1,\dots,2^6\), adică \(1,2,4,8,16,32,64\). Dintre ei, au două cifre doar \(16,32,64\). Deci avem \(3\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}

   Aplicăm formula \(p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{3}{90}\). Simplificăm cu \(3\) și obținem \(\dfrac{1}{30}\).

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{30}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,1)\), \(B(5,0)\), \(C(6,3)\) și \(D(a,b)\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale. Determinați numerele reale \(a\) și \(b\), știind că segmentele \(AC\) și \(BD\) au același mijloc.

Metoda: Formula coordonatelor mijlocului

1. 1

   Mijlocul segmentului AC

   M\left(\frac{0+6}{2},\frac{1+3}{2}\right)=M(3,2)

   Coordonatele mijlocului unui segment sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: \(x_M=\frac{x_A+x_C}{2}\) și \(y_M=\frac{y_A+y_C}{2}\). Cu \(A(0,1)\) și \(C(6,3)\) obținem \(x_M=\frac{0+6}{2}=3\) și \(y_M=\frac{1+3}{2}=2\). Deci mijlocul lui AC este \(M(3,2)\).

2. 2

   Mijlocul segmentului BD

   N\left(\frac{5+a}{2},\frac{0+b}{2}\right)=N\left(\frac{5+a}{2},\frac{b}{2}\right)

   Aplicăm aceeași formulă pentru \(B(5,0)\) și \(D(a,b)\). Abscisa mijlocului este \(\frac{5+a}{2}\), iar ordonata \(\frac{0+b}{2}=\frac{b}{2}\).

3. 3

   Egalăm coordonatele mijloacelor

   \frac{5+a}{2}=3,\quad \frac{b}{2}=2 \Rightarrow a=1,\ b=4

   Segmentele au același mijloc, deci punctele M și N coincid, adică au aceleași coordonate. Din \(\frac{5+a}{2}=3\) rezultă \(5+a=6\), deci \(a=1\). Din \(\frac{b}{2}=2\) rezultă \(b=4\). Verificare: mijlocul lui BD pentru \(D(1,4)\) este \(\left(\frac{5+1}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(3,2)\), exact M.

Răspuns: \(a=1\) și \(b=4\), adică \(D(1,4)\).

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB = 2\) și \(\operatorname{tg} B = 3\). Arătați că \(BC = 2\sqrt{10}\).

Metoda: Tangenta în triunghi dreptunghic și Pitagora

1. 1

   Aflăm cateta AC din tangenta unghiului B

   \operatorname{tg} B=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AC=AB\cdot \operatorname{tg} B=2\cdot 3=6

   În triunghiul dreptunghic ABC, unghiul drept este în A. Pentru unghiul B, cateta opusă este AC, iar cateta alăturată este AB. Tangenta este raportul dintre cateta opusă și cea alăturată: \(\operatorname{tg} B=\frac{AC}{AB}\). Cum \(\operatorname{tg} B=3\) și \(AB=2\), obținem \(AC=2\cdot 3=6\).

2. 2

   Aplicăm teorema lui Pitagora pentru BC

   BC^2=AB^2+AC^2=2^2+6^2=40

   Triunghiul este dreptunghic în A, deci ipotenuza este BC. Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor: \(BC^2=AB^2+AC^2\). Înlocuim \(AB=2\) și \(AC=6\) și obținem \(BC^2=4+36=40\).

3. 3

   Scoatem rădăcina pătrată și simplificăm

   BC=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}

   Din \(BC^2=40\) și \(BC>0\) (este o lungime), rezultă \(BC=\sqrt{40}\). Descompunem \(40=4\cdot 10\) și scoatem pe 4 de sub radical: \(\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}\). Asta este exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(BC = 2\sqrt{10}\), deoarece \(AC=6\) și \(BC^2=2^2+6^2=40\).

Se consideră matricea \( A(x)=\begin{pmatrix} 2-3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2+3x \end{pmatrix} \), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \( \det(A(1))=8 \).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix} 2-3\cdot 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9\cdot 1 & 0 & 2+3\cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 5 \end{pmatrix}

   Cerința vorbește despre \(\det(A(1))\), deci trebuie să punem \(x=1\) în fiecare element al matricei. Așa obținem o matrice cu numere, pe care știm s-o calculăm.

2. 2

   Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus

   \det(A(1))=(-1)\cdot 2\cdot 5+0\cdot 0\cdot(-9)+1\cdot 0\cdot 0-1\cdot 2\cdot(-9)-0\cdot 0\cdot(-1)-(-1)\cdot 0\cdot 0

   Regula lui Sarrus: adunăm produsele pe diagonala principală și pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei. Multe produse conțin un 0, deci dispar.

3. 3

   Adunăm termenii și obținem rezultatul

   \det(A(1))=-10+0+0+18-0-0=8

   Termenul \(-1\cdot 2\cdot(-9)=18\) se scade, deci devine \(-(-18)=+18\). Adunând, obținem \(-10+18=8\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(1))=8\)

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix}2-3x&0&x\\0&2&0\\-9x&0&2+3x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Arătați că \(A(x)\cdot A(y)=2A(x+y)\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).

Metoda: Înmulțirea matricelor, apoi identificare

1. 1

   Scriem cele două matrice

   A(x)=\begin{pmatrix}2-3x&0&x\\0&2&0\\-9x&0&2+3x\end{pmatrix},\quad A(y)=\begin{pmatrix}2-3y&0&y\\0&2&0\\-9y&0&2+3y\end{pmatrix}

   Pentru a calcula produsul, avem nevoie de ambele matrice scrise explicit. A(y) se obține din A(x) înlocuind peste tot \(x\) cu \(y\).

2. 2

   Calculăm produsul A(x)·A(y)

   A(x)A(y)=\begin{pmatrix}4-6x-6y&0&2x+2y\\0&4&0\\-18x-18y&0&4+6x+6y\end{pmatrix}

   Element cu element, linie înmulțită cu coloană. Linia 1 · coloana 1: \((2-3x)(2-3y)+x\cdot(-9y)=4-6y-6x+9xy-9xy=4-6x-6y\). Linia 1 · coloana 3: \((2-3x)y+x(2+3y)=2y-3xy+2x+3xy=2x+2y\). Linia 3 · coloana 1: \(-9x(2-3y)+(2+3x)(-9y)=-18x+27xy-18y-27xy=-18x-18y\). Linia 3 · coloana 3: \(-9x\cdot y+(2+3x)(2+3y)... \) adică \(-9xy+4+6y+6x+9xy=4+6x+6y\). Elementul din mijloc: \(2\cdot2=4\), iar celelalte sunt 0 deoarece linia și coloana 2 conțin doar zerouri în afară de mijloc.

3. 3

   Scoatem factor comun 2 și comparăm cu 2A(x+y)

   A(x)A(y)=2\begin{pmatrix}2-3(x+y)&0&x+y\\0&2&0\\-9(x+y)&0&2+3(x+y)\end{pmatrix}=2A(x+y)

   Toate elementele produsului se împart exact la 2: \(4-6x-6y=2(2-3(x+y))\), \(2x+2y=2(x+y)\), \(-18x-18y=2(-9(x+y))\), \(4+6x+6y=2(2+3(x+y))\), \(4=2\cdot2\). Matricea rămasă în paranteză are exact forma lui \(A\) cu \(x+y\) în loc de \(x\), deci este \(A(x+y)\). Egalitatea este valabilă pentru orice \(x,y\) reale, deoarece nu am impus nicio condiție.

Răspuns: Am obținut \(A(x)\cdot A(y)=2A(x+y)\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră matricea \(A(x)=\begin{pmatrix}2-3x&0&x\\0&2&0\\-9x&0&2+3x\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \((A(x)+A(3x))\cdot A(2x)=4A(x^2)\).

Metoda: Proprietatea A(x)·A(y)=2A(x+y)

1. 1

   Calculăm suma A(x)+A(3x)

   A(x)+A(3x)=\begin{pmatrix}4-12x&0&4x\\0&4&0\\-36x&0&4+12x\end{pmatrix}=2A(2x)

   Adunăm matricele element cu element. Pe poziția (1,1): \((2-3x)+(2-9x)=4-12x\). Pe poziția (1,3): \(x+3x=4x\). Pe poziția (3,1): \(-9x-27x=-36x\). Pe poziția (3,3): \((2+3x)+(2+9x)=4+12x\). Pe poziția (2,2): \(2+2=4\). Dacă îl scriem pe \(A(2x)\), adică \(\begin{pmatrix}2-6x&0&2x\\0&2&0\\-18x&0&2+6x\end{pmatrix}\), vedem că suma este exact \(2A(2x)\).

2. 2

   Folosim relația de la punctul b)

   (A(x)+A(3x))\cdot A(2x)=2A(2x)\cdot A(2x)=2\cdot 2A(4x)=4A(4x)

   Înlocuim suma cu \(2A(2x)\). Apoi aplicăm b) pentru \(x\to 2x\) și \(y\to 2x\): \(A(2x)\cdot A(2x)=2A(4x)\). Rezultă că membrul stâng este \(2\cdot 2A(4x)=4A(4x)\), pentru orice \(x\) real.

3. 3

   Obținem ecuația în x

   4A(4x)=4A(x^2)\Rightarrow 4x=x^2

   Ecuația devine \(4A(4x)=4A(x^2)\), deci \(A(4x)=A(x^2)\). Matricea \(A(t)\) are pe poziția (1,3) elementul \(t\), deci două matrice \(A(t)\) sunt egale doar dacă au același parametru \(t\). De aceea \(4x=x^2\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   x^2-4x=0\Rightarrow x(x-4)=0\Rightarrow x\in\{0,4\}

   Mutăm totul într-o parte și dăm factor comun \(x\). Un produs este zero când un factor este zero, deci \(x=0\) sau \(x=4\). Verificare: pentru \(x=4\), \(4x=16=x^2\); pentru \(x=0\), \(0=0\).

Răspuns: x ∈ {0, 4}

Se consideră polinomul \(f = aX^3 + 3X^2 - aX - 6\), unde \(a\) este număr real nenul. Arătați că \(f(1) = -3\), pentru orice număr real nenul \(a\).

Metoda: Valoarea polinomului într-un punct

1. 1

   Înlocuim X cu 1

   f(1)=a\cdot 1^3+3\cdot 1^2-a\cdot 1-6

   Valoarea polinomului în 1 se obține punând peste tot numărul 1 în locul lui \(X\). Parametrul \(a\) rămâne neschimbat, fiind un coeficient.

2. 2

   Simplificăm și vedem că a dispare

   f(1)=a+3-a-6=-3

   Obținem \(a+3-a-6\). Termenii \(a\) și \(-a\) se reduc, iar \(3-6=-3\). Rezultatul nu mai conține pe \(a\), deci este același pentru orice \(a\) real nenul.

Răspuns: \(f(1)=a+3-a-6=-3\), pentru orice număr real nenul \(a\).

Se consideră polinomul \(f = aX^3 + 3X^2 - aX - 6\), unde \(a\) este număr real nenul. Pentru \(a = 1\), determinați câtul și restul împărțirii polinomului \(f\) la polinomul \(g = X^2 + 3X - 1\).

Metoda: Împărțirea polinoamelor prin grupare

1. 1

   Scriem polinomul f pentru a = 1

   f = X^3 + 3X^2 - X - 6

   Înlocuim \(a = 1\) în \(f = aX^3 + 3X^2 - aX - 6\). Obținem \(f = X^3 + 3X^2 - X - 6\). Acum putem compara \(f\) cu \(g = X^2 + 3X - 1\).

2. 2

   Grupăm termenii ca să apară g

   X^3 + 3X^2 - X = X(X^2 + 3X - 1)

   Observăm că primii trei termeni au factor comun \(X\): \(X^3 + 3X^2 - X = X(X^2 + 3X - 1)\). Paranteza este exact \(g\). Deci \(f = X\cdot g - 6\).

3. 3

   Identificăm câtul și restul

   f = g\cdot X + (-6) \Rightarrow q = X,\ r = -6

   Din teorema împărțirii cu rest, \(f = g\cdot q + r\), cu \(\operatorname{grad} r < \operatorname{grad} g = 2\). Avem \(f = g\cdot X - 6\), iar \(-6\) are gradul 0, deci mai mic decât 2. Rezultă că împărțirea este deja scrisă: câtul este \(X\) și restul este \(-6\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   X(X^2 + 3X - 1) - 6 = X^3 + 3X^2 - X - 6 = f

   Înmulțim \(X\) cu \(g\) și adunăm restul: \(X^3 + 3X^2 - X - 6\), adică exact \(f\). Restul \(-6\) are gradul 0, mai mic decât gradul lui \(g\), deci este corect.

Răspuns: Câtul este \(X\), iar restul este \(-6\).

Subiectul II, itemul 2. c): Se consideră polinomul \(f = aX^3 + 3X^2 - aX - 6\), unde \(a\) este număr real nenul. Determinați numărul real nenul \(a\) pentru care \((1+x_1)(1+x_2)(1+x_3) = 1\), unde \(x_1\), \(x_2\) și \(x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).

Metoda: Forma factorizată a polinomului

1. 1

   Scriem polinomul în forma factorizată

   f = a(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)

   Polinomul f are gradul 3 și coeficientul dominant a, iar rădăcinile sale sunt x_1, x_2, x_3. Așadar f se scrie ca produs al lui a cu factorii X minus fiecare rădăcină.

2. 2

   Înlocuim X = -1

   f(-1) = a(-1-x_1)(-1-x_2)(-1-x_3) = -a(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)

   Factorii sunt \(-1-x_k = -(1+x_k)\). Sunt trei factori, deci apar trei semne minus, adică \((-1)^3 = -1\). De aceea \((1+x_1)(1+x_2)(1+x_3) = -\dfrac{f(-1)}{a}\). Am ales X = -1 pentru că așa apare exact produsul din enunț.

3. 3

   Calculăm f(-1)

   f(-1) = -a + 3 + a - 6 = -3

   Înlocuim X = -1 în \(aX^3 + 3X^2 - aX - 6\): \(a(-1)^3 = -a\), \(3(-1)^2 = 3\), \(-a(-1) = a\). Suma este \(-a + 3 + a - 6 = -3\), deci f(-1) nu depinde de a.

4. 4

   Aflăm a din condiția dată

   -\frac{f(-1)}{a} = 1 \Rightarrow \frac{3}{a} = 1 \Rightarrow a = 3

   Din pasul 2, \((1+x_1)(1+x_2)(1+x_3) = -\dfrac{f(-1)}{a} = -\dfrac{-3}{a} = \dfrac{3}{a}\). Condiția din enunt spune că acest produs este 1, deci \(\dfrac{3}{a} = 1\) și \(a = 3\), valoare nenulă, deci convine.

Răspuns: a = 3

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+\ln\dfrac{x}{x+2}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{2(x+1)^2}{x(x+2)}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivarea funcțiilor compuse

1. 1

   Derivăm suma termen cu termen

   f'(x)=(2x)'+\left(\ln\frac{x}{x+2}\right)'

   Derivata unei sume este suma derivatelor. Avem \((2x)'=2\), iar al doilea termen este o funcție compusă: \(\ln u\) cu \(u=\frac{x}{x+2}\). Regula este \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\).

2. 2

   Derivăm logaritmul (funcție compusă)

   \left(\ln\frac{x}{x+2}\right)'=\frac{x+2}{x}\cdot\left(\frac{x}{x+2}\right)'=\frac{x+2}{x}\cdot\frac{(x+2)-x}{(x+2)^2}=\frac{x+2}{x}\cdot\frac{2}{(x+2)^2}=\frac{2}{x(x+2)}

   Folosim \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\). Pentru \(u'\) aplicăm formula derivatei câtului: \(\left(\frac{a}{b}\right)'=\frac{a'b-ab'}{b^2}\), adică \(\frac{1\cdot(x+2)-x\cdot 1}{(x+2)^2}=\frac{2}{(x+2)^2}\). La final simplificăm cu \(x+2\).

3. 3

   Adunăm și aducem la numitor comun

   f'(x)=2+\frac{2}{x(x+2)}=\frac{2x(x+2)+2}{x(x+2)}=\frac{2x^2+4x+2}{x(x+2)}

   Scriem \(2=\frac{2x(x+2)}{x(x+2)}\) ca să putem aduna fracțiile. Apoi dezvoltăm \(2x(x+2)=2x^2+4x\) și adăugăm 2.

4. 4

   Scriem numărătorul ca pătrat perfect

   2x^2+4x+2=2(x^2+2x+1)=2(x+1)^2 \Rightarrow f'(x)=\frac{2(x+1)^2}{x(x+2)},\ x\in(0,+\infty)

   Scoatem factor comun 2 și recunoaștem formula \((x+1)^2=x^2+2x+1\). Astfel obținem exact expresia cerută în enunț, deci cerința este demonstrată.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{2(x+1)^2}{x(x+2)}\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), așa cum trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+\ln\frac{x}{x+2}\). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Asimptota oblică prin limite

1. 1

   Calculăm panta m

   m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x}\ln\frac{x}{x+2}\right)=2

   Panta asimptotei oblice este \(m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\). Împărțim fiecare termen din \(f(x)\) la \(x\): obținem \(2+\frac{1}{x}\ln\frac{x}{x+2}\). Când \(x\to+\infty\), \(\frac{x}{x+2}\to1\), deci \(\ln\frac{x}{x+2}\to\ln1=0\), iar \(\frac1x\to0\). Produsul lor tinde la 0, deci \(m=2\).

2. 2

   Calculăm termenul liber n

   n=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-2x\big)=\lim_{x\to+\infty}\ln\frac{x}{x+2}=\ln1=0

   Termenul liber este \(n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx)\), cu \(m=2\). Scădem \(2x\) din \(f(x)\) și rămâne doar \(\ln\frac{x}{x+2}\). Cum \(\frac{x}{x+2}\to1\) (raportul coeficienților dominanți este 1), obținem \(\ln1=0\). Deci \(n=0\). Limita fiind finită, asimptota oblică există.

3. 3

   Scriem ecuația asimptotei

   y=mx+n \Rightarrow y=2x

   Cu \(m=2\) și \(n=0\), dreapta \(y=2x\) este asimptota oblică spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\), exact ca în barem.

Răspuns: Asimptota oblică spre \(+\infty\) este dreapta \(y=2x\).

Subiectul III, 1. c): Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+\ln\dfrac{x}{x+2}\). Demonstrați că funcția \(f\) este bijectivă.

Metoda: Monotonie, limite și continuitate

1. 1

   Folosim derivata de la punctul a)

   f'(x)=\dfrac{2(x+1)^2}{x(x+2)},\ x>0

   La punctul a) am arătat că \(f'(x)=\dfrac{2(x+1)^2}{x(x+2)}\). Pentru \(x>0\) numărătorul \(2(x+1)^2\) este strict pozitiv, iar numitorul \(x(x+2)\) este tot strict pozitiv. Deci \(f'(x)>0\) pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

2. 2

   Deducem că f este injectivă

   f'(x)>0\ \Rightarrow\ f\text{ strict crescătoare}\ \Rightarrow\ f\text{ injectivă}

   Dacă derivata este strict pozitivă pe un interval, funcția este strict crescătoare pe acel interval. O funcție strict crescătoare nu poate lua aceeași valoare în două puncte diferite, deoarece dacă \(x_1<x_2\) atunci \(f(x_1)<f(x_2)\). Deci \(f\) este injectivă.

3. 3

   Calculăm limitele la capetele intervalului

   \lim_{x\to 0}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

   Când \(x\to 0\), \(x>0\): \(2x\to 0\), iar \(\dfrac{x}{x+2}\to 0^+\), deci \(\ln\dfrac{x}{x+2}\to-\infty\). Atunci \(f(x)\to-\infty\). Când \(x\to+\infty\): \(2x\to+\infty\), iar \(\dfrac{x}{x+2}\to1\), deci \(\ln\dfrac{x}{x+2}\to\ln 1=0\). Atunci \(f(x)\to+\infty\).

4. 4

   Deducem că f este surjectivă și bijectivă

   f\text{ continuă},\ \lim_{x\to0}f=-\infty,\ \lim_{x\to+\infty}f=+\infty\ \Rightarrow\ f((0,+\infty))=\mathbb{R}

   Funcția \(f\) este continuă pe \((0,+\infty)\) (este compusă din funcții continue). Ea ia valori oricât de mici și oricât de mari, deci, conform proprietății lui Darboux, ia toate valorile reale. Astfel imaginea lui \(f\) este \(\mathbb{R}\), adică \(f\) este surjectivă. Fiind și injectivă, \(f\) este bijectivă.

Răspuns: Deoarece \(f'(x)>0\), \(f\) este strict crescătoare, deci injectivă. Cum \(f\) este continuă, \(\lim_{x\to0}f(x)=-\infty\) și \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\), \(f\) este surjectivă. Prin urmare \(f\) este bijectivă.

Rezolvarea scrisă pentru acest item vine în curând.

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2}{(x+1)^3}\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{f(x)(x+1)}\,dx = 1-\ln 2\).

Metoda: Calcul de integrală definită

1. 1

   Simplificăm expresia de sub radical

   f(x)(x+1)=\frac{x^2}{(x+1)^3}\cdot(x+1)=\frac{x^2}{(x+1)^2}

   Înmulțim \(f(x)\) cu \(x+1\). Un factor \(x+1\) de la numitor se simplifică, iar puterea 3 devine 2. Astfel, sub radical rămâne un pătrat perfect: \(\frac{x^2}{(x+1)^2}=\left(\frac{x}{x+1}\right)^2\).

2. 2

   Scoatem radicalul

   \sqrt{\frac{x^2}{(x+1)^2}}=\frac{x}{x+1}

   Avem \(\sqrt{a^2}=|a|\). Pe intervalul \([0,1]\) avem \(x\ge 0\) și \(x+1>0\), deci \(\frac{x}{x+1}\ge 0\) și modulul nu schimbă nimic. Integrala devine \(\int_0^1\frac{x}{x+1}\,dx\).

3. 3

   Aducem fracția la o formă integrabilă

   \frac{x}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}

   Scriem \(x=(x+1)-1\) la numărător și împărțim fiecare termen la \(x+1\). Obținem \(1-\frac{1}{x+1}\), a cărei primitivă se știe: \(x-\ln(x+1)\).

4. 4

   Calculăm integrala

   \int_0^1\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=\Big(x-\ln(x+1)\Big)\Big|_0^1=(1-\ln 2)-(0-\ln 1)=1-\ln 2

   Primitiva lui 1 este \(x\), iar a lui \(\frac{1}{x+1}\) este \(\ln(x+1)\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în 1 minus valoarea în 0. Cum \(\ln 1=0\), rezultă \(1-\ln 2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^1 \sqrt{f(x)(x+1)}\,dx = 1-\ln 2\)

Subiectul III, 2. c): Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2}{(x+1)^3}\). Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{f(e^x)}{e^x}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=-1\) și \(x=1\) este egală cu \(\dfrac{e-1}{2(e+1)}\).

Metoda: Integrare prin substituție (aria sub grafic)

1. 1

   Scriem explicit funcția g

   g(x)=\frac{f(e^x)}{e^x}=\frac{(e^x)^2}{(e^x+1)^3\cdot e^x}=\frac{e^x}{(e^x+1)^3}

   Înlocuim \(x\) cu \(e^x\) în \(f\): \(f(e^x)=\dfrac{(e^x)^2}{(e^x+1)^3}\). Apoi împărțim la \(e^x\) și simplificăm \(e^{2x}\) cu \(e^x\). Se poate, fiindcă \(e^x>0>-1\), deci \(e^x\) este în domeniul lui \(f\).

2. 2

   Semnul funcției g și formula ariei

   g(x)>0\ \forall x\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ \mathcal{A}=\int_{-1}^{1}|g(x)|\,dx=\int_{-1}^{1}\frac{e^x}{(e^x+1)^3}\,dx

   Numărătorul \(e^x\) și numitorul \((e^x+1)^3\) sunt pozitive, deci \(g(x)>0\). Graficul este deasupra axei \(Ox\), iar modulul dispare. Aria este integrala lui \(g\) între \(-1\) și \(1\).

3. 3

   Observăm derivata lui e^x+1

   (e^x+1)'=e^x\ \Rightarrow\ \int_{-1}^{1}\frac{(e^x+1)'}{(e^x+1)^3}\,dx

   Numărătorul \(e^x\) este exact derivata lui \(e^x+1\). Integrala are forma \(\int \dfrac{u'}{u^3}dx\), cu \(u=e^x+1\), care se calculează imediat.

4. 4

   Calculăm integrala

   \mathcal{A}=-\frac{1}{2(e^x+1)^2}\Big|_{-1}^{1}=\frac{1}{2(e^{-1}+1)^2}-\frac{1}{2(e+1)^2}

   O primitivă a lui \(u^{-3}\cdot u'\) este \(\dfrac{u^{-2}}{-2}=-\dfrac{1}{2u^2}\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea la \(1\) minus valoarea la \(-1\). Atenție la semnul minus din față: obținem \(-\dfrac{1}{2(e+1)^2}+\dfrac{1}{2(e^{-1}+1)^2}\).

5. 5

   Aducem la forma finală

   \frac{1}{2(e^{-1}+1)^2}=\frac{e^2}{2(1+e)^2}\ \Rightarrow\ \mathcal{A}=\frac{e^2-1}{2(e+1)^2}=\frac{(e-1)(e+1)}{2(e+1)^2}=\frac{e-1}{2(e+1)}

   Avem \(e^{-1}+1=\dfrac{1+e}{e}\), deci \(\dfrac{1}{2(e^{-1}+1)^2}=\dfrac{e^2}{2(e+1)^2}\). Scăzând \(\dfrac{1}{2(e+1)^2}\) obținem \(\dfrac{e^2-1}{2(e+1)^2}\). Descompunem \(e^2-1=(e-1)(e+1)\) și simplificăm cu \(e+1\). Am ajuns la rezultatul cerut, la fel ca în barem.

Răspuns: \(\mathcal{A}=\dfrac{e-1}{2(e+1)}\)