Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2025, model de subiect

Se consideră numerele complexe \(z_1 = 4 + i\) și \(z_2 = 2 - 4i\). Arătați că \(i \cdot z_1 + z_2 = 1\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Înlocuim și înmulțim cu i

   i\cdot z_1+z_2=i(4+i)+2-4i=4i+i^2+2-4i

   Punem în expresie valorile date ale lui \(z_1\) și \(z_2\). Apoi distribuim \(i\) în paranteză: \(i\cdot 4 = 4i\) și \(i\cdot i = i^2\).

2. 2

   Folosim i² = −1 și reducem termenii

   4i+i^2+2-4i=4i-1+2-4i=-1+2=1

   Unitatea imaginară are proprietatea \(i^2=-1\). Termenii \(4i\) și \(-4i\) se anulează, iar rămân doar părțile reale: \(-1\) și \(2\). Obținem \(1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(i\cdot z_1+z_2=1\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-3x+5\). Determinați numerele reale \(a\) pentru care punctul \(A(a,5)\) aparține graficului funcției \(f\).

Metoda: Punct pe graficul funcției

1. 1

   Punem condiția de apartenență la grafic

   A(a,5)\in G_f \Leftrightarrow f(a)=5

   Punctul \(A(a,5)\) are abscisa \(a\) și ordonata \(5\). El se află pe grafic doar dacă \(f(a)=5\), adică \(a^2-3a+5=5\).

2. 2

   Simplificăm ecuația

   a^2-3a+5=5 \Rightarrow a^2-3a=0

   Scădem \(5\) din ambii membri. Obținem o ecuație de gradul al II-lea incompletă, \(a^2-3a=0\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația prin factorizare

   a(a-3)=0 \Rightarrow a=0 \text{ sau } a=3

   Dăm factor comun pe \(a\): \(a(a-3)=0\). Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci \(a=0\) sau \(a-3=0\), adică \(a=3\).

4. 4

   Verificăm soluțiile

   f(0)=5,\quad f(3)=9-9+5=5

   Verificăm: \(f(0)=0-0+5=5\) și \(f(3)=9-9+5=5\). Ambele valori dau ordonata \(5\), deci ambele puncte \(A(0,5)\) și \(A(3,5)\) sunt pe grafic.

Răspuns: \(a\in\{0,3\}\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_6(7x-5)=\log_6(x+1)+\dfrac{1}{\log_x 6}\).

Metoda: Ecuație logaritmică, condiții de existență

1. 1

   Condițiile de existență

   7x-5>0,\; x+1>0,\; x>0,\; x\neq 1

   Argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive, iar baza \(x\) a logaritmului \(\log_x 6\) trebuie să fie pozitivă și diferită de 1. Rezultă \(x>\dfrac{5}{7}\), \(x\neq 1\). Aceste condiții ne vor ajuta la final să alegem soluțiile bune.

2. 2

   Transformăm ultimul termen

   \frac{1}{\log_x 6}=\log_6 x

   Folosim formula \(\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}\). Atunci \(\dfrac{1}{\log_x 6}=\log_6 x\). Ecuația devine \(\log_6(7x-5)=\log_6(x+1)+\log_6 x\).

3. 3

   Folosim suma logaritmilor

   \log_6(x+1)+\log_6 x=\log_6(x^2+x)

   Suma logaritmilor în aceeași bază este logaritmul produsului: \(\log_6(x+1)+\log_6 x=\log_6\big(x(x+1)\big)=\log_6(x^2+x)\). Ecuația devine \(\log_6(7x-5)=\log_6(x^2+x)\).

4. 4

   Egalăm argumentele și rezolvăm

   7x-5=x^2+x \Rightarrow x^2-6x+5=0

   Funcția logaritmică este injectivă, deci din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor: \(7x-5=x^2+x\). Ajungem la \(x^2-6x+5=0\). Discriminantul este \(\Delta=36-20=16\), deci \(x=\dfrac{6\pm 4}{2}\), adică \(x=1\) sau \(x=5\).

5. 5

   Verificăm condițiile de existență

   x=1\text{ nu convine},\; x=5\text{ convine}

   Valoarea \(x=1\) nu convine, deoarece baza logaritmului \(\log_x 6\) ar fi 1, iar \(\log_1 6\) nu există. Valoarea \(x=5\) convine: \(7\cdot 5-5=30>0\), \(5+1=6>0\), \(5>0\) și \(5\neq 1\). Singura soluție este \(x=5\).

Răspuns: x = 5

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar al lui \(9\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Cazurile posibile

   10,11,\dots,99 \Rightarrow 99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt toate numerele de la \(10\) la \(99\). Numărul lor este \(99-10+1=90\). Acestea sunt cazurile posibile, deoarece alegem oricare dintre ele.

2. 2

   Cazurile favorabile

   9\cdot 3=27,\ 9\cdot 5=45,\ 9\cdot 7=63,\ 9\cdot 9=81,\ 9\cdot 11=99

   Multiplii lui \(9\) sunt \(9k\). Numărul \(9k\) este impar doar dacă \(k\) este impar. Cu două cifre: \(k=3,5,7,9,11\) (pentru \(k=1\) obținem \(9\), cu o singură cifră, iar pentru \(k=13\) obținem \(117\), cu trei cifre). Rezultă numerele \(27, 45, 63, 81, 99\), deci \(5\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculul probabilității

   p=\dfrac{5}{90}=\dfrac{1}{18}

   Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: \(p=\frac{5}{90}\). Simplificăm prin \(5\) și obținem \(\frac{1}{18}\).

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{18}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,0)\), \(B(2,4)\) și \(C(5,a)\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\), știind că dreptele \(OB\) și \(AC\) sunt paralele.

Metoda: Condiția de paralelism: pante egale

1. 1

   Panta dreptei OB

   m_{OB}=\frac{y_B-y_O}{x_B-x_O}=\frac{4-0}{2-0}=2

   Panta unei drepte prin două puncte \(M(x_1,y_1)\) și \(N(x_2,y_2)\) este \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Aici O are coordonatele \((0,0)\) și B are \((2,4)\). Dreapta OB nu este verticală, deoarece \(x_B\neq x_O\), deci panta există.

2. 2

   Panta dreptei AC

   m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{a-0}{5-2}=\frac{a}{3}

   Folosim aceeași formulă pentru A(2,0) și C(5,a). Numitorul este \(5-2=3\neq 0\), deci dreapta AC nu este verticală și are pantă.

3. 3

   Egalăm pantele

   m_{OB}=m_{AC}\Rightarrow 2=\frac{a}{3}\Rightarrow a=6

   Dreptele OB și AC sunt paralele, deci au pantele egale. Din \(2=\frac{a}{3}\) înmulțim cu 3 și obținem \(a=6\). Atunci \(C(5,6)\), iar panta lui AC este \(\frac{6}{3}=2\), la fel ca la OB.

Răspuns: \(a=6\)

Se consideră triunghiul \(ABC\), cu \(AB=6\), \(BC=10\) și \(\cos B=\dfrac{4}{5}\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu 18.

Metoda: Aria cu formula cu sinus

1. 1

   Aflăm sin B din cos B

   \sin B=\sqrt{1-\cos^2 B}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}

   Folosim identitatea fundamentală \(\sin^2 B+\cos^2 B=1\). Dintr-un triunghi, unghiul \(B\) este între \(0^\circ\) și \(180^\circ\), deci \(\sin B>0\). De aceea alegem rădăcina pozitivă. Avem \(\cos^2 B=\frac{16}{25}\), deci \(\sin^2 B=\frac{9}{25}\) și \(\sin B=\frac{3}{5}\).

2. 2

   Calculăm aria triunghiului

   \mathcal{A}_{ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot\sin B}{2}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot\frac{3}{5}=18

   Aria unui triunghi este jumătate din produsul a două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele. Laturile \(AB\) și \(BC\) formează unghiul \(B\), deci formula se aplică direct. Calculăm: \(\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10=30\), iar \(30\cdot\frac{3}{5}=18\).

Răspuns: Aria triunghiului \(ABC\) este \(18\), așa cum trebuia arătat.

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}1&x&0\\0&1&x\\-x&0&1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det A=1\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem determinantul matricei A

   \det A=\begin{vmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{vmatrix}

   Determinantul unei matrici pătratice de ordin 3 este un număr pe care îl calculăm din elementele ei. Începem prin a-l scrie cu bare verticale în loc de paranteze. Matricea B(x) nu este necesară la acest punct.

2. 2

   Aplicăm regula lui Sarrus

   \det A=0\cdot0\cdot0+(-1)\cdot(-1)\cdot1+0\cdot0\cdot0-1\cdot0\cdot0-0\cdot(-1)\cdot0-0\cdot0\cdot(-1)

   Adunăm produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei: \(0\cdot0\cdot0\), \((-1)\cdot(-1)\cdot1\) și \(0\cdot0\cdot0\). Scădem apoi produsele de pe diagonala secundară și paralelele ei: \(1\cdot0\cdot0\), \(0\cdot(-1)\cdot0\) și \(0\cdot0\cdot(-1)\). Aproape toate produsele conțin factorul 0, deci sunt nule.

3. 3

   Adunăm și obținem rezultatul

   \det A=0+1+0-0-0-0=1

   Singurul produs nenul este \((-1)\cdot(-1)\cdot1=1\), cu semnul plus. Toate celelalte sunt 0. Rezultă \(\det A=1\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det A=1\)

Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}1&x&0\\0&1&x\\-x&0&1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Arătați că \(A-B(x)\cdot A=xI_3\), pentru orice număr real \(x\).

Metoda: Calcul matriceal direct

1. 1

   Calculăm produsul B(x)·A

   B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}-x&0&1\\-1&-x&0\\0&-1&-x\end{pmatrix}

   Înmulțim matricele „linie cu coloană”: elementul de pe linia \(i\), coloana \(j\) este suma produselor dintre elementele liniei \(i\) din \(B(x)\) și ale coloanei \(j\) din \(A\). Coloanele lui \(A\) sunt \((0,-1,0)\), \((0,0,-1)\), \((1,0,0)\). Linia 1 din \(B(x)\) este \((1,x,0)\): \(1\cdot0+x\cdot(-1)+0\cdot0=-x\); \(1\cdot0+x\cdot0+0\cdot(-1)=0\); \(1\cdot1+x\cdot0+0\cdot0=1\). Linia 2 este \((0,1,x)\): \(-1\), \(-x\), \(0\). Linia 3 este \((-x,0,1)\): \(0\), \(-1\), \(-x\).

2. 2

   Scădem din A și obținem xI₃

   A-B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}0+x&0-0&1-1\\-1+1&0+x&0-0\\0-0&-1+1&0+x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&0&0\\0&x&0\\0&0&x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=xI_3

   Scădem element cu element: \(A=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}\) minus matricea de la pasul 1. Pe diagonală obținem \(0-(-x)=x\), în rest toate elementele se anulează (\(0-0\), \(1-1\), \(-1-(-1)\)). Dând factor comun \(x\), rămâne matricea unitate \(I_3\). Egalitatea e valabilă pentru orice \(x\) real, deoarece nu am folosit nicio valoare particulară a lui \(x\).

Răspuns: \(A-B(x)\cdot A=xI_3\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Subiectul II, 1. c): Se consideră matricele \(I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}\) și \(B(x)=\begin{pmatrix}1&x&0\\0&1&x\\-x&0&1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. Pentru fiecare număr real \(x\) se consideră matricea \(C(x)\) astfel încât \(A\cdot C(x)=B(x)\). Arătați că \(C(x)-C(y)=(y-x)A\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).

Metoda: Inversa matricei și scăderea matricelor

1. 1

   Aflăm inversa matricei A

   A^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{pmatrix}

   Din subpunctul a) știm că \(\det A=1\neq 0\), deci \(A\) este inversabilă. Ca să scoatem \(C(x)\) din \(A\cdot C(x)=B(x)\), avem nevoie de \(A^{-1}\). Putem verifica inversa prin produsul \(A\cdot A^{-1}=I_3\). Matricea \(A\) este o matrice de permutare cu semne, iar inversa ei este transpusa ei, pentru că \(A\cdot A^{T}=I_3\).

2. 2

   Exprimăm C(x)

   C(x)=A^{-1}\cdot B(x)=\begin{pmatrix}0&-1&-x\\x&0&-1\\1&x&0\end{pmatrix}

   Înmulțim egalitatea \(A\cdot C(x)=B(x)\) la stânga cu \(A^{-1}\) și obținem \(C(x)=A^{-1}\cdot B(x)\). Efectuăm produsul: prima linie a lui \(A^{-1}\) este \((0,-1,0)\), deci prima linie a produsului este minus a doua linie a lui \(B(x)\), adică \((0,-1,-x)\). A doua linie \((0,0,-1)\) dă minus a treia linie a lui \(B(x)\), adică \((x,0,-1)\). A treia linie \((1,0,0)\) dă prima linie a lui \(B(x)\), adică \((1,x,0)\).

3. 3

   Scădem C(x) − C(y) și recunoaștem (y − x)A

   C(x)-C(y)=\begin{pmatrix}0&0&y-x\\x-y&0&0\\0&x-y&0\end{pmatrix}=(y-x)\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}=(y-x)A

   Scădem element cu element. Pe pozițiile cu \(0\), \(-1\) sau \(1\) (fără \(x\)) diferența este 0. Pe poziția (1,3): \(-x-(-y)=y-x\). Pe poziția (2,1): \(x-y\). Pe poziția (3,2): \(x-y\). Dăm factor comun \(y-x\): obținem \(y-x\) pe poziția (1,3), \(-(y-x)\) pe pozițiile (2,1) și (3,2), exact ca în matricea \(A\). Deci \(C(x)-C(y)=(y-x)A\), pentru orice \(x,y\) reale.

Răspuns: \(C(x)=A^{-1}B(x)\) și \(C(x)-C(y)=(y-x)A\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).

Subiectul II, 2. a): Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = x^2 y + x y^2 + x + y\). Arătați că \(1 * 3 = 16\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 3 în formula legii

   1 * 3 = 1^2 \cdot 3 + 1 \cdot 3^2 + 1 + 3

   Legea spune că, pentru orice două numere, rezultatul se obține calculând \(x^2 y + x y^2 + x + y\). Primul număr din operație ia locul lui \(x\), iar al doilea ia locul lui \(y\). Deci \(x = 1\), \(y = 3\). Trebuie să păstrăm ordinea: \(x^2\) devine \(1^2\), iar \(y^2\) devine \(3^2\).

2. 2

   Calculăm expresia

   1^2 \cdot 3 + 1 \cdot 3^2 + 1 + 3 = 3 + 9 + 4 = 16

   Calculăm pe rând: \(1^2 \cdot 3 = 3\), \(1 \cdot 3^2 = 9\), iar \(1 + 3 = 4\). Adunăm: \(3 + 9 + 4 = 16\). Rezultatul coincide cu cel cerut, deci egalitatea \(1 * 3 = 16\) este arătată.

Răspuns: \(1 * 3 = 1^2 \cdot 3 + 1 \cdot 3^2 + 1 + 3 = 3 + 9 + 4 = 16\), deci egalitatea este adevărată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x * y = x^2y + xy^2 + x + y\). b) Determinați numerele reale nenule \(x\) pentru care \(x * \frac{2}{x} = 9x\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim în definiția legii

   x * \frac{2}{x} = x^2\cdot\frac{2}{x} + x\cdot\frac{4}{x^2} + x + \frac{2}{x}

   În formula \(x * y = x^2y + xy^2 + x + y\) punem \(y = \frac{2}{x}\). Se poate, pentru că \(x\) este nenul, deci \(\frac{2}{x}\) există.

2. 2

   Simplificăm expresia

   x * \frac{2}{x} = 2x + \frac{4}{x} + x + \frac{2}{x} = \frac{3x^2+6}{x}

   Simplificăm: \(x^2\cdot\frac{2}{x}=2x\) și \(x\cdot\frac{4}{x^2}=\frac{4}{x}\). Adunăm termenii asemenea: \(2x+x=3x\) și \(\frac{4}{x}+\frac{2}{x}=\frac{6}{x}\). Apoi aducem la numitor comun \(x\): \(3x+\frac{6}{x}=\frac{3x^2+6}{x}\).

3. 3

   Scriem ecuația și o rezolvăm

   \frac{3x^2+6}{x} = 9x \Rightarrow 3x^2+6 = 9x^2 \Rightarrow 6x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 1

   Egalăm rezultatul cu \(9x\). Înmulțim cu \(x\) (permis, \(x\neq 0\)): \(3x^2+6=9x^2\). Mutăm termenii: \(6=6x^2\), deci \(x^2=1\).

4. 4

   Verificăm soluțiile

   x=-1:\ \frac{3+6}{-1}=-9=9\cdot(-1);\quad x=1:\ \frac{3+6}{1}=9=9\cdot 1

   Ambele valori sunt nenule, deci sunt permise. Verificând în ecuația inițială, obținem egalități adevărate, deci ambele convin.

Răspuns: \(x = -1\) sau \(x = 1\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x*y=x^2y+xy^2+x+y\). Determinați perechile \((m,n)\) de numere întregi, cu \(m\le n\), pentru care \(m*n=1\).

Metoda: Factorizarea legii de compoziție

1. 1

   Factorizăm expresia lui m*n

   m*n=m^2n+mn^2+m+n=mn(m+n)+(m+n)=(m+n)(mn+1)

   Grupăm primii doi termeni, scoțând factor comun mn, apoi observăm că (m+n) apare în ambele grupuri. Factorizarea ne ajută pentru că ecuația devine un produs egal cu 1, iar astfel de ecuații în numere întregi sunt ușor de rezolvat.

2. 2

   Punem condiția m*n=1

   (m+n)(mn+1)=1

   Cum m și n sunt întregi, \(m+n\) și \(mn+1\) sunt numere întregi al căror produs este 1. Singurele posibilități sunt ca ambele să fie 1 sau ambele să fie -1.

3. 3

   Cazul m+n=1 și mn+1=1

   m+n=1,\ mn=0 \Rightarrow (m,n)\in\{(0,1),(1,0)\}

   Din mn=0 rezultă că m=0 sau n=0. Dacă m=0, atunci n=1; dacă n=0, atunci m=1. Cum \(m\le n\), păstrăm doar perechea (0,1).

4. 4

   Cazul m+n=-1 și mn+1=-1

   m+n=-1,\ mn=-2

   Căutăm două numere întregi cu suma -1 și produsul -2. Ele sunt rădăcinile ecuației \(t^2+t-2=0\), adică t=1 și t=-2. Cu \(m\le n\) obținem m=-2, n=1.

Răspuns: Perechile căutate sunt \((0,1)\) și \((-2,1)\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^3}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{1-3\ln x}{x^4}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui cât de funcții

1. 1

   Identificăm numărătorul și numitorul

   u(x)=\ln x,\quad v(x)=x^3

   Funcția \(f\) este un raport de două funcții. Notăm \(u(x)=\ln x\) și \(v(x)=x^3\). Derivatele lor sunt \(u'(x)=\frac{1}{x}\) și \(v'(x)=3x^2\), pentru \(x>0\). Le identificăm separat ca să nu greșim la formula de derivare a câtului.

2. 2

   Aplicăm formula derivatei câtului

   f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^3-\ln x\cdot 3x^2}{(x^3)^2}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^3-3x^2\ln x}{x^6}

   Punem în formula \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\) pe \(u'=\frac{1}{x}\), \(v=x^3\), \(u=\ln x\), \(v'=3x^2\). Numitorul devine \((x^3)^2=x^6\). Ordinea din numărător contează, deoarece este o diferență.

3. 3

   Simplificăm numărătorul

   \frac{1}{x}\cdot x^3=x^2\ \Rightarrow\ f'(x)=\frac{x^2-3x^2\ln x}{x^6}

   Calculăm \(\frac{1}{x}\cdot x^3=x^2\). Numărătorul devine \(x^2-3x^2\ln x\), iar numitorul rămâne \(x^6\). Acum se vede că \(x^2\) este factor comun în numărător.

4. 4

   Dăm factor comun și simplificăm

   f'(x)=\frac{x^2(1-3\ln x)}{x^6}=\frac{1-3\ln x}{x^4},\quad x\in(0,+\infty)

   Scoatem \(x^2\) factor comun la numărător și simplificăm cu \(x^2\) din \(x^6\), ceea ce lasă \(x^{6-2}=x^4\). Simplificarea este permisă, deoarece \(x>0\), deci \(x^2\neq 0\). Am obținut exact expresia cerută.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{1-3\ln x}{x^4}\), \(x\in(0,+\infty)\), adică exact ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{\ln x}{x^3} \). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \( +\infty \) la graficul funcției \( f \).

Metoda: Limita funcției la infinit

1. 1

   Ce trebuie să calculăm

   y=\ell,\quad \ell=\lim_{x\to+\infty} f(x)

   Graficul are asimptotă orizontală spre \( +\infty \) dacă limita \( \ell=\lim_{x\to+\infty} f(x) \) există și este finită. Atunci dreapta \( y=\ell \) este asimptota. Așa că întâi calculăm limita funcției \( f(x)=\dfrac{\ln x}{x^3} \).

2. 2

   Calculăm limita cu L'Hospital

   \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^3}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{3x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{3x^3}=0

   Pentru \( x\to+\infty \), numărătorul \( \ln x\to+\infty \) și numitorul \( x^3\to+\infty \), deci avem cazul \( \dfrac{\infty}{\infty} \). Aplicăm regula lui L'Hospital, adică derivăm separat numărătorul și numitorul. Derivata lui \( \ln x \) este \( \dfrac1x \), iar a lui \( x^3 \) este \( 3x^2 \). Rezultă \( \dfrac{1/x}{3x^2}=\dfrac{1}{3x^3} \), care tinde la 0.

3. 3

   Scriem ecuația asimptotei

   y=0

   Limita este \( \ell=0 \), număr real. Deci graficul funcției \( f \) are asimptotă orizontală spre \( +\infty \), iar ecuația ei este \( y=0 \), adică axa \( Ox \).

Răspuns: Dreapta de ecuație \( y=0 \) este asimptota orizontală spre \( +\infty \) la graficul funcției \( f \).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^3}\). c) Determinați mulțimea numerelor reale \(m\) pentru care ecuația \(f(x)=m\) are cel puțin o soluție.

Metoda: Studiul funcției cu derivata

1. 1

   Găsim punctul critic

   f'(x)=\frac{1-3\ln x}{x^4}=0 \Rightarrow \ln x=\frac13 \Rightarrow x=\sqrt[3]{e}

   Derivata a fost calculată la punctul a): \(f'(x)=\dfrac{1-3\ln x}{x^4}\). Numitorul \(x^4\) este pozitiv pe \((0,+\infty)\), deci semnul derivatei depinde doar de numărătorul \(1-3\ln x\). Punctele în care funcția își poate schimba monotonia sunt cele în care derivata se anulează: \(1-3\ln x=0\), deci \(\ln x=\frac13\), adică \(x=e^{1/3}=\sqrt[3]{e}\).

2. 2

   Semnul derivatei și monotonia

   x\in(0,\sqrt[3]{e}]:\ f'(x)\ge 0;\quad x\in[\sqrt[3]{e},+\infty):\ f'(x)\le 0

   Pentru \(x<\sqrt[3]{e}\) avem \(\ln x<\frac13\), deci \(1-3\ln x>0\) și \(f'(x)>0\): f este crescătoare pe \((0,\sqrt[3]{e}]\). Pentru \(x>\sqrt[3]{e}\) avem \(\ln x>\frac13\), deci \(1-3\ln x<0\) și \(f'(x)<0\): f este descrescătoare pe \([\sqrt[3]{e},+\infty)\). Prin urmare, în \(x=\sqrt[3]{e}\) funcția are un maxim.

3. 3

   Limita la 0 și valoarea maximă

   \lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty,\qquad f(\sqrt[3]{e})=\frac{\ln \sqrt[3]{e}}{e}=\frac{1/3}{e}=\frac{1}{3e}

   Când \(x\to0^+\), \(\ln x\to-\infty\) iar \(x^3\to0^+\), deci câtul tinde la \(-\infty\). Valoarea în punctul de maxim este \(f(\sqrt[3]{e})=\dfrac{\ln e^{1/3}}{(e^{1/3})^3}=\dfrac{1/3}{e}=\dfrac{1}{3e}\).

4. 4

   Mulțimea valorilor lui f

   m\in\left(-\infty,\frac{1}{3e}\right]

   Pe \((0,\sqrt[3]{e}]\), f este continuă și crescătoare, cu limita \(-\infty\) la stânga și valoarea \(\frac1{3e}\) la dreapta, deci ia toate valorile din \((-\infty,\frac1{3e}]\). Pe restul domeniului, f este descrescătoare de la \(\frac1{3e}\) spre 0 și nu depășește maximul. Deci mulțimea valorilor este \((-\infty,\frac1{3e}]\), iar ecuația \(f(x)=m\) are cel puțin o soluție exact pentru aceste valori ale lui m.

Răspuns: \(m\in\left(-\infty,\dfrac{1}{3e}\right]\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x+x^2-1\). a) Arătați că \(\int_1^4 \left(f(x)-e^x\right)dx=18\).

Metoda: Integrala unei funcții polinomiale

1. 1

   Simplificăm funcția de sub integrală

   f(x)-e^x=(e^x+x^2-1)-e^x=x^2-1

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia ei. Termenii \(e^x\) se reduc, deci rămâne doar \(x^2-1\). Astfel integrala devine \(\int_1^4 (x^2-1)\,dx\), mult mai ușor de calculat.

2. 2

   Aflăm o primitivă

   \int_1^4 (x^2-1)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\Big|_1^4

   Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui \(x^2\) este \(\frac{x^3}{3}\), iar a lui \(1\) este \(x\). Folosim apoi formula Leibniz-Newton: \(\int_a^b g(x)dx=G(b)-G(a)\).

3. 3

   Calculăm valorile la capete

   \left(\frac{64}{3}-4\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right)=\frac{64}{3}-4-\frac{1}{3}+1=21-3=18

   Calculăm primitiva în \(x=4\): \(\frac{4^3}{3}-4=\frac{64}{3}-4\). Calculăm în \(x=1\): \(\frac{1}{3}-1\). Scădem cele două valori: \(\frac{64}{3}-\frac{1}{3}=21\), iar \(-4+1=-3\). Rezultă \(21-3=18\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_1^4 (f(x)-e^x)dx=\int_1^4 (x^2-1)dx=18\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x+x^2-1\). b) Arătați că \(\int_1^2 \frac{e^x}{f(x)-x^2}\,dx=\ln(e+1)\).

Metoda: Integrare prin formula \ln|u|

1. 1

   Simplificăm numitorul

   f(x)-x^2=e^x+x^2-1-x^2=e^x-1

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia dată. Termenii \(x^2\) și \(-x^2\) se reduc, deci numitorul devine \(e^x-1\). Integrala devine \(\int_1^2 \frac{e^x}{e^x-1}\,dx\). Numitorul este nenul pe \([1,2]\), pentru că \(e^x\geq e>1\).

2. 2

   Recunoaștem derivata numitorului

   (e^x-1)'=e^x \Rightarrow \int_1^2 \frac{e^x}{e^x-1}\,dx=\int_1^2 \frac{(e^x-1)'}{e^x-1}\,dx

   Derivata lui \(e^x-1\) este \(e^x\), adică exact numărătorul. Deci avem forma \(\frac{u'}{u}\), a cărei primitivă este \(\ln|u|\). Aici \(e^x-1>0\), deci putem scrie \(\ln(e^x-1)\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \ln(e^x-1)\Big|_1^2=\ln(e^2-1)-\ln(e-1)

   Calculăm primitiva în capătul de sus și în cel de jos, apoi scădem. Obținem \(\ln(e^2-1)-\ln(e-1)\).

4. 4

   Simplificăm rezultatul

   \ln(e^2-1)-\ln(e-1)=\ln\frac{(e-1)(e+1)}{e-1}=\ln(e+1)

   Diferența de logaritmi este logaritmul câtului. Folosim \(e^2-1=(e-1)(e+1)\), apoi simplificăm cu \(e-1\neq 0\). Rezultă \(\ln(e+1)\), adică exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_1^2 \frac{e^x}{f(x)-x^2}\,dx=\ln(e+1)\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x+x^2-1\). c) Demonstrați că \(\int_0^1 \frac{x}{f(x)+1}\,dx \le 1-\frac{2}{e}\).

Metoda: Majorare și integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm numitorul

   f(x)+1=e^x+x^2

   Înlocuim \(f(x)=e^x+x^2-1\) în numitor. Atunci \(f(x)+1=e^x+x^2\), deci integrala devine \(\int_0^1 \frac{x}{e^x+x^2}\,dx\).

2. 2

   Majorăm funcția de integrat

   e^x+x^2\ge e^x \Rightarrow \frac{x}{e^x+x^2}\le \frac{x}{e^x}=xe^{-x}

   Pentru orice \(x\in[0,1]\) avem \(x^2\ge 0\), deci \(e^x+x^2\ge e^x>0\). Dacă numitorul crește, fracția scade, iar numărătorul \(x\ge 0\) nu schimbă sensul. Deci \(\frac{x}{e^x+x^2}\le xe^{-x}\). Integrala păstrează inegalitatea, deci \(\int_0^1 \frac{x}{f(x)+1}dx\le \int_0^1 xe^{-x}dx\).

3. 3

   Calculăm \(\int_0^1 xe^{-x}dx\) prin părți

   \int_0^1 xe^{-x}dx=\int_0^1 x\left(-e^{-x}\right)'dx=-xe^{-x}\Big|_0^1+\int_0^1 e^{-x}dx=-e^{-x}(x+1)\Big|_0^1

   Observăm că \((-e^{-x})'=e^{-x}\) și aplicăm formula \(\int u v'=uv-\int u'v\), cu \(u=x\) și \(v=-e^{-x}\). Obținem \(-xe^{-x}\Big|_0^1+\int_0^1 e^{-x}dx=-e^{-1}+\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1=-e^{-1}-e^{-1}+1\). Prin urmare \(-e^{-x}(x+1)\Big|_0^1=-\frac{2}{e}+1\). Rezultatul este \(1-\frac{2}{e}\).

4. 4

   Concluzia

   \int_0^1 \frac{x}{f(x)+1}dx\le \int_0^1 xe^{-x}dx=1-\frac{2}{e}

   Din pașii 2 și 3 rezultă \(\int_0^1 \frac{x}{f(x)+1}dx\le 1-\frac{2}{e}\), exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(\int_0^1 \frac{x}{f(x)+1}dx\le \int_0^1 xe^{-x}dx=1-\frac{2}{e}\), deci inegalitatea este demonstrată.