Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2025, sesiunea iunie–iulie

Determinați termenul \(a_3\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n\ge 1}\), în care \(a_1 = 4\) și \(a_2 = 15\).

Metoda: Rația progresiei aritmetice

1. 1

   Calculăm rația progresiei

   r = a_2 - a_1 = 15 - 4 = 11

   Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este mereu aceeași și se numește rația \(r\). Cunoaștem \(a_1\) și \(a_2\), deci rația este \(r = a_2 - a_1 = 15 - 4 = 11\).

2. 2

   Calculăm termenul \(a_3\)

   a_3 = a_2 + r = 15 + 11 = 26

   Termenul următor se obține adăugând rația la termenul precedent. Deci \(a_3 = a_2 + r = 15 + 11 = 26\).

Răspuns: \(a_3 = 26\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x-2\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(a)+f(2)=2a\).

Metoda: Calcul de valori ale funcției

1. 1

   Calculăm f(2) și f(a)

   f(2)=3\cdot 2-2=4,\quad f(a)=3a-2

   Pentru a afla valoarea funcției într-un punct, înlocuim pe \(x\) cu acel punct în formula \(f(x)=3x-2\). Avem nevoie de \(f(2)\) și de \(f(a)\) ca să putem scrie condiția din enunț.

2. 2

   Scriem ecuația

   3a-2+4=2a

   Înlocuim în condiția \(f(a)+f(2)=2a\) valorile găsite: \(f(a)=3a-2\) și \(f(2)=4\). Obținem o ecuație în necunoscuta \(a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   3a+2=2a \Rightarrow a=-2

   Mutăm termenii cu \(a\) într-o parte: \(3a-2a=-2\), deci \(a=-2\). Este singura soluție, pentru că ecuația este de gradul I.

Răspuns: \(a=-2\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_2\left(x^2-3x+2\right)=\log_2\left(2+x\right)\).

Metoda: Egalarea argumentelor logaritmilor

1. 1

   Egalăm argumentele logaritmilor

   x^2-3x+2=2+x

   Ambii logaritmi au baza 2. Funcția \(\log_2\) ia aceeași valoare doar pentru argumente egale, deci din \(\log_2 A=\log_2 B\) rezultă \(A=B\). Aici \(A=x^2-3x+2\) și \(B=2+x\).

2. 2

   Aducem ecuația la forma redusă

   x^2-4x=0

   Mutăm termenii din dreapta în stânga: \(x^2-3x+2-2-x=0\). Constantele \(+2\) și \(-2\) se anulează, iar \(-3x-x=-4x\). Rezultă \(x^2-4x=0\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   x(x-4)=0 \Rightarrow x=0 \text{ sau } x=4

   Dăm factor comun pe \(x\): \(x(x-4)=0\). Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci \(x=0\) sau \(x=4\).

4. 4

   Verificăm condițiile de existență

   x^2-3x+2>0,\ 2+x>0

   Logaritmul există doar dacă argumentul este strict pozitiv. Pentru \(x=0\): \(0-0+2=2>0\) și \(2+0=2>0\), deci convine. Pentru \(x=4\): \(16-12+2=6>0\) și \(2+4=6>0\), deci convine. Ambele soluții sunt valide.

Răspuns: \(x\in\{0,\,4\}\)

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii \(A=\{1,2,3,5,7,8\}\).

Metoda: Principiul multiplicării (combinatorică)

1. 1

   Alegem cifra unităților

   \text{cifra unităților} \in \{2,8\} \Rightarrow 2 \text{ moduri}

   Un număr este par dacă ultima cifră este pară. Din mulțimea \(A=\{1,2,3,5,7,8\}\) cifrele pare sunt doar \(2\) și \(8\). Începem cu cifra unităților pentru că ea are restricția cea mai puternică (trebuie să fie pară).

2. 2

   Alegem cifra zecilor

   6-1=5 \text{ moduri}

   Cifrele trebuie să fie distincte, deci cifra zecilor nu poate fi aceeași cu cifra unităților deja aleasă. Din cele \(6\) elemente ale mulțimii rămân \(5\). Cifra zecilor nu poate fi 0, dar 0 nu e în mulțime, deci nu apare nicio problemă. Pentru fiecare alegere a cifrei unităților avem câte \(5\) alegeri pentru zeci.

3. 3

   Înmulțim numărul de alegeri

   2\cdot 5=10

   Conform principiului multiplicării, dacă o alegere se face în \(2\) moduri și, pentru fiecare, următoarea se face în \(5\) moduri, numărul total este produsul lor. Se pot forma deci \(10\) numere: 12, 32, 52, 72, 82, 28, 18, 38, 58, 78.

Răspuns: Se pot forma 10 numere.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,5)\), \(B(8,4)\) și \(C\), mijlocul segmentului \(OB\). Arătați că \(AO = AC\).

Metoda: Mijlocul segmentului și distanța dintre puncte

1. 1

   Aflăm coordonatele punctului C

   C\left(\frac{0+8}{2},\frac{0+4}{2}\right)=C(4,2)

   Punctul \(O\) este originea, \(O(0,0)\). Mijlocul unui segment are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor: \(x_C=\frac{x_O+x_B}{2}\) și \(y_C=\frac{y_O+y_B}{2}\). Obținem \(C(4,2)\).

2. 2

   Calculăm lungimea AO

   AO=\sqrt{(0-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{25}=5

   Distanța dintre \(A(x_A,y_A)\) și \(O(x_O,y_O)\) este \(\sqrt{(x_O-x_A)^2+(y_O-y_A)^2}\). Cu \(A(0,5)\) și \(O(0,0)\), segmentul este vertical, deci \(AO=5\).

3. 3

   Calculăm lungimea AC

   AC=\sqrt{(4-0)^2+(2-5)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

   Aplicăm aceeași formulă pentru \(A(0,5)\) și \(C(4,2)\). Diferențele sunt \(4-0=4\) și \(2-5=-3\). Prin ridicare la pătrat, semnul minus dispare. Obținem \(\sqrt{16+9}=5\).

4. 4

   Concluzia

   AO=5,\quad AC=5\ \Rightarrow\ AO=AC

   Am obținut \(AO=5\) și \(AC=5\), deci cele două segmente au aceeași lungime. Aceasta este exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(C(4,2)\), \(AO=5\) și \(AC=5\), deci \(AO=AC\).

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB = 4\) și \(\cos B = \dfrac{2}{3}\). Arătați că \(BC = 6\).

Metoda: Cosinus în triunghi dreptunghic

1. 1

   Scriem cosinusul unghiului B

   \cos B=\frac{AB}{BC}

   Triunghiul este dreptunghic în \(A\), deci ipotenuza este \(BC\). Pentru unghiul ascuțit \(B\), cateta alăturată este \(AB\). Cosinusul este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză: \(\cos B = \dfrac{AB}{BC}\).

2. 2

   Înlocuim datele

   \frac{2}{3}=\frac{4}{BC}

   Din enunț știm că \(\cos B=\dfrac{2}{3}\) și \(AB=4\). Le înlocuim în relația de la pasul anterior și obținem o proporție cu necunoscuta \(BC\).

3. 3

   Calculăm BC

   BC=\frac{3\cdot 4}{2}=6

   Din proporția \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{BC}\) aplicăm produsul mezilor egal cu produsul extremilor: \(2\cdot BC=3\cdot 4\). Rezultă \(BC=\dfrac{12}{2}=6\), deci am arătat ce se cerea.

Răspuns: \(BC=6\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A=\begin{pmatrix}-2&8\\-1&3\end{pmatrix}\). a) Arătați că \(\det A = 2\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem determinantul și aplicăm formula

   \det A=\begin{vmatrix}-2&8\\-1&3\end{vmatrix}=(-2)\cdot 3-8\cdot(-1)

   Pentru o matrice \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) determinantul este \(ad-bc\), adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici \(a=-2\), \(b=8\), \(c=-1\), \(d=3\). Facem asta pentru că determinantul de ordin 2 se definește exact așa.

2. 2

   Efectuăm calculele

   \det A=-6+8=2

   Avem \((-2)\cdot 3=-6\) și \(8\cdot(-1)=-8\). Scăderea unui număr negativ înseamnă adunare: \(-6-(-8)=-6+8\). Rezultatul este 2, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det A = 2\), deci egalitatea cerută este adevărată.

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A=\begin{pmatrix}-2&8\\-1&3\end{pmatrix}\). Arătați că matricea \(B=\frac{1}{2}(I_2-A)\) este inversa matricei \(A\).

Metoda: Definiția matricei inverse

1. 1

   Calculăm diferența \(I_2-A\)

   I_2-A=\begin{pmatrix}1-(-2)&0-8\\0-(-1)&1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-8\\1&-2\end{pmatrix}

   Scădem matricele element cu element: fiecare element din \(I_2\) minus elementul de pe aceeași poziție din \(A\). Avem nevoie de această matrice pentru a-l obține pe B.

2. 2

   Scriem matricea B

   B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3&-8\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{pmatrix}

   Înmulțim fiecare element al matricei cu \(\frac{1}{2}\). Obținem matricea B, pe care o vom verifica.

3. 3

   Calculăm produsele \(A\cdot B\) și \(B\cdot A\)

   A\cdot B=\begin{pmatrix}-2&8\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3+4&8-8\\-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}&4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2

   Înmulțim linie cu coloană. Prima linie a lui A cu prima coloană a lui B: \(-2\cdot\frac{3}{2}+8\cdot\frac{1}{2}=-3+4=1\). La fel pentru restul. Se obține \(I_2\). Analog se calculează \(B\cdot A\): \(\frac{3}{2}\cdot(-2)+(-4)\cdot(-1)=-3+4=1\), \(\frac{3}{2}\cdot 8+(-4)\cdot 3=12-12=0\), \(\frac{1}{2}\cdot(-2)+(-1)(-1)=-1+1=0\), \(\frac{1}{2}\cdot 8+(-1)\cdot 3=4-3=1\), deci și \(B\cdot A=I_2\).

4. 4

   Concluzia

   A\cdot B=B\cdot A=I_2\Rightarrow B=A^{-1}

   Din definiția inversei: dacă \(A\cdot B=B\cdot A=I_2\), atunci B este inversa lui A. Exact asta am verificat.

Răspuns: Am obținut \(A\cdot B=B\cdot A=I_2\), deci \(B=\frac{1}{2}(I_2-A)\) este inversa matricei A.

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A=\begin{pmatrix}-2&8\\-1&3\end{pmatrix}\). Determinați matricea \(X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) pentru care \((A-I_2)\cdot X=2A\).

Metoda: Matricea inversă și ecuații matriceale

1. 1

   Exprimăm \(A-I_2\) cu ajutorul inversei

   A^{-1}=\frac12(I_2-A)\ \Rightarrow\ A-I_2=-2A^{-1}

   De la punctul b) știm că inversa lui \(A\) este \(B=\frac12(I_2-A)\). Înmulțim relația cu 2: \(2A^{-1}=I_2-A\). Schimbăm semnele: \(A-I_2=-2A^{-1}\). Astfel ecuația devine mai simplă, fiindcă apare \(A^{-1}\).

2. 2

   Înlocuim în ecuație și rezolvăm

   -2A^{-1}\cdot X=2A\ \Rightarrow\ X=-A\cdot A

   Ecuația devine \(-2A^{-1}X=2A\). Împărțim cu \(-2\): \(A^{-1}X=-A\). Înmulțim la stânga cu \(A\): \(A\cdot A^{-1}X=-A\cdot A\), deci \(X=-A\cdot A=-A^2\). Înmulțirea se face la stânga, deoarece produsul matricelor nu este comutativ.

3. 3

   Calculăm \(A^2\) și matricea \(X\)

   A^2=\begin{pmatrix}-2&8\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&8\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&8\\-1&1\end{pmatrix},\quad X=-A^2=\begin{pmatrix}4&-8\\1&-1\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Elementul (1,1): \((-2)(-2)+8(-1)=4-8=-4\). Elementul (1,2): \((-2)\cdot 8+8\cdot 3=-16+24=8\). Elementul (2,1): \((-1)(-2)+3(-1)=2-3=-1\). Elementul (2,2): \((-1)\cdot 8+3\cdot 3=-8+9=1\). Deci \(A^2=\begin{pmatrix}-4&8\\-1&1\end{pmatrix}\), iar \(X=-A^2=\begin{pmatrix}4&-8\\1&-1\end{pmatrix}\), ca în barem.

4. 4

   Verificare

   (A-I_2)X=\begin{pmatrix}-3&8\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-8\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&16\\-2&6\end{pmatrix}=2A

   Calculăm \(A-I_2=\begin{pmatrix}-3&8\\-1&2\end{pmatrix}\) și îl înmulțim cu \(X\). Obținem exact \(2A=\begin{pmatrix}-4&16\\-2&6\end{pmatrix}\), deci soluția este corectă.

Răspuns: \(X=\begin{pmatrix}4&-8\\1&-1\end{pmatrix}\)

Pe mulțimea \(M=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=x+y-\sqrt{xy}\). a) Arătați că \(1*4=3\).

Metoda: Calcul direct în legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 4 în formulă

   1*4=1+4-\sqrt{1\cdot 4}

   Legea este definită prin formula \(x*y=x+y-\sqrt{xy}\). Ca să calculăm \(1*4\), punem 1 în locul lui \(x\) și 4 în locul lui \(y\), peste tot unde apar în formulă. Numerele 1 și 4 sunt în \(M=[0,+\infty)\), deci radicalul are sens.

2. 2

   Calculăm și obținem rezultatul

   1+4-\sqrt{4}=5-2=3

   Adunăm \(1+4=5\). Produsul \(1\cdot 4=4\), iar \(\sqrt{4}=2\). Rămâne \(5-2=3\). Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea \(1*4=3\) este demonstrată.

Răspuns: \(1*4=1+4-\sqrt{4}=5-2=3\), deci egalitatea este adevărată.

Pe mulțimea \(M=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=x+y-\sqrt{xy}\). b) Determinați \(x\in M\) pentru care \(x*(9x)=x^2\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim în definiția legii

   x*(9x)=x+9x-\sqrt{x\cdot 9x}

   Legea spune că \(x*y=x+y-\sqrt{xy}\). Aici al doilea număr este \(y=9x\), deci îl punem peste tot în locul lui y. Pentru \(x\in M\), avem \(9x\ge 0\), deci operația este bine definită.

2. 2

   Simplificăm radicalul

   \sqrt{9x^2}=3x \Rightarrow x*(9x)=x+9x-3x=7x

   Cum \(x\ge 0\), avem \(\sqrt{x^2}=x\), deci \(\sqrt{9x^2}=3x\). Atunci \(x+9x-3x=7x\), pentru orice \(x\in M\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   7x=x^2 \Leftrightarrow x(x-7)=0 \Rightarrow x=0 \text{ sau } x=7

   Ecuația din enunț devine \(7x=x^2\). O aducem la forma \(x^2-7x=0\) și dăm x factor comun: \(x(x-7)=0\). Un produs este zero când un factor este zero, deci x=0 sau x=7. Ambele valori sunt în \([0,+\infty)\), deci convin.

Răspuns: \(x\in\{0,\,7\}\)

Pe mulțimea \(M=[0,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=x+y-\sqrt{xy}\). c) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(2^x * 2^{x+2}=6^x\).

Metoda: Calcul cu legea de compoziție

1. 1

   Scriem legea pentru \(2^x\) și \(2^{x+2}\)

   2^x*2^{x+2}=2^x+2^{x+2}-\sqrt{2^x\cdot 2^{x+2}}

   Legea este \(x*y=x+y-\sqrt{xy}\). Punem \(2^x\) în locul primului număr și \(2^{x+2}\) în locul celui de-al doilea. Ambele numere sunt pozitive, deci aparțin lui \(M\) și radicalul are sens.

2. 2

   Simplificăm radicalul

   \sqrt{2^x\cdot 2^{x+2}}=\sqrt{2^{2x+2}}=2^{x+1}

   Produsul de sub radical este \(2^{x+x+2}=2^{2x+2}\). Rădăcina pătrată înjumătățește exponentul: \(\sqrt{2^{2x+2}}=2^{x+1}\).

3. 3

   Reducem expresia din stânga

   2^x+2^{x+2}-2^{x+1}=2^x(1+4-2)=3\cdot 2^x

   Scoatem factor comun \(2^x\). Folosim \(2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4\cdot 2^x\) și \(2^{x+1}=2\cdot 2^x\). Rămâne \(2^x(1+4-2)=3\cdot 2^x\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația exponențială

   3\cdot 2^x=6^x \;\Rightarrow\; 3\cdot 2^x=2^x\cdot 3^x \;\Rightarrow\; 3^x=3 \;\Rightarrow\; x=1

   Ecuația devine \(3\cdot 2^x=6^x\). Scriem \(6^x=2^x\cdot 3^x\) și împărțim cu \(2^x\), care este mereu nenul. Rămâne \(3^x=3\), deci \(x=1\).

5. 5

   Verificăm soluția

   2*8=2+8-\sqrt{16}=6=6^1

   Pentru \(x=1\) avem \(2^1=2\) și \(2^3=8\). Atunci \(2*8=2+8-\sqrt{16}=10-4=6\), iar \(6^1=6\). Egalitatea se verifică.

Răspuns: \(x=1\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{-3x^2-x+2}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui raport de funcții

1. 1

   Alegem formula de derivare

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția \(f\) are forma \(\frac{u}{v}\), cu \(u(x)=2\sqrt{x}\) și \(v(x)=x^2+x+2\). Pentru un cât de funcții derivabile folosim formula \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\).

2. 2

   Calculăm derivatele lui u și v

   u'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},\quad v'(x)=2x+1

   Avem \((2\sqrt{x})'=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\). Pentru numitor, \((x^2+x+2)'=2x+1\).

3. 3

   Înlocuim în formula câtului

   f'(x)=\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}(x^2+x+2)-2\sqrt{x}(2x+1)}{(x^2+x+2)^2}

   Punem \(u',u,v',v\) în formula \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\). Numitorul este \(v^2=(x^2+x+2)^2\).

4. 4

   Aducem numărătorul la același numitor

   2\sqrt{x}(2x+1)=\frac{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}(2x+1)}{\sqrt{x}}=\frac{2x(2x+1)}{\sqrt{x}}

   Numărătorul conține \(\frac{1}{\sqrt{x}}\), deci scriem și al doilea termen cu numitorul \(\sqrt{x}\), folosind \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x\). Obținem numărătorul \(\frac{x^2+x+2-2x(2x+1)}{\sqrt{x}}\), iar \(\sqrt{x}\) trece la numitorul fracției mari.

5. 5

   Reducem termenii asemenea

   f'(x)=\frac{x^2+x+2-4x^2-2x}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}=\frac{-3x^2-x+2}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}

   Desfacem paranteza: \(2x(2x+1)=4x^2+2x\). Apoi \(x^2-4x^2=-3x^2\), \(x-2x=-x\), iar constanta rămâne 2. Obținem exact forma cerută, pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{-3x^2-x+2}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}\), \(x\in(0,+\infty)\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}\). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre \(+\infty\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Limita funcției la infinit

1. 1

   Calculăm limita funcției la +∞

   \lim_{x\to+\infty} \frac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}}=0

   Avem nedeterminarea \(\frac{\infty}{\infty}\). O ridicăm împărțind numărătorul și numitorul la \(\sqrt{x}\). Numărătorul devine \(2\), iar numitorul devine \(\frac{x^2}{\sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{x}}=x\sqrt{x}+\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\). Când \(x\to+\infty\), \(x\sqrt{x}\to+\infty\) și \(\sqrt{x}\to+\infty\), iar \(\frac{2}{\sqrt{x}}\to 0\). Numitorul tinde la \(+\infty\), deci fracția \(\frac{2}{+\infty}\) tinde la \(0\).

2. 2

   Scriem ecuația asimptotei

   y=0

   Deoarece \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\), dreapta \(y=0\) (axa Ox) este asimptotă orizontală spre \(+\infty\) la graficul lui \(f\). Regula este: dacă limita la \(+\infty\) este un număr real \(l\), atunci \(y=l\) este asimptota orizontală.

Răspuns: Asimptota orizontală spre \(+\infty\) are ecuația \(y=0\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{2\sqrt{x}}{x^2+x+2}\). c) Determinați \(a\in(0,+\infty)\) pentru care tangenta la graficul funcției \(f\) în punctul \(A(a,f(a))\) este paralelă cu axa \(Ox\).

Metoda: Panta tangentei și derivata

1. 1

   Condiția de paralelism cu Ox

   d\parallel Ox \iff m_d=0 \iff f'(a)=0

   Panta tangentei la graficul lui f în punctul de abscisă a este f'(a). Axa Ox are panta 0, iar două drepte paralele au aceeași pantă. Deci tangenta este paralelă cu Ox exact când \(f'(a)=0\).

2. 2

   Scrierea ecuației f'(a)=0

   \frac{-3a^2-a+2}{(a^2+a+2)^2\sqrt{a}}=0

   Din punctul a) avem \(f'(x)=\dfrac{-3x^2-x+2}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}\). Înlocuim x cu a și egalăm cu 0. O fracție este 0 când numărătorul este 0, iar numitorul este nenul. Numitorul este strict pozitiv pentru \(a>0\), deoarece \(a^2+a+2>0\) și \(\sqrt{a}>0\). Rămâne de rezolvat \(-3a^2-a+2=0\).

3. 3

   Rezolvarea ecuației de gradul II

   3a^2+a-2=0,\quad \Delta=1+24=25,\quad a=\frac{-1\pm5}{6}

   Înmulțim ecuația cu -1 și obținem \(3a^2+a-2=0\), cu coeficienții 3, 1, -2. Discriminantul este \(\Delta=1^2-4\cdot3\cdot(-2)=25\). Rădăcinile sunt \(a_1=\frac{-1+5}{6}=\frac{2}{3}\) și \(a_2=\frac{-1-5}{6}=-1\).

4. 4

   Verificarea domeniului și concluzia

   a\in(0,+\infty)\Rightarrow a=-1\text{ nu convine},\quad a=\frac{2}{3}\text{ convine}

   Funcția f este definită pe \((0,+\infty)\), iar enunțul cere \(a>0\). Valoarea \(a=-1\) este negativă, deci nu convine. Valoarea \(a=\frac{2}{3}\) este pozitivă, deci convine. Verificare: \(3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2+\frac{2}{3}-2=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}-2=0\).

Răspuns: \(a=\dfrac{2}{3}\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+3x+3\). a) Arătați că \(\int_0^2 \left(f(x)-3x-3\right)dx=4\).

Metoda: Integrala unei funcții putere

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-3x-3=x^3+3x+3-3x-3=x^3

   Înlocuim \(f(x)=x^3+3x+3\) în expresia din integrală. Termenii \(3x\) și \(3\) se reduc cu \(-3x\) și \(-3\), deci rămâne doar \(x^3\). Astfel integrala devine \(\int_0^2 x^3\,dx\), mult mai ușor de calculat.

2. 2

   Calculăm integrala cu formula Leibniz-Newton

   \int_0^2 x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_0^2

   O primitivă a lui \(x^3\) este \(\frac{x^4}{4}\), pentru că derivata lui \(\frac{x^4}{4}\) este \(x^3\). Formula Leibniz-Newton spune că integrala definită este valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea ei în capătul de jos.

3. 3

   Calculăm valorile în capete și încheiem

   \frac{2^4}{4}-\frac{0^4}{4}=4-0=4

   Pentru \(x=2\) avem \(\frac{16}{4}=4\), iar pentru \(x=0\) avem \(0\). Diferența este \(4-0=4\), exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_0^2 \left(f(x)-3x-3\right)dx=\int_0^2 x^3\,dx=\frac{x^4}{4}\Big|_0^2=4-0=4\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+3x+3\). Arătați că \(\int_0^1 \frac{1}{\left(f(x)-x^3\right)^2}\,dx=\frac{1}{18}\).

Metoda: Integrare directă, formă \(u'/u^2\)

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-x^3=3x+3

   Avem \(f(x)=x^3+3x+3\). Când scădem \(x^3\), termenii cubici se reduc și rămâne \(f(x)-x^3=3x+3\). Astfel integrala devine \(\int_0^1 \frac{1}{(3x+3)^2}\,dx\), mult mai simplă.

2. 2

   Recunoaștem forma \(u'/u^2\)

   \int_0^1\frac{1}{(3x+3)^2}dx=\frac13\int_0^1\frac{(3x+3)'}{(3x+3)^2}dx

   Derivata lui \(3x+3\) este \(3\). Scriem \(1=\frac13\cdot 3\) și scoatem \(\frac13\) în fața integralei. Acum numărătorul este exact derivata bazei de la numitor, adică avem forma \(\frac{u'}{u^2}\), a cărei primitivă este \(-\frac1u\).

3. 3

   Aflăm primitiva și aplicăm Leibniz-Newton

   \frac13\int_0^1\frac{(3x+3)'}{(3x+3)^2}dx=-\frac13\cdot\frac{1}{3x+3}\Big|_0^1

   Primitiva lui \(\frac{u'}{u^2}\) este \(-\frac1u\), deci obținem \(-\frac13\cdot\frac{1}{3x+3}\) evaluată între \(0\) și \(1\). Funcția este continuă pe \([0,1]\), deoarece \(3x+3\neq 0\) pe acest interval.

4. 4

   Calculăm rezultatul

   -\frac13\cdot\frac16+\frac13\cdot\frac13=-\frac1{18}+\frac19=\frac1{18}

   Valoarea în \(1\) este \(-\frac13\cdot\frac16=-\frac1{18}\), iar în \(0\) este \(-\frac13\cdot\frac13=-\frac19\). Scăzând, obținem \(-\frac1{18}-\left(-\frac19\right)=-\frac1{18}+\frac{2}{18}=\frac1{18}\), exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(\int_0^1 \frac{1}{(f(x)-x^3)^2}dx=\frac{1}{18}\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+3x+3\). Determinați numărul real \(m\) pentru care \(\int_1^e \frac{f(x)-3}{x^2}\cdot \ln x\,dx=\frac{e^2+m}{4}\).

Metoda: Integrare prin părți și substituție

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   \frac{f(x)-3}{x^2}=\frac{x^3+3x}{x^2}=x+\frac{3}{x}

   Avem \(f(x)-3=x^3+3x\), deoarece termenul liber 3 dispare. Dăm factor comun \(x\) la numărător și simplificăm cu \(x^2\). Obținem \(x+\frac{3}{x}\) pentru \(x\in[1,e]\). Integrala devine \(\int_1^e \left(x+\frac{3}{x}\right)\ln x\,dx\).

2. 2

   Despărțim integrala în două

   I=\int_1^e x\ln x\,dx+\int_1^e \frac{3\ln x}{x}\,dx

   Distribuim \(\ln x\) și folosim liniaritatea integralei. Obținem două integrale mai simple, \(I_1=\int_1^e x\ln x\,dx\) și \(I_2=\int_1^e \frac{3\ln x}{x}\,dx\). Pe prima o rezolvăm prin părți, pe a doua prin substituție.

3. 3

   Calculăm \(I_1\) prin părți

   I_1=\left(\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\right)\Big|_1^e=\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}

   Scriem \(x=\left(\frac{x^2}{2}\right)'\) și aplicăm formula \(\int u'v=uv-\int uv'\) cu \(u=\frac{x^2}{2}\) și \(v=\ln x\). Rezultă \(\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac1x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\). La \(x=e\) avem \(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}=\frac{e^2}{4}\), deoarece \(\ln e=1\). La \(x=1\) avem \(0-\frac14\), deoarece \(\ln 1=0\). Diferența este \(\frac{e^2}{4}+\frac14\).

4. 4

   Calculăm \(I_2\) prin substituție

   I_2=\int_1^e 3\ln x\cdot(\ln x)'\,dx=\frac{3\ln^2 x}{2}\Big|_1^e=\frac{3}{2}

   Observăm că \(\frac1x=(\ln x)'\), deci integrala are forma \(\int 3t\,dt\) cu \(t=\ln x\). O primitivă este \(\frac{3\ln^2 x}{2}\). La \(x=e\) obținem \(\frac{3\cdot1}{2}\), iar la \(x=1\) obținem \(0\). Deci \(I_2=\frac32\).

5. 5

   Adunăm și aflăm \(m\)

   I=\frac{e^2+1}{4}+\frac{3}{2}=\frac{e^2+7}{4}=\frac{e^2+m}{4}\Rightarrow m=7

   Aducem \(\frac32\) la numitorul 4, adică \(\frac64\). Atunci \(I=\frac{e^2+1+6}{4}=\frac{e^2+7}{4}\). Comparăm cu \(\frac{e^2+m}{4}\) și obținem \(m=7\).

Răspuns: \(m=7\)