Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2025, model de subiect

Determinați termenul \(a_1\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n\ge 1}\), știind că \(a_3 = 19\) și \(a_4 = 25\).

Metoda: Rația progresiei aritmetice

1. 1

   Aflăm rația progresiei

   r = a_4 - a_3 = 25 - 19 = 6

   Într-o progresie aritmetică diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă și se numește rație: \(r = a_{n+1} - a_n\). Termenii \(a_3\) și \(a_4\) sunt consecutivi, deci rația este \(a_4 - a_3\). Obținem \(r = 6\).

2. 2

   Mergem înapoi de la a₃ la a₁

   a_1 = a_3 - 2r = 19 - 2\cdot 6 = 7

   Din \(a_1\) până la \(a_3\) se fac doi pași, adică \(a_3 = a_1 + 2r\). De aici \(a_1 = a_3 - 2r\). Înlocuim: \(a_1 = 19 - 2\cdot 6 = 19 - 12 = 7\).

Răspuns: \(a_1 = 7\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+a\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\), știind că \(f(2)=8\).

Metoda: Calculul valorii funcției într-un punct

1. 1

   Calculăm f(2) înlocuind x cu 2

   f(2)=2\cdot 2+a=4+a

   Pentru a afla valoarea funcției în punctul 2, peste tot unde apare \(x\) în formula \(f(x)=2x+a\) punem numărul 2. Obținem \(f(2)=2\cdot 2+a=4+a\). Facem asta pentru că în enunț ni se dă informația despre \(f(2)\), deci trebuie să o exprimăm cu ajutorul lui \(a\).

2. 2

   Folosim condiția f(2)=8 și aflăm a

   4+a=8 \Rightarrow a=8-4=4

   Din enunț știm că \(f(2)=8\), iar la pasul anterior am văzut că \(f(2)=4+a\). Deci cele două expresii sunt egale: \(4+a=8\). Ca să-l aflăm pe \(a\), scădem 4 din ambii membri: \(a=8-4=4\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   f(x)=2x+4,\quad f(2)=2\cdot 2+4=8

   Pentru \(a=4\) funcția este \(f(x)=2x+4\). Calculăm \(f(2)=4+4=8\), exact valoarea din enunț. Deci rezultatul este corect.

Răspuns: \(a=4\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(5^{2-x}-\frac{1}{625}\cdot 25^{x}=0\).

Metoda: Ecuație exponențială, aceeași bază

1. 1

   Scriem toate numerele ca puteri ale lui 5

   \frac{1}{625}=5^{-4},\quad 25^x=(5^2)^x=5^{2x}

   Observăm că \(625=5^4\), deci \(\frac{1}{625}=5^{-4}\). De asemenea \(25=5^2\), deci \(25^x=(5^2)^x=5^{2x}\). Facem asta ca să avem aceeași bază peste tot și să putem compara exponenții.

2. 2

   Înlocuim în ecuație și grupăm puterile

   5^{2-x}-5^{-4}\cdot 5^{2x}=0 \;\Rightarrow\; 5^{2-x}=5^{-4+2x}=5^{2x-4}

   Înlocuim în ecuația inițială. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază adunăm exponenții: \(5^{-4}\cdot5^{2x}=5^{2x-4}\). Apoi mutăm termenul scăzut în dreapta și obținem \(5^{2-x}=5^{2x-4}\).

3. 3

   Egalăm exponenții

   2-x=2x-4

   Funcția \(t\mapsto5^t\) este injectivă (strict crescătoare), deci două puteri ale lui 5 sunt egale doar dacă exponenții sunt egali. Rămâne ecuația de gradul I \(2-x=2x-4\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul I

   2-x=2x-4 \;\Rightarrow\; 6=3x \;\Rightarrow\; x=2

   Aducem necunoscutele într-o parte și numerele în cealaltă: \(2+4=2x+x\), adică \(6=3x\), deci \(x=2\).

5. 5

   Verificare

   5^{2-2}-\frac{1}{625}\cdot25^2=5^0-\frac{625}{625}=1-1=0

   Înlocuim \(x=2\) în ecuația inițială: \(5^0=1\) și \(\frac{1}{625}\cdot 25^2=\frac{625}{625}=1\). Diferența este 0, deci soluția este corectă.

Răspuns: \(x=2\)

Determinați câte submulțimi cu două elemente are mulțimea \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\).

Metoda: Combinări: formula \(C_n^k\)

1. 1

   Recunoaștem tipul de problemă

   C_6^2

   O submulțime este o alegere de elemente fără a ține cont de ordine: \(\{1,2\}\) este aceeași submulțime cu \(\{2,1\}\). Când alegem \(k\) elemente dintre \(n\), fără ordine, numărul de alegeri este \(C_n^k\). Aici \(n=6\) (câte elemente are \(A\)) și \(k=2\), deci avem \(C_6^2\).

2. 2

   Aplicăm formula combinărilor

   C_6^2=\frac{6!}{2!\cdot 4!}

   Formula este \(C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Cu \(n=6\) și \(k=2\) avem \(n-k=4\), deci \(C_6^2=\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}\).

3. 3

   Calculăm și obținem rezultatul

   \frac{6!}{2!\cdot 4!}=\frac{6\cdot 5}{2}=15

   Simplificăm \(4!\) cu partea comună din \(6!=6\cdot5\cdot4!\). Rămâne \(\dfrac{6\cdot 5}{2!}=\dfrac{30}{2}=15\). Deci mulțimea \(A\) are 15 submulțimi cu două elemente.

Răspuns: 15

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,2)\), \(B(2,0)\) și \(C(8,2)\). Determinați lungimea segmentului \(DE\), unde punctele \(D\) și \(E\) sunt mijloacele segmentelor \(OA\), respectiv \(BC\).

Metoda: Formula mijlocului și distanța

1. 1

   Aflăm coordonatele mijlocului D al segmentului OA

   D\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2}\right)=D(1,1)

   Mijlocul unui segment cu capetele \((x_1,y_1)\) și \((x_2,y_2)\) are coordonatele egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Segmentul \(OA\) are capetele \(O(0,0)\) și \(A(2,2)\), deci \(D\) are abscisa \(\frac{0+2}{2}=1\) și ordonata \(\frac{0+2}{2}=1\).

2. 2

   Aflăm coordonatele mijlocului E al segmentului BC

   E\left(\frac{2+8}{2},\frac{0+2}{2}\right)=E(5,1)

   Folosim aceeași formulă pentru \(B(2,0)\) și \(C(8,2)\). Abscisa lui \(E\) este \(\frac{2+8}{2}=5\), iar ordonata este \(\frac{0+2}{2}=1\). Deci \(E(5,1)\).

3. 3

   Calculăm lungimea segmentului DE

   DE=\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2}=\sqrt{16+0}=4

   Distanța dintre \(D(1,1)\) și \(E(5,1)\) se calculează cu formula \(\sqrt{(x_E-x_D)^2+(y_E-y_D)^2}\). Diferența absciselor este \(4\), iar a ordonatelor \(0\). Punctele au aceeași ordonată, deci segmentul este orizontal, iar lungimea lui este \(4\), la fel ca în barem.

Răspuns: DE = 4

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB=6\) și \(B=\frac{\pi}{6}\). Arătați că raza cercului circumscris triunghiului \(ABC\) este egală cu \(2\sqrt{3}\).

Metoda: Cosinus în triunghi dreptunghic

1. 1

   Calculăm ipotenuza BC cu ajutorul cosinusului

   \cos B=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{BC}\Rightarrow BC=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}

   În triunghiul dreptunghic \(ABC\), cateta \(AB\) este alăturată unghiului \(B\), iar \(BC\) este ipotenuza. Cosinusul este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză: \(\cos B=\frac{AB}{BC}\). Știm că \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), deci \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{BC}\). Din proporție, \(BC=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\).

2. 2

   Aflăm raza cercului circumscris

   R=\frac{BC}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}

   Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deoarece unghiul drept se sprijină pe un diametru. Prin urmare ipotenuza \(BC\) este diametru, iar raza este \(R=\frac{BC}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Raza cercului circumscris este \(R=\frac{BC}{2}=2\sqrt{3}\), deoarece \(BC=4\sqrt{3}\).

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}0&-1\\2&4\end{pmatrix}\) și \(M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\2-2a&2-a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det A=2\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem determinantul și aplicăm formula

   \det A=\begin{vmatrix}0&-1\\2&4\end{vmatrix}=0\cdot 4-(-1)\cdot 2

   Pentru o matrice \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) determinantul este \(ad-bc\). Aici \(a=0\), \(b=-1\), \(c=2\), \(d=4\). Diagonala principală dă \(0\cdot 4\), iar cea secundară dă \((-1)\cdot 2\), pe care o scădem.

2. 2

   Efectuăm calculele și obținem rezultatul

   0\cdot 4-(-1)\cdot 2=0+2=2

   Primul produs este \(0\cdot 4=0\). Al doilea este \((-1)\cdot 2=-2\), iar scăzând \(-2\) obținem \(+2\). Deci \(\det A=0+2=2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det A=0\cdot 4-(-1)\cdot 2=2\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}0&-1\\2&4\end{pmatrix}\) și \(M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\2-2a&2-a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(M(2)\cdot A=x\,M(1)\).

Metoda: Calcul cu matrice și egalarea lor

1. 1

   Scriem matricele M(2) și M(1)

   M(2)=\begin{pmatrix}2&1\\-2&0\end{pmatrix},\quad M(1)=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

   Înlocuim în \(M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\2-2a&2-a\end{pmatrix}\) mai întâi \(a=2\), apoi \(a=1\). Pentru \(a=2\): \(2-2\cdot 2=-2\) și \(2-2=0\). Pentru \(a=1\): \(2-2\cdot 1=0\) și \(2-1=1\). Avem nevoie de matricele concrete ca să putem face calculele.

2. 2

   Calculăm produsul M(2)·A

   M(2)\cdot A=\begin{pmatrix}2&1\\-2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=2M(1)

   Înmulțim linie cu coloană. Elementul (1,1): \(2\cdot 0+1\cdot 2=2\). Elementul (1,2): \(2\cdot(-1)+1\cdot 4=2\). Elementul (2,1): \((-2)\cdot 0+0\cdot 2=0\). Elementul (2,2): \((-2)\cdot(-1)+0\cdot 4=2\). Rezultă \(\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}\), iar scoțând factorul 2 obținem exact \(2M(1)\).

3. 3

   Determinăm x

   2M(1)=xM(1)\Rightarrow x=2

   Ecuația \(M(2)\cdot A=xM(1)\) devine \(2M(1)=xM(1)\). Matricea \(M(1)\) este nenulă, deci cele două egalități sunt posibile doar dacă \(x=2\). Verificăm: \(2M(1)=\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}\), exact produsul calculat.

Răspuns: x = 2

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}0&-1\\2&4\end{pmatrix}\) și \(M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\2-2a&2-a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. c) Determinați numerele reale \(a\) pentru care \((M(a)-2I_2)\cdot M(a)=(a+2)I_2\).

Metoda: Calcul matriceal și ecuație de gradul II

1. 1

   Calculăm \(M(a)-2I_2\)

   M(a)-2I_2=\begin{pmatrix}a-2&1\\2-2a&-a\end{pmatrix}

   Avem \(2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\). Scădem matricele element cu element: \(a-2\), \(1-0=1\), \(2-2a-0=2-2a\), \(2-a-2=-a\). Facem asta întâi ca să avem factorul din stânga produsului într-o formă simplă.

2. 2

   Înmulțim matricele

   (M(a)-2I_2)\cdot M(a)=\begin{pmatrix}a^2-4a+2&0\\0&a^2-4a+2\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Elementul (1,1): \((a-2)a+1\cdot(2-2a)=a^2-2a+2-2a=a^2-4a+2\). Elementul (1,2): \((a-2)\cdot1+1\cdot(2-a)=0\). Elementul (2,1): \((2-2a)a+(-a)(2-2a)=0\). Elementul (2,2): \((2-2a)\cdot1+(-a)(2-a)=2-2a-2a+a^2=a^2-4a+2\). Rezultă o matrice scalară, valabilă pentru orice \(a\) real.

3. 3

   Egalăm cu \((a+2)I_2\) și rezolvăm

   a^2-4a+2=a+2\iff a^2-5a=0\iff a(a-5)=0

   Matricea din dreapta este \((a+2)I_2=\begin{pmatrix}a+2&0\\0&a+2\end{pmatrix}\). Două matrice sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale. Elementele de pe diagonală dau \(a^2-4a+2=a+2\), adică \(a^2-5a=0\), iar celelalte sunt \(0=0\). Ecuația se scrie \(a(a-5)=0\), deci \(a=0\) sau \(a=5\).

Răspuns: \(a=0\) sau \(a=5\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = (x-6)(y-6)+6\). a) Arătați că \(9 \circ 8 = 12\).

Metoda: Înlocuire directă în lege

1. 1

   Înlocuim x = 9 și y = 8 în formula legii

   9 \circ 8 = (9-6)(8-6)+6

   Legea ne spune cum să combinăm două numere: scădem 6 din fiecare, înmulțim rezultatele și adăugăm 6. Așadar punem 9 în locul lui \(x\) și 8 în locul lui \(y\), fără să schimbăm nimic altceva.

2. 2

   Calculăm produsul și adunăm 6

   (9-6)(8-6)+6 = 3\cdot 2 + 6 = 6+6 = 12

   După ce am făcut scăderile din paranteze, efectuăm întâi înmulțirea (are prioritate), apoi adunarea. Obținem \(6+6=12\), adică exact valoarea cerută, deci egalitatea \(9 \circ 8 = 12\) este demonstrată.

Răspuns: \(9 \circ 8 = (9-6)(8-6)+6 = 6+6 = 12\), deci egalitatea este adevărată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = (x-6)(y-6)+6\). b) Arătați că \(e = 7\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(\circ\)”.

Metoda: Verificarea elementului neutru

1. 1

   Ce trebuie demonstrat

   x \circ e = e \circ x = x,\ \forall x \in \mathbb{R}

   Prin definiție, \(e\) este element neutru dacă \(x \circ e = x\) și \(e \circ x = x\) pentru orice \(x\) real. Legea nu e dată ca fiind comutativă, deci verificăm ambele egalități, pe rând.

2. 2

   Calculăm x ∘ 7

   x \circ 7 = (x-6)(7-6)+6 = x-6+6 = x

   Înlocuim \(y=7\) în definiție. Avem \(7-6=1\), deci produsul \((x-6)\cdot 1\) este chiar \(x-6\). Adunând 6, ajungem la \(x\). Egalitatea e adevărată pentru orice \(x\) real.

3. 3

   Calculăm 7 ∘ x

   7 \circ x = (7-6)(x-6)+6 = x-6+6 = x

   Acum 7 e primul termen. Din nou \(7-6=1\), deci obținem \(x-6+6=x\), pentru orice \(x\) real. Cum am verificat ambele părți, \(7\) este element neutru al legii.

Răspuns: Am obținut \(x \circ 7 = 7 \circ x = x\) pentru orice \(x \in \mathbb{R}\), deci \(e=7\) este elementul neutru al legii „\(\circ\)”.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y=(x-6)(y-6)+6\). c) Determinați numerele reale nenule \(x\) pentru care \(x\circ\frac{6}{x}=6x\).

Metoda: Calcul direct cu legea de compoziție

1. 1

   Aplicăm legea pentru \(x\) și \(\frac{6}{x}\)

   x\circ\frac{6}{x}=(x-6)\left(\frac{6}{x}-6\right)+6

   Legea spune că \(x\circ y=(x-6)(y-6)+6\). Punem \(y=\frac{6}{x}\), definit pentru \(x\neq 0\), deci înlocuim peste tot pe \(y\) cu \(\frac{6}{x}\).

2. 2

   Aducem expresia la forma cu numitor comun

   \frac{6}{x}-6=\frac{6-6x}{x}=\frac{6(1-x)}{x},\quad x\circ\frac{6}{x}=\frac{6(x-6)(1-x)}{x}+6

   Scoatem factor comun 6 din \(\frac{6}{x}-6=\frac{6-6x}{x}\). Așa expresia devine o singură fracție, ușor de folosit în ecuație.

3. 3

   Scriem ecuația și o aducem la forma de gradul II

   \frac{6(x-6)(1-x)}{x}+6=6x \Leftrightarrow 6(x-6)(1-x)+6x=6x^2 \Leftrightarrow x^2-4x+3=0

   Înmulțim cu \(x\neq 0\) și împărțim cu 6. Avem \((x-6)(1-x)=-x^2+7x-6\). Atunci \(-x^2+7x-6+x=x^2\), adică \(2x^2-8x+6=0\), deci \(x^2-4x+3=0\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația și verificăm condiția \(x\neq 0\)

   x^2-4x+3=0\Rightarrow \Delta=4,\ x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}\Rightarrow x=1\text{ sau }x=3

   Calculăm \(\Delta=16-12=4\), deci \(x=\frac{4\pm2}{2}\). Ambele soluții sunt nenule, deci convin.

Răspuns: x = 1 sau x = 3

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2-5)\sqrt{x}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui produs de funcții

1. 1

   Aplicăm formula derivatei unui produs

   f'(x)=(x^2-5)'\cdot\sqrt{x}+(x^2-5)\cdot(\sqrt{x})'

   Funcția \(f\) este produsul \(u\cdot v\) cu \(u=x^2-5\) și \(v=\sqrt{x}\). Formula este \((uv)'=u'v+uv'\). O folosim pentru că nu putem deriva separat factorii și apoi să îi înmulțim.

2. 2

   Calculăm derivatele factorilor

   f'(x)=2x\sqrt{x}+(x^2-5)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}

   Folosim \((x^2-5)'=2x\) și \((\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), formula standard pentru rădăcina pătrată. Le introducem în formula produsului de la pasul anterior.

3. 3

   Aducem la același numitor

   f'(x)=\frac{2x\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x}+x^2-5}{2\sqrt{x}}=\frac{4x^2+x^2-5}{2\sqrt{x}}=\frac{5x^2-5}{2\sqrt{x}}

   Primul termen nu are numitor, așa că îl amplificăm cu \(2\sqrt{x}\). Folosim \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x\), deci \(2x\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{x}=4x\cdot x=4x^2\). Apoi adunăm \(4x^2+x^2=5x^2\).

4. 4

   Descompunem numărătorul

   f'(x)=\frac{5(x^2-1)}{2\sqrt{x}}=\frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}},\ x\in(0,+\infty)

   Scoatem factor comun 5: \(5x^2-5=5(x^2-1)\). Apoi aplicăm formula diferenței de pătrate \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), cu \(a=x\), \(b=1\). Obținem exact forma cerută în enunț, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2-5)\sqrt{x}\). b) Arătați că \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{x\sqrt{x}}=\frac{5}{2}\).

Metoda: Calculul limitei unui raport de funcții

1. 1

   Înlocuim derivata în fracție

   \frac{f'(x)}{x\sqrt{x}}=\frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}\cdot x\sqrt{x}}=\frac{5(x-1)(x+1)}{2x^2}

   Din punctul a) știm că \(f'(x)=\frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}\). La numitor avem \(\sqrt{x}\cdot x\sqrt{x}=x\cdot(\sqrt{x})^2=x\cdot x=x^2\), deci numitorul devine \(2x^2\). Facem asta ca să scăpăm de radicali și să obținem o fracție rațională, mai ușor de studiat la infinit.

2. 2

   Scoatem factor comun pe \(x\)

   \frac{5(x-1)(x+1)}{2x^2}=\frac{5x^2\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2x^2}

   Scriem \(x-1=x\left(1-\frac1x\right)\) și \(x+1=x\left(1+\frac1x\right)\). Produsul lor dă \(x^2\left(1-\frac1x\right)\left(1+\frac1x\right)\). Facem asta pentru că la infinit termenii \(\frac1x\) tind la 0, iar \(x^2\) se va simplifica cu numitorul.

3. 3

   Simplificăm și calculăm limita

   \lim_{x\to+\infty}\frac{5\left(1-\frac1x\right)\left(1+\frac1x\right)}{2}=\frac{5\cdot(1-0)(1+0)}{2}=\frac52

   Simplificăm \(x^2\) de la numărător cu cel de la numitor. Apoi, cum \(\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0\), parantezele tind la 1. Rezultă limita \(\frac{5\cdot1\cdot1}{2}=\frac52\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{x\sqrt{x}}=\frac{5}{2}\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2-5)\sqrt{x}\). c) Arătați că \(f(x+2)-f(x)\le 26\), pentru orice \(x\in(0,2]\).

Metoda: Monotonia funcției cu derivata întâi

1. 1

   Semnul derivatei

   f'(x)=\frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}},\quad f'(x)=0\Rightarrow x=1

   De la punctul a) avem \(f'(x)=\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}\) pentru \(x>0\). Pe \((0,+\infty)\) avem \(x+1>0\) și \(2\sqrt{x}>0\), deci semnul derivatei este dat doar de factorul \(x-1\). Singurul punct în care derivata se anulează este \(x=1\).

2. 2

   Monotonia lui f

   f \searrow \text{ pe } (0,1],\qquad f \nearrow \text{ pe } [1,+\infty)

   Pentru \(x\in(0,1]\) avem \(f'(x)\le 0\), deci \(f\) este descrescătoare. Pentru \(x\in[1,+\infty)\) avem \(f'(x)\ge 0\), deci \(f\) este crescătoare. Prin urmare \(x=1\) este punct de minim, iar \(f(x)\ge f(1)\) pentru orice \(x>0\).

3. 3

   Încadrarea lui x+2

   x\in(0,2]\Rightarrow x+2\in(2,4]\Rightarrow f(x+2)\le f(4)

   Dacă \(x\in(0,2]\), atunci \(x+2\in(2,4]\). Pe intervalul \([1,+\infty)\) funcția \(f\) este crescătoare, iar \(x+2\le 4\), deci \(f(x+2)\le f(4)\).

4. 4

   Calculul lui f(1) și f(4)

   f(1)=(1-5)\sqrt{1}=-4,\qquad f(4)=(16-5)\sqrt{4}=22

   Înlocuim în formula \(f(x)=(x^2-5)\sqrt{x}\): pentru \(x=1\) obținem \((1-5)\cdot 1=-4\), iar pentru \(x=4\) obținem \((16-5)\cdot 2=22\).

5. 5

   Concluzia

   f(x+2)-f(x)\le f(4)-f(1)=22-(-4)=26

   Avem \(f(x+2)\le f(4)=22\) și \(f(x)\ge f(1)=-4\), deci \(-f(x)\le 4\). Adunând inegalitățile obținem \(f(x+2)-f(x)\le 22+4=26\), pentru orice \(x\in(0,2]\).

Răspuns: Am arătat că \(f(x+2)-f(x)\le 26\) pentru orice \(x\in(0,2]\), folosind \(f(x+2)\le f(4)=22\) și \(f(x)\ge f(1)=-4\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+4\ln x\). a) Arătați că \(\int_1^2 \left(f(x)-4\ln x\right)dx=\frac{7}{3}\).

Metoda: Calculul integralei definite

1. 1

   Simplificăm funcția de sub integrală

   f(x)-4\ln x=x^2+4\ln x-4\ln x=x^2

   Înlocuim \(f(x)\) cu \(x^2+4\ln x\). Termenul \(4\ln x\) apare o dată cu plus și o dată cu minus, deci se reduce. Rămâne doar \(x^2\), pe care știm să-l integrăm. Astfel integrala devine \(\int_1^2 x^2\,dx\).

2. 2

   Aflăm primitiva și aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_1^2 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_1^2=\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}

   O primitivă a lui \(x^2\) este \(\frac{x^3}{3}\), pentru că derivata ei este \(x^2\). Formula Leibniz-Newton spune că integrala definită este valoarea primitivei în limita de sus minus valoarea ei în limita de jos. Deci calculăm \(\frac{x^3}{3}\) în \(2\) și în \(1\) și scădem.

3. 3

   Calculăm și obținem rezultatul

   \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}

   Cele două fracții au același numitor, deci scădem numărătorii: \(8-1=7\). Rezultatul este \(\frac{7}{3}\), exact ce trebuia arătat, la fel ca în barem.

Răspuns: \(\int_1^2 \left(f(x)-4\ln x\right)dx=\int_1^2 x^2dx=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+4\ln x\). Subiectul III, 2. b): Arătați că \(\int_1^e \frac{f(x)-x^2}{x}\,dx=2\).

Metoda: Integrare prin substituție (formă logaritmică)

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-x^2=4\ln x \;\Rightarrow\; \frac{f(x)-x^2}{x}=\frac{4\ln x}{x}

   Înlocuim \(f(x)=x^2+4\ln x\). Termenii \(x^2\) se reduc și rămâne \(4\ln x\). Astfel integrala devine \(\int_1^e \frac{4\ln x}{x}\,dx\), mult mai simplă.

2. 2

   Observăm derivata lui ln x

   \int_1^e \frac{4\ln x}{x}\,dx=4\int_1^e \ln x\,(\ln x)'\,dx

   Scoatem constanta 4 în fața integralei. Apoi \(\frac1x=(\ln x)'\), deci avem de forma \(u\cdot u'\) cu \(u=\ln x\). O astfel de integrală are primitiva \(\frac{u^2}{2}\).

3. 3

   Calculăm primitiva și aplicăm Leibniz-Newton

   4\int_1^e \ln x\,(\ln x)'\,dx=4\cdot\frac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e=2\ln^2 x\Big|_1^e=2\ln^2 e-2\ln^2 1

   Primitiva lui \(\ln x\cdot(\ln x)'\) este \(\frac{\ln^2 x}{2}\); înmulțită cu 4 dă \(2\ln^2 x\). Apoi se calculează valoarea în capătul de sus minus valoarea în capătul de jos.

4. 4

   Obținem rezultatul

   2\ln^2 e-2\ln^2 1=2\cdot1^2-2\cdot0^2=2

   Cum \(\ln e=1\) și \(\ln 1=0\), obținem \(2\cdot1-2\cdot0=2\). Exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_1^e \frac{f(x)-x^2}{x}\,dx=2\), deci egalitatea cerută este adevărată.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2+4\ln x\). c) Determinați numărul real \(m\) pentru care \(\int_1^2 \left(f(x)f''(x)+(f'(x))^2\right)dx = m\,(f(2)-f(1))\).

Metoda: Primitiva unui produs de derivate

1. 1

   Recunoaștem derivata unui produs

   \left(f(x)f'(x)\right)'=f'(x)f'(x)+f(x)f''(x)=f(x)f''(x)+(f'(x))^2

   Folosim formula de derivare a produsului \((u\cdot v)'=u'v+uv'\) cu \(u=f\) și \(v=f'\). Obținem exact expresia din integrală, deci \(f f'\) este o primitivă a ei.

2. 2

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_1^2 \left(f f'\right)'\,dx=\left.f(x)f'(x)\right|_1^2=f(2)f'(2)-f(1)f'(1)

   Integrala unei derivate între 1 și 2 este diferența valorilor primitivei în capete. Primitiva este \(f(x)f'(x)\).

3. 3

   Calculăm derivata lui f

   f'(x)=2x+\frac{4}{x},\quad f'(1)=2+4=6,\quad f'(2)=4+2=6

   Derivăm \(x^2\) și \(4\ln x\). Observăm că \(f'(1)=f'(2)=6\), un rezultat esențial pentru a scoate factor comun.

4. 4

   Scoatem factor comun și aflăm m

   f(2)\cdot 6-f(1)\cdot 6=6\left(f(2)-f(1)\right)=m\left(f(2)-f(1)\right)

   Integrala devine \(6(f(2)-f(1))\). Egalând cu \(m(f(2)-f(1))\) și știind că \(f(1)=1\neq f(2)=4+4\ln 2\), putem simplifica cu \(f(2)-f(1)\ne 0\). Rezultă \(m=6\).

Răspuns: m = 6