Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2026, sesiunea august (varianta 04)

Determinați termenul \(b_3\) al progresiei geometrice \((b_n)_{n\ge 1}\), în care \(b_1=2\) și \(b_2=10\).

Metoda: Rația progresiei geometrice

1. 1

   Aflăm rația progresiei

   q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{10}{2}=5

   Într-o progresie geometrică, raportul dintre un termen și cel precedent este mereu același număr \(q\). Deoarece cunoaștem \(b_1\) și \(b_2\), rația este \(q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{10}{2}=5\).

2. 2

   Calculăm termenul \(b_3\)

   b_3=b_1\cdot q^2=2\cdot 5^2=50

   Formula termenului general este \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\). Pentru \(n=3\) obținem \(b_3=b_1\cdot q^2=2\cdot 25=50\). Putem verifica și altfel: \(b_3=b_2\cdot q=10\cdot 5=50\).

Răspuns: \(b_3=50\)

Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-5\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=ax-1\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care \((f\circ g)(2)=2\).

Metoda: Compunerea funcțiilor

1. 1

   Calculăm g(2)

   g(2)=a\cdot 2-1=2a-1

   Compunerea \((f\circ g)(2)\) înseamnă \(f(g(2))\). Funcția din interior, \(g\), se aplică prima, deci începem cu \(g(2)\): înlocuim \(x\) cu \(2\) în \(g(x)=ax-1\).

2. 2

   Calculăm (f∘g)(2)

   (f\circ g)(2)=f(g(2))=f(2a-1)=(2a-1)-5=2a-6

   Acum aplicăm \(f\) valorii \(g(2)=2a-1\). Funcția \(f\) scade \(5\) din numărul primit, deci obținem \(2a-1-5=2a-6\), pentru orice număr real \(a\).

3. 3

   Punem condiția și rezolvăm ecuația

   2a-6=2\Rightarrow 2a=8\Rightarrow a=4

   Condiția din enunț spune că \((f\circ g)(2)=2\). Egalăm \(2a-6\) cu \(2\), adunăm \(6\) în ambii membri și împărțim la \(2\). Verificare: pentru \(a=4\), \(g(2)=7\), \(f(7)=2\), corect.

Răspuns: a = 4

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_8 x+\log_8(8-x)=\log_8(6+x)\).

Metoda: Ecuații logaritmice, condiții de existență

1. 1

   Condiții de existență

   x>0,\; 8-x>0,\; 6+x>0 \Rightarrow x\in(0,8)

   Logaritmul există doar pentru argument strict pozitiv. Deci \(x>0\), \(8-x>0\) (adică \(x<8\)) și \(6+x>0\) (adică \(x>-6\)). Intersecția acestor condiții este \(x\in(0,8)\). Orice soluție trebuie să fie în acest interval.

2. 2

   Transformăm suma logaritmilor într-un produs

   \log_8\big(x(8-x)\big)=\log_8(6+x)\Rightarrow \log_8(8x-x^2)=\log_8(6+x)

   Folosim formula \(\log_a u+\log_a v=\log_a(uv)\). Astfel, în stânga rămâne un singur logaritm, iar ecuația are logaritm egal cu logaritm, în aceeași bază.

3. 3

   Egalăm argumentele

   8x-x^2=6+x\Rightarrow x^2-7x+6=0

   Funcția logaritmică este injectivă, deci dacă \(\log_8 A=\log_8 B\), atunci \(A=B\). Mutăm toți termenii în partea dreaptă și obținem o ecuație de gradul al doilea: \(x^2-7x+6=0\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   \Delta=49-24=25,\quad x=\frac{7\pm5}{2}\Rightarrow x=1\text{ sau }x=6

   Calculăm discriminantul: \(\Delta=(-7)^2-4\cdot1\cdot6=25\). Apoi \(x=\frac{7\pm 5}{2}\), deci \(x=6\) sau \(x=1\). Putem verifica și prin Viète: suma \(1+6=7\), produsul \(1\cdot 6=6\).

5. 5

   Verificăm soluțiile în condițiile de existență

   1\in(0,8),\; 6\in(0,8)

   Ambele valori, 1 și 6, se află în intervalul \((0,8)\), deci ambele convin. Verificare: pentru \(x=1\): \(8\cdot1-1=7\) și \(6+1=7\). Pentru \(x=6\): \(48-36=12\) și \(6+6=12\). Egalitățile se verifică.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=1\) și \(x=6\), ambele convenind.

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea \(A = \{1, 2, 4, 6, 8\}\).

Metoda: Principiul multiplicării (combinatorică)

1. 1

   Alegem cifra unităților

   \text{cifra unităților} \in \{2,4,6,8\} \Rightarrow 4 \text{ moduri}

   Un număr este par dacă ultima lui cifră este pară. Din mulțimea \(A = \{1, 2, 4, 6, 8\}\), cifrele pare sunt \(2, 4, 6, 8\). Cifra \(1\) este impară, deci nu poate fi cifra unităților. Începem cu cifra unităților, pentru că ea are o condiție, iar cifra zecilor nu are.

2. 2

   Alegem cifra zecilor

   \text{cifra zecilor} \in \{1,2,4,6,8\} \Rightarrow 5 \text{ moduri}

   Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 5 cifre ale mulțimii \(A\). Niciuna nu este \(0\), deci numărul rămâne de două cifre. Problema nu spune că cifrele trebuie să fie distincte, așa că se pot repeta (de exemplu \(22\) sau \(44\)). De aceea, pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 5 moduri.

3. 3

   Aplicăm regula produsului

   4 \cdot 5 = 20

   Fiecare alegere a cifrei unităților (4 moduri) se combină cu fiecare alegere a cifrei zecilor (5 moduri). Numărul total de numere se obține înmulțind: \(4 \cdot 5 = 20\).

Răspuns: Se pot forma 20 de numere.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(1,3)\), \(B(2,2)\) și \(C(4,6)\). Determinați ecuația dreptei \(d\) ce trece prin punctul \(B\) și este paralelă cu dreapta \(AC\).

Metoda: Pantă și drepte paralele

1. 1

   Calculăm panta dreptei AC

   m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{6-3}{4-1}=1

   Panta unei drepte care trece prin două puncte \(A(x_A,y_A)\) și \(C(x_C,y_C)\) este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor: \(m_{AC}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}\). Înlocuim: \(\dfrac{6-3}{4-1}=\dfrac{3}{3}=1\).

2. 2

   Panta dreptei d

   d\parallel AC \Rightarrow m_d=m_{AC}=1

   Dreptele paralele au pante egale. Cum \(d\) este paralelă cu \(AC\), obținem \(m_d=1\).

3. 3

   Scriem ecuația dreptei d

   y-y_B=m_d(x-x_B)\Rightarrow y-2=1\cdot(x-2)\Rightarrow y=x

   Dreapta care trece prin \(B(2,2)\) și are panta \(m_d=1\) are ecuația \(y-y_B=m(x-x_B)\). Înlocuim: \(y-2=x-2\), deci \(y=x\).

Răspuns: Ecuația dreptei \(d\) este \(y=x\).

Se consideră expresia \(E(x)=3\,\mathrm{tg}\frac{x}{3}+\sin x-2\sin\frac{2x}{3}\), unde \(x\in\left(0,\frac{3\pi}{2}\right)\). Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\).

Metoda: Înlocuire și valori trigonometrice

1. 1

   Înlocuim x cu π/2

   E\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\,\mathrm{tg}\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{2}-2\sin\frac{\pi}{3}

   Punem \(x=\frac{\pi}{2}\) în fiecare termen. Avem \(\frac{x}{3}=\frac{\pi}{6}\), \(\sin x=\sin\frac{\pi}{2}\) și \(\frac{2x}{3}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\). Facem asta pentru a ajunge la unghiuri pentru care știm valorile din tabelul trigonometric.

2. 2

   Scriem valorile trigonometrice

   \mathrm{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad \sin\frac{\pi}{2}=1,\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}

   Acestea sunt valori din tabelul unghiurilor remarcabile: \(\frac{\pi}{6}=30^\circ\), \(\frac{\pi}{3}=60^\circ\), \(\frac{\pi}{2}=90^\circ\). Le înlocuim în expresie pentru a obține un calcul doar cu numere.

3. 3

   Calculăm și obținem 1

   E\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}+1-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1

   Avem \(3\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3\) (amplificăm cu \(\sqrt3\)). Apoi \(2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\). Rămâne \(\sqrt3+1-\sqrt3\), iar radicalii se reduc, deci rezultatul este 1, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1&a&-2a\\2&-1&-a\\1&-a&0\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații liniare \(\begin{cases}x+ay-2az=-1\\2x-y-az=a\\x-ay=a\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(2))=4\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(2)

   A(2)=\begin{pmatrix}1&2&-4\\2&-1&-2\\1&-2&0\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(a\) cu 2. Prima linie \(1,\ a,\ -2a\) devine \(1,\ 2,\ -4\). A doua linie \(2,\ -1,\ -a\) devine \(2,\ -1,\ -2\). A treia linie \(1,\ -a,\ 0\) devine \(1,\ -2,\ 0\). Facem asta pentru că determinantul cerut este al matricei particulare, nu al celei generale.

2. 2

   Aplicăm regula lui Sarrus

   \det(A(2))=\begin{vmatrix}1&2&-4\\2&-1&-2\\1&-2&0\end{vmatrix}=1\cdot(-1)\cdot 0+2\cdot(-2)\cdot 1+(-4)\cdot 2\cdot(-2)-(-4)\cdot(-1)\cdot 1-2\cdot 2\cdot 0-1\cdot(-2)\cdot(-2)

   Regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Cele șase produse sunt: \(1\cdot(-1)\cdot 0=0\), \(2\cdot(-2)\cdot 1=-4\), \((-4)\cdot 2\cdot(-2)=16\), iar cele scăzute sunt \((-4)\cdot(-1)\cdot 1=4\), \(2\cdot 2\cdot 0=0\), \(1\cdot(-2)\cdot(-2)=4\).

3. 3

   Adunăm și obținem rezultatul

   \det(A(2))=0-4+16-4-0-4=4

   Adunăm termenii cu semnul lor: \(0+(-4)+16-4-0-4\). Mai întâi \(-4+16=12\), apoi \(12-4=8\), apoi \(8-4=4\). Obținem exact valoarea cerută, deci \(\det(A(2))=4\), la fel ca în barem.

Răspuns: \(\det(A(2))=4\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1 & a & -2a\\ 2 & -1 & -a\\ 1 & -a & 0\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații liniare \(\begin{cases}x+ay-2az=-1\\ 2x-y-az=a\\ x-ay=a\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. Subiectul II, 1. b): Pentru \(a=1\), arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.

Metoda: Compatibilitate prin determinanți (Rouché)

1. 1

   Scriem sistemul pentru a=1

   \begin{cases}x+y-2z=-1\\2x-y-z=1\\x-y=1\end{cases}

   Înlocuim \(a=1\) în fiecare ecuație. Prima devine \(x+y-2z=-1\), a doua \(2x-y-z=1\), iar a treia \(x-y=1\). Astfel lucrăm cu un sistem cu numere concrete.

2. 2

   Determinantul sistemului este 0

   \begin{vmatrix}1&1&-2\\2&-1&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}=0

   Calculăm determinantul matricei sistemului: \(1\cdot(-1)\cdot0+2\cdot(-1)\cdot(-2)+1\cdot1\cdot(-1)-[(-2)\cdot(-1)\cdot1+(-1)\cdot(-1)\cdot1+0]\). Primii termeni dau \(0+4-1=3\), ceilalți dau \(2+1+0=3\), deci \(3-3=0\). Cum determinantul este 0, sistemul nu are soluție unică; trebuie să vedem dacă este incompatibil sau are o infinitate de soluții.

3. 3

   Un minor principal nenul

   \begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}=-3\neq0

   Alegem un minor de ordinul 2 din matricea sistemului, cel din colțul stânga-sus. Valoarea lui este \(1\cdot(-1)-1\cdot2=-3\), diferită de 0. Deci rangul matricei sistemului este 2.

4. 4

   Determinantul caracteristic este 0

   \begin{vmatrix}1&1&-1\\2&-1&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=0

   Bordăm minorul nenul cu coloana termenilor liberi \((-1,1,1)\), obținând determinantul caracteristic. Calcul: \(1\cdot(-1)\cdot1+2\cdot(-1)\cdot(-1)+1\cdot1\cdot(-1)=-1+2-1=0\) și \((-1)\cdot(-1)\cdot1+1\cdot1\cdot1+1\cdot2\cdot(-1)\), adică \(1+1-2=0\). Diferența este 0. Deci rangul matricei extinse este tot 2.

5. 5

   Concluzia

   \operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\overline{A}=2<3

   Rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse, deci sistemul este compatibil. Rangul 2 este mai mic decât numărul necunoscutelor, 3. Deci sistemul este compatibil simplu nedeterminat, adică are o infinitate de soluții.

Răspuns: Pentru \(a=1\), determinantul sistemului este 0, un minor de ordinul 2 este nenul, iar determinantul caracteristic este 0, deci sistemul are o infinitate de soluții.

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1&a&-2a\\2&-1&-a\\1&-a&0\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații liniare \(\begin{cases}x+ay-2az=-1\\2x-y-az=a\\x-ay=a\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. c) Arătați că, pentru orice \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\), sistemul de ecuații are soluție unică \((x_0,y_0,z_0)\) și \(4x_0z_0=1\).

Metoda: Determinant și regula lui Cramer

1. 1

   Calculăm determinantul matricei sistemului

   \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&a&-2a\\2&-1&-a\\1&-a&0\end{vmatrix}=2a^2-2a

   Matricea sistemului este \(A(a)\). Dezvoltăm determinantul după regula lui Sarrus: termenii pozitivi sunt \(1\cdot(-1)\cdot 0=0\), \(a\cdot(-a)\cdot 1=-a^2\), \((-2a)\cdot 2\cdot(-a)=4a^2\). Termenii negativi sunt \((-2a)\cdot(-1)\cdot 1=2a\), \(a\cdot 2\cdot 0=0\), \(1\cdot(-a)\cdot(-a)=a^2\). Rezultă \(0-a^2+4a^2-2a-0-a^2=2a^2-2a\).

2. 2

   Arătăm că sistemul are soluție unică

   2a^2-2a=2a(a-1)\neq 0 \text{ pentru } a\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}

   Un sistem de 3 ecuații cu 3 necunoscute are soluție unică dacă determinantul matricei sistemului este nenul. Descompunem \(2a^2-2a=2a(a-1)\), care se anulează doar pentru \(a=0\) sau \(a=1\). Cum \(a\notin\{0,1\}\), determinantul este nenul, deci sistemul este compatibil determinat.

3. 3

   Aflăm \(x_0\) și \(z_0\)

   x_0=\frac{a}{2},\quad z_0=\frac{1}{2a}

   Din a treia ecuație, \(x-ay=a\), deci \(ay=x-a\). Înlocuim \(ay\) în prima ecuație: \(x+(x-a)-2az=-1\), adică \(2x-2az=a-1\). Din a doua ecuație: \(2x-y-az=a\). Folosind regula lui Cramer (ca în barem), se obține \(x_0=\frac{a}{2}\) și \(z_0=\frac{1}{2a}\). Verificare în ecuația 3: \(y_0=\frac{x_0-a}{a}=-\frac12\). Atunci ecuația 1: \(\frac a2-\frac a2-2a\cdot\frac1{2a}=-1\). Corect. Ecuația 2: \(a+\frac12-\frac12=a\). Corect.

4. 4

   Arătăm că \(4x_0z_0=1\)

   4x_0z_0=4\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{1}{2a}=\frac{4a}{4a}=1

   Înmulțim valorile găsite: \(4\cdot\frac a2\cdot\frac1{2a}=\frac{4a}{4a}\). Cum \(a\neq 0\), simplificăm prin \(a\) și obținem 1, pentru orice \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\).

Răspuns: Pentru \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\), \(\det(A(a))=2a^2-2a\neq 0\), deci sistemul are soluție unică, cu \(x_0=\frac a2\), \(z_0=\frac1{2a}\), de unde \(4x_0z_0=1\).

Se consideră polinomul \( f = X^3 + X^2 + aX + 8 \), unde \( a \) este număr real. a) Arătați că \( f(0) = 8 \), pentru orice număr real \( a \).

Metoda: Valoarea polinomului într-un punct

1. 1

   Înlocuim X cu 0 în polinom

   f(0)=0^3+0^2+a\cdot 0+8

   Valoarea polinomului în punctul \( 0 \) se află înlocuind peste tot necunoscuta \( X \) cu \( 0 \). Obținem \( f(0)=0^3+0^2+a\cdot 0+8 \). Aceasta este exact scrierea din barem.

2. 2

   Calculăm și tragem concluzia

   f(0)=0+0+0+8=8

   Primii trei termeni sunt \( 0 \): \( 0^3=0 \), \( 0^2=0 \) și \( a\cdot 0=0 \) pentru orice \( a \). Rămâne doar termenul liber \( 8 \). Deci \( f(0)=8 \), indiferent de valoarea lui \( a \), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \( f(0)=8 \), pentru orice număr real \( a \), deoarece toți termenii care conțin pe \( X \) se anulează, iar \( a \) dispare din calcul.

Subiectul II, 2. Se consideră polinomul \(f = X^3 + X^2 + aX + 8\), unde \(a\) este număr real. b) Determinați numărul real \(a\) pentru care polinomul \(f\) este divizibil cu polinomul \(g = X + 2\).

Metoda: Teorema împărțirii cu rest (Bézout)

1. 1

   Transformăm divizibilitatea într-o condiție despre rădăcină

   X+2 \mid f \iff f(-2)=0

   Conform teoremei lui Bézout, restul împărțirii lui \(f\) la \(X-c\) este \(f(c)\). Aici \(X+2 = X-(-2)\), deci restul este \(f(-2)\). Polinomul \(f\) este divizibil cu \(X+2\) exact când restul este 0, adică \(f(-2)=0\).

2. 2

   Calculăm \(f(-2)\)

   f(-2)=(-2)^3+(-2)^2+a\cdot(-2)+8=-8+4-2a+8=4-2a

   Înlocuim \(X\) cu \(-2\) în fiecare termen: \((-2)^3=-8\), \((-2)^2=4\), \(a\cdot(-2)=-2a\), iar termenul liber este 8. Adunând numerele obținem \(-8+4+8=4\), deci \(f(-2)=4-2a\), pentru orice număr real \(a\).

3. 3

   Punem condiția \(f(-2)=0\) și aflăm \(a\)

   4-2a=0 \Rightarrow a=2

   Pentru ca \(f\) să fie divizibil cu \(X+2\), restul \(4-2a\) trebuie să fie 0. Rezolvăm: \(2a=4\), deci \(a=2\). Verificare: pentru \(a=2\), \(f(-2)=4-4=0\), deci condiția este îndeplinită.

Răspuns: \(a = 2\)

Se consideră polinomul \(f = X^3 + X^2 + aX + 8\), unde \(a\) este număr real. c) Determinați numărul real \(a\) pentru care raportul a două dintre rădăcinile polinomului \(f\) este egal cu 2.

Metoda: Relațiile lui Viète

1. 1

   Scriem relațiile lui Viète și condiția din enunț

   x_1+x_2+x_3=-1,\quad x_1x_2x_3=-8,\quad x_2=2x_1

   Pentru polinomul \(X^3+X^2+aX+8\), suma rădăcinilor este \(-\frac{1}{1}=-1\), iar produsul lor este \(-\frac{8}{1}=-8\). Condiția \(\frac{x_2}{x_1}=2\) înseamnă \(x_2=2x_1\). Numerotăm rădăcinile astfel încât raportul să fie dintre \(x_2\) și \(x_1\).

2. 2

   Exprimăm totul în funcție de \(x_1\)

   x_1+2x_1+x_3=-1 \Rightarrow x_3=-1-3x_1;\quad x_1\cdot 2x_1\cdot x_3=-8

   Din suma rădăcinilor scoatem \(x_3=-1-3x_1\). Înlocuim în produs: \(2x_1^2(-1-3x_1)=-8\), adică \(-2x_1^2-6x_1^3=-8\), deci \(3x_1^3+x_1^2-4=0\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația în \(x_1\)

   (x_1-1)(3x_1^2+4x_1+4)=0

   Verificăm \(x_1=1\): \(3+1-4=0\), deci 1 este rădăcină. Factorizăm: \(3x_1^3+x_1^2-4=(x_1-1)(3x_1^2+4x_1+4)\). Al doilea factor are discriminantul \(16-48=-32<0\), deci nu are rădăcini reale. Polinomul \(f\) are grad 3 și coeficienți reali, iar \(x_2=2x_1\), deci \(x_1\) trebuie să fie real (dacă \(x_1\) ar fi complex nereal, ar fi și \(x_2\), iar împreună cu conjugatele ar fi prea multe rădăcini). Deci \(x_1=1\).

4. 4

   Aflăm \(a\) și verificăm

   f(1)=0 \Rightarrow 1+1+a+8=0 \Rightarrow a=-10

   Cum \(x_1=1\) este rădăcină a lui \(f\), avem \(f(1)=0\), deci \(10+a=0\) și \(a=-10\). Verificare: \(f=X^3+X^2-10X+8\) are rădăcinile 1, 2, \(-4\) (suma \(-1\), produsul \(-8\)), iar \(\frac{2}{1}=2\). Convine.

Răspuns: a = -10

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x}\). a) Arătați că \(f'(x)=4(x-1)(1-e^{2x})\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivarea sumei și a produsului

1. 1

   Derivăm funcția termen cu termen

   f'(x)=4x-4-2e^{2x}-(2x-3)\cdot 2e^{2x}

   Derivata unei sume este suma derivatelor. Avem \((2x^2)'=4x\), \((4x)'=4\), \((3)'=0\). Pentru produsul \((2x-3)e^{2x}\) folosim regula \((u\cdot v)'=u'v+uv'\), cu \(u=2x-3\), \(u'=2\), \(v=e^{2x}\), \(v'=2e^{2x}\) (derivata lui \(e^{2x}\) include factorul 2 din exponent). Deci \(((2x-3)e^{2x})'=2e^{2x}+(2x-3)\cdot 2e^{2x}\). Semnul minus din fața produsului se aplică întregii derivate, iar \(-2e^{2x}\) din rezultat provine din \(-u'v\).

2. 2

   Dăm factor comun și ajungem la forma cerută

   f'(x)=4(x-1)-2e^{2x}-2(2x-3)e^{2x}=4(x-1)-e^{2x}(2+4x-6)=4(x-1)-4(x-1)e^{2x}=4(x-1)(1-e^{2x})

   Grupăm termenii care conțin \(e^{2x}\): \(-2e^{2x}-2(2x-3)e^{2x}=-e^{2x}(2+4x-6)=-e^{2x}(4x-4)=-4(x-1)e^{2x}\). Termenii fără exponențială sunt \(4x-4=4(x-1)\). Acum \(4(x-1)\) apare în ambele părți și îl scoatem factor comun: \(4(x-1)\,(1-e^{2x})\), adică exact forma cerută, pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).

Răspuns: \(f'(x)=4(x-1)(1-e^{2x})\), \(x\in\mathbb{R}\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x} \). b) Arătați că \( \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^2}=4 \).

Metoda: Regula lui l'Hospital

1. 1

   Verificăm tipul de nedeterminare

   f(0)=0-0-3-(-3)\cdot 1=0,\quad x^2\to 0

   Calculăm \(f(0)=2\cdot 0-4\cdot 0-3-(0-3)e^{0}=-3+3=0\). Numitorul \(x^2\) tinde și el la 0. Deci limita are forma \(\frac{0}{0}\), iar regula lui l'Hospital se poate aplica, pentru că funcțiile sunt derivabile.

2. 2

   Aplicăm regula lui l'Hospital

   \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{(x^2)'}=\lim_{x\to0}\frac{4(x-1)(1-e^{2x})}{2x}

   Derivăm separat numărătorul și numitorul. Din punctul a) știm că \(f'(x)=4(x-1)(1-e^{2x})\), iar \((x^2)'=2x\). Am ajuns la o limită nouă, care este tot de forma \(\frac{0}{0}\).

3. 3

   Separăm limita remarcabilă

   \lim_{x\to0}\frac{1-e^{2x}}{2x}=-1

   Scriem \(\frac{4(x-1)(1-e^{2x})}{2x}=4(x-1)\cdot\frac{1-e^{2x}}{2x}\). Pentru a doua fracție folosim limita \(\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1\) cu \(t=2x\). Rezultă \(\frac{e^{2x}-1}{2x}\to1\), deci \(\frac{1-e^{2x}}{2x}\to-1\).

4. 4

   Calculăm rezultatul final

   \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=4\cdot(0-1)\cdot(-1)=4

   Pentru \(x\to0\), factorul \(4(x-1)\) tinde la \(4\cdot(-1)=-4\). Înmulțim cu limita \(-1\): \((-4)\cdot(-1)=4\). Am obținut exact valoarea cerută.

Răspuns: \(\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^2}=4\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x}\). Demonstrați că ecuația \(f(x)+n=0\) are soluție unică, pentru orice număr natural nenul \(n\).

Metoda: Studiul monotoniei și limitelor

1. 1

   Găsim punctele critice

   f'(x)=4(x-1)(1-e^{2x})=0 \Leftrightarrow x=1 \text{ sau } x=0

   Un produs este zero când un factor este zero. Factorul \(x-1\) se anulează pentru \(x=1\), iar \(1-e^{2x}=0\) înseamnă \(e^{2x}=1\), deci \(x=0\). Aceste puncte împart axa în intervale pe care semnul derivatei este constant.

2. 2

   Semnul derivatei și monotonia

   f'\le 0 \text{ pe } (-\infty,0],\quad f'\ge 0 \text{ pe } [0,1],\quad f'<0 \text{ pe } (1,+\infty)

   Pentru \(x<0\): \(x-1<0\) și \(e^{2x}<1\), deci \(1-e^{2x}>0\); produsul este negativ, f descrește. Pentru \(0<x<1\): \(x-1<0\) și \(1-e^{2x}<0\); produsul este pozitiv, f crește. Pentru \(x>1\): \(x-1>0\) și \(1-e^{2x}<0\); produsul este negativ, f descrește.

3. 3

   Valoarea lui f în 0 și limita la plus infinit

   f(0)=0-0-3-(-3)\cdot 1=0,\qquad \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty

   Calculăm \(f(0)=-3+3=0\). Pentru \(x\to+\infty\), termenul \(-(2x-3)e^{2x}\) tinde la \(-\infty\) și domină polinomul \(2x^2-4x-3\), deoarece exponențiala crește mai repede decât orice polinom. Deci \(f(x)\to-\infty\).

4. 4

   Concluzia: soluție unică

   f(x)=-n<0 \text{ are exact o soluție}

   Pe \((-\infty,0]\) f descrește, deci \(f(x)\ge f(0)=0\): aici f nu poate fi egală cu \(-n<0\). Pe \([0,1]\) f crește de la 0, deci \(f(x)\ge 0\): tot nicio soluție. Pe \((1,+\infty)\) f este strict descrescătoare, continuă, cu \(f(1)\ge0\) și limita \(-\infty\), deci ia fiecare valoare negativă exact o dată. Astfel ecuația \(f(x)+n=0\) are soluție unică pentru orice \(n\ge1\).

Răspuns: Ecuația \(f(x)+n=0\) are soluție unică pentru orice număr natural nenul \(n\), deoarece valorile negative sunt atinse o singură dată de f pe \((1,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}\). Arătați că \(\int_2^4 f(x)\sqrt{x^2-4x+5}\,dx=2\).

Metoda: Simplificare și integrală definită

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)\sqrt{x^2-4x+5}=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}\cdot\sqrt{x^2-4x+5}=x-2

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia ei. Radicalul \(\sqrt{x^2-4x+5}\) apare la numitor și la factorul de după, deci se simplifică. Radicalul este strict pozitiv pentru orice \(x\), deoarece \(x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0\), deci simplificarea este permisă.

2. 2

   Calculăm integrala

   \int_2^4 (x-2)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\Big|_2^4

   O primitivă a lui \(x-2\) este \(\frac{x^2}{2}-2x\), pentru că derivata ei este \(x-2\). Apoi aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea ei în capătul de jos.

3. 3

   Înlocuim limitele și obținem rezultatul

   \left(\frac{4^2}{2}-2\cdot4\right)-\left(\frac{2^2}{2}-2\cdot2\right)=0-(-2)=2

   Pentru \(x=4\): \(16/2-8=0\). Pentru \(x=2\): \(4/2-4=-2\). Diferența este \(0-(-2)=2\), exact valoarea cerută.

Răspuns: \(\int_2^4 f(x)\sqrt{x^2-4x+5}\,dx=2\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}\). Arătați că \(\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx=0\).

Metoda: Integrare prin recunoașterea derivatei

1. 1

   Observăm derivata expresiei de sub radical

   (x^2-4x+5)'=2x-4=2(x-2)

   Expresia de sub radical este \(x^2-4x+5\), iar derivata ei este \(2x-4=2(x-2)\). Deci numărătorul \(x-2\) este jumătate din derivata expresiei de sub radical. Acest lucru ne sugerează că f este derivata lui \(\sqrt{x^2-4x+5}\).

2. 2

   Găsim o primitivă a lui f

   \left(\sqrt{x^2-4x+5}\right)'=\frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+5}}=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}=f(x)

   Folosim formula \((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) cu \(u=x^2-4x+5\). Obținem exact f(x). Deci \(\sqrt{x^2-4x+5}\) este o primitivă a lui f. Expresia de sub radical este mereu pozitivă (\(=(x-2)^2+1\)), deci totul e bine definit.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_1^3 f(x)\,dx=\sqrt{x^2-4x+5}\,\Big|_1^3=\sqrt{9-12+5}-\sqrt{1-4+5}

   Integrala definită este valoarea primitivei în 3 minus valoarea ei în 1. În 3: \(9-12+5=2\). În 1: \(1-4+5=2\).

4. 4

   Concluzia

   \sqrt{2}-\sqrt{2}=0

   Cele două valori sunt egale, \(\sqrt2\), deci diferența este 0. Așadar \(\int_1^3 f(x)dx=0\). Rezultatul era de așteptat: f este impară față de x=2 (\(f(4-x)=-f(x)\)), iar intervalul [1,3] este simetric față de 2.

Răspuns: \(\int_1^3 f(x)\,dx=\sqrt{x^2-4x+5}\Big|_1^3=\sqrt2-\sqrt2=0\)

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}} \). c) Determinați numărul real nenul \( m \) pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției \( g:[2,3]\to\mathbb{R},\ g(x)=f(x) \), în jurul axei \( Ox \), este egal cu \( \pi\left(1-\dfrac{\pi}{m}\right) \).

Metoda: Volumul corpului de rotație

1. 1

   Scriem formula volumului

   V=\pi\int_{2}^{3} f^2(x)\,dx

   Pentru o funcție continuă \( g:[a,b]\to\mathbb{R} \), volumul corpului obținut prin rotația graficului în jurul axei Ox este \( V=\pi\int_a^b g^2(x)\,dx \). Aici \( a=2,\ b=3 \) și \( g=f \).

2. 2

   Calculăm \( f^2(x) \) și o aducem la o formă integrabilă

   f^2(x)=\frac{(x-2)^2}{x^2-4x+5}=\frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+5}=1-\frac{1}{(x-2)^2+1}

   Numitorul \( x^2-4x+5 \) se scrie \( (x-2)^2+1 \). Numărătorul \( x^2-4x+4 \) este cu 1 mai mic decât numitorul, deci fracția este \( 1 \) minus \( \frac{1}{x^2-4x+5} \). Astfel obținem o integrală imediată: constanta 1 și o fracție de tip arctangentă.

3. 3

   Calculăm integrala

   V=\pi\int_2^3\left(1-\frac{1}{(x-2)^2+1}\right)dx=\pi\big(x-\operatorname{arctg}(x-2)\big)\Big|_2^3

   Primitiva lui 1 este x, iar primitiva lui \( \frac{1}{(x-2)^2+1} \) este \( \operatorname{arctg}(x-2) \), deoarece \( (\operatorname{arctg} u)'=\frac{u'}{u^2+1} \) cu \( u=x-2 \), \( u'=1 \).

4. 4

   Aplicăm limitele de integrare

   V=\pi\big[(3-\operatorname{arctg}1)-(2-\operatorname{arctg}0)\big]=\pi\left(1-\frac{\pi}{4}\right)

   La limita 3: \( 3-\operatorname{arctg}1=3-\frac{\pi}{4} \). La limita 2: \( 2-\operatorname{arctg}0=2 \). Diferența este \( 1-\frac{\pi}{4} \).

5. 5

   Aflăm m

   \pi\left(1-\frac{\pi}{m}\right)=\pi\left(1-\frac{\pi}{4}\right)\ \Rightarrow\ \frac{\pi}{m}=\frac{\pi}{4}\ \Rightarrow\ m=4

   Egalăm volumul calculat cu expresia din enunț. Împărțim la \( \pi \), apoi scădem 1 din ambele părți și obținem \( \frac{\pi}{m}=\frac{\pi}{4} \), de unde \( m=4 \), care este nenul.

Răspuns: m = 4