Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2026, model de subiect

Determinați numărul real \(x\) pentru care numerele \(x\), \(8\) și \(2x+1\) sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Metoda: Proprietatea progresiei aritmetice

1. 1

   Scriem condiția din progresia aritmetică

   8=\frac{x+(2x+1)}{2}

   Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (în afară de primul) este media aritmetică a vecinilor lui. Numerele sunt \(x\), \(8\), \(2x+1\), deci \(8\) este media dintre \(x\) și \(2x+1\). Obținem \(\frac{x+2x+1}{2}=8\).

2. 2

   Rezolvăm ecuația

   \frac{3x+1}{2}=8 \Rightarrow 3x+1=16 \Rightarrow 3x=15 \Rightarrow x=5

   Adunăm termenii de la numărător: \(x+2x+1=3x+1\). Înmulțim ambele părți cu \(2\) și obținem \(3x+1=16\). Scădem \(1\) și avem \(3x=15\), deci \(x=5\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   5,\ 8,\ 11

   Pentru \(x=5\) avem \(2x+1=11\). Șirul este \(5, 8, 11\), iar diferența dintre termeni este \(3\) de fiecare dată. Deci este o progresie aritmetică cu rația \(3\).

Răspuns: \(x=5\)

Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+1\) și \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=x+4\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \((f\circ g)(a)=-a\).

Metoda: Compunerea funcțiilor

1. 1

   Calculăm g(a) și (f∘g)(a)

   g(a)=a+4,\quad (f\circ g)(a)=f(g(a))=f(a+4)=2(a+4)+1=2a+9

   Compunerea \((f\circ g)(a)\) înseamnă \(f(g(a))\): mai întâi aplicăm \(g\) lui \(a\), apoi aplicăm \(f\) rezultatului. Deci \(g(a)=a+4\), iar în \(f(x)=2x+1\) înlocuim pe \(x\) cu \(a+4\): \(2(a+4)+1=2a+8+1=2a+9\).

2. 2

   Punem condiția (f∘g)(a) = −a și rezolvăm

   2a+9=-a \Rightarrow 3a=-9 \Rightarrow a=-3

   Condiția din enunț este \((f\circ g)(a)=-a\), deci \(2a+9=-a\). Mutăm termenii cu \(a\) în stânga: \(2a+a=-9\), adică \(3a=-9\), de unde \(a=-3\).

Răspuns: \(a=-3\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(2\log_5 x=\log_5(4x+5)\).

Metoda: Ecuații logaritmice, injectivitate

1. 1

   Condiții de existență și aducerea la un singur logaritm

   2\log_5 x=\log_5 x^2

   Logaritmul există doar pentru numere strict pozitive, deci \(x>0\) și \(4x+5>0\). Folosim formula \(n\log_a x=\log_a x^n\) și scriem \(2\log_5 x=\log_5 x^2\). Ecuația devine \(\log_5 x^2=\log_5(4x+5)\).

2. 2

   Egalăm argumentele logaritmilor

   x^2=4x+5 \iff x^2-4x-5=0

   Funcția logaritmică este injectivă: dacă \(\log_5 A=\log_5 B\), atunci \(A=B\). Deci \(x^2=4x+5\), adică \(x^2-4x-5=0\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul al doilea

   \Delta=16+20=36,\quad x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}\Rightarrow x_1=-1,\ x_2=5

   Avem \(a=1,\ b=-4,\ c=-5\). Calculăm \(\Delta=b^2-4ac=16+20=36\). Atunci \(x=\frac{4\pm6}{2}\), deci \(x=-1\) sau \(x=5\). Se poate și prin descompunere: \((x+1)(x-5)=0\).

4. 4

   Verificăm condiția de existență

   x>0 \Rightarrow x=-1\text{ nu convine},\ x=5\text{ convine}

   Condiția era \(x>0\). Valoarea \(x=-1\) nu o respectă, deoarece \(\log_5(-1)\) nu există, deci o eliminăm. Valoarea \(x=5\) respectă condiția, iar \(4\cdot5+5=25>0\). Verificare: \(2\log_5 5=2\) și \(\log_5 25=2\), deci egalitatea e adevărată.

Răspuns: x = 5

Se consideră mulțimea \(A=\{1,3,5,7,8\}\). Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor impară, se pot forma cu cifre din mulțimea \(A\).

Metoda: Regula produsului (numărare)

1. 1

   Alegem cifra zecilor

   1,3,5,7 \Rightarrow 4 \text{ moduri}

   Cifra zecilor trebuie să fie impară și să facă parte din \(A=\{1,3,5,7,8\}\). Cifrele impare din \(A\) sunt \(1,3,5,7\), iar \(8\) este pară și nu e permisă. Deci cifra zecilor se poate alege în \(4\) moduri.

2. 2

   Alegem cifra unităților

   5-1=4 \text{ moduri}

   Cifrele numărului trebuie să fie distincte, deci cifra unităților nu poate fi cea aleasă la zeci. Din cele \(5\) cifre ale lui \(A\) o excludem pe cea folosită, deci rămân \(4\) alegeri. Acest număr este același pentru fiecare alegere a cifrei zecilor (la unități poate apărea și 8).

3. 3

   Aplicăm regula produsului

   4\cdot 4=16

   Pentru fiecare dintre cele \(4\) alegeri ale cifrei zecilor avem câte \(4\) alegeri pentru unități, deci numărul total este produsul lor: \(4\cdot 4=16\) numere.

Răspuns: Se pot forma 16 numere.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,5)\) și \(B(3,4)\). Determinați coordonatele punctului \(C\) pentru care \(3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\).

Metoda: Vectori de poziție în reper cartezian

1. 1

   Scriem vectorii de poziție ai lui A și B

   \overrightarrow{OA}=5\vec j,\quad \overrightarrow{OB}=3\vec i+4\vec j

   Vectorul de poziție al unui punct \(M(x,y)\) este \(\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j\). Pentru \(A(0,5)\) avem \(0\vec i+5\vec j=5\vec j\), iar pentru \(B(3,4)\) avem \(3\vec i+4\vec j\).

2. 2

   Adunăm vectorii

   \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=3\vec i+(5+4)\vec j=3\vec i+9\vec j

   Vectorii se adună component cu component: la \(\vec i\) avem \(0+3=3\), iar la \(\vec j\) avem \(5+4=9\).

3. 3

   Aflăm vectorul OC

   \overrightarrow{OC}=\frac13\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\frac13\left(3\vec i+9\vec j\right)=\vec i+3\vec j

   Din \(3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) împărțim ambii membri la 3. Obținem \(\overrightarrow{OC}=\vec i+3\vec j\).

4. 4

   Citim coordonatele lui C

   C(1,3)

   Deoarece \(\overrightarrow{OC}=1\cdot\vec i+3\cdot\vec j\), coordonatele lui \(C\) sunt \(x=1\) și \(y=3\). Deci \(C(1,3)\), la fel ca în barem.

Răspuns: C(1,3)

Se consideră triunghiul \(ABC\), cu \(A=\frac{\pi}{2}\), \(C=\frac{\pi}{3}\) și \(AE=2\), unde \(E\) este punctul în care bisectoarea unghiului \(C\) intersectează latura \(AB\). Arătați că distanța de la punctul \(B\) la dreapta \(CE\) este egală cu \(2\sqrt{3}\).

Metoda: Triunghi isoscel și trigonometrie

1. 1

   Aflăm unghiurile și observăm triunghiul isoscel

   \widehat{ECB}=\frac{\pi}{6},\quad \widehat{EBC}=\frac{\pi}{6}\Rightarrow EB=EC

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), iar \(C=\frac{\pi}{3}\), deci \(B=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}\). Bisectoarea \(CE\) împarte unghiul \(C\) în două unghiuri egale, deci \(\widehat{ACE}=\widehat{ECB}=\frac{\pi}{6}\). Astfel, în triunghiul \(EBC\) avem \(\widehat{ECB}=\widehat{EBC}=\frac{\pi}{6}\), deci triunghiul este isoscel, cu \(EB=EC\).

2. 2

   Distanța de la B la CE devine CA

   d(B,CE)=d(C,BE)=CA

   În triunghiul isoscel \(EBC\) cu \(EB=EC\), aria se poate scrie în două moduri: \(\frac{CE\cdot d(B,CE)}{2}=\frac{BE\cdot d(C,BE)}{2}\). Cum \(CE=BE\), rezultă \(d(B,CE)=d(C,BE)\). Dreapta \(BE\) este dreapta \(AB\), iar \(CA\perp AB\), deci \(d(C,BE)=CA\). Rămâne să calculăm \(CA\).

3. 3

   Calculăm CA cu tangenta

   \operatorname{tg}\widehat{ACE}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{AC}\Rightarrow AC=2\sqrt{3}

   În triunghiul \(ACE\), dreptunghic în \(A\), tangenta unghiului \(\widehat{ACE}=\frac{\pi}{6}\) este cateta opusă supra cateta alăturată, adică \(\frac{AE}{AC}\). Cum \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) și \(AE=2\), obținem \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{AC}\), deci \(AC=2\sqrt{3}\). Prin urmare \(d(B,CE)=CA=2\sqrt{3}\).

Răspuns: Distanța de la \(B\) la dreapta \(CE\) este \(CA=2\sqrt{3}\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1-a \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax-2z=4 \\ x+y+(1-a)z=3 \\ 2x+y-2z=5 \end{cases}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(0))=2\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(0)

   A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(a\) cu \(0\) în matricea \(A(a)\). Elementul din stânga sus devine \(0\), iar elementul \(1-a\) de pe linia a doua devine \(1-0=1\). Facem asta pentru că determinantul cerut este al matricei \(A(0)\), nu al lui \(A(a)\).

2. 2

   Aplicăm regula triunghiului

   \det(A(0))=0\cdot1\cdot(-2)+0\cdot1\cdot2+(-2)\cdot1\cdot1-\big[(-2)\cdot1\cdot2+0\cdot1\cdot(-2)+0\cdot1\cdot1\big]

   Regula triunghiului: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe cele două „triunghiuri” paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe triunghiurile paralele cu ea. Prima sumă este \(0+0+(-2)=-2\). A doua sumă este \(-4+0+0=-4\). Alegem regula triunghiului pentru că este metoda standard pentru determinanți de ordin 3.

3. 3

   Calculăm rezultatul final

   \det(A(0))=-2-(-4)=-2+4=2

   Scădem a doua sumă din prima: \(-2-(-4)=2\). Același rezultat apare în barem, unde se scrie \(0-2+0+4-0-0=2\). Am obținut exact valoarea cerută, deci afirmația este demonstrată.

Răspuns: \(\det(A(0))=2\), deci afirmația este demonstrată.

Se consideră matricea \( A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1-a \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix} \), unde \( a \) este număr real. b) Determinați mulțimea numerelor reale \( a \) pentru care matricea \( A(a) \) este inversabilă.

Metoda: Determinantul și inversabilitatea matricei

1. 1

   Calculăm determinantul lui A(a)

   \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1-a \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}=a^2-3a+2

   Folosim regula lui Sarrus. Produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei: \( a\cdot 1\cdot(-2)=-2a \), \( 0\cdot(1-a)\cdot 2=0 \), \( (-2)\cdot 1\cdot 1=-2 \). Produsele pe diagonala secundară și paralelele ei: \( (-2)\cdot 1\cdot 2=-4 \), \( a\cdot(1-a)\cdot 1=a-a^2 \), \( 0\cdot 1\cdot(-2)=0 \). Determinantul este (suma primelor) minus (suma celorlalte): \( -2a-2-(-4+a-a^2)=a^2-3a+2 \).

2. 2

   Aflăm când determinantul este zero

   a^2-3a+2=0 \Rightarrow a=1 \text{ sau } a=2

   Matricea nu este inversabilă când \( \det(A(a))=0 \). Rezolvăm ecuația de gradul II: \( \Delta=9-8=1 \), deci \( a=\frac{3\pm1}{2} \), adică \( a=1 \) sau \( a=2 \). Se mai poate scrie \( a^2-3a+2=(a-1)(a-2) \).

3. 3

   Concluzia: mulțimea valorilor lui a

   a\in\mathbb{R}\setminus\{1,2\}

   Matricea \( A(a) \) este inversabilă dacă și numai dacă \( \det(A(a))\neq0 \), adică \( a\neq1 \) și \( a\neq2 \). Deci luăm toate numerele reale, mai puțin 1 și 2.

Răspuns: Matricea \( A(a) \) este inversabilă pentru \( a\in\mathbb{R}\setminus\{1,2\} \).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -2\\ 1 & 1 & 1-a\\ 2 & 1 & -2\end{pmatrix}\) și sistemul de ecuații \(\begin{cases} ax-2z=4\\ x+y+(1-a)z=3\\ 2x+y-2z=5\end{cases}\), unde \(a\) este număr real. c) Pentru \(a=2\), arătați că \(x_0z_0+y_0\ge 0\), pentru orice soluție \((x_0,y_0,z_0)\) a sistemului de ecuații, cu \(x_0, y_0\) și \(z_0\) numere reale.

Metoda: Rezolvarea sistemului prin substituție

1. 1

   Scriem sistemul pentru a = 2

   \begin{cases} 2x-2z=4\\ x+y-z=3\\ 2x+y-2z=5\end{cases}

   Înlocuim \(a=2\) în sistem. În a doua ecuație, \(1-a=-1\), deci coeficientul lui \(z\) este \(-1\).

2. 2

   Exprimăm x și y în funcție de z

   x=z+2,\quad y=1

   Prima ecuație \(2x-2z=4\) dă \(x-z=2\), deci \(x=z+2\). Din a doua ecuație, \(y=3-x+z=3-2=1\). Verificăm a treia: \(2x+y-2z=2(x-z)+y=4+1=5\), adevărat pentru orice \(z\). Deci a treia ecuație nu aduce nimic nou.

3. 3

   Scriem mulțimea soluțiilor

   (x_0,y_0,z_0)=(\alpha+2,\,1,\,\alpha),\ \alpha\in\mathbb{R}

   Notăm \(z_0=\alpha\), parametru real. Atunci \(x_0=\alpha+2\) și \(y_0=1\). Sistemul are o infinitate de soluții, ceea ce se potrivește cu faptul că determinantul este nul. Baremul notează soluțiile ca \((\alpha,1,\alpha-2)\), adică ia \(x_0=\alpha\); este aceeași mulțime de soluții, cu alt parametru.

4. 4

   Calculăm x₀z₀ + y₀ și obținem un pătrat

   x_0z_0+y_0=(\alpha+2)\alpha+1=\alpha^2+2\alpha+1=(\alpha+1)^2\ge 0

   Înlocuim soluția generală în expresie. Rezultă \(\alpha^2+2\alpha+1\), care este pătratul perfect \((\alpha+1)^2\). Un pătrat de număr real este mereu mai mare sau egal cu 0, deci inegalitatea este adevărată pentru orice soluție. (În forma din barem se obține \((\alpha-1)^2\), cu \(x_0=\alpha\), \(z_0=\alpha-2\).)

Răspuns: Pentru \(a=2\), soluțiile sunt \((\alpha+2,1,\alpha)\), iar \(x_0z_0+y_0=(\alpha+1)^2\ge 0\), pentru orice soluție.

Pe mulțimea \(M=(1,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=\dfrac{xy-1}{(x-1)(y-1)}\). a) Arătați că \(3*5=\dfrac{7}{4}\).

Metoda: Calcul direct prin substituție

1. 1

   Înlocuim x = 3 și y = 5 în formulă

   3*5=\frac{3\cdot 5-1}{(3-1)(5-1)}

   Legea ne spune cum se combină două numere: la numărător este produsul numerelor minus 1, iar la numitor produsul dintre fiecare număr minus 1. Punem 3 în locul lui x și 5 în locul lui y. Ambele numere sunt în \(M=(1,+\infty)\), deci operația este definită.

2. 2

   Calculăm numărătorul și numitorul

   3*5=\frac{14}{2\cdot 4}=\frac{14}{8}

   La numărător avem \(15-1=14\). La numitor avem \((3-1)(5-1)=2\cdot 4=8\). Rămâne o fracție pe care o putem simplifica.

3. 3

   Simplificăm fracția și încheiem

   \frac{14}{8}=\frac{7}{4}

   Împărțim numărătorul și numitorul la 2, cel mai mare divizor comun al lor. Obținem \(\dfrac{7}{4}\), adică exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(3*5=\dfrac{3\cdot 5-1}{(3-1)(5-1)}=\dfrac{14}{2\cdot 4}=\dfrac{7}{4}\), deci egalitatea este demonstrată.

Pe mulțimea \(M=(1,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=\dfrac{xy-1}{(x-1)(y-1)}\). b) Determinați \(x\in M\) pentru care \(x*x=3\).

Metoda: Rezolvarea unei ecuații cu lege de compoziție

1. 1

   Calculăm \(x*x\)

   x*x=\frac{x\cdot x-1}{(x-1)(x-1)}=\frac{x^2-1}{(x-1)^2}

   Înlocuim \(y\) cu \(x\) în definiția legii. La numărător obținem \(x^2-1\), iar la numitor \((x-1)^2\).

2. 2

   Simplificăm fracția

   x*x=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{x+1}{x-1}

   Numărătorul este o diferență de pătrate: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Cum \(x\in M\), avem \(x>1\), deci \(x-1\neq 0\) și putem simplifica prin \(x-1\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   \frac{x+1}{x-1}=3\Rightarrow x+1=3x-3\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2

   Ecuația \(x*x=3\) devine \(\frac{x+1}{x-1}=3\). Înmulțim cu \(x-1\), care este nenul, apoi izolăm pe \(x\).

4. 4

   Verificăm că soluția convine

   x=2\in(1,+\infty)=M,\qquad 2*2=\frac{2+1}{2-1}=3

   Soluția trebuie să fie în \(M\), adică \(x>1\). Cum \(2>1\), convine. Verificăm și direct: \(2*2=3\).

Răspuns: \(x=2\)

Pe mulțimea \(M=(1,+\infty)\) se definește legea de compoziție \(x*y=\dfrac{xy-1}{(x-1)(y-1)}\). Itemul 2. c) cere: Demonstrați că \((x*2)*x>2\), pentru orice \(x\in M\).

Metoda: Calcul direct și încadrare

1. 1

   Calculăm x * 2

   x*2=\frac{2x-1}{(x-1)(2-1)}=\frac{2x-1}{x-1}

   Înlocuim \(y=2\) în definiția legii: numărătorul devine \(x\cdot 2-1=2x-1\), iar numitorul \((x-1)(2-1)=x-1\). Facem asta întâi pentru că expresia \((x*2)*x\) se calculează începând cu paranteza.

2. 2

   Calculăm (x * 2) * x

   (x*2)*x=\frac{\frac{2x-1}{x-1}\cdot x-1}{\left(\frac{2x-1}{x-1}-1\right)(x-1)}=\frac{2x^2-2x+1}{x(x-1)}

   Notăm \(u=x*2=\frac{2x-1}{x-1}\) și calculăm \(u*x=\frac{ux-1}{(u-1)(x-1)}\). Numărătorul este \(\frac{2x^2-x}{x-1}-1=\frac{2x^2-2x+1}{x-1}\). Pentru numitor, \(u-1=\frac{2x-1-(x-1)}{x-1}=\frac{x}{x-1}\), deci \((u-1)(x-1)=x\). Împărțind, factorul \(x-1\) se simplifică și obținem \(\frac{2x^2-2x+1}{x(x-1)}\), exact ca în barem. Mai observăm că \(u-1=\frac{x}{x-1}>0\), deci \(u\in M\) și legea se poate aplica.

3. 3

   Scriem rezultatul ca 2 + o fracție

   \frac{2x^2-2x+1}{x(x-1)}=\frac{2x(x-1)+1}{x(x-1)}=2+\frac{1}{x(x-1)}

   Observăm că \(2x^2-2x=2x(x-1)\), deci numărătorul este \(2x(x-1)+1\). Împărțind la \(x(x-1)\), obținem \(2+\frac{1}{x(x-1)}\). Forma aceasta arată direct comparația cu 2.

4. 4

   Concluzia

   x>1\Rightarrow x(x-1)>0\Rightarrow \frac{1}{x(x-1)}>0\Rightarrow (x*2)*x=2+\frac{1}{x(x-1)}>2

   Pentru \(x\in M=(1,+\infty)\) avem \(x>0\) și \(x-1>0\), deci produsul \(x(x-1)\) este pozitiv. Atunci \(\frac{1}{x(x-1)}\) este pozitiv, iar \(2\) plus un număr pozitiv este mai mare decât 2. Inegalitatea este adevărată pentru orice \(x\in M\), deci am demonstrat cerința.

Răspuns: \((x*2)*x=\dfrac{2x^2-2x+1}{x(x-1)}=2+\dfrac{1}{x(x-1)}>2\), pentru orice \(x\in(1,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+\ln^2 x-x\ln x\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{(2-x)\ln x}{x}\), \(x\in(0,+\infty)\). b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției \(f\) în care tangenta la graficul funcției \(f\) este paralelă cu axa \(Ox\). c) Demonstrați că ecuația \(f(x)=0\) are soluție unică.

Metoda: Derivata și monotonia funcției

1. 1

   a) Calculăm derivata funcției

   f'(x)=1+\frac{2\ln x}{x}-\ln x-1

   Derivăm termen cu termen: \((x)'=1\), \((\ln^2 x)'=2\ln x\cdot\frac{1}{x}\) (derivata unei puteri compuse), iar \((x\ln x)'=\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1\), cu semnul minus în față. Obținem \(f'(x)=1+\frac{2\ln x}{x}-\ln x-1\).

2. 2

   a) Aducem la forma cerută

   f'(x)=\frac{2\ln x-x\ln x}{x}=\frac{(2-x)\ln x}{x}

   Termenii 1 și \(-1\) se reduc. Rămâne \(\frac{2\ln x}{x}-\ln x\). Aducem la numitor comun \(x\): \(\frac{2\ln x-x\ln x}{x}\). Dăm factor comun \(\ln x\) și obținem \(\frac{(2-x)\ln x}{x}\), \(x>0\), exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Condiția de tangentă paralelă cu Ox

   f'(a)=0,\ a>0

   Tangenta în punctul de abscisă \(a\) are panta \(f'(a)\). O dreaptă paralelă cu axa \(Ox\) are panta 0, deci cerem \(f'(a)=0\), cu \(a\in(0,+\infty)\).

4. 4

   b) Rezolvăm ecuația \(f'(a)=0\)

   \frac{(2-a)\ln a}{a}=0\Rightarrow a=1\ \text{sau}\ a=2

   Fracția este zero când numărătorul e zero (iar \(a>0\)). Deci \(2-a=0\), adică \(a=2\), sau \(\ln a=0\), adică \(a=1\). Ambele valori sunt în \((0,+\infty)\), deci convin. Abscisele sunt 1 și 2.

5. 5

   c) Semnul derivatei și monotonia

   f'\le0\text{ pe }(0,1],\ f'\ge0\text{ pe }[1,2],\ f'<0\text{ pe }(2,+\infty)

   Numitorul \(x\) este pozitiv, deci semnul lui \(f'\) este semnul lui \((2-x)\ln x\). Pe \((0,1)\): \(2-x>0\), \(\ln x<0\), deci \(f'<0\). Pe \((1,2)\): ambii factori pozitivi, \(f'>0\). Pe \((2,+\infty)\): \(2-x<0\), \(\ln x>0\), deci \(f'<0\). Așadar \(f\) este descrescătoare pe \((0,1]\), crescătoare pe \([1,2]\) și strict descrescătoare pe \((2,+\infty)\).

6. 6

   c) Concluzia: soluție unică

   f(1)=1>0,\ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty

   Calculăm \(f(1)=1+0-0=1\). Pe \((0,1]\) funcția scade, deci \(f(x)\ge f(1)=1>0\) acolo, iar pe \([1,2]\) crește de la 1, deci rămâne pozitivă. Prin urmare \(f\) nu se anulează pe \((0,2]\). Pe \((2,+\infty)\) este strict descrescătoare, continuă, cu \(f(2)>0\) și limita \(-\infty\) la infinit, deci se anulează exact o dată. Ecuația \(f(x)=0\) are soluție unică.

Răspuns: a) \(f'(x)=\frac{(2-x)\ln x}{x}\); b) abscisele sunt \(x=1\) și \(x=2\); c) \(f\) este pozitivă pe \((0,2]\), apoi strict descrescătoare pe \((2,+\infty)\) cu limita \(-\infty\), deci ecuația \(f(x)=0\) are soluție unică.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+\ln^2 x-x\ln x\). b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției \(f\) în care tangenta la graficul funcției \(f\) este paralelă cu axa \(Ox\).

Metoda: Derivata și tangenta orizontală

1. 1

   Condiția de tangentă paralelă cu Ox

   f'(a)=0,\quad a\in(0,+\infty)

   Tangenta în punctul \(A(a,f(a))\) are panta \(f'(a)\). O dreaptă paralelă cu axa \(Ox\) este orizontală, deci are panta 0. Așadar condiția este \(f'(a)=0\). Abscisa \(a\) trebuie să fie în domeniul funcției, adică \(a>0\).

2. 2

   Folosim derivata de la punctul a)

   f'(x)=\frac{(2-x)\ln x}{x}\ \Rightarrow\ \frac{(2-a)\ln a}{a}=0

   De la punctul a) știm că \(f'(x)=\frac{(2-x)\ln x}{x}\), pentru \(x>0\). Înlocuim \(x=a\) și egalăm cu 0 și obținem ecuația \(\frac{(2-a)\ln a}{a}=0\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   \frac{(2-a)\ln a}{a}=0\iff (2-a)\ln a=0\iff a=2\ \text{sau}\ a=1

   O fracție este 0 când numărătorul este 0, iar numitorul este nenul. Aici \(a>0\), deci \(a\neq 0\). Un produs este 0 când un factor este 0. Din \(2-a=0\) obținem \(a=2\). Din \(\ln a=0\) obținem \(a=1\). Ambele valori sunt strict pozitive, deci aparțin domeniului \((0,+\infty)\) și convin.

Răspuns: Tangenta la graficul lui \(f\) este paralelă cu axa \(Ox\) în punctele de abscise \(a=1\) și \(a=2\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+\ln^2 x-x\ln x\). c) Demonstrați că ecuația \(f(x)=0\) are soluție unică.

Metoda: Monotonie și continuitate (studiul semnului lui f')

1. 1

   Semnul derivatei pe fiecare interval

   f'(x)=\frac{(2-x)\ln x}{x},\quad x>0

   Pentru \(x>0\), numitorul este pozitiv, deci semnul lui \(f'\) este dat de produsul \((2-x)\ln x\). Cei doi factori își schimbă semnul în \(x=2\), respectiv \(x=1\), deci împărțim \((0,+\infty)\) în trei intervale. Pe \((0,1)\): \(\ln x<0\), \(2-x>0\), deci \(f'(x)<0\). Pe \((1,2)\): \(\ln x>0\), \(2-x>0\), deci \(f'(x)>0\). Pe \((2,+\infty)\): \(\ln x>0\), \(2-x<0\), deci \(f'(x)<0\).

2. 2

   Monotonia funcției f

   f\searrow \text{ pe }(0,1],\quad f\nearrow \text{ pe }[1,2],\quad f\searrow \text{ pe }[2,+\infty)

   Din semnul derivatei rezultă că f scade pe \((0,1]\), crește pe \([1,2]\) și scade din nou pe \([2,+\infty)\). Deci \(x=1\) este punct de minim local, iar \(x=2\) este punct de maxim local.

3. 3

   Valori importante ale lui f

   f(1)=1+0-0=1>0,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty

   Calculăm \(f(1)=1+\ln^2 1-1\cdot\ln 1=1\). Acesta este minimul local, deci \(f(x)\ge 1>0\) pe tot intervalul \((0,2]\): pe \((0,1]\) f scade spre valoarea 1, iar pe \([1,2]\) crește de la 1. Deci pe \((0,2]\) f nu se anulează. Pe \([2,+\infty)\) f este strict descrescătoare, iar \(f(2)\ge f(1)>0\). Cum \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\) (termenul \(-x\ln x\) domină), f ia și valori negative.

4. 4

   Concluzie: soluție unică

   f(2)>0,\ f\text{ continuă și strict descrescătoare pe }[2,+\infty),\ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty

   Pe \((0,2]\) avem \(f>0\), deci nu există soluții. Pe \([2,+\infty)\), f este continuă și strict descrescătoare, trece de la o valoare pozitivă \(f(2)\) la \(-\infty\), deci se anulează o dată (proprietatea lui Darboux), și o singură dată din cauza monotoniei stricte. Prin urmare ecuația \(f(x)=0\) are soluție unică.

Răspuns: Ecuația \(f(x)=0\) are soluție unică, situată în intervalul \((2,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-2+\sqrt{x^2+4}\). Arătați că \(\int_0^3 \left(f(x)-\sqrt{x^2+4}\right)dx=3\).

Metoda: Integrare directă a unui polinom

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-\sqrt{x^2+4}=x^2-2+\sqrt{x^2+4}-\sqrt{x^2+4}=x^2-2

   Înlocuim \(f(x)\) cu formula lui. Radicalul \(\sqrt{x^2+4}\) apare o dată cu plus și o dată cu minus, deci se reduce. Facem asta ca să evităm o integrală cu radical, mult mai grea. Rămâne \(x^2-2\), iar integrala devine \(\int_0^3 (x^2-2)\,dx\).

2. 2

   Aflăm o primitivă și aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_0^3 (x^2-2)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x\right)\Big|_0^3

   Primitiva lui \(x^2\) este \(\frac{x^3}{3}\), iar a constantei \(-2\) este \(-2x\). Apoi, conform formulei Leibniz-Newton, calculăm valoarea primitivei în limita de sus (3) minus valoarea în limita de jos (0).

3. 3

   Calculăm valorile și obținem rezultatul

   \left(\frac{3^3}{3}-2\cdot 3\right)-\left(\frac{0^3}{3}-0\right)=9-6=3

   Pentru \(x=3\): \(\frac{27}{3}-6=9-6=3\). Pentru \(x=0\) valoarea este 0. Diferența este \(3-0=3\), exact ce trebuia arătat, la fel ca în barem.

Răspuns: \(\int_0^3 \left(f(x)-\sqrt{x^2+4}\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x\right)\Big|_0^3=9-6=3\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-2+\sqrt{x^2+4}\). b) Arătați că \(\int_0^{\sqrt{5}} \frac{x}{f(x)-x^2+2}\,dx=1\).

Metoda: Integrare prin recunoașterea derivatei

1. 1

   Simplificăm numitorul

   f(x)-x^2+2=\left(x^2-2+\sqrt{x^2+4}\right)-x^2+2=\sqrt{x^2+4}

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia dată. Termenii \(x^2\) și \(-x^2\) se reduc, la fel \(-2\) și \(+2\). Rămâne doar radicalul. Astfel integrala devine mult mai simplă: \(\int_0^{\sqrt{5}} \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\,dx\).

2. 2

   Recunoaștem derivata de sub radical

   \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{(x^2+4)'}{2\sqrt{x^2+4}}=\left(\sqrt{x^2+4}\right)'

   Derivata lui \(x^2+4\) este \(2x\), deci \(x=\frac{(x^2+4)'}{2}\). Cum \(\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\), fracția este exact derivata lui \(\sqrt{x^2+4}\). Deci \(\sqrt{x^2+4}\) este o primitivă a funcției de integrat.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_0^{\sqrt{5}}\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=\sqrt{x^2+4}\,\Big|_0^{\sqrt{5}}=\sqrt{5+4}-\sqrt{0+4}=3-2=1

   Integrala definită este diferența valorilor primitivei în capetele intervalului. Pentru \(x=\sqrt{5}\) avem \(x^2=5\), deci \(\sqrt{9}=3\). Pentru \(x=0\) avem \(\sqrt{4}=2\). Rezultă \(3-2=1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^{\sqrt{5}} \frac{x}{f(x)-x^2+2}\,dx=\sqrt{x^2+4}\Big|_0^{\sqrt{5}}=3-2=1\), deci egalitatea este demonstrată.

Subiectul III, 2. c): Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-2+\sqrt{x^2+4}\). Demonstrați că \(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\int_0^x F(t)\,dt=0\), unde \(F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) este primitiva funcției \(f\) pentru care \(F(0)=0\).

Metoda: Regula lui l'Hospital

1. 1

   Recunoaștem nedeterminarea 0/0

   \int_0^0 F(t)\,dt=0,\quad 0^2=0

   Pentru x → 0, integrala \(\int_0^x F(t)dt\) tinde la 0, pentru că limitele de integrare devin egale, iar F este continuă (este primitivă). Numitorul \(x^2\) tinde și el la 0. Rezultă nedeterminarea \(\frac{0}{0}\), deci putem aplica regula lui l'Hospital.

2. 2

   Aplicăm l'Hospital prima dată

   \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x F(t)dt}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\left(\int_0^x F(t)dt\right)'}{(x^2)'}=\lim_{x\to 0}\frac{F(x)}{2x}

   Derivata unei integrale cu limita superioară x este chiar funcția din integral calculată în x, adică \(\left(\int_0^x F(t)dt\right)'=F(x)\). Derivata lui \(x^2\) este \(2x\). Obținem \(\frac{F(x)}{2x}\).

3. 3

   Verificăm din nou nedeterminarea

   F(0)=0,\quad 2\cdot 0=0

   Noua fracție \(\frac{F(x)}{2x}\) are la x → 0 numărătorul \(F(0)=0\), din enunț, iar numitorul 0. Este din nou 0/0, deci aplicăm l'Hospital încă o dată.

4. 4

   Aplicăm l'Hospital a doua oară

   \lim_{x\to 0}\frac{F(x)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{F'(x)}{(2x)'}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{2}

   Derivăm numărătorul și numitorul. Deoarece F este primitiva lui f, avem \(F'(x)=f(x)\), iar \((2x)'=2\). Limita devine \(\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{2}\).

5. 5

   Calculăm limita finală

   \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{2}=\frac{f(0)}{2}=\frac{0^2-2+\sqrt{0^2+4}}{2}=\frac{-2+2}{2}=0

   Funcția f este continuă pe \(\mathbb{R}\), deci limita în 0 este f(0). Calculăm \(f(0)=0-2+\sqrt{4}=-2+2=0\). Rezultă că limita este \(\frac{0}{2}=0\), ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\int_0^x F(t)dt=\frac{f(0)}{2}=0\), deci egalitatea este demonstrată.