Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2026, simulare (a doua) (varianta 02)

Determinați termenul \(a_2\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n\ge1}\), în care \(a_1=6\) și \(a_3=30\).

Metoda: Media aritmetică a termenilor vecini

1. 1

   Folosim proprietatea termenului din mijloc

   a_2=\frac{a_1+a_3}{2}

   Într-o progresie aritmetică, \(a_2=a_1+r\) și \(a_3=a_1+2r\). Adunând \(a_1\) cu \(a_3\) obținem \(2a_1+2r=2a_2\), deci \(a_2\) este media aritmetică a lui \(a_1\) și \(a_3\). Așa ajungem la rezultat fără să calculăm rația.

2. 2

   Înlocuim valorile și calculăm

   a_2=\frac{6+30}{2}=\frac{36}{2}=18

   Punem \(a_1=6\) și \(a_3=30\) în formulă. Suma este \(36\), iar jumătatea ei este \(18\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   r=18-6=12,\quad a_3=18+12=30

   Rația rezultată este \(r=12\). De la \(a_2=18\) mai adăugăm o dată rația și obținem \(30\), adică exact \(a_3\) dat în enunț. Deci rezultatul este corect.

Răspuns: \(a_2=18\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax^2+2ax-1\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care \((f\circ f)(0)=0\).

Metoda: Compunerea funcțiilor, calcul direct

1. 1

   Calculăm f(0)

   f(0)=a\cdot 0^2+2a\cdot 0-1=-1

   Prin definiție, \((f\circ f)(0)=f(f(0))\). De aceea calculăm întâi valoarea interioară \(f(0)\), înlocuind \(x=0\) în formula funcției. Termenii care conțin pe \(x\) dispar, iar rămâne \(-1\), indiferent de \(a\).

2. 2

   Calculăm f(f(0)) = f(-1)

   (f\circ f)(0)=f(f(0))=f(-1)=a(-1)^2+2a(-1)-1=a-2a-1=-a-1

   Cum \(f(0)=-1\), avem \((f\circ f)(0)=f(-1)\). Înlocuim \(x=-1\) în formula lui \(f\): \((-1)^2=1\), deci primul termen este \(a\), al doilea este \(-2a\). Rezultă \(-a-1\), pentru orice număr real \(a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația și aflăm a

   -a-1=0 \Rightarrow a=-1

   Condiția din enunț este \((f\circ f)(0)=0\). Deci egalăm expresia găsită cu 0: \(-a-1=0\). Mutăm 1 în partea dreaptă: \(-a=1\), deci \(a=-1\). Verificare: pentru \(a=-1\), \(f(x)=-x^2-2x-1\), \(f(0)=-1\), \(f(-1)=-1+2-1=0\). Corect.

Răspuns: \(a=-1\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_2\left(2x^2-4x+3\right)=2\log_2 x\).

Metoda: Ecuații logaritmice, egalarea argumentelor

1. 1

   Condiții de existență

   x>0,\quad 2x^2-4x+3>0

   Logaritmul există doar pentru argumente strict pozitive. Din \(\log_2 x\) obținem \(x>0\). Pentru \(2x^2-4x+3\) avem \(\Delta=16-24=-8<0\) și coeficientul lui \(x^2\) pozitiv, deci expresia este pozitivă pentru orice \(x\) real. Rămâne doar condiția \(x>0\).

2. 2

   Aducem membrul drept la un singur logaritm

   2\log_2 x=\log_2 x^2

   Folosim proprietatea \(n\log_a b=\log_a b^n\). Atenție: este corect aici pentru că \(x>0\). Ecuația devine \(\log_2(2x^2-4x+3)=\log_2 x^2\).

3. 3

   Egalăm argumentele

   2x^2-4x+3=x^2 \Rightarrow x^2-4x+3=0

   Funcția logaritmică este injectivă, deci din \(\log_2 A=\log_2 B\) rezultă \(A=B\). Trecem \(x^2\) în stânga și obținem o ecuație de gradul II.

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   \Delta=16-12=4,\quad x=\dfrac{4\pm 2}{2}\Rightarrow x_1=1,\ x_2=3

   Calculăm discriminantul \(\Delta=b^2-4ac=16-12=4\), apoi \(x=\frac{4\pm2}{2}\). Obținem \(x=1\) sau \(x=3\). Putem și factoriza: \((x-1)(x-3)=0\).

5. 5

   Verificăm condiția de existență

   x=1>0,\ x=3>0 \Rightarrow S=\{1,3\}

   Ambele valori sunt strict pozitive, deci respectă \(x>0\). Verificare: pentru \(x=1\): \(2-4+3=1\), iar \(\log_2 1=0=2\log_2 1\). Pentru \(x=3\): \(18-12+3=9\), \(\log_2 9=2\log_2 3\). Ambele convin.

Răspuns: \(x=1\) sau \(x=3\), adică \(S=\{1,3\}\).

Se consideră mulțimea \(A=\{2,4,5,6\}\). Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea \(A\).

Metoda: Principiul multiplicării (numărare)

1. 1

   Alegem cifra unităților

   \text{cifra unităților} \in \{2,4,6\} \Rightarrow 3 \text{ moduri}

   Un număr este par dacă ultima cifră este pară. În mulțimea \(A\) cifrele pare sunt \(2\), \(4\) și \(6\), deci cifra unităților se poate alege în \(3\) moduri. Începem cu ea pentru că are condiția cea mai strictă.

2. 2

   Alegem cifra zecilor

   4-1=3 \text{ moduri}

   Cifrele trebuie să fie distincte. Din cele \(4\) cifre ale mulțimii am folosit una pentru unități, deci pentru zeci rămân \(3\) cifre (oricare dintre ele, pară sau impară). Atenție: aici nu mai contează paritatea.

3. 3

   Alegem cifra sutelor

   4-2=2 \text{ moduri}

   Am folosit deja două cifre (unități și zeci), iar cifrele sunt distincte, deci pentru sute rămân \(2\) cifre. Cifra sutelor nu poate fi \(0\), dar \(0\) nu este în mulțimea \(A\), deci nu avem probleme.

4. 4

   Aplicăm regula produsului

   3\cdot 3\cdot 2=18

   Pentru fiecare alegere a unităților avem \(3\) alegeri pentru zeci, iar pentru fiecare dintre ele \(2\) alegeri pentru sute. Numărul total se obține înmulțind numărul de moduri la fiecare pas.

Răspuns: Se pot forma \(18\) numere.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(6,4)\) și \(B(1,3)\). Determinați coordonatele punctului \(C\) pentru care \(2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\).

Metoda: Vectori în reperul cartezian

1. 1

   Scriem vectorul OA

   \overrightarrow{OA}=6\vec{i}+4\vec{j}

   Punctul O este originea reperului, adică \(O(0,0)\). Vectorul de poziție \(\overrightarrow{OA}\) are coordonatele chiar coordonatele punctului A: \(x_A-0=6\) și \(y_A-0=4\).

2. 2

   Scriem vectorul BC cu necunoscutele lui C

   \overrightarrow{BC}=(x_C-1)\vec{i}+(y_C-3)\vec{j}

   Coordonatele vectorului \(\overrightarrow{BC}\) se obțin scăzând coordonatele originii B din cele ale extremității C: \(x_C-x_B\) și \(y_C-y_B\), cu \(B(1,3)\).

3. 3

   Împărțim relația la 2

   \overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}=3\vec{i}+2\vec{j}

   Din \(2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\) obținem \(\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{OA}\). Înmulțim coordonatele lui OA cu \(\frac12\): \(\frac12\cdot6=3\) și \(\frac12\cdot4=2\).

4. 4

   Egalăm coordonatele și aflăm C

   x_C-1=3,\; y_C-3=2 \Rightarrow C(4,5)

   Doi vectori sunt egali când au coordonatele egale. Din \(x_C-1=3\) obținem \(x_C=4\), iar din \(y_C-3=2\) obținem \(y_C=5\). Deci \(C(4,5)\). Verificare: \(\overrightarrow{BC}=(4-1,5-3)=(3,2)\), iar dublul este (6,4), adică \(\overrightarrow{OA}\).

Răspuns: C(4,5)

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AC = 6\) și \(\operatorname{tg} C = \frac{1}{3}\). Arătați că raza cercului circumscris triunghiului \(ABC\) este egală cu \(\sqrt{10}\).

Metoda: Tangenta în triunghi dreptunghic

1. 1

   Aflăm cateta AB din tangentă

   \operatorname{tg} C=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{AB}{6}=\frac{1}{3}\Rightarrow AB=2

   În triunghiul dreptunghic \(ABC\), tangenta unghiului \(C\) este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată: \(\operatorname{tg} C=\frac{AB}{AC}\). Cunoaștem \(AC=6\) și \(\operatorname{tg} C=\frac{1}{3}\), deci \(\frac{AB}{6}=\frac{1}{3}\). Rezultă \(AB=\frac{6}{3}=2\).

2. 2

   Aflăm ipotenuza BC cu teorema lui Pitagora

   BC^2=AB^2+AC^2=2^2+6^2=40\Rightarrow BC=\sqrt{40}=2\sqrt{10}

   Ipotenuza \(BC\) se află cu teorema lui Pitagora: \(BC^2=AB^2+AC^2=4+36=40\). Deci \(BC=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}\).

3. 3

   Raza cercului circumscris

   R=\frac{BC}{2}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}

   Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci ipotenuza este diametru. Așadar \(R=\frac{BC}{2}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(AB=2\), \(BC=2\sqrt{10}\) și \(R=\frac{BC}{2}=\sqrt{10}\), deci afirmația este demonstrată.

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1-2a & a & 0\\ 2a & 1-a & 0\\ 0 & 0 & 1-3a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=4\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(a\) cu 1: \(1-2a=1-2=-1\), \(a=1\), \(2a=2\), \(1-a=0\), \(1-3a=1-3=-2\). Facem asta pentru că determinantul cerut este al matricei \(A(1)\), deci avem nevoie de elementele ei concrete.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(1))=\begin{vmatrix}-1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2\end{vmatrix}=0+0+0-0-0-(-4)=4

   Aplicăm regula lui Sarrus. Produsele de pe diagonala principală și paralelele ei sunt: \((-1)\cdot 0\cdot(-2)=0\), \(1\cdot 0\cdot 0=0\), \(0\cdot 2\cdot 0=0\). Cele de pe diagonala secundară și paralelele ei sunt: \(0\cdot 0\cdot 0=0\), \((-1)\cdot 0\cdot 0=0\), iar \(1\cdot 2\cdot(-2)=-4\). Determinantul este suma primelor trei minus suma celorlalte trei: \(0-(-4)=4\), deci am arătat ce se cerea.

Răspuns: \(\det(A(1))=4\)

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1-2a & a & 0\\ 2a & 1-a & 0\\ 0 & 0 & 1-3a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. b) Arătați că \(A(a)\cdot A(b)=A(a+b-3ab)\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\).

Metoda: Produsul a două matrice

1. 1

   Scriem produsul și calculăm blocul de sus

   A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1-2a & a & 0\\ 2a & 1-a & 0\\ 0 & 0 & 1-3a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-2b & b & 0\\ 2b & 1-b & 0\\ 0 & 0 & 1-3b\end{pmatrix}

   Fiecare element al produsului se obține înmulțind o linie din prima matrice cu o coloană din a doua și adunând. Cum ultima linie și ultima coloană conțin zerouri, produsul va avea tot structura: bloc \(2\times2\) plus un element în colțul de jos. Elementul \((1,1)\) este \((1-2a)(1-2b)+a\cdot 2b=1-2a-2b+4ab+2ab\). Elementul \((1,2)\) este \((1-2a)b+a(1-b)=b-2ab+a-ab\).

2. 2

   Completăm restul elementelor

   A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1-2a-2b+6ab & a+b-3ab & 0\\ 2a+2b-6ab & 1-a-b+3ab & 0\\ 0 & 0 & 1-3a-3b+9ab\end{pmatrix}

   Elementul \((1,2)\) este \(a+b-3ab\). Elementul \((2,1)\) este \(2a(1-2b)+(1-a)2b=2a-4ab+2b-2ab=2a+2b-6ab\). Elementul \((2,2)\) este \(2ab+(1-a)(1-b)=2ab+1-a-b+ab=1-a-b+3ab\). Elementul \((3,3)\) este \((1-3a)(1-3b)=1-3a-3b+9ab\). Restul elementelor sunt \(0\).

3. 3

   Scoatem factor comun și recunoaștem \(A(a+b-3ab)\)

   A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1-2t & t & 0\\ 2t & 1-t & 0\\ 0 & 0 & 1-3t\end{pmatrix}=A(t),\quad t=a+b-3ab

   Notăm \(t=a+b-3ab\). Atunci \(1-2a-2b+6ab=1-2t\), \(a+b-3ab=t\), \(2a+2b-6ab=2t\), \(1-a-b+3ab=1-t\) și \(1-3a-3b+9ab=1-3t\). Deci fiecare element are exact forma din definiția lui \(A(t)\). Rezultă \(A(a)\cdot A(b)=A(a+b-3ab)\), pentru orice \(a,b\) reali.

Răspuns: Am obținut \(A(a)\cdot A(b)=A(a+b-3ab)\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\), ceea ce trebuia demonstrat.

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1-2a & a & 0\\ 2a & 1-a & 0\\ 0 & 0 & 1-3a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. c) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(A(1)\cdot A(a)+A(5)=2A(4)\).

Metoda: Folosirea regulii de compunere

1. 1

   Simplificăm produsul \(A(1)\cdot A(a)\)

   A(1)\cdot A(a)=A(1+a-3\cdot 1\cdot a)=A(1-2a)

   Din punctul b) știm că \(A(a)\cdot A(b)=A(a+b-3ab)\) pentru orice numere reale. Luăm \(a=1\) și \(b=a\): obținem \(1+a-3a=1-2a\). Astfel produsul a două matrice devine o singură matrice de aceeași formă.

2. 2

   Simplificăm \(2A(4)-A(5)\)

   2A(4)-A(5)=A(3)

   Scriem ecuația ca \(A(1-2a)=2A(4)-A(5)\). Calculăm direct matricele: elementele lui \(A(x)\) sunt liniare în x. Elementul de pe poziția (1,1) este \(1-2x\): pentru \(2A(4)-A(5)\) obținem \(2(1-8)-(1-10)=-14+9=-5=1-2\cdot3\). La fel, poziția (1,2) dă \(2\cdot4-5=3\), poziția (2,1) dă \(2\cdot8-10=6=2\cdot3\), poziția (2,2) dă \(2(1-4)-(1-5)=-6+4=-2=1-3\), iar poziția (3,3) dă \(2(1-12)-(1-15)=-22+14=-8=1-9\). Deci toate coincid cu \(A(3)\). Merge așa pentru că \(A(x)=B+xC\), iar \(2(B+4C)-(B+5C)=B+3C\).

3. 3

   Egalăm parametrii și aflăm \(a\)

   A(1-2a)=A(3)\Rightarrow 1-2a=3\Rightarrow a=-1

   Ecuația devine \(A(1-2a)=A(3)\). Două matrice \(A(x)\) și \(A(y)\) sunt egale doar dacă parametrii coincid (de exemplu, elementul de pe poziția (1,2) este chiar parametrul). Deci \(1-2a=3\), de unde \(-2a=2\), adică \(a=-1\).

Răspuns: \(a=-1\)

Se consideră polinomul \(f = mX^4 - mX^2 + X + 1\), unde \(m\) este număr real nenul. a) Arătați că \(f(-1) = 0\), pentru orice număr real nenul \(m\).

Metoda: Calculul valorii polinomului în -1

1. 1

   Înlocuim X cu -1 în polinom

   f(-1)=m\cdot(-1)^4-m\cdot(-1)^2+(-1)+1

   Valoarea polinomului în punctul \(-1\) se obține scriind \(-1\) în locul lui \(X\) peste tot. Punem \(-1\) între paranteze, ca semnul minus să fie ridicat corect la putere. Ceea ce vrem să arătăm este că rezultatul nu depinde de \(m\).

2. 2

   Calculăm puterile și reducem termenii

   f(-1)=m-m-1+1=0

   Puterea pară a lui \(-1\) dă \(+1\): \((-1)^4=1\) și \((-1)^2=1\). Deci \(f(-1)=m\cdot 1-m\cdot 1-1+1=m-m-1+1\). Termenii \(m\) și \(-m\) se reduc, la fel \(-1\) și \(+1\), deci rămâne \(0\). Rezultatul nu depinde de \(m\), deci \(f(-1)=0\) pentru orice \(m\) real nenul. Asta înseamnă și că \(-1\) este rădăcină a polinomului.

Răspuns: f(-1)=m-m-1+1=0, pentru orice număr real nenul m.

Se consideră polinomul \(f = mX^4 - mX^2 + X + 1\), unde \(m\) este număr real nenul. b) Determinați numărul real nenul \(m\) pentru care restul împărțirii polinomului \(f\) la polinomul \(g = X + 2\) este egal cu 11.

Metoda: Teorema restului

1. 1

   Aflăm restul prin teorema restului

   r = f(-2)

   Teorema restului spune că restul împărțirii lui \(f\) la \(X-a\) este \(f(a)\). Aici \(g = X+2 = X-(-2)\), deci \(a=-2\) și restul este \(f(-2)\). Gradul restului este mai mic decât gradul lui \(g\), adică restul este constant.

2. 2

   Calculăm \(f(-2)\)

   f(-2)=m\cdot(-2)^4-m\cdot(-2)^2+(-2)+1=16m-4m-1=12m-1

   Înlocuim \(X=-2\) în \(f\). Avem \((-2)^4=16\) și \((-2)^2=4\). Atunci \(16m-4m=12m\), iar \(-2+1=-1\). Deci restul este \(12m-1\), pentru orice \(m\) real nenul.

3. 3

   Egalăm restul cu 11 și aflăm \(m\)

   12m-1=11 \Rightarrow 12m=12 \Rightarrow m=1

   Problema cere ca restul să fie 11, deci punem \(12m-1=11\). Adunăm 1 în ambele părți și obținem \(12m=12\), deci \(m=1\). Valoarea este nenulă, deci convine.

Răspuns: m = 1

Se consideră polinomul \(f = mX^4 - mX^2 + X + 1\), unde \(m\) este număr real nenul. c) Determinați numărul real nenul \(m\) pentru care \(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 = 1\), unde \(x_1, x_2, x_3\) și \(x_4\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).

Metoda: Relațiile lui Viète

1. 1

   Scriem relațiile lui Viète

   x_1+x_2+x_3+x_4=0,\quad \sum x_ix_jx_k=-\frac{1}{m},\quad x_1x_2x_3x_4=\frac{1}{m}

   Pentru \(f = mX^4 + 0\cdot X^3 - mX^2 + X + 1\) avem \(a_4=m\), \(a_3=0\), \(a_2=-m\), \(a_1=1\), \(a_0=1\). Suma rădăcinilor este \(-a_3/a_4=0\). Suma produselor luate câte trei este \(-a_1/a_4=-1/m\). Produsul rădăcinilor este \(a_0/a_4=1/m\), diferit de 0, deci nicio rădăcină nu este 0.

2. 2

   Exprimăm \(x_i^3\) folosind ecuația

   m x_i^4 - m x_i^2 + x_i + 1 = 0 \;\Rightarrow\; m x_i^3 - m x_i + 1 + \frac{1}{x_i} = 0

   Fiecare rădăcină verifică \(f(x_i)=0\). Cum \(x_i\ne0\), împărțim egalitatea la \(x_i\) și obținem \(m x_i^3 - m x_i + 1 + \frac{1}{x_i}=0\). Rezultă \(m x_i^3 = m x_i - 1 - \frac{1}{x_i}\).

3. 3

   Adunăm cele patru relații

   m(x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3)=m(x_1+x_2+x_3+x_4)-4-\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}+\frac1{x_4}\right)

   Adunăm relațiile \(m x_i^3 = m x_i - 1 - \frac{1}{x_i}\) pentru \(i=1,2,3,4\). Cei patru de \(-1\) dau \(-4\).

4. 4

   Calculăm suma inverselor

   \frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}+\frac1{x_4}=\frac{\sum x_ix_jx_k}{x_1x_2x_3x_4}=\frac{-1/m}{1/m}=-1

   Aducem la numitor comun: numărătorul este suma produselor câte trei, iar numitorul este produsul tuturor rădăcinilor. Raportul este \((-1/m):(1/m)=-1\).

5. 5

   Aflăm m

   m\cdot 1 = 0 - 4 - (-1) = -3 \;\Rightarrow\; m=-3

   Din enunț suma cuburilor este 1, deci partea stângă devine \(m\cdot1=m\). În dreapta avem \(0-4-(-1)=-3\). Deci \(m=-3\), valoare nenulă, deci convine. Coincide cu baremul.

Răspuns: \(m=-3\)

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x+2x+1}{x+1}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2}\), \(x\in(-1,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui raport de funcții

1. 1

   Alegem formula de derivare a câtului

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția \(f\) are forma \(\frac{u}{v}\), cu \(u(x)=e^x+2x+1\) și \(v(x)=x+1\). Pe \((-1,+\infty)\) numitorul \(v(x)=x+1\) este strict pozitiv, deci câtul este bine definit și derivabil. De aceea putem aplica formula derivării câtului.

2. 2

   Calculăm derivatele lui u și v

   u'(x)=e^x+2,\quad v'(x)=1

   Derivata lui \(e^x\) este \(e^x\), derivata lui \(2x\) este \(2\), iar derivata constantei \(1\) este \(0\). Pentru \(v=x+1\) obținem \(v'=1\).

3. 3

   Aplicăm formula

   f'(x)=\frac{(e^x+2)(x+1)-(e^x+2x+1)\cdot 1}{(x+1)^2}

   Înlocuim în formulă: \(u'v=(e^x+2)(x+1)\), iar \(uv'=(e^x+2x+1)\cdot 1\). Numitorul este \(v^2=(x+1)^2\).

4. 4

   Desfacem parantezele și simplificăm

   f'(x)=\frac{xe^x+e^x+2x+2-e^x-2x-1}{(x+1)^2}=\frac{xe^x+1}{(x+1)^2}

   Desfacem: \((e^x+2)(x+1)=xe^x+e^x+2x+2\). Scădem \(e^x+2x+1\) și semnele se schimbă. Termenii \(e^x\) și \(2x\) se reduc, iar din \(2-1\) rămâne \(1\). Obținem \(xe^x+1\) la numărător, adică exact forma cerută, pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\).

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2}\), pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x+2x+1}{x+1}\). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\).

Metoda: Ecuația tangentei la grafic

1. 1

   Calculăm f(0)

   f(0)=\frac{e^0+2\cdot 0+1}{0+1}=\frac{1+0+1}{1}=2

   Punctul de tangență are abscisa 0, iar ordonata lui este f(0). Înlocuim x=0 în formula funcției. Folosim faptul că \(e^0=1\). Obținem f(0)=2, deci punctul de tangență este (0, 2).

2. 2

   Calculăm f'(0)

   f'(x)=\frac{xe^x+1}{(x+1)^2}\Rightarrow f'(0)=\frac{0\cdot e^0+1}{(0+1)^2}=\frac{1}{1}=1

   Panta tangentei într-un punct este valoarea derivatei în acel punct. La punctul a) am arătat că \(f'(x)=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2}\). Înlocuim x=0: numărătorul este \(0\cdot 1+1=1\), iar numitorul este \(1^2=1\). Rezultă f'(0)=1.

3. 3

   Scriem ecuația tangentei

   y-f(0)=f'(0)(x-0)\Rightarrow y-2=1\cdot x\Rightarrow y=x+2

   Înlocuim în formula tangentei f(0)=2 și f'(0)=1. Din \(y-2=x\) obținem \(y=x+2\). Este exact rezultatul din barem.

Răspuns: Ecuația tangentei este \(y=x+2\).

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x+2x+1}{x+1}\). c) Demonstrați că funcția \(f\) este strict crescătoare.

Metoda: Semnul derivatei întâi

1. 1

   Reținem derivata și stabilim ce trebuie arătat

   f'(x)=\frac{xe^x+1}{(x+1)^2},\quad x\in(-1,+\infty)

   De la punctul a) știm că \(f'(x)=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2}\). Funcția este strict crescătoare dacă \(f'(x)>0\) pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\). Numitorul \((x+1)^2\) este pozitiv pe acest interval, deoarece \(x+1>0\). Deci semnul lui \(f'\) depinde doar de numărătorul \(xe^x+1\), iar trebuie să arătăm că \(xe^x+1>0\).

2. 2

   Definim funcția ajutătoare g

   g:[-1,+\infty)\to\mathbb{R},\quad g(x)=xe^x+1

   Numărătorul \(xe^x+1\) nu are un semn evident, pentru că pentru \(x<0\) termenul \(xe^x\) este negativ. Notăm numărătorul cu \(g(x)=xe^x+1\) și îl studiem separat, prin monotonie. Luăm domeniul \([-1,+\infty)\) ca să putem calcula valoarea în \(-1\).

3. 3

   Arătăm că g este crescătoare

   g'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x\ge 0,\ \forall x\in[-1,+\infty)

   Derivăm \(g\) cu regula produsului: \((xe^x)'=1\cdot e^x+x\cdot e^x\), deci \(g'(x)=(x+1)e^x\). Pentru \(x\ge -1\) avem \(x+1\ge 0\), iar \(e^x>0\) întotdeauna. Rezultă \(g'(x)\ge 0\), adică \(g\) este crescătoare pe \([-1,+\infty)\).

4. 4

   Calculăm g(-1) și deducem g(x)>0

   g(-1)=-e^{-1}+1=1-\frac1e>0\ \Rightarrow\ g(x)>0,\ \forall x\in(-1,+\infty)

   Calculăm \(g(-1)=-1\cdot e^{-1}+1=1-\dfrac1e\). Cum \(e>1\), avem \(\dfrac1e<1\), deci \(g(-1)>0\). Funcția \(g\) este crescătoare, deci pentru \(x>-1\) avem \(g(x)\ge g(-1)>0\). Rezultă că \(g(x)=xe^x+1>0\) pe \((-1,+\infty)\).

5. 5

   Concluzia: f este strict crescătoare

   f'(x)=\frac{g(x)}{(x+1)^2}>0,\ \forall x\in(-1,+\infty)\ \Rightarrow\ f\text{ strict crescătoare}

   Numărătorul \(g(x)\) este pozitiv, iar numitorul \((x+1)^2\) este pozitiv. Deci \(f'(x)>0\) pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\). O funcție cu derivata strict pozitivă pe un interval este strict crescătoare pe acel interval, deci \(f\) este strict crescătoare.

Răspuns: Am arătat că \(f'(x)=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2}>0\) pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\), deci \(f\) este strict crescătoare.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=6+\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln^2 x}{x}\). a) Arătați că \(\int_1^3\left(f(x)-\dfrac{\ln^2 x}{x}\right)dx=12+\ln 3\).

Metoda: Integrala funcțiilor elementare

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-\frac{\ln^2 x}{x}=6+\frac{1}{x}+\frac{\ln^2 x}{x}-\frac{\ln^2 x}{x}=6+\frac{1}{x}

   Înlocuim \(f(x)\) cu formula dată. Termenul \(\dfrac{\ln^2 x}{x}\) apare o dată cu plus și o dată cu minus, deci se reduce. Rămâne \(6+\dfrac{1}{x}\), o expresie mult mai simplă de integrat.

2. 2

   Calculăm primitiva

   \int_1^3\left(6+\frac{1}{x}\right)dx=\left(6x+\ln x\right)\Big|_1^3

   Primitiva lui 6 este \(6x\), iar primitiva lui \(\dfrac1x\) este \(\ln x\) (pe \((0,+\infty)\), deci \(\ln|x|=\ln x\)). Apoi aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în capătul de sus minus valoarea în capătul de jos.

3. 3

   Aplicăm limitele de integrare

   (18+\ln 3)-(6+\ln 1)=18+\ln 3-6-0=12+\ln 3

   Pentru \(x=3\) obținem \(6\cdot3+\ln 3=18+\ln 3\). Pentru \(x=1\) obținem \(6\cdot1+\ln 1=6\), deoarece \(\ln 1=0\). Scădem: \(18-6=12\), iar \(\ln 3\) rămâne. Am obținut exact rezultatul cerut.

Răspuns: \(\int_1^3\left(f(x)-\dfrac{\ln^2 x}{x}\right)dx=12+\ln 3\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=6+\frac{1}{x}+\frac{\ln^2 x}{x}\). b) Arătați că \(\int_1^e \left(f(x)-6-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{1}{3}\).

Metoda: Integrare prin substituție (derivata lui ln x)

1. 1

   Simplificăm funcția de sub integrală

   f(x)-6-\frac{1}{x}=\frac{\ln^2 x}{x}

   Înlocuim f(x) cu expresia dată: \(f(x)-6-\frac{1}{x}=6+\frac{1}{x}+\frac{\ln^2 x}{x}-6-\frac{1}{x}\). Termenii 6 și \(\frac{1}{x}\) se reduc și rămâne doar \(\frac{\ln^2 x}{x}\). Deci integrala devine \(\int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}dx\).

2. 2

   Observăm derivata lui ln x

   \int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}dx=\int_1^e (\ln x)'\cdot \ln^2 x\,dx

   Știm că \((\ln x)'=\frac{1}{x}\). Deci \(\frac{\ln^2 x}{x}=(\ln x)'\cdot\ln^2 x\). Asta e de forma \(u'\cdot u^2\), cu \(u=\ln x\), a cărei primitivă este \(\frac{u^3}{3}\).

3. 3

   Calculăm integrala definită

   \left.\frac{\ln^3 x}{3}\right|_1^e=\frac{\ln^3 e}{3}-\frac{\ln^3 1}{3}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}

   Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în e minus valoarea în 1. Cum \(\ln e=1\) și \(\ln 1=0\), obținem \(\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_1^e \left(f(x)-6-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{\ln^3 x}{3}\Big|_1^e=\frac{1}{3}\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=6+\frac{1}{x}+\frac{\ln^2 x}{x}\). Determinați numărul real \(m\) pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\frac{f(x)-6}{x}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=1\) și \(x=e\) este egală cu \(m\left(1-\frac{2}{e}\right)\).

Metoda: Aria cu integrare prin părți

1. 1

   Scriem funcția g simplificată

   g(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{\ln^2 x}{x^2}

   Avem \(f(x)-6=\frac{1}{x}+\frac{\ln^2 x}{x}\). Împărțim totul la \(x\) și obținem \(g(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{\ln^2 x}{x^2}\). Facem asta ca să avem o expresie pe care știm s-o integrăm.

2. 2

   Stabilim semnul lui g și scriem aria

   g(x)>0 \Rightarrow \mathcal{A}=\int_1^e |g(x)|\,dx=\int_1^e g(x)\,dx

   Pentru \(x>0\), ambii termeni \(\frac{1}{x^2}\) și \(\frac{\ln^2 x}{x^2}\) sunt pozitivi (sau zero). Deci \(g\ge 0\) și modulul dispare. Aria dintre grafic și axa \(Ox\), pe \([1,e]\), este integrala lui g.

3. 3

   Calculăm integrala primului termen

   \int_1^e \frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}\Big|_1^e=1-\frac{1}{e}

   O primitivă a lui \(\frac{1}{x^2}\) este \(-\frac{1}{x}\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în \(e\) minus valoarea în 1.

4. 4

   Integrăm prin părți al doilea termen

   \int_1^e \frac{\ln^2 x}{x^2}dx=-\frac{\ln^2 x}{x}\Big|_1^e+\int_1^e \frac{2\ln x}{x^2}dx

   Alegem \(\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}\) și derivăm \(\ln^2 x\), obținând \(\frac{2\ln x}{x}\). Prin părți: \(\int u'v=uv-\int uv'\) cu \(u=-\frac1x\), \(v=\ln^2x\). Termenul scos este \(-\frac{\ln^2 e}{e}+0=-\frac{1}{e}\). Rămâne \(\int_1^e\frac{2\ln x}{x^2}dx\), pe care o integrăm tot prin părți: \(=-\frac{2\ln x}{x}\Big|_1^e+\int_1^e\frac{2}{x^2}dx=-\frac{2}{e}+2\left(1-\frac{1}{e}\right)=2-\frac{4}{e}\). Deci integrala cerută este \(-\frac{1}{e}+2-\frac{4}{e}=2-\frac{5}{e}\).

5. 5

   Adunăm și obținem aria

   \mathcal{A}=\left(1-\frac{1}{e}\right)+\left(2-\frac{5}{e}\right)=3-\frac{6}{e}

   Aria este suma celor două integrale: \(1-\frac1e+2-\frac5e=3-\frac6e\). Acesta este rezultatul din barem.

6. 6

   Aflăm m din egalitate

   m\left(1-\frac{2}{e}\right)=3-\frac{6}{e}=3\left(1-\frac{2}{e}\right)\Rightarrow m=3

   Scoatem factor comun 3: \(3-\frac6e=3\left(1-\frac2e\right)\). Cum \(1-\frac2e\ne0\) (deoarece \(e\ne2\)), putem simplifica și obținem \(m=3\).

Răspuns: m = 3