Rezolvare pas cu pas: Matematică – Mate-Info (M1) – Bacalaureat 2026, sesiunea specială (varianta 02)

Determinați termenul \(a_2\) al progresiei aritmetice \((a_n)_{n\ge 1}\), în care \(a_1 = 6\) și \(a_3 = 30\).

Metoda: Media aritmetică a termenilor vecini

1. 1

   Proprietatea termenului din mijloc

   a_2=\frac{a_1+a_3}{2}

   Într-o progresie aritmetică, orice termen (în afară de primul) este media aritmetică a vecinilor săi. Într-adevăr, \(a_1=a_2-r\) și \(a_3=a_2+r\), deci \(a_1+a_3=2a_2\), iar rația \(r\) se reduce. De aceea nu trebuie să calculăm rația.

2. 2

   Înlocuim valorile date

   a_2=\frac{6+30}{2}=\frac{36}{2}

   Punem în formulă \(a_1=6\) și \(a_3=30\). Mai întâi adunăm cele două numere de la numărător, apoi împărțim la 2.

3. 3

   Calculăm rezultatul

   a_2=\frac{36}{2}=18

   Împărțim 36 la 2 și obținem 18. Verificare: rația este \(r=18-6=12\), iar \(a_3=18+12=30\), exact cât ni se dă în enunț.

Răspuns: \(a_2 = 18\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax^2+2ax-1\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care \((f\circ f)(0)=0\).

Metoda: Compunerea funcțiilor

1. 1

   Calculăm f(0)

   f(0)=a\cdot 0^2+2a\cdot 0-1=-1

   Prin definiție, \((f\circ f)(0)=f(f(0))\). Deci avem nevoie mai întâi de valoarea \(f(0)\). Înlocuim \(x=0\) în \(f(x)=ax^2+2ax-1\): termenii cu \(x\) dispar și rămâne \(-1\), indiferent de \(a\).

2. 2

   Calculăm f(f(0)) = f(−1)

   (f\circ f)(0)=f(-1)=a(-1)^2+2a(-1)-1=a-2a-1=-a-1

   Din pasul anterior, \(f(f(0))=f(-1)\). Înlocuim \(x=-1\) în formula lui \(f\): \((-1)^2=1\), deci primul termen este \(a\), al doilea este \(-2a\). Adunând, obținem \(a-2a-1=-a-1\), pentru orice număr real \(a\).

3. 3

   Punem condiția și aflăm a

   -a-1=0 \Rightarrow a=-1

   Problema cere \((f\circ f)(0)=0\). Am obținut că \((f\circ f)(0)=-a-1\), deci rezolvăm ecuația \(-a-1=0\). Mutăm \(-1\) în partea dreaptă: \(-a=1\), deci \(a=-1\).

Răspuns: \(a=-1\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_2\left(2x^2-4x+3\right)=2\log_2 x\).

Metoda: Egalarea argumentelor logaritmilor

1. 1

   Condiții de existență

   x>0,\quad 2x^2-4x+3>0

   Logaritmul există doar pentru argumente strict pozitive. Din \(\log_2 x\) obținem \(x>0\). Pentru \(2x^2-4x+3\) calculăm \(\Delta=16-24=-8<0\) și coeficientul lui \(x^2\) este pozitiv, deci expresia este mereu pozitivă. Rămâne doar condiția \(x>0\).

2. 2

   Aducem membrul drept la un singur logaritm

   2\log_2 x=\log_2 x^2

   Folosim formula \(a\log_b y=\log_b y^a\), valabilă pentru \(y>0\). Cum \(x>0\), putem scrie \(2\log_2 x=\log_2 x^2\). Ecuația devine \(\log_2(2x^2-4x+3)=\log_2 x^2\).

3. 3

   Egalăm argumentele

   2x^2-4x+3=x^2\Rightarrow x^2-4x+3=0

   Funcția logaritm este injectivă: dacă \(\log_2 A=\log_2 B\), atunci \(A=B\). Deci \(2x^2-4x+3=x^2\), de unde, mutând totul în stânga, \(x^2-4x+3=0\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   \Delta=16-12=4,\quad x=\frac{4\pm2}{2}\Rightarrow x_1=1,\;x_2=3

   Calculăm \(\Delta=b^2-4ac=16-12=4\). Apoi \(x=\frac{4\pm 2}{2}\), deci \(x=1\) sau \(x=3\). Ambele sunt strict pozitive, deci respectă condiția \(x>0\) și convin.

5. 5

   Verificare

   x=1:\ \log_2 1=0=2\log_2 1;\quad x=3:\ \log_2 9=2\log_2 3

   Pentru \(x=1\): \(2\cdot1-4+3=1\), deci \(\log_2 1=0\), iar \(2\log_2 1=0\). Pentru \(x=3\): \(2\cdot9-12+3=9\), deci \(\log_2 9=2\log_2 3\). Ambele valori verifică ecuația.

Răspuns: x = 1 sau x = 3 (ambele convin)

Se consideră mulțimea \(A=\{2,4,5,6\}\). Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea \(A\).

Metoda: Principiul multiplicării (combinatorică)

1. 1

   Alegem cifra unităților

   \text{cifra unităților} \in \{2,4,6\} \Rightarrow 3 \text{ moduri}

   Un număr este par dacă ultima cifră este pară. Din mulțimea \(A=\{2,4,5,6\}\), cifrele pare sunt \(2\), \(4\) și \(6\). Cifra \(5\) este impară, deci nu poate fi la unități. Cifra unităților se poate alege în \(3\) moduri.

2. 2

   Alegem cifra zecilor

   4-1=3 \text{ moduri}

   Cifrele trebuie să fie distincte. Una dintre cele \(4\) cifre a fost deja folosită la unități, deci pentru cifra zecilor rămân \(4-1=3\) cifre. Acest lucru se întâmplă pentru fiecare alegere a cifrei unităților.

3. 3

   Alegem cifra sutelor

   4-2=2 \text{ moduri}

   Au fost folosite deja două cifre (la unități și la zeci), iar cifrele trebuie să fie distincte. Pentru cifra sutelor rămân \(4-2=2\) cifre. Cifra sutelor nu poate fi zero, dar \(0\) nu face parte din \(A\), deci nu apar probleme.

4. 4

   Aplicăm regula produsului

   3\cdot 3\cdot 2=18

   Alegerile se fac una după alta, iar numărul variantelor la fiecare pas nu depinde de ce cifre anume am ales înainte. Deci înmulțim: \(3\) moduri pentru unități, \(3\) pentru zeci, \(2\) pentru sute. Obținem \(18\) numere.

Răspuns: Se pot forma \(18\) numere.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(6,4)\) și \(B(1,3)\). Determinați coordonatele punctului \(C\) pentru care \(2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\).

Metoda: Egalitatea vectorilor prin coordonate

1. 1

   Scriem vectorul OA

   \overrightarrow{OA}=6\vec i+4\vec j

   Punctul \(O\) este originea, \(O(0,0)\). Vectorul \(\overrightarrow{OA}\) are coordonatele lui \(A\) minus cele ale lui \(O\), deci chiar coordonatele lui \(A\): \(\overrightarrow{OA}=6\vec i+4\vec j\).

2. 2

   Scriem vectorul BC cu necunoscutele lui C

   \overrightarrow{BC}=(x_C-1)\vec i+(y_C-3)\vec j

   Un vector are coordonatele: capătul minus originea. Pentru \(\overrightarrow{BC}\) scădem coordonatele lui \(B(1,3)\) din cele ale lui \(C(x_C,y_C)\).

3. 3

   Folosim egalitatea vectorilor

   \overrightarrow{BC}=\tfrac12\overrightarrow{OA}\Rightarrow (x_C-1)\vec i+(y_C-3)\vec j=3\vec i+2\vec j

   Din \(2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\) rezultă \(\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{OA}=3\vec i+2\vec j\). Doi vectori sunt egali când coordonatele corespunzătoare sunt egale: \(x_C-1=3\) și \(y_C-3=2\).

4. 4

   Aflăm coordonatele lui C

   x_C=3+1=4,\quad y_C=2+3=5

   Din \(x_C-1=3\) obținem \(x_C=4\), iar din \(y_C-3=2\) obținem \(y_C=5\). Deci \(C(4,5)\).

Răspuns: C(4,5)

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AC=6\) și \(\operatorname{tg}C=\dfrac{1}{3}\). Arătați că raza cercului circumscris triunghiului \(ABC\) este egală cu \(\sqrt{10}\).

Metoda: Tangenta în triunghi dreptunghic

1. 1

   Aflăm cateta AB din tangenta unghiului C

   \operatorname{tg}C=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{AB}{6}=\frac{1}{3}\Rightarrow AB=2

   În triunghiul dreptunghic \(ABC\), tangenta unghiului \(C\) este raportul dintre cateta opusă (\(AB\)) și cateta alăturată (\(AC\)). Scriem \(\dfrac{AB}{6}=\dfrac{1}{3}\) și obținem \(AB=\dfrac{6}{3}=2\).

2. 2

   Aflăm ipotenuza BC cu teorema lui Pitagora

   BC^2=AB^2+AC^2=2^2+6^2=40\Rightarrow BC=\sqrt{40}=2\sqrt{10}

   Triunghiul este dreptunghic în \(A\), deci \(BC\) este ipotenuza. Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor: \(4+36=40\). Atunci \(BC=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}\).

3. 3

   Raza cercului circumscris

   R=\frac{BC}{2}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}

   Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci ipotenuza este diametru. Astfel \(R=\dfrac{BC}{2}\). Înlocuind \(BC=2\sqrt{10}\), obținem \(R=\sqrt{10}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(R=\sqrt{10}\), deoarece \(AB=2\), \(BC=2\sqrt{10}\) și \(R=\dfrac{BC}{2}\).

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1-2a & a & 0\\ 2a & 1-a & 0\\ 0 & 0 & 1-3a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=4\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 3

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}1-2\cdot 1 & 1 & 0\\ 2\cdot 1 & 1-1 & 0\\ 0 & 0 & 1-3\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}

   Înlocuim peste tot \(a\) cu 1 și calculăm fiecare element: \(1-2=-1\), \(1-1=0\), \(1-3=-2\). Avem nevoie de matricea concretă ca să putem calcula determinantul.

2. 2

   Scriem determinantul

   \det(A(1))=\begin{vmatrix}-1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2\end{vmatrix}

   Determinantul unei matrice de ordin 3 se calculează cu regula lui Sarrus (sau prin dezvoltare după o linie). Aici avem multe zerouri, deci calculul e scurt.

3. 3

   Calculăm cu regula lui Sarrus

   \det(A(1))=(-1)\cdot0\cdot(-2)+1\cdot0\cdot0+0\cdot2\cdot0-0\cdot0\cdot0-(-1)\cdot0\cdot0-1\cdot2\cdot(-2)=0+0+0-0-0-(-4)=4

   Adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și paralelele ei. Singurul produs nenul este \(1\cdot2\cdot(-2)=-4\), pe care îl scădem, deci obținem \(-(-4)=4\).

Răspuns: \(\det(A(1))=4\), exact ce trebuia arătat.

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1-2a & a & 0\\ 2a & 1-a & 0\\ 0 & 0 & 1-3a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. b) Arătați că \(A(a)\cdot A(b)=A(a+b-3ab)\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\).

Metoda: Înmulțirea matricelor

1. 1

   Scriem cele două matrice și calculăm produsul

   A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1-2a & a & 0\\ 2a & 1-a & 0\\ 0 & 0 & 1-3a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-2b & b & 0\\ 2b & 1-b & 0\\ 0 & 0 & 1-3b\end{pmatrix}

   Elementul de pe linia \(i\), coloana \(j\) al produsului este suma produselor dintre elementele liniei \(i\) din prima matrice și cele ale coloanei \(j\) din a doua. Matricele au aceeași structură pe blocuri: un bloc \(2\times 2\) și elementul \(1-3a\) (respectiv \(1-3b\)) pe poziția (3,3), deci și produsul va avea această structură.

2. 2

   Calculăm fiecare element al produsului

   A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1-2a-2b+4ab+2ab & b-2ab+a-ab & 0\\ 2a-4ab+2b-2ab & 2ab+1-a-b+ab & 0\\ 0&0&1-3a-3b+9ab\end{pmatrix}

   Poziția (1,1): \((1-2a)(1-2b)+a\cdot 2b=1-2a-2b+4ab+2ab\). Poziția (1,2): \((1-2a)b+a(1-b)=b-2ab+a-ab\). Poziția (2,1): \(2a(1-2b)+(1-a)2b=2a-4ab+2b-2ab\). Poziția (2,2): \(2a\cdot b+(1-a)(1-b)=2ab+1-a-b+ab\). Poziția (3,3): \((1-3a)(1-3b)\).

3. 3

   Simplificăm și recunoaștem forma \(A(a+b-3ab)\)

   A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1-2(a+b-3ab) & a+b-3ab & 0\\ 2(a+b-3ab) & 1-(a+b-3ab) & 0\\ 0&0&1-3(a+b-3ab)\end{pmatrix}=A(a+b-3ab)

   Notăm \(t=a+b-3ab\). Atunci: \(1-2a-2b+6ab=1-2t\); \(a+b-3ab=t\); \(2a+2b-6ab=2t\); \(1-a-b+3ab=1-t\); \(1-3a-3b+9ab=1-3t\). Matricea obținută are exact forma lui \(A(t)\), deci \(A(a)\cdot A(b)=A(a+b-3ab)\), pentru orice \(a,b\in\mathbb{R}\).

Răspuns: Am obținut \(A(a)\cdot A(b)=A(a+b-3ab)\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\), ceea ce trebuia demonstrat.

Se consideră matricea \(A(a)=\begin{pmatrix}1-2a & a & 0\\ 2a & 1-a & 0\\ 0 & 0 & 1-3a\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. c) Determinați numărul real \(a\) pentru care \(A(1)\cdot A(a)+A(5)=2A(4)\).

Metoda: Relația A(a)·A(b)=A(a+b−3ab)

1. 1

   Calculăm produsul A(1)·A(a)

   A(1)\cdot A(a)=A(1+a-3\cdot 1\cdot a)=A(1-2a)

   Din punctul b) știm că \(A(a)\cdot A(b)=A(a+b-3ab)\) pentru orice numere reale. Punem \(a\to 1\) și \(b\to a\). Obținem \(1+a-3a=1-2a\). Astfel nu mai înmulțim matrice 3×3, ci doar calculăm un număr.

2. 2

   Scriem 2A(4)−A(5) ca o singură matrice

   A(1-2a)+A(5)=2A(4)\iff A(1-2a)=2A(4)-A(5)

   Ecuația devine \(A(1-2a)+A(5)=2A(4)\). Mutăm \(A(5)\) în partea dreaptă. Observăm că \(A(x)\) este liniară în \(x\): fiecare element este de forma \(\alpha+\beta x\). De aceea \(2A(4)-A(5)=A(2\cdot4-5)=A(3)\). Se verifică: elementul de pe diagonală \(1-2x\) dă \(2(1-8)-(1-10)=-14+9=-5=1-2\cdot3\).

3. 3

   Egalăm parametrii și aflăm a

   A(1-2a)=A(3)\Rightarrow 1-2a=3\Rightarrow a=-1

   Două matrici \(A(x)\) și \(A(y)\) sunt egale doar dacă \(x=y\) (de exemplu, elementul din colțul stânga-sus \(1-2x\) trebuie să coincidă). Deci \(1-2a=3\), de unde \(-2a=2\) și \(a=-1\).

Răspuns: a = −1

Se consideră polinomul \(f = mX^4 - mX^2 + X + 1\), unde \(m\) este număr real nenul. a) Arătați că \(f(-1) = 0\), pentru orice număr real nenul \(m\).

Metoda: Calculul valorii polinomului

1. 1

   Înlocuim X cu −1

   f(-1) = m\cdot(-1)^4 - m\cdot(-1)^2 + (-1) + 1

   Valoarea polinomului în \(-1\) se obține scriind \(-1\) în locul lui \(X\) în fiecare termen. Punem \(-1\) între paranteze, ca să nu greșim semnele.

2. 2

   Calculăm puterile și reducem termenii

   f(-1) = m - m - 1 + 1 = 0

   Puterile pare ale lui \(-1\) dau 1, deci primii doi termeni devin \(m\) și \(-m\), care se reduc. Apoi \(-1 + 1 = 0\). Termenul \(m\) dispare complet, de aceea rezultatul nu depinde de \(m\).

Răspuns: \(f(-1) = m - m - 1 + 1 = 0\), pentru orice număr real nenul \(m\).

Se consideră polinomul \(f = mX^4 - mX^2 + X + 1\), unde \(m\) este număr real nenul. b) Determinați numărul real nenul \(m\) pentru care restul împărțirii polinomului \(f\) la polinomul \(g = X + 2\) este egal cu 11.

Metoda: Teorema restului

1. 1

   Folosim teorema restului

   r = f(-2)

   Împărțim \(f\) la \(g = X + 2 = X - (-2)\). Conform teoremei restului, restul împărțirii lui \(f\) la \(X - a\) este \(f(a)\). Aici \(a = -2\), deci restul este \(f(-2)\). Nu mai trebuie să facem împărțirea propriu-zisă.

2. 2

   Calculăm \(f(-2)\)

   f(-2) = m\cdot(-2)^4 - m\cdot(-2)^2 + (-2) + 1 = 16m - 4m - 1 = 12m - 1

   Înlocuim \(X\) cu \(-2\). Avem \((-2)^4 = 16\) și \((-2)^2 = 4\). Atunci \(16m - 4m = 12m\), iar \(-2 + 1 = -1\). Rezultă \(f(-2) = 12m - 1\), pentru orice \(m\) real nenul.

3. 3

   Punem condiția ca restul să fie 11 și aflăm \(m\)

   12m - 1 = 11 \Rightarrow 12m = 12 \Rightarrow m = 1

   Problema spune că restul este 11, deci egalăm \(12m - 1\) cu 11. Adunăm 1 în ambii membri și obținem \(12m = 12\), deci \(m = 1\). Valoarea este nenulă, deci convine.

Răspuns: m = 1

Se consideră polinomul \(f = mX^4 - mX^2 + X + 1\), unde \(m\) este număr real nenul. Determinați numărul real nenul \(m\) pentru care \(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 = 1\), unde \(x_1, x_2, x_3\) și \(x_4\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).

Metoda: Relațiile lui Viète

1. 1

   Relațiile lui Viète pentru f

   x_1+x_2+x_3+x_4=0,\quad x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac{1}{m},\quad x_1x_2x_3x_4=\frac{1}{m}

   Scriem polinomul complet: \(f = mX^4 + 0\cdot X^3 - mX^2 + X + 1\). Coeficienții sunt \(a_4=m\), \(a_3=0\), \(a_2=-m\), \(a_1=1\), \(a_0=1\). Pentru un polinom de gradul 4, suma rădăcinilor este \(-\frac{a_3}{a_4}=0\), suma produselor câte trei este \(-\frac{a_1}{a_4}=-\frac{1}{m}\), iar produsul tuturor rădăcinilor este \(\frac{a_0}{a_4}=\frac{1}{m}\). Produsul este nenul, deci nicio rădăcină nu este 0, iar fracțiile \(\frac{1}{x_i}\) au sens.

2. 2

   Suma inverselor rădăcinilor

   \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4}{x_1x_2x_3x_4}=\frac{-1/m}{1/m}=-1

   Aducem fracțiile la numitor comun \(x_1x_2x_3x_4\). La numărător apare suma produselor câte trei, iar la numitor produsul tuturor rădăcinilor. Ambele sunt cunoscute din Viète, iar \(m\) se simplifică.

3. 3

   Folosim faptul că \(x_i\) este rădăcină

   m x_i^4 - m x_i^2 + x_i + 1 = 0 \;\Rightarrow\; m x_i^3 = m x_i - 1 - \frac{1}{x_i}

   Fiecare rădăcină verifică \(f(x_i)=0\). Împărțim egalitatea cu \(x_i\), care este nenul: \(m x_i^3 - m x_i + 1 + \frac{1}{x_i}=0\). Apoi trecem termenii în partea dreaptă și obținem \(m x_i^3\) exprimat prin \(x_i\) și \(\frac{1}{x_i}\). Așa apar exact sumele pe care le cunoaștem.

4. 4

   Adunăm relațiile pentru cele 4 rădăcini

   m\left(x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3\right)=m\cdot 0-4-(-1)=-3

   Adunăm cele patru egalități \(m x_i^3 = m x_i - 1 - \frac{1}{x_i}\). Obținem \(m\sum x_i^3 = m\sum x_i - 4 - \sum \frac{1}{x_i}\). Termenul \(-1\) apare de 4 ori, deci dă \(-4\). Înlocuim \(\sum x_i = 0\) și \(\sum \frac{1}{x_i}=-1\), de unde \(m\sum x_i^3=-4+1=-3\).

5. 5

   Aflăm m

   x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=-\frac{3}{m}=1 \;\Rightarrow\; m=-3

   Din \(m\sum x_i^3=-3\) rezultă \(\sum x_i^3=-\frac{3}{m}\). Condiția din enunț cere ca această sumă să fie 1, deci \(-\frac{3}{m}=1\), adică \(m=-3\). Valoarea este nenulă, deci convine.

Răspuns: m = -3

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x+2x+1}{x+1}\). Arătați că \(f'(x)=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2}\), \(x\in(-1,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui cât de funcții

1. 1

   Alegem formula de derivare a câtului

   \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

   Funcția \(f\) are forma \(\dfrac{u}{v}\), cu \(u(x)=e^x+2x+1\) la numărător și \(v(x)=x+1\) la numitor. Pentru o astfel de funcție folosim formula câtului: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\). Numitorul \(x+1\) este nenul pe \((-1,+\infty)\), deci derivata există.

2. 2

   Calculăm derivatele numărătorului și numitorului

   u'(x)=e^x+2,\quad v'(x)=1

   Derivăm termen cu termen: \((e^x)'=e^x\), \((2x)'=2\), iar derivata constantei \(1\) este \(0\). Deci \(u'(x)=e^x+2\). Pentru \(v(x)=x+1\) obținem \(v'(x)=1\).

3. 3

   Înlocuim în formula câtului

   f'(x)=\frac{(e^x+2)(x+1)-(e^x+2x+1)\cdot 1}{(x+1)^2}

   Punem în formulă \(u'=e^x+2\), \(v=x+1\), \(u=e^x+2x+1\) și \(v'=1\). Obținem numărătorul \((e^x+2)(x+1)-(e^x+2x+1)\cdot 1\), iar numitorul este \((x+1)^2\).

4. 4

   Efectuăm calculele și simplificăm

   \frac{xe^x+e^x+2x+2-e^x-2x-1}{(x+1)^2}=\frac{xe^x+1}{(x+1)^2}

   Desfacem prima paranteză: \((e^x+2)(x+1)=xe^x+e^x+2x+2\). Scădem apoi \(e^x+2x+1\), cu schimbarea semnelor tuturor termenilor. Termenii \(e^x\) și \(2x\) se reduc, iar din \(2-1\) rămâne \(1\). Numărătorul devine \(xe^x+1\), deci \(f'(x)=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2}\) pentru \(x\in(-1,+\infty)\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2}\), \(x\in(-1,+\infty)\), adică exact egalitatea cerută.

Se consideră funcția \( f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{e^x+2x+1}{x+1} \). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \( f \) în punctul de abscisă \( x=0 \), situat pe graficul funcției \( f \).

Metoda: Ecuația tangentei la grafic

1. 1

   Calculăm f(0) și f'(0)

   f(0)=\frac{e^0+0+1}{0+1}=2,\quad f'(0)=\frac{0\cdot e^0+1}{(0+1)^2}=1

   Punctul de tangență are coordonatele \( (0, f(0)) \). Ordonata o aflăm înlocuind \( x=0 \) în \( f \). Panta tangentei este \( f'(0) \); folosim formula de la subpunctul a): \( f'(x)=\frac{xe^x+1}{(x+1)^2} \). Amintim că \( e^0=1 \).

2. 2

   Scriem ecuația tangentei

   y-f(0)=f'(0)(x-0)\ \Rightarrow\ y-2=1\cdot x\ \Rightarrow\ y=x+2

   Înlocuim în formula tangentei \( y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \) valorile \( x_0=0 \), \( f(0)=2 \), \( f'(0)=1 \). Obținem \( y-2=x \), adică \( y=x+2 \), același rezultat ca în barem.

Răspuns: Ecuația tangentei este \( y=x+2 \).

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{e^x+2x+1}{x+1}\). c) Demonstrați că funcția \(f\) este strict crescătoare.

Metoda: Semnul derivatei întâi

1. 1

   Reținem derivata și ce trebuie arătat

   f'(x)=\frac{xe^x+1}{(x+1)^2},\quad x\in(-1,+\infty)

   Rezultatul de la punctul a) ne dă derivata lui \(f\). Funcția este strict crescătoare dacă \(f'(x)>0\) pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\). Numitorul \((x+1)^2\) este pozitiv pe acest interval, deoarece \(x+1>0\). Rămâne de arătat că numărătorul \(xe^x+1\) este pozitiv.

2. 2

   Introducem funcția ajutătoare g

   g:[-1,+\infty)\to\mathbb{R},\quad g(x)=xe^x+1,\quad g'(x)=(x+1)e^x

   Notăm numărătorul cu \(g(x)=xe^x+1\) și îl derivăm cu formula produsului: \((xe^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x\). Constanta \(1\) are derivata \(0\). Alegem intervalul închis \([-1,+\infty)\) ca să putem folosi valoarea \(g(-1)\) la capătul din stânga.

3. 3

   Arătăm că g este crescătoare

   g'(x)=(x+1)e^x\ge 0,\ \forall x\in[-1,+\infty)\Rightarrow g\text{ crescătoare}

   Pentru \(x\ge -1\) avem \(x+1\ge 0\), iar \(e^x>0\) întotdeauna. Produsul lor este deci \(\ge 0\). Cum \(g'(x)\ge0\) pe \([-1,+\infty)\), funcția \(g\) este crescătoare pe acest interval.

4. 4

   Calculăm g(-1) și concluzionăm că g(x)>0

   g(-1)=-e^{-1}+1=1-\frac{1}{e}>0\Rightarrow g(x)\ge g(-1)>0,\ \forall x\in(-1,+\infty)

   Cum \(g\) este crescătoare, pentru \(x>-1\) avem \(g(x)\ge g(-1)\). Calculăm \(g(-1)=(-1)e^{-1}+1=1-\frac1e\). Deoarece \(e>1\), avem \(\frac1e<1\), deci \(1-\frac1e>0\). Rezultă \(g(x)>0\), adică \(xe^x+1>0\) pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\).

5. 5

   Concluzia: f este strict crescătoare

   f'(x)=\frac{g(x)}{(x+1)^2}>0,\ \forall x\in(-1,+\infty)\Rightarrow f\text{ strict crescătoare}

   Numărătorul \(g(x)=xe^x+1\) este pozitiv, iar numitorul \((x+1)^2\) este pozitiv. Deci \(f'(x)>0\) pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\). Conform legăturii dintre derivată și monotonie, \(f\) este strict crescătoare pe \((-1,+\infty)\).

Răspuns: Cum \(f'(x)=\dfrac{xe^x+1}{(x+1)^2}>0\) pe \((-1,+\infty)\), funcția \(f\) este strict crescătoare.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=6+\frac{1}{x}+\frac{\ln^2 x}{x}\). Arătați că \(\int_1^3 \left(f(x)-\frac{\ln^2 x}{x}\right)dx=12+\ln 3\).

Metoda: Integrarea funcțiilor elementare

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-\frac{\ln^2 x}{x}=6+\frac{1}{x}

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia dată: \(f(x)-\frac{\ln^2 x}{x}=6+\frac{1}{x}+\frac{\ln^2 x}{x}-\frac{\ln^2 x}{x}\). Termenii cu \(\ln^2 x\) se reduc, deci rămâne o expresie mult mai simplă, ușor de integrat. Integrala devine \(\int_1^3 \left(6+\frac{1}{x}\right)dx\).

2. 2

   Aflăm o primitivă și aplicăm Leibniz-Newton

   \int_1^3\left(6+\frac{1}{x}\right)dx=\left(6x+\ln x\right)\Big|_1^3

   O primitivă a lui \(6\) este \(6x\), iar o primitivă a lui \(\frac{1}{x}\) este \(\ln x\) pe \((0,+\infty)\). Integrala definită este diferența valorilor primitivei în capetele intervalului: valoarea în \(3\) minus valoarea în \(1\).

3. 3

   Calculăm valorile și obținem rezultatul

   (18+\ln 3)-(6+\ln 1)=12+\ln 3

   În \(x=3\): \(6\cdot 3+\ln 3=18+\ln 3\). În \(x=1\): \(6\cdot 1+\ln 1=6+0=6\), deoarece \(\ln 1=0\). Scădem: \(18+\ln 3-6=12+\ln 3\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_1^3 \left(f(x)-\frac{\ln^2 x}{x}\right)dx=12+\ln 3\), adică egalitatea cerută este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=6+\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln^2 x}{x}\). b) Arătați că \(\displaystyle\int_1^e \left(f(x)-6-\dfrac{1}{x}\right)dx=\dfrac{1}{3}\).

Metoda: Integrare prin substituție (derivata lui ln x)

1. 1

   Simplificăm expresia de sub integrală

   f(x)-6-\frac{1}{x}=\frac{\ln^2 x}{x}

   Înlocuim \(f(x)=6+\frac{1}{x}+\frac{\ln^2 x}{x}\). Termenii \(6\) și \(\frac{1}{x}\) se reduc cu cei scăzuți, deci rămâne doar \(\frac{\ln^2 x}{x}\). Integrala devine \(\int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}\,dx\).

2. 2

   Observăm derivata lui ln x

   \int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}\,dx=\int_1^e \ln^2 x\cdot(\ln x)'\,dx

   Derivata lui \(\ln x\) este \(\frac{1}{x}\). Deci \(\frac{\ln^2 x}{x}=\ln^2 x\cdot(\ln x)'\). Această formă ne arată că putem folosi substituția \(t=\ln x\), sau direct formula primitivei unei puteri.

3. 3

   Calculăm primitiva și aplicăm limitele

   \int_1^e \ln^2 x\,(\ln x)'\,dx=\frac{\ln^3 x}{3}\Big|_1^e=\frac{\ln^3 e}{3}-\frac{\ln^3 1}{3}

   Ca la \(\int t^2\,dt=\frac{t^3}{3}\), primitiva este \(\frac{\ln^3 x}{3}\). Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea la \(e\) minus valoarea la \(1\). Avem \(\ln e=1\) și \(\ln 1=0\), deci obținem \(\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\displaystyle\int_1^e \left(f(x)-6-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{\ln^3 x}{3}\Big|_1^e=\frac{1}{3}\)

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=6+\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln^2 x}{x}\). c) Determinați numărul real \(m\) pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \(g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(g(x)=\dfrac{f(x)-6}{x}\), axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x=1\) și \(x=e\) este egală cu \(m\left(1-\dfrac{2}{e}\right)\).

Metoda: Aria cu integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm funcția g

   g(x)=\frac{f(x)-6}{x}=\frac{1}{x^2}+\frac{\ln^2 x}{x^2}

   Din \(f(x)-6\) rămâne \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln^2 x}{x}\). Împărțim apoi totul la \(x\) și obținem \(g(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{\ln^2 x}{x^2}\). Forma simplă ne ajută la integrare.

2. 2

   Stabilim semnul lui g și scriem aria

   g(x)>0 \Rightarrow \mathcal{A}=\int_1^e g(x)\,dx=\int_1^e\left(\frac{1}{x^2}+\frac{\ln^2 x}{x^2}\right)dx

   Pentru \(x>0\), \(1\) și \(\ln^2 x\) sunt pozitive, iar \(x^2>0\), deci \(g(x)>0\). Graficul e deasupra axei Ox, deci aria este exact integrala, fără modul.

3. 3

   Calculăm integrala prin părți

   \int_1^e \frac{1}{x^2}dx=-\frac1x\Big|_1^e=1-\frac1e;\quad \int_1^e\frac{\ln^2 x}{x^2}dx=-\frac{\ln^2 x}{x}\Big|_1^e+\int_1^e\frac{2\ln x}{x^2}dx

   Prima integrală se face direct. Pentru a doua folosim integrarea prin părți cu \(\left(-\frac1x\right)'=\frac1{x^2}\). Apare \(\int_1^e \frac{2\ln x}{x^2}dx\), pe care o facem tot prin părți: \(=-\frac{2\ln x}{x}\Big|_1^e+\int_1^e\frac{2}{x^2}dx=-\frac2e+2\left(1-\frac1e\right)=2-\frac4e\). Primul termen: \(-\frac{1}{e}\). Deci a doua integrală este \(-\frac1e+2-\frac4e=2-\frac5e\).

4. 4

   Adunăm și obținem aria

   \mathcal{A}=\left(1-\frac1e\right)+\left(2-\frac5e\right)=3-\frac6e

   Adunăm cele două rezultate: \(1+2=3\) și \(-\frac1e-\frac5e=-\frac6e\). Aria este \(3-\frac6e\), același rezultat ca în barem.

5. 5

   Aflăm m

   m\left(1-\frac2e\right)=3-\frac6e=3\left(1-\frac2e\right)\Rightarrow m=3

   Egalăm aria cu \(m\left(1-\frac2e\right)\). Scoatem factor 3: \(3-\frac6e=3\left(1-\frac2e\right)\). Cum \(1-\frac2e\neq0\), împărțim la el și obținem \(m=3\).

Răspuns: m = 3