Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2026, sesiunea august (rezervă) (varianta 05)

Arătați că \(i(6-i)+3(3-2i)=10\), unde \(i^2=-1\).

Metoda: Calcul cu numere complexe

1. 1

   Desfacem parantezele

   i(6-i)+3(3-2i)=6i-i^2+9-6i

   Înmulțim fiecare factor din față cu termenii din paranteză: \(i\cdot 6=6i\), \(i\cdot(-i)=-i^2\), \(3\cdot 3=9\) și \(3\cdot(-2i)=-6i\). Facem asta ca să scăpăm de paranteze și să putem aduna termenii asemenea.

2. 2

   Folosim \(i^2=-1\)

   6i-i^2+9-6i=6i-(-1)+9-6i=6i+1+9-6i

   Din enunț știm că \(i^2=-1\). Înlocuim \(-i^2\) cu \(-(-1)=+1\). Semnul minus din fața lui \(i^2\) și semnul minus din \(-1\) dau plus.

3. 3

   Reducem termenii asemenea

   6i+1+9-6i=(6i-6i)+(1+9)=0+10=10

   Termenii cu \(i\) se reduc: \(6i-6i=0\). Rămân părțile reale: \(1+9=10\). Am obținut exact rezultatul cerut, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: Am obținut \(i(6-i)+3(3-2i)=1+9=10\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-4x\). Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției \(f\) cu axa \(Ox\).

Metoda: Rezolvarea ecuației f(x)=0

1. 1

   Punem condiția de intersecție cu Ox

   f(x)=0 \Rightarrow x^2-4x=0

   Orice punct de pe axa Ox are ordonata 0. Un punct al graficului are coordonatele \((x, f(x))\), deci se află pe Ox exact când \(f(x)=0\). Așa ajungem la ecuația \(x^2-4x=0\).

2. 2

   Rezolvăm ecuația prin factor comun

   x^2-4x=0 \Rightarrow x(x-4)=0 \Rightarrow x=0 \text{ sau } x=4

   Scoatem factor comun pe \(x\). Un produs este zero doar dacă cel puțin un factor este zero, deci \(x=0\) sau \(x-4=0\), adică \(x=4\).

3. 3

   Verificăm și formulăm răspunsul

   f(0)=0,\; f(4)=0

   Verificăm că ambele valori anulează funcția: \(f(0)=0\) și \(f(4)=16-16=0\). Cerința cere doar abscisele, deci răspundem cu \(0\) și \(4\) (punctele sunt \((0,0)\) și \((4,0)\)).

Răspuns: Abscisele sunt \(0\) și \(4\).

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(7^{3x-2}=7^{-x}\cdot 49\).

Metoda: Egalarea exponenților (aceeași bază)

1. 1

   Scriem 49 ca putere a lui 7

   49=7^2

   Baza din stânga este 7, deci vrem ca și în dreapta să apară tot baza 7. Cum \(49=7\cdot 7=7^2\), putem înlocui 49 cu \(7^2\).

2. 2

   Unim puterile din membrul drept

   7^{3x-2}=7^{-x}\cdot 7^2=7^{-x+2}

   Folosim regula \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\): la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții se adună. Așa membrul drept devine o singură putere a lui 7, cu exponentul \(-x+2\).

3. 3

   Egalăm exponenții

   7^{3x-2}=7^{-x+2}\Rightarrow 3x-2=-x+2

   Funcția \(t\mapsto 7^t\) este injectivă (strict crescătoare): dacă două puteri ale lui 7 sunt egale, atunci și exponenții sunt egali. Deci obținem o ecuație de gradul I.

4. 4

   Rezolvăm ecuația de gradul I

   3x+x=2+2\Rightarrow 4x=4\Rightarrow x=1

   Mutăm necunoscutele în stânga și numerele în dreapta: \(3x+x=2+2\), adică \(4x=4\), deci \(x=1\).

5. 5

   Verificăm soluția

   7^{3\cdot 1-2}=7^1=7,\quad 7^{-1}\cdot 49=\frac{49}{7}=7

   Înlocuim \(x=1\) în ecuația inițială: stânga este \(7^{1}=7\), iar dreapta este \(7^{-1}\cdot 49=7\). Cele două părți coincid, deci soluția este corectă.

Răspuns: \(x=1\)

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea \(A = \{2, 3, 4, 5, 8, 9\}\).

Metoda: Principiul multiplicării (combinatorică)

1. 1

   Alegem cifra unităților

   \text{cifra unităților} \in \{3, 5, 9\}

   Un număr este impar dacă ultima lui cifră este impară. Din mulțimea \(A\), cifrele impare sunt \(3\), \(5\) și \(9\). Începem cu această cifră pentru că are restricția cea mai puternică: nu o putem alege oricum. Deci cifra unităților se poate alege în \(3\) moduri.

2. 2

   Alegem cifra zecilor

   6 - 1 = 5

   Cifrele numărului trebuie să fie distincte. Una dintre cele \(6\) cifre din \(A\) este deja folosită la unități, deci pentru cifra zecilor rămân \(6-1=5\) cifre. Cifra \(0\) nu apare în \(A\), deci nu avem probleme cu numerele care ar începe cu zero. Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în \(5\) moduri.

3. 3

   Aplicăm regula produsului

   3 \cdot 5 = 15

   Cele două alegeri se fac una după alta: pentru fiecare dintre cele \(3\) cifre posibile ale unităților avem câte \(5\) cifre posibile pentru zeci. Înmulțim numărul de moduri: \(3 \cdot 5 = 15\). Deci se pot forma \(15\) numere.

Răspuns: Se pot forma \(15\) numere.

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(5,2)\), \(B(7,4)\) și \(C\), astfel încât \(A\) este mijlocul segmentului \(BC\). Determinați lungimea segmentului \(OC\).

Metoda: Formula coordonatelor mijlocului

1. 1

   Scriem formulele mijlocului segmentului BC

   x_A=\frac{x_B+x_C}{2},\quad y_A=\frac{y_B+y_C}{2}

   Dacă \(A\) este mijlocul segmentului \(BC\), atunci coordonatele lui \(A\) sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor \(B\) și \(C\). Înlocuim \(A(5,2)\) și \(B(7,4)\): \(\frac{7+x_C}{2}=5\) și \(\frac{4+y_C}{2}=2\).

2. 2

   Aflăm coordonatele lui C

   7+x_C=10\Rightarrow x_C=3,\quad 4+y_C=4\Rightarrow y_C=0

   Înmulțim ambele ecuații cu 2: \(7+x_C=10\), deci \(x_C=3\); și \(4+y_C=4\), deci \(y_C=0\). Așadar \(C(3,0)\).

3. 3

   Calculăm lungimea OC

   OC=\sqrt{(x_C-0)^2+(y_C-0)^2}=\sqrt{3^2+0^2}=3

   Distanța de la origine \(O(0,0)\) la \(C(3,0)\) se află cu formula distanței dintre două puncte. Obținem \(OC=\sqrt{9+0}=3\). Rezultatul are sens: \(C\) se află pe axa \(Ox\), la 3 unități de origine.

Răspuns: \(OC=3\)

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(AB = 2\) și \(BC = 4\). Arătați că \(AD = \sqrt{3}\), unde \(AD\) este înălțime a triunghiului \(ABC\).

Metoda: Teorema lui Pitagora și aria

1. 1

   Aflăm cateta AC

   AC^2 = BC^2 - AB^2 = 16 - 4 = 12 \Rightarrow AC = 2\sqrt{3}

   Unghiul drept este în \(A\), deci ipotenuza este \(BC\). Teorema lui Pitagora spune că \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), de unde \(AC^2 = BC^2 - AB^2 = 16 - 4 = 12\). Deci \(AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).

2. 2

   Scriem aria în două moduri

   \mathcal{A} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{BC \cdot AD}{2}

   Aria unui triunghi dreptunghic se poate calcula cu catetele ca bază și înălțime: \(\frac{AB \cdot AC}{2}\). Se poate calcula și cu ipotenuza ca bază și înălțimea \(AD\) dusă pe ea: \(\frac{BC \cdot AD}{2}\). Ambele expresii dau aceeași arie, deci le egalăm. Obținem \(\frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = \frac{AD \cdot 4}{2}\).

3. 3

   Aflăm înălțimea AD

   AD = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}

   Din egalitatea ariilor, \(AD \cdot 4 = 2 \cdot 2\sqrt{3}\), deci \(AD = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\). Acesta este exact rezultatul cerut în enunț.

Răspuns: AD = \sqrt{3}

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x-2&-1-x\\3x&x+4\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(2))=18\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(2)

   A(2)=\begin{pmatrix}2-2&-1-2\\3\cdot 2&2+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-3\\6&6\end{pmatrix}

   Matricea \(A(x)\) depinde de \(x\). Pentru \(A(2)\) înlocuim peste tot \(x\) cu 2 și calculăm fiecare element: \(2-2=0\), \(-1-2=-3\), \(3\cdot 2=6\), \(2+4=6\). Trebuie să avem matricea cu numere concrete înainte să calculăm determinantul.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(2))=\begin{vmatrix}0&-3\\6&6\end{vmatrix}=0\cdot 6-(-3)\cdot 6=0+18=18

   Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: \(ad-bc\). Aici \(0\cdot 6=0\), iar \((-3)\cdot 6=-18\), deci \(0-(-18)=18\). Se obține valoarea cerută.

Răspuns: \(\det(A(2))=18\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x-2&-1-x\\3x&x+4\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. Arătați că matricea \(B=4I_2-A(1)\) este inversa matricei \(A(1)\).

Metoda: Definiția matricei inverse

1. 1

   Calculăm A(1) și B

   A(1)=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&5\end{pmatrix},\quad B=4I_2-A(1)=\begin{pmatrix}5&2\\-3&-1\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x=1\) în \(A(x)\): \(1-2=-1\), \(-1-1=-2\), \(3\cdot1=3\), \(1+4=5\). Apoi \(4I_2=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}\) și scădem element cu element: \(4-(-1)=5\), \(0-(-2)=2\), \(0-3=-3\), \(4-5=-1\).

2. 2

   Calculăm produsul A(1)·B

   A(1)\cdot B=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&2\\-3&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2

   Înmulțim linie cu coloană: \((-1)\cdot5+(-2)\cdot(-3)=-5+6=1\); \((-1)\cdot2+(-2)\cdot(-1)=-2+2=0\); \(3\cdot5+5\cdot(-3)=15-15=0\); \(3\cdot2+5\cdot(-1)=6-5=1\).

3. 3

   Calculăm B·A(1) și concluzionăm

   B\cdot A(1)=\begin{pmatrix}5&2\\-3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-2\\3&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2

   Calculăm: \(5\cdot(-1)+2\cdot3=1\); \(5\cdot(-2)+2\cdot5=0\); \((-3)\cdot(-1)+(-1)\cdot3=0\); \((-3)\cdot(-2)+(-1)\cdot5=1\). Deci \(A(1)\cdot B=B\cdot A(1)=I_2\), adică \(B\) este inversa matricei \(A(1)\). Înmulțirea matricelor nu e comutativă, de aceea verificăm ambele produse, așa cum cere baremul.

Răspuns: Cum \(A(1)\cdot B=B\cdot A(1)=I_2\), matricea \(B\) este inversa matricei \(A(1)\).

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}x-2&-1-x\\3x&x+4\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Determinați matricea \(X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) pentru care \(12X-3A(1)\cdot X=A(5)\).

Metoda: Ecuație matriceală cu inversa

1. 1

   Dăm factor comun matricea X

   3\left(4I_2-A(1)\right)\cdot X=A(5)

   Scriem \(12X=12I_2\cdot X\), pentru că \(I_2\) este elementul neutru la înmulțire. Atunci \(12X-3A(1)X=(12I_2-3A(1))X=3(4I_2-A(1))X\). Astfel X apare o singură dată, iar factorul \(4I_2-A(1)\) este exact matricea B de la punctul b).

2. 2

   Calculăm matricea A(5)

   A(5)=\begin{pmatrix}3&-6\\15&9\end{pmatrix}

   Înlocuim \(x=5\) în \(A(x)\): \(5-2=3\), \(-1-5=-6\), \(3\cdot5=15\), \(5+4=9\).

3. 3

   Folosim inversa din punctul b)

   \left(4I_2-A(1)\right)^{-1}=A(1)\ \Rightarrow\ X=\frac{1}{3}A(1)\cdot A(5)

   La punctul b) am arătat că \(B=4I_2-A(1)\) este inversa lui \(A(1)\). Atunci și \(A(1)\) este inversa lui B, deci \(B^{-1}=A(1)\). Din \(3BX=A(5)\) înmulțim la stânga cu \(\frac13B^{-1}\) și obținem \(X=\frac13A(1)A(5)\). Ordinea contează: înmulțim la stânga, pentru că B este în stânga lui X.

4. 4

   Calculăm produsul și obținem X

   A(1)=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&5\end{pmatrix},\ A(1)\cdot A(5)=\begin{pmatrix}-33&-12\\84&27\end{pmatrix},\ X=\frac13\begin{pmatrix}-33&-12\\84&27\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-11&-4\\28&9\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană: \((-1)\cdot3+(-2)\cdot15=-33\); \((-1)(-6)+(-2)\cdot9=-12\); \(3\cdot3+5\cdot15=84\); \(3\cdot(-6)+5\cdot9=27\). Apoi împărțim fiecare element la 3.

Răspuns: \(X=\begin{pmatrix}-11&-4\\28&9\end{pmatrix}\)

Se consideră polinomul \(f = X^3 + 2X^2 + mX + 4\), unde \(m\) este număr real. a) Pentru \(m = 2\), arătați că \(f(-2) = 0\).

Metoda: Valoarea polinomului într-un punct

1. 1

   Scriem polinomul pentru m = 2

   f = X^3 + 2X^2 + 2X + 4

   Condiția din enunț spune că \(m = 2\). Înlocuim această valoare în coeficientul lui \(X\) și obținem polinomul concret cu care lucrăm. Fără acest pas am avea o necunoscută în plus în calcul.

2. 2

   Calculăm f(-2)

   f(-2) = (-2)^3 + 2\cdot(-2)^2 + 2\cdot(-2) + 4

   Valoarea polinomului în punctul \(-2\) se obține înlocuind peste tot \(X\) cu \(-2\). Atenție la semne: \((-2)^3 = -8\) (putere impară, rezultat negativ), iar \((-2)^2 = 4\) (putere pară, rezultat pozitiv). Deci \(f(-2) = -8 + 8 - 4 + 4\).

3. 3

   Adunăm și tragem concluzia

   f(-2) = -8 + 8 - 4 + 4 = 0

   Adunăm termenii: \(-8+8=0\) și \(-4+4=0\), deci suma este 0. Am obținut \(f(-2)=0\), ceea ce era de arătat. Asta înseamnă că \(-2\) este rădăcină a polinomului \(f\).

Răspuns: Pentru \(m=2\): \(f(-2) = -8 + 8 - 4 + 4 = 0\), deci \(f(-2)=0\).

Subiectul II, 2. b): Se consideră polinomul \(f = X^3 + 2X^2 + mX + 4\), unde \(m\) este număr real. Pentru \(m = 1\), determinați restul împărțirii polinomului \(f\) la polinomul \(g = X + 1\).

Metoda: Teorema restului

1. 1

   Scriem polinomul pentru m = 1

   f = X^3 + 2X^2 + X + 4

   Înlocuim \(m\) cu \(1\) în \(f = X^3 + 2X^2 + mX + 4\). Obținem \(f = X^3 + 2X^2 + X + 4\). Facem asta primul pentru că mai departe lucrăm cu un polinom concret, fără parametri.

2. 2

   Aplicăm teorema restului

   g = X + 1 = X - (-1) \Rightarrow r = f(-1)

   Teorema restului spune că restul împărțirii lui \(f\) la \(X - a\) este \(f(a)\). Aici \(X + 1 = X - (-1)\), deci \(a = -1\) și restul este \(f(-1)\). Restul este un număr, pentru că împărțim la un polinom de gradul 1.

3. 3

   Calculăm f(-1)

   f(-1) = (-1)^3 + 2\cdot(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 + 2 - 1 + 4 = 4

   Înlocuim \(X\) cu \(-1\): \((-1)^3 = -1\), \(2\cdot(-1)^2 = 2\), apoi \(-1\) și \(4\). Suma este \(-1+2-1+4 = 4\). Deci restul împărțirii lui \(f\) la \(g\) este \(4\).

Răspuns: Restul împărțirii polinomului f la g = X + 1 este 4.

Subiectul II, 2. c): Se consideră polinomul \(f = X^3 + 2X^2 + mX + 4\), unde \(m\) este număr real. Determinați rădăcinile polinomului \(f\), știind că produsul a două dintre acestea este egal cu 1.

Metoda: Relațiile lui Viète

1. 1

   Scriem relațiile lui Viète

   x_1+x_2+x_3=-2,\quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m,\quad x_1x_2x_3=-4

   Pentru polinomul \(X^3+aX^2+bX+c\) cu rădăcinile \(x_1,x_2,x_3\) avem: suma rădăcinilor este \(-a\), suma produselor câte două este \(b\), iar produsul rădăcinilor este \(-c\). Aici \(a=2\), \(b=m\), \(c=4\).

2. 2

   Aflăm a treia rădăcină

   x_1x_2=1\ \Rightarrow\ 1\cdot x_3=-4\ \Rightarrow\ x_3=-4

   Presupunem că \(x_1x_2=1\). Înlocuim în produsul tuturor rădăcinilor: \(x_1x_2x_3=-4\), deci \(x_3=-4\).

3. 3

   Aflăm suma celorlalte două rădăcini

   x_1+x_2+x_3=-2\ \Rightarrow\ x_1+x_2=-2-(-4)=2

   Din prima relație Viète, suma tuturor rădăcinilor este \(-2\). Cum \(x_3=-4\), rămâne \(x_1+x_2=-2+4=2\).

4. 4

   Aflăm rădăcinile \(x_1\) și \(x_2\)

   x_1+x_2=2,\ x_1x_2=1\ \Rightarrow\ t^2-2t+1=0\ \Rightarrow\ (t-1)^2=0\ \Rightarrow\ x_1=x_2=1

   Două numere cu suma 2 și produsul 1 sunt rădăcinile ecuației \(t^2-St+P=0\), adică \(t^2-2t+1=0\). Aceasta este \((t-1)^2=0\), deci \(t=1\) dublă. Rădăcinile lui \(f\) sunt \(1\), \(1\) și \(-4\).

5. 5

   Verificare cu \(m\)

   m=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1-4-4=-7

   Putem verifica și valoarea lui \(m\): suma produselor câte două este \(1+(-4)+(-4)=-7\). Atunci \(f=X^3+2X^2-7X+4\), iar \(f(1)=1+2-7+4=0\), deci 1 este rădăcină, conform cerinței.

Răspuns: Rădăcinile polinomului \(f\) sunt \(x_1=x_2=1\) și \(x_3=-4\) (pentru \(m=-7\)).

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+3x+1}{x+1}\). Arătați că \(f'(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}\), \(x\in(-1,+\infty)\).

Metoda: Derivata unui raport de funcții

1. 1

   Aplicăm formula derivatei câtului

   f'(x)=\frac{(x^2+3x+1)'(x+1)-(x^2+3x+1)(x+1)'}{(x+1)^2}=\frac{(2x+3)(x+1)-(x^2+3x+1)\cdot 1}{(x+1)^2}

   Funcția are forma \(\frac{u}{v}\) cu \(u=x^2+3x+1\) și \(v=x+1\). Formula este \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\). Avem \(u'=2x+3\) și \(v'=1\). Folosim formula pentru că derivata câtului nu este câtul derivatelor.

2. 2

   Efectuăm calculele de la numărător

   (2x+3)(x+1)-(x^2+3x+1)=2x^2+5x+3-x^2-3x-1=x^2+2x+2

   Înmulțim parantezele: \((2x+3)(x+1)=2x^2+2x+3x+3=2x^2+5x+3\). Apoi scădem \(x^2+3x+1\), având grijă să schimbăm semnul tuturor termenilor din paranteză. Reducem termenii asemenea: \(2x^2-x^2=x^2\), \(5x-3x=2x\), \(3-1=2\).

3. 3

   Scriem rezultatul final

   f'(x)=\frac{x^2+2x+2}{(x+1)^2},\ x\in(-1,+\infty)

   Numitorul rămâne \((x+1)^2\), iar numărătorul este cel obținut. Obținem exact expresia din enunț. Pe \((-1,+\infty)\) numitorul este nenul, deci derivata este bine definită.

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}\), \(x\in(-1,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+3x+1}{x+1}\). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul de abscisă \(x=0\), situat pe graficul funcției \(f\).

Metoda: Ecuația tangentei la grafic

1. 1

   Calculăm f(0)

   f(0)=\frac{0^2+3\cdot 0+1}{0+1}=1

   Punctul de tangență are abscisa 0. Ordonata lui o aflăm înlocuind x = 0 în formula funcției. Rezultă punctul \((0,1)\) de pe grafic.

2. 2

   Calculăm f'(0)

   f'(0)=\frac{0^2+2\cdot 0+2}{(0+1)^2}=2

   Panta tangentei este derivata în punctul de tangență. Folosim formula lui f'(x) demonstrată la punctul a) și înlocuim x = 0.

3. 3

   Scriem ecuația tangentei

   y-f(0)=f'(0)(x-0)\;\Rightarrow\; y-1=2x\;\Rightarrow\; y=2x+1

   Înlocuim în formula tangentei valorile f(0) = 1 și f'(0) = 2 și aducem ecuația la forma y = mx + n.

Răspuns: Ecuația tangentei la graficul lui f în punctul de abscisă x = 0 este \(y=2x+1\).

Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{x^2+3x+1}{x+1}\). c) Demonstrați că funcția \(f\) este concavă.

Metoda: Semnul derivatei a doua

1. 1

   Reținem derivata întâi

   f'(x)=\frac{x^2+2x+2}{(x+1)^2},\quad x\in(-1,+\infty)

   De la punctul a) știm deja \(f'(x)\). Concavitatea se studiază cu \(f''\), adică derivata derivatei, deci pornim de aici. Putem folosi direct rezultatul de la a), pentru că el era de demonstrat și a fost demonstrat.

2. 2

   Simplificăm scrierea lui f'

   f'(x)=\frac{(x+1)^2+1}{(x+1)^2}=1+\frac{1}{(x+1)^2}

   Observăm că \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\). Atunci fracția se desparte în \(1\) plus \(\frac{1}{(x+1)^2}\), iar derivata a doua va fi mai ușor de calculat. Baremul derivează direct fracția, dar rezultatul este același.

3. 3

   Calculăm derivata a doua

   f''(x)=\left(1+(x+1)^{-2}\right)'=-2(x+1)^{-3}=-\frac{2}{(x+1)^3},\quad x\in(-1,+\infty)

   Derivata constantei \(1\) este \(0\). Pentru \((x+1)^{-2}\) folosim regula \((u^n)'=n\,u^{n-1}u'\), cu \(u=x+1\) și \(u'=1\). Rezultă \(-2(x+1)^{-3}\). Obținem aceeași expresie ca în barem: \(f''(x)=-\frac{2}{(x+1)^3}\).

4. 4

   Stabilim semnul și concluzionăm

   x>-1\Rightarrow x+1>0\Rightarrow (x+1)^3>0\Rightarrow f''(x)=-\frac{2}{(x+1)^3}<0

   Pe intervalul \((-1,+\infty)\) avem \(x+1>0\), deci numitorul \((x+1)^3\) este pozitiv. Numărătorul \(-2\) este negativ, deci fracția este negativă. Așadar \(f''(x)\le 0\) pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\), iar o funcție cu a doua derivată negativă pe un interval este concavă pe acel interval.

Răspuns: Cum \(f''(x)=-\dfrac{2}{(x+1)^3}\le 0\) pentru orice \(x\in(-1,+\infty)\), funcția \(f\) este concavă.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x^2+4+e^x\). Arătați că \(\int_0^1 \left(f(x)-3x^2\right)dx = e+3\).

Metoda: Integrala definită, formula Leibniz-Newton

1. 1

   Simplificăm funcția de integrat

   f(x)-3x^2=(3x^2+4+e^x)-3x^2=4+e^x

   Înlocuim \(f(x)\) cu expresia dată și reducem termenii asemenea. Termenul \(3x^2\) dispare, iar integrala devine \(\int_0^1 (4+e^x)\,dx\), mult mai ușor de calculat.

2. 2

   Calculăm primitivele

   \int_0^1 (4+e^x)\,dx=\left(4x+e^x\right)\Big|_0^1

   Integrala unei sume este suma integralelor. O primitivă a constantei \(4\) este \(4x\), iar o primitivă a lui \(e^x\) este chiar \(e^x\). Scriem apoi rezultatul cu formula Leibniz-Newton: \(F(1)-F(0)\).

3. 3

   Aplicăm limitele de integrare

   \left(4\cdot 1+e^1\right)-\left(4\cdot 0+e^0\right)=4+e-1=e+3

   Înlocuim \(x=1\) și \(x=0\) în primitivă și scădem. Avem \(e^0=1\), deci \(4+e-1=e+3\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_0^1 \left(f(x)-3x^2\right)dx = e+3\)

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=3x^2+4+e^x \). Arătați că \( \int_0^2 \frac{x}{f(x)-e^x}\,dx=\frac{\ln 2}{3} \).

Metoda: Integrare prin logaritm derivat

1. 1

   Simplificăm numitorul

   f(x)-e^x=3x^2+4+e^x-e^x=3x^2+4

   Înlocuim f(x) cu expresia dată. Termenii \(e^x\) și \(-e^x\) se anulează, deci numitorul devine \(3x^2+4\). Integrala devine \(\int_0^2 \frac{x}{3x^2+4}\,dx\). Facem asta pentru a scăpa de exponențială și a avea o fracție ușor de integrat.

2. 2

   Facem să apară derivata numitorului

   (3x^2+4)'=6x \Rightarrow \frac{x}{3x^2+4}=\frac{1}{6}\cdot\frac{(3x^2+4)'}{3x^2+4}

   Derivata numitorului este \(6x\). La numărător avem doar \(x\), deci îl scriem ca \(\frac{1}{6}\cdot 6x\). Așa integrala are forma \(\int \frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|\), cu \(u=3x^2+4\).

3. 3

   Calculăm integrala

   \frac16\int_0^2\frac{(3x^2+4)'}{3x^2+4}dx=\frac16\ln(3x^2+4)\Big|_0^2=\frac{\ln 16}{6}-\frac{\ln 4}{6}

   Primitiva este \(\frac16\ln(3x^2+4)\); expresia \(3x^2+4\) este pozitivă, deci nu avem nevoie de modul. Pentru \(x=2\): \(3\cdot4+4=16\). Pentru \(x=0\): \(4\). Aplicăm formula Leibniz-Newton.

4. 4

   Simplificăm rezultatul

   \frac{\ln16-\ln4}{6}=\frac{\ln\frac{16}{4}}{6}=\frac{\ln4}{6}=\frac{2\ln2}{6}=\frac{\ln 2}{3}

   Baremul scrie diferența ca \(\frac{\ln 16}{6}-\frac{\ln 4}{6}\). Folosim \(\ln16=4\ln2\) și \(\ln4=2\ln2\), deci diferența este \(\frac{4\ln2-2\ln2}{6}=\frac{2\ln2}{6}=\frac{\ln2}{3}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \( \int_0^2 \frac{x}{f(x)-e^x}\,dx=\frac{\ln 2}{3} \)

Se consideră \(G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), o primitivă a funcției \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=f(x^2)-3x^4\), unde \(f(x)=3x^2+4+e^x\). Știind că \(\int_0^1 G(x)\,dx=\frac{1-e}{2}\), arătați că \(G(1)=2\).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Aflăm expresia lui g

   g(x)=f(x^2)-3x^4=3x^4+4+e^{x^2}-3x^4=4+e^{x^2}

   Înlocuim x cu \(x^2\) în \(f(x)=3x^2+4+e^x\) și obținem \(f(x^2)=3x^4+4+e^{x^2}\). Scădem \(3x^4\) și termenii cu \(x^4\) se reduc. Ne trebuie g explicit, pentru că \(G'=g\) va apărea la integrarea prin părți.

2. 2

   Integrăm prin părți

   \int_0^1 G(x)\,dx=\int_0^1 x'\,G(x)\,dx=xG(x)\Big|_0^1-\int_0^1 x\,g(x)\,dx=G(1)-\int_0^1\left(4x+xe^{x^2}\right)dx

   Scriem \(G(x)=x'\cdot G(x)\) și aplicăm formula \(\int u'v=uv-\int uv'\), cu \(u=x\), \(v=G\). Cum \(G'=g\), integrala rămasă conține g. Termenul \(xG(x)\) de la 0 la 1 dă \(1\cdot G(1)-0\cdot G(0)=G(1)\). Apoi \(x\,g(x)=4x+xe^{x^2}\).

3. 3

   Calculăm integrala lui x·g(x)

   \int_0^1 4x\,dx=2x^2\Big|_0^1=2,\quad \int_0^1 xe^{x^2}dx=\frac12 e^{x^2}\Big|_0^1=\frac{e-1}{2},\quad 2+\frac{e-1}{2}=\frac{e+3}{2}

   Pentru \(4x\) primitiva este \(2x^2\), care de la 0 la 1 dă 2. Pentru \(xe^{x^2}\) observăm că \((e^{x^2})'=2xe^{x^2}\), deci primitiva este \(\frac12 e^{x^2}\), iar valoarea este \(\frac12(e-1)\). Adunăm cele două rezultate. Deci \(\int_0^1 G(x)dx=G(1)-\frac{e+3}{2}\).

4. 4

   Folosim datul problemei și aflăm G(1)

   G(1)-\frac{e+3}{2}=\frac{1-e}{2}\Rightarrow G(1)=\frac{1-e}{2}+\frac{e+3}{2}=\frac{4}{2}=2

   Din enunț știm că \(\int_0^1 G(x)dx=\frac{1-e}{2}\). Egalăm cu rezultatul de la pasul anterior și izolăm G(1). Termenii cu e se reduc: \(-e+e=0\), iar \(1+3=4\), deci \(G(1)=2\).

Răspuns: G(1) = 2