Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2026, sesiunea iunie–iulie (varianta 03)

Arătați că \((4,9-3,4):3+2,5=3\).

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Calculăm paranteza

   4{,}9-3{,}4=1{,}5

   Întâi se efectuează operațiile din paranteză. Scriem numerele ca zecimi: \(4,9=\frac{49}{10}\) și \(3,4=\frac{34}{10}\). Atunci \(\frac{49}{10}-\frac{34}{10}=\frac{15}{10}=1,5\). Astfel expresia devine \(1,5:3+2,5\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   1{,}5:3=0{,}5

   După paranteză urmează împărțirea, care are prioritate față de adunare. Cum \(1,5=\frac{3}{2}\), avem \(\frac{3}{2}:3=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}=0,5\).

3. 3

   Adunăm și obținem rezultatul

   0{,}5+2{,}5=3

   Ultima operație este adunarea: \(0,5+2,5=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3\). Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \((4,9-3,4):3+2,5=1,5:3+2,5=0,5+2,5=3\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-21\). Determinați numărul real \(a\) pentru care punctul \(A(-3a,a)\) aparține graficului funcției \(f\).

Metoda: Punct pe graficul unei funcții

1. 1

   Scriem condiția de apartenență la grafic

   A(-3a,a)\in G_f \Leftrightarrow f(-3a)=a

   Punctul \(A\) are abscisa \(-3a\) și ordonata \(a\). Dacă \(A\) se află pe grafic, atunci valoarea funcției în abscisa \(-3a\) trebuie să fie exact ordonata \(a\). Deci \(f(-3a)=a\).

2. 2

   Calculăm \(f(-3a)\) și formăm ecuația

   f(-3a)=2\cdot(-3a)-21=-6a-21,\quad -6a-21=a

   Înlocuim pe \(x\) cu \(-3a\) în formula \(f(x)=2x-21\). Obținem \(-6a-21\). Egalăm cu \(a\) conform pasului anterior.

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   -6a-21=a\Rightarrow -21=7a\Rightarrow a=-3

   Mutăm termenii cu \(a\) în aceeași parte: \(-21=a+6a=7a\). Împărțim la 7 și obținem \(a=-3\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   A(9,-3),\ f(9)=2\cdot 9-21=-3

   Pentru \(a=-3\), punctul este \(A(9,-3)\). Calculăm \(f(9)=18-21=-3\), egal cu ordonata lui \(A\). Deci punctul este pe grafic.

Răspuns: \(a=-3\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\log_7(1+2x-x^2)=\log_7(3-x)\).

Metoda: Ecuații logaritmice, egalarea argumentelor

1. 1

   Egalăm argumentele logaritmilor

   1+2x-x^2=3-x

   Logaritmii au aceeași bază, 7, iar funcția \(\log_7\) este injectivă: dacă \(\log_7 A=\log_7 B\), atunci \(A=B\). De aceea putem scrie direct egalitatea argumentelor, cu condiția ca ele să fie pozitive (verificăm la final).

2. 2

   Aducem ecuația la forma generală

   x^2-3x+2=0

   Mutăm toți termenii în partea dreaptă: \(0=3-x-1-2x+x^2=x^2-3x+2\). Obținem o ecuație de gradul al doilea, pe care o putem rezolva prin descompunere sau cu formula discriminantului.

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul al doilea

   \Delta=9-8=1,\quad x_{1,2}=\frac{3\pm1}{2},\quad x=1\text{ sau }x=2

   Calculăm discriminantul \(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=1\). Apoi \(x=\frac{3\pm1}{2}\), deci \(x=2\) sau \(x=1\). Putem verifica și prin descompunere: \((x-1)(x-2)=0\).

4. 4

   Verificăm condițiile de existență

   3-x>0,\quad 1+2x-x^2>0

   Logaritmul există doar pentru argumente strict pozitive. Pentru \(x=1\): \(3-1=2>0\) și \(1+2-1=2>0\). Pentru \(x=2\): \(3-2=1>0\) și \(1+4-4=1>0\). Deoarece cele două argumente sunt egale, e suficient să verificăm că \(3-x>0\). Ambele soluții convin.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=1\) și \(x=2\), adică \(S=\{1,2\}\).

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar de \(11\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile / posibile

1. 1

   Cazurile posibile

   99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt cele de la \(10\) la \(99\). Le numărăm: \(99-10+1=90\). Fiecare număr poate fi ales, deci avem \(90\) de cazuri posibile.

2. 2

   Cazurile favorabile

   11\cdot 1=11,\ 11\cdot 3=33,\ 11\cdot 5=55,\ 11\cdot 7=77,\ 11\cdot 9=99

   Un multiplu de \(11\) are forma \(11k\). Numărul \(11k\) este impar doar dacă \(k\) este impar. Pentru două cifre trebuie \(10\le 11k\le 99\), deci \(k\in\{1,2,\dots,9\}\). Valorile impare ale lui \(k\) sunt \(1,3,5,7,9\), deci numerele sunt \(11, 33, 55, 77, 99\). Avem \(5\) cazuri favorabile. Multiplii pari (\(22, 44, 66, 88\)) nu convin.

3. 3

   Calculul probabilității

   p=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}

   Aplicăm formula \(p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{5}{90}\). Simplificăm fracția prin \(5\) și obținem \(\dfrac{1}{18}\), la fel ca în barem.

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{18}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,5)\), \(B(2,0)\) și \(C(4,2)\). Arătați că triunghiul \(ADC\) este isoscel, unde punctul \(D\) este mijlocul segmentului \(BC\).

Metoda: Formula distanței și mijlocul segmentului

1. 1

   Aflăm coordonatele mijlocului D

   D\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)=D\left(\frac{2+4}{2},\frac{0+2}{2}\right)=D(3,1)

   Punctul \(D\) este mijlocul segmentului \(BC\), deci coordonatele lui sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor \(B(2,0)\) și \(C(4,2)\). Avem nevoie de \(D\) ca să putem calcula lungimea \(AD\).

2. 2

   Calculăm lungimea AD

   AD=\sqrt{(3-0)^2+(1-5)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

   Folosim formula distanței dintre două puncte: \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\). Pentru \(A(0,5)\) și \(D(3,1)\) obținem \(AD=5\).

3. 3

   Calculăm lungimea AC și concluzionăm

   AC=\sqrt{(4-0)^2+(2-5)^2}=\sqrt{16+9}=5=AD

   Aplicăm aceeași formulă pentru \(A(0,5)\) și \(C(4,2)\). Obținem \(AC=5\), deci \(AD=AC\). Două laturi ale triunghiului \(ADC\) sunt egale, așadar triunghiul este isoscel (cu baza \(DC\)).

Răspuns: D(3,1), AD = AC = 5, deci triunghiul ADC este isoscel.

Se consideră triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(\operatorname{tg}B=\dfrac{1}{3}\) și aria egală cu \(24\). Arătați că \(AC=4\).

Metoda: Tangenta în triunghi dreptunghic

1. 1

   Folosim tangenta pentru a lega catetele

   \operatorname{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}\Rightarrow AB=3AC

   În triunghiul dreptunghic ABC, cu unghiul drept în A, tangenta unghiului B este raportul dintre cateta opusă (\(AC\)) și cateta alăturată (\(AB\)). Deci \(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{1}{3}\). Prin înmulțire pe diagonală obținem \(AB=3\cdot AC\). Facem asta ca să exprimăm ambele catete cu ajutorul unei singure necunoscute, \(AC\).

2. 2

   Scriem aria triunghiului

   \mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC}{2}=24\Rightarrow \frac{3AC\cdot AC}{2}=24

   Într-un triunghi dreptunghic, aria este jumătate din produsul catetelor: \(\dfrac{AB\cdot AC}{2}\). Știm că aria este 24 și înlocuim \(AB=3AC\) din pasul anterior. Obținem o ecuație cu o singură necunoscută, \(AC\).

3. 3

   Aflăm AC

   AC^2=16\Rightarrow AC=4

   Din \(AC^2=16\) rezultă \(AC=4\), deoarece \(AC\) este o lungime și deci este pozitivă (nu poate fi \(-4\)). Astfel am arătat ce se cerea. Pentru verificare: \(AB=3\cdot 4=12\), iar aria este \(\dfrac{12\cdot 4}{2}=24\), exact cât ne dă enunțul.

Răspuns: AC = 4

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}2a+2&-a\\a-3&1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=2\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}2\cdot 1+2&-1\\1-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-1\\-2&1\end{pmatrix}

   Matricea \(A(a)\) depinde de numărul \(a\). Pentru \(A(1)\) punem \(a=1\) în fiecare element: \(2a+2=4\), \(-a=-1\), \(a-3=-2\), iar elementul 1 rămâne neschimbat.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(1))=\begin{vmatrix}4&-1\\-2&1\end{vmatrix}=4\cdot 1-(-1)\cdot(-2)=4-2=2

   Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici: \(4\cdot1=4\), iar \((-1)\cdot(-2)=2\). Rezultă \(4-2=2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(1))=2\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}2a+2&-a\\a-3&1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A(0)\cdot\left(6I_2-A(2)-A(-2)\right)=xI_2\).

Metoda: Calcul cu matrice, egalarea matricelor

1. 1

   Calculăm A(0), A(2) și A(-2)

   A(0)=\begin{pmatrix}2&0\\-3&1\end{pmatrix},\ A(2)=\begin{pmatrix}6&-2\\-1&1\end{pmatrix},\ A(-2)=\begin{pmatrix}-2&2\\-5&1\end{pmatrix}

   Înlocuim pe rând \(a=0\), \(a=2\) și \(a=-2\) în \(A(a)\). Avem nevoie de aceste matrice ca să putem calcula expresia cerută. Pentru \(a=2\): \(2a+2=6\), \(-a=-2\), \(a-3=-1\). Pentru \(a=-2\): \(2a+2=-2\), \(-a=2\), \(a-3=-5\).

2. 2

   Calculăm 6I₂ − A(2) − A(−2)

   6I_2-A(2)-A(-2)=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&-2\\-1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2&2\\-5&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\6&4\end{pmatrix}

   Scădem matricele element cu element, adică pe fiecare poziție. Poziția (1,1): \(6-6-(-2)=2\). Poziția (1,2): \(0-(-2)-2=0\). Poziția (2,1): \(0-(-1)-(-5)=6\). Poziția (2,2): \(6-1-1=4\).

3. 3

   Înmulțim A(0) cu matricea obținută

   \begin{pmatrix}2&0\\-3&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&0\\6&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=4I_2

   La înmulțire facem linie \(\times\) coloană. Poziția (1,1): \(2\cdot2+0\cdot6=4\). Poziția (1,2): \(2\cdot0+0\cdot4=0\). Poziția (2,1): \((-3)\cdot2+1\cdot6=0\). Poziția (2,2): \((-3)\cdot0+1\cdot4=4\). Rezultă \(4I_2\).

4. 4

   Aflăm x

   4I_2=xI_2\Rightarrow x=4

   Două matrice sunt egale dacă elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Din \(4I_2=xI_2\) rezultă \(x=4\) (de exemplu, din poziția (1,1)).

Răspuns: \(x=4\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(a)=\begin{pmatrix}2a+2&-a\\a-3&1\end{pmatrix}\), unde \(a\) este număr real. c) Determinați matricea \(X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) pentru care \(A(1)\cdot X\cdot A(1)=4I_2\).

Metoda: Ecuație matriceală cu inversa

1. 1

   Calculăm A(1) și verificăm că este inversabilă

   A(1)=\begin{pmatrix}4&-1\\-2&1\end{pmatrix},\quad \det(A(1))=4\cdot 1-(-1)(-2)=2\neq 0

   Punem a=1 în matricea A(a): 2a+2=4, -a=-1, a-3=-2 și 1 rămâne 1. O matrice are inversă exact când determinantul ei este nenul. Din punctul a) știm deja că \(\det(A(1))=2\neq 0\), deci A(1) este inversabilă.

2. 2

   Izolăm necunoscuta X

   A(1)\cdot X\cdot A(1)=4I_2\;\Rightarrow\; X=4\,(A(1))^{-1}\cdot (A(1))^{-1}

   Înmulțim egalitatea la stânga cu \((A(1))^{-1}\) și la dreapta tot cu \((A(1))^{-1}\). Cum \(A^{-1}A=AA^{-1}=I_2\), în stânga rămâne doar X, iar în dreapta \(4\,(A(1))^{-1}I_2(A(1))^{-1}=4\,(A(1))^{-1}(A(1))^{-1}\).

3. 3

   Calculăm inversa lui A(1)

   (A(1))^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\1&2\end{pmatrix}

   Pentru \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) inversa este \(\frac{1}{\det}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\). Aici \(d=1\), \(-b=1\), \(-c=2\), \(a=4\), iar \(\det=2\). Obținem exact matricea din barem.

4. 4

   Calculăm X

   X=4\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\1&2\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}\frac34&\frac54\\\frac52&\frac92\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5\\10&18\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Poziția (1,1): \(\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot 1=\frac34\). Poziția (1,2): \(\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot 2=\frac54\). Poziția (2,1): \(1\cdot\frac12+2\cdot 1=\frac52\). Poziția (2,2): \(1\cdot\frac12+2\cdot 2=\frac92\). Apoi înmulțim cu 4 și obținem \(X=\begin{pmatrix}3&5\\10&18\end{pmatrix}\), ca în barem.

5. 5

   Verificare

   A(1)\cdot X=\begin{pmatrix}4&-1\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&5\\10&18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\4&8\end{pmatrix}

   Verificăm: \(\begin{pmatrix}2&2\\4&8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4&-1\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=4I_2\). Deci X este corect.

Răspuns: \(X=\begin{pmatrix}3&5\\10&18\end{pmatrix}\)

Se consideră polinomul \(f = X^3 - aX + 2 + a\), unde \(a\) este număr real. a) Arătați că \(f(1) = 3\), pentru orice număr real \(a\).

Metoda: Calculul valorii polinomului

1. 1

   Înlocuim X cu 1 în polinom

   f(1) = 1^3 - a\cdot 1 + 2 + a

   \(f(1)\) înseamnă valoarea polinomului când \(X = 1\). Înlocuim peste tot \(X\) cu \(1\) și păstrăm parametrul \(a\) așa cum este, deoarece nu cunoaștem valoarea lui.

2. 2

   Reducem termenii și obținem 3

   f(1) = 1 - a + 2 + a = 1 + 2 = 3

   Termenii \(-a\) și \(+a\) sunt opuși, deci se reduc și \(a\) dispare. Rămâne \(1 + 2 = 3\), pentru orice număr real \(a\). Asta trebuia arătat.

Răspuns: \(f(1) = 1 - a + 2 + a = 3\), pentru orice număr real \(a\).

Se consideră polinomul \(f = X^3 - aX + 2 + a\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care polinomul \(f\) este divizibil cu polinomul \(g = X + 2\).

Metoda: Teorema lui Bézout

1. 1

   Condiția de divizibilitate

   f \text{ divizibil cu } X+2 \iff f(-2)=0

   Conform teoremei lui Bézout, restul împărțirii lui \(f\) la \(X - c\) este \(f(c)\). Polinomul \(X+2\) se scrie \(X-(-2)\), deci \(c=-2\). Împărțirea este exactă (restul 0) exact când \(f(-2)=0\).

2. 2

   Calculăm f(−2)

   f(-2)=(-2)^3-a\cdot(-2)+2+a=-8+2a+2+a=3a-6

   Înlocuim \(X\) cu \(-2\) în \(f\). Avem \((-2)^3=-8\) și \(-a\cdot(-2)=+2a\). Adunăm termenii cu \(a\): \(2a+a=3a\), iar numerele: \(-8+2=-6\). Rezultă \(f(-2)=3a-6\), pentru orice \(a\) real.

3. 3

   Rezolvăm ecuația f(−2)=0

   3a-6=0 \Rightarrow a=2

   Punem condiția \(f(-2)=0\), adică \(3a-6=0\). Obținem \(3a=6\), deci \(a=2\).

4. 4

   Verificare

   a=2:\ f=X^3-2X+4,\ f(-2)=-8+4+4=0

   Pentru \(a=2\) avem \(f=X^3-2X+4\). Atunci \(f(-2)=-8+4+4=0\), deci \(f\) este divizibil cu \(X+2\).

Răspuns: a = 2

Subiectul II, 2. c): Se consideră polinomul \(f = X^3 - aX + 2 + a\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\) pentru care \(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3\), unde \(x_1\), \(x_2\) și \(x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).

Metoda: Relațiile lui Viète și rădăcinile

1. 1

   Scriem relațiile lui Viète

   x_1+x_2+x_3=0,\quad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-a

   Pentru un polinom de gradul 3, \(X^3+bX^2+cX+d\), avem \(x_1+x_2+x_3=-b\) și \(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=c\). La noi \(b=0\) (nu există termen în \(X^2\)) și \(c=-a\). Deci suma rădăcinilor este \(0\), iar suma produselor două câte două este \(-a\). Partea dreaptă a egalității din enunț este deci \(-a\).

2. 2

   Exprimăm suma cuburilor folosind f(xᵢ)=0

   x_i^3=ax_i-2-a \Rightarrow x_1^3+x_2^3+x_3^3=a(x_1+x_2+x_3)-6-3a=-3a-6

   Fiecare rădăcină verifică \(f(x_i)=0\), adică \(x_i^3-ax_i+2+a=0\). De aici \(x_i^3=ax_i-2-a\). Adunăm cele trei egalități pentru \(i=1,2,3\): \(x_1^3+x_2^3+x_3^3=a(x_1+x_2+x_3)-3(2+a)\). Cum \(x_1+x_2+x_3=0\), obținem \(-6-3a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația în a

   -3a-6=-a \Rightarrow -2a=6 \Rightarrow a=-3

   Egalitatea din enunț spune că suma cuburilor este egală cu suma produselor două câte două, adică \(-3a-6=-a\). Mutăm termenii: \(-3a+a=6\), deci \(-2a=6\) și \(a=-3\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   a=-3:\ f=X^3+3X-1

   Pentru \(a=-3\) polinomul este \(X^3+3X-1\). Suma cuburilor ar trebui să fie \(-3a-6=9-6=3\), iar suma produselor două câte două este \(-a=3\). Cele două valori coincid, deci \(a=-3\) este corect.

Răspuns: \(a=-3\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x(2x^2-3x)\). a) Arătați că \(f'(x)=e^x(2x+3)(x-1)\), \(x\in\mathbb{R}\).

Metoda: Derivata produsului și factorizare

1. 1

   Aplicăm formula derivatei unui produs

   f'(x)=(e^x)'(2x^2-3x)+e^x(2x^2-3x)'

   Funcția \(f\) este produsul a două funcții: \(u(x)=e^x\) și \(v(x)=2x^2-3x\). Regula de derivare este \((uv)'=u'v+uv'\). Știm că \((e^x)'=e^x\) și \((2x^2-3x)'=4x-3\), deci obținem \(f'(x)=e^x(2x^2-3x)+e^x(4x-3)\).

2. 2

   Scoatem factor comun \(e^x\) și reducem termenii

   f'(x)=e^x(2x^2-3x+4x-3)=e^x(2x^2+x-3)

   Ambii termeni conțin \(e^x\), deci îl scoatem factor comun. În paranteză adunăm termenii asemenea: \(-3x+4x=x\). Rămâne trinomul \(2x^2+x-3\).

3. 3

   Descompunem trinomul \(2x^2+x-3\)

   2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)

   Calculăm \(\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-3)=25\), deci rădăcinile sunt \(x_1=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2}\) și \(x_2=\frac{-1+5}{4}=1\). Atunci \(2x^2+x-3=2\left(x+\frac{3}{2}\right)(x-1)=(2x+3)(x-1)\). Verificare prin înmulțire: \((2x+3)(x-1)=2x^2-2x+3x-3=2x^2+x-3\). Deci \(f'(x)=e^x(2x+3)(x-1)\), \(x\in\mathbb{R}\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(f'(x)=e^x(2x^2-3x)+e^x(4x-3)=e^x(2x^2+x-3)=e^x(2x+3)(x-1)\), \(x\in\mathbb{R}\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=e^x(2x^2-3x)\). Arătați că \(\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=2\).

Metoda: Regula lui l'Hospital

1. 1

   Verificăm forma de nedeterminare

   f(0)=e^0(0-0)=0,\quad \lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=\frac{0}{0}

   Înlocuim x=0 în numărător și în numitor. Obținem f(0)-0=0 și f(0)+0=0, deci avem nedeterminarea \(\frac{0}{0}\). Această formă ne permite să aplicăm regula lui l'Hospital, cu condiția ca funcțiile să fie derivabile, iar f este derivabilă pe \(\mathbb{R}\).

2. 2

   Aplicăm regula lui l'Hospital

   \lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-1}{f'(x)+1}

   Derivăm separat numărătorul și numitorul. Derivata lui \(f(x)-x\) este \(f'(x)-1\), iar derivata lui \(f(x)+x\) este \(f'(x)+1\).

3. 3

   Folosim f' de la punctul a)

   \lim_{x\to0}\frac{e^x(2x+3)(x-1)-1}{e^x(2x+3)(x-1)+1}

   De la punctul a) știm că \(f'(x)=e^x(2x+3)(x-1)\). Îl înlocuim în limita obținută la pasul anterior.

4. 4

   Calculăm limita

   \frac{e^0\cdot3\cdot(-1)-1}{e^0\cdot3\cdot(-1)+1}=\frac{-3-1}{-3+1}=\frac{-4}{-2}=2

   Expresia este continuă în x=0, deci înlocuim direct x=0. Numărătorul devine -3-1=-4, iar numitorul -3+1=-2. Câtul este 2, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=2\)

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=e^x(2x^2-3x) \). Determinați numerele reale \( a \) pentru care tangenta la graficul funcției \( f \) în punctul de abscisă \( x=a \), situat pe graficul funcției \( f \), are panta egală cu 0.

Metoda: Panta tangentei prin derivată

1. 1

   Panta tangentei este derivata

   m = f'(a) = 0

   Tangenta în punctul de abscisă \( a \) are panta \( m=f'(a) \). Cerința spune că panta este 0, deci obținem condiția \( f'(a)=0 \).

2. 2

   Folosim derivata de la punctul a)

   f'(x)=e^x(2x+3)(x-1) \ \Rightarrow\ e^a(2a+3)(a-1)=0

   Din subpunctul a) știm că \( f'(x)=e^x(2x+3)(x-1) \). Înlocuind \( x \) cu \( a \), ecuația \( f'(a)=0 \) devine \( e^a(2a+3)(a-1)=0 \).

3. 3

   Rezolvăm ecuația produs

   e^a>0 \Rightarrow 2a+3=0 \ \text{sau}\ a-1=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{2}\ \text{sau}\ a=1

   Un produs este nul când cel puțin un factor este nul. Factorul \( e^a \) este mereu strict pozitiv, deci nu poate fi 0. Rămân \( 2a+3=0 \), adică \( a=-\frac{3}{2} \), sau \( a-1=0 \), adică \( a=1 \).

Răspuns: \( a\in\left\{-\dfrac{3}{2},\ 1\right\} \)

Se consideră funcția \( f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R} \), \( f(x)=(2x^2+4x)\sqrt{x+1} \). Arătați că \( \int_0^3 \frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}\,dx=36 \).

Metoda: Integrala unei funcții polinomiale

1. 1

   Simplificăm radicalul

   \frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}=\frac{(2x^2+4x)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=2x^2+4x

   Pe intervalul \([0,3]\) avem \(x+1>0\), deci \(\sqrt{x+1}\neq 0\) și putem simplifica. Rămâne doar polinomul \(2x^2+4x\), pe care știm să îl integrăm.

2. 2

   Scriem integrala polinomului

   \int_0^3 \frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}\,dx=\int_0^3 (2x^2+4x)\,dx=\frac{2x^3}{3}\Big|_0^3+2x^2\Big|_0^3

   Integrăm termen cu termen, folosind \(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\). Pentru \(2x^2\) obținem \(\frac{2x^3}{3}\), iar pentru \(4x\) obținem \(2x^2\).

3. 3

   Calculăm cu formula Leibniz-Newton

   \frac{2\cdot 3^3}{3}-0+2\cdot 3^2-0=18+18=36

   Înlocuim limita superioară \(x=3\) și scădem valoarea la limita inferioară \(x=0\), care este 0. Prima parte dă \(\frac{2\cdot27}{3}=18\), a doua dă \(2\cdot 9=18\). Suma este 36, exact cum cere enunțul.

Răspuns: \( \int_0^3 \frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}\,dx=18+18=36 \)

Subiectul III, 2. b): Se consideră funcția \(f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(2x^2+4x)\sqrt{x+1}\). Arătați că \(\int_{3}^{8}\frac{x^2+2x}{f(x)}\,dx=1\).

Metoda: Integrare prin recunoașterea derivatei

1. 1

   Simplificăm fracția

   \frac{x^2+2x}{f(x)}=\frac{x^2+2x}{2(x^2+2x)\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}

   Observăm că \(2x^2+4x=2(x^2+2x)\). Deci \(f(x)=2(x^2+2x)\sqrt{x+1}\). Factorul \(x^2+2x\) apare și la numărător, și la numitor, așa că se simplifică. Pe intervalul \([3,8]\) el este nenul (\(x^2+2x>0\)), deci simplificarea este corectă.

2. 2

   Recunoaștem derivata

   \frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\left(\sqrt{x+1}\right)'

   Derivata funcției \(\sqrt{u}\) este \(\frac{u'}{2\sqrt{u}}\). Pentru \(u=x+1\) avem \(u'=1\), deci \((\sqrt{x+1})'=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\). Așadar \(\sqrt{x+1}\) este o primitivă a funcției de sub integrală.

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_{3}^{8}\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\,dx=\sqrt{x+1}\Big|_{3}^{8}=\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1

   Integrala definită este diferența valorilor primitivei în capetele intervalului: la \(x=8\) avem \(\sqrt{9}=3\), iar la \(x=3\) avem \(\sqrt{4}=2\). Rezultă \(3-2=1\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\int_{3}^{8}\frac{x^2+2x}{f(x)}\,dx=\sqrt{x+1}\Big|_3^8=3-2=1\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \( f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R} \), \( f(x)=(2x^2+4x)\sqrt{x+1} \). c) Se consideră funcția \( g:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \), \( g(x)=\dfrac{4\sqrt{x+1}}{f(x)} \). Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției \( g \), axa \( Ox \) și dreptele de ecuații \( x=1 \) și \( x=4 \).

Metoda: Aria cu integrala și fracții simple

1. 1

   Simplificăm expresia lui g

   g(x)=\frac{4\sqrt{x+1}}{(2x^2+4x)\sqrt{x+1}}=\frac{4}{2x(x+2)}=\frac{2}{x^2+2x}

   Înlocuim f(x) în fracție. Radicalul \( \sqrt{x+1} \) apare și la numărător, și la numitor și este nenul pentru \( x>0 \), deci se simplifică. Apoi scoatem factor comun \( 2x \) la numitor: \( 2x^2+4x=2x(x+2) \) și simplificăm cu 2.

2. 2

   Scriem aria ca integrală

   \mathcal{A}=\int_1^4 |g(x)|\,dx=\int_1^4\frac{2}{x(x+2)}\,dx

   Aria dintre grafic, axa Ox și dreptele \( x=1 \), \( x=4 \) este integrala modulului lui g. Pe \( [1,4] \) avem \( x>0 \), deci \( g(x)>0 \) și modulul dispare.

3. 3

   Descompunem în fracții simple

   \frac{2}{x(x+2)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}

   Observăm că \( \frac1x-\frac1{x+2}=\frac{(x+2)-x}{x(x+2)}=\frac{2}{x(x+2)} \). Așa obținem două fracții ușor de integrat.

4. 4

   Calculăm integrala

   \mathcal{A}=\Big(\ln x-\ln(x+2)\Big)\Big|_1^4=(\ln4-\ln6)-(\ln1-\ln3)=\ln\frac{4\cdot 3}{6}=\ln2

   Primitiva lui \( \frac1x \) este \( \ln x \), iar a lui \( \frac1{x+2} \) este \( \ln(x+2) \), ambele cu argument pozitiv. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea la 4 minus valoarea la 1. Apoi folosim \( \ln a-\ln b=\ln\frac ab \). Obținem \( \ln\frac46-\ln\frac13=\ln\frac23-\ln\frac13=\ln2 \).

Răspuns: \( \mathcal{A}=\ln 2 \)