Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2026, simulare (a doua) (varianta 02)

Arătați că \(2\sqrt{2}\left(3+\sqrt{2}\right)+3\left(1-2\sqrt{2}\right)=7\).

Metoda: Calcul cu radicali

1. 1

   Desfacem parantezele

   2\sqrt{2}(3+\sqrt{2})+3(1-2\sqrt{2})=6\sqrt{2}+2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+3-6\sqrt{2}

   Înmulțim fiecare număr din fața parantezei cu fiecare termen din paranteză (distributivitatea înmulțirii față de adunare). Avem \(2\sqrt{2}\cdot 3=6\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\), apoi \(3\cdot 1=3\) și \(3\cdot(-2\sqrt{2})=-6\sqrt{2}\). Facem acest pas ca să scăpăm de paranteze și să putem aduna termenii asemenea.

2. 2

   Calculăm produsul de radicali

   2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot(\sqrt{2})^2=2\cdot 2=4

   Știm că \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a\) pentru \(a\ge 0\). Deci \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\), iar \(2\cdot 2=4\). Astfel scăpăm de radical în acest termen.

3. 3

   Reducem termenii asemenea și încheiem

   6\sqrt{2}+4+3-6\sqrt{2}=4+3=7

   Termenii \(6\sqrt{2}\) și \(-6\sqrt{2}\) se anulează, deoarece sunt opuși. Rămân \(4+3=7\), adică exact valoarea cerută. Deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: Am obținut \(4+3=7\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x-10\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(2a)=f(a)-3\).

Metoda: Calcul de valori ale funcției

1. 1

   Calculăm \(f(2a)\) și \(f(a)\)

   f(2a)=3\cdot 2a-10=6a-10,\quad f(a)=3a-10

   Funcția \(f\) ia un număr și îl înlocuiește în formula \(3x-10\). Pentru \(f(2a)\) punem \(2a\) în locul lui \(x\), iar pentru \(f(a)\) punem \(a\). Facem acest pas ca să avem ambele părți ale egalității exprimate cu ajutorul lui \(a\).

2. 2

   Scriem ecuația din enunț

   6a-10=3a-10-3

   Condiția din enunț este \(f(2a)=f(a)-3\). Înlocuim în ea expresiile găsite la pasul anterior și obținem o ecuație în necunoscuta \(a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   6a-3a=-13+10\Rightarrow 3a=-3\Rightarrow a=-1

   Grupăm termenii cu \(a\) în stânga și numerele în dreapta. Observăm că \(-10\) apare în ambele părți, deci se reduce: rămâne \(6a=3a-3\), adică \(3a=-3\). Împărțim la 3 și obținem \(a=-1\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   f(-2)=3\cdot(-2)-10=-16,\quad f(-1)-3=-13-3=-16

   Înlocuim \(a=-1\) în condiția inițială. Dacă ambele părți dau același număr, soluția este corectă. Aici \(f(2a)=f(-2)=-16\) și \(f(a)-3=f(-1)-3=-16\).

Răspuns: \(a=-1\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{4x^2-6x+5}=x\sqrt{3}\).

Metoda: Ridicare la pătrat și verificare

1. 1

   Ridicăm ecuația la pătrat

   4x^2-6x+5=3x^2

   Ridicăm ambii membri la pătrat ca să dispară radicalul. În stânga, \((\sqrt{A})^2=A\), iar în dreapta \((x\sqrt{3})^2=x^2\cdot 3=3x^2\). Obținem \(4x^2-6x+5=3x^2\).

2. 2

   Aducem ecuația la forma de gradul II

   x^2-6x+5=0

   Mutăm \(3x^2\) în stânga: \(4x^2-3x^2-6x+5=0\), adică \(x^2-6x+5=0\). Este o ecuație de gradul al doilea, pe care știm s-o rezolvăm.

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul II

   \Delta=36-20=16,\quad x=\frac{6\pm 4}{2}\Rightarrow x_1=1,\ x_2=5

   Calculăm discriminantul: \(\Delta=b^2-4ac=36-20=16\). Apoi \(x=\frac{6\pm4}{2}\), deci \(x=1\) sau \(x=5\). Se poate și prin descompunere: \((x-1)(x-5)=0\).

4. 4

   Verificăm soluțiile

   x=1:\ \sqrt{3}=\sqrt{3};\quad x=5:\ \sqrt{75}=5\sqrt{3}

   Ridicarea la pătrat poate aduce soluții false, așa că verificăm. Pentru \(x=1\): stânga \(\sqrt{4-6+5}=\sqrt{3}\), dreapta \(1\cdot\sqrt{3}\). Egal. Pentru \(x=5\): stânga \(\sqrt{100-30+5}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), dreapta \(5\sqrt{3}\). Egal. Ambele convin. Observăm că și condiția \(x\ge 0\) (membrul drept trebuie să fie pozitiv) este îndeplinită de ambele.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=1\) și \(x=5\), adică \(S=\{1,5\}\).

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor cel mult egală cu \(3\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile/posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   10,11,\ldots,99 \Rightarrow 99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt cele de la \(10\) până la \(99\). Le numărăm cu formula: ultimul minus primul plus \(1\). Obținem \(90\) de cazuri posibile.

2. 2

   Numărăm cazurile favorabile

   10,\ 11,\ 12,\ 20,\ 21,\ 30 \Rightarrow 6 \text{ numere}

   Căutăm numerele \(\overline{ab}\) cu \(a\ge 1\) și \(a+b\le 3\). Dacă \(a=1\), atunci \(b\le 2\): avem \(10, 11, 12\). Dacă \(a=2\), atunci \(b\le 1\): avem \(20, 21\). Dacă \(a=3\), atunci \(b=0\): avem \(30\). Pentru \(a\ge 4\) suma depășește \(3\). În total sunt \(3+2+1=6\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\dfrac{6}{90}=\dfrac{1}{15}

   Împărțim cazurile favorabile la cele posibile: \(p=\frac{6}{90}\). Simplificăm fracția prin \(6\) și obținem \(\frac{1}{15}\).

Răspuns: \(p=\dfrac{1}{15}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,3)\), \(B(1,5)\) și \(C(6,0)\). Arătați că triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\).

Metoda: Pantele laturilor perpendiculare

1. 1

   Calculăm panta dreptei AB

   m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-3}{1-0}=2

   Panta unei drepte care trece prin două puncte este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor: \(m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\). Aici \(A(0,3)\) și \(B(1,5)\), deci obținem \(m_{AB}=\frac{2}{1}=2\).

2. 2

   Calculăm panta dreptei AC

   m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{0-3}{6-0}=-\frac{1}{2}

   Procedăm la fel pentru \(A(0,3)\) și \(C(6,0)\): diferența ordonatelor este \(0-3=-3\), iar a absciselor \(6-0=6\). Rezultă \(m_{AC}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\).

3. 3

   Verificăm perpendicularitatea

   m_{AB}\cdot m_{AC}=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1

   Două drepte sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este \(-1\). Aici \(2\cdot\left(-\frac12\right)=-1\), deci \(AB\perp AC\). Prin urmare unghiul \(\widehat{BAC}\) are \(90^\circ\), adică triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\).

Răspuns: Cum \(m_{AB}\cdot m_{AC}=-1\), dreptele \(AB\) și \(AC\) sunt perpendiculare, deci triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\).

Se consideră expresia \(E(x)=\cos x\cdot\sin 3x-\sin 2x\), unde \(x\) este număr real. Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{6}\right)=0\).

Metoda: Calcul direct cu valori ale funcțiilor trigonometrice

1. 1

   Înlocuim x cu π/6 și aflăm valorile necesare

   E\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\cos\tfrac{\pi}{6}\cdot\sin\tfrac{3\pi}{6}-\sin\tfrac{2\pi}{6}=\cos\tfrac{\pi}{6}\cdot\sin\tfrac{\pi}{2}-\sin\tfrac{\pi}{3}

   Dacă \(x=\frac{\pi}{6}\), atunci \(3x=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\) și \(2x=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\). Astfel apar doar unghiuri remarcabile, ale căror valori le știm: \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin\frac{\pi}{2}=1\), \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

2. 2

   Calculăm valoarea expresiei

   E\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}=0

   Înlocuim valorile găsite: primul termen este \(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{2}\), iar al doilea este \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Cei doi termeni sunt egali, deci diferența lor este 0, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=6\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}2\cdot 1+1&0\\4\cdot 1&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}

   Matricea A(x) depinde de x. Pentru A(1) punem x = 1 în fiecare element: \(2x+1=3\), \(4x=4\), \(x+1=2\). Elementul din dreapta sus rămâne 0.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(1))=\begin{vmatrix}3&0\\4&2\end{vmatrix}=3\cdot 2-0\cdot 4=6-0=6

   Determinantul unei matrice de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: \(ad-bc\). Aici \(3\cdot 2=6\) și \(0\cdot 4=0\), deci rezultatul este 6, exact cât trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(1))=6\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A(-2)\cdot A(1)-4I_2=A(x)\).

Metoda: Calcul matriceal și egalarea matricelor

1. 1

   Calculăm A(-2) și A(1)

   A(-2)=\begin{pmatrix}-3&0\\-8&-1\end{pmatrix},\quad A(1)=\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}

   Înlocuim x cu -2, apoi cu 1, în \(A(x)\). Pentru x=-2: \(2\cdot(-2)+1=-3\), \(4\cdot(-2)=-8\), \(-2+1=-1\). Pentru x=1: \(2+1=3\), \(4\cdot1=4\), \(1+1=2\).

2. 2

   Calculăm produsul A(-2)·A(1)

   A(-2)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}-9&0\\-28&-2\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Poziția (1,1): \((-3)\cdot3+0\cdot4=-9\). Poziția (1,2): \((-3)\cdot0+0\cdot2=0\). Poziția (2,1): \((-8)\cdot3+(-1)\cdot4=-28\). Poziția (2,2): \((-8)\cdot0+(-1)\cdot2=-2\).

3. 3

   Scădem 4I₂

   A(-2)\cdot A(1)-4I_2=\begin{pmatrix}-9&0\\-28&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13&0\\-28&-6\end{pmatrix}

   Matricea \(4I_2\) are 4 pe diagonala principală și 0 în rest. Scădem element cu element: \(-9-4=-13\), \(-2-4=-6\), celelalte rămân neschimbate.

4. 4

   Egalăm cu A(x) și aflăm x

   \begin{pmatrix}-13&0\\-28&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}\Rightarrow x=-7

   Din poziția (1,1): \(2x+1=-13\), deci \(x=-7\). Verificăm: \(4x=-28\) și \(x+1=-6\), deci și celelalte elemente coincid. Astfel matricea obținută este \(A(-7)\).

Răspuns: x = -7

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Demonstrați că \(\det\left(A(x)+A\left(\frac{1}{x}\right)-2I_2\right)\ge 8\), pentru orice număr real nenul \(x\).

Metoda: Calcul de determinant și inegalitate

1. 1

   Calculăm matricea sumă

   A(x)+A\left(\tfrac1x\right)-2I_2=\begin{pmatrix}2x+\frac2x&0\\4x+\frac4x&x+\frac1x\end{pmatrix}

   Adunăm matricele element cu element. Pe prima linie: \(2x+1+\frac{2}{x}+1-2=2x+\frac2x\). Pe a doua linie, prima coloană: \(4x+\frac4x\). Pe poziția (2,2): \(x+1+\frac1x+1-2=x+\frac1x\). Elementul din dreapta sus este 0.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det=\left(2x+\tfrac2x\right)\left(x+\tfrac1x\right)=2\left(x+\tfrac1x\right)^2

   Matricea are 0 în dreapta sus, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonală. Observăm că \(2x+\frac2x=2\left(x+\frac1x\right)\), deci rezultă \(2\left(x+\frac1x\right)^2\). Dezvoltat: \(2\left(x^2+\frac1{x^2}+2\right)\).

3. 3

   Arătăm inegalitatea

   2\left(x^2+\tfrac1{x^2}+2\right)=2\left(\left(x-\tfrac1x\right)^2+4\right)\ge 8

   Folosim \(\left(x-\frac1x\right)^2=x^2+\frac1{x^2}-2\), deci \(x^2+\frac1{x^2}+2=\left(x-\frac1x\right)^2+4\). Cum un pătrat este mereu \(\ge 0\), paranteza este \(\ge 4\), iar rezultatul este \(\ge 2\cdot4=8\), pentru orice \(x\neq0\).

Răspuns: \(\det\left(A(x)+A\left(\frac1x\right)-2I_2\right)=2\left(\left(x-\frac1x\right)^2+4\right)\ge 8\), pentru orice \(x\neq0\).

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x\circ y = x^2 - xy - x + 2y + 1\). Arătați că \(1\circ 1 = 2\).

Metoda: Calcul direct prin înlocuire

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 1 în formulă

   1\circ 1 = 1^2 - 1\cdot 1 - 1 + 2\cdot 1 + 1

   Legea ne spune cum se calculează \(x\circ y\) pentru orice numere. Deci, pentru \(1\circ 1\), peste tot unde apare \(x\) scriem \(1\) și peste tot unde apare \(y\) scriem tot \(1\). Astfel obținem o expresie numerică simplă.

2. 2

   Calculăm expresia numerică

   1 - 1 - 1 + 2 + 1 = 2

   Acum avem doar numere. Calculăm \(1^2 = 1\), \(1\cdot 1 = 1\) și \(2\cdot 1 = 2\). Rămâne \(1 - 1 - 1 + 2 + 1\). Adunăm și scădem de la stânga la dreapta: \(1-1=0\), \(0-1=-1\), \(-1+2=1\), \(1+1=2\). Rezultatul este \(2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(1\circ 1 = 1^2 - 1\cdot 1 - 1 + 2\cdot 1 + 1 = 1-1-1+2+1 = 2\), deci egalitatea este demonstrată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = x^2 - xy - x + 2y + 1\). b) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(x \circ (2x) = 1\).

Metoda: Înlocuire în legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim y cu 2x în lege

   x \circ (2x) = x^2 - x\cdot 2x - x + 2\cdot 2x + 1

   Legea spune că \(x \circ y = x^2 - xy - x + 2y + 1\). Pentru \(x \circ (2x)\) punem peste tot unde apare \(y\) expresia \(2x\). Prima valoare, \(x\), rămâne neschimbată.

2. 2

   Simplificăm expresia

   x \circ (2x) = x^2 - 2x^2 - x + 4x + 1 = -x^2 + 3x + 1

   Grupăm termenii asemenea: \(x^2 - 2x^2 = -x^2\) și \(-x + 4x = 3x\). Rezultă \(x \circ (2x) = -x^2 + 3x + 1\), pentru orice \(x\) real.

3. 3

   Punem condiția x ∘ (2x) = 1

   -x^2 + 3x + 1 = 1 \Rightarrow -x^2 + 3x = 0

   Cerința este ca rezultatul să fie \(1\). Egalăm expresia cu \(1\) și scădem \(1\) din ambii membri. Ne rămâne o ecuație de gradul al doilea fără termen liber, ușor de rezolvat prin factor comun.

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   -x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(3 - x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ sau } x = 3

   Scoatem \(x\) factor comun. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero: \(x = 0\) sau \(3 - x = 0\), adică \(x = 3\). Verificare: pentru \(x=3\), \(-9+9+1=1\), iar pentru \(x=0\) obținem \(1\).

Răspuns: \(x \in \{0, 3\}\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = x^2 - xy - x + 2y + 1\). c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale pentru care \(m \circ n = m\).

Metoda: Factorizare și ecuație în numere întregi

1. 1

   Scriem condiția cu formula legii

   m^2-mn-m+2n+1=m

   Înlocuim în definiția legii \(x=m\) și \(y=n\). Obținem \(m \circ n = m^2 - mn - m + 2n + 1\) și punem condiția ca acesta să fie egal cu \(m\).

2. 2

   Aducem ecuația la forma cu membrul drept număr

   m^2-mn-2m+2n=-1

   Mutăm pe \(m\) în stânga: \(m^2-mn-m-m+2n+1=0\), adică \(m^2-mn-2m+2n=-1\). Astfel pregătim gruparea termenilor pentru factorizare.

3. 3

   Factorizăm prin grupare

   (m-2)(m-n)=-1

   Grupăm: \(m^2-2m = m(m-2)\) și \(-mn+2n=-n(m-2)\). Deci \((m-2)(m-n)=-1\).

4. 4

   Folosim faptul că factorii sunt întregi

   m-2=1,\ m-n=-1 \ \text{sau}\ m-2=-1,\ m-n=1

   Cum \(m,n\in\mathbb{N}\), cei doi factori sunt numere întregi cu produsul \(-1\). Singurele posibilități sunt \(1\cdot(-1)\) și \((-1)\cdot 1\). Cazul 1: \(m=3\), \(m-n=-1\Rightarrow n=4\). Cazul 2: \(m=1\), \(m-n=1\Rightarrow n=0\). Ambele sunt numere naturale, deci convin.

Răspuns: Perechile sunt \((1,0)\) și \((3,4)\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x-1)\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\). Arătați că \(f'(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivarea produsului și a câtului

1. 1

   Derivăm primul termen, un produs

   \left((x-1)\sqrt{x}\right)'=(x-1)'\sqrt{x}+(x-1)(\sqrt{x})'=\sqrt{x}+\frac{x-1}{2\sqrt{x}}

   Primul termen este produsul a două funcții: \(x-1\) și \(\sqrt{x}\). Folosim formula \((u\cdot v)'=u'v+uv'\), cu \((x-1)'=1\) și \((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\).

2. 2

   Derivăm al doilea termen

   \left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)'=\frac{2'\cdot\sqrt{x}-2\cdot(\sqrt{x})'}{x}=\frac{-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=-\frac{1}{x\sqrt{x}}

   Al doilea termen este un cât. Folosim \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\), cu \(u=2\), \(v=\sqrt{x}\), deci \(v^2=x\). Cum \(2'=0\), rămâne doar \(-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\) la numărător. Acesta este exact numărătorul din barem, \(-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\), împărțit la \(x\).

3. 3

   Adunăm și aducem la numitor comun

   f'(x)=\sqrt{x}+\frac{x-1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{2x\cdot x+x(x-1)-2}{2x\sqrt{x}}

   Numitorul comun este \(2x\sqrt{x}\). Termenul \(\sqrt{x}=\frac{2x\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}}\), iar \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x\), deci numărătorul devine \(2x^2\). Al doilea termen se amplifică cu \(x\): \(x(x-1)=x^2-x\). Al treilea se amplifică cu 2: \(-2\).

4. 4

   Reducem termenii asemenea

   f'(x)=\frac{2x^2+x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}=\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}},\ x\in(0,+\infty)

   Adunăm \(2x^2+x^2=3x^2\) și păstrăm \(-x-2\). Obținem exact expresia cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: Am obținut \(f'(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}\) pentru orice \(x\in(0,+\infty)\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=(x-1)\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}} \). Subiectul III, 1. b): Arătați că \( \lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x}\cdot f'(x)}{5x-5}=\dfrac{1}{2} \).

Metoda: Limită prin simplificarea factorului (x-1)

1. 1

   Înlocuim derivata în limită

   \frac{\sqrt{x}\cdot f'(x)}{5x-5}=\frac{\sqrt{x}\cdot\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}}{5x-5}=\frac{3x^2-x-2}{2x(5x-5)}

   Folosim rezultatul de la a): \( f'(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}} \). Factorul \( \sqrt{x} \) din față se simplifică cu \( \sqrt{x} \) de la numitorul derivatei, rămâne \( 2x \) la numitor. Astfel scăpăm de radicali.

2. 2

   Descompunem numărătorul în factori

   3x^2-x-2=(3x+2)(x-1)

   Pentru x=1 numărătorul este 3-1-2=0 și numitorul 5-5=0, deci avem nedeterminarea 0/0. Rădăcinile lui \( 3x^2-x-2 \) sunt 1 și \( -\tfrac{2}{3} \), deci putem scoate factorul \( x-1 \). Totodată \( 5x-5=5(x-1) \).

3. 3

   Simplificăm și calculăm limita

   \lim_{x\to1}\frac{(3x+2)(x-1)}{10x(x-1)}=\lim_{x\to1}\frac{3x+2}{10x}=\frac{3+2}{10}=\frac12

   Cum \( x\to1 \) dar \( x\neq1 \), putem simplifica \( x-1 \). Apoi expresia rămasă este continuă în 1, deci înlocuim x=1: \( \dfrac{5}{10}=\dfrac12 \), exact ce trebuia arătat. Numitorul inițial era \( 2x\cdot5(x-1)=10x(x-1) \).

Răspuns: \( \lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x}\cdot f'(x)}{5x-5}=\dfrac12 \)

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(x)=(x-1)\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}} \). Determinați imaginea funcției \( f \).

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Rezolvăm ecuația f'(x)=0

   f'(x)=\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}=0\Rightarrow 3x^2-x-2=0\Rightarrow x=1

   Din subpunctul a) știm că \( f'(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}} \), pentru \( x\in(0,+\infty) \). Numitorul este pozitiv, deci semnul derivatei este dat de numărător. Punem \( 3x^2-x-2=0 \): \( \Delta=1+24=25 \), deci \( x=\dfrac{1\pm5}{6} \), adică \( x=1 \) sau \( x=-\dfrac{2}{3} \). Doar \( x=1 \) aparține domeniului \( (0,+\infty) \).

2. 2

   Semnul derivatei și monotonia

   x\in(0,1]\Rightarrow f'(x)\le0;\quad x\in[1,+\infty)\Rightarrow f'(x)\ge0

   Numărătorul \( 3x^2-x-2=(3x+2)(x-1) \). Pentru \( x>0 \), factorul \( 3x+2 \) este pozitiv, deci semnul depinde de \( x-1 \). Pentru \( x\in(0,1) \) avem \( x-1<0 \), deci \( f'(x)<0 \) și \( f \) este descrescătoare pe \( (0,1] \). Pentru \( x>1 \) avem \( f'(x)>0 \), deci \( f \) este crescătoare pe \( [1,+\infty) \).

3. 3

   Valoarea minimă și limita la +∞

   f(1)=0\cdot1+\frac{2}{1}=2,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

   Calculăm \( f(1)=(1-1)\sqrt1+\dfrac{2}{\sqrt1}=2 \). Aceasta este valoarea minimă a funcției, deoarece \( f \) scade până la 1 și crește după. Pentru \( x\to+\infty \), termenul \( (x-1)\sqrt{x} \) tinde la \( +\infty \), iar \( \dfrac{2}{\sqrt{x}}\to0 \), deci \( f(x)\to+\infty \).

4. 4

   Concluzie: imaginea funcției

   \operatorname{Im} f=[2,+\infty)

   Funcția \( f \) este continuă pe \( (0,+\infty) \), are valoarea minimă 2 în \( x=1 \) și tinde la \( +\infty \). Fiind continuă, ia toate valorile dintre 2 și \( +\infty \). Verificăm și capătul din stânga: pentru \( x\to0^+ \), \( \dfrac{2}{\sqrt{x}}\to+\infty \), deci pe \( (0,1] \) funcția ia toate valorile din \( [2,+\infty) \). Imaginea este \( [2,+\infty) \).

Răspuns: \( \operatorname{Im} f=[2,+\infty) \)

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=(x^2+x)e^x \). a) Arătați că \( \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}\,dx=\frac{5}{6} \).

Metoda: Integrare directă după simplificare

1. 1

   Simplificăm fracția de sub integrală

   \frac{f(x)}{e^x}=\frac{(x^2+x)e^x}{e^x}=x^2+x

   Înlocuim \(f(x)\) cu \((x^2+x)e^x\). Cum \(e^x\neq 0\) pentru orice \(x\), putem simplifica. Rămâne doar polinomul \(x^2+x\), pe care știm să-l integrăm.

2. 2

   Descompunem integrala în două integrale

   \int_0^1 (x^2+x)\,dx=\int_0^1 x^2\,dx+\int_0^1 x\,dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^1+\frac{x^2}{2}\Big|_0^1

   Integrala unei sume este suma integralelor. Pentru fiecare termen folosim formula \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\): obținem \(\frac{x^3}{3}\) pentru \(x^2\) și \(\frac{x^2}{2}\) pentru \(x\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton și calculăm

   \left(\frac{1^3}{3}-0\right)+\left(\frac{1^2}{2}-0\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}

   Calculăm primitiva în limita superioară \(1\) și scădem valoarea ei în limita inferioară \(0\). Valorile în \(0\) sunt \(0\). Apoi aducem fracțiile la numitorul comun \(6\): \(\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}\), exact cât trebuia arătat.

Răspuns: \( \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}\,dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6} \), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2+x)e^x\). Arătați că \(\int_1^2 \frac{f(x)}{x}\,dx = e(2e-1)\).

Metoda: Simplificare și formula \((xe^x)'\)

1. 1

   Simplificăm fracția

   \frac{f(x)}{x}=\frac{x(x+1)e^x}{x}=(x+1)e^x

   Scoatem factor comun \(x\) la numărător: \(x^2+x=x(x+1)\). Pe intervalul \([1,2]\) avem \(x\neq 0\), deci putem simplifica cu \(x\). Obținem \(\frac{f(x)}{x}=(x+1)e^x\).

2. 2

   Recunoaștem o derivată

   (xe^x)'=x'e^x+x(e^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x

   Derivăm produsul \(xe^x\) cu regula \((uv)'=u'v+uv'\). Rezultatul este exact \((x+1)e^x\), deci \(xe^x\) este o primitivă a funcției de integrat. Astfel \(\int_1^2 (x+1)e^x\,dx=\int_1^2 (xe^x)'\,dx\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \int_1^2 (xe^x)'\,dx=xe^x\Big|_1^2=2e^2-1\cdot e^1

   Integrala unei derivate pe un interval este diferența valorilor funcției la capete: valoarea la \(2\) minus valoarea la \(1\). Pentru \(x=2\) obținem \(2e^2\), iar pentru \(x=1\) obținem \(e\).

4. 4

   Scriem rezultatul sub forma cerută

   2e^2-e=e(2e-1)

   Scoatem factor comun \(e\): \(2e^2=e\cdot 2e\), deci \(2e^2-e=e(2e-1)\). Am obținut exact valoarea din enunț, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: \(\int_1^2 \frac{f(x)}{x}\,dx = 2e^2-e = e(2e-1)\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=(x^2+x)e^x \). c) Determinați numărul real \( a \) pentru care \( \int_{2}^{4}\frac{x f(x)}{f(x-1)}\,dx = ae(5+\ln 3) \).

Metoda: Calcul de integrală definită

1. 1

   Calculăm f(x−1)

   f(x-1)=\left((x-1)^2+(x-1)\right)e^{x-1}=x(x-1)e^{x-1}

   Înlocuim x cu x−1 în formula \( f(x)=(x^2+x)e^x \). Avem \( (x-1)^2+(x-1)=(x-1)(x-1+1)=x(x-1) \), deci \( f(x-1)=x(x-1)e^{x-1} \). Facem acest pas ca să putem simplifica fracția.

2. 2

   Simplificăm fracția de sub integrală

   \frac{x f(x)}{f(x-1)}=\frac{x\cdot x(x+1)e^x}{x(x-1)e^{x-1}}=e\cdot\frac{x^2+x}{x-1}

   Avem \( f(x)=x(x+1)e^x \). Simplificăm cu x (x este între 2 și 4, deci nenul) și \( \frac{e^x}{e^{x-1}}=e \). Rezultă \( e\cdot\frac{x(x+1)}{x-1}=e\cdot\frac{x^2+x}{x-1} \), definită pe [2,4] pentru că x−1≠0.

3. 3

   Împărțim polinomul la x−1

   \frac{x^2+x}{x-1}=x+2+\frac{2}{x-1}

   Facem împărțirea: \( x^2+x=(x-1)(x+2)+2 \). Verificare: \( (x-1)(x+2)=x^2+x-2 \), plus 2 dă \( x^2+x \). Deci fracția se scrie ca sumă de termeni ușor de integrat.

4. 4

   Calculăm integrala

   e\int_2^4\left(x+2+\frac{2}{x-1}\right)dx=e\left(\frac{x^2}{2}+2x+2\ln(x-1)\right)\Big|_2^4

   Primitivele sunt \( \frac{x^2}{2} \), \( 2x \) și \( 2\ln(x-1) \) (pentru x>1). Aplicăm formula Leibniz–Newton: valoarea la 4 minus valoarea la 2. La 4: 8+8+2ln3=16+2ln3. La 2: 2+4+2ln1=6. Diferența: 10+2ln3.

5. 5

   Identificăm numărul a

   e(10+2\ln3)=2e(5+\ln3)=ae(5+\ln3)\Rightarrow a=2

   Integrala este \( e(10+2\ln3)=2e(5+\ln3) \). Egalând cu \( ae(5+\ln3) \) și simplificând cu \( e(5+\ln3)\neq0 \), obținem a=2, ca în barem.

Răspuns: a = 2