Rezolvare pas cu pas: Matematică – Științele naturii (M2) – Bacalaureat 2026, sesiunea specială (varianta 02)

Arătați că \(2\sqrt{2}\left(3+\sqrt{2}\right)+3\left(1-2\sqrt{2}\right)=7\).

Metoda: Calcul cu radicali și reducerea termenilor

1. 1

   Desfacem parantezele

   2\sqrt{2}(3+\sqrt{2})+3(1-2\sqrt{2})=6\sqrt{2}+2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+3-6\sqrt{2}

   Înmulțim fiecare factor din fața parantezei cu fiecare termen din interior (distributivitatea înmulțirii față de adunare). Astfel \(2\sqrt{2}\cdot 3=6\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\) rămâne de calculat, \(3\cdot 1=3\) și \(3\cdot(-2\sqrt{2})=-6\sqrt{2}\). Facem asta ca să scăpăm de paranteze și să vedem ce termeni se pot reduce.

2. 2

   Calculăm \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\) și reducem termenii

   6\sqrt{2}+2\cdot 2+3-6\sqrt{2}=4+3=7

   Știm că \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\), deci \(2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot2=4\). Termenii \(6\sqrt{2}\) și \(-6\sqrt{2}\) sunt opuși, deci se reduc și rămâne \(4+3=7\). Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.

Răspuns: Expresia este egală cu \(4+3=7\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x-10\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(f(2a)=f(a)-3\).

Metoda: Calculul valorii funcției și ecuație

1. 1

   Calculăm f(2a) și f(a)

   f(2a)=3\cdot 2a-10=6a-10,\quad f(a)=3a-10

   Pentru a afla \(f(2a)\), înlocuim peste tot pe \(x\) cu \(2a\) în formula \(f(x)=3x-10\). La fel, pentru \(f(a)\) înlocuim \(x\) cu \(a\). Aceste expresii sunt valabile pentru orice număr real \(a\).

2. 2

   Scriem ecuația din condiție

   6a-10=3a-10-3

   Condiția din enunț este \(f(2a)=f(a)-3\). Înlocuim în ea expresiile aflate la pasul anterior și obținem o ecuație cu necunoscuta \(a\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   6a-3a=-13+10\ \Rightarrow\ 3a=-3\ \Rightarrow\ a=-1

   Mutăm termenii cu \(a\) în stânga și numerele în dreapta, apoi împărțim la 3. Astfel izolăm necunoscuta \(a\).

4. 4

   Verificare

   f(-2)=-16,\quad f(-1)-3=-13-3=-16

   Înlocuim \(a=-1\) în condiția inițială: \(f(2a)=f(-2)=3\cdot(-2)-10=-16\), iar \(f(-1)=-13\), deci \(f(-1)-3=-16\). Egalitatea se verifică.

Răspuns: \(a=-1\)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{4x^2-6x+5}=x\sqrt{3}\).

Metoda: Ridicare la pătrat și verificare

1. 1

   Ridicăm ecuația la pătrat

   4x^2-6x+5=3x^2

   Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației. Pătratul lui \(\sqrt{4x^2-6x+5}\) este \(4x^2-6x+5\), iar pătratul lui \(x\sqrt{3}\) este \(x^2\cdot 3=3x^2\). Facem acest pas pentru a elimina radicalul.

2. 2

   Aducem la forma ecuației de gradul al II-lea

   4x^2-3x^2-6x+5=0 \Rightarrow x^2-6x+5=0

   Mutăm \(3x^2\) în membrul stâng și reducem termenii asemenea: \(4x^2-3x^2=x^2\). Obținem o ecuație de gradul al II-lea cu membrul drept zero, pe care știm s-o rezolvăm.

3. 3

   Rezolvăm ecuația de gradul al II-lea

   \Delta=36-20=16,\quad x=\frac{6\pm 4}{2}\Rightarrow x_1=1,\ x_2=5

   Calculăm discriminantul \(\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=16\). Apoi \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{6\pm4}{2}\), deci \(x=1\) sau \(x=5\). Se poate și prin descompunere: \((x-1)(x-5)=0\).

4. 4

   Verificăm soluțiile în ecuația inițială

   x=1:\ \sqrt{4-6+5}=\sqrt{3}=1\cdot\sqrt{3};\quad x=5:\ \sqrt{100-30+5}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}

   Am ridicat la pătrat, deci trebuie să verificăm. Membrul drept \(x\sqrt{3}\) trebuie să fie pozitiv sau zero, ca să fie egal cu o rădăcină pătrată. Pentru \(x=1\): \(\sqrt{3}=\sqrt{3}\), corect. Pentru \(x=5\): \(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}\), corect. Ambele soluții convin, ca în barem.

Răspuns: Soluțiile ecuației sunt \(x=1\) și \(x=5\), ambele convin.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor cel mult egală cu \(3\).

Metoda: Probabilitate: cazuri favorabile / posibile

1. 1

   Numărăm cazurile posibile

   99-10+1=90

   Numerele naturale de două cifre sunt toate numerele de la \(10\) la \(99\). Cazurile posibile sunt toate numerele pe care le putem alege. Numărul lor este \(99-10+1=90\).

2. 2

   Numărăm cazurile favorabile

   12,\ 21,\ 30,\ 10,\ 11,\ 20

   Căutăm numerele \(\overline{ab}\) cu \(a\ge 1\) și \(a+b\le 3\). Dacă \(a=1\), atunci \(b\le 2\): numerele \(10, 11, 12\). Dacă \(a=2\), atunci \(b\le 1\): numerele \(20, 21\). Dacă \(a=3\), atunci \(b=0\): numărul \(30\). Pentru \(a\ge 4\) suma depășește \(3\). În total sunt \(3+2+1=6\) cazuri favorabile.

3. 3

   Calculăm probabilitatea

   p=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}

   Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: \(p=\frac{6}{90}\). Simplificăm cu \(6\) și obținem \(\frac{1}{15}\).

Răspuns: \(p=\frac{1}{15}\)

În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \(A(0,3)\), \(B(1,5)\) și \(C(6,0)\). Arătați că triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\).

Metoda: Condiția de perpendicularitate a dreptelor

1. 1

   Calculăm panta dreptei AB

   m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-3}{1-0}=2

   Panta unei drepte prin două puncte este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor. Avem nevoie de ea pentru a verifica ulterior perpendicularitatea. Pentru \(A(0,3)\) și \(B(1,5)\) obținem \(m_{AB}=\frac{5-3}{1-0}=2\).

2. 2

   Calculăm panta dreptei AC

   m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{0-3}{6-0}=-\frac{1}{2}

   Aplicăm aceeași formulă pentru \(A(0,3)\) și \(C(6,0)\). Obținem \(m_{AC}=\frac{0-3}{6-0}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\).

3. 3

   Verificăm perpendicularitatea și concluzionăm

   m_{AB}\cdot m_{AC}=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1

   Două drepte sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este \(-1\). Aici \(2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\), deci \(AB\perp AC\). Prin urmare unghiul \(\angle BAC\) este drept, adică triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\).

Răspuns: Deoarece \(m_{AB}\cdot m_{AC}=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\), dreptele \(AB\) și \(AC\) sunt perpendiculare, deci triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\).

Se consideră expresia \(E(x)=\cos x\cdot\sin 3x-\sin 2x\), unde \(x\) este număr real. Arătați că \(E\left(\frac{\pi}{6}\right)=0\).

Metoda: Valori ale funcțiilor trigonometrice

1. 1

   Înlocuim x și calculăm unghiurile

   E\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\cos\tfrac{\pi}{6}\cdot\sin\left(3\cdot\tfrac{\pi}{6}\right)-\sin\left(2\cdot\tfrac{\pi}{6}\right)=\cos\tfrac{\pi}{6}\cdot\sin\tfrac{\pi}{2}-\sin\tfrac{\pi}{3}

   Punem \(x=\frac{\pi}{6}\) peste tot în expresie. Apoi simplificăm unghiurile: \(3\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\) și \(2\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\). Astfel ajungem la unghiuri remarcabile, ale căror valori le știm.

2. 2

   Folosim valorile din tabel

   \cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\tfrac{\pi}{2}=1,\quad \sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}

   Acestea sunt valori de învățat din tabelul unghiurilor remarcabile (30°, 60°, 90°). \(\frac{\pi}{6}\) înseamnă 30°, \(\frac{\pi}{3}\) înseamnă 60°, iar \(\frac{\pi}{2}\) înseamnă 90°.

3. 3

   Calculăm și obținem 0

   E\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}=0

   Înlocuim valorile găsite. Primul termen este \(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{2}\), iar din el scădem \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Cei doi termeni sunt egali, deci diferența este 0, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(E\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. a) Arătați că \(\det(A(1))=6\).

Metoda: Calculul determinantului de ordin 2

1. 1

   Scriem matricea A(1)

   A(1)=\begin{pmatrix}2\cdot1+1&0\\4\cdot1&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}

   \(A(1)\) înseamnă matricea \(A(x)\) în care peste tot în loc de \(x\) punem \(1\). Elementul \(2x+1\) devine \(3\), elementul \(4x\) devine \(4\), iar \(x+1\) devine \(2\). Zero rămâne zero.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det(A(1))=\begin{vmatrix}3&0\\4&2\end{vmatrix}=3\cdot2-0\cdot4=6-0=6

   Determinantul unei matrice de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici diagonala principală are \(3\) și \(2\), iar cea secundară are \(0\) și \(4\). Obținem \(6-0=6\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\det(A(1))=6\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. b) Determinați numărul real \(x\) pentru care \(A(-2)\cdot A(1)-4I_2=A(x)\).

Metoda: Calcul matriceal și egalitatea matricelor

1. 1

   Calculăm A(-2) și A(1)

   A(-2)=\begin{pmatrix}-3&0\\-8&-1\end{pmatrix},\quad A(1)=\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}

   Înlocuim pe rând \(x=-2\) și \(x=1\) în \(A(x)\). Pentru \(x=-2\): \(2x+1=-3\), \(4x=-8\), \(x+1=-1\). Pentru \(x=1\): \(2x+1=3\), \(4x=4\), \(x+1=2\).

2. 2

   Calculăm produsul A(-2)·A(1)

   A(-2)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}-9&0\\-28&-2\end{pmatrix}

   Înmulțim linie cu coloană. Elementul (1,1): \(-3\cdot3+0\cdot4=-9\). Elementul (1,2): \(-3\cdot0+0\cdot2=0\). Elementul (2,1): \(-8\cdot3+(-1)\cdot4=-28\). Elementul (2,2): \(-8\cdot0+(-1)\cdot2=-2\).

3. 3

   Scădem 4I₂

   A(-2)A(1)-4I_2=\begin{pmatrix}-9&0\\-28&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13&0\\-28&-6\end{pmatrix}

   \(4I_2\) are 4 pe diagonala principală și 0 în rest. Scădem element cu element: \(-9-4=-13\) și \(-2-4=-6\).

4. 4

   Egalăm cu A(x) și aflăm x

   \begin{pmatrix}-13&0\\-28&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}\Rightarrow 2x+1=-13\Rightarrow x=-7

   Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Din \(2x+1=-13\) obținem \(x=-7\). Verificăm și celelalte poziții: \(4x=-28\) și \(x+1=-6\), ambele adevărate pentru \(x=-7\). Deci rezultatul este chiar \(A(-7)\).

Răspuns: \(x=-7\)

Se consideră matricele \(I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) și \(A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real. c) Demonstrați că \(\det\left(A(x)+A\left(\frac{1}{x}\right)-2I_2\right)\ge 8\), pentru orice număr real nenul \(x\).

Metoda: Calcul de determinant și inegalitate

1. 1

   Calculăm matricea A(x)+A(1/x)−2I₂

   A(x)+A\left(\frac1x\right)-2I_2=\begin{pmatrix}2x+\frac2x&0\\4x+\frac4x&x+\frac1x\end{pmatrix}

   Adunăm matricele element cu element. Pe prima linie, prima coloană: \((2x+1)+\left(\frac2x+1\right)-2=2x+\frac2x\). Pe poziția (2,1): \(4x+\frac4x\). Pe poziția (2,2): \((x+1)+\left(\frac1x+1\right)-2=x+\frac1x\). Elementul (1,2) rămâne 0. Scăderea lui \(2I_2\) afectează doar diagonala și anulează cei doi de 1+1.

2. 2

   Calculăm determinantul

   \det=\left(2x+\frac2x\right)\left(x+\frac1x\right)=2\left(x+\frac1x\right)^2

   Matricea este inferior triunghiulară (elementul de sus-dreapta este 0), deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală. Observăm că \(2x+\frac2x=2\left(x+\frac1x\right)\). Rezultă \(2\left(x+\frac1x\right)^2=2\left(x^2+\frac1{x^2}+2\right)\).

3. 3

   Demonstrăm inegalitatea

   2\left(x^2+\frac1{x^2}+2\right)=2\left(\left(x-\frac1x\right)^2+4\right)\ge 8

   Folosim \(\left(x-\frac1x\right)^2=x^2-2+\frac1{x^2}\), deci \(x^2+\frac1{x^2}+2=\left(x-\frac1x\right)^2+4\). Un pătrat este mereu \(\ge0\), deci paranteza este \(\ge4\), iar \(2\cdot4=8\). Egalitatea apare pentru \(x=\pm1\). Astfel inegalitatea este adevărată pentru orice \(x\ne0\).

Răspuns: \(\det\left(A(x)+A\left(\frac1x\right)-2I_2\right)=2\left(\left(x-\frac1x\right)^2+4\right)\ge 8\), pentru orice \(x\ne0\).

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = x^2 - xy - x + 2y + 1\). Arătați că \(1 \circ 1 = 2\).

Metoda: Calcul direct în legea de compoziție

1. 1

   Înlocuim x = 1 și y = 1 în formulă

   1 \circ 1 = 1^2 - 1\cdot 1 - 1 + 2\cdot 1 + 1

   Legea ne spune cum se calculează \(x \circ y\) pentru orice numere reale. Ca să aflăm \(1 \circ 1\), punem peste tot în locul lui \(x\) numărul 1 și în locul lui \(y\) tot 1. Fiecare apariție a lui x și y se înlocuiește, inclusiv în termenii \(x^2\), \(xy\), \(-x\) și \(2y\).

2. 2

   Efectuăm calculele

   1 - 1 - 1 + 2 + 1 = 2

   Calculăm pe rând: \(1^2 = 1\), \(1\cdot 1 = 1\), \(2\cdot 1 = 2\). Expresia devine \(1 - 1 - 1 + 2 + 1\). Adunăm și scădem de la stânga la dreapta: \(1-1=0\), \(0-1=-1\), \(-1+2=1\), \(1+1=2\). Astfel am arătat că \(1 \circ 1 = 2\), exact ce se cerea.

Răspuns: \(1 \circ 1 = 1 - 1 - 1 + 2 + 1 = 2\), deci egalitatea este demonstrată.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = x^2 - xy - x + 2y + 1\). b) Determinați numerele reale \(x\) pentru care \(x \circ (2x) = 1\).

Metoda: Calcul direct în legea de compoziție

1. 1

   Calculăm \(x \circ (2x)\)

   x\circ(2x)=x^2-x\cdot 2x-x+2\cdot 2x+1=-x^2+3x+1

   Legea spune că \(x \circ y = x^2 - xy - x + 2y + 1\). Pentru \(x \circ (2x)\) punem peste tot \(y = 2x\). Obținem \(x^2 - x\cdot 2x - x + 2\cdot 2x + 1\). Apoi reducem termenii asemenea: \(x^2 - 2x^2 = -x^2\), iar \(-x + 4x = 3x\). Rezultă \(-x^2 + 3x + 1\), pentru orice număr real \(x\).

2. 2

   Rezolvăm ecuația \(x \circ (2x) = 1\)

   -x^2+3x+1=1 \Rightarrow -x^2+3x=0 \Rightarrow x(3-x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ sau } x=3

   Egalăm rezultatul din pasul 1 cu 1: \(-x^2 + 3x + 1 = 1\). Scădem 1 din ambii membri și obținem \(-x^2 + 3x = 0\). Dăm factor comun \(x\): \(x(3 - x) = 0\). Un produs este zero când unul dintre factori este zero, deci \(x = 0\) sau \(x = 3\). Ambele valori sunt numere reale, deci convin. Verificare: pentru \(x = 3\) avem \(-9 + 9 + 1 = 1\), iar pentru \(x = 0\) avem \(1\).

Răspuns: \(x \in \{0, 3\}\)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție \(x \circ y = x^2 - xy - x + 2y + 1\). c) Determinați perechile \((m,n)\) de numere naturale pentru care \(m \circ n = m\).

Metoda: Ecuație cu factorizare în numere naturale

1. 1

   Scriem ecuația cu definiția legii

   m^2-mn-m+2n+1=m

   Înlocuim \(x\) cu \(m\) și \(y\) cu \(n\) în definiția legii: \(m \circ n = m^2 - mn - m + 2n + 1\). Apoi egalăm cu \(m\), cum cere enunțul.

2. 2

   Aducem toți termenii într-o parte

   m^2-mn-2m+2n=-1

   Scădem \(m\) din ambii membri și mutăm \(1\) în dreapta. Din \(m^2-mn-m+2n+1=m\) obținem \(m^2-mn-2m+2n+1=0\), adică \(m^2-mn-2m+2n=-1\).

3. 3

   Factorizăm membrul stâng

   m(m-2)-n(m-2)=-1 \Rightarrow (m-2)(m-n)=-1

   Grupăm: \(m^2-2m = m(m-2)\) și \(-mn+2n = -n(m-2)\). Scoatem factor comun \(m-2\) și obținem \((m-2)(m-n)=-1\). Astfel am transformat ecuația într-un produs egal cu un număr mic.

4. 4

   Descompunem pe -1 în factori întregi

   \begin{cases} m-2=1 \\ m-n=-1 \end{cases} \text{ sau } \begin{cases} m-2=-1 \\ m-n=1 \end{cases}

   Factorii \(m-2\) și \(m-n\) sunt numere întregi, deoarece \(m,n\) sunt naturale. Produsul lor este \(-1\), deci unul este \(1\) și celălalt \(-1\). Sunt doar două cazuri.

5. 5

   Rezolvăm cele două cazuri

   m=3,\ n=4 \quad \text{sau} \quad m=1,\ n=0

   Cazul 1: \(m-2=1\) dă \(m=3\); apoi \(3-n=-1\) dă \(n=4\). Cazul 2: \(m-2=-1\) dă \(m=1\); apoi \(1-n=1\) dă \(n=0\). În ambele cazuri \(m,n\) sunt naturale, deci convin. Verificare: \(3\circ 4=9-12-3+8+1=3\) și \(1\circ 0=1-0-1+0+1=1\).

Răspuns: Perechile căutate sunt \((1,0)\) și \((3,4)\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x-1)\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\). a) Arătați că \(f'(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}\), \(x\in(0,+\infty)\).

Metoda: Derivata sumei și a produsului

1. 1

   Derivăm produsul (x−1)√x

   \left((x-1)\sqrt{x}\right)'=(x-1)'\sqrt{x}+(x-1)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{x-1}{2\sqrt{x}}

   Folosim formula de derivare a produsului \((u\cdot v)'=u'v+uv'\), cu \(u=x-1\) și \(v=\sqrt{x}\). Avem \(u'=1\) și \(v'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\). Regula se aplică pentru că expresia este un produs de două funcții derivabile pe \((0,+\infty)\).

2. 2

   Derivăm fracția 2/√x

   \left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)'=\frac{0\cdot\sqrt{x}-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{x}}}{x}=-\frac{1}{x\sqrt{x}}

   Folosim formula de derivare a câtului \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\), cu \(u=2\) și \(v=\sqrt{x}\). Cum \(v^2=x\) și \(u'=0\), numărătorul devine \(-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1}{\sqrt{x}}\). Rezultatul este același cu cel din barem, \(\frac{-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}\).

3. 3

   Adunăm și aducem la numitor comun

   f'(x)=\sqrt{x}+\frac{x-1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{2x^2+x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}=\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}

   Numitorul comun este \(2x\sqrt{x}\). Primul termen: \(\sqrt{x}=\frac{2x\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}}=\frac{2x^2}{2x\sqrt{x}}\), căci \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x\). Al doilea: \(\frac{x-1}{2\sqrt{x}}=\frac{(x-1)x}{2x\sqrt{x}}=\frac{x^2-x}{2x\sqrt{x}}\). Al treilea: \(-\frac{1}{x\sqrt{x}}=-\frac{2}{2x\sqrt{x}}\). Însumând numărătorii: \(2x^2+x^2-x-2=3x^2-x-2\). Am obținut exact forma cerută, pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Răspuns: \(f'(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}\), pentru orice \(x\in(0,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x-1)\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\). Arătați că \(\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}\cdot f'(x)}{5x-5}=\frac{1}{2}\).

Metoda: Simplificarea nedeterminării 0/0

1. 1

   Înlocuim derivata din subpunctul a)

   \frac{\sqrt{x}\cdot f'(x)}{5x-5}=\frac{\sqrt{x}\cdot\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}}{5(x-1)}=\frac{3x^2-x-2}{10x(x-1)}

   Din a) știm că \(f'(x)=\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}\). Când îl înmulțim cu \(\sqrt{x}\), radicalul se simplifică. La numitor, \(5x-5=5(x-1)\), deci rămâne \(2x\cdot5(x-1)=10x(x-1)\). Facem asta ca să scăpăm de radical și să ajungem la o fracție rațională.

2. 2

   Descompunem numărătorul

   3x^2-x-2=(3x+2)(x-1)

   Pentru \(x=1\) numărătorul este \(3-1-2=0\) și numitorul este 0, deci avem nedeterminarea \(\frac{0}{0}\). Cum \(x=1\) este rădăcină a numărătorului, acesta se împarte exact la \((x-1)\). Cealaltă rădăcină se obține din \(\Delta=1+24=25\): \(x=\frac{1\pm5}{6}\), adică \(1\) și \(-\frac{2}{3}\). Deci \(3x^2-x-2=3(x-1)(x+\frac{2}{3})=(x-1)(3x+2)\). Verificare: \((3x+2)(x-1)=3x^2-3x+2x-2=3x^2-x-2\).

3. 3

   Simplificăm și calculăm limita

   \lim_{x\to1}\frac{(3x+2)(x-1)}{10x(x-1)}=\lim_{x\to1}\frac{3x+2}{10x}=\frac{3\cdot1+2}{10\cdot1}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}

   Pentru \(x\to1\), \(x\neq1\), deci putem simplifica factorul \((x-1)\). Nedeterminarea dispare, iar funcția rămasă este continuă în 1, deci înlocuim direct \(x=1\). Obținem \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}\cdot f'(x)}{5x-5}=\frac{1}{2}\)

Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \), \( f(x)=(x-1)\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}} \). c) Determinați imaginea funcției \( f \).

Metoda: Studiul monotoniei cu derivata

1. 1

   Rădăcina derivatei

   f'(x)=\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}=\frac{(3x+2)(x-1)}{2x\sqrt{x}},\quad f'(x)=0\Leftrightarrow x=1

   Din a) știm că \( f'(x)=\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}} \). Numitorul este pozitiv pe \( (0,+\infty) \), deci derivata se anulează doar când numărătorul este 0. Rezolvăm \( 3x^2-x-2=0 \): \( \Delta=1+24=25 \), deci \( x=1 \) sau \( x=-\frac{2}{3} \). Doar \( x=1 \) este în domeniu. Descompunerea este \( 3x^2-x-2=(3x+2)(x-1) \).

2. 2

   Semnul derivatei și monotonia

   x\in(0,1]\Rightarrow f'(x)\le 0;\quad x\in[1,+\infty)\Rightarrow f'(x)\ge 0

   Pe \( (0,+\infty) \) factorul \( 3x+2 \) este pozitiv, iar numitorul este pozitiv, deci semnul lui \( f' \) este dat de \( x-1 \). Pentru \( x<1 \) derivata este negativă, deci f este descrescătoare pe \( (0,1] \). Pentru \( x>1 \) derivata este pozitivă, deci f este crescătoare pe \( [1,+\infty) \). Rezultă că \( x=1 \) este punct de minim.

3. 3

   Valoarea minimă și limita la infinit

   f(1)=0\cdot 1+\frac{2}{1}=2,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

   Minimul se atinge în \( x=1 \): \( f(1)=(1-1)\sqrt1+\frac{2}{\sqrt1}=2 \). Pentru \( x\to+\infty \), termenul \( (x-1)\sqrt{x} \) tinde la \( +\infty \), iar \( \frac{2}{\sqrt{x}}\to0 \), deci \( f(x)\to+\infty \). Putem observa și că la \( x\to0 \) termenul \( \frac{2}{\sqrt{x}}\to+\infty \), deci f ia valori oricât de mari și în stânga.

4. 4

   Imaginea funcției

   \operatorname{Im} f=[2,+\infty)

   Funcția f este continuă (este derivabilă) pe \( (0,+\infty) \). Pe \( (0,1] \) ea scade de la \( +\infty \) la 2, iar pe \( [1,+\infty) \) crește de la 2 la \( +\infty \). Prin continuitate (proprietatea lui Darboux), ia toate valorile din \( [2,+\infty) \), iar valori sub 2 nu ia, pentru că 2 este minimul. Deci imaginea este \( [2,+\infty) \).

Răspuns: Imaginea funcției este \( [2,+\infty) \).

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=(x^2+x)e^x \). a) Arătați că \( \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}\,dx=\frac{5}{6} \).

Metoda: Integrare directă a polinomului

1. 1

   Simplificăm fracția de sub integrală

   \frac{f(x)}{e^x}=\frac{(x^2+x)e^x}{e^x}=x^2+x

   Înlocuim \(f(x)\) cu \((x^2+x)e^x\). Deoarece \(e^x\neq 0\) pentru orice \(x\), putem simplifica prin \(e^x\). Rămâne doar polinomul \(x^2+x\), mult mai ușor de integrat.

2. 2

   Scriem integrala și aflăm primitivele

   \int_0^1 (x^2+x)\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1+\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1

   Integrala unei sume este suma integralelor. Folosim formula \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\): pentru \(x^2\) obținem \(\frac{x^3}{3}\), iar pentru \(x\) obținem \(\frac{x^2}{2}\).

3. 3

   Aplicăm formula Leibniz-Newton

   \frac{1^3-0^3}{3}+\frac{1^2-0^2}{2}=\frac13+\frac12=\frac56

   Calculăm valoarea primitivei în limita de sus (1) și scădem valoarea în limita de jos (0). Apoi adunăm fracțiile aducându-le la numitorul comun 6: \(\frac26+\frac36=\frac56\).

Răspuns: \(\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}\,dx=\frac13+\frac12=\frac56\), deci egalitatea este demonstrată.

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=(x^2+x)e^x \). b) Arătați că \( \int_1^2 \frac{f(x)}{x}\,dx=e(2e-1) \).

Metoda: Integrare prin părți

1. 1

   Simplificăm fracția

   \frac{f(x)}{x}=\frac{x(x+1)e^x}{x}=(x+1)e^x

   Scoatem factor comun \(x\) în \(x^2+x=x(x+1)\). Pe intervalul \([1,2]\) avem \(x\neq 0\), deci putem simplifica prin \(x\). Astfel integrala devine \(\int_1^2 (x+1)e^x\,dx\), mult mai simplă.

2. 2

   Recunoaștem derivata unui produs

   (x+1)e^x=(x+1)\,(e^x)'

   Cum \((e^x)'=e^x\), putem scrie funcția ca \((x+1)(e^x)'\). Aceasta este forma pentru integrarea prin părți: \(\int u\,v'\,dx=uv-\int u'\,v\,dx\), cu \(u=x+1\) și \(v=e^x\). Avem \(u'=1\).

3. 3

   Aplicăm formula părților

   \int_1^2 (x+1)(e^x)'\,dx=(x+1)e^x\Big|_1^2-\int_1^2 e^x\,dx=\big((x+1)e^x-e^x\big)\Big|_1^2=xe^x\Big|_1^2

   Din formula părților obținem \((x+1)e^x\) evaluat între 1 și 2, minus \(\int_1^2 e^x dx=e^x\big|_1^2\). Reducând termenii, \((x+1)e^x-e^x=xe^x\). Baremul scrie direct \(\int_1^2 (x+1)(e^x)'dx\) ca \(xe^x\big|_1^2\), deoarece \((xe^x)'=(x+1)e^x\).

4. 4

   Calculăm cu formula Leibniz-Newton

   xe^x\Big|_1^2=2e^2-1\cdot e=2e^2-e=e(2e-1)

   Înlocuim limita superioară \(x=2\): \(2e^2\), apoi limita inferioară \(x=1\): \(1\cdot e=e\), și scădem. Apoi dăm factor comun \(e\): \(2e^2-e=e(2e-1)\), exact rezultatul cerut.

Răspuns: \(\int_1^2 \frac{f(x)}{x}\,dx=xe^x\Big|_1^2=2e^2-e=e(2e-1)\), ceea ce trebuia arătat.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=(x^2+x)e^x\). Determinați numărul real \(a\) pentru care \(\int_2^4 \frac{x f(x)}{f(x-1)}\,dx = ae(5+\ln 3)\).

Metoda: Integrare directă după simplificare

1. 1

   Calculăm f(x−1)

   f(x-1)=\left((x-1)^2+(x-1)\right)e^{x-1}=(x^2-x)e^{x-1}

   Înlocuim x cu x−1 în formula lui f. Avem \((x-1)^2+(x-1)=x^2-2x+1+x-1=x^2-x=x(x-1)\). Deci \(f(x-1)=x(x-1)e^{x-1}\).

2. 2

   Simplificăm fracția

   \frac{xf(x)}{f(x-1)}=\frac{x\,x(x+1)e^x}{x(x-1)e^{x-1}}=\frac{e\,x(x+1)}{x-1}=e\cdot\frac{x^2+x}{x-1}

   Avem \(f(x)=x(x+1)e^x\). Simplificăm cu x (pe [2,4] avem x≠0) și \(\frac{e^x}{e^{x-1}}=e\). Rămâne \(e\cdot\frac{x^2+x}{x-1}\), definită pe [2,4] deoarece x−1≥1.

3. 3

   Împărțim polinomul la x−1

   \frac{x^2+x}{x-1}=x+2+\frac{2}{x-1}

   Împărțim \(x^2+x\) la \(x-1\): câtul este \(x+2\), restul 2. Verificăm: \((x+2)(x-1)+2=x^2+x-2+2=x^2+x\). Astfel integrala devine ușor de calculat.

4. 4

   Calculăm integrala

   e\int_2^4\left(x+2+\frac{2}{x-1}\right)dx=e\left(\frac{x^2}{2}+2x+2\ln(x-1)\right)\Big|_2^4

   Integrăm termen cu termen: \(\int x\,dx=\frac{x^2}{2}\), \(\int 2\,dx=2x\), \(\int\frac{2}{x-1}dx=2\ln(x-1)\). La x=4: \(8+8+2\ln3=16+2\ln3\). La x=2: \(2+4+2\ln1=6\). Diferența: \(10+2\ln3=2(5+\ln3)\). Deci integrala este \(2e(5+\ln3)\).

5. 5

   Aflăm a

   ae(5+\ln3)=2e(5+\ln3)\Rightarrow a=2

   Egalăm rezultatul cu membrul drept. Cum \(e(5+\ln3)\neq0\), îl simplificăm și obținem a=2.

Răspuns: a = 2