Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2015, sesiunea iunie–iulie (varianta 05)

Rezultatul calculului \(20:2-10\) este egal cu … .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Alegem prima operație

   20:2-10

   În expresia \(20:2-10\) avem o împărțire și o scădere. Conform ordinii efectuării operațiilor, împărțirea se face înaintea scăderii. De aceea nu scădem întâi \(2-10\), ci începem cu \(20:2\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   20:2=10

   Calculăm \(20:2\). Jumătatea lui 20 este 10, deci \(20:2=10\). Expresia devine \(10-10\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   10-10=0

   Acum a rămas doar scăderea \(10-10\). Când scădem un număr din el însuși, obținem 0. Rezultatul este 0, la fel ca în barem.

Răspuns: Rezultatul calculului este 0.

Subiectul I, itemul 2: Dacă \(\frac{a}{6}=\frac{25}{3}\), atunci \(a\) este egal cu ... .

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Scriem proporția și proprietatea fundamentală

   \frac{a}{6}=\frac{25}{3}\Rightarrow a\cdot 3=6\cdot 25

   Într-o proporție \(\frac{x}{y}=\frac{z}{t}\) produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: \(x\cdot t=y\cdot z\). Aici extremii sunt \(a\) și \(3\), iar mezii sunt \(6\) și \(25\). Facem acest pas ca să scăpăm de fracții.

2. 2

   Aflăm pe a

   3a=150\Rightarrow a=150:3=50

   Din \(3\cdot a=150\) rezultă că \(a\) este câtul lui \(150\) la \(3\), pentru că împărțirea este operația inversă înmulțirii. Astfel găsim numărul care înmulțit cu 3 dă 150.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   \frac{50}{6}=\frac{25}{3}

   Înlocuim \(a=50\) în proporție. Simplificând fracția \(\frac{50}{6}\) cu 2 obținem \(\frac{25}{3}\), deci egalitatea este adevărată și rezultatul este corect.

Răspuns: a = 50

Cel mai mic număr natural din intervalul \([2,6]\) este egal cu … .

Metoda: Intervale de numere reale

1. 1

   Ce înseamnă intervalul [2,6]

   [2,6]=\{x\in\mathbb{R}\mid 2\le x\le 6\}

   Parantezele pătrate arată că și capetele intervalului fac parte din el. Deci intervalul \([2,6]\) conține toate numerele reale de la 2 până la 6, inclusiv 2 și 6. Contează acest lucru, pentru că tocmai capătul 2 va fi răspunsul.

2. 2

   Căutăm numerele naturale din interval

   [2,6]\cap\mathbb{N}=\{2,3,4,5,6\}

   Numerele naturale sunt 0, 1, 2, 3, ... Dintre ele, în intervalul \([2,6]\) se află doar cele cuprinse între 2 și 6, inclusiv: 2, 3, 4, 5, 6. Numerele 0 și 1 sunt mai mici decât 2, deci nu fac parte din interval.

3. 3

   Alegem cel mai mic număr

   \min\{2,3,4,5,6\}=2

   Dintre numerele 2, 3, 4, 5, 6 cel mai mic este 2. Deci cel mai mic număr natural din intervalul \([2,6]\) este 2. Observă că 2 este chiar capătul din stânga al intervalului, iar el aparține intervalului.

Răspuns: 2

Perimetrul unui triunghi echilateral este egal cu \(18\text{ cm}\). Lungimea unei laturi a acestui triunghi este egală cu … cm.

Metoda: Perimetrul triunghiului echilateral

1. 1

   Ce înseamnă perimetru și triunghi echilateral

   P = AB + BC + CA,\quad AB = BC = CA = l

   Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor celor trei laturi. Într-un triunghi echilateral toate laturile sunt egale; notăm lungimea unei laturi cu \(l\). Atunci perimetrul este \(P = l + l + l = 3 \cdot l\).

2. 2

   Scriem relația cu datele problemei

   3 \cdot l = 18

   Știm că perimetrul este \(18\text{ cm}\) și că \(P = 3 \cdot l\). Deci \(3 \cdot l = 18\). Căutăm numărul care înmulțit cu 3 dă 18.

3. 3

   Aflăm lungimea laturii

   l = 18 : 3 = 6

   Pentru a afla un factor necunoscut dintr-un produs, împărțim produsul la celălalt factor. Deci \(l = 18 : 3 = 6\). Latura triunghiului are \(6\text{ cm}\).

4. 4

   Verificarea

   6 + 6 + 6 = 18

   Verificăm: dacă fiecare latură are \(6\text{ cm}\), perimetrul este \(6+6+6=18\text{ cm}\), exact cât ne-a dat problema. Rezultatul este corect.

Răspuns: Lungimea unei laturi este \(6\) cm.

În Figura 1 este reprezentat un con circular drept cu raza bazei \(AO = 3\) cm și înălțimea \(VO = 4\) cm. Generatoarea \(VA\) a acestui con este egală cu ... cm. (Figura: conul are vârful V, centrul bazei O, iar A este un punct pe cercul bazei.)

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Găsim triunghiul dreptunghic

   \triangle VOA,\ m(\angle VOA)=90^\circ

   Înălțimea conului \(VO\) este perpendiculară pe planul bazei, deci și pe raza \(OA\), care se află în baza conului. Astfel, triunghiul \(VOA\) este dreptunghic în \(O\). Catetele sunt \(VO = 4\) cm și \(AO = 3\) cm, iar ipotenuza este generatoarea \(VA\), latura din fața unghiului drept. Facem acest pas ca să putem aplica teorema lui Pitagora.

2. 2

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   VA^2 = VO^2 + AO^2 = 4^2 + 3^2

   Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Înlocuim \(VO = 4\) și \(AO = 3\) și calculăm: \(16 + 9 = 25\). Deci \(VA^2 = 25\).

3. 3

   Aflăm generatoarea

   VA = \sqrt{25} = 5

   Dacă \(VA^2 = 25\), atunci \(VA\) este numărul pozitiv care ridicat la pătrat dă 25. Acest număr este 5, deoarece \(5^2 = 25\). Lungimea nu poate fi negativă, deci păstrăm doar valoarea pozitivă.

Răspuns: Generatoarea VA este egală cu 5 cm.

În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile măsurate la o stație meteorologică, la aceeași oră, în fiecare zi a unei săptămâni din luna mai. Luni: 13, Marți: 15, Miercuri: 14, Joi: 13, Vineri: 12, Sâmbătă: 19, Duminică: 16 (temperaturile sunt în \(^\circ\)C). Cea mai mică temperatură măsurată în acea săptămână a fost de … \(^\circ\)C.

Metoda: Citirea datelor dintr-un tabel

1. 1

   Scriem toate temperaturile

   13,\ 15,\ 14,\ 13,\ 12,\ 19,\ 16

   Citim tabelul zi cu zi și notăm temperaturile: Luni \(13\), Marți \(15\), Miercuri \(14\), Joi \(13\), Vineri \(12\), Sâmbătă \(19\), Duminică \(16\). Facem asta ca să avem toate valorile la un loc și să nu omitem vreuna.

2. 2

   Alegem cea mai mică valoare

   \min\{13,15,14,13,12,19,16\}=12

   Comparăm numerele între ele. Cele mai mici sunt în jur de \(12\) și \(13\): \(12<13<14<15<16<19\). Cel mai mic număr este \(12\), măsurat Vineri. Deci cea mai mică temperatură a fost de \(12^\circ\)C.

Răspuns: 12

Desenați, pe foaia de examen, un cub \(ABCDA'B'C'D'\).

Metoda: Desenarea unui cub în perspectivă

1. 1

   Desenăm fața din față: un pătrat

   ABB'A'

   Cubul are toate fețele pătrate. Începem cu o față, pe care o desenăm ca pe un pătrat adevărat, fără deformare, pentru că este fața privită direct din față. Notăm vârfurile \(A\), \(B\), \(B'\), \(A'\) ca să știm de la început unde sunt.

2. 2

   Desenăm fața din spate, deplasată în sus și spre dreapta

   DCC'D'

   Desenăm un al doilea pătrat egal cu primul, mutat puțin în sus și spre dreapta. Așa se obține efectul de adâncime (perspectiva). Pătratul din spate este tot de aceeași mărime, pentru că toate muchiile cubului sunt egale.

3. 3

   Unim vârfurile corespunzătoare

   AD,\ BC,\ A'D',\ B'C'

   Unim fiecare vârf al pătratului din față cu vârful corespunzător din spate. Se obțin cele 4 muchii care merg în adâncime. Muchiile pe care nu le-am vedea într-un cub din carton (cele din spate) le desenăm punctat, ca să se vadă că sunt ascunse.

4. 4

   Notăm cubul \(ABCDA'B'C'D'\)

   ABCDA'B'C'D'

   Baremul dă 1 punct pentru notare. Scriem lângă fiecare vârf litera lui: baza \(ABCD\) (jos) și baza \(A'B'C'D'\) (sus), astfel încât \(A'\) este deasupra lui \(A\), \(B'\) deasupra lui \(B\) etc. Notarea trebuie să urmeze ordinea vârfurilor, ca numele cubului să fie corect.

Răspuns: Desenul: două pătrate egale, unul deplasat în sus și spre dreapta față de celălalt, vârfurile corespunzătoare unite, muchiile ascunse punctate, iar vârfurile notate \(A,B,C,D,A',B',C',D'\). Punctaj conform baremului: 4p desenul + 1p notarea.

Calculați media aritmetică a numerelor naturale care sunt divizori ai lui 7.

Metoda: Media aritmetică a divizorilor

1. 1

   Aflăm divizorii lui 7

   D_7=\{1,\,7\}

   Un divizor al lui 7 este un număr natural la care 7 se împarte exact (rest 0). Numărul 7 este prim, deci are doar doi divizori: 1 și el însuși, 7. Verificăm: 7 nu se împarte exact la 2, 3, 4, 5 sau 6.

2. 2

   Calculăm media aritmetică

   m_a=\frac{1+7}{2}

   Media aritmetică a două numere se obține adunând numerele și împărțind suma la câte numere sunt, adică la 2. Aici adunăm divizorii 1 și 7 și împărțim la 2.

3. 3

   Concluzia

   m_a=4

   Din calculul de mai sus rezultă că media aritmetică a divizorilor lui 7 este 4, exact rezultatul din barem.

Răspuns: Media aritmetică a divizorilor lui 7 este 4.

Numerele \(x\) și \(y\) sunt direct proporționale cu numerele 3 și 4. Determinați cele două numere, știind că \(y\) este cu 14 mai mare decât \(x\).

Metoda: Proporții și mărimi direct proporționale

1. 1

   Scriem proporția

   \frac{x}{3}=\frac{y}{4}

   Mărimi direct proporționale cu 3 și 4 înseamnă că raportul dintre x și 3 este egal cu raportul dintre y și 4. Așa transformăm informația din text într-o egalitate de fracții.

2. 2

   Îl exprimăm pe y în funcție de x

   y=\frac{4x}{3}

   Din proprietatea fundamentală a proporțiilor (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor) avem \(3y=4x\). Împărțim la 3 și obținem \(y=\frac{4x}{3}\). Așa rămâne o singură necunoscută în a doua condiție.

3. 3

   Folosim condiția „y este cu 14 mai mare decât x”

   \frac{4x}{3}-x=14

   Dacă y este cu 14 mai mare decât x, atunci diferența \(y-x\) este 14. Înlocuim y cu \(\frac{4x}{3}\). Calculăm: \(\frac{4x}{3}-\frac{3x}{3}=\frac{x}{3}\), deci \(\frac{x}{3}=14\), de unde \(x=14\cdot 3=42\).

4. 4

   Calculăm y și verificăm

   y=\frac{4\cdot 42}{3}=56

   Înlocuim \(x=42\) în \(y=\frac{4x}{3}\) și obținem \(y=56\). Verificăm: \(56-42=14\), iar \(\frac{42}{3}=14\) și \(\frac{56}{4}=14\), deci rapoartele sunt egale.

Răspuns: x = 42 și y = 56

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-5\). a) Calculați \(f(5)\).

Metoda: Valoarea unei funcții într-un punct

1. 1

   Ce înseamnă f(5)?

   f(x)=x-5

   Scrierea \(f(5)\) înseamnă valoarea funcției când în locul lui \(x\) punem numărul 5. Funcția ne spune regula: scădem 5 din numărul pus în loc de \(x\). De aceea înlocuim peste tot litera \(x\) cu 5.

2. 2

   Înlocuim x cu 5

   f(5)=5-5

   Punem 5 în locul lui \(x\) în formula \(x-5\) și obținem \(f(5)=5-5\). Facem asta pentru că vrem valoarea funcției exact în punctul 5.

3. 3

   Calculăm rezultatul

   f(5)=5-5=0

   Scăderea \(5-5\) dă 0, pentru că scădem un număr din el însuși. Deci \(f(5)=0\), la fel ca în barem.

Răspuns: \(f(5)=0\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-5\). b) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Graficul funcției liniare

1. 1

   Aflăm un punct de pe grafic

   f(5)=5-5=0 \Rightarrow A(5,0)

   Alegem o valoare pentru \(x\) și calculăm \(f(x)\). Perechea \((x, f(x))\) este un punct al graficului. Din punctul a) știm deja că \(f(5)=0\), deci punctul \(A(5,0)\) este pe grafic. Acest punct se află pe axa Ox.

2. 2

   Aflăm încă un punct

   f(0)=0-5=-5 \Rightarrow B(0,-5)

   O dreaptă este determinată de două puncte distincte, deci mai avem nevoie de unul. Alegem \(x=0\), pentru că e ușor de calculat. Obținem punctul \(B(0,-5)\), care se află pe axa Oy.

3. 3

   Trasăm graficul

   G_f = \text{dreapta } AB

   Într-un sistem de axe \(xOy\) marcăm punctele \(A(5,0)\) și \(B(0,-5)\). Apoi trasăm dreapta care trece prin ele, cu rigla, prelungind-o în ambele sensuri, pentru că funcția este definită pe \(\mathbb{R}\). Dreapta obținută este graficul funcției \(f\).

Răspuns: Graficul funcției \(f(x)=x-5\) este dreapta care trece prin punctele \(A(5,0)\) și \(B(0,-5)\).

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right):\frac{(x+3)(x-1)}{x^2-2x+1}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -3\), \(x\neq -1\) și \(x\neq 1\). Arătați că \(E(x)=\frac{1}{x+1}\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -3\), \(x\neq -1\) și \(x\neq 1\).

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   Scădem fracțiile din paranteză

   \frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}

   Fracțiile au numitori diferiți, deci le aducem la numitorul comun \((x-1)(x+1)\). Prima fracție se amplifică cu \(x+1\), a doua cu \(x-1\). La numărător: \(2x+2-x+1=x+3\). Atenție la semnul minus din fața lui \((x-1)\): schimbă semnele ambilor termeni.

2. 2

   Descompunem numitorul din a doua fracție

   x^2-2x+1=(x-1)^2

   Folosim formula de calcul prescurtat \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), cu \(a=x\) și \(b=1\). Astfel vom putea simplifica factorii \(x-1\) mai târziu.

3. 3

   Transformăm împărțirea în înmulțire

   E(x)=\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+3)}

   A împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei. Inversa lui \(\frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)^2}\) este \(\frac{(x-1)^2}{(x+3)(x-1)}\). Putem face asta deoarece \(x\neq -3\) și \(x\neq 1\).

4. 4

   Simplificăm și încheiem

   E(x)=\frac{(x+3)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)(x-1)(x+3)}=\frac{1}{x+1}

   Simplificăm factorii comuni \(x+3\) și \((x-1)^2\) cu \((x-1)(x-1)\). Se poate, pentru că \(x\neq -3\) și \(x\neq 1\), deci acești factori sunt nenuli. Rămâne \(\frac{1}{x+1}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(E(x)=\frac{1}{x+1}\), pentru orice \(x\) real, \(x\neq -3\), \(x\neq -1\), \(x\neq 1\).

Figura 2 este schița unui steag format din două trapeze dreptunghice \(ABCD\) și \(EFCD\), \(AE \perp DC\), în care \(AB = EF = 8\) dm, \(DC = 6\) dm, \(AD = 2\sqrt{3}\) dm și punctul \(D\) este mijlocul segmentului \(AE\). a) Arătați că aria trapezului \(ABCD\) este egală cu \(14\sqrt{3}\) dm².

Metoda: Aria trapezului

1. 1

   Identificăm bazele și înălțimea trapezului

   B = AB = 8,\quad b = DC = 6,\quad h = AD = 2\sqrt{3}

   În trapezul \(ABCD\), laturile \(AB\) și \(DC\) sunt paralele, deci sunt bazele. Trapezul este dreptunghic, cu \(AD \perp DC\), deci \(AD\) este perpendiculară pe baze și reprezintă înălțimea. Avem baza mare \(AB = 8\) dm, baza mică \(DC = 6\) dm și înălțimea \(AD = 2\sqrt{3}\) dm.

2. 2

   Scriem formula ariei trapezului și înlocuim

   \mathcal{A}_{ABCD}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{(8+6)\cdot 2\sqrt{3}}{2}

   Aria unui trapez este suma bazelor înmulțită cu înălțimea, totul împărțit la 2. Înlocuim cu valorile găsite la pasul anterior.

3. 3

   Calculăm și obținem rezultatul

   \mathcal{A}_{ABCD}=\frac{14\cdot 2\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}\ \text{dm}^2

   Simplificăm cu 2 numărătorul și numitorul: \(\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\). Rămâne \(14\cdot\sqrt{3}\), adică exact ce trebuia arătat. Unitatea de măsură este dm², pentru că este o arie.

Răspuns: \(\mathcal{A}_{ABCD}=14\sqrt{3}\) dm², ceea ce trebuia arătat.

Figura 2 este schița unui steag format din două trapeze dreptunghice \(ABCD\) și \(EFCD\), \(AE \perp DC\), în care \(AB = EF = 8\) dm, \(DC = 6\) dm, \(AD = 2\sqrt{3}\) dm și punctul \(D\) este mijlocul segmentului \(AE\). b) Calculați lungimea segmentului \(BF\).

Metoda: Paralelogram și lungimea segmentului

1. 1

   Arătăm că ABFE este paralelogram

   AB \parallel CD,\ CD \parallel EF \Rightarrow AB \parallel EF,\quad AB = EF

   Ambele trapeze sunt dreptunghice, cu bazele paralele: \(AB \parallel CD\) și \(CD \parallel EF\). Două drepte paralele cu a treia sunt paralele între ele, deci \(AB \parallel EF\). Cum și \(AB = EF = 8\) dm, patrulaterul \(ABFE\) are două laturi opuse paralele și egale, deci este paralelogram.

2. 2

   Aflăm lungimea lui AE

   AE = 2 \cdot AD = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\ \text{dm}

   Punctul \(D\) este mijlocul lui \(AE\), deci \(AE\) este de două ori mai lung decât \(AD\). Avem \(AD = 2\sqrt{3}\) dm, deci \(AE = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\) dm.

3. 3

   Concluzia: BF = AE

   BF = AE = 4\sqrt{3}\ \text{dm}

   În paralelogramul \(ABFE\), laturile opuse sunt egale. Laturile \(BF\) și \(AE\) sunt opuse, deci \(BF = AE = 4\sqrt{3}\) dm.

Răspuns: \(BF = 4\sqrt{3}\) dm

Subiectul III, 1. c): Figura 2 este schița unui steag format din două trapeze dreptunghice \(ABCD\) și \(EFCD\), \(AE \perp DC\), în care \(AB = EF = 8\) dm, \(DC = 6\) dm, \(AD = 2\sqrt{3}\) dm și punctul \(D\) este mijlocul segmentului \(AE\). Arătați că unghiul \(BCF\) are măsura de \(120^\circ\).

Metoda: Congruența triunghiurilor dreptunghice

1. 1

   Construim perpendiculara prin C pe DC

   MP \perp CD,\ M\in AB,\ P\in EF,\ C\in MP

   Ducem prin \(C\) perpendiculara pe \(CD\); ea taie \(AB\) în \(M\) și \(EF\) în \(P\). Așa obținem triunghiuri dreptunghice în care putem lucra. Cum \(AB\perp AD\)... mai exact \(AMCD\) este dreptunghi (trei unghiuri drepte, \(AD\perp DC\), \(MC\perp DC\), \(AB \parallel DC\)), deci \(CM = AD = 2\sqrt{3}\) dm. La fel \(DEPC\) este dreptunghi și \(CP = DE = AD = 2\sqrt{3}\) dm, pentru că \(D\) este mijlocul lui \(AE\).

2. 2

   Calculăm BM și FP

   AM = DC = 6,\quad BM = AB - AM = 8 - 6 = 2

   Din dreptunghiul \(AMCD\) avem \(AM = DC = 6\) dm. Atunci \(BM = AB - AM = 8 - 6 = 2\) dm. La fel, \(EP = DC = 6\), deci \(FP = EF - EP = 2\) dm.

3. 3

   Triunghiurile CMB și CPF sunt congruente

   \Delta CMB \equiv \Delta CPF \ (\text{C.C.})

   Ambele triunghiuri sunt dreptunghice (în \(M\), respectiv \(P\)). Au catetele \(CM = CP = 2\sqrt{3}\) și \(BM = FP = 2\). Conform criteriului catetă–catetă (C.C.), sunt congruente, deci \(\angle BCM = \angle FCP\).

4. 4

   Aflăm măsura unghiului BCM

   \operatorname{tg}(\angle BCM) = \frac{BM}{CM} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow m(\angle BCM) = 30^\circ

   În triunghiul dreptunghic \(CMB\), tangenta unghiului \(BCM\) este cateta opusă supra cateta alăturată: \(\frac{BM}{CM} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Aceasta este tangenta lui \(30^\circ\), deci \(m(\angle BCM) = 30^\circ\). Din congruență, \(m(\angle FCP) = 30^\circ\).

5. 5

   Calculăm unghiul BCF

   m(\angle BCF) = 180^\circ - 2\cdot 30^\circ = 120^\circ

   Punctele \(M, C, P\) sunt coliniare, deci în jurul lui \(C\), pe aceeași parte a dreptei \(MP\), unghiurile \(\angle BCM\), \(\angle BCF\) și \(\angle FCP\) formează împreună un unghi alungit de \(180^\circ\). Atunci \(m(\angle BCF) = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: \(m(\angle BCF) = 120^\circ\)

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu înălțimea de \(4\) m și latura bazei de \(8\) m. a) Arătați că perimetrul pătratului \(ABCD\) este egal cu \(32\) m.

Metoda: Perimetrul pătratului

1. 1

   Stabilim ce știm despre pătratul ABCD

   AB=BC=CD=DA=8\text{ m}

   Piramida este patrulateră regulată, deci baza ei \(ABCD\) este pătrat. Toate laturile unui pătrat sunt egale, iar enunțul spune că latura bazei este \(8\) m. Prin urmare fiecare latură a pătratului are \(8\) m.

2. 2

   Calculăm perimetrul pătratului

   P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot 8=32\text{ m}

   Perimetrul este suma lungimilor tuturor laturilor. Fiindcă pătratul are patru laturi egale, adunăm de patru ori \(8\), adică înmulțim \(4\cdot 8\). Obținem \(32\) m, exact cât trebuia să arătăm.

Răspuns: Perimetrul pătratului \(ABCD\) este \(P=4\cdot 8=32\) m.

Subiectul III, 2. b): În figură este o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu înălțimea \(VO = 4\) m și latura bazei \(AB = 8\) m. Arătați că aria laterală a piramidei \(VABCD\) este egală cu \(64\sqrt{2}\) m\(^2\).

Metoda: Aria laterală a piramidei regulate

1. 1

   Găsim triunghiul dreptunghic \(VMO\)

   VO \perp (ABC),\ OM = \frac{AB}{2} = 4

   Fie \(M\) mijlocul laturii \(BC\) și \(O\) centrul pătratului \(ABCD\) (intersecția diagonalelor). Piramida este regulată, deci \(VO\) este perpendiculară pe planul bazei, așa că triunghiul \(VMO\) este dreptunghic în \(O\). Segmentul \(OM\) unește centrul pătratului cu mijlocul unei laturi, deci are lungimea jumătate din latură: \(OM = 8:2 = 4\) m. Ne trebuie acest triunghi, pentru că în el cunoaștem două laturi și putem afla a treia, \(VM\).

2. 2

   Calculăm apotema \(VM\) cu teorema lui Pitagora

   VM^2 = VO^2 + OM^2 = 4^2 + 4^2 = 32 \Rightarrow VM = 4\sqrt{2}

   În triunghiul dreptunghic \(VMO\), ipotenuza este \(VM\), iar catetele sunt \(VO = 4\) și \(OM = 4\). Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. Obținem \(VM^2 = 16 + 16 = 32\), deci \(VM = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) m. Mai mult, \(VM\) este înălțimea triunghiului isoscel \(VBC\), pentru că \(M\) este mijlocul bazei \(BC\).

3. 3

   Calculăm aria laterală

   \mathcal{A}_{l} = \frac{P_{b} \cdot a_p}{2} = \frac{4 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2}}{2} = 64\sqrt{2}

   Aria laterală este suma ariilor celor 4 triunghiuri egale. Un triunghi are aria \(\frac{8 \cdot 4\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2}\). Pentru 4 triunghiuri: \(4 \cdot 16\sqrt{2} = 64\sqrt{2}\). Aceasta este exact formula \(\frac{P_b \cdot a_p}{2}\), unde \(P_b = 4 \cdot 8 = 32\) este perimetrul bazei. Obținem \(\frac{32 \cdot 4\sqrt{2}}{2} = 64\sqrt{2}\) m\(^2\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria laterală a piramidei este \(64\sqrt{2}\) m\(^2\).

Subiectul III, 2. c): În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu înălțimea de \(4\text{ m}\) și latura bazei de \(8\text{ m}\). Determinați măsura unghiului dintre planul unei fețe laterale a piramidei și planul bazei.

Metoda: Unghiul dintre două plane

1. 1

   Găsim dreapta de intersecție a planelor

   (VBC)\cap(ABC)=BC

   Alegem fața laterală \(VBC\). Planul ei și planul bazei \(ABC\) se taie după dreapta \(BC\). Unghiul dintre plane se măsoară în raport cu această dreaptă.

2. 2

   Construim perpendicularele pe BC

   VM\perp BC,\ OM\perp BC

   Fie \(M\) mijlocul lui \(BC\) și \(O\) centrul bazei, adică intersecția diagonalelor \(AC\) și \(BD\). Triunghiul \(VBC\) este isoscel, deci mediana \(VM\) este și înălțime: \(VM\perp BC\), cu \(VM\subset(VBC)\). În pătratul \(ABCD\), \(OM\perp BC\), cu \(OM\subset(ABC)\). Cele două perpendiculare pe \(BC\) sunt în planele diferite, deci unghiul dintre plane este \(\angle VMO\).

3. 3

   Aflăm lungimile din triunghiul VMO

   VO=4,\ OM=\frac{AB}{2}=4

   \(VO\) este înălțimea piramidei, deci \(VO\perp(ABC)\) și \(\triangle VMO\) este dreptunghic în \(O\). \(VO=4\text{ m}\) este dat. \(OM\) este jumătate din latura pătratului, deci \(OM=8:2=4\text{ m}\).

4. 4

   Calculăm măsura unghiului

   VO=OM \Rightarrow m(\angle VMO)=45^\circ

   Triunghiul \(VMO\) este dreptunghic în \(O\) cu catetele egale (\(VO=OM=4\text{ m}\)), deci este dreptunghic isoscel. Unghiurile de la bază au câte \(45^\circ\). Verificare: \(90^\circ+2\cdot x=180^\circ\), deci \(x=45^\circ\).

Răspuns: Unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei are măsura de \(45^\circ\).