Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2015, model de subiect

Rezultatul calculului \(10+100:2\) este egal cu … .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   10+100:2

   În exercițiile fără paranteze, mai întâi se fac înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile. Dacă am aduna întâi \(10+100\), am obține un rezultat greșit. Aici împărțirea \(100:2\) se face prima.

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   100:2=50

   Calculăm \(100:2\). Jumătate din 100 este 50. Expresia devine \(10+50\).

3. 3

   Efectuăm adunarea

   10+50=60

   După ce am făcut împărțirea, rămâne doar adunarea \(10+50\). Obținem 60, la fel ca în barem.

Răspuns: Rezultatul calculului este \(60\).

Patru pixuri de același fel costă 20 de lei. Opt astfel de pixuri costă ... lei.

Metoda: Regula de trei simplă

1. 1

   Ce știm și ce cerem

   4 \text{ pixuri} \to 20 \text{ lei}; \quad 8 \text{ pixuri} \to x \text{ lei}

   Scriem datele una sub alta. Numărul de pixuri și prețul sunt mărimi direct proporționale: dacă numărul pixurilor crește, crește și prețul, în același raport. De aceea putem folosi regula de trei simplă.

2. 2

   Aplicăm regula de trei simplă

   x = \frac{8 \cdot 20}{4}

   La mărimi direct proporționale, raportul dintre numărul de pixuri este egal cu raportul dintre prețuri: \(\frac{4}{8}=\frac{20}{x}\). Din proprietatea fundamentală a proporțiilor obținem \(4 \cdot x = 8 \cdot 20\), deci \(x = \frac{8 \cdot 20}{4}\).

3. 3

   Calculăm rezultatul

   x = \frac{160}{4} = 40

   Împărțim 160 la 4 și obținem 40. Deci 8 pixuri costă 40 de lei.

4. 4

   Verificare

   20 \cdot 2 = 40

   8 pixuri înseamnă dublul lui 4 pixuri. Deci și prețul trebuie să fie dublul lui 20 de lei, adică 40 de lei. Rezultatul se potrivește.

Răspuns: Opt pixuri costă 40 de lei.

Dacă \(A=\{2, 3, 4, 5\}\) și \(B=\{0, 1, 2\}\), atunci mulțimea \(A\cap B\) este egală cu \(\{...\}\).

Metoda: Intersecția a două mulțimi

1. 1

   Ce înseamnă intersecția

   A\cap B=\{x \mid x\in A \text{ și } x\in B\}

   Intersecția \(A\cap B\) conține doar elementele care aparțin în același timp ambelor mulțimi. Un element care apare doar într-una dintre ele nu intră în intersecție.

2. 2

   Căutăm elementele comune

   A=\{2,3,4,5\},\ B=\{0,1,2\}

   Luăm pe rând elementele lui B și vedem dacă apar în A. Numărul 0 nu e în A, numărul 1 nu e în A, dar numărul 2 este în A. Invers, 3, 4 și 5 nu apar în B.

3. 3

   Scriem rezultatul

   A\cap B=\{2\}

   Singurul element comun este 2, deci intersecția are un singur element. Răspunsul se scrie între acolade, pentru că este o mulțime: \(\{2\}\). Acesta este același rezultat ca în barem.

Răspuns: \(A\cap B=\{2\}\) (în spațiul punctat se scrie 2).

Pătratul \(ABCD\) are latura de \(5\) cm. Aria pătratului \(ABCD\) este egală cu ... \(\text{cm}^2\).

Metoda: Aria pătratului

1. 1

   Reținem formula ariei pătratului

   \mathcal{A} = l \cdot l = l^2

   Un pătrat are toate laturile egale. Dacă latura este \(l\), aria se obține înmulțind lungimea cu lățimea, iar aici lungimea și lățimea sunt amândouă egale cu \(l\). De aceea aria pătratului este \(l^2\).

2. 2

   Calculăm aria pătratului \(ABCD\)

   \mathcal{A}_{ABCD} = 5^2 = 5 \cdot 5 = 25\ \text{cm}^2

   Latura pătratului \(ABCD\) este \(5\) cm. Înlocuim în formulă \(l = 5\) și obținem \(5 \cdot 5 = 25\). Latura este în cm, deci aria se măsoară în \(\text{cm}^2\).

Răspuns: Aria pătratului \(ABCD\) este egală cu \(25\ \text{cm}^2\).

În Figura 1 este reprezentată o sferă cu raza de 3 cm. Volumul sferei este egal cu … \(\pi\) \(\text{cm}^3\).

Metoda: Formula volumului sferei

1. 1

   Alegem formula potrivită

   V=\frac{4\pi R^3}{3}

   Volumul unei sfere de rază \(R\) se calculează cu formula \(V=\frac{4\pi R^3}{3}\). Alegem această formulă pentru că problema ne dă raza și cere volumul.

2. 2

   Înlocuim raza în formulă

   V=\frac{4\pi\cdot 3^3}{3}

   Punem \(R=3\) în formulă. Ridicăm raza la puterea a treia, pentru că volumul se măsoară în \(\text{cm}^3\): \(3^3=27\).

3. 3

   Calculăm volumul

   V=\frac{4\pi\cdot 27}{3}=4\pi\cdot 9=36\pi

   Simplificăm 27 cu 3 și obținem 9. Apoi \(4\cdot 9=36\). Deci volumul este \(36\pi\ \text{cm}^3\), iar în spațiul liber scriem 36.

Răspuns: 36

În graficul de mai jos este prezentată repartiția elevilor claselor a VIII-a dintr-o școală, în funcție de notele obținute la teza de matematică pe semestrul I. Numărul elevilor care au obținut nota 9 este egal cu … . (Figură: grafic cu bare; pe axa orizontală sunt notele 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, iar pe axa verticală numărul de elevi, din 5 în 5, până la 40. Înălțimile barelor: nota 4 → 10, nota 5 → 25, nota 6 → 30, nota 7 → 35, nota 8 → 30, nota 9 → 20, nota 10 → 5.)

Metoda: Citirea unui grafic cu bare

1. 1

   Înțelegem ce arată graficul

   \text{nota} \to \text{numărul de elevi}

   Pe axa orizontală (de jos) sunt notele: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Pe axa verticală (din stânga) este numărul de elevi. Înălțimea fiecărei bare ne spune câți elevi au luat nota de sub ea. Trebuie să înțelegem asta înainte să citim ceva, ca să nu confundăm nota cu numărul de elevi.

2. 2

   Găsim bara pentru nota 9

   \text{nota } 9

   Căutăm pe axa orizontală nota 9. Este a șasea notă, între nota 8 și nota 10. Ne uităm doar la bara de deasupra ei, pentru că aceea ne interesează în problemă.

3. 3

   Citim înălțimea barei

   \text{înălțimea barei pentru nota } 9 = 20

   Urmărim vârful barei de la nota 9 spre stânga, până la axa verticală. Vârful barei ajunge exact la linia 20. Deci 20 de elevi au obținut nota 9. Rezultatul coincide cu cel din barem.

Răspuns: 20

Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic \(ABCDEFGH\).

Metoda: Desenul paralelipipedului dreptunghic

1. 1

   Desenăm fața din față

   ABFE \text{ (dreptunghi)}

   Începem cu o față a paralelipipedului, pe care o desenăm ca un dreptunghi adevărat. Alegem fața din față și o numim \(ABFE\): sus \(E\) și \(F\), jos \(A\) și \(B\). Facem așa pentru că fața din față se vede în mărime reală, iar restul desenului se construiește pornind de la ea.

2. 2

   Desenăm muchiile din spate

   AD \parallel BC \parallel FG \parallel EH

   Din fiecare vârf al dreptunghiului tragem câte un segment mic, înclinat, spre dreapta-sus, toate paralele și de aceeași lungime. Ele reprezintă muchiile care merg în adâncime. Folosim paralele egale pentru că muchiile opuse ale paralelipipedului sunt paralele și egale.

3. 3

   Desenăm fața din spate

   DCGH \text{ (dreptunghi)}

   La capetele celor patru segmente punem vârfurile \(D, C, G, H\) și le unim între ele ca să obținem al doilea dreptunghi, identic cu primul, dar mutat în spate. Muchiile care nu se văd în realitate (cele ascunse) se trag cu linie întreruptă, ca desenul să arate tridimensional: de obicei sunt \(AD\), \(DC\) și \(DH\).

4. 4

   Notăm vârfurile

   A,B,C,D,E,F,G,H

   Ultimul punct din barem (1p) este notarea. Scriem cele 8 vârfuri cu litere mari: \(ABCD\) pe o bază și \(EFGH\) pe cealaltă, astfel încât \(AE\), \(BF\), \(CG\), \(DH\) să fie muchiile care unesc bazele. Respectăm ordinea literelor ca desenul să corespundă cu denumirea \(ABCDEFGH\).

Răspuns: Desenul unui paralelipiped dreptunghic cu vârfurile notate \(A,B,C,D,E,F,G,H\), cu muchiile ascunse trasate întrerupt (4p pentru desen + 1p pentru notare).

Calculați media aritmetică a numerelor reale \(x = 2(4-\sqrt{7})\) și \(y = 2\sqrt{7}\).

Metoda: Media aritmetică a două numere

1. 1

   Scriem numărul x fără paranteză

   x = 2(4-\sqrt{7}) = 8 - 2\sqrt{7}

   Înmulțim numărul 2 cu fiecare termen din paranteză (distributivitatea înmulțirii față de scădere). Așa scăpăm de paranteză și putem aduna ușor cu y.

2. 2

   Calculăm suma x + y

   x+y = (8-2\sqrt{7}) + 2\sqrt{7} = 8

   Termenii \(-2\sqrt{7}\) și \(+2\sqrt{7}\) sunt opuși, deci se reduc (suma lor este 0). Rămâne doar 8.

3. 3

   Calculăm media aritmetică

   m_a = \frac{x+y}{2} = \frac{8}{2} = 4

   Media aritmetică a două numere este suma lor împărțită la 2. Suma este 8, deci media este 4.

Răspuns: Media aritmetică este \(m_a = 4\).

Un autoturism a parcurs un traseu în două zile. În prima zi autoturismul a parcurs \(30\%\) din lungimea traseului, iar în a doua zi autoturismul a parcurs restul de \(350\) km. Calculați lungimea întregului traseu.

Metoda: Procente dintr-un număr (ecuație)

1. 1

   Notăm necunoscuta și aflăm cât s-a parcurs în prima zi

   30\% \cdot x = \frac{30}{100}\cdot x = \frac{3x}{10}

   Nu știm lungimea traseului, așa că o notăm cu \(x\) (în km). În prima zi s-au parcurs \(30\%\) din \(x\). Procentul \(30\%\) înseamnă \(\frac{30}{100}=\frac{3}{10}\), deci în prima zi s-au parcurs \(\frac{3x}{10}\) km.

2. 2

   Scriem ecuația

   \frac{3x}{10} + 350 = x

   Traseul întreg este format din ce s-a parcurs în prima zi plus ce s-a parcurs în a doua zi (\(350\) km). Deci \(\frac{3x}{10}+350=x\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   350 = x - \frac{3x}{10} \Rightarrow 350 = \frac{7x}{10} \Rightarrow x = 350\cdot\frac{10}{7} = 500

   Mutăm \(\frac{3x}{10}\) în partea cealaltă: \(x-\frac{3x}{10}=\frac{10x-3x}{10}=\frac{7x}{10}\). Deci \(\frac{7x}{10}=350\). Înmulțim cu \(10\) și împărțim la \(7\): \(x=350\cdot 10:7=3500:7=500\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   30\%\cdot 500 = 150, \quad 150+350=500

   În prima zi: \(\frac{3\cdot 500}{10}=150\) km. În a doua zi: \(350\) km. Împreună: \(150+350=500\) km, exact lungimea traseului găsită. Deci rezultatul este corect.

Răspuns: Lungimea întregului traseu este de 500 km.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax+3\), unde \(a\) este un număr real. a) Determinați numărul real \(a\), știind că \(f(-3)=0\).

Metoda: Valoarea unei funcții într-un punct

1. 1

   Înlocuim x cu -3 în formula funcției

   f(-3)=(-3)\cdot a+3

   Formula funcției este \(f(x)=ax+3\). Dacă vrem valoarea funcției în punctul -3, punem peste tot în locul lui x numărul -3. Astfel obținem \(f(-3)=(-3)\cdot a+3\), adică \(-3a+3\).

2. 2

   Folosim condiția f(-3)=0 și aflăm a

   -3a+3=0 \Leftrightarrow -3a=-3 \Leftrightarrow a=1

   Enunțul ne spune că \(f(-3)=0\). Deci expresia \(-3a+3\) trebuie să fie egală cu 0. Scădem 3 din ambii membri și obținem \(-3a=-3\). Apoi împărțim ambii membri la -3 și rezultă \(a=1\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   f(x)=x+3,\; f(-3)=-3+3=0

   Cu \(a=1\) funcția devine \(f(x)=x+3\). Calculăm \(f(-3)=-3+3=0\), exact ce cerea enunțul. Deci a = 1 este corect.

Răspuns: a = 1

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax+3\), unde \(a\) este un număr real. b) Pentru \(a=1\), arătați că triunghiul \(OAB\) este isoscel, unde \(A\) și \(B\) sunt punctele de intersecție a graficului funcției \(f\) cu axele \(Ox\), respectiv \(Oy\) ale sistemului de coordonate \(xOy\).

Metoda: Intersecția graficului cu axele

1. 1

   Scriem funcția pentru a = 1

   f(x)=x+3

   Înlocuim \(a\) cu 1 în formula funcției, ca să lucrăm cu o funcție concretă, fără necunoscute în plus.

2. 2

   Punctul A: intersecția cu axa Ox

   f(x)=0\Rightarrow x+3=0\Rightarrow x=-3,\quad A(-3,0)

   Un punct de pe axa Ox are ordonata 0, adică \(f(x)=0\). Rezolvăm ecuația \(x+3=0\) și obținem abscisa lui A. Distanța de la O la A este valoarea absolută a abscisei: \(OA=3\).

3. 3

   Punctul B: intersecția cu axa Oy

   f(0)=0+3=3,\quad B(0,3)

   Un punct de pe axa Oy are abscisa 0, deci calculăm \(f(0)\). Obținem ordonata lui B, iar \(OB=3\).

4. 4

   Concluzie: triunghiul OAB este isoscel

   OA=OB=3\Rightarrow \triangle OAB\text{ isoscel}

   Triunghiul OAB are un unghi drept în O (axele sunt perpendiculare). Laturile \(OA\) și \(OB\) sunt egale, deci triunghiul are două laturi congruente, adică este isoscel, cu baza AB.

Răspuns: Pentru \(a=1\): \(A(-3,0)\), \(B(0,3)\), \(OA=OB=3\), deci triunghiul \(OAB\) este isoscel.

Se consideră expresia \(E(x)=\dfrac{(x+1)^2-4}{x}:\dfrac{x^2-x}{x^2}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq 0\) și \(x\neq 1\). Determinați numărul real \(m\), \(m\neq 0\) și \(m\neq 1\), știind că \(E(m)=5\).

Metoda: Fracții algebrice și descompuneri în factori

1. 1

   Descompunem numărătorii în factori

   (x+1)^2-4=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3),\quad x^2-x=x(x-1)

   Primul numărător este de forma \(a^2-b^2\) cu \(a=x+1\) și \(b=2\), deci se descompune cu formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Al doilea se descompune scoțând factor comun pe \(x\). Facem asta ca să putem simplifica fracțiile mai târziu.

2. 2

   Transformăm împărțirea în înmulțire și simplificăm

   E(x)=\dfrac{(x-1)(x+3)}{x}\cdot\dfrac{x^2}{x(x-1)}=x+3

   A împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei. Apoi simplificăm cu \(x-1\) (nenul, pentru că \(x\neq1\)) și cu \(x\) (nenul, pentru că \(x\neq0\)): la numitor rămâne \(x\cdot x=x^2\), care se simplifică cu \(x^2\) de la numărător. Rămâne \(x+3\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația E(m)=5

   m+3=5\Rightarrow m=5-3=2

   Pentru că \(E(x)=x+3\), avem \(E(m)=m+3\). Punem condiția \(m+3=5\) și îl aflăm pe \(m\) scăzând 3 din 5. Valoarea \(m=2\) respectă condițiile \(m\neq0\) și \(m\neq1\).

4. 4

   Verificare

   E(2)=\dfrac{3^2-4}{2}:\dfrac{2}{4}=\dfrac{5}{2}\cdot 2=5

   Înlocuim \(m=2\) în expresia inițială: numărătorul este \(9-4=5\), apoi \(\frac{5}{2}\) se împarte la \(\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}\), adică se înmulțește cu 2. Obținem 5, deci \(m=2\) este corect.

Răspuns: m = 2

Figura 2 este schița unui patinoar în formă de dreptunghi \(ABCD\), cu lungimea \(AD = 30\sqrt{3}\) m și lățimea \(AB = 30\) m. Un patinator pornește din punctul \(M\) situat pe latura \(AB\) astfel încât \(BM = 10\) m și patinează paralel cu diagonalele dreptunghiului, atingând latura \(BC\) în \(N\), latura \(CD\) în \(P\), latura \(DA\) în \(Q\) și se întoarce în punctul \(M\). a) Calculați aria dreptunghiului \(ABCD\).

Metoda: Aria dreptunghiului

1. 1

   Identificăm dimensiunile dreptunghiului

   L = AD = 30\sqrt{3}\ \text{m}, \quad \ell = AB = 30\ \text{m}

   Aria unui dreptunghi se calculează din două dimensiuni: lungimea și lățimea. Din enunț avem \(AD = 30\sqrt{3}\) m (lungimea) și \(AB = 30\) m (lățimea). Datele despre \(M\) și \(BM = 10\) m nu sunt necesare aici.

2. 2

   Aplicăm formula ariei dreptunghiului

   \mathcal{A}_{ABCD} = AD \cdot AB = 30\sqrt{3} \cdot 30

   Aria dreptunghiului este produsul dintre lungime și lățime, pentru că arată câte pătrățele de 1 m² încap în el. Înlocuim valorile cunoscute.

3. 3

   Calculăm produsul

   30\sqrt{3} \cdot 30 = 900\sqrt{3}\ \text{m}^2

   Înmulțim numerele întregi între ele: \(30 \cdot 30 = 900\). Radicalul \(\sqrt{3}\) rămâne neschimbat, deoarece nu înmulțim cu alt radical. Aria se măsoară în metri pătrați, pentru că lungimile sunt în metri. Rezultatul coincide cu cel din barem.

Răspuns: \(\mathcal{A}_{ABCD} = 900\sqrt{3}\ \text{m}^2\)

Figura 2 este schița unui patinoar în formă de dreptunghi \(ABCD\), cu lungimea \(AD = 30\sqrt{3}\) m și lățimea \(AB = 30\) m. Un patinator pornește din punctul \(M\) situat pe latura \(AB\) astfel încât \(BM = 10\) m și patinează paralel cu diagonalele dreptunghiului, atingând latura \(BC\) în \(N\), latura \(CD\) în \(P\), latura \(DA\) în \(Q\) și se întoarce în punctul \(M\). b) Arătați că \(m(\sphericalangle NMQ) = 60^\circ\).

Metoda: Paralelism și triunghi echilateral

1. 1

   Unghiul \(NMQ\) este egal cu unghiul \(COD\)

   MN\parallel AC,\ MQ\parallel BD \Rightarrow m(\sphericalangle NMQ)=m(\sphericalangle COD)

   Notăm cu \(O\) punctul de intersecție al diagonalelor. Semidreapta \(MN\) este paralelă cu \(OC\) și are același sens, iar \(MQ\) este paralelă cu \(OD\), tot în același sens. Două unghiuri cu laturile respectiv paralele și de același sens sunt congruente. De aceea \(\sphericalangle NMQ\) și \(\sphericalangle COD\) au aceeași măsură.

2. 2

   Lungimea diagonalelor

   AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{30^2+(30\sqrt{3})^2}=\sqrt{900+2700}=\sqrt{3600}=60

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\), cu catetele \(AB=30\) și \(BC=AD=30\sqrt{3}\). Aplicăm teorema lui Pitagora și aflăm ipotenuza \(AC\). Diagonalele unui dreptunghi sunt egale, deci \(AC=BD=60\) m.

3. 3

   Triunghiul \(ODC\) este echilateral

   OD=OC=\frac{60}{2}=30=CD\Rightarrow \triangle ODC\text{ echilateral}

   Într-un dreptunghi diagonalele se înjumătățesc în \(O\), deci \(OC=OD=60:2=30\) m. Latura \(CD=AB=30\) m. Toate cele trei laturi ale triunghiului \(ODC\) au 30 m, deci triunghiul este echilateral și toate unghiurile lui au 60°.

4. 4

   Concluzia

   m(\sphericalangle NMQ)=m(\sphericalangle COD)=60^\circ

   Din primul pas \(m(\sphericalangle NMQ)=m(\sphericalangle COD)\), iar din pasul al treilea \(m(\sphericalangle COD)=60^\circ\). Rezultă că \(m(\sphericalangle NMQ)=60^\circ\), ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(m(\sphericalangle NMQ)=60^\circ\), deoarece este egal cu \(\sphericalangle COD\), unghi al triunghiului echilateral \(ODC\).

Subiectul III, 1. c): Figura 2 este schița unui patinoar în formă de dreptunghi \(ABCD\), cu lungimea \(AD = 30\sqrt{3}\) m și lățimea \(AB = 30\) m. Un patinator pornește din punctul \(M\) situat pe latura \(AB\) astfel încât \(BM = 10\) m și patinează paralel cu diagonalele dreptunghiului, atingând latura \(BC\) în \(N\), latura \(CD\) în \(P\), latura \(DA\) în \(Q\) și se întoarce în punctul \(M\). Arătați că distanța parcursă de patinator pe traseul \(M \to N \to P \to Q \to M\) este egală cu 120 m.

Metoda: Asemănarea triunghiurilor și paralelogramul

1. 1

   Aflăm lungimea diagonalelor

   AC^2 = AB^2 + BC^2 = 30^2 + (30\sqrt{3})^2 = 900 + 2700 = 3600

   În dreptunghiul \(ABCD\), triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\), cu \(AB = 30\) și \(BC = AD = 30\sqrt{3}\). Aplicăm teorema lui Pitagora ca să aflăm ipotenuza \(AC\), adică diagonala. Diagonalele unui dreptunghi sunt egale, deci \(AC = BD = 60\) m.

2. 2

   Calculăm MN cu triunghiuri asemenea

   MN \parallel AC \Rightarrow \triangle BMN \sim \triangle BAC \Rightarrow \frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \Rightarrow \frac{10}{30} = \frac{MN}{60} \Rightarrow MN = 20

   Deoarece \(MN\) este paralel cu \(AC\), triunghiurile \(BMN\) și \(BAC\) sunt asemenea (teorema fundamentală a asemănării). Laturile lor sunt proporționale, deci raportul \(BM/BA = 10/30 = 1/3\) este același cu \(MN/AC\). Rezultă \(MN = 60 : 3 = 20\) m.

3. 3

   Calculăm MQ cu triunghiuri asemenea

   MQ \parallel BD \Rightarrow \triangle AMQ \sim \triangle ABD \Rightarrow \frac{AM}{AB} = \frac{MQ}{BD} \Rightarrow \frac{20}{30} = \frac{MQ}{60} \Rightarrow MQ = 40

   Cum \(AB = 30\) și \(BM = 10\), obținem \(AM = 30 - 10 = 20\) m. Pentru că \(MQ \parallel BD\), triunghiurile \(AMQ\) și \(ABD\) sunt asemenea. Raportul \(AM/AB = 20/30 = 2/3\), deci \(MQ\) este două treimi din \(BD = 60\), adică 40 m.

4. 4

   Calculăm distanța parcursă

   MN + NP + PQ + QM = 2(MN + MQ) = 2(20 + 40) = 120

   Patrulaterul \(MNPQ\) are laturile opuse paralele (\(MN \parallel PQ\), paralele cu \(AC\), și \(MQ \parallel NP\), paralele cu \(BD\)), deci este paralelogram. Într-un paralelogram laturile opuse sunt egale, deci perimetrul este \(2(MN + MQ) = 2 \cdot 60 = 120\) m. Aceasta este exact distanța parcursă pe traseul \(M \to N \to P \to Q \to M\).

Răspuns: Distanța parcursă de patinator este \(MN + NP + PQ + QM = 2(20 + 40) = 120\) m.

În figura 3 este reprezentat un con circular drept cu înălțimea \(VO\), \(VO = 12\) cm. Segmentul \(AB\) este diametru al bazei conului și \(VA = 15\) cm. a) Arătați că volumul conului circular drept este egal cu \(324\pi\) cm\(^3\).

Metoda: Volumul conului, cu Pitagora

1. 1

   Aflăm raza bazei \(AO\)

   AO^2 = VA^2 - VO^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81 \Rightarrow AO = 9

   Înălțimea \(VO\) este perpendiculară pe planul bazei, deci triunghiul \(VOA\) este dreptunghic în \(O\). Generatoarea \(VA = 15\) este ipotenuza, iar \(VO = 12\) și \(AO\) sunt catetele. Aplicăm teorema lui Pitagora: \(AO^2 = VA^2 - VO^2\). Obținem \(AO = 9\) cm, care este raza bazei.

2. 2

   Calculăm aria bazei

   \mathcal{A}_{baza} = \pi \cdot AO^2 = \pi \cdot 81 = 81\pi \text{ cm}^2

   Baza conului este un disc de rază \(AO = 9\) cm. Aria discului este \(\pi r^2\). Avem nevoie de ea pentru că volumul conului folosește aria bazei.

3. 3

   Calculăm volumul conului

   V_{con} = \frac{\mathcal{A}_{baza} \cdot VO}{3} = \frac{81\pi \cdot 12}{3} = 81\pi \cdot 4 = 324\pi \text{ cm}^3

   Volumul conului este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime. Înlocuim \(81\pi\) și \(12\), simplificăm 12 cu 3 și obținem \(81 \cdot 4 = 324\). Astfel am arătat că volumul este \(324\pi\) cm\(^3\).

Răspuns: Volumul conului este \(324\pi\) cm\(^3\), deci egalitatea cerută este demonstrată.

Subiectul III, 2. b): În figură este un con circular drept cu înălțimea \(VO\), \(VO=12\) cm. Segmentul \(AB\) este diametru al bazei conului și \(VA=15\) cm. Calculați valoarea sinusului unghiului format de generatoarea conului cu planul bazei.

Metoda: Sinusul în triunghiul dreptunghic

1. 1

   Găsim unghiul dintre generatoare și planul bazei

   VO\perp(\text{planul bazei})\Rightarrow m(\angle(VA,\alpha))=m(\angle VAO)

   Notăm cu \(\alpha\) planul bazei. Înălțimea \(VO\) este perpendiculară pe planul bazei, deci \(O\) este proiecția punctului \(V\) pe plan. Atunci proiecția generatoarei \(VA\) pe planul bazei este \(OA\). Unghiul dintre dreapta \(VA\) și planul \(\alpha\) este unghiul dintre \(VA\) și proiecția ei \(OA\), adică \(\angle VAO\). Triunghiul \(VOA\) este dreptunghic în \(O\), pentru că \(VO\perp OA\).

2. 2

   Scriem sinusul unghiului

   \sin(\angle VAO)=\frac{VO}{VA}

   În triunghiul dreptunghic \(VOA\), ipotenuza este \(VA\), pentru că se opune unghiului drept din \(O\). Cateta opusă unghiului \(\angle VAO\) este \(VO\). Sinusul este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză.

3. 3

   Înlocuim datele și calculăm

   \sin(\angle VAO)=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}

   Știm din enunț că \(VO=12\) cm și \(VA=15\) cm. Înlocuim în raport și simplificăm fracția prin 3. Obținem \(\frac{4}{5}\), la fel ca în barem.

Răspuns: \(\sin(\angle VAO)=\frac{4}{5}\)

Subiectul III, 2. c): În figura 3 este reprezentat un con circular drept cu înălțimea VO, VO = 12 cm. Segmentul AB este diametru al bazei conului și VA = 15 cm. Conul se secționează cu un plan paralel cu planul bazei astfel încât aria secțiunii formate este egală cu \(9\pi\) cm². Determinați distanța de la punctul V la planul de secțiune.

Metoda: Secțiune paralelă cu baza conului

1. 1

   Aflăm raza bazei conului

   VO^2 + AO^2 = VA^2 \Rightarrow AO^2 = 15^2 - 12^2 = 81 \Rightarrow AO = 9

   Triunghiul VOA este dreptunghic în O, pentru că înălțimea VO este perpendiculară pe planul bazei. Cunoaștem ipotenuza VA = 15 cm și cateta VO = 12 cm, deci aflăm cealaltă catetă, AO, cu teorema lui Pitagora: \(AO^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81\), deci \(AO = 9\) cm. AO este raza bazei.

2. 2

   Aflăm raza secțiunii

   \pi r^2 = 9\pi \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3

   Secțiunea paralelă cu baza este un cerc. Aria lui este \(\pi r^2\), unde r este raza secțiunii. Din \(\pi r^2 = 9\pi\) împărțim la \(\pi\) și obținem \(r^2 = 9\), deci \(r = 3\) cm.

3. 3

   Folosim asemănarea triunghiurilor

   \frac{VO'}{VO} = \frac{r}{AO} \Rightarrow \frac{VO'}{12} = \frac{3}{9}

   Fie O' centrul secțiunii. Triunghiul mic format de V, O' și un punct de pe cercul secțiunii este asemenea cu triunghiul VOA, pentru că planul secțiunii este paralel cu baza. Deci laturile corespunzătoare sunt proporționale: \(\frac{VO'}{VO} = \frac{r}{AO}\). Înlocuim: \(\frac{VO'}{12} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).

4. 4

   Calculăm distanța VO'

   VO' = \frac{12 \cdot 3}{9} = 4 \text{ cm}

   Din \(\frac{VO'}{12} = \frac{1}{3}\) rezultă \(VO' = 12 : 3 = 4\) cm. Aceasta este distanța de la V la planul secțiunii, pentru că VO' este perpendiculară pe acest plan.

Răspuns: Distanța de la punctul V la planul de secțiune este 4 cm.