Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2015, simulare

Rezultatul calculului \(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}+\frac{8}{3}\) este egal cu … .

Metoda: Operații cu fracții ordinare

1. 1

   Efectuăm înmulțirea

   \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1\cdot 2}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

   Înmulțirea se face înaintea adunării. Înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei: \(\frac{1\cdot 2}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}\). Apoi simplificăm fracția prin 2 și obținem \(\frac{1}{3}\).

2. 2

   Efectuăm adunarea

   \frac{1}{3}+\frac{8}{3}=\frac{1+8}{3}=\frac{9}{3}

   Cele două fracții au același numitor, 3. Atunci adunăm doar numărătorii și păstrăm numitorul: \(\frac{1+8}{3}=\frac{9}{3}\).

3. 3

   Simplificăm rezultatul

   \frac{9}{3}=3

   Fracția \(\frac{9}{3}\) înseamnă 9 împărțit la 3, adică 3.

Răspuns: 3

Prețul unui stilou este 20 de lei. După o reducere cu 10%, prețul stiloului va fi ... lei.

Metoda: Procent dintr-un număr

1. 1

   Aflăm cât înseamnă 10% din preț

   10\% \cdot 20 = \dfrac{10}{100}\cdot 20 = 2

   Reducerea de 10% se calculează din prețul inițial, adică din 20 de lei. Procentul de 10% înseamnă \(\frac{10}{100}\), iar \(\frac{10}{100}\) din 20 se află înmulțind \(\frac{10}{100}\cdot 20 = 2\). Deci reducerea este de 2 lei.

2. 2

   Scădem reducerea din prețul inițial

   20 - 2 = 18

   Prețul după reducere este mai mic decât cel inițial, deci scădem reducerea din preț: \(20 - 2 = 18\). Stiloul costă acum 18 lei.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   90\% \cdot 20 = \dfrac{90}{100}\cdot 20 = 18

   După o reducere de 10% plătim 90% din preț, deoarece \(100\% - 10\% = 90\%\). Calculăm \(\frac{90}{100}\cdot 20 = 18\), la fel ca înainte, deci rezultatul este corect.

Răspuns: 18

Dacă \(n\) este singurul număr natural din intervalul \([n, 8)\), atunci \(n\) este egal cu … .

Metoda: Intervale de numere reale

1. 1

   Ce înseamnă intervalul [n, 8)

   [n,8)=\{x\in\mathbb{R}\mid n\le x<8\}

   Paranteza pătrată înseamnă că \(n\) face parte din interval. Paranteza rotundă de la 8 înseamnă că 8 nu face parte din interval. Deci \(n\) este chiar primul număr natural din interval, iar celelalte numere naturale din interval sunt \(n+1, n+2, \ldots\), atât timp cât sunt mai mici decât 8.

2. 2

   Condiția ca n să fie singurul număr natural

   n+1\ge 8

   Dacă \(n\) este număr natural și este în interval, atunci și \(n+1\) ar fi în interval, dacă ar fi mai mic decât 8. Ca \(n\) să fie singurul, \(n+1\) trebuie să nu mai încapă, adică \(n+1\ge 8\). Dar \(n\) trebuie să fie în interval, deci \(n<8\). Așadar \(n<8\le n+1\).

3. 3

   Concluzia și verificarea

   n=7,\quad [7,8)\cap\mathbb{N}=\{7\}

   Din \(n<8\) și \(n+1\ge 8\) rezultă \(n\ge 7\) și \(n<8\), deci \(n=7\) pentru că \(n\) este natural. Verificăm: în intervalul \([7, 8)\) sunt numerele de la 7 inclusiv până la 8 exclusiv, iar singurul număr natural din el este 7. Este chiar \(n\), deci condiția din enunț este respectată.

Răspuns: n = 7

Punctul \(O\) este situat în interiorul triunghiului echilateral \(ABC\) astfel încât \(AO = BO = CO\). Măsura unghiului \(AOB\) este egală cu ... °.

Metoda: Unghiuri în jurul unui punct

1. 1

   Observăm triunghiurile formate în jurul lui O

   AO=BO=CO,\quad AB=BC=CA

   Avem \(AO=BO=CO\) și \(AB=BC=CA\), deoarece triunghiul \(ABC\) este echilateral. Triunghiurile \(AOB\), \(BOC\) și \(COA\) au atunci toate trei laturile respectiv egale, deci sunt congruente după cazul LLL.

2. 2

   Unghiurile din jurul lui O sunt egale

   \angle AOB=\angle BOC=\angle COA

   Din congruența triunghiurilor rezultă că unghiurile corespunzătoare sunt congruente. Unghiurile \(AOB\), \(BOC\) și \(COA\) sunt opuse laturilor egale \(AB\), \(BC\), \(CA\), deci sunt egale între ele.

3. 3

   Suma unghiurilor din jurul punctului O

   \angle AOB+\angle BOC+\angle COA=360^\circ

   Cele trei unghiuri acoperă tot jurul punctului \(O\) (O este în interiorul triunghiului), deci suma lor este \(360^\circ\). Fiind egale, fiecare are măsura 360° împărțit la 3.

Răspuns: Măsura unghiului \(AOB\) este \(120^\circ\).

În Figura 1 este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\). Suma lungimilor muchiilor care au în comun vârful \(A\) este egală cu \(36\) cm. Lungimea muchiei \(AB\) este egală cu … cm. (Itemul nu are variante de răspuns; în figură este desenat cubul cu vârfurile \(A, B, C, D, A', B', C', D'\).)

Metoda: Proprietățile cubului

1. 1

   Câte muchii pornesc din vârful A?

   AB,\ AD,\ AA'

   Într-un cub, din fiecare vârf pornesc exact trei muchii. Din vârful \(A\) pornesc muchiile \(AB\), \(AD\) și \(AA'\). Le numărăm ca să știm printr-un număr de câte ori apare lungimea muchiei în suma dată.

2. 2

   Scriem suma muchiilor cu A în comun

   AB+AD+AA'=36

   Toate muchiile cubului sunt egale, deci \(AB=AD=AA'\). Dacă notăm lungimea muchiei cu \(l\), suma celor trei muchii este \(l+l+l=3\cdot l\), iar enunțul ne spune că această sumă este \(36\) cm.

3. 3

   Aflăm lungimea muchiei AB

   AB=36:3=12

   Din \(3\cdot AB=36\) aflăm \(AB\) împărțind \(36\) la \(3\). Împărțirea este operația inversă înmulțirii cu \(3\).

4. 4

   Verificare

   3\cdot 12=36

   Verificăm dacă rezultatul este corect: trei muchii de câte \(12\) cm dau \(36\) cm, exact cât spune enunțul.

Răspuns: 12

În graficul de mai jos este reprezentată dependența dintre distanța parcursă de un autocar și timpul în care este parcursă această distanță. Distanța parcursată de autocar în 120 de minute este de … km. (Date din figură: pe axa orizontală sunt minutele 30, 60, 120; pe axa verticală sunt kilometrii 20, 40, 80. Punctele de pe grafic sunt (30; 20), (60; 40) și (120; 80).)

Metoda: Lectură grafică

1. 1

   Înțelegem ce arată axele graficului

   x = \text{timpul (minute)}, \quad y = \text{distanța (km)}

   Pe axa orizontală sunt trecute minutele, iar pe axa verticală sunt trecuți kilometrii. Fiecare punct al graficului ne spune câți kilometri a făcut autocarul după un anumit număr de minute. Trebuie să știm asta ca să nu încurcăm timpul cu distanța.

2. 2

   Găsim valoarea 120 pe axa timpului

   t = 120 \text{ minute}

   Căutăm pe axa orizontală numărul 120, pentru că întrebarea cere distanța parcursă în 120 de minute. De acolo ne ridicăm în sus, până ajungem la punctul de pe grafic care se află deasupra lui 120.

3. 3

   Citim distanța de pe axa verticală

   \text{Punctul } (120; 80) \Rightarrow d = 80 \text{ km}

   De la punctul de pe grafic care se află deasupra lui 120 mergem spre stânga, pe linia punctată, până la axa verticală. Acolo citim 80. Deci în 120 de minute autocarul a parcurs 80 km.

4. 4

   Verificăm că rezultatul se potrivește cu graficul

   30 \to 20, \quad 60 \to 40, \quad 120 \to 80

   Observăm că atunci când timpul se dublează, și distanța se dublează: de la 30 la 60 minute, distanța trece de la 20 la 40 km, iar de la 60 la 120 minute, de la 40 la 80 km. Autocarul merge cu viteză constantă, deci rezultatul 80 km are sens.

Răspuns: Distanța parcursă de autocar în 120 de minute este de 80 km.

Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\).

Metoda: Desenarea paralelipipedului dreptunghic

1. 1

   Desenăm baza de jos ABCD

   ABCD

   Paralelipipedul dreptunghic are 6 fețe dreptunghiulare. Începem cu fața de jos (baza). În desenul în perspectivă, o fată orizontală se desenează ca un paralelogram. Desenăm laturile din față cu linie continuă, iar laturile din spate (ascunse) cu linie punctată, ca să se vadă că este un corp în spațiu.

2. 2

   Ridicăm muchiile laterale

   AA' \parallel BB' \parallel CC' \parallel DD'

   Din fiecare vârf al bazei ducem câte o muchie verticală, toate de aceeași lungime și paralele între ele. Muchiile din vârfurile A, B, C sunt vizibile (continue), iar cea din vârful ascuns D se face punctată. Capetele de sus se notează A', B', C', D'.

3. 3

   Desenăm fața de sus și notăm vârfurile

   A'B'C'D'

   Unim capetele de sus ale muchiilor și obținem fața de sus A'B'C'D', identică cu baza (tot un paralelogram). Muchiile ascunse (DA, DC, DD') le desenăm punctat. Apoi scriem clar literele ABCD jos și A'B'C'D' sus, în aceeași ordine, deoarece baremul acordă 1 punct pentru notare.

Răspuns: Desenul este un paralelipiped dreptunghic cu baza ABCD, fața de sus A'B'C'D', 12 muchii (cele ascunse punctate) și 8 vârfuri notate corect.

Determinați numerele naturale de trei cifre, de forma \(\overline{abc}\), știind că sunt divizibile cu 5 și au suma cifrelor egală cu 22.

Metoda: Criteriul de divizibilitate cu 5

1. 1

   Folosim divizibilitatea cu 5

   c\in\{0,5\}

   Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima lui cifră este 0 sau 5. Deci, la numărul \(\overline{abc}\), ultima cifră \(c\) poate fi doar 0 sau 5. Astfel avem doar două cazuri de studiat.

2. 2

   Cazul c = 0

   a+b+0=22\Rightarrow a+b=22

   Dacă \(c=0\), atunci \(a+b=22\). Dar \(a\) și \(b\) sunt cifre, deci fiecare este cel mult 9. Cea mai mare sumă posibilă este \(9+9=18\), care este mai mică decât 22. Cazul este imposibil.

3. 3

   Cazul c = 5

   a+b+5=22\Rightarrow a+b=17

   Dacă \(c=5\), atunci \(a+b=22-5=17\). Căutăm două cifre cu suma 17. Deoarece cel mult 9+9=18, cifrele trebuie să fie apropiate de 9. Singurele perechi sunt 8 și 9, respectiv 9 și 8. Cifra \(a\) nu poate fi 0, dar aici nu apare această problemă.

4. 4

   Scriem numerele și verificăm

   895,\ 985

   Pentru \(a=8, b=9, c=5\) obținem 895, iar pentru \(a=9, b=8, c=5\) obținem 985. Ambele se termină în 5, deci se împart la 5, iar suma cifrelor este 22. Deci avem exact două numere.

Răspuns: Numerele sunt 895 și 985.

Un elev citește o carte în două zile. În prima zi el citește 47% din numărul de pagini ale cărții, iar a doua zi citește cele 53 de pagini care au mai rămas. Calculați numărul de pagini ale cărții.

Metoda: Procente dintr-un număr; ecuație

1. 1

   Notăm numărul de pagini cu x

   x = \text{numărul de pagini ale cărții}

   Numărul de pagini este cel pe care trebuie să îl aflăm. Când ceva este necunoscut, îi dăm o literă ca să putem scrie calcule cu el. Alegem x.

2. 2

   Calculăm câte pagini citește în prima zi

   47\% \cdot x = \dfrac{47}{100}\cdot x = \dfrac{47x}{100}

   47% înseamnă 47 din 100, adică fracția \(\frac{47}{100}\). Procentul dintr-un număr se află înmulțind fracția cu acel număr. Deci în prima zi citește \(\frac{47x}{100}\) pagini.

3. 3

   Scriem ecuația

   \dfrac{47x}{100} + 53 = x

   Pagina citite în prima zi, adunate cu cele 53 din a doua zi, trebuie să dea toată cartea, adică x pagini. Așa obținem ecuația.

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   53 = x - \dfrac{47x}{100} \Rightarrow 53 = \dfrac{53x}{100} \Rightarrow x = 100

   Mutăm termenul cu x în dreapta: \(x - \frac{47x}{100} = \frac{100x-47x}{100} = \frac{53x}{100}\). Rămâne \(53 = \frac{53x}{100}\). Înmulțim cu 100 și împărțim la 53, deci \(x = 100\). Mai simplu: cele 53 de pagini rămase reprezintă 100% - 47% = 53% din carte, deci 1% este o pagină, iar cartea are 100.

5. 5

   Verificăm rezultatul

   47 + 53 = 100

   Dacă x = 100, în prima zi citește 47% din 100, adică 47 de pagini. În a doua zi citește 53 de pagini. Împreună fac 100, adică exact cartea. Rezultatul este corect.

Răspuns: Cartea are 100 de pagini.

Se consideră numerele reale \(x=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\) și \(y=\sqrt{2}\cdot\left(\sqrt{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\). a) Arătați că \(x\cdot\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)=4\).

Metoda: Raționalizarea numitorului

1. 1

   Raționalizăm fiecare fracție din x

   \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1

   Amplificăm fracția cu conjugatul numitorului, adică \(\sqrt{2}+1\). Astfel numitorul devine \((\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1\), fără radicali. Facem la fel și la a doua fracție, amplificând cu \(\sqrt{2}-1\): \(\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1\).

2. 2

   Calculăm x

   x=\left(\sqrt{2}+1\right)+\left(\sqrt{2}-1\right)=2\sqrt{2}

   Adunăm cele două rezultate obținute. Numerele 1 și -1 se reduc, iar \(\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\). Același rezultat apare în barem: \(x=2\sqrt{2}\).

3. 3

   Scoatem factorii de sub radical la \(\sqrt{8}\)

   \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}\qquad\Rightarrow\qquad \sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}

   Descompunem 8 ca \(4\cdot 2\) și scoatem pătratul perfect 4 de sub radical. Apoi scădem radicalii asemenea: \(2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\). Observație: baremul scrie direct \(2\sqrt{2}\cdot(2\sqrt{2}-\sqrt{2})\), ceea ce e același lucru.

4. 4

   Înmulțim și obținem 4

   x\cdot\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot 2=4

   Înlocuim valorile găsite: \(x=2\sqrt{2}\) și \(\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\). Cum \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\), rezultă \(2\cdot 2=4\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am obținut \(x=2\sqrt{2}\) și \(x\cdot(\sqrt{8}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4\), deci egalitatea este adevărată.

Se consideră numerele reale \(x=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\) și \(y=\sqrt{2}\cdot\left(\sqrt{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\). b) Calculați \(x^2-y\).

Metoda: Raționalizarea numitorului

1. 1

   Calculăm x prin raționalizare

   x=\frac{\sqrt2+1}{2-1}+\frac{\sqrt2-1}{2-1}=2\sqrt2

   Amplificăm prima fracție cu \(\sqrt2+1\) și a doua cu \(\sqrt2-1\). La numitor apare formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), deci \((\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=2-1=1\). Așa scăpăm de radicali de la numitor. Apoi adunăm numărătorii: \(\sqrt2+1+\sqrt2-1=2\sqrt2\).

2. 2

   Calculăm y

   y=\sqrt2\cdot\sqrt2+\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt2}=2+1=3

   Înmulțim \(\sqrt2\) cu fiecare termen din paranteză. Avem \(\sqrt2\cdot\sqrt2=2\), iar \(\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt2}=1\) (se simplifică). Deci \(y=2+1=3\).

3. 3

   Calculăm x² − y

   x^2-y=(2\sqrt2)^2-3=4\cdot2-3=8-3=5

   Ridicăm la pătrat \(x=2\sqrt2\): \((2\sqrt2)^2=2^2\cdot(\sqrt2)^2=4\cdot2=8\). Apoi scădem \(y=3\) și obținem 5.

Răspuns: x^2 - y = 5

Se consideră \(E(x)=(x^2+x+1)^2-(x^2+x)^2-x^2\), unde \(x\) este număr real. Arătați că \(E(n)\) este pătrat perfect, pentru orice număr natural \(n\).

Metoda: Formule de calcul prescurtat

1. 1

   Calculăm diferența primelor două pătrate

   (x^2+x+1)^2-(x^2+x)^2=(x^2+x+1-x^2-x)(x^2+x+1+x^2+x)=1\cdot(2x^2+2x+1)

   Primii doi termeni sunt de forma \(a^2-b^2\), cu \(a=x^2+x+1\) și \(b=x^2+x\). Folosim formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Diferența \(a-b\) este \(1\), iar suma \(a+b\) este \(2x^2+2x+1\). Astfel scăpăm de pătratele mari și calculul devine simplu.

2. 2

   Scădem și ultimul termen

   E(x)=2x^2+2x+1-x^2=x^2+2x+1

   Din rezultatul de la pasul 1 scădem \(x^2\), cum cere expresia. Termenii asemenea \(2x^2\) și \(-x^2\) se reduc la \(x^2\). Obținem \(E(x)=x^2+2x+1\), la fel ca în barem.

3. 3

   Recunoaștem pătratul perfect

   E(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2 \Rightarrow E(n)=(n+1)^2

   Expresia \(x^2+2\cdot x\cdot 1+1^2\) este dezvoltarea formulei \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) cu \(a=x\), \(b=1\). Deci \(E(x)=(x+1)^2\). Pentru orice număr natural \(n\), numărul \(n+1\) este tot natural, deci \(E(n)=(n+1)^2\) este pătratul unui număr natural, adică pătrat perfect.

Răspuns: \(E(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\), deci \(E(n)=(n+1)^2\) este pătrat perfect pentru orice număr natural \(n\).

Figura 2 este schița unui parc în formă de dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB = 5\) hm și \(AD = 3\) hm. Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele \(EF\), \(DP\), \(DQ\), \(BP\) și \(BQ\), unde \(E \in (AB)\), \(F \in (CD)\) astfel încât \(AE = CF = 1\) hm, iar segmentele \(DP\) și \(BQ\) reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele \(D\), respectiv \(B\) la dreapta \(EF\). a) Calculați lungimea aleii \(EF\). (Din figură: \(E\) este pe latura \(AB\), \(F\) pe latura \(CD\), iar \(P\) și \(Q\) sunt pe segmentul \(EF\).)

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Construim perpendiculara din F pe AB

   FM \perp AB,\ M \in (AB)

   Ducem din \(F\) perpendiculara \(FM\) pe \(AB\), cu \(M\) pe \(AB\). Astfel obținem triunghiul dreptunghic \(EMF\), cu unghiul drept în \(M\), iar \(EF\) este ipotenuza lui. Pe un triunghi dreptunghic putem folosi teorema lui Pitagora.

2. 2

   Aflăm lungimile catetelor EM și FM

   FM = AD = 3 \text{ hm},\quad EM = 3 \text{ hm}

   \(FM\) este perpendiculară pe \(AB\) și \(ABCD\) este dreptunghi, deci \(FM = AD = 3\) hm (distanța dintre laturile paralele \(AB\) și \(CD\)). Cum \(AE = CF = 1\) hm și \(CF = BM\), avem \(AE = BM = 1\) hm. Atunci \(EM = AB - AE - BM = 5 - 1 - 1 = 3\) hm.

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   EF = \sqrt{EM^2 + FM^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ hm}

   În triunghiul dreptunghic \(EMF\), pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: \(EF^2 = 3^2 + 3^2 = 18\). Deci \(EF = \sqrt{18}\). Scoatem factorul de sub radical: \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\).

Răspuns: \(EF = 3\sqrt{2}\) hm

Subiectul III, 1. b): Figura 2 este schița unui parc în formă de dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB = 5\) hm și \(AD = 3\) hm. Aleile principale sunt segmentele \(EF\), \(DP\), \(DQ\), \(BP\) și \(BQ\), unde \(E \in (AB)\), \(F \in (CD)\) astfel încât \(AE = CF = 1\) hm, iar segmentele \(DP\) și \(BQ\) reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele \(D\), respectiv \(B\) la dreapta \(EF\). Arătați că traseul \(E \to P \to D\) și aleea \(EF\) au aceeași lungime.

Metoda: Triunghi dreptunghic isoscel

1. 1

   Unghiul \(FEM\) are 45°

   \triangle EMF \text{ dreptunghic isoscel} \Rightarrow m(\angle FEM)=45^\circ

   De la punctul a) avem \(EM = 3\) hm și \(FM = 3\) hm, unde \(M\) este piciorul perpendicularei din \(F\) pe \(AB\). Triunghiul \(EMF\) are unghi drept în \(M\) și două catete egale, deci este dreptunghic isoscel. Într-un triunghi dreptunghic isoscel unghiurile ascuțite au câte \(45^\circ\), deci \(m(\angle FEM)=45^\circ\).

2. 2

   Unghiul \(EFD\) are 45°

   AB \parallel CD \Rightarrow m(\angle EFD)=m(\angle FEM)=45^\circ

   Dreptele \(AB\) și \(CD\) sunt paralele (laturi opuse ale dreptunghiului), iar \(EF\) este secantă. Unghiurile \(FEM\) și \(EFD\) sunt alterne interne, deci congruente. Așadar \(m(\angle EFD)=45^\circ\).

3. 3

   Triunghiul \(DPF\) este isoscel

   \triangle DPF \text{ dreptunghic isoscel} \Rightarrow PD=PF

   \(DP\) este perpendiculară pe \(EF\), deci triunghiul \(DPF\) are unghi drept în \(P\). Cum \(m(\angle PFD)=45^\circ\), și celălalt unghi ascuțit are \(45^\circ\). Triunghiul are două unghiuri egale, deci este isoscel, iar catetele sunt egale: \(PD = PF\).

4. 4

   Concluzia: lungimile sunt egale

   EP+PD=EP+PF=EF

   Punctul \(P\) se află pe segmentul \(EF\), deci \(EP + PF = EF\). Înlocuim \(PD\) cu \(PF\), egal cu el. Obținem \(EP + PD = EF\), adică traseul \(E \to P \to D\) și aleea \(EF\) au aceeași lungime.

Răspuns: Cum \(PD = PF\) și \(P \in EF\), avem \(EP + PD = EP + PF = EF\), deci traseul \(E \to P \to D\) și aleea \(EF\) au aceeași lungime.

Subiectul III, 1. c): Demonstrați că patrulaterul \(DPBQ\) este paralelogram. Date: parcul este dreptunghiul \(ABCD\) cu \(AB=5\) hm și \(AD=3\) hm; \(E\in(AB)\), \(F\in(CD)\) astfel încât \(AE=CF=1\) hm; segmentele \(DP\) și \(BQ\) sunt drumurile cele mai scurte de la \(D\), respectiv \(B\), la dreapta \(EF\) (adică \(DP\perp EF\), \(BQ\perp EF\)).

Metoda: Congruența triunghiurilor dreptunghice

1. 1

   Aflăm că DF = BE

   DF=DC-CF=5-1=4,\quad BE=AB-AE=5-1=4

   Avem \(DC=AB=5\) hm, pentru că \(ABCD\) este dreptunghi. Scădem \(CF=1\) și \(AE=1\). Obținem \(DF=4\) hm și \(BE=4\) hm, deci \(DF=BE\). Avem nevoie de această egalitate ca ipotenuze egale în cele două triunghiuri dreptunghice.

2. 2

   Unghiurile PFD și QEB sunt congruente

   \angle PFD\equiv\angle QEB

   Dreptele \(DC\) și \(AB\) sunt paralele, iar \(EF\) este secantă. Unghiurile \(PFD\) (adică \(EFD\)) și \(QEB\) (adică \(FEB\)) sunt alterne interne, deci congruente. Acesta este al doilea element necesar pentru a arăta că triunghiurile sunt congruente.

3. 3

   Triunghiurile PFD și QEB sunt congruente

   \Delta PFD\equiv\Delta QEB\ (IU)\Rightarrow DP=BQ

   Triunghiurile \(PFD\) și \(QEB\) sunt dreptunghice (în \(P\), respectiv \(Q\), pentru că \(DP\perp EF\) și \(BQ\perp EF\)). Au ipotenuzele egale, \(DF=BE\), și un unghi ascuțit congruent, \(\angle PFD\equiv\angle QEB\). Din cazul ipotenuză–unghi (IU) rezultă congruența. Laturile corespunzătoare sunt egale, deci \(DP=BQ\).

4. 4

   Paralelism și concluzie

   DP\perp EF,\ BQ\perp EF\Rightarrow DP\parallel BQ

   Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele, deci \(DP\parallel BQ\). Patrulaterul \(DPBQ\) are două laturi opuse paralele și egale (\(DP=BQ\)), deci este paralelogram.

Răspuns: Din \(DP=BQ\) și \(DP\parallel BQ\) rezultă că \(DPBQ\) este paralelogram.

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu \(VA = 8\) cm și \(AB = 8\) cm. Punctele \(E\) și \(F\) sunt mijloacele segmentelor \(AB\), respectiv \(BC\). Punctul \(M\) este situat pe muchia \(VB\) astfel încât \(EM \perp VB\). a) Calculați aria triunghiului \(BEF\).

Metoda: Aria triunghiului dreptunghic

1. 1

   Aflăm lungimile BE și BF

   BE=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4,\quad BF=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4

   Baza \(ABCD\) este pătrat, deci \(AB = BC = 8\) cm. Punctul \(E\) este mijlocul lui \(AB\), deci \(BE\) este jumătate din \(AB\). La fel, \(F\) este mijlocul lui \(BC\), deci \(BF\) este jumătate din \(BC\). Astfel \(BE = BF = 4\) cm.

2. 2

   Observăm că triunghiul BEF este dreptunghic

   \angle EBF=\angle ABC=90^\circ

   Unghiul \(ABC\) este unghi al pătratului, deci are 90°. Punctul \(E\) este pe \(BA\), iar \(F\) pe \(BC\), deci \(\angle EBF = 90^\circ\). Prin urmare \(BE\) și \(BF\) sunt catetele triunghiului dreptunghic \(BEF\), iar una poate fi înălțime pentru cealaltă ca bază.

3. 3

   Calculăm aria triunghiului

   \mathcal{A}_{\triangle BEF}=\frac{BE\cdot BF}{2}=\frac{4\cdot 4}{2}=8\ \text{cm}^2

   Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor. Catetele sunt \(BE = 4\) cm și \(BF = 4\) cm, deci aria este \(\frac{4\cdot 4}{2} = 8\) cm². Rezultatul coincide cu cel din barem.

Răspuns: Aria triunghiului \(BEF\) este \(8\) cm².

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu \(VA = 8\) cm și \(AB = 8\) cm. Punctele \(E\) și \(F\) sunt mijloacele segmentelor \(AB\), respectiv \(BC\). Punctul \(M\) este situat pe muchia \(VB\) astfel încât \(EM \perp VB\). b) Determinați măsura unghiului format de dreapta \(VD\) cu planul \((ABC)\).

Metoda: Unghiul dintre dreaptă și plan

1. 1

   Găsim proiecția lui VD pe planul bazei

   VO \perp (ABC),\ D \in (ABC) \Rightarrow \text{proiecția lui } VD \text{ este } DO

   Fie \(O\) centrul bazei, adică \(O = AC \cap BD\). Piramida este regulată, deci înălțimea \(VO\) este perpendiculară pe planul \((ABC)\). Punctul \(D\) se află în plan, deci proiecția lui \(V\) pe plan este \(O\), iar proiecția dreptei \(VD\) este dreapta \(DO\). Unghiul dintre dreaptă și plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei.

2. 2

   Scriem unghiul căutat

   m(\angle(VD,(ABC))) = m(\angle(VD,DO)) = m(\angle VDO)

   Din pasul anterior, unghiul dintre \(VD\) și planul \((ABC)\) este egal cu unghiul dintre \(VD\) și \(DO\), adică \(\angle VDO\). Deci trebuie doar să aflăm măsura lui \(\angle VDO\) în triunghiul dreptunghic \(VOD\).

3. 3

   Calculăm diagonala BD

   BD = AB\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\ \text{cm}

   Baza \(ABCD\) este pătrat cu latura 8 cm. Diagonala pătratului este latura înmulțită cu \(\sqrt{2}\), din teorema lui Pitagora: \(BD^2 = 8^2 + 8^2 = 128\). Deci \(BD = 8\sqrt{2}\) cm.

4. 4

   Triunghiul VBD este dreptunghic isoscel

   VB^2 + VD^2 = 64 + 64 = 128 = BD^2 \Rightarrow \triangle VBD \text{ dreptunghic isoscel}

   Muchiile laterale sunt egale: \(VB = VD = 8\) cm. Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora: \(VB^2 + VD^2 = 128 = BD^2\), deci triunghiul \(VBD\) este dreptunghic în \(V\). Fiind și isoscel (\(VB = VD\)), unghiurile de la bază \(\angle VDB\) și \(\angle VBD\) sunt egale, fiecare având \((180^\circ - 90^\circ):2 = 45^\circ\). Cum \(O\) se află pe \(BD\), \(\angle VDO = \angle VDB\).

Răspuns: Unghiul format de dreapta \(VD\) cu planul \((ABC)\) măsoară \(45^\circ\).

Subiectul al III-lea, problema 2, punctul c): În figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu \(VA = 8\) cm și \(AB = 8\) cm. Punctele \(E\) și \(F\) sunt mijloacele segmentelor \(AB\), respectiv \(BC\). Punctul \(M\) este situat pe muchia \(VB\) astfel încât \(EM \perp VB\). c) Demonstrați că muchia \(VB\) este perpendiculară pe planul \((EMF)\).

Metoda: Congruența triunghiurilor și perpendicularitatea dreaptă-plan

1. 1

   Arătăm că triunghiurile MEB și MFB sunt congruente

   \Delta MEB \equiv \Delta MFB \ (LUL)

   Baza \(ABCD\) este pătrat cu latura de 8 cm, iar \(E\) și \(F\) sunt mijloacele laturilor \(AB\) și \(BC\). Deci \(BE = BF = 4\) cm. Piramida este regulată, deci fața \(VAB\) și fața \(VBC\) sunt triunghiuri congruente, iar muchia \(VB\) este aceeași pentru ambele. Unghiurile \(\angle MBE\) și \(\angle MBF\) sunt congruente, pentru că \(VB\) face același unghi cu \(BA\) și cu \(BC\) (fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente). Mai avem \(MB\) latură comună. Rezultă \(\Delta MEB \equiv \Delta MFB\) prin cazul LUL (latură, unghi, latură).

2. 2

   Deducem că unghiul BMF este drept

   m(\angle BMF) = 90^\circ \Rightarrow FM \perp VB

   Din congruența \(\Delta MEB \equiv \Delta MFB\), unghiurile corespunzătoare sunt egale: \(\angle BME \equiv \angle BMF\). Din ipoteză, \(EM \perp VB\), deci \(m(\angle BME) = 90^\circ\). Atunci și \(m(\angle BMF) = 90^\circ\), adică \(FM \perp VB\).

3. 3

   Concluzia: VB este perpendiculară pe planul (EMF)

   EM \cap FM = \{M\},\ VB \perp EM,\ VB \perp FM \Rightarrow VB \perp (EMF)

   Dreptele \(EM\) și \(FM\) sunt concurente în \(M\) și ambele se află în planul \((EMF)\). Dreapta \(VB\) este perpendiculară pe amândouă. Conform criteriului de perpendicularitate dreaptă-plan, \(VB \perp (EMF)\). Aceasta este concluzia cerută.

Răspuns: Am arătat că \(VB \perp EM\) și \(VB \perp FM\), cu \(EM\) și \(FM\) concurente în \(M\), deci \(VB \perp (EMF)\).