Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2016, sesiunea iunie–iulie (varianta 09)

Rezultatul calculului \(3\cdot 5-15\) este egal cu … .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Efectuăm înmulțirea

   3\cdot 5=15

   În calcul avem o înmulțire și o scădere. Conform ordinii efectuării operațiilor, înmulțirea se face înaintea scăderii. De aceea calculăm mai întâi \(3\cdot 5\), care este \(15\).

2. 2

   Efectuăm scăderea

   15-15=0

   După înmulțire, calculul devine \(15-15\). Când scădem un număr din el însuși, rezultatul este \(0\).

Răspuns: Rezultatul este \(0\), deci \(3\cdot 5-15=15-15=0\).

Zece caiete de același fel costă în total 20 de lei. Cinci dintre aceste caiete costă în total … lei.

Metoda: Metoda reducerii la unitate

1. 1

   Aflăm prețul unui caiet

   20 : 10 = 2

   Caietele sunt toate la fel, deci au același preț. Dacă 10 caiete costă 20 de lei, prețul unui caiet se află împărțind \(20\) la \(10\). Așa reducem problema la unitate: aflăm cât costă un singur caiet.

2. 2

   Aflăm costul a 5 caiete

   5 \cdot 2 = 10

   Acum că știm că un caiet costă \(2\) lei, pentru 5 caiete plătim de 5 ori prețul unuia, deci înmulțim \(5\) cu \(2\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   10 + 10 = 20

   5 caiete sunt exact jumătate din 10 caiete, deci trebuie să coste jumătate din 20 de lei, adică 10 lei. Două grupuri de câte 5 caiete costă împreună \(10+10=20\) lei, ca în enunț.

Răspuns: 10

Scrisă sub formă de interval, mulțimea \(M=\{x\in\mathbb{R}\mid 0\le x\le 4\}\) este egală cu … .

Metoda: Scrierea mulțimii ca interval

1. 1

   Citim ce înseamnă condiția

   0\le x\le 4

   Condiția \(0\le x\le 4\) înseamnă că \(x\) este mai mare sau egal cu 0 și, în același timp, mai mic sau egal cu 4. Semnul \(\le\) arată că 0 și 4 fac parte din mulțime. Pentru că \(x\) este număr real, intră în mulțime toate numerele dintre 0 și 4, nu doar cele întregi.

2. 2

   Scriem intervalul

   M=[0,4]

   Când un capăt aparține mulțimii (avem \(\le\)), în interval folosim paranteză pătrată: \([\) sau \(]\). Dacă ar fi fost \(<\), am fi folosit paranteză rotundă. Aici ambele capete sunt incluse, deci folosim paranteze pătrate la ambele capete: \([0,4]\).

Răspuns: \(M=[0,4]\)

Perimetrul unui pătrat este egal cu \(16\) cm. Lungimea laturii acestui pătrat este egală cu … cm.

Metoda: Perimetrul pătratului

1. 1

   Reținem ce știm despre pătrat

   P = 16 \text{ cm}

   Perimetrul este suma lungimilor tuturor laturilor. Pătratul are 4 laturi și toate sunt egale între ele, deci perimetrul este de 4 ori latura.

2. 2

   Scriem formula perimetrului

   P = 4 \cdot \ell

   Cum cele 4 laturi sunt egale cu \(\ell\), perimetrul este \(\ell+\ell+\ell+\ell=4\cdot \ell\). Înlocuind perimetrul cunoscut, obținem \(4\cdot \ell = 16\).

3. 3

   Aflăm latura

   \ell = 16 : 4 = 4

   Dacă \(4\) laturi egale însumează \(16\) cm, o latură se află împărțind \(16\) la \(4\). Împărțirea este operația inversă înmulțirii.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   4 \cdot 4 = 16

   Verificăm: dacă latura este \(4\) cm, perimetrul este \(4\cdot 4=16\) cm, exact cât ne dă problema.

Răspuns: Latura pătratului este de 4 cm.

În Figura 1 este reprezentat un cilindru circular drept cu raza de 4 cm și generatoarea de 10 cm. Aria laterală a acestui cilindru este egală cu … \(\pi\) cm\(^2\).

Metoda: Aria laterală a cilindrului

1. 1

   Notăm datele din figură

   R=4\text{ cm},\quad G=10\text{ cm}

   Din enunț aflăm raza bazei \(R = 4\) cm și generatoarea \(G = 10\) cm. Generatoarea este un segment care unește cele două baze, aici ea are chiar lungimea înălțimii cilindrului. Avem nevoie de ambele numere pentru formula ariei laterale.

2. 2

   Scriem formula ariei laterale

   A_l = 2\pi R G

   Dacă desfacem suprafața laterală a cilindrului, obținem un dreptunghi. Una dintre laturi are lungimea cercului bazei, \(2\pi R\), iar cealaltă este generatoarea \(G\). Aria dreptunghiului este produsul lor, deci \(A_l = 2\pi R G\).

3. 3

   Înlocuim și calculăm

   A_l = 2\pi\cdot 4\cdot 10 = 80\pi

   Punem în formulă \(R=4\) și \(G=10\). Calculăm \(2\cdot 4\cdot 10 = 80\). Cerința cere răspunsul sub forma „… \(\pi\) cm\(^2\)”, deci păstrăm \(\pi\) și scriem doar numărul din fața lui.

4. 4

   Răspunsul și verificarea unității

   A_l = 80\pi\ \text{cm}^2

   Aria se măsoară în unități pătrate: cm\(^2\). Spațiul din enunț este chiar înaintea lui \(\pi\) cm\(^2\), deci trebuie completat cu 80.

Răspuns: 80

Într-o școală, pentru alegerea reprezentantului consiliului elevilor, au votat 300 de elevi. Rezultatele votului sunt prezentate într-o diagramă circulară: Radu – 50% din voturi, Mihai – 40% din voturi, Ioana – 10% din voturi. Numărul elevilor din școală care au votat pentru Radu este egal cu ... .

Metoda: Procent dintr-un număr

1. 1

   Citim datele din diagramă

   50\% \text{ din } 300

   Din diagramă vedem că Radu a primit \(50\%\) din voturi. Numărul total de elevi care au votat este \(300\). Deci trebuie să calculăm \(50\%\) din \(300\).

2. 2

   Transformăm procentul în fracție

   50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}

   Procentul \(50\%\) înseamnă \(50\) din \(100\), adică \(\frac{50}{100}\). Simplificăm cu \(50\) și obținem \(\frac{1}{2}\). Așa calculul devine mai ușor.

3. 3

   Calculăm numărul de voturi ale lui Radu

   \frac{1}{2}\cdot 300 = 150

   Pentru a afla o fracție dintr-un număr, înmulțim fracția cu numărul. Jumătate din \(300\) este \(300 : 2 = 150\). Deci \(150\) elevi au votat pentru Radu.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   150 + 120 + 30 = 300

   Mihai are \(40\%\) din \(300\), adică \(120\) voturi, iar Ioana \(10\%\), adică \(30\) de voturi. Adunând toate voturile, trebuie să obținem \(300\), ceea ce se întâmplă.

Răspuns: 150

Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\).

Metoda: Desenarea unui paralelipiped dreptunghic

1. 1

   Desenăm fața din față (un dreptunghi)

   ABB'A'

   Începem cu fața din față a paralelipipedului. Ea este un dreptunghi, deci desenăm un dreptunghi cu laturile orizontale și verticale. Îl notăm cu \(A\) jos-stânga, \(B\) jos-dreapta, \(B'\) sus-dreapta și \(A'\) sus-stânga. Facem asta primul pentru că restul corpului se construiește pornind de la această față.

2. 2

   Desenăm muchiile din spate, paralele și egale

   AD \parallel BC \parallel A'D' \parallel B'C'

   Din fiecare vârf al dreptunghiului tragem câte un segment oblic, de aceeași lungime și în aceeași direcție (de exemplu în sus și spre dreapta). Segmentele sunt paralele pentru că reprezintă muchiile de adâncime ale cutiei. Capetele lor sunt vârfurile \(D\), \(C\), \(C'\), \(D'\).

3. 3

   Desenăm fața din spate și muchiile ascunse

   A'B'C'D' \text{ și } ABCD

   Unim capetele segmentelor oblice și obținem fața din spate, tot un dreptunghi, identic cu cel din față. Muchiile pe care nu le vedem într-o cutie reală (\(AD\), \(DC\) și \(DD'\)) se desenează cu linie punctată. Așa desenul arată ca un corp în spațiu. Paralelipipedul are 8 vârfuri, 12 muchii și 6 fețe.

4. 4

   Notăm paralelipipedul

   ABCDA'B'C'D'

   Scriem literele la toate vârfurile: \(A, B, C, D\) pe baza de jos și \(A', B', C', D'\) deasupra lor, în ordinea din enunț. Așa \(A'\) este deasupra lui \(A\), \(B'\) deasupra lui \(B\) etc. Baremul dă 1 punct pentru notare, deci nu o uita.

Răspuns: Desenul este un paralelipiped dreptunghic cu baza \(ABCD\), baza de sus \(A'B'C'D'\), cu muchiile nevăzute trasate punctat și toate vârfurile notate (4p desen + 1p notare).

Știind că \(x+\dfrac{1}{x}=-2\), unde \(x\) este număr real nenul, arătați că \(x^2+\dfrac{1}{x^2}=2\).

Metoda: Ridicarea la pătrat a egalității

1. 1

   Ridicăm egalitatea la pătrat

   \left(x+\frac{1}{x}\right)^2=(-2)^2

   În rezultatul cerut apar \(x^2\) și \(\frac{1}{x^2}\), adică pătratele numerelor din egalitatea dată. De aceea ridicăm ambii membri ai egalității la pătrat. Egalitatea rămâne adevărată, pentru că ridicăm la aceeași putere două numere egale.

2. 2

   Dezvoltăm pătratul sumei

   x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=4

   Aplicăm formula \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) cu \(a=x\) și \(b=\frac{1}{x}\). Termenul din mijloc este \(2\cdot x\cdot\frac{1}{x}\). Aici \(x\) se simplifică cu \(\frac{1}{x}\) (posibil, pentru că \(x\neq 0\)), deci produsul \(x\cdot\frac{1}{x}=1\) și termenul devine \(2\).

3. 3

   Izolăm suma pătratelor

   x^2+\frac{1}{x^2}+2=4\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=4-2=2

   După simplificare avem \(x^2+2+\frac{1}{x^2}=4\). Scădem 2 din ambii membri ca să rămână doar \(x^2+\frac{1}{x^2}\). Obținem \(4-2=2\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Am arătat că \(x^2+\dfrac{1}{x^2}=2\).

Media aritmetică a două numere naturale este egală cu 9. Determinați cele două numere, știind că unul dintre numere este cu 2 mai mare decât celălalt.

Metoda: Ecuație cu media aritmetică

1. 1

   Alegem necunoscuta

   x,\; x+2

   Notăm cu \(x\) numărul mai mic. Celălalt număr este cu 2 mai mare, deci este \(x+2\). Astfel folosim o singură necunoscută, iar ecuația devine ușor de rezolvat.

2. 2

   Scriem ecuația mediei aritmetice

   \frac{x+(x+2)}{2}=9

   Media aritmetică a două numere este suma lor împărțită la 2. Știm că media este 9, deci scriem egalitatea de mai sus.

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   \frac{2x+2}{2}=9 \Rightarrow x+1=9 \Rightarrow x=8

   Reducem termenii: \(x+x+2=2x+2\). Împărțim la 2 și obținem \(x+1=9\). Scădem 1 din ambele părți și rezultă \(x=8\).

4. 4

   Aflăm numerele și verificăm

   8 \text{ și } 8+2=10,\quad \frac{8+10}{2}=9

   Numărul mai mic este 8, iar celălalt este \(8+2=10\). Verificăm: media lor este 9, iar 10 este cu 2 mai mare decât 8. Totul corespunde enunțului.

Răspuns: Cele două numere sunt 8 și 10.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+4\). a) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Reprezentarea grafică a funcției

1. 1

   Primul punct al graficului

   f(0)=0+4=4 \Rightarrow N(0,4)

   Alegem o valoare pentru \(x\), de exemplu \(x=0\), și calculăm \(f(0)\). Perechea \((x, f(x))\) este un punct de pe grafic. Cu \(x=0\) obținem punctul de pe axa Oy, iar calculul este foarte ușor.

2. 2

   Al doilea punct al graficului

   f(-4)=-4+4=0 \Rightarrow M(-4,0)

   Mai avem nevoie de un punct. Alegem \(x=-4\), pentru că rezultatul este 0 și punctul este pe axa Ox. Putem alege orice altă valoare, de exemplu \(x=1\) dă \(f(1)=5\).

3. 3

   Trasăm graficul

   G_f=\text{dreapta } MN,\ M(-4,0),\ N(0,4)

   Desenăm sistemul de axe \(xOy\) și marcăm punctele \(M(-4,0)\) și \(N(0,4)\). Graficul unei funcții de forma \(ax+b\) este o dreaptă, deci unim punctele cu o linie dreaptă și o prelungim în ambele sensuri.

Răspuns: Graficul funcției \(f(x)=x+4\) este dreapta care trece prin punctele \(M(-4,0)\) și \(N(0,4)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+4\). b) Arătați că triunghiul determinat de graficul funcției \(f\) și axele sistemului de coordonate \(xOy\) este isoscel.

Metoda: Intersecțiile graficului cu axele

1. 1

   Punctul de intersecție cu axa Ox

   f(x)=0 \Rightarrow x+4=0 \Rightarrow x=-4,\ M(-4,0),\ OM=4

   Un punct de pe axa Ox are ordonata 0. Punem deci \(f(x)=0\) și aflăm abscisa. Obținem \(x=-4\), deci \(M(-4,0)\). Distanța de la O la M este numărul \(4\), adică modulul lui \(-4\).

2. 2

   Punctul de intersecție cu axa Oy

   f(0)=0+4=4 \Rightarrow N(0,4),\ ON=4

   Un punct de pe axa Oy are abscisa 0. Calculăm \(f(0)=4\), deci \(N(0,4)\). Distanța de la O la N este \(4\).

3. 3

   Concluzia: triunghiul este isoscel

   OM=ON=4 \Rightarrow \triangle MON \text{ isoscel}

   Triunghiul MON are unghi drept în O, iar catetele OM și ON au aceeași lungime, \(4\). Un triunghi cu două laturi egale este isoscel, deci \(\triangle MON\) este isoscel (dreptunghic isoscel).

Răspuns: Graficul taie axele în M(-4,0) și N(0,4), deci OM = ON = 4, iar triunghiul MON este isoscel.

Se consideră expresia \(E(x)=\dfrac{(x-3)^2-16}{x+1}:\dfrac{x^2-7x}{x}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -1\), \(x\neq 0\) și \(x\neq 7\). Arătați că \(E(x)=1\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -1\), \(x\neq 0\) și \(x\neq 7\).

Metoda: Descompuneri în factori și simplificare

1. 1

   Simplificăm prima fracție

   \frac{(x-3)^2-16}{x+1}=\frac{(x-3-4)(x-3+4)}{x+1}=\frac{(x-7)(x+1)}{x+1}=x-7

   La numărător avem o diferență de pătrate: \(16=4^2\), deci \((x-3)^2-4^2=(x-3-4)(x-3+4)\), adică \((x-7)(x+1)\). Apoi simplificăm cu \(x+1\), care este diferit de 0 deoarece \(x\neq -1\). Obținem \(x-7\).

2. 2

   Simplificăm a doua fracție

   \frac{x^2-7x}{x}=\frac{x(x-7)}{x}=x-7

   La numărător scoatem factor comun pe \(x\): \(x^2-7x=x(x-7)\). Apoi simplificăm cu \(x\), care este diferit de 0 deoarece \(x\neq 0\). Rezultă tot \(x-7\).

3. 3

   Efectuăm împărțirea

   E(x)=(x-7):(x-7)=1

   Cele două fracții simplificate sunt egale cu \(x-7\). Cum \(x\neq 7\), avem \(x-7\neq 0\), deci putem împărți: un număr nenul împărțit la el însuși dă 1. Așadar \(E(x)=1\) pentru orice \(x\) din condițiile date.

Răspuns: E(x)=1 pentru orice x real, x≠-1, x≠0 și x≠7, ceea ce trebuia arătat.

Figura 2 este schița unui teren în formă de dreptunghi \(ABCD\), cu \(AB = 150\text{ m}\), \(BC = 100\text{ m}\). Se consideră punctul \(M\), mijlocul laturii \(AB\), și punctul \(N\) situat pe segmentul \(DM\), astfel încât \(DN = 2MN\). a) Arătați că perimetrul dreptunghiului \(ABCD\) este egal cu \(500\text{ m}\).

Metoda: Formula perimetrului dreptunghiului

1. 1

   Scriem formula perimetrului dreptunghiului

   P_{ABCD} = 2\cdot(AB + BC)

   Dreptunghiul are patru laturi: \(AB\) și \(CD\) sunt egale, iar \(BC\) și \(AD\) sunt egale. Perimetrul este suma tuturor laturilor, adică \(AB + BC + CD + DA\). Cum \(CD = AB\) și \(DA = BC\), obținem \(2\cdot AB + 2\cdot BC = 2\cdot(AB+BC)\). Pentru asta punem datele problemei în formulă: \(AB = 150\text{ m}\) și \(BC = 100\text{ m}\).

2. 2

   Înlocuim valorile și calculăm

   P_{ABCD} = 2\cdot(150 + 100) = 2\cdot 250 = 500\text{ m}

   Înlocuim \(AB = 150\) și \(BC = 100\) în formulă. Mai întâi calculăm paranteza: \(150 + 100 = 250\), pentru că la calcule parantezele se fac primele. Apoi înmulțim cu 2: \(2\cdot 250 = 500\). Unitatea de măsură este metrul, fiindcă laturile erau date în metri. Am obținut exact \(500\text{ m}\), cât trebuia să arătăm.

Răspuns: Perimetrul dreptunghiului \(ABCD\) este \(P_{ABCD} = 2\cdot(150+100) = 500\text{ m}\).

Figura 2 este schița unui teren în formă de dreptunghi \(ABCD\), cu \(AB=150\) m, \(BC=100\) m. Se consideră punctul \(M\), mijlocul laturii \(AB\), și punctul \(N\) situat pe segmentul \(DM\), astfel încât \(DN=2MN\). b) Arătați că punctele \(A\), \(N\) și \(C\) sunt coliniare.

Metoda: Centrul de greutate al triunghiului

1. 1

   Arătăm că N este centrul de greutate al triunghiului ADB

   DN=2MN \Rightarrow DN=\tfrac{2}{3}DM

   Punctul \(M\) este mijlocul lui \(AB\), deci \(DM\) unește vârful \(D\) cu mijlocul laturii opuse \(AB\) în triunghiul \(ADB\). Prin urmare \(DM\) este mediană. Centrul de greutate se află pe mediană la două treimi de vârf și o treime de bază. Cum \(DN=2MN\), punctul \(N\) este exact la \(\tfrac{2}{3}\) din \(DM\) față de \(D\), deci \(N\) este centrul de greutate al triunghiului \(ADB\).

2. 2

   Folosim mediana din A și diagonalele dreptunghiului

   \{O\}=AC\cap BD,\ AO \text{ mediană în } \triangle ADB

   Diagonalele dreptunghiului se înjumătățesc, deci \(O\), intersecția lui \(AC\) cu \(BD\), este mijlocul lui \(BD\). Atunci \(AO\) unește vârful \(A\) cu mijlocul laturii \(BD\) a triunghiului \(ADB\), deci \(AO\) este a doua mediană. Centrul de greutate se află pe toate medianele, deci \(N\in AO\).

3. 3

   Concluzia: A, N și C sunt coliniare

   N\in AO,\ O\in AC \Rightarrow A,N,C \text{ coliniare}

   Punctul \(O\) se află pe diagonala \(AC\), deci dreapta \(AO\) este chiar dreapta \(AC\). Cum \(N\) se află pe \(AO\), el se află pe dreapta \(AC\). Așadar punctele \(A\), \(N\) și \(C\) sunt coliniare.

Răspuns: \(N\) este centrul de greutate al triunghiului \(ADB\), deci se află pe mediana \(AO\), care face parte din diagonala \(AC\). Prin urmare \(A\), \(N\) și \(C\) sunt coliniare.

Figura 2 este schița unui teren în formă de dreptunghi \(ABCD\), cu \(AB=150\) m, \(BC=100\) m. Se consideră punctul \(M\), mijlocul laturii \(AB\), și punctul \(N\) situat pe segmentul \(DM\), astfel încât \(DN=2MN\). c) Demonstrați că aria triunghiului \(AMN\) este egală cu \(1250\ \text{m}^2\).

Metoda: Triunghiuri asemenea și aria triunghiului

1. 1

   Aflăm lungimea bazei AM

   AM=\frac{AB}{2}=\frac{150}{2}=75\ \text{m}

   Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AB\), deci \(AM\) este jumătate din \(AB\). Avem nevoie de \(AM\) pentru că el va fi baza triunghiului \(AMN\).

2. 2

   Găsim triunghiuri asemenea

   AM\parallel DC\Rightarrow \triangle AMN\sim\triangle CND

   În dreptunghi, \(AB\parallel DC\), deci \(AM\parallel DC\). Dreptele \(AC\) și \(DM\) se intersectează în \(N\), iar unghiurile opuse la vârf din \(N\) sunt congruente. Cu unghiurile alterne interne congruente, rezultă că \(\triangle AMN\sim\triangle CND\). Raportul de asemănare este raportul laturilor paralele: \(\frac{AM}{DC}\).

3. 3

   Calculăm raportul de asemănare

   \frac{AM}{DC}=\frac{75}{150}=\frac12

   Avem \(DC=AB=150\) m (laturi opuse în dreptunghi), iar \(AM=75\) m. Raportul este \(\frac12\). Același raport îl au și înălțimile din \(N\) duse pe \(AM\), respectiv pe \(DC\).

4. 4

   Aflăm înălțimea triunghiului AMN

   \frac{d(N,AM)}{d(N,AM)+d(N,DC)}=\frac{1}{1+2}=\frac13\Rightarrow d(N,AM)=\frac13\cdot AD=\frac{100}{3}\ \text{m}

   Distanțele de la \(N\) la \(AM\) și la \(DC\) sunt în raportul \(1:2\). Suma lor este distanța dintre dreptele paralele \(AB\) și \(DC\), adică \(AD=100\) m. Deci distanța de la \(N\) la \(AM\) este o treime din \(100\) m.

5. 5

   Calculăm aria triunghiului AMN

   \mathcal{A}_{AMN}=\frac{d(N,AM)\cdot AM}{2}=\frac{\frac{100}{3}\cdot 75}{2}=1250\ \text{m}^2

   Aria unui triunghi este baza înmulțită cu înălțimea, împărțită la \(2\). Baza este \(AM=75\), înălțimea \(\frac{100}{3}\). Avem \(\frac{100}{3}\cdot75=2500\), iar \(2500:2=1250\).

Răspuns: Aria triunghiului \(AMN\) este \(1250\ \text{m}^2\).

În figura 3 este reprezentat un tetraedru regulat \(ABCD\), cu muchia \(AB = 4\sqrt{2}\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele segmentelor \(BC\), respectiv \(AD\). a) Arătați că \(AM = 2\sqrt{6}\) cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Aflăm lungimea lui BM

   BM = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}

   Tetraedrul este regulat, deci toate muchiile sunt egale: \(BC = AB = 4\sqrt{2}\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul lui \(BC\), deci \(BM\) este jumătate din \(BC\).

2. 2

   Observăm triunghiul dreptunghic ABM

   AM \perp BC \Rightarrow \triangle ABM \text{ dreptunghic în } M

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral. În el, mediana \(AM\) este și înălțime, deci \(AM \perp BC\). Rezultă că triunghiul \(ABM\) este dreptunghic în \(M\), cu ipotenuza \(AB\).

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   AM^2 = AB^2 - BM^2 = (4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 32 - 8 = 24

   În triunghiul dreptunghic \(ABM\) avem \(AB^2 = AM^2 + BM^2\), deci \(AM^2 = AB^2 - BM^2\). Calculăm: \((4\sqrt{2})^2 = 16\cdot 2 = 32\) și \((2\sqrt{2})^2 = 4\cdot 2 = 8\).

4. 4

   Scoatem rădăcina pătrată

   AM = \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = 2\sqrt{6} \text{ cm}

   Deoarece \(AM\) este o lungime, este pozitiv, deci \(AM = \sqrt{24}\). Scoatem factorul \(4 = 2^2\) de sub radical: \(\sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = 2\sqrt{6}\). Am obținut exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(AM = 2\sqrt{6}\) cm

În Figura 3 este reprezentat un tetraedru regulat \(ABCD\), cu muchia \(AB = 4\sqrt{2}\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele segmentelor \(BC\), respectiv \(AD\). b) Arătați că volumul tetraedrului \(ABCD\) este egal cu \(\frac{64}{3}\) cm\(^3\).

Metoda: Volumul piramidei: aria bazei și înălțimea

1. 1

   Reținem formula și datele

   V=\frac{1}{3}\cdot \mathcal{A}_{bazei}\cdot h

   Tetraedrul regulat este o piramidă triunghiulară regulată. Luăm ca bază triunghiul echilateral \(BCD\), cu latura \(4\sqrt{2}\) cm. Pentru volum avem nevoie de aria bazei și de înălțimea \(h\) a tetraedrului, adică distanța de la \(A\) la planul \(BCD\).

2. 2

   Aflăm înălțimea tetraedrului

   h=\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ cm}

   Fie \(O\) centrul bazei \(BCD\) (piciorul înălțimii). Baremul dă direct înălțimea: \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\) cm. O putem verifica: în triunghiul echilateral de latură \(l=4\sqrt{2}\), înălțimea este \(\frac{l\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}\) (la fel cu \(AM\) de la punctul a)). Distanța de la \(O\) la un vârf este \(\frac{2}{3}\) din ea, adică \(\frac{4\sqrt{6}}{3}\). Cu teorema lui Pitagora în triunghiul \(AOB\): \(h^2=AB^2-OB^2=32-\frac{96}{9}=\frac{192}{9}\), deci \(h=\frac{8\sqrt{3}}{3}\).

3. 3

   Calculăm aria bazei

   \mathcal{A}_{BCD}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(4\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}\text{ cm}^2

   Baza \(BCD\) este triunghi echilateral cu latura \(l=4\sqrt{2}\). Aria lui este \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\). Avem \(l^2=32\), deci aria este \(\frac{32\sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}\) cm².

4. 4

   Calculăm volumul

   V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot 8\sqrt{3}\cdot\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{64}{3}\text{ cm}^3

   Înlocuim în formulă: \(\frac{1}{3}\cdot 8\sqrt{3}\cdot\frac{8\sqrt{3}}{3}\). Produsul \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\), deci numărătorul este \(8\cdot 8\cdot 3=192\), iar numitorul \(3\cdot 3=9\). Obținem \(\frac{192}{9}=\frac{64}{3}\). Am arătat ce se cerea.

Răspuns: Volumul tetraedrului \(ABCD\) este \(\frac{64}{3}\) cm\(^3\).

În Figura 3 este reprezentat un tetraedru regulat \(ABCD\), cu muchia \(AB = 4\sqrt{2}\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele segmentelor \(BC\), respectiv \(AD\). c) Demonstrați că unghiul dintre dreptele \(AB\) și \(MN\) are măsura egală cu \(45^\circ\).

Metoda: Linie mijlocie și reciproca Pitagora

1. 1

   Construim o paralelă la AB prin N

   P \text{ mijlocul lui } BD \Rightarrow NP \parallel AB

   Fie P mijlocul segmentului BD. În triunghiul ABD, N este mijlocul lui AD, iar P este mijlocul lui BD. Deci NP este linie mijlocie și este paralelă cu AB. Unghiul dintre AB și MN este atunci egal cu unghiul dintre NP și MN, pentru că NP și MN se taie în N.

2. 2

   Aflăm lungimea lui MN

   AM = DM \Rightarrow MN \perp AD,\quad MN^2 = AM^2 - AN^2 = 24 - 8 = 16 \Rightarrow MN = 4

   Tetraedrul este regulat, deci toate fețele sunt triunghiuri echilaterale. Din subpunctul a), AM = 2\sqrt{6}. Triunghiul AMD este isoscel (AM = DM, medianele în triunghiuri echilaterale congruente), iar N este mijlocul bazei AD. Atunci MN este mediană și înălțime, deci MN ⊥ AD. Cu teorema lui Pitagora în triunghiul AMN, cu AN = 2\sqrt{2}, obținem MN = 4 cm.

3. 3

   Calculăm MP

   MP = 2\sqrt{2}

   În triunghiul BCD, M este mijlocul lui BC, iar P este mijlocul lui BD. Deci MP este linie mijlocie și este jumătate din CD. Cum CD = 4\sqrt{2}, obținem MP = 2\sqrt{2} cm.

4. 4

   Triunghiul MNP este dreptunghic isoscel

   MP^2 + NP^2 = 8 + 8 = 16 = MN^2 \Rightarrow \triangle MNP \text{ dreptunghic în } P,\ MP = NP \Rightarrow m(\angle MNP) = 45^\circ

   Avem MP = NP = 2\sqrt{2} și MN = 4. Calculăm \(MP^2 + NP^2 = 8 + 8 = 16 = MN^2\). Din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul MNP este dreptunghic în P. Cum are și două catete egale, este isoscel, deci unghiurile de la ipotenuză au câte 45°. Astfel unghiul MNP are 45°, iar acesta este unghiul dintre NP și MN, adică unghiul dintre AB și MN.

Răspuns: Unghiul dintre dreptele AB și MN este egal cu \(45^\circ\).