Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2016, model de subiect

Rezultatul calculului \(4+4\cdot(12-3)\) este egal cu … .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Calculăm paranteza

   12-3=9

   Regula spune că operațiile din paranteze se fac primele. În paranteză avem doar o scădere: \(12-3=9\). Expresia devine \(4+4\cdot 9\).

2. 2

   Efectuăm înmulțirea

   4\cdot 9=36

   După paranteze, înmulțirea se face înaintea adunării. Deci nu adunăm \(4+4\), ci întâi calculăm \(4\cdot 9=36\). Expresia devine \(4+36\).

3. 3

   Efectuăm adunarea

   4+36=40

   Ne-a rămas doar adunarea \(4+36\), care dă 40. Rezultatul este același cu cel din barem.

Răspuns: 40

Dacă \(\frac{4}{3}=\frac{x}{6}\), atunci \(\frac{x+4}{4}\) este egal cu ... .

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Aflăm x din proporție

   \frac{4}{3}=\frac{x}{6}\Rightarrow 3\cdot x=4\cdot 6

   Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor (proprietatea fundamentală a proporțiilor). Aici înmulțim „în cruce”: \(3\cdot x=4\cdot 6\). Facem asta ca să scăpăm de fracții și să obținem o ecuație simplă.

2. 2

   Calculăm valoarea lui x

   3x=24\Rightarrow x=24:3=8

   Dacă 3 înmulțit cu x dă 24, atunci x este 24 împărțit la 3. Împărțirea este operația inversă înmulțirii, deci ne ajută să aflăm factorul necunoscut.

3. 3

   Calculăm expresia cerută

   \frac{x+4}{4}=\frac{8+4}{4}=\frac{12}{4}=3

   Acum că știm \(x=8\), îl înlocuim în expresia \(\frac{x+4}{4}\). Mai întâi adunăm la numărător, apoi împărțim la 4.

4. 4

   Verificare

   \frac{4}{3}=\frac{8}{6}

   Verificăm că \(x=8\) respectă proporția: \(\frac{8}{6}\) se simplifică prin 2 și dă \(\frac{4}{3}\), deci este corect. Așadar rezultatul 3 este bun.

Răspuns: 3

Cel mai mare număr natural care aparține intervalului \((0,7)\) este numărul … .

Metoda: Interval deschis și numere naturale

1. 1

   Ce înseamnă intervalul (0,7)

   (0,7)=\{x\in\mathbb{R}\mid 0<x<7\}

   Intervalul \((0,7)\) conține toate numerele reale mai mari decât 0 și mai mici decât 7. Parantezele rotunde arată că 0 și 7 nu aparțin intervalului, pentru că inegalitățile sunt stricte (\(<\), nu \(\le\)).

2. 2

   Numerele naturale din interval

   x\in\mathbb{N},\ 0<x<7\Rightarrow x\in\{1,2,3,4,5,6\}

   Căutăm numerele naturale strict mai mari decât 0 și strict mai mici decât 7. Acestea sunt 1, 2, 3, 4, 5 și 6. Numărul 0 nu intră, iar 7 nu intră nici el.

3. 3

   Cel mai mare dintre ele

   \max\{1,2,3,4,5,6\}=6

   Dintre numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6 cel mai mare este 6. Verificăm: \(6<7\), deci 6 aparține intervalului, iar următorul număr natural, 7, nu aparține.

Răspuns: 6

Perimetrul pătratului \(MNPQ\) este egal cu \(24\) cm. Lungimea diagonalei \(MP\) este egală cu ... cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora în pătrat

1. 1

   Aflăm latura pătratului

   \ell = \frac{24}{4} = 6

   Perimetrul pătratului este suma celor patru laturi egale: \(P = 4\ell\). Deci latura se obține împărțind perimetrul la 4: \(\ell = 24 : 4 = 6\) cm.

2. 2

   Folosim triunghiul dreptunghic MNP

   MP^2 = MN^2 + NP^2

   În pătrat, unghiul din \(N\) este drept. Triunghiul \(MNP\) este dreptunghic în \(N\), cu catetele \(MN\) și \(NP\) (laturi ale pătratului) și ipotenuza \(MP\), adică diagonala. Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor.

3. 3

   Calculăm diagonala

   MP^2 = 6^2 + 6^2 = 72 \Rightarrow MP = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}

   Înlocuim catetele cu 6: \(MP^2 = 36 + 36 = 72\). Atunci \(MP = \sqrt{72}\). Scoatem factorul de sub radical: \(72 = 36 \cdot 2\), deci \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\). Rezultatul coincide cu cel din barem.

Răspuns: \(MP = 6\sqrt{2}\) cm

În Figura 1 este reprezentat un cub ABCDEFGH cu muchia de 5 cm. Aria totală a cubului ABCDEFGH este egală cu … cm². (Din figură: cubul are muchia de 5 cm.)

Metoda: Aria totală a cubului

1. 1

   Aria unei fețe a cubului

   A_{fata}=l^2=5^2=25\ \text{cm}^2

   Toate fețele unui cub sunt pătrate cu latura egală cu muchia cubului, adică \(l=5\) cm. Aria unui pătrat este latura la pătrat, deci o față are \(5\cdot 5=25\) cm².

2. 2

   Aria totală a cubului

   A_{t}=6\cdot l^2=6\cdot 25=150\ \text{cm}^2

   Cubul are 6 fețe, toate pătrate egale (față de sus, de jos și patru laterale). Aria totală este suma ariilor lor, deci înmulțim aria unei fețe cu 6: \(6\cdot 25=150\) cm².

Răspuns: 150

Subiectul I, itemul 6. Într-o școală, pentru alegerea reprezentantului consiliului elevilor, au votat 600 de elevi. Rezultatele votului sunt prezentate în diagrama circulară: Ioana a primit 10% din voturi, Radu a primit 50% din voturi, iar restul sectorului este pentru Mihai. Numărul elevilor din școală care au votat pentru Mihai este egal cu ... .

Metoda: Procente dintr-un număr

1. 1

   Aflăm procentul voturilor pentru Mihai

   100\% - 10\% - 50\% = 40\%

   Întregul cerc reprezintă toate voturile, adică \(100\%\). Ioana a primit \(10\%\), Radu \(50\%\). Ce rămâne din cerc este pentru Mihai, deci scădem din \(100\%\) cele două procente cunoscute.

2. 2

   Calculăm 40% din 600 de elevi

   \frac{40}{100}\cdot 600 = 240

   Procentul \(40\%\) înseamnă \(\frac{40}{100}\). Ca să aflăm câți elevi reprezintă, calculăm această fracție din numărul total de elevi, adică din 600. Putem afla întâi \(1\%\) din 600, adică 6, apoi înmulțim cu 40.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   60 + 300 + 240 = 600

   Calculăm câte voturi au primit ceilalți: Ioana \(10\%\) din 600 = 60, Radu \(50\%\) din 600 = 300. Adunate cu cele ale lui Mihai trebuie să dea 600 de voturi.

Răspuns: 240

Desenați, pe foaia de examen, un cilindru circular drept cu secțiunea axială \(ABB'A'\).

Metoda: Desenul cilindrului și secțiunea axială

1. 1

   Recunoaștem ce este un cilindru circular drept

   Cilindrul circular drept are două baze care sunt cercuri egale, situate în plane paralele. Generatoarele (segmentele care unesc bazele) sunt perpendiculare pe baze. Axa cilindrului unește centrele celor două cercuri. Trebuie să știm asta ca să desenăm corect forma.

2. 2

   Desenăm cele două baze

   Desenăm sus o elipsă (cercul văzut în perspectivă), apoi jos o a doua elipsă identică, exact sub prima. Linia din spate a elipselor se trasează punctat, pentru că se află în spatele cilindrului și nu se vede. Notăm centrele cu O și O'.

3. 3

   Unim bazele prin generatoare

   Ducem două segmente verticale care unesc cele două elipse, la marginile din stânga și din dreapta. Acestea sunt generatoarele laterale, perpendiculare pe baze. Cu ele cilindrul este închis și arată ca un corp întreg. Putem trasa și axa OO' punctat.

4. 4

   Desenăm și notăm secțiunea axială ABB'A'

   ABB'A'

   Secțiunea axială se obține tăind cilindrul cu un plan care conține axa OO'. Ea este un dreptunghi. Notăm A și B capetele unui diametru al bazei de sus, iar A' și B' capetele diametrului corespunzător din baza de jos, astfel încât AA' și BB' sunt generatoare. Apoi unim AB, BB', B'A' și A'A. Notarea corectă (ABB'A') aduce ultimul punct din barem.

Răspuns: Desenul conține un cilindru circular drept (două baze egale, unite prin generatoare, cu O și O' centrele) și secțiunea axială, dreptunghiul ABB'A', notată corect, cu AB și A'B' diametre și AA', BB' generatoare.

Determinați numărul \(\overline{ab}\), scris în baza 10, știind că \(\overline{ab}-\overline{ba}=a(b-1)\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere diferite, prime între ele.

Metoda: Descompunerea în baza 10

1. 1

   Scriem numerele în baza 10

   \overline{ab}-\overline{ba}=(10a+b)-(10b+a)

   Un număr de două cifre \(\overline{ab}\) are \(a\) zeci și \(b\) unități, deci \(\overline{ab}=10a+b\). Analog \(\overline{ba}=10b+a\). Scriem așa ca să putem lucra cu litere și calcule.

2. 2

   Egalăm cu partea dreaptă și reducem

   10a+b-10b-a=ab-a \Leftrightarrow 9a-9b=ab-a \Leftrightarrow a(10-b)=9b

   Efectuăm scăderea: \(10a-a=9a\) și \(b-10b=-9b\). Partea dreaptă este \(a(b-1)=ab-a\). Mutăm \(-a\) în stânga: \(9a+a-9b=ab\), deci \(10a-9b=ab\), adică \(a(10-b)=9b\).

3. 3

   Folosim faptul că a și b sunt prime între ele

   a(10-b)=9b,\ (a,b)=1 \Rightarrow a \mid 9

   Din \(a(10-b)=9b\) rezultă că \(a\) divide \(9b\). Cum \(a\) și \(b\) sunt prime între ele, \(a\) nu are niciun divizor comun cu \(b\), deci \(a\) divide 9. Așadar \(a\in\{1,3,9\}\). Cifra \(a\) nu poate fi 0, fiind prima cifră.

4. 4

   Încercăm fiecare valoare a lui a

   a=1:\ 10-b=9b \Rightarrow b=1;\quad a=3:\ 3(10-b)=9b \Rightarrow b=\tfrac{5}{2};\quad a=9:\ 9(10-b)=9b \Rightarrow b=5

   Pentru \(a=1\): \(10-b=9b\), deci \(b=1\), dar \(a\) și \(b\) trebuie să fie diferite, nu merge. Pentru \(a=3\): \(30-3b=9b\), deci \(12b=30\), \(b=2{,}5\), nu e cifră. Pentru \(a=9\): \(10-b=b\), deci \(b=5\). Verificăm: 9 și 5 sunt diferite și prime între ele. Deci \(\overline{ab}=95\).

5. 5

   Verificarea

   95-59=36,\quad 9\cdot(5-1)=36

   Înlocuim în enunț: \(95-59=36\) și \(a(b-1)=9\cdot 4=36\). Egalitatea se verifică, iar 9 și 5 sunt prime între ele.

Răspuns: \(\overline{ab}=95\)

Un biciclist a parcurs în trei zile un traseu cu lungimea de 108 km. În a doua zi biciclistul a parcurs cu 6 km mai mult decât în prima zi, iar în a treia zi biciclistul a parcurs cu 6 km mai mult decât în a doua zi. Calculați distanța parcursă în prima zi.

Metoda: Ecuație cu o necunoscută

1. 1

   Alegem necunoscuta și exprimăm distanțele

   x,\quad x+6,\quad x+6+6

   Notăm cu \(x\) distanța parcursă în prima zi (în km). În a doua zi biciclistul a mers cu 6 km mai mult, deci \(x+6\). În a treia zi a mers cu 6 km mai mult decât în a doua, deci \(x+6+6\). Exprimăm totul prin aceeași necunoscută ca să putem scrie o ecuație.

2. 2

   Scriem ecuația

   x+(x+6)+(x+6+6)=108

   Cele trei distanțe adunate dau lungimea totală a traseului, 108 km. De aceea suma lor trebuie să fie egală cu 108.

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   3x+18=108 \Rightarrow 3x=90 \Rightarrow x=30

   Adunăm termenii: \(x+x+x=3x\) și \(6+6+6=18\), deci \(3x+18=108\). Scădem 18 din ambii membri: \(3x=90\). Împărțim la 3 și obținem \(x=30\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   30+36+42=108

   Dacă prima zi are 30 km, a doua are 36 km, iar a treia 42 km. Suma lor este 108 km, exact cât spune problema, deci rezultatul este corect.

Răspuns: În prima zi biciclistul a parcurs 30 km.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=mx-6\), unde \(m\) este număr real. a) Determinați numărul real \(m\) pentru care punctul \(M(4,2)\) aparține graficului funcției \(f\).

Metoda: Punct pe graficul funcției

1. 1

   Ce înseamnă că M aparține graficului

   M(4,2)\in G_f \iff f(4)=2

   Punctul \(M(4,2)\) are abscisa \(4\) și ordonata \(2\). Dacă \(M\) este pe grafic, atunci valoarea funcției în \(x=4\) trebuie să fie chiar ordonata, adică \(2\). Asta transformă condiția geometrică într-o egalitate de calculat.

2. 2

   Înlocuim x = 4 în formula funcției

   f(4)=m\cdot 4-6=4m-6 \quad\Rightarrow\quad 4m-6=2

   În formula \(f(x)=mx-6\) punem \(x=4\) și obținem \(4m-6\). Cum \(f(4)\) trebuie să fie \(2\), scriem ecuația \(4m-6=2\), în care necunoscuta este \(m\).

3. 3

   Rezolvăm ecuația

   4m-6=2 \Rightarrow 4m=2+6=8 \Rightarrow m=8:4=2

   Ca să rămână \(4m\) singur, adunăm \(6\) în ambii membri: \(4m=8\). Apoi împărțim la \(4\) ca să aflăm \(m\). Rezultatul este \(m=2\), la fel ca în barem.

4. 4

   Verificare

   f(x)=2x-6,\quad f(4)=2\cdot 4-6=2

   Pentru \(m=2\) funcția este \(f(x)=2x-6\). Calculăm \(f(4)=8-6=2\), deci punctul \(M(4,2)\) este într-adevăr pe grafic.

Răspuns: \(m=2\)

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=mx-6\), unde \(m\) este număr real. b) Pentru \(m=2\), arătați că distanța de la originea sistemului de coordonate \(xOy\) la reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) este egală cu \(\frac{6\sqrt{5}}{5}\).

Metoda: Intersecții cu axele și înălțime

1. 1

   Scriem funcția și aflăm intersecția cu axa Oy

   f(x)=2x-6,\quad f(0)=-6

   Pentru \(m=2\) funcția este \(f(x)=2x-6\). Punctul în care graficul taie axa Oy are abscisa 0, deci calculăm \(f(0)=2\cdot 0-6=-6\). Punctul este \(B(0,-6)\), deci \(OB=6\), pentru că distanța de la O la B este 6.

2. 2

   Aflăm intersecția cu axa Ox

   f(x)=0\Rightarrow 2x-6=0\Rightarrow x=3

   Punctul în care graficul taie axa Ox are ordonata 0, deci rezolvăm \(2x-6=0\). Obținem \(2x=6\), deci \(x=3\). Punctul este \(A(3,0)\), deci \(OA=3\).

3. 3

   Calculăm ipotenuza AB cu teorema lui Pitagora

   AB^2=OA^2+OB^2=3^2+6^2=45,\quad AB=3\sqrt{5}

   Axele sunt perpendiculare, deci triunghiul AOB este dreptunghic în O, cu catetele \(OA=3\) și \(OB=6\). Ipotenuza AB este chiar porțiunea din graficul funcției. Aplicăm teorema lui Pitagora: \(AB^2=9+36=45\), deci \(AB=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).

4. 4

   Calculăm distanța de la O la dreapta AB

   d=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{3\cdot 6}{3\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}

   Distanța de la O la AB este înălțimea din O a triunghiului dreptunghic, notată d. Aria triunghiului se poate scrie în două moduri: \(\frac{OA\cdot OB}{2}\) (cu catetele) și \(\frac{AB\cdot d}{2}\) (cu ipotenuza și înălțimea). Egalând, \(d=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{18}{3\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}\). Raționalizăm înmulțind cu \(\sqrt{5}\) sus și jos: \(\frac{6\sqrt{5}}{5}\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Distanța de la origine la graficul funcției este \(\frac{6\sqrt{5}}{5}\).

Se consideră expresia \(E(x)=\frac{x}{x-4}-\left(\frac{x-4}{x-2}+\frac{x-2}{x-4}-2\right):\frac{1}{x-2}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq 2\) și \(x\neq 4\). Arătați că \(E(x)=1\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq 2\) și \(x\neq 4\).

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   Calculăm paranteza

   \frac{x-4}{x-2}+\frac{x-2}{x-4}-2=\frac{(x-4)^2+(x-2)^2-2(x-2)(x-4)}{(x-2)(x-4)}

   Fracțiile se pot aduna doar dacă au același numitor. Numitorul comun este \((x-2)(x-4)\). Amplificăm prima fracție cu \(x-4\), a doua cu \(x-2\), iar pe 2 îl scriem ca fracție cu acest numitor.

2. 2

   Observăm formula de calcul prescurtat

   (x-4)^2+(x-2)^2-2(x-2)(x-4)=\big[(x-4)-(x-2)\big]^2=(-2)^2=4

   Numărătorul are forma \(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\), cu \(a=x-4\) și \(b=x-2\). Diferența \(a-b=(x-4)-(x-2)=-2\), deci numărătorul este \(4\). Astfel paranteza este \(\frac{4}{(x-2)(x-4)}\).

3. 3

   Efectuăm împărțirea

   \frac{4}{(x-2)(x-4)}:\frac{1}{x-2}=\frac{4}{(x-2)(x-4)}\cdot\frac{x-2}{1}=\frac{4}{x-4}

   Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Inversa lui \(\frac{1}{x-2}\) este \(x-2\). Simplificăm cu \(x-2\), care este nenul deoarece \(x\neq 2\).

4. 4

   Scădem și obținem rezultatul

   E(x)=\frac{x}{x-4}-\frac{4}{x-4}=\frac{x-4}{x-4}=1

   Cele două fracții au același numitor, deci scădem numărătorii: \(x-4\). Apoi \(\frac{x-4}{x-4}=1\), pentru că \(x\neq 4\). Am arătat că \(E(x)=1\) pentru orice \(x\) permis.

Răspuns: \(E(x)=1\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), \(x\neq 2\) și \(x\neq 4\).

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB = 9\) cm și punctele \(E \in (AB)\) și \(F \in (CD)\) astfel încât triunghiul \(AEF\) este echilateral cu \(AE = 6\) cm. a) Arătați că aria triunghiului \(AEF\) este egală cu \(9\sqrt{3}\) cm\(^2\).

Metoda: Aria triunghiului echilateral

1. 1

   Ducem înălțimea FP

   FP \perp AE,\; P \in (AE)

   Aria unui triunghi este \(\frac{\text{baza} \cdot \text{înălțimea}}{2}\). Avem baza AE = 6 cm, dar nu știm înălțimea. De aceea ducem din F perpendiculara FP pe AE. Într-un triunghi echilateral, înălțimea cade chiar la mijlocul laturii, deci \(AP = \frac{6}{2} = 3\) cm.

2. 2

   Calculăm înălțimea FP cu teorema lui Pitagora

   FP^2 = AF^2 - AP^2 = 6^2 - 3^2 = 27 \Rightarrow FP = 3\sqrt{3}

   Triunghiul AFP este dreptunghic în P, cu ipotenuza AF = 6 și cateta AP = 3. Din teorema lui Pitagora, \(FP^2 = AF^2 - AP^2 = 36 - 9 = 27\). Deci \(FP = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\) cm.

3. 3

   Calculăm aria triunghiului AEF

   \mathcal{A}_{\Delta AEF} = \frac{AE \cdot FP}{2} = \frac{6 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\ \text{cm}^2

   Acum avem baza AE = 6 cm și înălțimea FP = \(3\sqrt{3}\) cm. Aplicăm formula ariei: \(\frac{6 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \frac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\) cm\(^2\). Am obținut exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria triunghiului AEF este \(9\sqrt{3}\) cm\(^2\).

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB = 9\) cm și punctele \(E \in (AB)\) și \(F \in (CD)\) astfel încât triunghiul \(AEF\) este echilateral cu \(AE = 6\) cm. Itemul III.1 b): Calculați lungimea diagonalei \(AC\) a dreptunghiului \(ABCD\).

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Aflăm lățimea \(BC\) a dreptunghiului

   BC = FP = 3\sqrt{3}\text{ cm}

   Într-un dreptunghi laturile opuse sunt paralele, iar \(BC\) este egală cu distanța dintre dreptele \(AB\) și \(CD\). Această distanță este chiar înălțimea \(FP\) a triunghiului echilateral \(AEF\), dusă din \(F\) pe \(AE\) (\(P\) este mijlocul lui \(AE\)). De la subpunctul a) știm că \(FP = 3\sqrt{3}\) cm. Într-adevăr, în triunghiul echilateral de latură \(6\) cm, \(AP = 3\) cm, iar \(FP^2 = 6^2 - 3^2 = 27\), deci \(FP = 3\sqrt{3}\). Prin urmare \(BC = 3\sqrt{3}\) cm.

2. 2

   Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul \(ABC\)

   AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9^2 + (3\sqrt{3})^2

   Triunghiul \(ABC\) are unghiul drept în \(B\), pentru că \(ABCD\) este dreptunghi. Atunci \(AC\) este ipotenuza, iar \(AB\) și \(BC\) sunt catetele. Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Calculăm: \(9^2 = 81\) și \((3\sqrt{3})^2 = 27\).

3. 3

   Calculăm lungimea \(AC\)

   AC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\text{ cm}

   Din \(AC^2 = 108\) obținem \(AC = \sqrt{108}\), pentru că o lungime este pozitivă. Scoatem factorii de sub radical: \(108 = 36 \cdot 3\), iar \(\sqrt{36} = 6\). Deci \(AC = 6\sqrt{3}\) cm, la fel ca în barem.

Răspuns: \(AC = 6\sqrt{3}\) cm

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB = 9\) cm și punctele \(E \in (AB)\) și \(F \in (CD)\) astfel încât triunghiul \(AEF\) este echilateral cu \(AE = 6\) cm. c) Demonstrați că dreptele \(AC\) și \(EF\) sunt perpendiculare.

Metoda: Romb și diagonale perpendiculare

1. 1

   Aflăm DF

   DF=\frac{AF}{2}=\frac{6}{2}=3

   Triunghiul \(AEF\) este echilateral, deci \(AF = AE = 6\) cm. În dreptunghiul \(ABCD\), triunghiul \(ADF\) are unghiul \(D\) drept. Înălțimea triunghiului echilateral din F cade pe AE și are lungimea \(3\sqrt{3}\), deci \(AD = 3\sqrt{3}\) cm. În triunghiul dreptunghic \(ADF\) avem \(AF = 6\) și \(AD = 3\sqrt{3}\), iar \(DF^2 = 36 - 27 = 9\), deci \(DF = 3\) cm. Aceasta este și cateta opusă unghiului de \(30^\circ\), egală cu jumătate din ipotenuză: \(DF = \frac{AF}{2}\), pentru că unghiul \(\angle DAF = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\) (\(\angle FAE = 60^\circ\) și \(\angle DAB = 90^\circ\)).

2. 2

   Aflăm CF

   CF=CD-DF=9-3=6

   În dreptunghi, \(CD = AB = 9\) cm. Punctul F este pe latura \(CD\), deci \(CF = CD - DF = 9 - 3 = 6\) cm.

3. 3

   AECF este paralelogram

   AE=CF=6,\ AE\parallel CF\Rightarrow AECF\text{ paralelogram}

   Avem \(AE = 6 = CF\). De asemenea, \(AE \subset AB\), \(CF \subset CD\) și \(AB \parallel CD\), deci \(AE \parallel CF\). Un patrulater cu două laturi opuse paralele și congruente este paralelogram.

4. 4

   AECF este romb, deci diagonalele sunt perpendiculare

   AF=AE\Rightarrow AECF\text{ romb}\Rightarrow AC\perp EF

   În paralelogramul \(AECF\) două laturi alăturate sunt egale: \(AF = AE = 6\) (triunghi echilateral). Un paralelogram cu două laturi alăturate egale este romb. Diagonalele rombului sunt perpendiculare, iar diagonalele lui \(AECF\) sunt \(AC\) și \(EF\). Deci \(AC \perp EF\).

Răspuns: Deoarece \(AECF\) este romb, diagonalele sale \(AC\) și \(EF\) sunt perpendiculare, deci \(AC \perp EF\).

În Figura 3 este reprezentat schematic un cornet pentru înghețată în formă de con circular drept a cărui secțiune axială este triunghiul \(AVB\) cu \(AB = 10\) cm și \(VA = VB = 13\) cm. a) Arătați că \(VO = 12\) cm, unde \(O\) este mijlocul segmentului \(AB\).

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Calculăm lungimea lui AO

   AO=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ cm}

   Punctul \(O\) este mijlocul segmentului \(AB\), deci \(AO\) este jumătate din \(AB\). Avem nevoie de \(AO\) ca să putem folosi mai departe teorema lui Pitagora.

2. 2

   Observăm triunghiul dreptunghic VOA

   VO\perp AB \Rightarrow \triangle VOA \text{ dreptunghic în } O

   Conul este drept, deci \(VO\) este perpendiculară pe baza conului, deci și pe \(AB\). Astfel triunghiul \(VOA\) are unghi drept în \(O\), ipotenuza este \(VA=13\) cm, iar catetele sunt \(VO\) și \(AO=5\) cm.

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   VO^2=VA^2-AO^2=13^2-5^2=169-25=144

   În triunghiul dreptunghic \(VOA\), pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: \(VA^2=VO^2+AO^2\). De aici scoatem \(VO^2\) scăzând \(AO^2\) din \(VA^2\).

4. 4

   Aflăm VO și încheiem

   VO=\sqrt{144}=12\text{ cm}

   Lungimea este pozitivă, deci \(VO\) este numărul pozitiv al cărui pătrat este 144, adică 12. Am arătat astfel ce se cerea.

Răspuns: \(VO = 12\) cm

În Figura 3 este reprezentat schematic un cornet pentru înghețată în formă de con circular drept a cărui secțiune axială este triunghiul AVB cu \(AB=10\) cm și \(VA=VB=13\) cm. O este mijlocul segmentului AB. b) Demonstrați că raportul dintre aria totală și aria laterală a conului circular drept este egal cu \(1\frac{5}{13}\).

Metoda: Raportul ariilor conului

1. 1

   Scriem aria totală în funcție de aria laterală și aria bazei

   \frac{A_t}{A_l}=\frac{A_l+A_b}{A_l}=1+\frac{A_b}{A_l}

   Aria totală a conului este aria laterală plus aria bazei (cercul de la capăt). Împărțind la aria laterală, obținem \(1\) plus raportul dintre aria bazei și aria laterală. Așa rămâne să calculăm doar acest raport.

2. 2

   Aflăm raza bazei

   R=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ cm}

   Secțiunea axială taie conul prin centrul bazei, deci AB este diametrul bazei. Raza este jumătate din diametru, adică AO = 5 cm. Generatoarea este \(G = VA = 13\) cm.

3. 3

   Calculăm aria bazei și aria laterală

   A_b=\pi R^2=\pi\cdot 5^2=25\pi,\quad A_l=\pi R G=\pi\cdot 5\cdot 13=65\pi

   Baza este un cerc, deci aria ei este \(\pi R^2\). Aria laterală a conului este \(\pi R G\), unde G este generatoarea. Înlocuim \(R=5\) și \(G=13\).

4. 4

   Calculăm raportul și finalizăm

   \frac{A_t}{A_l}=1+\frac{25\pi}{65\pi}=1+\frac{5}{13}=1\frac{5}{13}

   Simplificăm cu \(\pi\), apoi cu 5: \(\frac{25}{65}=\frac{5}{13}\). Rezultă \(1+\frac{5}{13}\), adică \(1\frac{5}{13}\), exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Raportul dintre aria totală și aria laterală este \(1+\frac{5}{13}=1\frac{5}{13}\), ceea ce trebuia demonstrat.

În Figura 3 este reprezentat schematic un cornet pentru înghețată în formă de con circular drept a cărui secțiune axială este triunghiul \(AVB\) cu \(AB=10\) cm și \(VA=VB=13\) cm. c) În cornet se pune înghețată. Știind că 700 de grame de înghețată au un volum de 1000 ml, arătați că în interiorul cornetului avem mai puțin de 221 de grame de înghețată. Se consideră cunoscut faptul că \(3{,}14<\pi<3{,}15\).

Metoda: Volumul conului și proporționalitate

1. 1

   Aflăm volumul conului

   V=\frac{\pi\cdot R^2\cdot h}{3}=\frac{\pi\cdot 5^2\cdot 12}{3}=100\pi\ \text{cm}^3

   Cornetul este un con circular drept. Secțiunea axială este triunghiul \(AVB\) cu \(AB=10\) cm, deci diametrul bazei este 10 cm și raza este \(R=AO=5\) cm. Înălțimea este \(VO=12\) cm (aflată la punctul a). Folosim formula volumului conului: \(V=\frac{\pi R^2 h}{3}\). Avem \(25\cdot 12=300\), iar \(300:3=100\). Deci \(V=100\pi\ \text{cm}^3\). Cum \(1\ \text{cm}^3=1\ \text{ml}\), volumul este \(100\pi\) ml.

2. 2

   Transformăm volumul în grame

   m=\frac{700\cdot 100\pi}{1000}=70\pi\ \text{grame}

   Știm că 1000 ml de înghețată au 700 g. Aplicăm regula de trei simplă: dacă 1000 ml au 700 g, atunci \(100\pi\) ml au \(\frac{700\cdot 100\pi}{1000}\) g. Simplificăm: \(\frac{70000\pi}{1000}=70\pi\). Deci masa înghețatei este \(70\pi\) grame.

3. 3

   Comparăm cu 221

   \pi<3{,}15\Rightarrow 70\pi<70\cdot 3{,}15=220{,}5<221

   Știm că \(\pi<3{,}15\). Înmulțind ambele părți ale inegalității cu 70 (număr pozitiv), sensul inegalității se păstrează: \(70\pi<70\cdot 3{,}15\). Calculăm \(70\cdot 3{,}15=220{,}5\). Cum \(220{,}5<221\), obținem \(70\pi<221\). Deci în cornet avem mai puțin de 221 de grame de înghețată.

Răspuns: Volumul conului este \(100\pi\) ml, masa înghețatei este \(70\pi\) g, iar \(70\pi<70\cdot 3{,}15=220{,}5<221\). Deci în cornet avem mai puțin de 221 de grame de înghețată.