Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2017, model de subiect

Rezultatul calculului \(10+(3+7):10\) este egal cu … .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Calculăm paranteza

   3+7=10

   Ordinea operațiilor spune că parantezele rotunde se calculează primele. De aceea începem cu \(3+7\), care este egal cu \(10\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   10:10=1

   După paranteză, expresia devine \(10+10:10\). Împărțirea are prioritate față de adunare, deci o facem înaintea adunării: \(10:10=1\).

3. 3

   Efectuăm adunarea

   10+1=11

   Ultima operație rămasă este adunarea: \(10+1=11\). Acesta este rezultatul calculului, la fel ca în barem.

Răspuns: 11

Șase caiete de același fel costă în total 18 lei. Trei dintre aceste caiete costă în total … lei.

Metoda: Reducerea la unitate

1. 1

   Aflăm prețul unui caiet

   18 : 6 = 3

   Caietele sunt toate la fel, deci au același preț. Dacă 6 caiete costă 18 lei, prețul unui caiet se află împărțind 18 la 6. Aceasta este metoda reducerii la unitate: mai întâi aflăm cât costă o singură bucată.

2. 2

   Aflăm prețul a 3 caiete

   3 \cdot 3 = 9

   Un caiet costă 3 lei. Pentru 3 caiete înmulțim prețul unui caiet cu 3, pentru că plătim de 3 ori prețul unuia.

3. 3

   Verificare

   6 \cdot 3 = 18

   Verificăm: dacă un caiet costă 3 lei, atunci 6 caiete costă 18 lei, exact cât ne-a dat problema. Observăm și că 3 caiete sunt jumătate din 6 caiete, deci costă jumătate din 18, adică 9 lei.

Răspuns: Trei caiete costă 9 lei.

Cel mai mare număr natural de două cifre este egal cu … .

Metoda: Numere naturale de două cifre

1. 1

   Ce înseamnă număr de două cifre?

   10,\ 11,\ 12,\ \dots,\ 99

   Un număr natural de două cifre are exact două cifre: cifra zecilor și cifra unităților. Primul astfel de număr este \(10\), iar după \(99\) urmează \(100\), care are trei cifre. Deci numerele de două cifre merg de la \(10\) la \(99\).

2. 2

   Alegem cele mai mari cifre

   \overline{ab}\ \text{este maxim când}\ a=9,\ b=9

   Pentru ca un număr de două cifre să fie cât mai mare, trebuie să punem cea mai mare cifră pe locul zecilor, pentru că acolo contează cel mai mult, și cea mai mare cifră pe locul unităților. Cea mai mare cifră este \(9\). Rezultă numărul \(99\).

3. 3

   Verificăm că 99 este maximul

   99+1=100

   Dacă adăugăm \(1\) la \(99\), obținem \(100\), care are trei cifre și deci nu mai este număr de două cifre. Așadar nu există un număr de două cifre mai mare decât \(99\).

Răspuns: Cel mai mare număr natural de două cifre este 99.

În triunghiul echilateral \(ABC\), măsura unghiului \(ABC\) este egală cu … °.

Metoda: Proprietățile triunghiului echilateral

1. 1

   Ce înseamnă triunghi echilateral

   AB=BC=CA

   Un triunghi echilateral are toate cele trei laturi egale. Din această proprietate rezultă că și unghiurile lui sunt egale între ele: într-un triunghi echilateral \(\angle A=\angle B=\angle C\). Asta ne ajută, pentru că putem nota fiecare unghi cu aceeași măsură.

2. 2

   Suma unghiurilor unui triunghi

   \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ

   În orice triunghi, suma măsurilor celor trei unghiuri este \(180^\circ\). O știm din clasa a VI-a. Cum în triunghiul nostru toate unghiurile sunt egale, cele \(180^\circ\) se împart în trei părți egale.

3. 3

   Calculăm măsura unghiului ABC

   m(\angle ABC)=180^\circ:3=60^\circ

   Cele trei unghiuri sunt egale și au suma \(180^\circ\). Deci fiecare măsoară \(180^\circ:3=60^\circ\). Unghiul \(ABC\) este unul dintre ele, deci are \(60^\circ\).

Răspuns: Măsura unghiului \(ABC\) este \(60^\circ\), deci se completează cu 60.

În Figura 1 este reprezentat un tetraedru regulat \(ABCD\), cu \(BC = 5\) cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului \(ABCD\) este egală cu … cm.

Metoda: Muchiile tetraedrului regulat

1. 1

   Câte muchii are tetraedrul și cum sunt ele

   \text{tetraedru regulat} \Rightarrow 6 \text{ muchii egale}

   Tetraedrul \(ABCD\) are 4 fețe triunghiulare. Muchiile sunt: \(AB, AC, AD, BC, BD, CD\), deci 6 muchii. Fiind regulat, toate fețele sunt triunghiuri echilaterale, deci toate muchiile au aceeași lungime. Din enunț, \(BC = 5\) cm, deci fiecare muchie are 5 cm.

2. 2

   Calculăm suma lungimilor muchiilor

   6 \cdot 5 = 30

   Cum avem 6 muchii, fiecare de 5 cm, suma lor se obține înmulțind numărul de muchii cu lungimea unei muchii: \(6 \cdot 5 = 30\) cm.

Răspuns: 30

În diagrama de mai jos este prezentată repartiția celor 30 de elevi ai unei clase a VIII-a, după opțiunile lor referitoare la continuarea studiilor. Conform diagramei, numărul elevilor din clasă care au optat pentru filiera teoretică este egal cu … . (Datele din diagramă: filiera teoretică 50%, filiera tehnologică 40%, filiera vocațională 10%.)

Metoda: Procent dintr-un număr

1. 1

   Citim din diagramă procentul pentru filiera teoretică

   50\%

   Din diagramă vedem că filiera teoretică are 50% din totalul elevilor. Întregul (100%) înseamnă toți cei 30 de elevi ai clasei. Verificăm și că procentele se adună corect: 50% + 40% + 10% = 100%, deci am citit bine diagrama.

2. 2

   Calculăm 50% din 30

   50\% \cdot 30 = \frac{50}{100}\cdot 30 = \frac{1}{2}\cdot 30 = 15

   Un procent dintr-un număr se află înmulțind numărul cu fracția \(\frac{p}{100}\). Aici \(50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}\), adică jumătate. Jumătate din 30 înseamnă 30 : 2 = 15. Deci 15 elevi au ales filiera teoretică.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   15 + 12 + 3 = 30

   Calculăm și celelalte filiere: 40% din 30 = 12 elevi (tehnologică) și 10% din 30 = 3 elevi (vocațională). Suma 15 + 12 + 3 trebuie să fie 30, adică toți elevii clasei. Se potrivește, deci rezultatul este corect.

Răspuns: 15

Desenați, pe foaia de examen, un cub \(ABCDA'B'C'D'\).

Metoda: Desenarea cubului în perspectivă

1. 1

   Desenăm fața din față (un pătrat)

   ABCD

   Cubul are 6 fețe, toate pătrate. Începem cu fața din față, pe care o desenăm ca pe un pătrat obișnuit, cu laturile drepte și egale. Alegem să o desenăm din linii pline, pentru că este vizibilă. Notăm vârfurile \(A, B, C, D\) în sensul acelor de ceasornic sau invers, ca să fie în ordine.

2. 2

   Desenăm fața din spate, deplasată în sus și spre dreapta

   A'B'C'D'

   Desenăm un al doilea pătrat, egal cu primul, deplasat puțin în sus și spre dreapta. El reprezintă fața din spate. Pătratul trebuie să aibă aceeași mărime, pentru că toate muchiile cubului sunt egale. Notăm vârfurile \(A', B', C', D'\), astfel încât \(A'\) să fie în spatele lui \(A\), \(B'\) în spatele lui \(B\) și tot așa.

3. 3

   Unim vârfurile și marcăm muchiile ascunse

   AA',\ BB',\ CC',\ DD'

   Unim fiecare vârf din față cu vârful corespunzător din spate: \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\). Acestea sunt muchiile laterale, toate paralele și egale. Muchiile pe care nu le-am vedea într-un cub din material opac (cele care pornesc din vârful din spate-stânga-jos, adică \(A'B'\), \(A'D'\) și \(AA'\) în funcție de poziție) se desenează punctat. Așa desenul arată ca un corp în spațiu. Cubul are 12 muchii, 8 vârfuri și 6 fețe.

4. 4

   Notăm cubul și verificăm desenul

   ABCDA'B'C'D'

   La final scriem numele cubului, \(ABCDA'B'C'D'\), cu toate cele 8 vârfuri notate corect (acest lucru valorează 1 punct). Verificăm: avem două pătrate egale, patru muchii care le unesc, muchiile ascunse punctate și toate literele puse. Dacă toate acestea sunt făcute, desenul este complet.

Răspuns: Desenul corect: două pătrate egale (față și spate), unite prin patru muchii paralele, muchiile ascunse punctate, vârfurile notate \(A, B, C, D, A', B', C', D'\). Baremul acordă 4p pentru desen și 1p pentru notarea cubului.

Calculați media geometrică a numerelor \(a = 3^{100} : 3^{98}\) și \(b = 3 \cdot 2 - 2\).

Metoda: Media geometrică a două numere

1. 1

   Calculăm numărul a

   a = 3^{100} : 3^{98} = 3^{100-98} = 3^2 = 9

   Când împărțim două puteri cu aceeași bază, păstrăm baza și scădem exponenții: \(a^m : a^n = a^{m-n}\). Așa nu trebuie să calculăm numere uriașe precum \(3^{100}\).

2. 2

   Calculăm numărul b

   b = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4

   Respectăm ordinea operațiilor: întâi înmulțirea, apoi scăderea. Deci \(3 \cdot 2 = 6\), iar \(6 - 2 = 4\).

3. 3

   Aplicăm formula mediei geometrice

   m_g = \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{3^2 \cdot 2^2} = 3 \cdot 2 = 6

   Media geometrică a două numere pozitive a și b este \(\sqrt{a \cdot b}\). Avem \(a = 9\) și \(b = 4\), iar produsul lor este 36, care este pătratul lui 6. Baremul scrie \(\sqrt{3^2 \cdot 4} = 6\), același rezultat.

Răspuns: Media geometrică a numerelor a și b este 6.

Numerele \(x\) și \(y\) sunt direct proporționale cu numerele 5 și 4. Determinați numerele \(x\) și \(y\), știind că suma lor este egală cu 54.

Metoda: Șir de rapoarte egale

1. 1

   Scriem șirul de rapoarte egale

   \frac{x}{5}=\frac{y}{4}

   Faptul că \(x\) și \(y\) sunt direct proporționale cu 5 și 4 înseamnă că rapoartele \(\frac{x}{5}\) și \(\frac{y}{4}\) sunt egale. Așa traducem textul problemei în matematică.

2. 2

   Folosim proprietatea șirului de rapoarte egale

   \frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{x+y}{5+4}=\frac{54}{9}=6

   Într-un șir de rapoarte egale, raportul sumei numărătorilor la suma numitorilor este egal cu fiecare raport. Cunoaștem \(x+y=54\) și \(5+4=9\), deci valoarea comună este \(54:9=6\).

3. 3

   Aflăm numerele x și y

   \frac{x}{5}=6\Rightarrow x=30,\quad \frac{y}{4}=6\Rightarrow y=24

   Raportul comun este 6, deci \(x=5\cdot 6=30\) și \(y=4\cdot 6=24\). Am înmulțit cu numitorul pentru a-l scoate pe fiecare număr.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   30+24=54,\quad \frac{30}{5}=\frac{24}{4}=6

   Verificăm că suma numerelor este 54 și că rapoartele sunt egale. Astfel știm sigur că rezultatul este corect.

Răspuns: \(x=30\) și \(y=24\)

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x - 4\). a) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Reprezentarea grafică a funcției liniare

1. 1

   Alegem un prim punct al graficului

   f(0)=2\cdot 0-4=-4 \Rightarrow N(0,-4)

   Graficul funcției este mulțimea punctelor de forma \((x, f(x))\). Alegem \(x=0\), pentru că este ușor de calculat: înlocuim în formulă și obținem \(f(0)=-4\). Deci punctul \(N(0,-4)\) aparține graficului; el se află pe axa \(Oy\).

2. 2

   Alegem un al doilea punct al graficului

   f(2)=2\cdot 2-4=0 \Rightarrow M(2,0)

   Ne trebuie un al doilea punct, diferit de primul, ca să putem trasa dreapta. Alegem \(x=2\) și obținem \(f(2)=0\). Punctul \(M(2,0)\) se află pe axa \(Ox\). Rezolvarea din barem folosește chiar aceste puncte, dar orice alte două puncte corecte sunt acceptate.

3. 3

   Reprezentăm punctele în sistemul de axe

   N(0,-4),\quad M(2,0)

   Desenăm axele \(Ox\) (orizontală) și \(Oy\) (verticală), cu unitate de măsură aleasă. Punctul \(N(0,-4)\): rămânem în origine și coborâm 4 unități pe \(Oy\). Punctul \(M(2,0)\): ne deplasăm 2 unități la dreapta pe \(Ox\). Primul număr din pereche arată poziția pe orizontală, al doilea pe verticală.

4. 4

   Trasăm graficul funcției

   G_f = \text{dreapta } MN

   Cum \(f(x)=2x-4\) este o funcție de gradul întâi, graficul ei este o dreaptă. Unim punctele \(N\) și \(M\) cu o linie dreaptă folosind rigla și o prelungim în ambele sensuri, cu săgeți, deoarece funcția este definită pe \(\mathbb{R}\). Această dreaptă este graficul cerut.

Răspuns: Graficul funcției \(f(x)=2x-4\) este dreapta care trece prin punctele \(N(0,-4)\) și \(M(2,0)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-4\). b) În triunghiul determinat de graficul funcției \(f\) și axele sistemului de coordonate \(xOy\), calculați lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei.

Metoda: Intersecții cu axele, mediana ipotenuzei

1. 1

   Intersecția graficului cu axa Ox

   f(x)=0 \Rightarrow 2x-4=0 \Rightarrow x=2

   Un punct de pe axa Ox are ordonata 0. Punem deci \(f(x)=0\) și aflăm \(x\). Se obține punctul \(M(2,0)\), deci \(OM=2\).

2. 2

   Intersecția graficului cu axa Oy

   f(0)=2\cdot 0-4=-4

   Un punct de pe axa Oy are abscisa 0. Calculăm \(f(0)\) și obținem punctul \(N(0,-4)\). Lungimea \(ON\) este distanța de la origine la acest punct, adică \(4\).

3. 3

   Triunghiul MON și ipotenuza MN

   MN^2=OM^2+ON^2=2^2+4^2=20 \Rightarrow MN=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

   Axele sunt perpendiculare, deci triunghiul \(MON\) este dreptunghic în \(O\), cu ipotenuza \(MN\). Aplicăm teorema lui Pitagora ca să aflăm \(MN\).

4. 4

   Mediana corespunzătoare ipotenuzei

   OP=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}

   Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză. Împărțim deci \(2\sqrt{5}\) la 2.

Răspuns: Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este \(\sqrt{5}\).

Se consideră expresia \(E(x)=\dfrac{(x-2)^2-2(x-2)+1}{x^2-9}\cdot\dfrac{x+3}{x-3}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -3\) și \(x\neq 3\). Arătați că \(E(x)=1\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -3\) și \(x\neq 3\).

Metoda: Formule de calcul prescurtat

1. 1

   Descompunem numărătorul

   (x-2)^2-2(x-2)+1=\big((x-2)-1\big)^2=(x-3)^2

   Numărătorul are forma \(a^2-2ab+b^2\) cu \(a=x-2\) și \(b=1\). Aceasta este formula \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Deci expresia este \((a-b)^2=(x-2-1)^2=(x-3)^2\). Recunoaștem formula pentru că primul termen e pătrat, ultimul e pătrat (\(1=1^2\)), iar la mijloc avem dublul produsului cu semnul minus.

2. 2

   Descompunem numitorul

   x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3)

   Folosim formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) cu \(a=x\) și \(b=3\), pentru că \(9=3^2\). Descompunerea ne ajută să simplificăm mai târziu cu factorii \(x-3\) și \(x+3\).

3. 3

   Înlocuim și simplificăm

   E(x)=\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{x+3}{x-3}=\frac{(x-3)(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)(x-3)}=1

   Punem descompunerile în expresie și înmulțim fracțiile. Numărătorul este \((x-3)(x-3)(x+3)\), iar numitorul este \((x-3)(x+3)(x-3)\). Sunt aceiași factori, deci se simplifică. Putem simplifica pentru că \(x\neq 3\) și \(x\neq -3\), deci factorii \(x-3\) și \(x+3\) nu sunt zero. Rezultă \(E(x)=1\) pentru orice \(x\) real, \(x\neq\pm3\).

Răspuns: \(E(x)=1\) pentru orice \(x\) real, \(x\neq -3\) și \(x\neq 3\).

Figura 2 este schița unui teren în formă de trapez dreptunghic \(ABCD\), cu \(AB \parallel CD\), \(AD \perp AB\), \(AB = 100\) m, \(CD = 60\) m și \(AD = 40\sqrt{3}\) m. Segmentul \(CE\), unde \(E \in (AB)\), împarte suprafața trapezului \(ABCD\) în două suprafețe cu arii egale. a) Arătați că aria trapezului \(ABCD\) este egală cu \(3200\sqrt{3}\) m².

Metoda: Aria trapezului

1. 1

   Scriem formula ariei trapezului

   \mathcal{A}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}

   Aria unui trapez este semisuma bazelor înmulțită cu înălțimea. Bazele sunt laturile paralele, \(AB\) și \(CD\). Pentru că trapezul este dreptunghic, latura \(AD\) este perpendiculară pe \(AB\), deci \(AD\) este chiar înălțimea trapezului.

2. 2

   Înlocuim datele și calculăm

   \mathcal{A}_{ABCD}=\frac{(100+60)\cdot 40\sqrt{3}}{2}=\frac{160\cdot 40\sqrt{3}}{2}=80\cdot 40\sqrt{3}=3200\sqrt{3}\ \text{m}^2

   Înlocuim \(AB=100\), \(CD=60\), \(AD=40\sqrt{3}\). Mai întâi adunăm bazele: \(100+60=160\). Apoi \(160:2=80\). În final \(80\cdot 40=3200\), iar radicalul \(\sqrt{3}\) rămâne ca factor. Obținem exact valoarea cerută, deci am arătat egalitatea.

Răspuns: Aria trapezului este \(\mathcal{A}_{ABCD}=3200\sqrt{3}\) m².

Figura 2 este schița unui teren în formă de trapez dreptunghic \(ABCD\), cu \(AB \parallel CD\), \(AD \perp AB\), \(AB = 100\) m, \(CD = 60\) m și \(AD = 40\sqrt{3}\) m. Segmentul \(CE\), unde \(E \in (AB)\), împarte suprafața trapezului \(ABCD\) în două suprafețe cu arii egale. b) Calculați măsura unghiului \(BCD\).

Metoda: Triunghi dreptunghic cu cateta de 30°

1. 1

   Construim înălțimea CM

   CM \perp AB,\ M \in (AB) \Rightarrow CM = AD = 40\sqrt{3}\ \text{m}

   Ducem din \(C\) perpendiculara \(CM\) pe \(AB\), cu \(M\) pe segmentul \(AB\). Deoarece \(AD \perp AB\) și \(CM \perp AB\), avem \(AD \parallel CM\). Și cum \(AB \parallel CD\), patrulaterul \(AMCD\) are laturile opuse paralele și un unghi drept, deci este dreptunghi. Într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale, deci \(CM = AD = 40\sqrt{3}\) m. De asemenea \(AM = CD = 60\) m.

2. 2

   Calculăm MB

   MB = AB - AM = 100 - 60 = 40\ \text{m}

   Punctul \(M\) se află pe \(AB\), între \(A\) și \(B\). Deci \(MB\) este restul lui \(AB\) după ce scoatem \(AM = 60\) m.

3. 3

   Aflăm BC și unghiul BCM

   BC^2 = CM^2 + MB^2 \Rightarrow BC = 80\ \text{m},\quad MB = \frac{BC}{2} \Rightarrow m(\angle BCM) = 30^\circ

   Triunghiul \(BCM\) este dreptunghic în \(M\), cu catetele \(CM = 40\sqrt{3}\) și \(MB = 40\). Din teorema lui Pitagora: \(BC^2 = (40\sqrt{3})^2 + 40^2 = 4800 + 1600 = 6400\), deci \(BC = 80\) m. Observăm că \(MB = 40\) este jumătate din ipotenuza \(BC = 80\). Reciproca teoremei cateta opusă unghiului de 30° spune că unghiul opus catetei \(MB\) este de \(30^\circ\). Unghiul opus lui \(MB\) este \(\angle BCM\), deci \(m(\angle BCM) = 30^\circ\).

4. 4

   Calculăm unghiul BCD

   m(\angle BCD) = m(\angle BCM) + m(\angle MCD) = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ

   Semidreapta \(CM\) se află în interiorul unghiului \(BCD\), deci unghiul \(BCD\) se împarte în \(\angle BCM\) și \(\angle MCD\). Unghiul \(MCD\) este unghi al dreptunghiului \(AMCD\), deci are \(90^\circ\). Adunăm: \(30^\circ + 90^\circ = 120^\circ\).

Răspuns: \(m(\angle BCD) = 120^\circ\)

Subiectul III, 1. c): Figura 2 este schița unui teren în formă de trapez dreptunghic \(ABCD\), cu \(AB \parallel CD\), \(AD \perp AB\), \(AB = 100\) m, \(CD = 60\) m și \(AD = 40\sqrt{3}\) m. Segmentul \(CE\), unde \(E \in (AB)\), împarte suprafața trapezului \(ABCD\) în două suprafețe cu arii egale. Demonstrați că triunghiul \(CEB\) este echilateral. (Din itemul b) știm că \(m(\angle BCD) = 120^\circ\) și că \(BC = 80\) m; din a), aria trapezului este \(3200\sqrt{3}\) m².)

Metoda: Arii și unghiuri în trapez

1. 1

   Aflăm măsura unghiului ABC

   m(\angle ABC) = 180^\circ - m(\angle BCD) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

   Într-un trapez, \(AB \parallel CD\), iar \(BC\) este secantă. Unghiurile \(ABC\) și \(BCD\) sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei, deci sunt suplementare (suma lor este \(180^\circ\)). Știm de la b) că \(\angle BCD = 120^\circ\).

2. 2

   Folosim egalitatea ariilor

   \mathcal{A}_{\triangle CEB} = \frac{1}{2}\mathcal{A}_{ABCD}

   Segmentul \(CE\) împarte trapezul în două suprafețe cu arii egale. Una dintre ele este triunghiul \(CEB\), deci aria lui este jumătate din aria trapezului.

3. 3

   Calculăm latura EB

   \frac{EB \cdot 40\sqrt{3}}{2} = 1600\sqrt{3} \Rightarrow EB \cdot 20\sqrt{3} = 1600\sqrt{3} \Rightarrow EB = 80 \text{ m}

   Triunghiul \(CEB\) are baza \(EB\) pe dreapta \(AB\), iar înălțimea din \(C\) pe \(AB\) este egală cu \(AD = 40\sqrt{3}\) m (distanța dintre paralelele \(AB\) și \(CD\)). Scriem aria ca bază înmulțită cu înălțimea, împărțit la 2, și o egalăm cu \(1600\sqrt{3}\).

4. 4

   Concluzia: triunghiul CEB este echilateral

   EB = BC = 80 \text{ m},\ m(\angle EBC) = 60^\circ \Rightarrow \triangle CEB \text{ echilateral}

   Din itemul b) avem \(BC = 80\) m, iar acum \(EB = 80\) m. Deci triunghiul \(CEB\) este isoscel, cu unghiul de la vârf \(\angle EBC = \angle ABC = 60^\circ\) (punctul \(E\) este pe \(AB\)). Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale, deci fiecare are \((180^\circ - 60^\circ):2 = 60^\circ\). Toate unghiurile sunt de \(60^\circ\), deci triunghiul este echilateral.

Răspuns: Am obținut \(EB = BC = 80\) m și \(m(\angle EBC) = 60^\circ\), deci triunghiul \(CEB\) este echilateral.

Subiectul al III-lea, problema 2, punctul a): În figură este reprezentat un con circular drept, cu secțiunea axială \(VAB\), raza bazei \(OA = 3\) cm și înălțimea \(VO = 4\) cm. Arătați că aria bazei conului este egală cu \(9\pi\ \text{cm}^2\).

Metoda: Aria discului (baza conului)

1. 1

   Scriem formula ariei bazei

   \mathcal{A}_{\text{bazei}} = \pi \cdot OA^2

   Baza conului este un disc cu centrul în \(O\) și raza \(OA\). Aria unui disc de rază \(r\) este \(\pi \cdot r^2\). Aici \(r = OA\), deci scriem formula cu \(OA\). Înălțimea \(VO = 4\) cm nu ne trebuie pentru aria bazei.

2. 2

   Înlocuim raza și calculăm

   \mathcal{A}_{\text{bazei}} = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\ \text{cm}^2

   Din enunț \(OA = 3\) cm. Înlocuim în formulă: \(\pi \cdot 3^2\). Calculăm pătratul: \(3^2 = 3 \cdot 3 = 9\). Obținem \(9\pi\ \text{cm}^2\), exact ce trebuia arătat. Unitatea de măsură este cm pătrați, pentru că este o arie.

Răspuns: Aria bazei conului este \(\mathcal{A}_{\text{bazei}} = 9\pi\ \text{cm}^2\).

Subiectul al III-lea, 2. b): În Figura 3 este reprezentat un con circular drept, cu secțiunea axială \(VAB\), raza bazei \(OA = 3\) cm și înălțimea \(VO = 4\) cm. Calculați aria laterală a conului.

Metoda: Aria laterală a conului

1. 1

   Aflăm generatoarea \(VA\)

   VA=\sqrt{OA^2+VO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5

   Înălțimea \(VO\) este perpendiculară pe baza conului, deci triunghiul \(VOA\) este dreptunghic în \(O\). Catetele sunt \(OA = 3\) cm și \(VO = 4\) cm, iar ipotenuza este generatoarea \(VA\). Aplicăm teorema lui Pitagora: \(VA^2 = OA^2 + VO^2\). Deci \(VA = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\) cm. Avem nevoie de generatoare pentru că formula ariei laterale o folosește.

2. 2

   Aplicăm formula ariei laterale

   A_{lat}=\pi\cdot r\cdot g=\pi\cdot 3\cdot 5=15\pi

   Aria laterală a unui con circular drept este \(A_{lat} = \pi \cdot r \cdot g\), unde \(r\) este raza bazei, iar \(g\) este generatoarea. Avem \(r = OA = 3\) cm și \(g = VA = 5\) cm. Înlocuim: \(A_{lat} = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi\) cm². Rezultatul este același cu cel din barem.

Răspuns: Aria laterală a conului este \(15\pi\) cm².

Subiectul III, 2. c): Într-un con circular drept cu secțiunea axială \(VAB\), raza bazei \(OA = 3\) cm și înălțimea \(VO = 4\) cm, pe cercul de centru \(O\) și rază \(OA\) se consideră un punct \(C\), astfel încât \(m(\angle BOC) = 90^\circ\). Demonstrați că distanța de la punctul \(O\) la planul \((VBC)\) este egală cu \(\frac{12\sqrt{41}}{41}\) cm.

Metoda: Teorema celor trei perpendiculare

1. 1

   Construim perpendiculara din O pe planul (VBC)

   ON \perp (VBC),\ N \in (VBC)

   Distanța de la O la planul (VBC) este lungimea segmentului ON, unde N este piciorul perpendicularei din O pe plan. Deci ON ⊥ (VBC), iar dacă N este în plan și BC este o dreaptă din plan, atunci ON ⊥ BC.

2. 2

   Arătăm că BC ⊥ (VON) și găsim punctul M

   BC \perp VO,\ BC \perp ON \Rightarrow BC \perp (VON),\ BC \perp VN

   VO este înălțimea conului, deci VO ⊥ planul bazei, deci VO ⊥ BC. Am văzut și că BC ⊥ ON. Drepte ON și VO sunt concurente în O și ambele sunt perpendiculare pe BC, deci BC ⊥ (VON). Atunci BC ⊥ VN. Fie M intersecția dreptelor VN și BC. Triunghiul OBC este isoscel (OB = OC = 3, raze) și dreptunghic în O, iar VM, fiind perpendiculară pe BC, trece prin M, mijlocul lui BC: planul (VON) conține pe O și pe M, iar OM ⊥ BC, deoarece BC ⊥ (VON). Cum OM ⊥ BC în triunghiul isoscel OBC, OM este înălțime și mediană, deci M este mijlocul lui BC.

3. 3

   Calculăm OM și VM

   BC = 3\sqrt{2},\ OM = \frac{3\sqrt{2}}{2},\ VM = \sqrt{VO^2 + OM^2} = \frac{\sqrt{82}}{2}

   În triunghiul OBC, dreptunghic isoscel cu catetele 3, ipotenuza este BC = 3√2 (Pitagora). OM este mediana corespunzătoare ipotenuzei, deci OM = BC/2 = 3√2/2. Triunghiul VOM este dreptunghic în O (VO ⊥ planul bazei), deci VM² = VO² + OM² = 16 + 9/2 = 41/2, adică VM = √(41/2) = √82/2.

4. 4

   Calculăm ON ca înălțime în triunghiul VOM

   ON = \frac{VO \cdot OM}{VM} = \frac{4 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{82}}{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{82}} = \frac{12}{\sqrt{41}} = \frac{12\sqrt{41}}{41}

   ON este înălțimea din O pe ipotenuza VM în triunghiul VOM dreptunghic în O. Din aria triunghiului (catetă × catetă = ipotenuză × înălțime) obținem ON = VO·OM / VM. Înlocuim: 4·(3√2/2) = 6√2, iar VM = √82/2, deci ON = 12√2/√82 = 12/√41. Raționalizăm: 12√41/41 cm, exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Distanța de la O la planul (VBC) este ON = 12√41/41 cm.