Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2018, sesiunea iunie–iulie (rezervă) (varianta 04)

Rezultatul calculului \(12-12:2\) este egal cu ….

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Alegem ce operație facem prima

   12-12:2

   În exercițiu avem o scădere și o împărțire, fără paranteze. Regula spune că înmulțirea și împărțirea se fac înaintea adunării și scăderii. De aceea prima operație este împărțirea \(12:2\), nu scăderea \(12-12\).

2. 2

   Calculăm împărțirea

   12:2=6

   Înlocuim \(12:2\) cu rezultatul său. Doisprezece împărțit la doi dă șase, pentru că \(2\cdot 6=12\). Expresia devine \(12-6\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   12-6=6

   Acum a rămas doar scăderea. Din 12 scădem 6 și obținem 6. Așadar rezultatul calculului este 6.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   12-12:2=12-6=6

   Dacă am fi scăzut întâi \(12-12=0\), am fi obținut \(0:2=0\), ceea ce este greșit, pentru că am încălcat ordinea operațiilor. Rezultatul corect este 6, la fel ca în barem.

Răspuns: 6

Patru manuale de același fel costă 40 de lei. Două dintre acestea costă … lei.

Metoda: Metoda reducerii la unitate

1. 1

   Aflăm prețul unui manual

   40 : 4 = 10

   Patru manuale de același fel costă împreună 40 de lei. Toate au același preț, deci împărțim suma la numărul de manuale: \(40 : 4 = 10\). Un manual costă 10 lei.

2. 2

   Aflăm prețul a două manuale

   2 \cdot 10 = 20

   Acum că știm prețul unui manual, aflăm prețul a două manuale înmulțind prețul unui manual cu 2: \(2 \cdot 10 = 20\) lei.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   2 \cdot 20 = 40

   Două manuale costă 20 de lei, deci alte două costă tot 20 de lei. Împreună, patru manuale costă \(20 + 20 = 40\) lei, exact ca în enunț. Rezultatul este corect. Observă și o scurtătură: 2 manuale sunt jumătate din 4 manuale, deci costă jumătate din 40.

Răspuns: Două manuale costă 20 de lei.

Scrisă sub formă de interval, mulțimea \(A=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\le x\le 4\}\) este egală cu ….

Metoda: Scrierea mulțimii ca interval

1. 1

   Citim ce spune mulțimea

   A=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\le x\le 4\}

   Mulțimea A conține toate numerele reale x care sunt în același timp mai mari sau egale cu \(-3\) și mai mici sau egale cu \(4\). Trebuie să vedem care sunt capetele și dacă ele aparțin mulțimii.

2. 2

   Alegem tipul de interval

   -3\le x\le 4 \Rightarrow x\in[-3,4]

   Când ambele capete aparțin mulțimii (semnele sunt \(\le\)), intervalul este închis la ambele capete și se scrie cu paranteze drepte. Dacă un capăt nu ar aparține (semnul \(<\)), am folosi paranteză rotundă în dreptul lui.

3. 3

   Răspunsul și verificarea

   A=[-3,4]

   Verificăm: capetele \(-3\) și \(4\) sunt incluse, deci parantezele sunt drepte. Pe axa numerelor, intervalul este segmentul cu capetele pline în \(-3\) și \(4\). Rezultatul coincide cu cel din barem.

Răspuns: \(A=[-3,4]\)

Un cerc are lungimea de \(6\pi\) cm. Raza acestui cerc este egală cu … cm.

Metoda: Formula lungimii cercului

1. 1

   Scriem formula lungimii cercului

   L = 2\pi r

   Lungimea unui cerc de rază \(r\) se calculează cu formula \(L = 2\pi r\). O scriem primul pas, pentru că ea leagă datele problemei (lungimea) de ceea ce căutăm (raza).

2. 2

   Înlocuim lungimea dată

   2\pi r = 6\pi

   Problema spune că lungimea cercului este \(6\pi\) cm. Punem această valoare în formulă și obținem o egalitate în care apare doar raza \(r\).

3. 3

   Aflăm raza

   r = \frac{6\pi}{2\pi} = 3

   Împărțim ambele părți ale egalității la \(2\pi\), ca să rămână \(r\) singur. Factorul \(\pi\) se simplifică, iar \(6 : 2 = 3\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   2\pi \cdot 3 = 6\pi

   Punem \(r = 3\) înapoi în formulă: \(2 \cdot 3 = 6\), deci lungimea este \(6\pi\) cm, exact cât spune problema. Rezultatul este corect.

Răspuns: Raza cercului este 3 cm.

În Figura 1 este reprezentat un cub \(ABCDEFGH\) cu \(AB = 4\) cm. Distanța dintre planul \((ABC)\) și planul \((EFH)\) este egală cu … cm.

Metoda: Distanța dintre două plane paralele

1. 1

   Identificăm cele două plane în cub

   (ABC)=(ABCD),\quad (EFH)=(EFGH)

   Planul \((ABC)\) conține punctele \(A, B, C\), deci conține toată fața de jos \(ABCD\) a cubului. Planul \((EFH)\) conține punctele \(E, F, H\), deci conține toată fața de sus \(EFGH\). Așadar cele două plane sunt planele a două fețe opuse ale cubului.

2. 2

   Observăm că planele sunt paralele

   (ABC)\parallel(EFH)

   Fețele opuse ale unui cub sunt în plane paralele. Distanța dintre două plane paralele este lungimea unui segment perpendicular pe ambele plane, adică lungimea segmentului care le unește pe drumul cel mai scurt.

3. 3

   Găsim segmentul perpendicular pe ambele plane

   AE\perp(ABC),\quad AE\perp(EFH)\ \Rightarrow\ d((ABC),(EFH))=AE

   Muchia \(AE\) este perpendiculară pe fața de jos și pe cea de sus, pentru că într-un cub muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze. Ea unește punctul \(A\) din planul \((ABC)\) cu punctul \(E\) din planul \((EFH)\). Deci distanța dintre plane este lungimea muchiei \(AE\), adică a muchiei cubului.

4. 4

   Răspunsul

   d((ABC),(EFH))=AE=AB=4\text{ cm}

   Toate muchiile cubului sunt egale, deci \(AE = AB = 4\) cm. Distanța dintre cele două plane este 4 cm, la fel ca în baremul oficial.

Răspuns: 4

În diagrama de mai jos sunt prezentate, în procente, rezultatele obținute la aplicarea unui chestionar. La chestionar au răspuns 2000 de persoane. Conform diagramei, numărul de persoane care au ales la chestionar răspunsul „Da” este egal cu …. (Date din diagramă: Da – 25%, Nu – 20%, Nu știu – 10%, Poate – 45%.)

Metoda: Procent dintr-un număr

1. 1

   Citim procentul pentru „Da”

   25\% = \frac{25}{100}

   Din diagramă vedem că sectorul „Da” are scris 25%. Un procent înseamnă „din o sută”, deci \(25\%\) înseamnă \(\frac{25}{100}\). Transformăm procentul în fracție pentru a putea calcula partea din 2000.

2. 2

   Simplificăm fracția

   \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

   Simplificăm fracția prin 25, pentru că 25 este divizor comun al lui 25 și 100. Obținem \(\frac{1}{4}\), adică un sfert, și calculul devine mai ușor.

3. 3

   Calculăm numărul de persoane

   \frac{25}{100}\cdot 2000 = 2000 : 4 = 500

   Aflăm 25% din 2000, adică luăm un sfert din 2000. Împărțim 2000 la 4 și obținem 500. Deci 500 de persoane au ales răspunsul „Da”.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   25\% + 20\% + 10\% + 45\% = 100\%

   Verificăm că procentele din diagramă dau împreună 100%, deci am citit corect datele. Apoi, 500 este mai mic decât 2000 și reprezintă un sfert din el, deci rezultatul este rezonabil.

Răspuns: 500

Desenați, pe foaia de examen, o prismă dreaptă \(ABCA'B'C'\) cu baza triunghi echilateral.

Metoda: Desenarea prismei drepte

1. 1

   Desenăm baza \(ABC\)

   \triangle ABC \text{ echilateral}

   Începem cu baza de jos. Baza este un triunghi echilateral, adică are toate laturile egale. Pe o foaie, triunghiul se vede din perspectivă, așa că îl desenăm ca un triunghi oarecare, cu o latură orizontală (de exemplu \(AB\)) și vârful \(C\) puțin mai sus și în dreapta. Latura din spate, care este ascunsă, se trasează punctat.

2. 2

   Ducem muchiile laterale, paralele și egale

   AA' \parallel BB' \parallel CC',\quad AA'=BB'=CC'

   Prisma este dreaptă, deci muchiile laterale sunt perpendiculare pe plan baza. În desen, le trasăm verticale, paralele între ele și de aceeași lungime. Din fiecare vârf \(A\), \(B\), \(C\) ducem în sus câte un segment și notăm capetele \(A'\), \(B'\), \(C'\).

3. 3

   Desenăm baza de sus \(A'B'C'\)

   \triangle A'B'C' \equiv \triangle ABC

   Unim punctele \(A'\), \(B'\), \(C'\) și obținem baza de sus, un triunghi congruent cu cel de jos, cu laturile paralele cu cele de jos. Muchiile care ar fi ascunse (de exemplu \(AC\) și \(CC'\), dacă \(C\) este în spate) le facem punctat, iar cele vizibile cu linie continuă.

4. 4

   Notăm prisma

   ABCA'B'C'

   Ultimul punct din barem se acordă pentru notare. Scriem pe desen toate literele: \(A, B, C\) jos și \(A', B', C'\) sus, fiecare \(A'\) deasupra lui \(A\) etc. Așa se vede clar că prisma este \(ABCA'B'C'\).

Răspuns: Desenul trebuie să conțină două triunghiuri echilaterale congruente \(ABC\) și \(A'B'C'\), unite prin trei muchii laterale paralele, egale și perpendiculare pe baze, cu muchiile ascunse punctate și vârfurile notate (4p desen + 1p notare).

Produsul a două numere naturale este egal cu \(108\). Determinați suma celor două numere, știind că \(6\) este cel mai mare divizor comun al lor.

Metoda: Scrierea numerelor cu c.m.m.d.c.

1. 1

   Scriem cele două numere folosind c.m.m.d.c.

   m=6x,\quad n=6y,\quad (x,y)=1

   Notăm numerele cu \(m\) și \(n\). Fiind 6 cel mai mare divizor comun al lor, ambele se împart exact la 6, deci \(m=6x\) și \(n=6y\). După ce îl scoatem pe 6, numerele \(x\) și \(y\) rămase nu mai au niciun divizor comun în afară de 1, adică sunt prime între ele: \((x,y)=1\). Altfel, c.m.m.d.c. ar fi mai mare decât 6.

2. 2

   Folosim produsul numerelor

   mn=108 \Rightarrow 6x\cdot 6y=108 \Rightarrow 36xy=108 \Rightarrow xy=3

   Înlocuim în produsul dat: \(6x\cdot 6y=36xy\). Cum produsul este 108, aflăm \(xy\) împărțind \(108\) la \(36\). Obținem \(xy=3\).

3. 3

   Aflăm numerele \(x\) și \(y\)

   xy=3,\ (x,y)=1 \Rightarrow x=1,y=3 \ \text{sau}\ x=3,y=1

   Numerele naturale care înmulțite dau 3 sunt doar \(1\) și \(3\), într-o ordine sau alta. Ele sunt prime între ele, deci convin. Atunci numerele căutate sunt \(m=6\cdot 3=18\) și \(n=6\cdot 1=6\) (sau invers).

4. 4

   Calculăm suma și verificăm

   m+n=18+6=24

   Adunăm cele două numere. Verificăm și condițiile: produsul \(18\cdot 6=108\), iar cel mai mare divizor comun al lui 18 și 6 este 6. Ambele condiții sunt îndeplinite.

Răspuns: Suma celor două numere este 24 (numerele sunt 18 și 6).

Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi turistul a parcurs două cincimi din lungimea traseului, a doua zi jumătate din rest și încă \(2\) km, iar a treia zi turistul a parcurs \(7\) km. Determinați lungimea traseului parcurs în cele trei zile.

Metoda: Ecuație cu o necunoscută

1. 1

   Alegem necunoscuta

   x = \text{lungimea traseului (km)}

   Nu știm lungimea traseului, iar toate distanțele din problemă depind de ea. De aceea o notăm cu \(x\) și exprimăm celelalte distanțe cu ajutorul lui \(x\).

2. 2

   Distanța din prima zi

   \frac{2}{5}\cdot x

   În prima zi turistul parcurge două cincimi din traseu, deci \(\frac{2}{5}\) din \(x\). Fracția dintr-un număr se află prin înmulțire.

3. 3

   Distanța din a doua zi

   \frac{1}{2}\left(x-\frac{2}{5}\cdot x\right)+2

   Restul după prima zi este \(x-\frac{2}{5}x\). În a doua zi turistul parcurge jumătate din acest rest, deci \(\frac{1}{2}\) din el, și încă \(2\) km, pe care îi adunăm.

4. 4

   Scriem ecuația

   \frac{2}{5}x+\frac{1}{2}\left(x-\frac{2}{5}x\right)+2+7=x

   Cele trei zile împreună dau tot traseul \(x\). Adunăm distanțele din cele trei zile (a treia zi sunt \(7\) km) și le egalăm cu \(x\).

5. 5

   Rezolvăm ecuația

   \frac{2}{5}x+\frac{3}{10}x+9=x \Rightarrow \frac{7}{10}x+9=x \Rightarrow 9=\frac{3}{10}x \Rightarrow x=30

   Jumătate din \(\frac{3}{5}x\) este \(\frac{3}{10}x\). Adunăm \(\frac{2}{5}=\frac{4}{10}\) cu \(\frac{3}{10}\) și obținem \(\frac{7}{10}\). Termenii cu \(x\) îi ducem într-o parte: \(x-\frac{7}{10}x=\frac{3}{10}x\). Apoi \(9\) este \(\frac{3}{10}\) din \(x\), deci \(x=9:\frac{3}{10}=9\cdot\frac{10}{3}=30\).

6. 6

   Verificare

   12+(9+2)+7=30

   Verificăm pe \(x=30\) km. Prima zi: \(\frac{2}{5}\cdot 30=12\) km. Rest: \(18\) km. A doua zi: \(18:2+2=11\) km. A treia zi: \(7\) km. Total: \(12+11+7=30\) km, deci soluția este corectă.

Răspuns: Lungimea traseului este de \(30\) km.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x+2\). a) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Reprezentarea grafică a funcției liniare

1. 1

   Alegem primul punct al graficului

   f(0)=3\cdot 0+2=2

   Un punct al graficului are forma \((x, f(x))\). Alegem \(x=0\), pentru că înmulțirea cu 0 e ușor de făcut. Înlocuim \(x\) cu 0 în formula funcției: \(f(0)=3\cdot 0+2=2\). Deci punctul \(A(0,2)\) aparține graficului. El se află pe axa \(Oy\).

2. 2

   Alegem al doilea punct al graficului

   f(-1)=3\cdot(-1)+2=-1

   Mai avem nevoie de un punct diferit. Alegem \(x=-1\). Calculăm \(f(-1)=3\cdot(-1)+2=-3+2=-1\). Deci punctul \(B(-1,-1)\) aparține graficului. (Am putea alege și \(x=1\): \(f(1)=5\), punctul \((1,5)\).)

3. 3

   Reprezentăm punctele și trasăm graficul

   A(0,2),\; B(-1,-1)

   În sistemul de axe \(xOy\) marcăm punctul \(A(0,2)\): rămânem în origine pe axa \(Ox\) și urcăm 2 unități pe \(Oy\). Marcăm \(B(-1,-1)\): mergem 1 unitate la stânga și 1 în jos. Prin două puncte trece o singură dreaptă, deci unim A și B cu o riglă și prelungim dreapta în ambele sensuri, cu săgeți la capete, pentru că funcția este definită pe \(\mathbb{R}\). Graficul este dreapta \(AB\). Verificare: la fiecare creștere cu 1 a lui \(x\), \(y\) crește cu 3, de exemplu de la \(A(0,2)\) ajungem la \((1,5)\).

Răspuns: Graficul lui \(f(x)=3x+2\) este dreapta care trece prin punctele \(A(0,2)\) și \(B(-1,-1)\) (de exemplu și prin \((1,5)\)).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x+2\). b) În sistemul de coordonate \(xOy\), punctul \(C(a,b)\) este situat pe graficul funcției \(f\). Determinați numerele întregi \(a\) și \(b\), știind că distanța de la punctul \(C\) la axa \(Ox\) este egală cu 7.

Metoda: Punct pe graficul funcției

1. 1

   Punctul de pe grafic: legătura dintre a și b

   C(a,b)\in G_f \Rightarrow f(a)=b \Rightarrow b=3a+2

   Dacă un punct se află pe graficul funcției, coordonatele lui verifică formula funcției: ordonata b este valoarea funcției în abscisa a. Deci \(f(a)=b\), adică \(b=3a+2\).

2. 2

   Distanța de la C la axa Ox

   d(C,Ox)=|b|=7 \Rightarrow b=-7 \text{ sau } b=7

   Distanța de la un punct la axa Ox este valoarea absolută a ordonatei, adică \(|b|\). Din \(|b|=7\) rezultă două posibilități: \(b=7\) (punctul e deasupra axei) sau \(b=-7\) (sub axă).

3. 3

   Cazul b = −7

   3a+2=-7 \Rightarrow 3a=-9 \Rightarrow a=-3

   Înlocuim \(b=-7\) în \(b=3a+2\). Scădem 2 din ambii membri și obținem \(3a=-9\), apoi împărțim la 3: \(a=-3\). Este număr întreg, deci această soluție convine.

4. 4

   Cazul b = 7

   3a+2=7 \Rightarrow 3a=5 \Rightarrow a=\frac{5}{3}\notin\mathbb{Z}

   Înlocuim \(b=7\): \(3a=5\), deci \(a=\frac{5}{3}\). Problema cere \(a\) număr întreg, iar \(\frac{5}{3}\) nu este întreg, deci acest caz nu convine.

5. 5

   Concluzie

   a=-3,\ b=-7

   Singurul caz în care a și b sunt ambele întregi este \(b=-7\), \(a=-3\). Punctul este \(C(-3,-7)\).

Răspuns: a = −3 și b = −7, adică C(−3, −7).

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{7x+7}{x^2+3x+2}-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{x^2-4}\right):\frac{x-9}{x^2-4}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -2\), \(x\neq -1\), \(x\neq 2\) și \(x\neq 9\). Arătați că \(E(x)=2\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -2\), \(x\neq -1\), \(x\neq 2\) și \(x\neq 9\).

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   Descompunem numitorii în factori

   x^2+3x+2=(x+1)(x+2),\quad x^2-4=(x-2)(x+2)

   Ca să putem aduna fracțiile, trebuie să găsim un numitor comun. Pentru asta descompunem numitorii în factori. Pentru \(x^2-4\) folosim formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), iar pentru \(x^2+3x+2\) căutăm două numere cu suma 3 și produsul 2, adică 1 și 2. În plus, la numărătorul primei fracții scoatem factor comun: \(7x+7=7(x+1)\).

2. 2

   Simplificăm prima fracție și alegem numitorul comun

   \frac{7x+7}{x^2+3x+2}=\frac{7(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{7}{x+2}

   Prima fracție se poate simplifica prin \(x+1\), care este diferit de 0 deoarece \(x\neq -1\). Rămân fracțiile cu numitorii \(x+2\), \(x-2\) și \((x-2)(x+2)\). Numitorul comun este \((x-2)(x+2)\). (Baremul păstrează fracția nesimplificată, dar rezultatul este același.)

3. 3

   Aducem fracțiile din paranteză la numitor comun și le adunăm

   \frac{7(x-2)-5(x+2)+6}{(x-2)(x+2)}=\frac{7x-14-5x-10+6}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x-18}{(x-2)(x+2)}

   Amplificăm prima fracție cu \(x-2\) și a doua cu \(x+2\); a treia are deja numitorul comun. Apoi adunăm numărătorii, atenție la semnul minus din fața fracției \(\frac{5}{x-2}\). Reducem termenii asemenea: \(7x-5x=2x\) și \(-14-10+6=-18\).

4. 4

   Împărțim prin a doua fracție

   E(x)=\frac{2x-18}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{(x-2)(x+2)}{x-9}

   A împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei. Inversa lui \(\frac{x-9}{x^2-4}\) este \(\frac{x^2-4}{x-9}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-9}\).

5. 5

   Simplificăm și obținem rezultatul

   E(x)=\frac{2x-18}{x-9}=\frac{2(x-9)}{x-9}=2

   Simplificăm \((x-2)(x+2)\), care este nenul pentru \(x\neq 2\) și \(x\neq -2\). Apoi scoatem factor comun 2 la numărător: \(2x-18=2(x-9)\) și simplificăm prin \(x-9\neq 0\). Rămâne 2, pentru orice \(x\) din domeniu.

Răspuns: \(E(x)=2\) pentru orice \(x\) real, \(x\neq -2\), \(x\neq -1\), \(x\neq 2\), \(x\neq 9\).

Figura 2 este schița unui teren format din pătratul \(ABCD\) cu \(AB = 30\) m și din triunghiul echilateral \(ADE\). a) Arătați că perimetrul pătratului \(ABCD\) este egal cu \(120\) m.

Metoda: Perimetrul pătratului

1. 1

   Scriem formula perimetrului pătratului

   P_{ABCD} = 4 \cdot AB

   Perimetrul unui poligon este suma lungimilor tuturor laturilor sale. Pătratul \(ABCD\) are patru laturi egale: \(AB = BC = CD = DA\). Deci, în loc să adunăm de patru ori aceeași lungime, o înmulțim cu 4: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 4 \cdot AB\).

2. 2

   Înlocuim lungimea laturii și calculăm

   P_{ABCD} = 4 \cdot 30 = 120 \text{ m}

   Din enunț știm că \(AB = 30\) m. Înlocuim în formulă: \(P_{ABCD} = 4 \cdot 30 = 120\) m. Am obținut exact valoarea cerută, deci am arătat că perimetrul pătratului este \(120\) m. Triunghiul echilateral \(ADE\) nu intervine aici, pentru că nu ne interesează decât pătratul.

Răspuns: Perimetrul pătratului \(ABCD\) este \(P_{ABCD} = 4 \cdot AB = 4 \cdot 30 = 120\) m.

Figura 2 este schița unui teren format din pătratul \(ABCD\) cu \(AB = 30\) m și din triunghiul echilateral \(ADE\) (triunghiul este lipit de latura \(AD\), în exteriorul pătratului). b) Demonstrați că triunghiul \(EBC\) este isoscel.

Metoda: Congruența triunghiurilor (LUL)

1. 1

   Calculăm unghiurile \(BAE\) și \(CDE\)

   m(\angle BAE)=90^\circ+60^\circ=150^\circ,\quad m(\angle CDE)=90^\circ+60^\circ=150^\circ

   Unghiul \(BAE\) se obține din unghiul \(BAD\) al pătratului, care este drept (\(90^\circ\)), la care se adaugă unghiul \(DAE\) al triunghiului echilateral, care are \(60^\circ\). La fel, \(\angle CDE = \angle CDA + \angle ADE = 90^\circ + 60^\circ\). Deci cele două unghiuri sunt egale: \(\angle BAE \equiv \angle CDE\).

2. 2

   Găsim și celelalte perechi de laturi egale

   BA=CD,\quad AE=DE

   \(BA\) și \(CD\) sunt laturi ale aceluiași pătrat, deci \(BA = CD = 30\) m. \(AE\) și \(DE\) sunt laturi ale triunghiului echilateral \(ADE\), deci \(AE = DE\). Acum avem în triunghiurile \(ABE\) și \(DCE\): o latură egală, un unghi egal (între ele) și încă o latură egală.

3. 3

   Aplicăm criteriul LUL și tragem concluzia

   \triangle ABE\equiv\triangle DCE\ (LUL)\Rightarrow BE=CE

   În triunghiurile \(ABE\) și \(DCE\) avem \(BA = CD\), \(\angle BAE \equiv \angle CDE\) (unghiul este cuprins între laturile egale) și \(AE = DE\). Conform criteriului LUL, triunghiurile sunt congruente. În triunghiuri congruente, laturile care se opun unghiurilor egale sunt egale, deci \(BE = CE\). Triunghiul \(EBC\) are două laturi egale, așadar este isoscel, cu baza \(BC\).

Răspuns: Din \(\triangle ABE \equiv \triangle DCE\) (LUL) rezultă \(BE = CE\), deci triunghiul \(EBC\) este isoscel.

Subiectul III, 1. c): Figura 2 este schița unui teren format din pătratul \(ABCD\) cu \(AB = 30\) m și din triunghiul echilateral \(ADE\) (triunghiul este lipit de latura \(AD\), în afara pătratului). Se consideră punctul \(M\) mijlocul laturii \(AD\), punctul \(N\) mijlocul laturii \(BC\) și \(O\) punctul de intersecție a diagonalelor pătratului \(ABCD\). Demonstrați că punctele \(E\), \(M\), \(N\) și \(O\) sunt coliniare.

Metoda: Perpendiculare pe laturi paralele

1. 1

   Arătăm că EM ⊥ AD

   AE = DE,\ AM = MD \Rightarrow EM \perp AD

   Triunghiul \(ADE\) este echilateral, deci este și isoscel cu \(AE = DE\). În triunghiul isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și înălțime. Cum \(M\) este mijlocul lui \(AD\), segmentul \(EM\) este mediană, deci \(EM \perp AD\).

2. 2

   Arătăm că EN ⊥ BC

   EB = EC,\ BN = NC \Rightarrow EN \perp BC

   Triunghiul \(EBC\) este isoscel (\(EB = EC\), demonstrat la punctul b)). \(N\) este mijlocul bazei \(BC\), deci \(EN\) este mediană în triunghi isoscel, adică și înălțime: \(EN \perp BC\).

3. 3

   Concluzia pentru E, M, N

   AD \parallel BC,\ EM \perp AD,\ EN \perp BC \Rightarrow E, M, N \text{ coliniare}

   Laturile \(AD\) și \(BC\) ale pătratului sunt paralele. Prin punctul \(E\) se poate duce o singură perpendiculară pe \(AD\) (și deci pe \(BC\), care este paralelă cu ea). Cum \(EM\) și \(EN\) sunt ambele perpendiculare pe aceste drepte și pornesc din \(E\), ele coincid. Deci \(E, M, N\) sunt coliniare.

4. 4

   Punctul O pe aceeași dreaptă

   BO = CO,\ BN = NC \Rightarrow ON \perp BC

   Diagonalele pătratului sunt egale și se înjumătățesc, deci \(BO = CO\). Triunghiul \(OBC\) este isoscel, iar \(N\) este mijlocul bazei \(BC\), deci \(ON\) este mediană și înălțime: \(ON \perp BC\). Dar și \(EN \perp BC\). Prin \(N\) trece o singură perpendiculară pe \(BC\), deci \(O\) se află pe dreapta \(EN\). Astfel \(E, M, O, N\) sunt coliniare.

Răspuns: Punctele E, M, N și O se află pe aceeași dreaptă, perpendiculara din N pe BC (care trece prin M și O), deci sunt coliniare.

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu \(AB = 12\) cm și \(VO = 6\sqrt{3}\) cm, unde \(\{O\} = AC \cap BD\). Punctul \(M\) este situat pe înălțimea \(VO\) astfel încât \(OM = \frac{1}{3}VO\). a) Arătați că volumul piramidei \(VABCD\) este egal cu \(288\sqrt{3}\) cm\(^3\).

Metoda: Volumul piramidei regulate

1. 1

   Aflăm aria bazei \(ABCD\)

   \mathcal{A}_{ABCD} = AB^2 = 12^2 = 144 \text{ cm}^2

   Piramida este patrulateră regulată, deci baza \(ABCD\) este un pătrat cu latura \(AB = 12\) cm. Aria pătratului este latura la puterea a doua. Avem nevoie de această arie pentru că apare în formula volumului piramidei.

2. 2

   Folosim formula volumului piramidei

   V_{VABCD} = \frac{1}{3}\cdot \mathcal{A}_{ABCD}\cdot VO

   Volumul unei piramide este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime. Înălțimea piramidei regulate este segmentul \(VO\), perpendicular pe planul bazei, iar \(VO = 6\sqrt{3}\) cm este dat în enunț.

3. 3

   Înlocuim datele și calculăm

   V_{VABCD} = \frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 144 = 2\sqrt{3}\cdot 144 = 288\sqrt{3} \text{ cm}^3

   Înlocuim \(VO = 6\sqrt{3}\) și aria bazei \(144\). Simplificăm 3 cu 6 și obținem \(2\sqrt{3}\). Apoi înmulțim \(2\cdot 144 = 288\). Am ajuns exact la rezultatul cerut în enunț.

Răspuns: \(V_{VABCD} = 288\sqrt{3}\) cm\(^3\), deci egalitatea cerută este demonstrată.

Subiectul al III-lea, 2. b): În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu \(AB=12\) cm și \(VO=6\sqrt{3}\) cm, unde \(\{O\}=AC\cap BD\). Punctul \(M\) este situat pe înălțimea \(VO\) astfel încât \(OM=\frac{1}{3}VO\). Determinați aria triunghiului \(MBC\).

Metoda: Teorema lui Pitagora, aria triunghiului

1. 1

   Calculăm OM

   OM=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}=2\sqrt{3}\text{ cm}

   Din enunț, \(OM\) este o treime din înălțimea \(VO=6\sqrt{3}\) cm. Deci înmulțim \(6\sqrt{3}\) cu \(\frac{1}{3}\).

2. 2

   Aflăm ON, distanța de la O la BC

   ON=\frac{AB}{2}=6\text{ cm}

   Baza \(ABCD\) este pătrat, iar \(O\) este centrul lui. Fie \(N\) mijlocul laturii \(BC\). Cum \(BO=CO\), triunghiul \(OBC\) este isoscel, deci \(ON\perp BC\). \(ON\) este egal cu jumătate din latura pătratului.

3. 3

   Calculăm MN cu teorema lui Pitagora

   MN=\sqrt{MO^2+ON^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ cm}

   \(MO\perp(ABC)\), deci \(MO\perp ON\) și triunghiul \(MON\) este dreptunghic în \(O\). Din teorema lui Pitagora aflăm ipotenuza \(MN\). Cum \(ON\perp BC\) și \(BC\subset(ABC)\), din teorema celor trei perpendiculare rezultă \(MN\perp BC\), deci \(MN\) este înălțimea triunghiului \(MBC\).

4. 4

   Calculăm aria triunghiului MBC

   \mathcal{A}_{MBC}=\frac{BC\cdot MN}{2}=\frac{12\cdot 4\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\text{ cm}^2

   Aria unui triunghi este baza înmulțită cu înălțimea, împărțită la 2. Baza este \(BC=12\) cm, iar înălțimea este \(MN=4\sqrt{3}\) cm.

Răspuns: Aria triunghiului \(MBC\) este \(24\sqrt{3}\text{ cm}^2\).

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu \(AB=12\) cm și \(VO=6\sqrt{3}\) cm, unde \(\{O\}=AC\cap BD\). Punctul \(M\) este situat pe înălțimea \(VO\) astfel încât \(OM=\frac{1}{3}VO\). c) Calculați măsura unghiului determinat de planele \((MBC)\) și \((VBC)\).

Metoda: Unghiul a două plane (unghi plan)

1. 1

   Dreapta comună a celor două plane

   (MBC)\cap(VBC)=BC

   Planele \((MBC)\) și \((VBC)\) au în comun punctele \(B\) și \(C\), deci se intersectează după dreapta \(BC\). Unghiul dintre plane se măsoară față de această dreaptă.

2. 2

   Alegem perpendicularele pe BC

   MN\perp BC,\ VN\perp BC

   Fie \(N\) mijlocul lui \(BC\). Triunghiul \(MBC\) este isoscel (\(MB=MC\)), deci \(MN\perp BC\). La fel, \(VBC\) este isoscel, deci \(VN\perp BC\). Dreapta \(MN\) este în planul \((MBC)\), iar \(VN\) în planul \((VBC)\). Deci unghiul planelor este egal cu unghiul \(\angle MNV\).

3. 3

   Triunghiul dreptunghic VON și unghiul OVN

   m(\angle OVN)=30^\circ

   Punctele \(V, M, O, N\) sunt în același plan, iar \(VO\perp (ABC)\), deci triunghiul \(VON\) este dreptunghic în \(O\). Avem \(ON=6\) (jumătate din latura de 12) și \(VO=6\sqrt3\). Cu Pitagora, \(VN=\sqrt{108+36}=12\). Cateta \(ON=6\) este jumătate din ipotenuza \(VN=12\), deci unghiul opus ei, \(\angle OVN\), are \(30^\circ\).

4. 4

   Triunghiul MNV este isoscel

   VM=MN=4\sqrt3\Rightarrow m(\angle MNV)=m(\angle OVN)=30^\circ

   Din \(OM=\frac13\cdot 6\sqrt3=2\sqrt3\) obținem \(VM=6\sqrt3-2\sqrt3=4\sqrt3\). În triunghiul dreptunghic \(MON\): \(MN=\sqrt{(2\sqrt3)^2+6^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3\). Deci \(VM=MN\), triunghiul \(MNV\) este isoscel cu baza \(VN\), iar unghiurile de la bază sunt egale: \(\angle MNV=\angle MVN=\angle OVN=30^\circ\).

Răspuns: Unghiul determinat de planele (MBC) și (VBC) are 30°.