Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2018, sesiunea iunie–iulie (varianta 06)

Rezultatul calculului \(30-30:3\) este egal cu ….

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Alegem prima operație

   30-30:3

   Conform ordinii efectuării operațiilor, împărțirea și înmulțirea se fac înaintea adunării și a scăderii. Așadar, întâi calculăm \(30:3\), nu \(30-30\).

2. 2

   Efectuăm scăderea

   30-10=20

   După ce am înlocuit \(30:3\) cu \(10\), expresia devine \(30-10\). Mai rămâne o singură operație, scăderea, iar rezultatul este \(20\).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   30-30:3=30-10=20

   Dacă am fi scăzut întâi, am fi obținut \(0:3=0\), un rezultat greșit. Respectând ordinea operațiilor obținem \(20\), la fel ca în barem.

Răspuns: 20

Zece caiete de același fel costă 40 de lei. Cinci dintre acestea costă … lei.

Metoda: Metoda reducerii la unitate

1. 1

   Aflăm prețul unui caiet

   40 : 10 = 4

   Cele 10 caiete sunt la fel, deci costă la fel de mult fiecare. Ca să aflăm prețul unui caiet, împărțim costul total la numărul de caiete: \(40 : 10 = 4\) lei. Aceasta este metoda reducerii la unitate: ajungem mai întâi la un singur obiect.

2. 2

   Aflăm prețul a 5 caiete

   5 \cdot 4 = 20

   Acum știm că un caiet costă 4 lei. Pentru 5 caiete înmulțim prețul unui caiet cu 5: \(5 \cdot 4 = 20\) lei.

3. 3

   Verificarea rezultatului

   10 : 2 = 5 \;\Rightarrow\; 40 : 2 = 20

   Cele 5 caiete sunt jumătate din cele 10 caiete. Deci ele costă jumătate din 40 de lei, adică 20 de lei. Rezultatul este același cu cel de mai sus.

Răspuns: Cinci caiete costă 20 de lei.

Dacă \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{1,3,x\}\) și \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\), atunci numărul \(x\) este egal cu ….

Metoda: Reuniunea a două mulțimi

1. 1

   Ce înseamnă reuniunea

   A\cup B=\{\text{elementele din }A\text{ sau din }B\}

   Reuniunea \(A\cup B\) se obține punând laolaltă toate elementele din A și din B. Un element care apare în ambele mulțimi se scrie o singură dată. Trebuie să știm asta ca să vedem de unde vine fiecare element al reuniunii.

2. 2

   Găsim elementul care lipsește din A

   A\cup B=\{1,2,3,4,5\},\quad A=\{1,2,3,4\}

   În reuniune apar numerele 1, 2, 3, 4 și 5. În A sunt deja 1, 2, 3, 4. Numărul 5 nu este în A, deci el trebuie să provină din B. Elementele 1 și 3 din B sunt deja în reuniune, iar singurul element necunoscut din B este \(x\).

3. 3

   Determinăm x și verificăm

   x=5

   Singurul element al lui B care mai poate aduce numărul 5 este \(x\), deci \(x=5\). Verificăm: \(B=\{1,3,5\}\), iar \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\), exact cum cere enunțul. Dacă x ar fi alt număr, reuniunea nu ar conține 5 (sau ar conține un element în plus).

Răspuns: x = 5

Un trapez are baza mare de \(12\text{ cm}\) și baza mică de \(8\text{ cm}\). Linia mijlocie a acestui trapez are lungimea egală cu … cm.

Metoda: Linia mijlocie în trapez

1. 1

   Ce date avem și ce formulă folosim

   l=\frac{B+b}{2}

   Linia mijlocie a unui trapez este segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele. Ea este paralelă cu bazele, iar lungimea ei este egală cu media aritmetică a lungimilor bazelor. Avem baza mare \(B=12\text{ cm}\) și baza mică \(b=8\text{ cm}\).

2. 2

   Înlocuim și calculăm

   l=\frac{12+8}{2}=\frac{20}{2}=10

   Înlocuim în formulă \(B=12\) și \(b=8\). Mai întâi adunăm bazele: \(12+8=20\). Apoi împărțim la 2: \(20:2=10\). Lungimea liniei mijlocii este \(10\text{ cm}\). Rezultatul trebuie să fie între \(8\) și \(12\), și așa este.

Răspuns: 10

În Figura 1 este reprezentat paralelipipedul dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB=10\) cm, \(BC=5\) cm și \(AA'=4\) cm. Volumul acestui paralelipiped este egal cu … \(\text{cm}^3\). (Din figură: \(AB\) este lungimea, \(BC\) lățimea, \(AA'\) înălțimea.)

Metoda: Volumul paralelipipedului dreptunghic

1. 1

   Identificăm dimensiunile

   L=AB=10,\quad l=BC=5,\quad h=AA'=4

   Un paralelipiped dreptunghic are trei dimensiuni: lungimea, lățimea și înălțimea. Muchiile \(AB\) și \(BC\) sunt în baza \(ABCD\), iar \(AA'\) este muchia verticală, deci înălțimea. Le identificăm ca să știm ce numere înmulțim.

2. 2

   Scriem formula volumului

   V=L\cdot l\cdot h

   Aria bazei \(L\cdot l\) ne spune câte cubulețe încap pe primul strat. Înălțimea \(h\) ne spune câte straturi avem. De aceea volumul este produsul celor trei dimensiuni.

3. 3

   Calculăm volumul

   V=10\cdot 5\cdot 4=50\cdot 4=200\ \text{cm}^3

   Înlocuim în formulă. Mai întâi aflăm aria bazei, \(10\cdot 5=50\), apoi înmulțim cu înălțimea. Unitatea de măsură este \(\text{cm}^3\), pentru că măsurăm volum.

Răspuns: Volumul paralelipipedului este 200 \(\text{cm}^3\), la fel ca în barem.

În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate la ora 8, la o stație meteo, în fiecare zi a unei săptămâni din luna februarie. Luni: \(-1\), marți: \(-8\), miercuri: \(-10\), joi: \(-3\), vineri: \(1\), sâmbătă: \(3\), duminică: \(5\) (în °C). Conform tabelului, media aritmetică a temperaturilor pozitive înregistrate este egală cu …°C.

Metoda: Media aritmetică a unor numere

1. 1

   Alegem temperaturile pozitive

   1,\ 3,\ 5

   Media se cere doar pentru temperaturile pozitive, deci le căutăm pe cele mai mari decât 0. Temperaturile \(-1\), \(-8\), \(-10\), \(-3\) sunt negative, deci le lăsăm deoparte. Rămân vineri (\(1\)), sâmbătă (\(3\)) și duminică (\(5\)).

2. 2

   Calculăm suma temperaturilor pozitive

   1+3+5=9

   Media aritmetică se obține împărțind suma numerelor la câte numere sunt. De aceea, mai întâi le adunăm: \(1+3+5=9\).

3. 3

   Împărțim suma la numărul de temperaturi

   \frac{9}{3}=3

   Avem \(3\) temperaturi pozitive, deci împărțim suma \(9\) la \(3\). Media aritmetică este valoarea care, pusă în locul fiecărui număr, ar da aceeași sumă.

Răspuns: Media aritmetică a temperaturilor pozitive este \(3\) °C.

Desenați, pe foaia de examen, un cub \(ABCDA'B'C'D'\).

Metoda: Desenul unui cub în perspectivă

1. 1

   Desenăm fața din față (un pătrat)

   ABB'A'

   Începem cu o față a cubului. Toate fețele unui cub sunt pătrate, așa că desenăm un pătrat cu linie continuă, pentru că această față se vede. Alegem jos vârfurile \(A\) (stânga) și \(B\) (dreapta), iar sus \(A'\) și \(B'\).

2. 2

   Desenăm fața din spate, deplasată în sus și spre dreapta

   DCC'D'

   Desenăm un al doilea pătrat, identic cu primul, deplasat puțin în sus și spre dreapta. Așa se obține efectul de perspectivă. Muchiile pe care nu le vedem le facem punctate. Muchiile nevăzute sunt \(DA\), \(DC\) și \(DD'\), deci \(D\) este vârful ascuns din spate, jos. Vârfurile sunt \(D\) jos în spate, stânga, \(C\) jos în spate, dreapta, \(D'\) sus în spate, stânga și \(C'\) sus în spate, dreapta.

3. 3

   Unim vârfurile corespunzătoare

   AD,\ BC,\ A'D',\ B'C'

   Unim fiecare vârf al pătratului din față cu vârful corespunzător din spate: \(A\) cu \(D\), \(B\) cu \(C\), \(A'\) cu \(D'\), \(B'\) cu \(C'\). Aceste 4 segmente sunt muchiile laterale, paralele între ele. Muchiile \(AD\), \(DC\) și \(DD'\) se fac punctate, pentru că sunt ascunse. În total cubul are 12 muchii.

4. 4

   Notăm cubul și verificăm

   ABCDA'B'C'D'

   Scriem literele la vârfuri, în ordinea \(A, B, C, D\) jos și \(A', B', C', D'\) sus, fiecare literă cu prim fiind deasupra celei fără prim. Baremul dă 1 punct pentru notare. Verifică: ai 8 vârfuri, 12 muchii și 6 fețe, iar muchiile ascunse sunt punctate. Atunci desenul tău este complet.

Răspuns: Desen: cubul \(ABCDA'B'C'D'\) în perspectivă, cu 3 muchii ascunse punctate și vârfurile notate (4p desen + 1p notare).

Arătați că numărul natural \(N = 2^{n+3} - 2^{n+2} + 7 \cdot 2^{n+1} - 2^n\) este divizibil cu 17, pentru orice număr natural \(n\).

Metoda: Factor comun și reguli de puteri

1. 1

   Scriem fiecare putere cu ajutorul lui 2^n

   2^{n+3}=2^n\cdot 2^3,\quad 2^{n+2}=2^n\cdot 2^2,\quad 2^{n+1}=2^n\cdot 2

   Folosim regula \(a^{m+k}=a^m\cdot a^k\). Astfel toți termenii conțin \(2^n\), iar acesta va putea fi scos factor comun.

2. 2

   Dăm factor comun 2^n

   N=2^n\left(2^3-2^2+7\cdot 2-1\right)

   Ultimul termen, \(2^n\), este \(2^n\cdot 1\). Cum fiecare termen are factorul \(2^n\), îl scoatem în față, iar în paranteză rămân numerele cu care se înmulțește.

3. 3

   Calculăm paranteza

   2^3-2^2+7\cdot 2-1=8-4+14-1=17

   Calculăm puterile, apoi înmulțirea, apoi adunările și scăderile, respectând ordinea operațiilor. Rezultatul este exact 17.

4. 4

   Concluzia

   N=2^n\cdot 17

   N este un produs care îl conține pe factorul 17, deci este multiplu de 17. Asta e adevărat pentru orice număr natural \(n\), deoarece \(2^n\) este mereu număr natural.

Răspuns: \(N=2^n\cdot 17\), deci N este divizibil cu 17 pentru orice număr natural \(n\).

Mai mulți elevi vor să cumpere împreună materiale pentru un proiect școlar. Dacă fiecare elev contribuie cu câte 20 de lei, mai sunt necesari 20 de lei pentru cumpărarea materialelor, iar dacă fiecare contribuie cu câte 25 de lei, rămân 5 lei după cumpărarea materialelor. Determinați suma necesară pentru cumpărarea materialelor.

Metoda: Sistem de ecuații liniare

1. 1

   Alegem necunoscutele

   n = \text{numărul elevilor},\quad x = \text{prețul materialelor}

   Notăm cu \(n\) numărul elevilor și cu \(x\) prețul materialelor (suma necesară). Sunt cele două lucruri pe care nu le știm și de care depinde tot.

2. 2

   Scriem prima ecuație

   20n = x - 20

   Cu câte 20 de lei de elev, mai lipsesc 20 de lei. Deci banii strânși sunt cu 20 mai puțini decât prețul: \(20n = x-20\).

3. 3

   Scriem a doua ecuație

   25n = x + 5

   Cu câte 25 de lei strâng mai mult decât costă materialele: după cumpărare rămân 5 lei. Deci banii strânși sunt prețul plus 5: \(25n = x+5\).

4. 4

   Rezolvăm sistemul

   20n+20 = 25n-5 \Rightarrow 25 = 5n \Rightarrow n = 5,\quad x = 20\cdot 5+20 = 120

   Din prima ecuație \(x = 20n+20\), din a doua \(x = 25n-5\). Egalăm: \(20n+20=25n-5\), deci \(5n=25\) și \(n=5\). Atunci \(x=20\cdot5+20=120\) de lei.

5. 5

   Verificăm

   20\cdot 5 = 100 = 120-20,\quad 25\cdot 5 = 125 = 120+5

   Cu 5 elevi: la 20 de lei strâng 100, iar lipsesc 20 (120-100). La 25 de lei strâng 125, iar rămân 5 (125-120). Ambele condiții sunt îndeplinite.

Răspuns: Suma necesară pentru cumpărarea materialelor este de 120 de lei (sunt 5 elevi).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+4\). a) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Graficul funcției liniare

1. 1

   Alegem primul punct al graficului

   f(0)=2\cdot 0+4=4

   Un punct de pe grafic are forma \((x, f(x))\). Alegem \(x=0\), pentru că astfel calculul este foarte simplu, iar punctul se află pe axa Oy. Înlocuim \(x=0\) în formula funcției: \(f(0)=2\cdot 0+4=4\). Deci punctul \(B(0,4)\) aparține graficului.

2. 2

   Alegem al doilea punct al graficului

   f(-2)=2\cdot(-2)+4=0

   Ne trebuie încă un punct, diferit de primul. Alegem \(x=-2\), deoarece pentru această valoare \(f(x)=0\), deci punctul este pe axa Ox. Calculăm: \(f(-2)=2\cdot(-2)+4=-4+4=0\). Deci punctul \(A(-2,0)\) aparține graficului.

3. 3

   Trasăm graficul

   A(-2,0),\ B(0,4)

   Desenăm un sistem de axe \(xOy\), cu o unitate de măsură aleasă pe ambele axe. Marcăm punctele \(A(-2,0)\) și \(B(0,4)\). Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă, deci unim A și B cu rigla și prelungim dreapta în ambele sensuri, punând săgeți la capete. Această dreaptă este graficul funcției \(f\), pentru că \(f\) este definită pe \(\mathbb{R}\).

Răspuns: Graficul funcției \(f(x)=2x+4\) este dreapta care trece prin punctele \(A(-2,0)\) și \(B(0,4)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+4\). În sistemul de coordonate \(xOy\) se consideră punctul \(D(0,-1)\). Determinați distanța de la punctul \(D\) la graficul funcției \(f\).

Metoda: Distanța de la punct la dreaptă

1. 1

   Găsim punctele în care graficul taie axele

   A(-2,0),\ B(0,4)

   Graficul taie axa \(Ox\) când \(f(x)=0\): \(2x+4=0\), deci \(x=-2\), adică \(A(-2,0)\) și \(OA=2\). Taie axa \(Oy\) când \(x=0\): \(f(0)=4\), deci \(B(0,4)\) și \(OB=4\). Aceste puncte ne dau un triunghi dreptunghic \(AOB\) cu care putem lucra.

2. 2

   Calculăm lungimea segmentului AB

   AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

   Triunghiul \(AOB\) este dreptunghic în \(O\), deoarece axele sunt perpendiculare. Aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla ipotenuza \(AB\). Avem nevoie de \(AB\) pentru calculul ulterior al distanței.

3. 3

   Folosim sinusul unghiului ABO

   \sin(\angle ABO)=\frac{OA}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}

   Punctul \(D\) se află pe axa \(Oy\), deci pe dreapta \(OB\). Notăm cu \(d(D,AB)\) distanța căutată, adică perpendiculara din \(D\) pe \(AB\). În triunghiul dreptunghic format de această perpendiculară și segmentul \(BD\), unghiul din \(B\) este același \(\angle ABO\), deci are același sinus: \(\sin(\angle ABO)=\frac{d(D,AB)}{BD}\). Aici \(BD=4-(-1)=5\).

4. 4

   Aflăm distanța

   \frac{d(D,AB)}{5}=\frac{2}{2\sqrt{5}}\Rightarrow d(D,AB)=\frac{2\cdot 5}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}

   Din egalitatea rapoartelor scoatem distanța: o înmulțim pe \(\frac{2}{2\sqrt{5}}\) cu 5. Rezultă \(\frac{5}{\sqrt{5}}\), iar prin amplificare cu \(\sqrt{5}\) obținem \(\sqrt{5}\), ca în barem.

Răspuns: Distanța de la punctul D la graficul funcției f este \(\sqrt{5}\).

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\dfrac{x+1}{x-3}-\dfrac{2x^2+3x-3}{x^2-9}+\dfrac{2x-1}{x+3}\right):\dfrac{2x^2-18}{x^2+6x+9}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -3\) și \(x\neq 3\). Arătați că \(E(x)=\dfrac{1}{2}\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -3\) și \(x\neq 3\).

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   Numitorul comun din paranteză

   x^2-9=(x-3)(x+3)

   Descompunem \(x^2-9\) cu formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Astfel vedem că numitorul comun al fracțiilor din paranteză este \((x-3)(x+3)\). Prima fracție se amplifică cu \(x+3\), a treia cu \(x-3\), iar a doua rămâne la fel.

2. 2

   Adunăm fracțiile din paranteză

   \frac{(x+1)(x+3)-(2x^2+3x-3)+(2x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}

   După amplificare, toate fracțiile au același numitor, deci adunăm și scădem numai numărătorii. Atenție la semnul minus din fața celei de-a doua fracții: el schimbă semnele tuturor termenilor din paranteză.

3. 3

   Calculăm numărătorul

   x^2+4x+3-2x^2-3x+3+2x^2-7x+3=x^2-6x+9

   Avem \((2x-1)(x-3)=2x^2-7x+3\). Adunăm termenii asemenea: \(x^2-2x^2+2x^2=x^2\); \(4x-3x-7x=-6x\); \(3+3+3=9\). Rezultă numărătorul \(x^2-6x+9\), care este \((x-3)^2\) (formula \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)). Paranteza devine \(\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}\).

4. 4

   Descompunem a doua fracție

   \frac{2x^2-18}{x^2+6x+9}=\frac{2(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}

   La numărător scoatem factor comun 2: \(2x^2-18=2(x^2-9)=2(x-3)(x+3)\). Numitorul este \(x^2+6x+9=(x+3)^2\), după formula \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Ne trebuie aceste forme ca să putem simplifica.

5. 5

   Împărțim și simplificăm

   E(x)=\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{(x+3)^2}{2(x-3)(x+3)}=\frac{1}{2}

   Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Apoi simplificăm: la numărător avem \((x-3)^2(x+3)^2\), iar la numitor \(2(x-3)^2(x+3)^2\). Toți factorii se reduc și rămâne \(\frac12\). Simplificarea e permisă fiindcă \(x\neq 3\) și \(x\neq -3\), deci factorii nu sunt zero.

Răspuns: \(E(x)=\dfrac{1}{2}\), pentru orice \(x\) real, \(x\neq -3\) și \(x\neq 3\).

În Figura 2 sunt reprezentate un triunghi echilateral \(ABC\) cu \(AB=10\) cm și un triunghi isoscel \(CDE\) cu \(CD=DE=10\) cm. Punctul \(C\) este situat pe segmentul \(BE\), iar punctele \(A\) și \(D\) sunt situate de o parte și de alta a dreptei \(BE\) astfel încât \(m(\angle BCD)=150^\circ\). Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele segmentelor \(BC\), respectiv \(CE\). a) Arătați că unghiul \(DCE\) are măsura de \(30^\circ\).

Metoda: Unghiuri suplementare

1. 1

   Observăm că B, C, E sunt coliniare

   C\in (BE)\Rightarrow m(\angle BCE)=180^\circ

   Punctul \(C\) este situat pe segmentul \(BE\), între \(B\) și \(E\). Deci semidreptele \(CB\) și \(CE\) sunt opuse, iar unghiul \(BCE\) este unghi alungit, adică are \(180^\circ\).

2. 2

   Descompunem unghiul alungit în două unghiuri

   m(\angle BCD)+m(\angle DCE)=m(\angle BCE)=180^\circ

   Punctul \(D\) este de partea cealaltă a dreptei \(BE\) față de \(A\), iar semidreapta \(CD\) împarte unghiul alungit \(BCE\) în unghiurile \(BCD\) și \(DCE\). Ele sunt adiacente și suplementare: suma lor este \(180^\circ\).

3. 3

   Calculăm măsura unghiului DCE

   m(\angle DCE)=180^\circ-150^\circ=30^\circ

   Din suma \(m(\angle BCD)+m(\angle DCE)=180^\circ\) și știind că \(m(\angle BCD)=150^\circ\), obținem \(m(\angle DCE)=180^\circ-150^\circ=30^\circ\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Unghiul \(DCE\) are măsura de \(30^\circ\), deoarece \(m(\angle DCE)=180^\circ-150^\circ=30^\circ\).

În Figura 2 sunt reprezentate un triunghi echilateral \(ABC\) cu \(AB=10\) cm și un triunghi isoscel \(CDE\) cu \(CD=DE=10\) cm. Punctul \(C\) este situat pe segmentul \(BE\), iar punctele \(A\) și \(D\) sunt de o parte și de alta a dreptei \(BE\), astfel încât \(m(\angle BCD)=150^\circ\). Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele segmentelor \(BC\), respectiv \(CE\). b) Demonstrați că triunghiurile \(ACM\) și \(CDN\) sunt congruente.

Metoda: Congruența triunghiurilor dreptunghice

1. 1

   Arătăm că ambele triunghiuri sunt dreptunghice

   m(\angle AMC)=90^\circ,\quad m(\angle CND)=90^\circ

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, iar \(M\) este mijlocul lui \(BC\). Într-un triunghi echilateral, mediana din \(A\) este și înălțime, deci \(AM\perp BC\) și \(\angle AMC=90^\circ\). Triunghiul \(CDE\) este isoscel cu \(CD=DE\), iar \(N\) este mijlocul bazei \(CE\). Mediana din vârful \(D\) este și înălțime, deci \(DN\perp CE\) și \(\angle CND=90^\circ\). Astfel triunghiurile \(ACM\) și \(CDN\) sunt dreptunghice.

2. 2

   Găsim ipotenuzele egale și unghiurile ascuțite egale

   AC=CD=10\text{ cm},\quad m(\angle CAM)=m(\angle DCN)=30^\circ

   Ipotenuza triunghiului \(ACM\) este \(AC=10\) cm (latura triunghiului echilateral). Ipotenuza triunghiului \(CDN\) este \(CD=10\) cm (dat). Deci \(AC=CD\). În triunghiul echilateral, înălțimea \(AM\) este și bisectoare, deci \(\angle CAM=60^\circ:2=30^\circ\). Din punctul a) avem \(\angle DCE=30^\circ\), iar \(\angle DCN=\angle DCE\) pentru că \(N\) se află pe \(CE\). Deci \(\angle CAM=\angle DCN=30^\circ\).

3. 3

   Concluzia: aplicăm criteriul de congruență

   \triangle ACM\equiv\triangle CDN \quad (\text{IU})

   Cele două triunghiuri sunt dreptunghice, au ipotenuzele congruente (\(AC=CD\)) și un unghi ascuțit congruent (\(\angle CAM=\angle DCN\)). Conform criteriului ipotenuză–unghi (IU) pentru triunghiuri dreptunghice, \(\triangle ACM\equiv\triangle CDN\).

Răspuns: Triunghiurile dreptunghice \(ACM\) și \(CDN\) au \(AC=CD\) și \(\angle CAM=\angle DCN=30^\circ\), deci sunt congruente conform criteriului IU.

Subiectul III, 1. c): În Figura 2 sunt reprezentate un triunghi echilateral \(ABC\) cu \(AB=10\) cm și un triunghi isoscel \(CDE\) cu \(CD=DE=10\) cm. Punctul \(C\) este pe segmentul \(BE\), iar \(A\) și \(D\) sunt de o parte și de alta a dreptei \(BE\), astfel încât \(m(\angle BCD)=150^\circ\). Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele segmentelor \(BC\), respectiv \(CE\). Arătați că patrulaterul \(AMDN\) are aria mai mică decât \(95\ \text{cm}^2\).

Metoda: Aria trapezului dreptunghic

1. 1

   Calculăm lungimea lui AM

   AM^2=AC^2-MC^2=100-25=75\Rightarrow AM=5\sqrt{3}

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci mediana \(AM\) este și înălțime. Așadar \(\angle AMC=90^\circ\) și triunghiul \(ACM\) este dreptunghic. \(M\) este mijlocul lui \(BC\), deci \(MC=5\) cm. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul \(ACM\): \(AM^2=10^2-5^2=75\), deci \(AM=5\sqrt{3}\) cm.

2. 2

   Calculăm DN și CN

   DN=\frac{CD}{2}=5,\qquad CN=AM=5\sqrt{3}

   Triunghiul \(CDE\) este isoscel cu baza \(CE\), iar \(N\) este mijlocul bazei. Deci \(DN\) este mediană și înălțime, adică \(\angle CND=90^\circ\). În triunghiul dreptunghic \(CDN\) unghiul \(\angle DCN=30^\circ\), iar cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză: \(DN=10:2=5\) cm. Din congruența triunghiurilor \(ACM\) și \(CDN\) de la b) avem \(CN=AM=5\sqrt{3}\) cm. Același rezultat iese din Pitagora: \(CN^2=100-25=75\).

3. 3

   Calculăm MN și recunoaștem trapezul

   MN=MC+CN=5+5\sqrt{3}=5(1+\sqrt{3})

   Punctele \(M, C, N\) sunt pe dreapta \(BE\), iar \(C\) este între \(M\) și \(N\). Deci \(MN=MC+CN=5+5\sqrt{3}\) cm. Cum \(AM\perp BE\) și \(DN\perp BE\), avem \(AM\parallel DN\). Prin urmare \(AMDN\) este trapez dreptunghic cu bazele \(AM\) și \(DN\) și înălțimea \(MN\).

4. 4

   Calculăm aria trapezului

   \mathcal{A}_{AMDN}=\frac{(AM+DN)\cdot MN}{2}=\frac{5(\sqrt{3}+1)\cdot 5(1+\sqrt{3})}{2}=25(2+\sqrt{3})

   Aria unui trapez este (baza mare + baza mică) înmulțit cu înălțimea, totul împărțit la 2. Avem \(AM+DN=5\sqrt{3}+5=5(1+\sqrt{3})\) și \(MN=5(1+\sqrt{3})\). Rezultă \(\frac{25(1+\sqrt{3})^2}{2}\). Folosim formula \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\): \((1+\sqrt{3})^2=1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3}\). Deci aria este \(\frac{25(4+2\sqrt{3})}{2}=25(2+\sqrt{3})\ \text{cm}^2\).

5. 5

   Comparăm aria cu 95

   \sqrt{3}<1{,}8\Rightarrow 25(2+\sqrt{3})<25\cdot 3{,}8=95

   Nu avem nevoie de valoarea exactă a lui \(\sqrt{3}\), ci doar de o margine. Cum \(1{,}8^2=3{,}24>3\), avem \(\sqrt{3}<1{,}8\). Atunci \(2+\sqrt{3}<2+1{,}8=3{,}8\). Înmulțim cu 25 și obținem \(\mathcal{A}_{AMDN}<25\cdot 3{,}8=95\ \text{cm}^2\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria patrulaterului \(AMDN\) este \(25(2+\sqrt{3})\ \text{cm}^2\). Cum \(\sqrt{3}<1{,}8\), rezultă \(\mathcal{A}_{AMDN}<95\ \text{cm}^2\).

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată \(VABC\) cu \(AB = 12\,\text{cm}\) și \(VO = 8\,\text{cm}\), unde punctul \(O\) este centrul cercului circumscris bazei \(ABC\). Punctele \(M\), \(N\), \(P\) și \(Q\) sunt mijloacele segmentelor \(VA\), \(AB\), \(AC\) și, respectiv, \(BC\). a) Arătați că perimetrul bazei \(ABC\) este egal cu \(36\,\text{cm}\).

Metoda: Perimetrul triunghiului echilateral

1. 1

   Ce fel de triunghi este baza

   \triangle ABC \text{ echilateral} \Rightarrow AB = BC = CA = 12

   Piramida \(VABC\) este triunghiulară regulată. Prin definiție, o piramidă regulată are la bază un poligon regulat, iar poligonul regulat cu 3 laturi este triunghiul echilateral. Deci baza \(ABC\) are toate laturile egale, adică \(AB = BC = CA = 12\,\text{cm}\).

2. 2

   Calculăm perimetrul

   P_{ABC} = AB + BC + CA = 3 \cdot AB = 3 \cdot 12 = 36\,\text{cm}

   Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor lui. Cum cele trei laturi sunt egale, în loc să adunăm \(12+12+12\), putem înmulți: \(3 \cdot 12 = 36\). Astfel obținem exact ce trebuia arătat: perimetrul bazei este \(36\,\text{cm}\).

Răspuns: Baza \(ABC\) este triunghi echilateral cu latura de \(12\,\text{cm}\), deci \(P_{ABC} = 3 \cdot 12 = 36\,\text{cm}\).

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată \(VABC\) cu \(AB=12\) cm și \(VO=8\) cm, unde punctul \(O\) este centrul cercului circumscris bazei \(ABC\). Punctele \(M\), \(N\), \(P\) și \(Q\) sunt mijloacele segmentelor \(VA\), \(AB\), \(AC\) și, respectiv, \(BC\). b) Demonstrați că dreapta \(VQ\) este paralelă cu planul \((MNP)\).

Metoda: Plane paralele și dreaptă paralelă cu plan

1. 1

   Liniile mijlocii din fețele laterale

   NM \parallel BV,\quad PM \parallel CV

   În triunghiul \(ABV\), punctele \(N\) și \(M\) sunt mijloacele laturilor \(AB\) și \(AV\), deci \(NM\) este linie mijlocie și este paralelă cu a treia latură, \(BV\). La fel, în triunghiul \(ACV\), \(P\) și \(M\) sunt mijloacele laturilor \(AC\) și \(AV\), deci \(PM\) este linie mijlocie și \(PM \parallel CV\).

2. 2

   Dreptele concurente din cele două plane

   BV\cap CV=\{V\},\quad NM\cap PM=\{M\}

   Dreptele \(BV\) și \(CV\) se intersectează în \(V\) și determină planul \((VBC)\). Dreptele \(NM\) și \(PM\) se intersectează în \(M\) și determină planul \((MNP)\). Avem două drepte concurente din planul \((MNP)\), paralele respectiv cu două drepte concurente din planul \((VBC)\).

3. 3

   Planele sunt paralele

   (VBC)\parallel(MNP)

   Dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu două drepte concurente din alt plan, atunci cele două plane sunt paralele. Deci \((VBC)\parallel(MNP)\).

4. 4

   Concluzia: VQ este paralelă cu planul (MNP)

   VQ\subset(VBC),\ (VBC)\parallel(MNP)\Rightarrow VQ\parallel(MNP)

   Punctul \(Q\) este mijlocul lui \(BC\), deci se află pe \(BC\), iar \(V\) este în planul \((VBC)\). Atunci dreapta \(VQ\) este conținută în \((VBC)\). Cum \((VBC)\parallel(MNP)\), dreapta \(VQ\) nu are puncte comune cu \((MNP)\), deci \(VQ\parallel(MNP)\).

Răspuns: Am arătat că \((VBC)\parallel(MNP)\) și \(VQ\subset(VBC)\), deci \(VQ\parallel(MNP)\).

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată \(VABC\) cu \(AB=12\,\text{cm}\) și \(VO=8\,\text{cm}\), unde \(O\) este centrul cercului circumscris bazei \(ABC\). Punctele \(M\), \(N\), \(P\) și \(Q\) sunt mijloacele segmentelor \(VA\), \(AB\), \(AC\) și, respectiv, \(BC\). c) Determinați numărul real \(p\), știind că volumul piramidei \(MANP\) reprezintă \(p\%\) din volumul piramidei \(VABC\).

Metoda: Raportul volumelor piramidelor

1. 1

   Volumul piramidei VABC

   V_{VABC}=\frac{A_{ABC}\cdot VO}{3}

   Volumul unei piramide este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime. Baza \(ABC\) este triunghi echilateral cu latura 12, deci aria este \(\frac{12^2\sqrt3}{4}=36\sqrt3\,\text{cm}^2\). Înălțimea este \(VO=8\) cm, pentru că piramida este regulată și \(O\) este centrul bazei. Rezultă \(V_{VABC}=\frac{36\sqrt3\cdot 8}{3}=96\sqrt3\,\text{cm}^3\).

2. 2

   Piramida MANP este regulată

   MA=MN=MP,\ \triangle ANP \text{ echilateral}

   \(N\) și \(P\) sunt mijloacele laturilor \(AB\) și \(AC\), deci \(NP\) este linie mijlocie în \(\triangle ABC\) și \(NP=\frac{BC}{2}=6\). De asemenea \(AN=AP=6\), deci \(\triangle ANP\) este echilateral cu latura 6. Pe de altă parte, \(MA=\frac{VA}{2}\), \(MN=\frac{VB}{2}\) și \(MP=\frac{VC}{2}\) (linii mijlocii în triunghiurile \(VAB\), \(VAC\)), iar \(VA=VB=VC\). Deci \(MA=MN=MP\) și \(MANP\) este piramidă triunghiulară regulată.

3. 3

   Volumul piramidei MANP

   V_{MANP}=\frac{A_{ANP}\cdot h}{3}

   Aria bazei \(ANP\) este \(\frac{6^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3\,\text{cm}^2\), adică un sfert din aria lui \(ABC\). Înălțimea piramidei \(MANP\) este jumătate din \(VO\), adică 4 cm (\(M\) este mijlocul lui \(VA\)). Deci \(V_{MANP}=\frac{9\sqrt3\cdot4}{3}=12\sqrt3\,\text{cm}^3\), ca în barem.

4. 4

   Calculul lui p

   V_{MANP}=\frac{p}{100}\cdot V_{VABC}

   Din \(V_{VABC}=96\sqrt3\) și \(V_{MANP}=12\sqrt3\) obținem \(V_{VABC}=8\cdot V_{MANP}\), deci \(V_{MANP}=\frac18V_{VABC}\). Aflăm procentul: \(12\sqrt3=\frac{p}{100}\cdot96\sqrt3\), de unde \(p=\frac{1200}{96}=12{,}5\).

Răspuns: p = 12,5