Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2018, model de subiect

Rezultatul calculului \(16 - 16 : 4\) este egal cu ….

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Alegem operația care se face prima

   16 - 16 : 4

   Conform ordinii efectuării operațiilor, în lipsa parantezelor, mai întâi se fac înmulțirile și împărțirile, iar abia apoi adunările și scăderile. Aici avem o scădere și o împărțire, deci împărțirea \(16 : 4\) se face prima.

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   16 : 4 = 4

   Calculăm \(16 : 4\). Cum \(4 \cdot 4 = 16\), câtul este \(4\). Acum exercițiul devine \(16 - 4\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   16 - 4 = 12

   După ce am înlocuit împărțirea cu rezultatul ei, ne rămâne scăderea \(16 - 4\), care face \(12\). Acesta este rezultatul calculului, la fel ca în barem.

Răspuns: \(16 - 16 : 4 = 12\). Atenție: dacă am fi scăzut întâi, am fi obținut \(0 : 4 = 0\), ceea ce este greșit, pentru că nu am respectat ordinea operațiilor.

Dacă \(\frac{x}{10}=\frac{20}{100}\), atunci numărul \(x\) este egal cu ….

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Recunoaștem proporția

   \frac{x}{10}=\frac{20}{100}

   Egalitatea dintre două rapoarte (fracții) se numește proporție. Aici \(x\) este un termen necunoscut, iar ceilalți trei termeni sunt cunoscuți: \(10\), \(20\) și \(100\). Putem afla necunoscuta folosind proprietatea fundamentală a proporțiilor: produsul mezilor este egal cu produsul extremilor.

2. 2

   Aplicăm proprietatea fundamentală

   x\cdot 100=10\cdot 20

   Produsul extremilor este \(x\cdot 100\), iar produsul mezilor este \(10\cdot 20\). Cele două produse sunt egale, deci scriem \(x\cdot 100=10\cdot 20=200\).

3. 3

   Aflăm necunoscuta

   x=\frac{200}{100}=2

   Din \(x\cdot 100=200\) aflăm \(x\) împărțind \(200\) la \(100\), pentru că \(x\) este factorul necunoscut dintr-un produs. Rezultă \(x=2\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   \frac{2}{10}=\frac{20}{100}

   Înlocuim \(x\) cu \(2\). Amplificăm fracția \(\frac{2}{10}\) cu \(10\) și obținem \(\frac{20}{100}\), deci cele două fracții sunt egale și rezultatul este corect.

Răspuns: x = 2

Numărul natural din intervalul \((0,2)\) este egal cu ….

Metoda: Intervale de numere reale

1. 1

   Ce înseamnă intervalul (0,2)

   (0,2)=\{x\in\mathbb{R}\mid 0<x<2\}

   Parantezele rotunde arată că extremitățile intervalului nu fac parte din el. Deci în \((0,2)\) intră toate numerele reale strict mai mari decât \(0\) și strict mai mici decât \(2\). Numerele \(0\) și \(2\) sunt excluse.

2. 2

   Căutăm numerele naturale din interval

   \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}

   Numerele naturale sunt \(0, 1, 2, 3, \dots\). Dintre ele, \(0\) și \(2\) sunt excluse, deoarece sunt capetele intervalului și parantezele sunt rotunde. Rămâne un singur număr natural care satisface \(0<x<2\), anume \(1\), pentru că \(0<1<2\).

3. 3

   Verificarea

   0<1<2

   Verificăm că \(1\) respectă ambele condiții: \(1>0\) și \(1<2\). Altfel spus, \(0<1<2\) este adevărat. Nu mai există alt număr natural care să respecte condițiile, deoarece \(0\) nu este strict mai mare decât \(0\), iar \(2\) nu este strict mai mic decât \(2\).

Răspuns: 1

Rombul \(ABCD\) are diagonalele \(AC = 16\) cm și \(BD = 12\) cm. Lungimea laturii \(AB\) a acestui romb este egală cu … cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora în romb

1. 1

   Aflăm jumătățile diagonalelor

   AO=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8,\quad BO=\frac{BD}{2}=\frac{12}{2}=6

   Fie \(O\) punctul în care se intersectează diagonalele. Într-un romb (care este paralelogram), diagonalele se înjumătățesc, deci \(O\) este mijlocul lui \(AC\) și al lui \(BD\). Împărțim fiecare diagonală la 2.

2. 2

   Observăm triunghiul dreptunghic AOB

   AC\perp BD \Rightarrow \triangle AOB \text{ este dreptunghic în } O

   Diagonalele rombului sunt perpendiculare, deci unghiul \(\angle AOB\) este drept. Triunghiul \(AOB\) are catetele \(AO=8\) și \(BO=6\), iar ipotenuza este latura \(AB\), exact ce căutăm.

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   AB^2=AO^2+BO^2=8^2+6^2=64+36=100

   În triunghiul dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Calculăm \(8^2=64\), \(6^2=36\) și le adunăm.

4. 4

   Aflăm lungimea laturii

   AB=\sqrt{100}=10\text{ cm}

   Latura este numărul pozitiv al cărui pătrat este 100, adică 10. Lungimea nu poate fi negativă.

Răspuns: AB = 10 cm

Secțiunea axială a cilindrului circular drept reprezentat în Figura 1 este un pătrat cu latura de \(6\) cm. Volumul acestui cilindru este egal cu \(\ldots\pi\) cm\(^3\). (Figura 1: cilindru cu secțiunea axială \(A'B'BA\) pătrat, cu centrele bazelor \(O\) și \(O'\).)

Metoda: Volumul cilindrului circular drept

1. 1

   Aflăm înălțimea și diametrul din secțiunea axială

   h = AA' = 6,\quad d = AB = 6

   Secțiunea axială a unui cilindru este dreptunghiul care trece prin axa cilindrului. Latura \(AB\) este diametrul bazei, iar latura \(AA'\) este înălțimea cilindrului. Cum secțiunea este pătrat cu latura de \(6\) cm, avem diametrul \(6\) cm și înălțimea \(6\) cm.

2. 2

   Calculăm raza bazei

   R = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3

   Raza este jumătate din diametru. Formula volumului folosește raza, nu diametrul, de aceea trebuie să împărțim diametrul la \(2\).

3. 3

   Aplicăm formula volumului

   V = \pi R^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi

   Volumul cilindrului este aria bazei înmulțită cu înălțimea. Aria bazei (un cerc) este \(\pi R^2\). Avem \(R=3\) și \(h=6\), deci \(V=\pi\cdot 9\cdot 6=54\pi\) cm\(^3\). Cerința cere numărul din fața lui \(\pi\), adică \(54\).

4. 4

   Verificăm rezultatul

   V = 54\pi \text{ cm}^3

   Răspunsul cerut este numărul care stă în fața lui \(\pi\), deci \(54\). Coincide cu cel din barem.

Răspuns: 54

În tabelul de mai jos este prezentată repartiția elevilor unei clase a VIII-a, în funcție de notele obținute la teza la matematică, în semestrul al II-lea. Nota la teză: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; Număr de elevi: 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 3. Conform tabelului, numărul elevilor care au obținut la teză cel puțin nota 9 este mai mare decât numărul elevilor care au obținut la teză cel mult nota 4 cu ….

Metoda: Citirea datelor din tabel

1. 1

   Elevii cu cel puțin nota 9

   9 \text{ și } 10

   „Cel puțin nota 9” înseamnă nota 9 sau mai mare decât 9. Notele posibile sunt doar 9 și 10. Din tabel, 5 elevi au luat nota 9, iar 3 elevi au luat nota 10. Îi adunăm, pentru că vrem numărul total de elevi din acest grup: \(5+3=8\).

2. 2

   Elevii cu cel mult nota 4

   1, 2, 3 \text{ și } 4

   „Cel mult nota 4” înseamnă nota 4 sau mai mică decât 4, adică notele 1, 2, 3 și 4. Din tabel: la nota 1 sunt 0 elevi, la nota 2 sunt 0 elevi, la nota 3 este 1 elev, iar la nota 4 sunt 2 elevi. Adunăm: \(0+0+1+2=3\).

3. 3

   Compararea celor două numere

   8-3=5

   Întrebarea ne cere cu cât este mai mare primul număr (8) decât al doilea (3). Ca să aflăm cu cât e mai mare un număr decât altul, facem scăderea: \(8-3=5\). Deci numărul elevilor cu cel puțin nota 9 este mai mare cu 5 decât numărul elevilor cu cel mult nota 4.

Răspuns: 5

Desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată de vârf \(V\) și bază \(ABCD\).

Metoda: Desenarea piramidei patrulatere regulate

1. 1

   Ce este o piramidă patrulateră regulată

   ABCD \text{ pătrat},\quad VO \perp (ABCD)

   O piramidă patrulateră regulată are baza un pătrat \(ABCD\). Vârful \(V\) se află exact deasupra centrului \(O\) al pătratului (intersecția diagonalelor), iar înălțimea \(VO\) este perpendiculară pe plan. De aceea toate muchiile laterale \(VA, VB, VC, VD\) sunt egale, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

2. 2

   Desenăm baza în perspectivă

   ABCD \text{ paralelogram în desen}

   În desenul în spațiu, pătratul bazei se reprezintă ca un paralelogram. Trasăm \(AB\) orizontal, apoi \(AD\) oblic, scurtat, apoi \(BC\) paralel și egal cu \(AD\), și \(DC\) paralel cu \(AB\). Pentru că baza nu se vede toată din față, laturile din spate (de exemplu \(AD\) și \(DC\)) le desenăm punctat.

3. 3

   Marcăm centrul și vârful

   O = AC \cap BD,\quad V \text{ deasupra lui } O

   Trasăm diagonalele \(AC\) și \(BD\) (punctat, fiind în interiorul bazei) și notăm intersecția lor cu \(O\). Din \(O\) ducem o dreaptă verticală în sus și pe ea alegem vârful \(V\). Segmentul \(VO\) este înălțimea piramidei și îl desenăm punctat, fiind în interior.

4. 4

   Unim vârful cu colțurile și notăm

   VA,\ VB,\ VC,\ VD

   Unim \(V\) cu \(A, B, C, D\) prin muchiile laterale. Muchiile vizibile (\(VA, VB, VC\)) se trasează continuu, iar muchia din spate \(VD\) se trasează punctat. În final scriem clar literele \(V, A, B, C, D\) lângă vârfuri. Baremul acordă 1 punct pentru notarea corectă a piramidei.

Răspuns: Desenul: baza \(ABCD\) (pătrat, în desen paralelogram), vârful \(V\) deasupra centrului \(O\), cu muchiile \(VA, VB, VC, VD\); muchiile nevăzute punctate, toate vârfurile notate.

Arătați că suma numerelor \(x=\left(\sqrt{2}+\dfrac{5}{\sqrt{2}}\right)\cdot\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot\sqrt{3}\) și \(y=\left(\dfrac{3}{2\sqrt{5}}+\dfrac{2}{3\sqrt{5}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{180}}\) este pătratul unui număr natural.

Metoda: Calcul cu numere reale

1. 1

   Calculăm numărul x

   x=\left(\sqrt{2}+\frac{5}{\sqrt{2}}\right)\cdot\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot\sqrt{3}=(2+5)-(3+1)=3

   Înmulțim fiecare termen din paranteză cu radicalul de lângă ea. Avem \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\) și \(\frac{5}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}=5\), deci prima parte este \(2+5=7\). La fel, \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\) și \(\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3}=1\), deci a doua parte este \(3+1=4\). Atunci \(x=7-4=3\). Facem așa pentru că radicalii dispar și rămân doar numere simple.

2. 2

   Calculăm numărul y

   y=\left(\frac{3}{2\sqrt{5}}+\frac{2}{3\sqrt{5}}\right):\frac{1}{\sqrt{180}}=\frac{13}{6\sqrt{5}}\cdot\sqrt{180}=\frac{13}{6\sqrt{5}}\cdot 6\sqrt{5}=13

   Adunăm fracțiile din paranteză. Numitorul comun este \(6\sqrt{5}\): \(\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{9}{6\sqrt{5}}\) și \(\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{4}{6\sqrt{5}}\), deci suma este \(\frac{13}{6\sqrt{5}}\). Împărțirea la \(\frac{1}{\sqrt{180}}\) înseamnă înmulțire cu \(\sqrt{180}\). Scoatem factorii de sub radical: \(\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}\). Atunci \(\frac{13}{6\sqrt{5}}\cdot 6\sqrt{5}=13\), pentru că \(6\sqrt{5}\) se simplifică.

3. 3

   Calculăm suma x + y și arătăm că este pătrat perfect

   x+y=3+13=16=4^2

   Din pașii anteriori avem \(x=3\) și \(y=13\). Atunci \(x+y=3+13=16\). Numărul 16 este \(4\cdot 4=4^2\), iar 4 este număr natural. Deci suma este pătratul unui număr natural, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: x = 3, y = 13, deci \(x+y=16=4^2\), pătratul numărului natural 4.

Perimetrul unui dreptunghi este egal cu \(220\) cm. Determinați lungimea și lățimea acestui dreptunghi, știind că, dacă am mări lățimea dreptunghiului cu \(10\) cm și am micșora lungimea dreptunghiului cu \(20\) cm, am obține un dreptunghi cu aria egală cu aria dreptunghiului inițial.

Metoda: Ecuații și sistem de ecuații

1. 1

   Scriem perimetrul

   2(L+l)=220

   Perimetrul dreptunghiului este de două ori suma dintre lungime și lățime: \(P=2(L+l)\). Știm că \(P=220\) cm, deci \(2(L+l)=220\). Împărțim la 2 și obținem \(L+l=110\).

2. 2

   Scriem egalitatea ariilor

   L\cdot l=(L-20)(l+10)

   Aria dreptunghiului inițial este \(L\cdot l\). Noul dreptunghi are lungimea \(L-20\) și lățimea \(l+10\), deci aria \((L-20)(l+10)\). Problema spune că ariile sunt egale.

3. 3

   Desfacem parantezele și simplificăm

   Ll=Ll+10L-20l-200 \Rightarrow 10L-20l=200 \Rightarrow L-2l=20

   Înmulțim: \((L-20)(l+10)=Ll+10L-20l-200\). Scădem \(Ll\) din ambele părți, rămâne \(0=10L-20l-200\), adică \(10L-20l=200\). Împărțim la 10 și obținem \(L-2l=20\).

4. 4

   Rezolvăm sistemul

   \begin{cases}L+l=110\\ L-2l=20\end{cases}\Rightarrow 3l=90 \Rightarrow l=30,\ L=80

   Scădem a doua relație din prima: \((L+l)-(L-2l)=110-20\), deci \(3l=90\) și \(l=30\). Apoi \(L=110-30=80\).

5. 5

   Verificăm rezultatul

   80\cdot 30=60\cdot 40=2400

   Perimetrul: \(2(80+30)=220\). Noul dreptunghi are laturile \(80-20=60\) și \(30+10=40\), deci aria \(60\cdot40=2400\), egală cu \(80\cdot30=2400\). Totul se potrivește.

Răspuns: Lungimea este \(L=80\) cm, iar lățimea este \(l=30\) cm.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x+1\). a) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Reprezentarea graficului funcției liniare

1. 1

   Primul punct al graficului

   f(0)=3\cdot 0+1=1

   Alegem \(x=0\) pentru că înlocuirea cu 0 e foarte ușoară. Obținem \(f(0)=3\cdot 0+1=1\), deci punctul \(A(0,1)\) aparține graficului. Acest punct se află pe axa Oy, la înălțimea 1.

2. 2

   Al doilea punct al graficului

   f(1)=3\cdot 1+1=4

   Avem nevoie de un al doilea punct, diferit de primul, ca să putem trasa dreapta. Alegem \(x=1\) și obținem \(f(1)=3\cdot 1+1=4\), deci punctul \(B(1,4)\) aparține graficului.

3. 3

   Trasarea graficului

   A(0,1),\ B(1,4)

   Desenăm un sistem de axe \(xOy\) cu o unitate bine aleasă pe fiecare axă. Marcăm punctul \(A(0,1)\): 0 pe orizontală, 1 în sus. Marcăm punctul \(B(1,4)\): 1 la dreapta, 4 în sus. Prin două puncte trece o singură dreaptă, deci unim A cu B cu o riglă și prelungim dreapta în ambele sensuri, deoarece domeniul este \(\mathbb{R}\). Graficul este dreapta AB.

Răspuns: Graficul funcției \(f\) este dreapta care trece prin punctele \(A(0,1)\) și \(B(1,4)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x+1\). b) Calculați tangenta unghiului determinat de graficul funcției \(f\) cu axa \(Oy\) a sistemului de coordonate \(xOy\).

Metoda: Tangenta în triunghi dreptunghic

1. 1

   Aflăm punctul M, unde graficul taie axa Ox

   f(x)=0 \Rightarrow 3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3}, \quad OM=\frac{1}{3}

   Un punct de pe axa Ox are ordonata 0. Punem condiția \(f(x)=0\), adică \(3x+1=0\), și obținem \(3x=-1\), deci \(x=-\frac{1}{3}\). Lungimea unui segment este pozitivă, deci \(OM=\frac{1}{3}\) (distanța de la O la M).

2. 2

   Aflăm punctul N, unde graficul taie axa Oy

   f(0)=3\cdot 0+1=1, \quad ON=1

   Un punct de pe axa Oy are abscisa 0. Calculăm \(f(0)=3\cdot0+1=1\), deci punctul este \(N(0,1)\) și \(ON=1\).

3. 3

   Identificăm unghiul și triunghiul dreptunghic

   \triangle OMN \text{ dreptunghic în } O, \quad \angle(\text{grafic},Oy)=\angle MNO

   Axele Ox și Oy sunt perpendiculare, deci triunghiul OMN are unghi drept în O. Graficul trece prin M și N, iar dreapta MN face cu axa Oy (dreapta NO) unghiul MNO. Acesta este unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, deci îi putem calcula tangenta.

4. 4

   Calculăm tangenta unghiului MNO

   \operatorname{tg}(\angle MNO)=\frac{OM}{ON}=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}

   În triunghi dreptunghic, tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată. Pentru unghiul N, cateta opusă este OM, iar cea alăturată este ON. Deci \(\operatorname{tg}(\angle MNO)=\frac{OM}{ON}=\frac{1/3}{1}=\frac{1}{3}\).

Răspuns: \(\operatorname{tg}(\angle MNO)=\dfrac{1}{3}\)

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{3}{2-x}-\dfrac{6x}{x^2-4}\right):\dfrac{(x-2)^2-1}{x^2+x-2}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -2\), \(x\neq 1\), \(x\neq 2\) și \(x\neq 3\). Arătați că \(E(x)=1\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -2\), \(x\neq 1\), \(x\neq 2\) și \(x\neq 3\).

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   Calculăm paranteza: numitor comun

   \frac{x}{x+2}+\frac{3}{x-2}-\frac{6x}{(x-2)(x+2)}

   Observăm că \(2-x=-(x-2)\), deci \(-\frac{3}{2-x}=+\frac{3}{x-2}\). Apoi \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) (formula \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)). Numitorul comun este \((x-2)(x+2)\), deci amplificăm primele două fracții cu \(x-2\), respectiv \(x+2\).

2. 2

   Efectuăm calculele din paranteză

   \frac{x(x-2)+3(x+2)-6x}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2-2x+3x+6-6x}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2-5x+6}{(x-2)(x+2)}

   Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: \(-2x+3x-6x=-5x\). Numărătorul \(x^2-5x+6\) se descompune în \((x-2)(x-3)\), pentru că \(-2-3=-5\) și \((-2)(-3)=6\). Apoi simplificăm cu \(x-2\) (permis, deoarece \(x\neq2\)).

3. 3

   Rezultatul parantezei

   \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-3}{x+2}

   După simplificarea cu \(x-2\), paranteza este egală cu \(\frac{x-3}{x+2}\). Aceasta este prima jumătate a expresiei \(E(x)\).

4. 4

   Simplificăm fracția a doua

   \frac{(x-2)^2-1}{x^2+x-2}=\frac{(x-2-1)(x-2+1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{(x-3)(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{x-3}{x+2}

   La numărător folosim \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) cu \(a=x-2\), \(b=1\): obținem \((x-3)(x-1)\). La numitor, \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), pentru că \(-1+2=1\) și \((-1)\cdot2=-2\). Simplificăm cu \(x-1\) (permis, deoarece \(x\neq1\)).

5. 5

   Împărțirea și concluzia

   E(x)=\frac{x-3}{x+2}:\frac{x-3}{x+2}=1

   Am obținut două fracții identice, iar un număr nenul împărțit la el însuși dă 1. Fracția \(\frac{x-3}{x+2}\) este nenulă pentru că \(x\neq3\) și \(x\neq-2\). Deci \(E(x)=1\) pentru orice \(x\) permis.

Răspuns: E(x)=1 pentru orice număr real x, x≠-2, x≠1, x≠2 și x≠3.

În figură este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB > BC\) și \(AC = 4\) dm, iar punctul \(O\) este intersecția diagonalelor dreptunghiului. Punctele \(E\) și \(F\) sunt mijloacele segmentelor \(AO\), respectiv \(CO\), iar punctul \(L\) aparține laturii \(AB\), astfel încât \(LE = LF\). a) Arătați că \(OE = 1\) dm.

Metoda: Proprietățile diagonalelor dreptunghiului

1. 1

   Aflăm lungimea lui AO

   AO = \frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ dm}

   Într-un dreptunghi, diagonalele se înjumătățesc una pe alta (dreptunghiul este paralelogram). Deci \(O\), punctul lor de intersecție, este mijlocul diagonalei \(AC\). Prin urmare \(AO\) este jumătate din \(AC\), adică jumătate din \(4\) dm.

2. 2

   Aflăm lungimea lui OE

   OE = \frac{AO}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ dm}

   Punctul \(E\) este mijlocul segmentului \(AO\), deci \(OE\) este jumătate din \(AO\). Cum \(AO = 2\) dm, obținem \(OE = 1\) dm, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(OE = 1\) dm

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB > BC\) și \(AC = 4\) dm, iar punctul \(O\) este intersecția diagonalelor. Punctele \(E\) și \(F\) sunt mijloacele segmentelor \(AO\), respectiv \(CO\), iar punctul \(L\) aparține laturii \(AB\), astfel încât \(LE = LF\). b) Demonstrați că triunghiurile \(AOL\) și \(ABC\) sunt asemenea.

Metoda: Criteriul de asemănare U.U.

1. 1

   Arătăm că \(LO \perp EF\)

   LE = LF \Rightarrow \triangle LEF \text{ isoscel}, \; OE = OF \Rightarrow LO \perp EF

   Din \(LE = LF\) rezultă că triunghiul \(LEF\) este isoscel, cu baza \(EF\). Punctul \(O\) este mijlocul lui \(EF\), pentru că \(OE = OF = 1\) dm (\(E\) și \(F\) sunt mijloacele lui \(AO\) și \(CO\), iar \(AO = CO = 2\) dm). Într-un triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și înălțime. Deci \(LO\) este perpendiculară pe \(EF\), adică pe \(AC\).

2. 2

   Găsim unghiurile drepte și unghiul comun

   \angle AOL = 90^\circ = \angle ABC, \quad \angle OAL \equiv \angle BAC

   Din \(LO \perp AC\) rezultă că triunghiul \(AOL\) este dreptunghic în \(O\). Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\), pentru că \(ABCD\) este dreptunghi. Unghiul \(OAL\) este chiar unghiul \(BAC\), pentru că \(O\) se află pe \(AC\) și \(L\) se află pe \(AB\). Deci cele două triunghiuri au un unghi comun și câte un unghi drept.

3. 3

   Concluzia: asemănarea

   \triangle AOL \sim \triangle ABC

   Triunghiurile \(AOL\) și \(ABC\) au două unghiuri respectiv congruente: \(\angle OAL \equiv \angle BAC\) și \(\angle AOL \equiv \angle ABC\), ambele de \(90^\circ\). Conform criteriului de asemănare U.U., triunghiurile sunt asemenea.

Răspuns: Triunghiurile \(AOL\) și \(ABC\) sunt dreptunghice și au unghiul \(A\) comun, deci \(\triangle AOL \sim \triangle ABC\) conform criteriului U.U.

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB > BC\) și \(AC = 4\) dm, iar punctul \(O\) este intersecția diagonalelor. Punctele \(E\) și \(F\) sunt mijloacele segmentelor \(AO\), respectiv \(CO\), iar punctul \(L\) aparține laturii \(AB\), astfel încât \(LE = LF\). c) Arătați că, dacă triunghiul \(LEF\) este echilateral, atunci \(AB = \dfrac{8\sqrt{7}}{7}\) dm.

Metoda: Pitagora și asemănarea triunghiurilor

1. 1

   Aflăm lungimea lui EF și a lui OL

   EF = OE + OF = 1 + 1 = 2,\quad OL = \frac{EF\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

   Punctul \(O\) este mijlocul lui \(AC\), deci \(AO = OC = 2\) dm. \(E\) și \(F\) sunt mijloacele lui \(AO\) și \(CO\), deci \(OE = OF = 1\) dm și \(EF = 2\) dm. Triunghiul \(LEF\) este echilateral cu latura 2, iar \(LO\) este înălțime (de la punctul b știm \(LO \perp EF\)). Înălțimea unui triunghi echilateral de latură \(\ell\) este \(\frac{\ell\sqrt{3}}{2}\), deci \(OL = \sqrt{3}\) dm. Putem folosi și Pitagora în \(\triangle LOE\): \(OL^2 = LE^2 - OE^2 = 4 - 1 = 3\).

2. 2

   Aflăm AL cu teorema lui Pitagora

   AL^2 = AO^2 + OL^2 = 4 + 3 = 7,\quad AL = \sqrt{7}

   Triunghiul \(AOL\) este dreptunghic în \(O\), pentru că \(LO \perp AC\). Ipotenuza este \(AL\), iar catetele sunt \(AO = 2\) și \(OL = \sqrt{3}\). Aplicăm teorema lui Pitagora.

3. 3

   Folosim asemănarea triunghiurilor AOL și ABC

   \frac{AO}{AB} = \frac{AL}{AC} \Rightarrow \frac{2}{AB} = \frac{\sqrt{7}}{4}

   De la punctul b) avem \(\triangle AOL \sim \triangle ABC\) (ambele sunt dreptunghice și au unghiul \(A\) comun). Laturile care se corespund au raport egal: \(AO\) cu \(AB\) și \(AL\) cu \(AC\). Cunoaștem \(AO = 2\), \(AL = \sqrt{7}\), \(AC = 4\).

4. 4

   Calculăm AB

   AB = \frac{2\cdot 4}{\sqrt{7}} = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}

   Din proporția \(\frac{2}{AB} = \frac{\sqrt{7}}{4}\) rezultă, prin produsul mezilor și al extremilor, \(AB\cdot\sqrt{7} = 8\). Deci \(AB = \frac{8}{\sqrt{7}}\). Raționalizăm numitorul, amplificând fracția cu \(\sqrt{7}\): \(\frac{8\sqrt{7}}{7}\) dm. Este exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(AB = \dfrac{8\sqrt{7}}{7}\) dm

În Figura 3 este reprezentat un tetraedru regulat \(ABCD\) cu \(AB = 10\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele muchiilor \(CD\), respectiv \(BC\). a) Arătați că suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului \(ABCD\) este egală cu 60 cm.

Metoda: Numărarea muchiilor tetraedrului regulat

1. 1

   Câte muchii are tetraedrul și cum sunt ele

   \text{număr muchii} = 6, \quad AB = AC = AD = BC = BD = CD = 10

   Un tetraedru are 4 vârfuri: \(A, B, C, D\). Fiecare pereche de vârfuri este unită printr-o muchie. Muchiile sunt: \(AB, AC, AD, BC, BD, CD\), deci 6 muchii. Tetraedrul este regulat, adică toate fețele sunt triunghiuri echilaterale, deci toate cele 6 muchii sunt egale cu \(AB = 10\) cm.

2. 2

   Calculăm suma lungimilor muchiilor

   S = 6 \cdot AB = 6 \cdot 10 = 60 \text{ cm}

   Cele 6 muchii au aceeași lungime, deci în loc să adunăm de șase ori \(10\), înmulțim: \(6 \cdot 10 = 60\). Obținem exact valoarea cerută, 60 cm.

Răspuns: Suma lungimilor tuturor muchiilor este \(6 \cdot 10 = 60\) cm.

În Figura 3 este reprezentat un tetraedru regulat \(ABCD\) cu \(AB = 10\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele muchiilor \(CD\), respectiv \(BC\). Itemul b): Arătați că aria totală a tetraedrului \(ABCD\) este egală cu \(\sqrt{3}\ \text{dm}^2\).

Metoda: Aria totală a tetraedrului regulat

1. 1

   Câte fețe are tetraedrul și cum sunt ele

   A_{totala}=4\cdot A_{\Delta ABC}

   Tetraedrul regulat are 4 fețe: \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\), \(BCD\). Fiind regulat, toate muchiile sunt egale cu 10 cm, deci fiecare față este un triunghi echilateral cu latura de 10 cm și toate fețele au aceeași arie. De aceea aria totală este de 4 ori aria unei fețe.

2. 2

   Aria unui triunghi echilateral cu latura 10 cm

   A_{\Delta ABC}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}\ \text{cm}^2

   Aria unui triunghi echilateral cu latura \(l\) este \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\). Această formulă se obține din aria \(\frac{l\cdot h}{2}\), unde înălțimea \(h=\frac{l\sqrt{3}}{2}\) rezultă din teorema lui Pitagora. Pentru \(l=10\) obținem \(\frac{100\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}\) cm².

3. 3

   Aria totală în cm²

   A_{totala}=4\cdot 25\sqrt{3}=100\sqrt{3}\ \text{cm}^2

   Înmulțim aria unei fețe cu 4, deoarece avem 4 fețe egale: \(4\cdot 25\sqrt{3}=100\sqrt{3}\) cm².

4. 4

   Transformarea în dm²

   1\ \text{dm}^2=100\ \text{cm}^2 \Rightarrow 100\sqrt{3}\ \text{cm}^2=\sqrt{3}\ \text{dm}^2

   Cerința este în dm², iar noi avem cm². Pentru unități de arie, 1 dm = 10 cm, deci 1 dm² = 10·10 = 100 cm². Împărțim la 100: \(100\sqrt{3}:100=\sqrt{3}\). Astfel aria totală este \(\sqrt{3}\ \text{dm}^2\), exact cât trebuia arătat.

Răspuns: Aria totală a tetraedrului este \(100\sqrt{3}\ \text{cm}^2=\sqrt{3}\ \text{dm}^2\).

Subiectul III, 2. c): În Figura 3 este reprezentat un tetraedru regulat \(ABCD\) cu \(AB = 10\) cm. Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele muchiilor \(CD\), respectiv \(BC\). Demonstrați că dreapta \(PQ\) este paralelă cu planul \((ABD)\), unde punctele \(P\) și \(Q\) sunt situate pe segmentele \(AM\), respectiv \(DN\), astfel încât \(\frac{AP}{AM} = \frac{DQ}{DN} = \frac{1}{3}\).

Metoda: Dreaptă paralelă cu plan

1. 1

   Aflăm unde se află punctul Q

   \frac{DQ}{DN}=\frac{1}{3}

   \(DN\) este mediană în triunghiul echilateral \(BCD\) (pentru că \(N\) este mijlocul lui \(BC\)). Centrul de greutate \(O\) al triunghiului \(BCD\) se află pe mediana \(DN\), la \(\frac{2}{3}\) de vârful \(D\), adică \(DO=\frac{2}{3}DN\). Cum \(DQ=\frac{1}{3}DN\), rezultă că \(DQ\) este jumătate din \(DO\), deci \(Q\) este mijlocul segmentului \(DO\).

2. 2

   Construim punctul T și dreapta TQ

   TQ \parallel BD

   Fie \(T\) mijlocul segmentului \(OB\). În triunghiul \(ODB\), punctul \(Q\) este mijlocul lui \(DO\) și \(T\) este mijlocul lui \(OB\), deci \(TQ\) este linie mijlocie. Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură, deci \(TQ \parallel BD\).

3. 3

   Arătăm că PT este paralelă cu AB

   \frac{AP}{PM}=\frac{BT}{TM}\Rightarrow PT\parallel AB

   Avem \(AP=\frac{1}{3}AM\), deci \(\frac{AP}{PM}=\frac{1}{2}\). Punctul \(T\) este mijlocul lui \(OB\), iar \(O\) este la \(\frac{2}{3}\) de \(B\) pe mediana \(BM\) (\(BM\) este mediană în \(BCD\)), deci \(BO=\frac{2}{3}BM\) și \(BT=\frac{1}{3}BM\), iar \(\frac{BT}{TM}=\frac{1}{2}\). Rapoartele sunt egale, deci din reciproca teoremei lui Thales în triunghiul \(ABM\) obținem \(PT \parallel AB\).

4. 4

   Planul (PTQ) este paralel cu (ABD)

   PT\parallel AB,\ TQ\parallel BD \Rightarrow (PTQ)\parallel(ABD)

   Dreptele \(PT\) și \(TQ\) sunt concurente (în \(T\)) și determină planul \((PTQ)\). Ele sunt paralele cu \(AB\), respectiv \(BD\), care sunt două drepte concurente din planul \((ABD)\). Mai mult, \(PT\) și \(TQ\) nu sunt în planul \((ABD)\). Deci două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu două drepte concurente din celălalt plan, iar planele sunt paralele.

5. 5

   Concluzia: PQ este paralelă cu (ABD)

   PQ\subset(PTQ),\ (PTQ)\parallel(ABD)\Rightarrow PQ\parallel(ABD)

   Dreapta \(PQ\) se află în planul \((PTQ)\). Dacă un plan este paralel cu \((ABD)\), orice dreaptă din el este paralelă cu \((ABD)\). Deci \(PQ \parallel (ABD)\), ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Am arătat că \(PQ \parallel (ABD)\), pentru că \(PQ\) este în planul \((PTQ)\), care este paralel cu \((ABD)\).