Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2018, simulare

Rezultatul calculului \(18-6:(1+2)\) este egal cu ... .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Calculăm paranteza

   1+2=3

   Prima dată se efectuează calculele din parantezele rotunde. Aici avem \(1+2=3\), deci expresia devine \(18-6:3\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   6:3=2

   După paranteze, împărțirea are prioritate față de scădere. Deci nu scădem întâi \(18-6\), ci calculăm \(6:3=2\). Expresia devine \(18-2\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   18-2=16

   Ultima operație rămasă este scăderea: \(18-2=16\). Rezultatul este 16, la fel ca în barem.

Răspuns: 16

Numerele reale \(a\) și \(b\) sunt nenule și \(\frac{a}{b}=\frac{1}{4}\). Numărul \(4a-b\) este egal cu ... .

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Scriem raportul fără fracție

   \frac{a}{b}=\frac{1}{4} \Rightarrow 4\cdot a = 1\cdot b

   Folosim proprietatea fundamentală a proporțiilor: produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Adică înmulțim „în cruce”: \(a\) cu \(4\) și \(b\) cu \(1\). Astfel scăpăm de fracții și obținem o egalitate simplă între \(4a\) și \(b\).

2. 2

   Înlocuim în expresia cerută

   4a-b = b-b = 0

   Din pasul anterior știm că \(4a=b\). În expresia \(4a-b\) putem înlocui \(4a\) cu \(b\). Rămâne \(b-b\), adică diferența dintre două numere egale, care este \(0\). Putem face și direct: \(4a-b\) este chiar diferența dintre cei doi membri ai egalității \(4a=b\), deci este zero.

3. 3

   Verificăm cu un exemplu

   a=1,\ b=4 \Rightarrow 4\cdot 1-4=0

   Alegem numere care respectă condiția \(\frac{a}{b}=\frac{1}{4}\), de pildă \(a=1\) și \(b=4\). Calculăm \(4a-b\) și vedem dacă obținem tot \(0\). Se poate încerca și \(a=2\), \(b=8\): \(8-8=0\). Rezultatul nu depinde de numerele alese, atâta timp cât raportul este \(\frac{1}{4}\).

Răspuns: 4a - b = 0

Scrisă sub formă de interval, mulțimea \(A=\{x\in\mathbb{R}\mid 2x-1\ge 3\}\) este egală cu ... .

Metoda: Rezolvarea inecuației de gradul I

1. 1

   Izolăm termenul cu x

   2x-1\ge 3 \Rightarrow 2x\ge 3+1 \Rightarrow 2x\ge 4

   Adunăm 1 în ambii membri ai inegalității, ca să rămână doar termenul cu x în stânga. Adunarea aceluiași număr în ambii membri nu schimbă sensul inegalității.

2. 2

   Îl aflăm pe x

   2x\ge 4 \Rightarrow x\ge 4:2 \Rightarrow x\ge 2

   Împărțim ambii membri la 2. Deoarece 2 este pozitiv, sensul inegalității rămâne același (\(\ge\)). Dacă am fi împărțit la un număr negativ, sensul s-ar fi schimbat.

3. 3

   Scriem mulțimea ca interval

   A=[2,+\infty)

   Condiția \(x\ge 2\) înseamnă toate numerele de la 2 în sus, inclusiv 2. Pentru că 2 face parte din mulțime, punem paranteză pătrată la 2: \([\). La infinit punem mereu paranteză rotundă: \()\).

4. 4

   Verificare

   x=2:\ 2\cdot 2-1=3\ge 3

   Verificăm capătul 2: dă exact 3, deci inegalitatea este adevărată și 2 aparține mulțimii. Pentru x=3 obținem 5, care este mai mare ca 3, deci și 3 aparține mulțimii. Pentru x=1 obținem 1, care este mai mic ca 3, deci 1 nu aparține mulțimii.

Răspuns: \(A=[2,+\infty)\)

Perimetrul unui romb este egal cu \(24\,\text{cm}\). Dacă unul dintre unghiurile rombului are măsura de \(30^\circ\), atunci aria acestui romb este egală cu ... \(\text{cm}^2\).

Metoda: Aria rombului prin înălțime

1. 1

   Aflăm latura rombului

   l=\frac{24}{4}=6

   Rombul are toate cele patru laturi egale. Perimetrul este suma celor patru laturi, deci \(P=4l\). Împărțim perimetrul la 4 ca să aflăm o latură: \(24:4=6\) cm.

2. 2

   Ducem înălțimea rombului

   AE\perp CD,\quad \angle D=30^\circ,\quad AD=6

   Fie rombul ABCD cu \(\angle D=30^\circ\). Ducem din A perpendiculara AE pe dreapta CD. Se formează triunghiul dreptunghic AED, cu ipotenuza \(AD=6\) cm (latura rombului) și unghiul de \(30^\circ\) în D. AE este înălțimea rombului și este cateta opusă unghiului de \(30^\circ\).

3. 3

   Calculăm înălțimea

   AE=\frac{AD}{2}=\frac{6}{2}=3

   În triunghiul dreptunghic, cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză. Ipotenuza este \(AD=6\) cm, deci înălțimea este \(AE=6:2=3\) cm.

4. 4

   Calculăm aria rombului

   \mathcal{A}=CD\cdot AE=6\cdot 3=18

   Rombul este un paralelogram, deci aria lui este baza înmulțită cu înălțimea. Baza este \(CD=6\) cm, iar înălțimea \(AE=3\) cm. Obținem \(6\cdot 3=18\) \(\text{cm}^2\), la fel ca în barem.

Răspuns: 18

În Figura 1 este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\). Măsura unghiului determinat de dreptele \(AB'\) și \(CC'\) este egală cu …°. (Figura 1: cubul \(ABCDA'B'C'D'\), cu diagonala feței \(AB'\) desenată.)

Metoda: Unghiul dintre două drepte

1. 1

   Găsim o dreaptă paralelă cu CC'

   CC' \parallel BB'

   Într-un cub, muchiile laterale sunt toate paralele între ele. Muchia \(CC'\) este paralelă cu \(BB'\), iar \(BB'\) pornește din punctul \(B'\), care se află și pe dreapta \(AB'\). Așa putem aduce cele două drepte într-un punct comun.

2. 2

   Unghiul dintre drepte devine unghiul AB'B

   \angle(AB', CC') = \angle(AB', BB') = \angle AB'B

   Unghiul a două drepte oarecare din spațiu este unghiul dintre două drepte paralele cu ele, care se intersectează. Cum \(CC' \parallel BB'\), unghiul căutat este același cu unghiul \(AB'B\), care se află în triunghiul \(ABB'\).

3. 3

   Triunghiul ABB' este dreptunghic isoscel

   AB = BB', \quad \angle ABB' = 90^\circ

   Într-un cub toate muchiile sunt egale, deci \(AB = BB'\). Muchia \(AB\) este perpendiculară pe \(BB'\), deoarece fața \(ABB'A'\) este pătrat. Deci triunghiul \(ABB'\) este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în \(B\).

4. 4

   Calculăm unghiul AB'B

   \angle AB'B = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ

   Într-un triunghi suma unghiurilor este \(180^\circ\). Unghiul din \(B\) este \(90^\circ\), deci celelalte două însumează \(90^\circ\). Fiind triunghi isoscel (\(AB = BB'\)), unghiurile de la bază sunt egale, deci fiecare are \(45^\circ\). Așadar unghiul dintre \(AB'\) și \(CC'\) este de \(45^\circ\), la fel ca în barem.

Răspuns: \(45^\circ\)

În diagrama de mai jos este prezentată situația statistică a notelor obținute de elevii unei clase a VIII-a la teza de matematică pe semestrul I. Conform diagramei, media notelor obținute de elevii clasei a VIII-a la teza de matematică pe semestrul I este egală cu ... . (Date din diagramă: nota 4 – 1 elev; nota 5 – 3 elevi; nota 6 – 4 elevi; nota 7 – 11 elevi; nota 8 – 7 elevi; nota 9 – 3 elevi; nota 10 – 1 elev.)

Metoda: Media aritmetică ponderată

1. 1

   Citim datele din diagramă

   4\to 1,\ 5\to 3,\ 6\to 4,\ 7\to 11,\ 8\to 7,\ 9\to 3,\ 10\to 1

   Fiecare bară arată câți elevi au luat o anumită notă. Înălțimea barei este frecvența notei. Citim cu atenție fiecare bară, pentru că de aici pornesc toate calculele.

2. 2

   Aflăm numărul total de elevi

   1+3+4+11+7+3+1=30

   Media se obține împărțind suma tuturor notelor la numărul de elevi. De aceea avem nevoie de numărul total de elevi, adică suma frecvențelor.

3. 3

   Calculăm suma tuturor notelor

   4\cdot 1+5\cdot 3+6\cdot 4+7\cdot 11+8\cdot 7+9\cdot 3+10\cdot 1=213

   Dacă 3 elevi au luat 5, ei aduc împreună 5·3 note. Așa că înmulțim fiecare notă cu numărul de elevi care au luat-o, apoi adunăm rezultatele. Astfel obținem suma tuturor notelor din clasă.

4. 4

   Calculăm media și verificăm

   m=\frac{213}{30}=7{,}1

   Media este suma notelor împărțită la numărul de elevi. Obținem 7,1, la fel ca în barem. Rezultatul are sens, pentru că cei mai mulți elevi au 7 sau 8, deci media este puțin peste 7.

Răspuns: 7,1

Desenați, pe foaia de examen, o prismă dreaptă \(ABCDEF\) cu baza triunghiul echilateral \(ABC\).

Metoda: Desenul prismei drepte

1. 1

   Desenăm baza \(ABC\) (triunghiul echilateral)

   AB=BC=CA

   Prisma are două baze identice. Începem cu baza de jos, triunghiul \(ABC\). Fiindcă este echilateral, cele trei laturi trebuie să fie egale. În perspectivă, baza se desenează ca un triunghi „turtit”, dar aproape egal: alegem, de exemplu, \(AB\) orizontal, apoi punctul \(C\) puțin deasupra și între \(A\) și \(B\), iar latura nevăzută \(AC\) o facem cu linie întreruptă, dacă ea este în spatele prismei.

2. 2

   Ducem muchiile laterale, paralele și egale

   AD\parallel BE\parallel CF,\quad AD=BE=CF

   Prisma este dreaptă, deci muchiile laterale sunt perpendiculare pe planul bazei. Din fiecare vârf al bazei \(A, B, C\) ducem în sus un segment vertical. Cele trei segmente sunt paralele între ele și au aceeași lungime. Notăm capetele lor \(D, E, F\), astfel încât \(D\) este deasupra lui \(A\), \(E\) deasupra lui \(B\) și \(F\) deasupra lui \(C\).

3. 3

   Desenăm baza de sus \(DEF\) și notăm prisma

   \triangle DEF\equiv\triangle ABC

   Unim punctele \(D, E, F\) și obținem baza de sus, un triunghi echilateral identic cu \(ABC\). Muchiile care nu se văd (cele din spatele prismei) se desenează cu linie punctată, iar cele vizibile cu linie continuă. La final scriem clar numele prismei: \(ABCDEF\), cu vârfurile notate pe desen. Acesta este 1 punct din barem.

Răspuns: Desenul este o prismă dreaptă \(ABCDEF\), cu baza triunghiul echilateral \(ABC\), muchiile laterale \(AD, BE, CF\) perpendiculare pe baze, paralele și egale, iar vârfurile notate corect (4p pentru desen + 1p pentru notare).

Determinați numerele naturale \(x\) și \(y\), știind că numărul \(x\) este prim și \(x+4y=30\).

Metoda: Paritate și numere prime

1. 1

   Aflăm dacă x este par

   x = 30 - 4y

   Din egalitatea \(x+4y=30\) obținem \(x=30-4y\). Numărul \(4y\) este multiplu de \(4\), deci este par. Numărul \(30\) este și el par. Diferența a două numere pare este un număr par, deci \(x\) este par.

2. 2

   Folosim faptul că x este prim

   x \text{ par și prim} \Rightarrow x = 2

   Singurul număr prim par este \(2\), pentru că orice alt număr par se împarte la \(2\) și are cel puțin trei divizori, deci este compus. Cum \(x\) este prim și par, obținem \(x=2\).

3. 3

   Aflăm y

   4y = 30 - 2 = 28 \Rightarrow y = 7

   Înlocuim \(x=2\) în egalitatea inițială: \(2+4y=30\), deci \(4y=30-2=28\). Împărțim la \(4\) și obținem \(y=28:4=7\).

4. 4

   Verificare

   2 + 4\cdot 7 = 30

   Verificăm: \(2+4\cdot7=2+28=30\), deci egalitatea este adevărată, iar \(2\) este număr prim.

Răspuns: x = 2 și y = 7

Un biciclist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi biciclistul a parcurs 30% din întregul traseu, a doua zi biciclistul a parcurs două cincimi din restul traseului, iar a treia zi a parcurs ultimii 42 km ai traseului. Calculați lungimea traseului parcurs în cele trei zile.

Metoda: Ecuație cu procente și fracții

1. 1

   Alegem necunoscuta

   x = \text{lungimea traseului (km)}

   Nu știm cât de lung este traseul, iar toate părțile din problemă depind de el. De aceea îl notăm cu \(x\) și exprimăm tot în funcție de \(x\).

2. 2

   Distanța din prima zi

   \frac{30x}{100}

   În prima zi a parcurs \(30\%\) din traseu, adică \(\frac{30}{100}\) din \(x\), deci \(\frac{30x}{100}\).

3. 3

   Distanța din a doua zi

   \frac{2}{5}\left(x-\frac{30x}{100}\right)

   A doua zi a parcurs două cincimi din rest. Restul este ce a mai rămas după prima zi: \(x-\frac{30x}{100}\). Apoi luăm \(\frac{2}{5}\) din acest rest.

4. 4

   Scriem ecuația

   \frac{30x}{100}+\frac{2}{5}\left(x-\frac{30x}{100}\right)+42=x

   Cele trei distanțe (prima zi, a doua zi și ultimii 42 km) alcătuiesc împreună tot traseul \(x\). De aceea suma lor este egală cu \(x\).

5. 5

   Rezolvăm ecuația

   \frac{3x}{10}+\frac{2}{5}\cdot\frac{7x}{10}+42=x \Rightarrow \frac{3x}{10}+\frac{7x}{25}+42=x \Rightarrow 42=\frac{9x}{25}\cdot\frac{?}{}

   Simplificăm: \(\frac{30x}{100}=\frac{3x}{10}\), iar restul este \(\frac{7x}{10}\). Atunci a doua zi: \(\frac{2}{5}\cdot\frac{7x}{10}=\frac{7x}{25}\). Aducem la numitor comun 50: \(\frac{15x}{50}+\frac{14x}{50}+42=x\), deci \(\frac{29x}{50}+42=x\), de unde \(42=\frac{21x}{50}\). Atunci \(x=\frac{42\cdot 50}{21}=2\cdot 50=100\). Deci \(x=100\) km.

6. 6

   Verificare

   30+28+42=100

   Verificăm: prima zi 30 km (30% din 100). Rest 70 km. A doua zi \(\frac{2}{5}\cdot 70=28\) km. A treia zi 42 km. Suma: \(30+28+42=100\) km, exact traseul.

Răspuns: Traseul are lungimea de 100 km.

Se consideră numerele reale \(a=\sqrt{6}\cdot\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}}+\dfrac{5}{\sqrt{3}}\right)-\left|5\sqrt{2}-7\right|\) și \(b=\dfrac{3}{2-\sqrt{3}}+\left(\sqrt{2}\right)^2\). a) Arătați că \(a=3\sqrt{3}+7\).

Metoda: Calcul cu radicali și modul

1. 1

   Stabilim semnul lui \(5\sqrt{2}-7\) și scăpăm de modul

   5\sqrt{2}=\sqrt{50}>\sqrt{49}=7 \Rightarrow |5\sqrt{2}-7|=5\sqrt{2}-7

   Modulul unui număr pozitiv este chiar numărul. Ca să vedem dacă \(5\sqrt{2}-7\) este pozitiv, comparăm \(5\sqrt{2}\) cu 7. Introducem 5 sub radical: \(5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}\). Cum \(\sqrt{50}>\sqrt{49}=7\), diferența este pozitivă, deci modulul se scrie fără schimbarea semnului.

2. 2

   Înmulțim \(\sqrt{6}\) cu paranteza

   \sqrt{6}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}+\sqrt{6}\cdot\frac{5}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}+5\sqrt{2}

   Distribuim \(\sqrt{6}\) la fiecare termen din paranteză. Folosim \(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{6}{2}}=\sqrt{3}\) și \(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}\). Așa primim \(3\sqrt{3}\) și \(5\sqrt{2}\).

3. 3

   Reunim totul și reducem termenii asemenea

   a=3\sqrt{3}+5\sqrt{2}-(5\sqrt{2}-7)=3\sqrt{3}+5\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7=3\sqrt{3}+7

   Punem rezultatele din pașii anteriori în expresia lui \(a\). Scăderea unei paranteze schimbă semnele din ea: \(-(5\sqrt{2}-7)=-5\sqrt{2}+7\). Apoi \(5\sqrt{2}\) și \(-5\sqrt{2}\) se reduc, rămâne \(3\sqrt{3}+7\), exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(a=3\sqrt{3}+7\)

Se consideră numerele reale \(a=\sqrt{6}\cdot\left(\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{5}{\sqrt{3}}\right)-\left|5\sqrt{2}-7\right|\) și \(b=\frac{3}{2-\sqrt{3}}+\left(\sqrt{2}\right)^2\). b) Calculați \(\left(a-b\right)^{2018}\).

Metoda: Raționalizarea numitorului

1. 1

   Raționalizăm numitorul lui b

   \frac{3}{2-\sqrt{3}}=\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}

   Nu e frumos să avem radical la numitor. Amplificăm fracția cu conjugatul numitorului, adică \(2+\sqrt{3}\). Astfel, la numitor apare formula \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\) și radicalul dispare.

2. 2

   Calculăm numitorul cu formula diferenței de pătrate

   \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=2^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=4-3=1

   Aplicăm \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\) cu \(x=2\) și \(y=\sqrt{3}\). Pătratul lui \(\sqrt{3}\) este 3, deci numitorul devine 1.

3. 3

   Aflăm valoarea lui b

   b=3\left(2+\sqrt{3}\right)+2=6+3\sqrt{3}+2=8+3\sqrt{3}

   Fracția devine \(\frac{3(2+\sqrt{3})}{1}=6+3\sqrt{3}\). Apoi adunăm \(\left(\sqrt{2}\right)^2=2\) și adunăm numerele fără radical: 6 + 2 = 8.

4. 4

   Calculăm diferența a − b

   a-b=3\sqrt{3}+7-\left(8+3\sqrt{3}\right)=3\sqrt{3}+7-8-3\sqrt{3}=-1

   Avem \(a=3\sqrt{3}+7\) de la punctul a). Când scădem paranteza, schimbăm semnele din ea. Termenii \(3\sqrt{3}\) se reduc, iar 7 − 8 = −1.

5. 5

   Ridicăm la puterea 2018

   \left(a-b\right)^{2018}=\left(-1\right)^{2018}=1

   Un număr negativ ridicat la o putere pară dă un rezultat pozitiv. Cum 2018 este par, \((-1)^{2018}=1\).

Răspuns: \((a-b)^{2018}=1\)

Demonstrați că, pentru orice număr întreg \(x\), numărul \(N=(4x+3)^2-2(5x-3)(x+1)-2x(3x+10)\) este divizibil cu 5.

Metoda: Calcul algebric și formule prescurtate

1. 1

   Desfacem pătratul din primul termen

   (4x+3)^2=(4x)^2+2\cdot 4x\cdot 3+3^2=16x^2+24x+9

   Folosim formula de calcul prescurtat \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), cu \(a=4x\) și \(b=3\). Așa scăpăm de pătratul parantezei și obținem termeni simpli.

2. 2

   Desfacem al doilea termen

   -2(5x-3)(x+1)=-2(5x^2+5x-3x-3)=-2(5x^2+2x-3)=-10x^2-4x+6

   Înmulțim mai întâi cele două paranteze, apoi înmulțim rezultatul cu \(-2\). Atenție la semnul minus: el schimbă semnul fiecărui termen din paranteză.

3. 3

   Desfacem al treilea termen

   -2x(3x+10)=-6x^2-20x

   Înmulțim \(-2x\) cu fiecare termen din paranteză. Semnul minus rămâne la ambii termeni.

4. 4

   Reducem termenii asemenea

   N=16x^2+24x+9-10x^2-4x+6-6x^2-20x=(16-10-6)x^2+(24-4-20)x+(9+6)=15

   Adunăm separat termenii cu \(x^2\), cei cu \(x\) și numerele libere. Termenii cu \(x^2\) și cu \(x\) dau 0, deci x dispare și rămâne doar 15.

5. 5

   Concluzia

   N=15=5\cdot 3\ \Rightarrow\ 5\mid N

   Am obținut \(N=15\) pentru orice x întreg, iar 15 este multiplu de 5, deci N se împarte exact la 5. Demonstrația este încheiată.

Răspuns: N = 15 pentru orice număr întreg x, iar 15 = 5·3 este divizibil cu 5.

În Figura 2 este reprezentat un triunghi echilateral \(ABC\) și punctele \(D\) și \(E\) sunt situate pe latura \(BC\) astfel încât \(BD = DE = EC = 6\,\text{cm}\). a) Arătați că perimetrul triunghiului \(ABC\) este egal cu \(54\,\text{cm}\).

Metoda: Perimetrul triunghiului echilateral

1. 1

   Aflăm lungimea laturii BC

   BC = BD + DE + EC = 6 + 6 + 6 = 18

   Punctele \(D\) și \(E\) se află pe latura \(BC\), în ordinea \(B, D, E, C\). Deci latura \(BC\) este formată din trei segmente puse cap la cap: \(BD\), \(DE\) și \(EC\). Lungimea întregului segment este suma lungimilor părților lui.

2. 2

   Calculăm perimetrul triunghiului echilateral

   P_{\triangle ABC} = 3 \cdot BC = 3 \cdot 18 = 54

   Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor. Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci \(AB = BC = CA = 18\,\text{cm}\). Perimetrul este \(18+18+18 = 3\cdot 18\). Obținem \(54\,\text{cm}\), exact cât trebuia arătat.

Răspuns: Perimetrul triunghiului \(ABC\) este \(54\,\text{cm}\), deoarece \(BC = 18\,\text{cm}\) și \(P = 3\cdot BC = 54\,\text{cm}\).

În Figura 2 este reprezentat un triunghi echilateral \(ABC\) și punctele \(D\) și \(E\) sunt situate pe latura \(BC\) astfel încât \(BD = DE = EC = 6\text{ cm}\). b) Calculați distanța de la punctul \(D\) la latura \(AB\).

Metoda: Sinusul în triunghi dreptunghic

1. 1

   Construim distanța de la D la AB

   DF \perp AB,\ F \in AB

   Distanța de la punctul \(D\) la dreapta \(AB\) este lungimea segmentului perpendicular dus din \(D\) pe \(AB\). Notăm cu \(F\) piciorul perpendicularei, deci \(DF \perp AB\) și \(F \in AB\). Avem de aflat lungimea \(DF\).

2. 2

   Identificăm triunghiul dreptunghic FBD

   m(\angle ABC)=60^\circ \Rightarrow m(\angle FBD)=60^\circ

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci toate unghiurile lui au \(60^\circ\). Punctul \(D\) se află pe \(BC\), iar \(F\) pe \(AB\), deci unghiul \(FBD\) este chiar unghiul \(ABC\), de \(60^\circ\). Triunghiul \(FBD\) este dreptunghic în \(F\), cu ipotenuza \(BD=6\text{ cm}\) și cateta \(DF\) opusă unghiului \(B\).

3. 3

   Aplicăm sinusul și calculăm DF

   \sin(\angle FBD)=\frac{DF}{BD} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{DF}{6} \Rightarrow DF=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}

   În triunghiul dreptunghic \(FBD\), sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Cateta opusă unghiului \(B\) este \(DF\), iar ipotenuza este \(BD=6\). Știm că \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Rezultă \(DF = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}\).

Răspuns: Distanța de la \(D\) la latura \(AB\) este \(DF = 3\sqrt{3}\text{ cm}\).

Subiectul III, item 1. c): În Figura 2 este reprezentat un triunghi echilateral \(ABC\), iar punctele \(D\) și \(E\) sunt situate pe latura \(BC\) astfel încât \(BD = DE = EC = 6\,\text{cm}\). Demonstrați că \(\sin(\angle DAE) < 0{,}4\). (Din punctul a) știm că \(BC = 18\) cm și perimetrul este 54 cm.)

Metoda: Aria triunghiului și sinusul unghiului

1. 1

   Aflăm AM și AD

   AM=9\sqrt{3},\quad DM=3,\quad AD=\sqrt{AM^2+DM^2}=6\sqrt{7}

   Fie \(M\) mijlocul lui \(BC\). Atunci \(BM = 9\) cm, iar \(BD = 6\) cm, \(BE = 12\) cm, deci \(M\) este și mijlocul lui \(DE\), iar \(DM = 3\) cm. În triunghiul echilateral \(ABC\), \(AM\) este înălțime, deci \(AM \perp BC\) și \(AM=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\) cm. În triunghiul dreptunghic \(AMD\) aplicăm teorema lui Pitagora: \(AD^2 = 243 + 9 = 252\), deci \(AD = 6\sqrt{7}\) cm. Același lucru dă \(AE = 6\sqrt{7}\) cm, din simetrie.

2. 2

   Calculăm aria triunghiului ADE în două feluri

   \mathcal{A}_{ADE}=\frac{DE\cdot AM}{2}=\frac{d(E,AD)\cdot AD}{2}\Rightarrow d(E,AD)=\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{7}}

   Aria triunghiului este jumătate din baza înmulțită cu înălțimea. Cu baza \(DE\), înălțimea este \(AM\): \(\mathcal{A}=\frac{6\cdot 9\sqrt{3}}{2}=27\sqrt{3}\). Cu baza \(AD\), înălțimea este distanța \(d(E,AD)\) de la \(E\) la dreapta \(AD\). Egalăm cele două expresii: \(\frac{d(E,AD)\cdot 6\sqrt{7}}{2}=27\sqrt{3}\), de unde \(d(E,AD)=\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\) cm. Facem asta pentru că distanța de la \(E\) la \(AD\) ne dă latura opusă unghiului \(DAE\) într-un triunghi dreptunghic.

3. 3

   Calculăm sinusul unghiului DAE

   \sin(\angle DAE)=\frac{d(E,AD)}{AE}=\frac{9\sqrt{3}/\sqrt{7}}{6\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{3}}{14}

   Fie \(F\) piciorul perpendicularei din \(E\) pe \(AD\). În triunghiul dreptunghic \(AFE\), sinusul unghiului \(A\) este cateta opusă supra ipotenuză: \(\sin(\angle DAE)=\frac{EF}{AE}\). Înlocuim: \(\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{7}\cdot 6\sqrt{7}}=\frac{9\sqrt{3}}{42}=\frac{3\sqrt{3}}{14}\).

4. 4

   Comparăm cu 0,4

   \frac{3\sqrt{3}}{14}<\frac{2}{5}\iff 15\sqrt{3}<28\iff 675<784

   Avem \(0{,}4=\frac{2}{5}\). Aducem fracțiile la numitor comun 70: \(\frac{3\sqrt{3}}{14}=\frac{15\sqrt{3}}{70}\) și \(\frac{2}{5}=\frac{28}{70}\). Deci trebuie să arătăm că \(15\sqrt{3}<28\). Ambii termeni sunt pozitivi, deci putem ridica la pătrat: \(225\cdot 3=675\) și \(28^2=784\). Cum \(675<784\), inegalitatea este adevărată. Deci \(\sin(\angle DAE)<0{,}4\), ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(\sin(\angle DAE)=\frac{3\sqrt{3}}{14}<\frac{2}{5}=0{,}4\), deoarece \(675<784\). Deci \(\sin(\angle DAE)<0{,}4\).

În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB = 8\text{ cm}\) și \(BC = 6\text{ cm}\). Pe planul dreptunghiului \(ABCD\) se construiește perpendiculara \(DM\), pe care se consideră punctul \(N\), mijlocul segmentului \(DM\). a) Arătați că aria dreptunghiului \(ABCD\) este egală cu \(48\text{ cm}^2\).

Metoda: Aria dreptunghiului

1. 1

   Scriem formula ariei dreptunghiului

   \mathcal{A}_{ABCD} = AB \cdot BC

   Aria unui dreptunghi arată câte pătrățele de latură 1 cm încap în el. Se calculează înmulțind lungimea cu lățimea. Aici lungimea este \(AB\), iar lățimea este \(BC\), două laturi care pornesc din același vârf \(B\).

2. 2

   Înlocuim cu datele problemei și calculăm

   \mathcal{A}_{ABCD} = 8 \cdot 6 = 48\ \text{cm}^2

   Din enunț știm că \(AB = 8\text{ cm}\) și \(BC = 6\text{ cm}\). Le înlocuim în formulă și înmulțim. Pentru că am înmulțit centimetri cu centimetri, unitatea de măsură pentru arie este \(\text{cm}^2\). Am obținut exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria dreptunghiului \(ABCD\) este \(AB \cdot BC = 8 \cdot 6 = 48\text{ cm}^2\).

Subiectul III, 2. b): În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB=8\,\text{cm}\) și \(BC=6\,\text{cm}\). Pe planul dreptunghiului \(ABCD\) se construiește perpendiculara \(DM\), pe care se consideră punctul \(N\), mijlocul segmentului \(DM\). Demonstrați că dreapta \(BM\) este paralelă cu planul \((ACN)\).

Metoda: Dreaptă paralelă cu un plan

1. 1

   Găsim punctul O și triunghiul DBM

   \{O\}=AC\cap BD

   Diagonalele dreptunghiului \(ABCD\) se taie în punctul \(O\), care este mijlocul lui \(BD\) (diagonalele unui dreptunghi au același mijloc). Punctul \(O\) se află pe \(AC\), deci \(O\) este în planul \((ACN)\). Considerăm triunghiul \(DBM\), în care apar punctele \(O\) și \(N\).

2. 2

   Arătăm că ON este linie mijlocie în triunghiul DBM

   O\text{ mijlocul lui }BD,\ N\text{ mijlocul lui }DM\Rightarrow ON\text{ linie mijlocie în }\triangle DBM

   \(O\) este mijlocul lui \(DB\) și \(N\) este mijlocul lui \(DM\) (din enunț). Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi este linie mijlocie, deci \(ON\) este linie mijlocie în \(\triangle DBM\). Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură, adică \(ON\parallel BM\).

3. 3

   Concluzia: BM este paralelă cu planul (ACN)

   BM\parallel ON,\ ON\subset (ACN)\Rightarrow BM\parallel (ACN)

   Dreapta \(ON\) se află în planul \((ACN)\): \(O\in AC\) și \(N\) sunt puncte ale planului, deci tot segmentul \(ON\) este în plan. Dreapta \(BM\) este paralelă cu o dreaptă din plan, deci este paralelă cu planul \((ACN)\). Aceasta este exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Deoarece \(ON\) este linie mijlocie în \(\triangle DBM\), avem \(BM\parallel ON\), iar \(ON\subset (ACN)\); deci \(BM\parallel (ACN)\).

În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB=8\text{ cm}\) și \(BC=6\text{ cm}\). Pe planul dreptunghiului \(ABCD\) se construiește perpendiculara \(DM\), pe care se consideră punctul \(N\), mijlocul segmentului \(DM\). c) Știind că unghiul dintre planele \((ACD)\) și \((ACN)\) are măsura de \(60^\circ\), arătați că \(DM=\frac{48\sqrt{3}}{5}\text{ cm}\).

Metoda: Unghiul dintre două plane

1. 1

   Construim perpendiculara din D pe AC

   DE\perp AC,\ E\in AC

   Planele \((ACD)\) și \((ACN)\) se intersectează după dreapta \(AC\). Pentru a măsura unghiul dintre ele ne trebuie perpendiculare pe \(AC\), câte una în fiecare plan. În planul dreptunghiului ducem \(DE\perp AC\), cu \(E\in AC\).

2. 2

   Arătăm că NE ⊥ AC

   ND\perp(ACD),\ DE\perp AC\Rightarrow NE\perp AC

   \(ND\) este perpendiculară pe planul \((ACD)\), deci \(ND\perp (ACD)\), iar \(AC\subset (ACD)\). Cum \(DE\perp AC\), din teorema celor trei perpendiculare rezultă \(NE\perp AC\).

3. 3

   Identificăm unghiul dintre plane

   m(\angle((ACD),(ACN)))=m(\angle DEN)=60^\circ

   \(DE\) este în planul \((ACD)\), \(NE\) în planul \((ACN)\), ambele perpendiculare pe muchia comună \(AC\). Deci unghiul dintre plane este \(\angle DEN\), adică \(60^\circ\).

4. 4

   Calculăm DE

   DE=\frac{AD\cdot DC}{AC}=\frac{6\cdot 8}{10}=\frac{24}{5}

   În dreptunghiul \(ABCD\), diagonala este \(AC=\sqrt{6^2+8^2}=10\) (teorema lui Pitagora). \(DE\) este înălțimea din \(D\) în triunghiul dreptunghic \(ADC\). Aria triunghiului \(ADC\) se poate scrie în două feluri: \(\frac{AD\cdot DC}{2}=\frac{AC\cdot DE}{2}\), de unde \(DE=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}\) cm.

5. 5

   Aflăm ND și apoi DM

   \frac{ND}{DE}=\tan 60^\circ=\sqrt{3}\Rightarrow ND=\frac{24\sqrt3}{5},\ DM=2ND=\frac{48\sqrt3}{5}

   Triunghiul \(NDE\) este dreptunghic în \(D\) (pentru că \(ND\perp (ACD)\)). Atunci \(\tan(\angle DEN)=\frac{ND}{DE}\), adică \(\sqrt3=\frac{ND}{24/5}\), deci \(ND=\frac{24\sqrt3}{5}\). Cum \(N\) este mijlocul lui \(DM\), \(DM=2ND=\frac{48\sqrt3}{5}\) cm, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(DM=\frac{48\sqrt{3}}{5}\text{ cm}\)