Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2019, sesiunea iunie–iulie (rezervă) (varianta 02)

Rezultatul calculului \(16-16:4\) este egal cu … .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   16-16:4

   În expresia \(16-16:4\) nu avem paranteze. Regula spune că înmulțirile și împărțirile se fac înaintea adunărilor și scăderilor. Deci întâi efectuăm \(16:4\), nu \(16-16\).

2. 2

   Calculăm împărțirea

   16:4=4

   Împărțim \(16\) la \(4\). Obținem \(4\), pentru că \(4\cdot 4=16\). Expresia devine \(16-4\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   16-4=12

   Acum rămâne doar scăderea \(16-4\). Rezultatul este \(12\). Acesta este răspunsul final.

Răspuns: 12

Numărul care reprezintă \(\frac{1}{2}\) din 500 este egal cu … .

Metoda: Fracție dintr-un număr

1. 1

   Înțelegem ce înseamnă „o fracție dintr-un număr”

   \frac{1}{2}\text{ din }500=\frac{1}{2}\cdot 500

   Când spunem „\(\frac{1}{2}\) din 500”, înseamnă că împărțim 500 în 2 părți egale și luăm o singură parte. Matematic, înmulțim fracția cu numărul: \(\frac{1}{2}\cdot 500\).

2. 2

   Calculăm jumătate din 500

   \frac{1}{2}\cdot 500=500:2=250

   A lua \(\frac{1}{2}\) dintr-un număr este același lucru cu a-l împărți la 2. Deci împărțim 500 la 2: 5 sute împărțite la 2 dau 2 sute și rămâne 1 sută, adică 10 zeci, care împărțite la 2 dau 5 zeci. Rezultă 250.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   250+250=500

   Dacă 250 este jumătate din 500, atunci două jumătăți de câte 250 trebuie să dea din nou 500. Adunarea ne arată că rezultatul este corect.

Răspuns: 250

Numărul de elemente ale mulțimii \(M=\{x\in\mathbb{N}\,/\,1\le x\le 4\}\) este egal cu … .

Metoda: Enumerarea elementelor mulțimii

1. 1

   Citim proprietatea care definește mulțimea

   x\in\mathbb{N},\ 1\le x\le 4

   Mulțimea M conține numerele \(x\) care respectă două condiții: \(x\) este număr natural și \(x\) este cuprins între 1 și 4. Semnul \(\le\) înseamnă „mai mic sau egal”, deci 1 și 4 fac și ele parte din mulțime. Trebuie să citim cu atenție, ca să nu uităm capetele.

2. 2

   Scriem toate elementele mulțimii

   M=\{1,2,3,4\}

   Numerele naturale de la 1 la 4 sunt 1, 2, 3 și 4. Nu apar alte numere naturale între ele, iar 0 nu este în mulțime pentru că \(0<1\). Scriem mulțimea prin enumerarea elementelor.

3. 3

   Numărăm elementele

   \text{card}(M)=4

   Mulțimea \(M=\{1,2,3,4\}\) are patru elemente: 1, 2, 3 și 4. Numărul de elemente ale unei mulțimi finite se numește cardinal. Deci răspunsul este 4, la fel ca în barem.

Răspuns: Mulțimea M are 4 elemente.

Un dreptunghi are lungimea de \(6\) cm și lățimea de \(5\) cm. Perimetrul acestui dreptunghi este egal cu … cm.

Metoda: Perimetrul dreptunghiului

1. 1

   Reținem formula perimetrului

   P = 2 \cdot (L + l)

   Un dreptunghi are patru laturi: două laturi egale cu lungimea \(L\) și două egale cu lățimea \(l\). Perimetrul este suma tuturor laturilor, deci \(L + l + L + l = 2 \cdot (L + l)\).

2. 2

   Înlocuim datele problemei

   P = 2 \cdot (6 + 5)

   Din enunț avem \(L = 6\) cm și \(l = 5\) cm. Le punem în formulă, începând cu paranteza, pentru că operațiile din paranteză se fac primele.

3. 3

   Calculăm perimetrul

   P = 2 \cdot 11 = 22 \text{ cm}

   După ce am aflat suma \(L + l = 11\), o înmulțim cu \(2\), pentru că parcurgem de două ori perechea lungime + lățime.

Răspuns: Perimetrul dreptunghiului este \(22\) cm.

În Figura 1 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu aria triunghiului \(VAB\) de \(15\text{ cm}^2\). Aria laterală a acestei piramide este egală cu … \(\text{cm}^2\). (Din figură: baza \(ABCD\) este pătrat, \(V\) este vârful piramidei, \(O\) este centrul bazei.)

Metoda: Aria laterală a piramidei regulate

1. 1

   Ce înseamnă aria laterală și din ce feţe este formată

   A_l = A_{VAB}+A_{VBC}+A_{VCD}+A_{VDA}

   Aria laterală a unei piramide este suma ariilor tuturor feţelor laterale, adică fără baza \(ABCD\). La o piramidă patrulateră avem 4 feţe laterale: triunghiurile \(VAB\), \(VBC\), \(VCD\) și \(VDA\).

2. 2

   Folosim faptul că piramida este regulată

   A_{VAB}=A_{VBC}=A_{VCD}=A_{VDA}=15

   Piramida este regulată: baza este pătrat, iar muchiile laterale sunt egale. Deci cele 4 triunghiuri laterale sunt congruente (identice), așa că au arii egale. Fiecare are aria de \(15\text{ cm}^2\), ca \(VAB\).

3. 3

   Calculăm aria laterală

   A_l = 4\cdot 15 = 60

   Adunăm cele 4 arii egale, adică înmulțim aria unui triunghi cu 4: \(A_l = 4\cdot 15 = 60\text{ cm}^2\). Este exact rezultatul din barem.

Răspuns: 60

În tabelul de mai jos sunt înregistrate temperaturile măsurate, la o stație meteo, în șase zile consecutive: Luni \(3^\circ C\), Marți \(7^\circ C\), Miercuri \(4^\circ C\), Joi \(-3^\circ C\), Vineri \(-1^\circ C\), Sâmbătă \(-2^\circ C\). Conform informațiilor din tabel, temperatura măsurată luni este mai mare decât temperatura măsurată sâmbătă cu \(\ldots^\circ C\).

Metoda: Scăderea numerelor întregi

1. 1

   Citim temperaturile din tabel

   T_{luni}=3,\quad T_{sambata}=-2

   Întrebarea cere doar două zile: luni și sâmbătă. Celelalte zile nu ne ajută, deci le ignorăm. Din tabel citim: luni sunt \(3^\circ C\), iar sâmbătă sunt \(-2^\circ C\), adică sub zero.

2. 2

   Scriem diferența

   3-(-2)

   Ca să aflăm cu cât este mai mare luni decât sâmbătă, scădem temperatura mai mică din cea mai mare: luni minus sâmbătă. Sâmbătă este negativă, deci o punem între paranteze.

3. 3

   Calculăm diferența

   3-(-2)=3+2=5

   A scădea un număr negativ înseamnă a aduna opusul lui. Opusul lui \(-2\) este \(2\), deci \(3-(-2)=3+2=5\). Pe axă: de la \(-2\) la \(0\) sunt 2 unități, apoi de la \(0\) la \(3\) încă 3 unități, în total 5.

Răspuns: Temperatura de luni este mai mare decât cea de sâmbătă cu 5°C.

Subiectul II, itemul 1: Desenați, pe foaia de examen, o prismă dreaptă \(ABCA'B'C'\) cu baza triunghiul echilateral \(ABC\).

Metoda: Desenarea unei prisme drepte

1. 1

   Ce înseamnă prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral

   ABC \text{ echilateral},\quad AA' \perp (ABC)

   O prismă dreaptă are două baze identice și paralele, iar muchiile laterale sunt perpendiculare pe plan baza. Aici baza este triunghiul echilateral \(ABC\) (cele trei laturi sunt egale), deci prisma are 6 vârfuri: \(A, B, C, A', B', C'\). Muchiile laterale \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) sunt egale și paralele.

2. 2

   Desenăm baza ABC

   \triangle ABC

   În desenul în perspectivă, baza se desenează ca un triunghi „turtit”. Desenăm \(AB\) orizontal, apoi \(C\) mai sus și spre dreapta. Dacă o latură rămâne ascunsă, o ducem cu linie întreruptă; de obicei \(AC\) este cea ascunsă.

3. 3

   Ducem muchiile laterale

   AA' \parallel BB' \parallel CC',\quad AA'=BB'=CC'

   Din fiecare vârf al bazei ducem câte un segment vertical, toate de aceeași lungime. Fiind o prismă dreaptă, ele sunt perpendiculare pe baza, deci le desenăm verticale, paralele între ele.

4. 4

   Desenăm baza de sus și notăm

   \triangle A'B'C' \equiv \triangle ABC

   Unim capetele de sus \(A'\), \(B'\), \(C'\) și obținem a doua bază, identică cu prima. Pentru noi \(A'B'C'\) este baza de sus; muchia ascunsă \(A'C'\) nu este ascunsă în general, ci doar \(AC\), dacă o alegem așa. La final scriem pe desen toate vârfurile: \(A, B, C, A', B', C'\). Notarea corectă valorează 1 punct.

Răspuns: Desenul este o prismă dreaptă \(ABCA'B'C'\): baza \(ABC\) este un triunghi echilateral, muchiile \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) sunt verticale, paralele și egale, iar \(A'B'C'\) este o a doua bază identică; muchiile ascunse sunt întrerupte și toate vârfurile sunt notate.

Determinați numerele întregi \(x\) pentru care numărul \(\frac{15}{4x-1}\) este natural.

Metoda: Divizorii lui 15

1. 1

   Cine poate fi numitorul?

   4x-1 \in \{1,3,5,15\}

   Numărul \(\frac{15}{4x-1}\) este natural doar dacă \(4x-1\) împarte exact pe 15. Un număr natural nu poate fi negativ, iar numitorul nu poate fi 0. De aceea \(4x-1\) trebuie să fie un divizor pozitiv al lui 15. Divizorii lui 15 sunt 1, 3, 5 și 15.

2. 2

   Aflăm pe x din fiecare caz

   4x-1=1 \Rightarrow x=\frac{1+1}{4}=\frac12;\ 4x-1=3 \Rightarrow x=1;\ 4x-1=5 \Rightarrow x=\frac32;\ 4x-1=15 \Rightarrow x=4

   Rezolvăm pe rând cele patru ecuații (ecuațiile se învață în clasa a VI-a). Pentru fiecare, adunăm 1 la ambii membri și împărțim la 4: \(4x=2\), \(4x=4\), \(4x=6\), \(4x=16\). Se obține \(x=\frac12\), \(x=1\), \(x=\frac32\), \(x=4\). Cerința este ca \(x\) să fie număr întreg, deci păstrăm doar \(x=1\) și \(x=4\). Valorile \(\frac12\) și \(\frac32\) nu sunt numere întregi.

Răspuns: x ∈ {1, 4}

Media aritmetică a trei numere raționale este egală cu \(30\). Știind că media aritmetică a două dintre aceste numere este egală cu \(40\), determinați al treilea număr.

Metoda: Media aritmetică prin sume

1. 1

   Aflăm suma celor trei numere

   S_3 = 30 \cdot 3 = 90

   Media aritmetică a trei numere este suma lor împărțită la \(3\). Deci suma celor trei numere este media înmulțită cu \(3\): \(30 \cdot 3 = 90\). Facem această înmulțire pentru că ne trebuie suma, nu media.

2. 2

   Aflăm suma celor două numere

   S_2 = 40 \cdot 2 = 80

   Media a două dintre numere este \(40\). La fel ca la pasul anterior, suma lor este \(40 \cdot 2 = 80\). Avem acum două sume: a tuturor numerelor și a două dintre ele.

3. 3

   Aflăm al treilea număr

   x = 90 - 80 = 10

   Suma celor trei numere este \(90\), iar două dintre ele fac împreună \(80\). Ce rămâne din \(90\) după ce scoatem \(80\) este chiar al treilea număr: \(90 - 80 = 10\).

4. 4

   Verificare

   \frac{80 + 10}{3} = 30

   Verificăm: dacă două numere au suma \(80\) (media \(40\)) și al treilea este \(10\), suma totală este \(90\), iar media este \(90 : 3 = 30\). Se potrivește cu enunțul.

Răspuns: Al treilea număr este \(10\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-3\). a) Reprezentați grafic funcția \(f\) într-un sistem de coordonate \(xOy\).

Metoda: Reprezentarea grafică a funcției liniare

1. 1

   Alegem prima valoare pentru x și aflăm primul punct

   f(0)=2\cdot 0-3=-3

   Graficul funcției este mulțimea punctelor de forma \((x, f(x))\). Alegem x=0 pentru că este o valoare ușor de calculat și ne dă punctul în care graficul taie axa Oy. Obținem \(f(0)=2\cdot 0-3=-3\), deci punctul \(A(0,-3)\) aparține graficului.

2. 2

   Alegem a doua valoare pentru x și aflăm al doilea punct

   f(2)=2\cdot 2-3=1

   Mai avem nevoie de un punct, pentru că prin două puncte distincte trece o singură dreaptă. Alegem x=2 și calculăm \(f(2)=2\cdot 2-3=4-3=1\). Obținem punctul \(B(2,1)\). (Se poate alege orice altă valoare, de exemplu x=1 dă punctul (1,-1).)

3. 3

   Trasăm graficul

   A(0,-3),\quad B(2,1)

   Desenăm sistemul de axe xOy, marcăm punctele \(A(0,-3)\) și \(B(2,1)\) și trasăm dreapta care trece prin ele. Această dreaptă este graficul funcției f. Verificăm că dreapta trece și prin \((1,-1)\), deoarece \(f(1)=2-3=-1\).

Răspuns: Graficul lui f este dreapta care trece prin punctele A(0,-3) și B(2,1).

Se consideră funcția \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=x+1\). Determinați aria triunghiului format de graficele funcțiilor \(f\), \(g\) și axa \(Oy\) a sistemului de coordonate \(xOy\). (Funcția din subpunctul a) este \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-3\).)

Metoda: Aria triunghiului din grafice

1. 1

   Intersecția graficelor lui f și g

   2x-3=x+1 \Rightarrow x=4,\ y=5

   Punctul în care se taie cele două grafice are aceeași valoare pentru f(x) și g(x). De aceea egalăm \(2x-3=x+1\). Obținem \(x=4\). Apoi \(g(4)=4+1=5\), deci punctul este \(M(4,5)\).

2. 2

   Intersecțiile cu axa Oy

   N(0,f(0))=N(0,-3),\quad P(0,g(0))=P(0,1)

   Punctele de pe axa Oy au \(x=0\). Calculăm \(f(0)=2\cdot 0-3=-3\), deci \(N(0,-3)\). Calculăm \(g(0)=0+1=1\), deci \(P(0,1)\). Cele trei vârfuri ale triunghiului sunt M, N și P.

3. 3

   Lungimea bazei NP

   NP=1-(-3)=4

   N și P sunt pe axa Oy, deci distanța dintre ele este diferența ordonatelor: \(1-(-3)=4\). Luăm NP ca bază a triunghiului MNP.

4. 4

   Înălțimea din M

   d(M,NP)=4

   Baza NP stă pe axa Oy, deci înălțimea din M este distanța de la M la axa Oy. Aceasta este abscisa lui M, adică \(4\).

5. 5

   Aria triunghiului

   \mathcal{A}_{MNP}=\frac{NP\cdot d(M,NP)}{2}=\frac{4\cdot 4}{2}=8

   Aria unui triunghi este bază înmulțită cu înălțime, împărțit la 2. Cu baza 4 și înălțimea 4 obținem \(\frac{4\cdot4}{2}=8\).

Răspuns: Aria triunghiului este 8 (unități pătrate).

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{1}{x+2}+\frac{x^2+3x+2}{x^2+4x+4}-\frac{x}{x-2}\right):\frac{x+2}{x^2-4}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -2\) și \(x\neq 2\). Arătați că \(E(x)=-2\), pentru orice \(x\) număr real, \(x\neq -2\) și \(x\neq 2\).

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   Descompunem în factori

   x^2+3x+2=(x+1)(x+2),\quad x^2+4x+4=(x+2)^2,\quad x^2-4=(x-2)(x+2)

   Descompunem polinoamele din fracții, ca să putem simplifica. Trinomul \(x^2+3x+2\) se scrie \((x+1)(x+2)\), deoarece \(1+2=3\) și \(1\cdot 2=2\). Apoi \(x^2+4x+4\) este pătratul sumei \((x+2)^2\), iar \(x^2-4\) este diferență de pătrate: \((x-2)(x+2)\).

2. 2

   Simplificăm a doua fracție

   \frac{x^2+3x+2}{x^2+4x+4}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)^2}=\frac{x+1}{x+2}

   Simplificăm cu \(x+2\), care este diferit de 0 deoarece \(x\neq -2\). Astfel fracția devine mai simplă și are același numitor ca prima fracție.

3. 3

   Adunăm primele două fracții

   \frac{1}{x+2}+\frac{x+1}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}=1

   Cele două fracții au același numitor \(x+2\), deci adunăm numărătorii: \(1+x+1=x+2\). Rezultă \(\frac{x+2}{x+2}=1\), pentru că \(x+2\neq 0\). Paranteza devine \(1-\frac{x}{x-2}\).

4. 4

   Calculăm paranteza

   1-\frac{x}{x-2}=\frac{x-2-x}{x-2}=\frac{-2}{x-2}

   Aducem la numitor comun: \(1=\frac{x-2}{x-2}\). Apoi scădem numărătorii: \(x-2-x=-2\). Obținem \(\frac{-2}{x-2}\).

5. 5

   Transformăm împărțirea în înmulțire și încheiem

   E(x)=\frac{-2}{x-2}\cdot\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=-2

   Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Avem \(\frac{x+2}{x^2-4}=\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}\), iar inversa este \(\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2\). Atunci \(\frac{-2}{x-2}\cdot (x-2)=-2\), pentru orice \(x\neq 2\) și \(x\neq -2\). Deci \(E(x)=-2\).

Răspuns: \(E(x)=-2\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\), \(x\neq -2\) și \(x\neq 2\).

Figura 2 este schița unui teren în formă de dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB=10\sqrt{2}\) m și \(AD=10\) m. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AB\) și punctul \(N\) este punctul de intersecție a dreptelor \(CM\) și \(BD\). a) Arătați că aria dreptunghiului \(ABCD\) este egală cu \(100\sqrt{2}\) \(\text{m}^2\).

Metoda: Aria dreptunghiului

1. 1

   Scriem formula ariei dreptunghiului

   \mathcal{A}_{ABCD}=AB\cdot AD

   Aria unui dreptunghi se obține înmulțind lungimea cu lățimea. În dreptunghiul \(ABCD\), lungimea este \(AB\), iar lățimea este \(AD\). Folosim formula pentru că aria arată câte pătrate de 1 m² încap în teren.

2. 2

   Înlocuim datele problemei

   \mathcal{A}_{ABCD}=10\sqrt{2}\cdot 10

   Din enunț știm că \(AB=10\sqrt{2}\) m și \(AD=10\) m. Le punem în formulă în locul lui \(AB\) și \(AD\).

3. 3

   Calculăm produsul

   10\sqrt{2}\cdot 10=100\sqrt{2}\ \text{m}^2

   Înmulțim numerele care nu au radical: \(10\cdot 10=100\). Radicalul \(\sqrt{2}\) rămâne la fel. Unitatea de măsură este m², pentru că am înmulțit metri cu metri. Am obținut exact ce trebuia arătat.

Răspuns: Aria dreptunghiului \(ABCD\) este \(10\sqrt{2}\cdot 10=100\sqrt{2}\) m².

Subiectul III, 1. b): Figura 2 este schița unui teren în formă de dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB=10\sqrt{2}\) m și \(AD=10\) m. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AB\), iar punctul \(N\) este punctul de intersecție a dreptelor \(CM\) și \(BD\). Demonstrați că măsura unghiului \(BNC\) este egală cu \(90^\circ\).

Metoda: Triunghiuri asemenea (cazul CC)

1. 1

   Calculăm rapoartele catetelor

   \frac{MB}{BC}=\frac{5\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}},\quad \frac{BC}{CD}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

   Într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale, deci \(BC=AD=10\) m și \(CD=AB=10\sqrt{2}\) m. Cum \(M\) este mijlocul lui \(AB\), avem \(MB=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\) m. Așadar \(\frac{MB}{BC}=\frac{5\sqrt{2}}{10}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) și \(\frac{BC}{CD}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Rapoartele sunt egale, iar asta ne trebuie pentru asemănare.

2. 2

   Arătăm că triunghiurile \(MBC\) și \(BCD\) sunt asemenea

   \angle MBC=\angle BCD=90^\circ,\ \frac{MB}{BC}=\frac{BC}{CD}\Rightarrow \triangle MBC\sim\triangle BCD

   Ambele triunghiuri au un unghi drept, deoarece \(ABCD\) este dreptunghi. Laturile care formează unghiul drept (catetele) sunt proporționale, conform pasului anterior. Rezultă că triunghiurile sunt asemenea (cazul catetă–catetă, care este cazul LUL de asemănare). La asemănare, vârfurile se corespund în ordinea \(M\to B\), \(B\to C\), \(C\to D\).

3. 3

   Obținem unghiuri congruente

   \triangle MBC\sim\triangle BCD\Rightarrow \angle BCM\equiv\angle CDB

   În triunghiuri asemenea, unghiurile corespunzătoare sunt congruente. Unghiului \(C\) din \(\triangle MBC\) îi corespunde unghiul \(D\) din \(\triangle BCD\). Deci \(\angle BCM\equiv\angle CDB\). Cum \(N\) se află pe \(CM\), avem \(\angle BCN=\angle BCM\), iar cum \(N\) se află pe \(BD\), avem \(\angle CDB=\angle CDN\) în notația cu \(D\) pe dreapta \(BD\).

4. 4

   Calculăm unghiul \(BNC\)

   m(\angle CBD)+m(\angle CDB)=90^\circ\Rightarrow m(\angle CBN)+m(\angle BCN)=90^\circ\Rightarrow m(\angle BNC)=90^\circ

   Triunghiul \(BCD\) este dreptunghic în \(C\), deci unghiurile ascuțite \(CBD\) și \(CDB\) au suma \(90^\circ\). Dar \(\angle CBN=\angle CBD\) (pentru că \(N\) este pe \(BD\)), iar \(\angle BCN\equiv\angle CDB\) din pasul anterior. Deci \(m(\angle CBN)+m(\angle BCN)=90^\circ\). În triunghiul \(BNC\) suma unghiurilor este \(180^\circ\), deci \(m(\angle BNC)=180^\circ-90^\circ=90^\circ\).

Răspuns: Am arătat că \(m(\angle BNC)=90^\circ\), deci dreptele \(CM\) și \(BD\) sunt perpendiculare.

Subiectul III, 1. c): Figura 2 este schița unui teren în formă de dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB=10\sqrt{2}\) m și \(AD=10\) m. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AB\) și punctul \(N\) este punctul de intersecție a dreptelor \(CM\) și \(BD\). Demonstrați că punctul \(A\) este situat pe mediatoarea segmentului \(ND\).

Metoda: Centrul de greutate și mediatoarea

1. 1

   Descoperim că N este centrul de greutate al triunghiului ABC

   N \in AC\cap CM \Rightarrow N=\text{centrul de greutate al } \triangle ABC

   Folosim ce știm de la punctul b): \(\angle BNC=90^\circ\), dar mai simplu e să privim diagonalele. Diagonala \(AC\) a dreptunghiului se taie cu \(BD\) în mijlocul \(O\), deci \(BO\) este mediană în \(\triangle ABC\). Dreapta \(CM\) este și ea mediană, pentru că \(M\) este mijlocul lui \(AB\). Punctul \(N\) este intersecția medianelor \(CM\) și \(BO\), deci este centrul de greutate al triunghiului \(ABC\). Aceasta este ideea din barem.

2. 2

   Folosim proprietatea centrului de greutate

   \{P\}=AN\cap BC,\quad P \text{ mijlocul lui } BC,\quad AN=\frac{2}{3}AP

   Fie P punctul în care dreapta \(AN\) taie \(BC\). Cum N este centrul de greutate, \(AP\) este a treia mediană, deci P este mijlocul lui \(BC\). Centrul de greutate se află la două treimi de vârf pe mediană, adică \(AN=\frac{2}{3}AP\).

3. 3

   Calculăm AP cu teorema lui Pitagora

   BC=AD=10,\ BP=5,\ AB=10\sqrt{2}\Rightarrow AP^2=AB^2+BP^2=200+25=225

   În dreptunghi \(BC=AD=10\) m, iar P este mijlocul lui \(BC\), deci \(BP=5\) m. Triunghiul \(ABP\) este dreptunghic în B, deci \(AP^2=AB^2+BP^2\). Avem \((10\sqrt{2})^2=200\), deci \(AP^2=225\) și \(AP=15\) m.

4. 4

   Concluzia: AN = AD, deci A este pe mediatoarea lui ND

   AN=\frac{2}{3}\cdot 15=10=AD

   Calculăm \(AN=\frac{2}{3}\cdot 15=10\) m. Dar \(AD=10\) m, deci \(AN=AD\). Un punct egal depărtat de capetele unui segment se află pe mediatoarea segmentului, deci A este pe mediatoarea lui \(ND\).

Răspuns: \(AN=AD=10\) m, deci A este egal depărtat de N și D, adică A se află pe mediatoarea segmentului \(ND\).

În Figura 3 este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB=12\) cm și \(\{O\}=AC\cap BD\). a) Arătați că \(AO=6\sqrt{2}\) cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora în pătrat

1. 1

   Calculăm diagonala AC a pătratului

   AC^2=AB^2+BC^2=12^2+12^2=288

   Baza ABCD a cubului este un pătrat, deci triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\), cu catetele \(AB=BC=12\) cm. Diagonala \(AC\) este ipotenuza, deci aplicăm teorema lui Pitagora: \(AC^2=AB^2+BC^2=144+144=288\). Scoatem factorii de sub radical: \(AC=\sqrt{288}=\sqrt{144\cdot 2}=12\sqrt{2}\) cm.

2. 2

   Aflăm AO ca jumătate din AC

   AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}

   Diagonalele unui pătrat se taie în mijlocul lor, deci \(O\) este mijlocul segmentului \(AC\). Atunci \(AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\) cm, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(AO=6\sqrt{2}\) cm

În Figura 3 este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB=12\) cm și \(\{O\}=AC\cap BD\). Subiectul III, 2. b): Demonstrați că sinusul unghiului dintre planele \((ABC)\) și \((AB'C)\) este egal cu \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).

Metoda: Unghiul dintre două plane

1. 1

   Găsim dreapta comună a celor două plane

   (ABC)\cap(AB'C)=AC

   Planele \((ABC)\) și \((AB'C)\) conțin ambele punctele \(A\) și \(C\). Două plane diferite se intersectează după o dreaptă, deci dreapta lor comună este \(AC\). Ea ne ajută pentru că unghiul dintre plane se măsoară pornind de la această dreaptă.

2. 2

   Ducem perpendicularele pe AC în fiecare plan

   BO\perp AC,\ BO\subset(ABC);\quad B'O\perp AC,\ B'O\subset(AB'C)

   În pătratul \(ABCD\), diagonalele sunt perpendiculare, deci \(BO\perp AC\), iar \(BO\) este în planul \((ABC)\). Triunghiul \(AB'C\) este isoscel (\(B'A=B'C\), diagonale ale unor fețe egale), iar \(O\) este mijlocul lui \(AC\), deci mediana \(B'O\) este și înălțime: \(B'O\perp AC\), cu \(B'O\) în planul \((AB'C)\). Așadar, unghiul dintre plane este egal cu unghiul dintre dreptele \(BO\) și \(B'O\).

3. 3

   Calculăm B'O

   B'O=6\sqrt{6}\ \text{cm}

   Triunghiul \(AB'C\) este echilateral cu latura \(12\sqrt{2}\) cm (diagonale de fețe). Atunci \(B'O\) este înălțime: \(B'O=\frac{12\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{6}\). Putem verifica și cu Pitagora în triunghiul \(B'BO\), dreptunghic în \(B\): \(BB'=12\) și \(BO=6\sqrt{2}\), deci \(B'O^2=144+72=216\), adică \(B'O=6\sqrt{6}\).

4. 4

   Calculăm sinusul în triunghiul B'BO

   \sin\angle BOB'=\frac{BB'}{B'O}=\frac{12}{6\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}

   Triunghiul \(B'BO\) este dreptunghic în \(B\) (muchia \(BB'\) este perpendiculară pe planul bazei). Sinusul unghiului \(BOB'\) este cateta opusă supra ipotenuză, adică \(\frac{BB'}{B'O}=\frac{12}{6\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}\). Raționalizăm: \(\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}\). Exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(\sin\big(\angle((ABC),(AB'C))\big)=\frac{\sqrt{6}}{3}\), deci egalitatea este demonstrată.

Subiectul III, 2. c): În figură este un cub \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB=12\) cm și \(\{O\}=AC\cap BD\). Determinați distanța de la punctul \(D'\) la planul \((AB'C)\).

Metoda: Piramidă regulată și Pitagora

1. 1

   Aflăm lungimile muchiilor din \(D'\)

   D'A=D'B'=D'C=12\sqrt{2}\text{ cm}

   Segmentele \(D'A\), \(D'B'\) și \(D'C\) sunt diagonale ale unor fețe ale cubului (fețele \(ADD'A'\), \(A'B'C'D'\), \(DCC'D'\)). Diagonala unui pătrat cu latura 12 este \(12\sqrt{2}\), din teorema lui Pitagora: \(\sqrt{12^2+12^2}\).

2. 2

   Arătăm că \(D'AB'C\) este piramidă triunghiulară regulată

   AB'=B'C=AC=12\sqrt{2}\Rightarrow \triangle AB'C\text{ echilateral}

   Și \(AB'\), \(B'C\), \(AC\) sunt diagonale ale fețelor cubului, deci au lungimea \(12\sqrt{2}\). Triunghiul \(AB'C\) are trei laturi egale, deci este echilateral. Cum și muchiile care pleacă din \(D'\) sunt egale între ele, \(D'AB'C\) este piramidă triunghiulară regulată cu vârful \(D'\).

3. 3

   Piciorul înălțimii este centrul cercului circumscris

   d(D',(AB'C))=D'M,\quad M\text{ centrul cercului circumscris }\triangle AB'C

   Într-o piramidă regulată, perpendiculara din vârf pe planul bazei cade în centrul cercului circumscris bazei. Notăm acest punct cu \(M\). Deci distanța cerută este \(D'M\). Într-un triunghi echilateral, centrul cercului circumscris este și centrul de greutate, așa că \(B'M\) este \(\tfrac{2}{3}\) din înălțime.

4. 4

   Calculăm \(B'M\)

   B'M=\frac{l\sqrt{3}}{3}=\frac{12\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{6}\text{ cm}

   În triunghiul echilateral cu latura \(l=12\sqrt{2}\), raza cercului circumscris este \(\tfrac{l\sqrt{3}}{3}\). Obținem \(\tfrac{12\sqrt{6}}{3}=4\sqrt{6}\).

5. 5

   Pitagora în triunghiul \(D'MB'\)

   D'M=\sqrt{D'B'^2-B'M^2}=\sqrt{288-96}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\text{ cm}

   Triunghiul \(D'MB'\) este dreptunghic în \(M\), pentru că \(D'M\) este perpendiculară pe plan. Ipotenuza este \(D'B'=12\sqrt{2}\), deci \(D'B'^2=288\). Cateta \(B'M=4\sqrt{6}\), deci \(B'M^2=16\cdot 6=96\). Atunci \(D'M^2=288-96=192=64\cdot 3\), de unde \(D'M=8\sqrt{3}\).

Răspuns: Distanța de la \(D'\) la planul \((AB'C)\) este \(8\sqrt{3}\) cm.