Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2019, simulare

Rezultatul calculului \(3\cdot 10-60:3\) este egal cu ….

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Observăm ordinea operațiilor

   3\cdot 10-60:3

   În expresie avem o înmulțire, o împărțire și o scădere. Nu sunt paranteze. Regula spune că înmulțirea și împărțirea se fac înaintea scăderii. Altfel am putea obține un rezultat greșit.

2. 2

   Calculăm înmulțirea și împărțirea

   3\cdot 10=30,\quad 60:3=20

   Calculăm separat cei doi termeni ai scăderii: produsul \(3\cdot 10\) și câtul \(60:3\). Ne trebuie aceste două numere ca să putem face scăderea.

3. 3

   Efectuăm scăderea

   30-20=10

   Acum scădem cele două rezultate obținute. Rezultatul final este 10, la fel ca în barem.

Răspuns: 10

Prețul unui obiect este de 100 de lei. După o ieftinire cu 25%, prețul obiectului va fi de … de lei.

Metoda: Procente dintr-un număr

1. 1

   Aflăm cât reprezintă 25% din 100 de lei

   25\% \cdot 100 = \frac{25}{100}\cdot 100 = 25

   Ieftinirea cu \(25\%\) înseamnă că scădem din preț \(25\%\) din \(100\) lei. Procentul înseamnă „la sută”, deci \(25\%=\frac{25}{100}\). Calculăm această fracție din \(100\), adică înmulțim: \(\frac{25}{100}\cdot 100 = 25\). Așadar reducerea este de \(25\) lei.

2. 2

   Scădem reducerea din prețul inițial

   100 - 25 = 75

   Prețul nou este prețul vechi minus reducerea. Obiectul costa \(100\) lei și se ieftinește cu \(25\) lei, deci noul preț este \(100-25=75\) lei.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   75\% \cdot 100 = 75

   După o ieftinire cu \(25\%\) rămâne \(100\%-25\%=75\%\) din preț. Dacă facem \(75\%\) din \(100\), obținem tot \(75\) lei, deci rezultatul este corect.

Răspuns: 75

Cel mai mare număr natural par, de trei cifre, scris cu cifre distincte este … .

Metoda: Construirea numărului cifră cu cifră

1. 1

   Alegem cifra sutelor

   9

   Un număr de trei cifre este cu atât mai mare cu cât cifra sutelor este mai mare. Cea mai mare cifră este 9, deci o punem prima, la sute. Cifra sutelor contează cel mai mult la comparare.

2. 2

   Alegem cifra zecilor

   8

   Cifra 9 este deja folosită, iar cifrele trebuie să fie distincte. Cea mai mare cifră rămasă este 8, deci o punem la zeci. Aceasta ne dă numărul cât mai mare posibil după sute.

3. 3

   Alegem cifra unităților

   6

   Numărul trebuie să fie par, deci ultima cifră trebuie să fie 0, 2, 4, 6 sau 8. Cifra 8 este deja folosită, deci cea mai mare cifră pară rămasă este 6. Un număr este par dacă are ultima cifră pară.

4. 4

   Verificăm rezultatul

   986

   Numărul 986 are trei cifre distincte (9, 8, 6) și se termină cu 6, deci este par. Un număr mai mare, ca 988, ar repeta cifra 8, iar 987 sau 989 nu sunt pare sau repetă cifre. Deci 986 este cel căutat.

Răspuns: 986

Aria unui cerc este egală cu \(100\pi\ \text{cm}^2\). Raza acestui cerc este egală cu … cm.

Metoda: Formula ariei discului

1. 1

   Scriem formula ariei cercului

   A = \pi \cdot r^2

   Aria unui disc (cerc) cu raza \(r\) se calculează înmulțind numărul \(\pi\) cu pătratul razei, adică \(r \cdot r\). Avem nevoie de formulă ca să legăm aria dată de rază, care este necunoscuta noastră.

2. 2

   Înlocuim aria dată în formulă

   \pi \cdot r^2 = 100\pi

   Problema spune că aria este \(100\pi\ \text{cm}^2\). Punem această valoare în locul lui \(A\) și obținem o egalitate în care apare doar raza \(r\).

3. 3

   Aflăm \(r^2\)

   r^2 = 100

   Împărțim ambele părți ale egalității la \(\pi\). Rămâne \(r^2 = 100\), adică ne trebuie un număr care, înmulțit cu el însuși, dă \(100\).

4. 4

   Calculăm raza și verificăm

   r = \sqrt{100} = 10\ \text{cm}

   Raza este o lungime, deci este un număr pozitiv: \(r = 10\) cm. Verificăm: \(\pi \cdot 10^2 = 100\pi\), exact aria dată în problemă.

Răspuns: Raza cercului este 10 cm.

În Figura 1 este reprezentat un paralelipiped dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\) cu baza pătrat. Măsura unghiului determinat de dreptele \(BC\) și \(A'C'\) este egală cu …°. (În figură este desenată diagonala \(A'C'\) a feței de sus.)

Metoda: Unghiul dintre două drepte

1. 1

   Găsim o dreaptă paralelă cu BC

   BC \parallel B'C'

   Unghiul dintre două drepte din spațiu se află cu ajutorul unei paralele la una dintre ele, care se intersectează cu cealaltă dreaptă. În paralelipiped, fețele opuse sunt paralele, iar muchiile \(BC\) și \(B'C'\) sunt paralele. Dreapta \(B'C'\) se intersectează cu \(A'C'\) în punctul \(C'\). Deci unghiul dintre \(BC\) și \(A'C'\) este egal cu unghiul dintre \(B'C'\) și \(A'C'\).

2. 2

   Privim fața de sus ca pe un pătrat

   A'B'C'D' \text{ este pătrat} \Rightarrow \measuredangle A'C'B' = \frac{90^\circ}{2}

   Baza \(ABCD\) este pătrat, deci și fața de sus \(A'B'C'D'\) este pătrat. Dreapta \(A'C'\) este diagonala acestui pătrat, iar diagonala unui pătrat este bisectoarea unghiului din vârf. Unghiul \(\measuredangle A'C'B'\) este jumătate din unghiul drept \(\measuredangle B'C'D'\).

3. 3

   Concluzia

   m(\measuredangle (BC, A'C')) = m(\measuredangle B'C'A') = 45^\circ

   Am văzut că unghiul dintre \(BC\) și \(A'C'\) este egal cu unghiul dintre \(B'C'\) și \(A'C'\), adică \(\measuredangle A'C'B'\). Acesta are \(45^\circ\), deci și unghiul căutat are \(45^\circ\).

Răspuns: 45

În diagrama dată sunt prezentate valorile temperaturii indicate de un termometru, într-o zi, de la ora 11 până la ora 19. Măsurătorile au fost efectuate din oră în oră. Conform diagramei, cea mai mare diferență dintre temperaturile înregistrate este egală cu …°C. (Date din figură: ora 11 → 21°C; ora 12 → 22°C; ora 13 → 24°C; ora 14 → 25°C; ora 15 → 24°C; ora 16 → 23°C; ora 17 → 21°C; ora 18 → 20°C; ora 19 → 18°C.)

Metoda: Citirea datelor dintr-o diagramă

1. 1

   Citim temperaturile din diagramă

   21,\ 22,\ 24,\ 25,\ 24,\ 23,\ 21,\ 20,\ 18

   Pentru fiecare oră de la 11 la 19 citim valoarea de pe axa verticală (temperatura), în dreptul punctului marcat. Avem 9 valori: 21, 22, 24, 25, 24, 23, 21, 20, 18. Le citim corect ca să nu greșim mai departe.

2. 2

   Găsim cea mai mare și cea mai mică temperatură

   t_{max}=25^\circ C,\quad t_{min}=18^\circ C

   Comparăm cele 9 valori. Cea mai mare este 25°C (la ora 14), iar cea mai mică este 18°C (la ora 19). Diferența cea mai mare se obține scăzând cea mai mică valoare din cea mai mare; orice altă pereche de valori dă o diferență mai mică.

3. 3

   Calculăm diferența

   25-18=7

   Cea mai mare diferență dintre temperaturile înregistrate este diferența dintre maximul și minimul valorilor: 25 − 18 = 7. Obținem 7°C, la fel ca în barem.

Răspuns: 7

Desenați, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară cu vârful \(V\) și baza \(ABC\).

Metoda: Desenul piramidei triunghiulare

1. 1

   Desenăm baza \(ABC\)

   \triangle ABC

   Baza unei piramide triunghiulare este un triunghi. Îl desenăm în perspectivă, ca și cum l-am privi de sus și din lateral: un triunghi oarecare, puțin turtit. Alegem un vârf din spate, de exemplu \(C\), pentru că muchiile care pleacă din el vor fi ascunse în desen.

2. 2

   Alegem vârful \(V\) și unim cu \(A\), \(B\), \(C\)

   VA,\ VB,\ VC

   Punem punctul \(V\) deasupra bazei, aproximativ la mijlocul ei. Apoi tragem segmentele \(VA\), \(VB\) și \(VC\), numite muchii laterale. Așa obținem cele 3 fețe laterale, care sunt triunghiuri cu vârful comun \(V\).

3. 3

   Muchiile ascunse se desenează punctat

   AC,\ CB,\ VC \text{ (punctat)}

   Într-un desen în perspectivă, muchiile care nu s-ar vedea în realitate se trasează cu linie punctată. Dacă am ales \(C\) în spate, muchiile \(CA\), \(CB\) și \(VC\) se pot desena punctat sau doar una, în funcție de felul cum ai așezat desenul; esențial este să arăți clar ce este în față și ce este în spate. Muchiile din față (\(AB\), \(VA\), \(VB\)) rămân cu linie continuă.

4. 4

   Notăm piramida

   V\text{ (vârf)},\ A,\ B,\ C\text{ (baza)}

   Scriem litera \(V\) lângă vârful de sus și literele \(A\), \(B\), \(C\) lângă colțurile bazei. Baremul acordă 1 punct pentru notarea corectă. Piramida se numește \(VABC\).

Răspuns: Desenul final este o piramidă triunghiulară \(VABC\): baza triunghiul \(ABC\), vârful \(V\) deasupra ei, cele trei muchii laterale \(VA\), \(VB\), \(VC\), cu muchiile ascunse punctate, și toate punctele notate (4p desen + 1p notare = 5p).

Determinați numărul natural \(\overline{ab}\), știind că \(\overline{ba}+5(a+2b)=124\).

Metoda: Descompunerea numerelor în baza 10

1. 1

   Scriem numărul \(\overline{ba}\) în baza 10

   \overline{ba}=10b+a

   Numărul \(\overline{ba}\) are cifra zecilor b și cifra unităților a, deci valoarea lui este 10 ori b plus a. Așa putem lucra cu cifrele ca să facem calcule.

2. 2

   Înlocuim în egalitate și desfacem parantezele

   10b+a+5a+10b=124

   Punem \(10b+a\) în locul lui \(\overline{ba}\) și înmulțim 5 cu fiecare termen din paranteză: \(5\cdot a=5a\) și \(5\cdot 2b=10b\).

3. 3

   Reducem termenii asemenea

   3a+10b=62

   Aici pare că ar fi 6a+20b, dar atenție: în egalitatea corectă avem \(10b+a+5a+10b=6a+20b=124\). Împărțim la 2 și obținem \(3a+10b=62\). Împărțim ambii membri la 2 ca numerele să fie mai mici.

4. 4

   Aflăm cifrele a și b

   3a+10b=62 \Rightarrow a=4,\ b=5

   Numărul \(10b\) se termină în 0, deci ultima cifră a lui \(3a\) trebuie să fie 2 (ca să obținem 62). Cum a este cifră, \(3a\) poate fi 2, 12 sau 22. Doar 12 este multiplu de 3, deci \(a=4\). Apoi \(10b=62-12=50\), deci \(b=5\).

5. 5

   Scriem numărul și verificăm

   \overline{ab}=45

   Cu a=4 și b=5 obținem \(\overline{ab}=45\). Verificăm: \(\overline{ba}=54\) și \(54+5(4+10)=54+70=124\). Se potrivește.

Răspuns: \(\overline{ab}=45\)

Numerele naturale \(x\), \(y\), \(z\) sunt direct proporționale cu numerele \(2\), \(8\), \(10\). Știind că media geometrică a numerelor \(x\) și \(y\) este egală cu \(12\), determinați media aritmetică a numerelor \(x\), \(y\) și \(z\).

Metoda: Șir de rapoarte egale

1. 1

   Scriem proporționalitatea ca șir de rapoarte egale

   \frac{x}{2}=\frac{y}{8}=\frac{z}{10}=k

   Faptul că \(x, y, z\) sunt direct proporționale cu \(2, 8, 10\) înseamnă că rapoartele \(\frac{x}{2}\), \(\frac{y}{8}\), \(\frac{z}{10}\) sunt egale. Notăm valoarea comună cu \(k\). Astfel \(x=2k\), \(y=8k\), \(z=10k\), adică totul depinde de un singur număr.

2. 2

   Folosim media geometrică pentru a afla produsul xy

   \sqrt{xy}=12 \Rightarrow xy=144

   Media geometrică a lui \(x\) și \(y\) este \(\sqrt{xy}\). Dacă ea este 12, ridicând la pătrat obținem \(xy=12^2=144\).

3. 3

   Aflăm valoarea lui k

   2k\cdot 8k=144 \Rightarrow 16k^2=144 \Rightarrow k^2=9 \Rightarrow k=3

   Înlocuim \(x=2k\) și \(y=8k\) în \(xy=144\). Obținem \(16k^2=144\), deci \(k^2=9\). Numerele sunt naturale, deci \(k\) este pozitiv și \(k=3\).

4. 4

   Calculăm x, y, z și suma lor

   x=6,\ y=24,\ z=30,\ x+y+z=60

   Cu \(k=3\): \(x=2\cdot 3=6\), \(y=8\cdot 3=24\), \(z=10\cdot 3=30\). Suma este \(6+24+30=60\). Verificăm: \(\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{144}=12\), corect.

5. 5

   Calculăm media aritmetică

   m_a=\frac{x+y+z}{3}=\frac{60}{3}=20

   Media aritmetică a trei numere este suma lor împărțită la 3. Avem \(60:3=20\).

Răspuns: Media aritmetică a numerelor \(x\), \(y\) și \(z\) este \(20\).

Se consideră numerele reale \(a=(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2-\left(\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}}+\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)-(1-\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2\) și \(b=2\sqrt{2}-3\). a) Arătați că \(a=3+2\sqrt{2}\).

Metoda: Formule de calcul prescurtat

1. 1

   Calculăm cele două pătrate cu formula

   (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{15}+3=8+2\sqrt{15},\quad (1-\sqrt{2})^2=1-2\sqrt{2}+2=3-2\sqrt{2}

   Folosim formulele \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) și \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Pentru primul pătrat: \((\sqrt{5})^2=5\), \((\sqrt{3})^2=3\) și \(2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{15}\). Pentru al doilea: \(1^2=1\), \((\sqrt{2})^2=2\) și \(2\cdot 1\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}\). Le dezvoltăm ca să scăpăm de paranteze și să putem aduna termenii la final.

2. 2

   Simplificăm fracțiile cu radicali

   \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}}+\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}}{3}+\frac{5\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{5}=\sqrt{15}+\sqrt{15}=2\sqrt{15}

   Amplificăm prima fracție cu \(\sqrt{3}\) și a doua cu \(\sqrt{5}\), ca să scăpăm de radicali la numitor. Apoi \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\) și \(\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5\), deci putem simplifica 3 cu 3 și 5 cu 5. Rămâne \(\sqrt{15}+\sqrt{15}=2\sqrt{15}\). (Baremul scrie echivalent \(\frac{30}{\sqrt{15}}\), care este tot \(2\sqrt{15}\).)

3. 3

   Înlocuim în expresia lui a și adunăm termenii

   a=8+2\sqrt{15}-2\sqrt{15}-(3-2\sqrt{2})-2=8-3+2\sqrt{2}-2=3+2\sqrt{2}

   Înlocuim rezultatele găsite: \((\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=8+2\sqrt{15}\), paranteza cu fracții \(=2\sqrt{15}\), \((1-\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{2}\) și \((\sqrt{2})^2=2\). Termenii \(2\sqrt{15}\) și \(-2\sqrt{15}\) se reduc. Atenție la semnul minus din fața parantezei \(3-2\sqrt{2}\): schimbă semnele, deci devine \(-3+2\sqrt{2}\). Apoi \(8-3-2=3\) și rămâne \(+2\sqrt{2}\).

Răspuns: Am obținut \(a=3+2\sqrt{2}\), exact ce trebuia arătat.

Se consideră numerele reale \(a=(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2-\left(\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}}+\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)-(1-\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2\) și \(b=2\sqrt{2}-3\). b) Demonstrați că numărul real \(x=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{ab}\) aparține intervalului \(\left(-5,-\frac{23}{5}\right)\). (De la punctul a) știm că \(a=3+2\sqrt{2}\).)

Metoda: Fracții, radicali și estimare

1. 1

   Aducem la numitor comun

   x=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{ab}=\frac{b+a-1}{ab}

   Numitorul comun al fracțiilor \(\frac{1}{a}\), \(\frac{1}{b}\) și \(\frac{1}{ab}\) este \(ab\). Amplificăm prima fracție cu b și a doua cu a. Astfel obținem o singură fracție, mai ușor de calculat.

2. 2

   Calculăm numărătorul

   b+a-1=(2\sqrt{2}-3)+(3+2\sqrt{2})-1=4\sqrt{2}-1

   Înlocuim \(a=3+2\sqrt{2}\) și \(b=2\sqrt{2}-3\). Termenii \(-3\) și \(+3\) se reduc, iar \(2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\). Rămâne încă \(-1\).

3. 3

   Calculăm numitorul \(ab\)

   ab=(3+2\sqrt{2})(2\sqrt{2}-3)=(2\sqrt{2})^2-3^2=8-9=-1

   Produsul \((2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)\) are forma \((u+v)(u-v)=u^2-v^2\). Obținem \((2\sqrt{2})^2-3^2=4\cdot 2-9=8-9=-1\). Formula de calcul prescurtat scurtează mult calculul.

4. 4

   Obținem valoarea lui x

   x=\frac{4\sqrt{2}-1}{-1}=1-4\sqrt{2}

   Numitorul este \(-1\), deci schimbăm semnul numărătorului: \(-(4\sqrt{2}-1)=1-4\sqrt{2}\). Acesta este numărul pe care trebuie să-l încadrăm în interval.

5. 5

   Estimăm \(\sqrt{2}\) și încadrăm x

   1,4<\sqrt{2}<1,5\Rightarrow -6<-4\sqrt{2}<-5,6\Rightarrow -5<1-4\sqrt{2}<-4,6

   Știm că \(1,4^2=1,96<2\) și \(1,5^2=2,25>2\), deci \(1,4<\sqrt{2}<1,5\). Înmulțim cu \(-4\), ceea ce inversează sensul inegalităților: \(4\cdot 1,4=5,6\) și \(4\cdot 1,5=6\), deci \(-6<-4\sqrt{2}<-5,6\). Adunăm 1 și obținem \(-5<x<-4,6\). Dar \(\frac{23}{5}=4,6\), deci \(x\in\left(-5,-\frac{23}{5}\right)\), ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: \(x=1-4\sqrt{2}\) și \(-5<x<-\frac{23}{5}\), deci x aparține intervalului \(\left(-5,-\frac{23}{5}\right)\).

Se consideră expresia \(E(x)=(x+3)^2-(x-1)(x+1)+x(x-5)-10\), unde \(x\) este număr real. Demonstrați că, pentru orice număr natural \(n\), numărul natural \(E(n)\) este par.

Metoda: Formule de calcul prescurtat

1. 1

   Dezvoltăm \((x+3)^2\) și \((x-1)(x+1)\)

   (x+3)^2=x^2+6x+9,\quad (x-1)(x+1)=x^2-1

   Folosim formulele \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) și \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Așa scăpăm de paranteze și putem reduce termenii asemenea.

2. 2

   Înlocuim în expresie și reducem termenii asemenea

   E(x)=x^2+6x+9-(x^2-1)+x(x-5)-10=x^2+6x+9-x^2+1+x^2-5x-10=x^2+x

   Scoatem parantezele (semnul minus schimbă semnele din interior) și adunăm termenii asemenea: \(x^2-x^2+x^2=x^2\), \(6x-5x=x\) și \(9+1-10=0\). Rezultă \(E(x)=x^2+x\), la fel ca în barem.

3. 3

   Arătăm că \(E(n)\) este par

   E(n)=n^2+n=n(n+1)

   Dăm factor comun pe \(n\). Numerele \(n\) și \(n+1\) sunt consecutive, deci unul dintre ele este par. Produsul unui număr par cu orice număr natural este par, deci \(E(n)\) este par.

Răspuns: \(E(x)=x^2+x\), deci \(E(n)=n(n+1)\), produs de două numere naturale consecutive, care este par pentru orice \(n\) natural.

În Figura 2 este reprezentat un trapez dreptunghic \(ABCD\), cu \(AB \parallel CD\), \(m(\angle BAD)=90^\circ\), \(AB=12\) cm, \(CD=4\) cm și \(AD=8\) cm. Punctul \(E\) aparține laturii \(AB\), astfel încât \(AE=4\) cm, și punctul \(F\) aparține laturii \(AD\), astfel încât \(AF=6\) cm. a) Arătați că aria trapezului \(ABCD\) este egală cu \(64\ \text{cm}^2\).

Metoda: Formula ariei trapezului

1. 1

   Identificăm bazele și înălțimea

   B=AB=12,\quad b=CD=4,\quad h=AD=8

   Într-un trapez, bazele sunt laturile paralele: aici \(AB\) și \(CD\). Înălțimea este distanța dintre baze. Deoarece \(m(\angle BAD)=90^\circ\), latura \(AD\) este perpendiculară pe \(AB\), deci este perpendiculară și pe \(CD\) (fiind \(AB \parallel CD\)). Prin urmare \(AD\) este înălțimea trapezului.

2. 2

   Scriem formula ariei și înlocuim

   \mathcal{A}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}=\frac{(12+4)\cdot 8}{2}

   Aria unui trapez este suma bazelor înmulțită cu înălțimea, totul împărțit la 2. Este ca și cum am transforma trapezul într-un dreptunghi având lățimea egală cu media bazelor. Înlocuim valorile cunoscute.

3. 3

   Calculăm aria

   \mathcal{A}_{ABCD}=\frac{16\cdot 8}{2}=64\ \text{cm}^2

   Înmulțim \(16\cdot 8=128\), apoi împărțim la 2 și obținem 64. Unitatea de măsură pentru arie este cm², deoarece lungimile sunt în cm. Am obținut exact valoarea cerută, deci am arătat că aria este \(64\ \text{cm}^2\).

Răspuns: Aria trapezului \(ABCD\) este \(64\ \text{cm}^2\).

În Figura 2 este reprezentat un trapez dreptunghic \(ABCD\), cu \(AB \parallel CD\), \(m(\angle BAD)=90^\circ\), \(AB=12\) cm, \(CD=4\) cm și \(AD=8\) cm. Punctul \(E\) aparține laturii \(AB\), astfel încât \(AE=4\) cm, iar punctul \(F\) aparține laturii \(AD\), astfel încât \(AF=6\) cm. Cerința b): Determinați măsura unghiului \(BCD\).

Metoda: Patrulater și triunghi dreptunghic isoscel

1. 1

   Arătăm că \(AECD\) este dreptunghi

   AE \parallel CD,\; AE = CD = 4 \Rightarrow AECD \text{ paralelogram}

   Punctul \(E\) este pe \(AB\), deci \(AE \parallel CD\). În plus, \(AE = 4\) cm și \(CD = 4\) cm, deci cele două laturi opuse sunt și paralele, și egale. Un patrulater cu două laturi opuse paralele și congruente este paralelogram. Cum \(AD \perp AE\) (unghiul \(A\) este drept), paralelogramul are un unghi drept, deci este dreptunghi. Rezultă \(m(\angle ECD) = 90^\circ\).

2. 2

   Aflăm lungimea lui \(BE\) și lungimea lui \(CE\)

   BE = AB - AE = 12 - 4 = 8,\quad CE = AD = 8

   Punctul \(E\) se află pe \(AB\), deci \(BE = AB - AE = 12 - 4 = 8\) cm. În dreptunghiul \(AECD\) laturile opuse sunt congruente, deci \(CE = AD = 8\) cm. Așadar \(BE = CE = 8\) cm.

3. 3

   Triunghiul \(BCE\) este dreptunghic isoscel

   BE = CE = 8,\; CE \perp AB \Rightarrow m(\angle BCE) = 45^\circ

   Triunghiul \(BCE\) are unghiul \(E\) drept, deoarece \(CE \perp AB\) (\(AECD\) este dreptunghi). Are și catetele \(BE = CE = 8\) cm, deci este dreptunghic isoscel. Unghiurile de la bază ale unui triunghi isoscel sunt congruente, iar suma unghiurilor este \(180^\circ\). Fiecare dintre ele este \((180^\circ - 90^\circ):2 = 45^\circ\). Deci \(m(\angle BCE) = 45^\circ\).

4. 4

   Calculăm măsura unghiului \(BCD\)

   m(\angle BCD) = m(\angle ECD) + m(\angle BCE) = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ

   Punctul \(E\) se află în interiorul unghiului \(BCD\), deci semidreapta \(CE\) îl împarte în două unghiuri: \(ECD\) și \(BCE\). Măsura lui \(BCD\) este suma lor: \(90^\circ + 45^\circ = 135^\circ\). Este un unghi obtuz, ceea ce se potrivește cu figura.

Răspuns: \(m(\angle BCD) = 135^\circ\)

În Figura 2 este reprezentat un trapez dreptunghic \(ABCD\), cu \(AB \parallel CD\), \(m(\angle BAD)=90^\circ\), \(AB=12\) cm, \(CD=4\) cm și \(AD=8\) cm. Punctul \(E\) aparține laturii \(AB\), astfel încât \(AE=4\) cm, iar punctul \(F\) aparține laturii \(AD\), astfel încât \(AF=6\) cm. c) Demonstrați că dreptele \(CE\) și \(FO\) sunt perpendiculare, unde \(\{O\}=AC\cap BD\).

Metoda: Asemănarea triunghiurilor și paralelism

1. 1

   Raportul AO/CO din triunghiuri asemenea

   \frac{AO}{CO}=\frac{AB}{CD}=\frac{12}{4}=3

   Din \(AB \parallel CD\) rezultă că triunghiurile \(AOB\) și \(COD\) sunt asemenea (unghiurile alterne interne sunt congruente, iar unghiurile din O sunt opuse la vârf). Laturile corespunzătoare sunt proporționale, deci \(\frac{AO}{CO}=\frac{AB}{CD}\). Facem acest pas ca să aflăm cât de departe este O de A față de C.

2. 2

   Raportul AF/DF

   DF=AD-AF=8-6=2,\quad \frac{AF}{DF}=\frac{6}{2}=3

   F este pe latura AD, deci \(DF=AD-AF=2\) cm. Raportul \(\frac{AF}{DF}=3\) este același cu \(\frac{AO}{CO}\). Vom folosi această egalitate la pasul următor.

3. 3

   FO paralelă cu CD

   \frac{AF}{DF}=\frac{AO}{CO}\Rightarrow FO\parallel CD

   În triunghiul \(ACD\), punctul F este pe latura AD, iar O pe latura AC, și \(\frac{AF}{DF}=\frac{AO}{CO}\). Conform reciprocei teoremei lui Thales, dreapta FO este paralelă cu CD.

4. 4

   CE perpendiculară pe FO

   CE\perp CD,\ FO\parallel CD\Rightarrow CE\perp FO

   Din \(AE=CD=4\) și \(AE\parallel CD\) rezultă că AECD este paralelogram. Cum \(AD\perp AE\), este dreptunghi, deci \(CE\perp CD\) (la punctul b) am găsit \(m(\angle ECD)=90^\circ\)). O dreaptă perpendiculară pe una dintre două drepte paralele este perpendiculară și pe cealaltă, deci \(CE\perp FO\).

Răspuns: Dreptele CE și FO sunt perpendiculare, deoarece \(FO\parallel CD\) și \(CE\perp CD\).

Subiectul al III-lea, problema 2, punctul a): În figură este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB = 16\) cm și \(BC = 8\) cm. Se consideră \(O\), punctul de intersecție a diagonalelor, și \(M\), mijlocul segmentului \(CD\). Pe planul dreptunghiului se construiește perpendiculara \(VM = 8\) cm. Cerință a): Calculați perimetrul dreptunghiului \(ABCD\).

Metoda: Perimetrul dreptunghiului

1. 1

   Scriem formula perimetrului

   P_{ABCD} = 2(AB + BC)

   Un dreptunghi are patru laturi: laturile opuse sunt egale. Deci \(AB = CD\) și \(BC = AD\). Perimetrul este suma tuturor laturilor: \(AB + BC + CD + DA\). Cum laturile opuse sunt egale, putem scrie suma ca \(2 \cdot (AB + BC)\), adică de două ori suma dintre lungime și lățime.

2. 2

   Înlocuim datele problemei

   P_{ABCD} = 2(16 + 8)

   Din enunț știm că \(AB = 16\) cm și \(BC = 8\) cm. Le punem în formulă în locul lui \(AB\) și \(BC\). Calculăm mai întâi suma din paranteză, pentru că parantezele se rezolvă primele.

3. 3

   Calculăm perimetrul

   P_{ABCD} = 2 \cdot 24 = 48 \text{ cm}

   Suma \(16 + 8 = 24\). Înmulțim cu 2 și obținem \(48\). Perimetrul este o lungime, deci scriem unitatea de măsură: centimetri (cm). Rezultatul coincide cu cel din barem.

Răspuns: Perimetrul dreptunghiului ABCD este 48 cm.

Subiectul III, 2. b): În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB=16\,\text{cm}\) și \(BC=8\,\text{cm}\). Punctul \(O\) este intersecția diagonalelor, iar \(M\) este mijlocul lui \(CD\). Pe planul dreptunghiului se construiește perpendiculara \(VM=8\,\text{cm}\). Arătați că distanța de la punctul \(V\) la dreapta \(AB\) este egală cu \(8\sqrt{2}\,\text{cm}\).

Metoda: Teorema celor trei perpendiculare

1. 1

   Construim perpendiculara din M pe AB

   MN\perp AB,\ N\in AB

   Ducem din M, în planul dreptunghiului, perpendiculara MN pe dreapta AB, cu N pe AB. Facem asta pentru că vrem să folosim teorema celor trei perpendiculare: avem VM perpendiculară pe plan și MN perpendiculară pe AB, iar dreapta AB este în plan.

2. 2

   Aplicăm teorema celor trei perpendiculare

   VM\perp(ABC),\ MN\perp AB,\ MN,AB\subset(ABC)\Rightarrow VN\perp AB

   Știm că VM este perpendiculară pe planul (ABC), MN este perpendiculară pe AB, iar MN și AB sunt în plan. Teorema celor trei perpendiculare spune atunci că VN este perpendiculară pe AB. Deci VN este distanța de la V la dreapta AB.

3. 3

   Calculăm MN și VN

   MN=BC=8,\quad VM=8,\quad VN=\sqrt{VM^2+MN^2}=\sqrt{64+64}=8\sqrt{2}

   MN este perpendiculară pe AB și M este pe CD, care e paralelă cu AB. Deci MN este egală cu distanța dintre laturile CD și AB, adică cu BC = 8 cm. Triunghiul VMN este dreptunghic în M (VM este perpendiculară pe plan), cu VM = MN = 8, deci este dreptunghic isoscel. Cu teorema lui Pitagora obținem VN = 8\sqrt{2} cm.

Răspuns: Distanța de la V la dreapta AB este \(VN=8\sqrt{2}\,\text{cm}\).

Subiectul III, 2. c) În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi \(ABCD\) cu \(AB=16\) cm și \(BC=8\) cm. Se consideră \(O\), punctul de intersecție a diagonalelor, și \(M\), mijlocul segmentului \(CD\). Pe planul dreptunghiului se construiește perpendiculara \(VM=8\) cm, pe care se consideră punctul \(F\) astfel încât \(\frac{MF}{VF}=\frac{1}{3}\). c) Demonstrați că dreapta \(EF\) este paralelă cu planul \((VAB)\), unde punctul \(E\) este mijlocul segmentului \(OM\).

Metoda: Paralelism dreaptă-plan, Thales reciprocă

1. 1

   Alegem punctul N și dreapta VN din plan

   N\in AB,\ MN\perp AB,\ M,O,N\ \text{coliniare}

   Ducem din \(M\) perpendiculara \(MN\) pe \(AB\), cu \(N\in AB\). Deoarece \(M\) este mijlocul lui \(CD\) și \(CD\parallel AB\), dreapta \(MN\) trece prin centrul \(O\) al dreptunghiului, deci punctele \(M\), \(O\), \(N\) sunt coliniare. Dreapta \(VN\) este conținută în planul \((VAB)\), pentru că \(V\) și \(N\) sunt puncte ale acestui plan. Pe ea o vom compara cu \(EF\).

2. 2

   Calculăm raportul ME/NE

   MN=BC=8,\ MO=ON=4,\ ME=\frac{MO}{2}=2,\ NE=6,\ \frac{ME}{NE}=\frac{1}{3}

   Avem \(MN=BC=8\) cm. Punctul \(O\) este mijlocul lui \(MN\), deci \(MO=4\) cm. Punctul \(E\) este mijlocul lui \(OM\), deci \(ME=2\) cm. Atunci \(NE=8-2=6\) cm și raportul este \(\frac{ME}{NE}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

3. 3

   Calculăm raportul MF/VF

   MF=\frac{VM}{4}=2,\ VF=6,\ \frac{MF}{VF}=\frac{1}{3}

   Din ipoteză \(\frac{MF}{VF}=\frac{1}{3}\). Deci \(\frac{ME}{NE}=\frac{MF}{VF}\), adică ambele rapoarte sunt egale cu \(\frac{1}{3}\). Verificare: \(VM=8\) cm, deci \(MF=2\) cm și \(VF=6\) cm.

4. 4

   Reciproca teoremei lui Thales: EF ∥ VN

   \frac{ME}{NE}=\frac{MF}{VF}\Rightarrow EF\parallel VN

   În triunghiul \(VMN\), punctul \(E\) este pe latura \(MN\) și \(F\) pe latura \(MV\). Fiindcă \(\frac{ME}{NE}=\frac{MF}{VF}\), reciproca teoremei lui Thales ne dă \(EF\parallel VN\).

5. 5

   Concluzia: EF ∥ (VAB)

   EF\parallel VN,\ VN\subset(VAB)\Rightarrow EF\parallel(VAB)

   Dreapta \(EF\) este paralelă cu dreapta \(VN\), iar \(VN\) este conținută în planul \((VAB)\). Atunci \(EF\) este paralelă cu planul \((VAB)\). Dreapta \(EF\) nu este în plan, deoarece \(E\) este în planul bazei, în afara dreptei \(AB\).

Răspuns: Cum \(EF\parallel VN\) și \(VN\subset(VAB)\), rezultă \(EF\parallel(VAB)\).