Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2020, sesiunea iunie–iulie (rezervă) (varianta 03)

Rezultatul calculului \(18-18:6\) este egal cu ... .

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Alegem prima operație

   18-18:6

   Fără paranteze, întâi se fac înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile. De aceea nu începem cu scăderea \(18-18\), ci cu împărțirea \(18:6\). Dacă am scădea primul, am obține un rezultat greșit.

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   18:6=3

   Calculăm câtul: \(6\cdot 3=18\), deci \(18:6=3\). Acum expresia devine \(18-3\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   18-3=15

   După ce am înlocuit împărțirea cu rezultatul ei, ne rămâne doar o scădere: \(18-3=15\).

4. 4

   Verificarea rezultatului

   18-18:6=18-3=15

   Am respectat ordinea operațiilor: întâi împărțirea, apoi scăderea. Rezultatul este același cu cel din barem, 15.

Răspuns: 15

Subiectul I, itemul 2: Numărul care reprezintă \(50\%\) din \(100\) este egal cu ... .

Metoda: Procente dintr-un număr

1. 1

   Scriem procentul ca fracție

   50\% = \frac{50}{100}

   Cuvântul „procent” înseamnă „la sută”, adică „din 100 de părți”. De aceea \(50\%\) se scrie ca fracția \(\frac{50}{100}\). Facem asta pentru ca să putem calcula fracția dintr-un număr.

2. 2

   Simplificăm fracția

   \frac{50}{100} = \frac{1}{2}

   Simplificăm fracția prin 50, deoarece și 50, și 100 se împart exact la 50. Obținem \(\frac{1}{2}\), adică jumătate. Calculul devine mai ușor.

3. 3

   Calculăm fracția din număr

   \frac{1}{2}\cdot 100 = 100:2 = 50

   Pentru a afla o fracție dintr-un număr, înmulțim fracția cu numărul. Jumătate din 100 înseamnă 100 împărțit la 2, adică 50.

Răspuns: 50

Produsul numerelor întregi din intervalul \((-2,4]\) este egal cu ... .

Metoda: Intervale și produs de numere întregi

1. 1

   Citim intervalul

   (-2,4]

   Paranteza rotundă de la -2 înseamnă că -2 NU face parte din interval. Paranteza pătrată de la 4 înseamnă că 4 face parte din interval. Deci avem toate numerele mai mari decât -2 și mai mici sau egale cu 4.

2. 2

   Scriem numerele întregi din interval

   \{-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4\}

   Numerele întregi mai mari decât -2 sunt -1, 0, 1, 2, 3, 4 (ne oprim la 4, inclusiv). Numărul -2 nu se ia, fiindcă intervalul este deschis la stânga.

3. 3

   Calculăm produsul

   (-1)\cdot 0\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = 0

   Printre numere se află 0. Orice număr înmulțit cu 0 dă 0, deci tot produsul este 0, fără să mai facem alte calcule.

Răspuns: Produsul este 0.

Pătratul \(ABCD\) are perimetrul de \(12\text{ cm}\). Latura acestui pătrat este de \(\ldots\) cm.

Metoda: Perimetrul pătratului

1. 1

   Ce înseamnă perimetrul pătratului

   P = AB + BC + CD + DA = 4 \cdot l

   Perimetrul este suma lungimilor tuturor laturilor. Pătratul are 4 laturi și toate sunt egale. Dacă notăm cu \(l\) latura, perimetrul este \(P = 4 \cdot l\).

2. 2

   Aflăm latura din perimetru

   l = P : 4 = 12 : 4 = 3

   Știm că \(4 \cdot l = 12\). Căutăm numărul care înmulțit cu 4 dă 12, deci împărțim perimetrul la 4: \(l = 12 : 4 = 3\).

3. 3

   Verificare

   4 \cdot 3 = 12

   Verificăm: dacă latura este \(3\text{ cm}\), perimetrul este \(4\cdot 3 = 12\text{ cm}\), exact cât ne-a dat problema. Deci răspunsul este corect.

Răspuns: Latura pătratului este de 3 cm.

În Figura 1 este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\). Unghiul dreptelor \(AD'\) și \(B'C\) are măsura de ...°.

Metoda: Unghiul a două drepte în cub

1. 1

   Găsim o dreaptă paralelă cu una dintre ele

   AD' \parallel BC'

   Unghiul dintre două drepte oarecare din spațiu se măsoară mutând una dintre ele paralel cu ea însăși. În cub, fața \(ADD'A'\) și fața \(BCC'B'\) sunt pătrate identice, aflate în plane paralele. Diagonala \(AD'\) a primei fețe este paralelă cu diagonala \(BC'\) a celei de-a doua fețe, deoarece \(ABC'D'\) este dreptunghi (\(AB \parallel D'C'\) și \(AB = D'C'\)).

2. 2

   Folosim dreapta paralelă în loc de \(AD'\)

   \angle(AD',B'C)=\angle(BC',B'C)

   Deoarece \(AD' \parallel BC'\), unghiul dintre \(AD'\) și \(B'C\) este egal cu unghiul dintre \(BC'\) și \(B'C\). Acum ambele drepte sunt în același plan, planul fețe \(BCC'B'\), și sunt chiar diagonalele acestui pătrat.

3. 3

   Diagonalele pătratului sunt perpendiculare

   BC' \perp B'C \Rightarrow \angle = 90^\circ

   Într-un pătrat diagonalele sunt perpendiculare (pătratul este și romb). Deci \(BC' \perp B'C\), iar unghiul dintre ele este de \(90^\circ\). Același unghi îl formează și \(AD'\) cu \(B'C\).

Răspuns: 90

În tabelul următor sunt prezentate informații privind veniturile și cheltuielile unei firme, exprimate în mii lei, pentru fiecare dintre cele patru trimestre ale anului 2019. Perioada: Trimestrul I, Trimestrul al II-lea, Trimestrul al III-lea, Trimestrul al IV-lea. Venituri: 300, 400, 550, 600. Cheltuieli: 225, 350, 440, 550. Conform informațiilor din tabel, diferența dintre veniturile și cheltuielile acestei firme în trimestrul al II-lea este egală cu ... mii lei.

Metoda: Citirea datelor din tabel

1. 1

   Găsim coloana trimestrului al II-lea

   \text{Trimestrul al II-lea: venituri} = 400,\ \text{cheltuieli} = 350

   Problema ne întreabă doar despre trimestrul al II-lea, deci ne uităm numai la coloana acestuia. Celelalte coloane (I, III, IV) nu ne trebuie, ele sunt date doar ca să nu ne încurcăm. În coloana a doua citim: venituri \(400\) și cheltuieli \(350\) (mii lei).

2. 2

   Calculăm diferența

   400 - 350 = 50

   Diferența dintre două numere înseamnă rezultatul scăderii. Scădem cheltuielile din venituri: \(400-350=50\). Rezultatul este exprimat tot în mii lei, adică \(50\) mii lei.

3. 3

   Verificăm rezultatul

   350 + 50 = 400

   Pentru a verifica o scădere, adunăm rezultatul cu numărul scăzut. Dacă \(350+50=400\), scăderea este corectă. Deci răspunsul este \(50\) mii lei.

Răspuns: 50

Desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră de vârf \(V\) și bază \(ABCD\).

Metoda: Desenul piramidei patrulatere

1. 1

   Desenăm baza ABCD

   ABCD \text{ - paralelogram în perspectivă}

   Baza unei piramide patrulatere este un patrulater. În desenul în perspectivă, pătratul sau dreptunghiul se vede ca un paralelogram. Desenăm două laturi orizontale paralele și două laturi oblice paralele, apoi notăm vârfurile \(A, B, C, D\) în ordine, de exemplu \(A\) stânga-jos, \(B\) dreapta-jos, \(C\) dreapta-sus, \(D\) stânga-sus.

2. 2

   Desenăm vârful V și muchiile laterale

   VA,\ VB,\ VC,\ VD

   Alegem un punct \(V\) deasupra bazei, aproximativ deasupra centrului ei. Îl unim cu fiecare dintre cele patru vârfuri ale bazei. Obținem muchiile laterale \(VA, VB, VC, VD\). Piramida patrulateră are deci 4 fețe laterale triunghiulare.

3. 3

   Muchiile nevăzute și notarea

   DA,\ DC,\ DV \text{ - linie întreruptă}

   Într-un desen în perspectivă, muchiile care sunt ascunse în spatele pieselor se trasează cu linie întreruptă. Dacă \(D\) este vârful din spate, atunci \(DA\), \(DC\) și \(DV\) se fac punctate. Celelalte muchii se fac cu linie continuă. La final verifici că ai notat vârful \(V\) și baza \(ABCD\), pentru că acest lucru primește 1 punct.

Răspuns: Desenul este o piramidă patrulateră \(VABCD\): baza \(ABCD\) (paralelogram în perspectivă), vârful \(V\) deasupra ei, muchiile \(VA, VB, VC, VD\) și muchiile ascunse trasate cu linie întreruptă. Baremul: 4p desenul, 1p notarea \(V\) și \(ABCD\).

Trei numere naturale au suma egală cu \(240\) și sunt direct proporționale cu numerele \(2\), \(3\) și \(5\). Determinați cel mai mare dintre cele trei numere.

Metoda: Șir de rapoarte egale

1. 1

   Scriem șirul de rapoarte egale

   \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}

   Notăm cele trei numere cu \(x\), \(y\) și \(z\). Faptul că sunt direct proporționale cu \(2\), \(3\) și \(5\) înseamnă că rapoartele \(\frac{x}{2}\), \(\frac{y}{3}\) și \(\frac{z}{5}\) sunt egale. Știm și că \(x+y+z=240\).

2. 2

   Aplicăm proprietatea șirului de rapoarte egale

   \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=\frac{x+y+z}{2+3+5}=\frac{240}{10}=24

   Într-un șir de rapoarte egale, raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor este egal cu fiecare raport. Suma numărătorilor este \(240\), iar suma numitorilor este \(2+3+5=10\). Deci fiecare raport este egal cu \(24\).

3. 3

   Aflăm cele trei numere

   x=2\cdot 24=48,\quad y=3\cdot 24=72,\quad z=5\cdot 24=120

   Din \(\frac{x}{2}=24\) obținem \(x=2\cdot 24\), la fel pentru celelalte. Cel mai mare număr este cel corespunzător lui \(5\), adică \(z=120\).

4. 4

   Verificăm

   48+72+120=240

   Verificăm dacă suma celor trei numere este \(240\), așa cum cere problema.

Răspuns: Cel mai mare dintre cele trei numere este \(120\).

Dan și Cristina au, împreună, 120 de lei. Dan observă că, dacă îi dă Cristinei 10 lei din suma lui de bani, atunci suma de bani a Cristinei este de două ori mai mare decât suma de bani cu care rămâne el. Determinați suma inițială de bani a lui Dan.

Metoda: Ecuație din enunțul problemei

1. 1

   Notăm necunoscuta

   x = \text{suma inițială a lui Dan}

   Întrebarea cere suma inițială a lui Dan, deci aceasta este necunoscuta. O notăm cu \(x\). Împreună au 120 de lei, deci Cristina are la început \(120 - x\) lei.

2. 2

   Scriem sumele după ce Dan dă 10 lei

   \text{Dan: } x-10 \qquad \text{Cristina: } 120-x+10

   Dan dă 10 lei, deci îi rămân \(x-10\) lei. Cristina primește 10 lei, deci are \(120-x+10\) lei.

3. 3

   Scriem ecuația

   2(x-10) = 120 - x + 10

   Suma Cristinei este de două ori mai mare decât a lui Dan, deci suma Cristinei este egală cu dublul sumei lui Dan: \(2(x-10)\) este egal cu \(120-x+10\).

4. 4

   Rezolvăm ecuația

   2x-20 = 130 - x \Rightarrow 3x = 150 \Rightarrow x = 50

   Desfacem paranteza: \(2x-20\). În dreapta, \(120+10=130\), deci \(130-x\). Mutăm \(x\) în stânga și 20 în dreapta: \(2x+x=130+20\), adică \(3x=150\). Împărțim la 3 și obținem \(x=50\).

5. 5

   Verificăm rezultatul

   50-10=40,\quad 70+10=80,\quad 2\cdot 40=80

   Dan are 50 de lei, Cristina are \(120-50=70\). După schimb, Dan are 40, Cristina 80, iar 80 este de două ori 40. Rezultatul este corect.

Răspuns: Suma inițială a lui Dan este de 50 de lei.

Se consideră numerele reale \(x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}:\frac{2}{3}\) și \(y=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3^2}\cdot\frac{1}{3^3}\cdot\frac{1}{3^4}\cdot\frac{1}{3^5}\cdot 81^4\). a) Arătați că \(x=1\).

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor cu fracții

1. 1

   Efectuăm întâi împărțirea

   \frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

   În expresie apar o adunare și o împărțire. Ordinea operațiilor spune că împărțirea se face înaintea adunării. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei: inversa lui \(\frac{2}{3}\) este \(\frac{3}{2}\). Deci \(\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{6}\), iar după simplificare cu 3 obținem \(\frac{1}{2}\). Baremul scrie direct \(\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\).

2. 2

   Efectuăm adunarea și obținem x = 1

   x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1

   Acum înlocuim rezultatul împărțirii în expresia lui x: \(x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\). Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: \(\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1\). Astfel am arătat că \(x=1\), exact ca în barem.

Răspuns: x = 1, pentru că \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\).

Se consideră numerele reale \(x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}:\frac{2}{3}\) și \(y=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3^2}\cdot\frac{1}{3^3}\cdot\frac{1}{3^4}\cdot\frac{1}{3^5}\cdot 81^4\). b) Determinați cel mai mare număr natural de trei cifre distincte care este divizibil cu media aritmetică a numerelor \(x\) și \(y\).

Metoda: Puteri și medie aritmetică

1. 1

   Reținem valoarea lui x

   x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1

   La punctul a) am arătat că \(x=1\): împărțirea la \(\frac{2}{3}\) înseamnă înmulțire cu \(\frac{3}{2}\). Folosim acest rezultat, fiindcă ne trebuie în media aritmetică.

2. 2

   Calculăm y

   y=\frac{1}{3^{1+2+3+4+5}}\cdot\left(3^4\right)^4=\frac{1}{3^{15}}\cdot 3^{16}=3

   Înmulțim fracțiile: numitorii sunt puteri ale lui 3, iar la înmulțire exponenții se adună: \(1+2+3+4+5=15\). Apoi \(81=3^4\), deci \(81^4=3^{16}\) (puterea unei puteri: exponenții se înmulțesc). La final \(3^{16}:3^{15}=3\).

3. 3

   Media aritmetică a lui x și y

   m_a=\frac{x+y}{2}=\frac{1+3}{2}=2

   Media aritmetică a două numere este suma lor împărțită la 2. Cu \(x=1\) și \(y=3\) obținem 2.

4. 4

   Cel mai mare număr de trei cifre distincte divizibil cu 2

   986

   Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima cifră este pară. Cel mai mare număr de trei cifre cu cifre distincte începe cu 9, apoi 8, apoi cea mai mare cifră pară rămasă diferită de 9 și 8, adică 6. Numărul 987 nu merge (ultima cifră e impară), iar 988 are cifre care se repetă. Verificăm: 986 este par și are cifrele 9, 8, 6 distincte. Deci este 986.

Răspuns: 986

Se consideră expresia \(E(x)=x(x-3)^2+2(x-2)(x+2)+(2x+1)^2-7(2x-1)\), unde \(x\) este număr real. Arătați că, pentru orice număr natural nenul \(n\), numărul \(E(n)\) se scrie ca produs de trei numere naturale consecutive.

Metoda: Formule de calcul prescurtat

1. 1

   Desfacem parantezele cu formulele de calcul prescurtat

   x(x-3)^2=x(x^2-6x+9),\; 2(x-2)(x+2)=2(x^2-4),\; (2x+1)^2=4x^2+4x+1

   Folosim \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) și \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Așa scăpăm de puteri de paranteze și putem aduna termenii asemenea. Rezultă \(E(x)=x(x^2-6x+9)+2(x^2-4)+4x^2+4x+1-14x+7\).

2. 2

   Înmulțim și reducem termenii asemenea

   E(x)=x^3-6x^2+9x+2x^2-8+4x^2+4x+1-14x+7

   Înmulțim \(x\) cu paranteza: \(x^3-6x^2+9x\). Înmulțim \(2\) cu \((x^2-4)\): \(2x^2-8\). Apoi grupăm termenii asemenea: \(x^2\): \(-6+2+4=0\); \(x\): \(9+4-14=-1\); numere: \(-8+1+7=0\). Deci \(E(x)=x^3-x\), pentru orice număr real \(x\).

3. 3

   Descompunem în factori pentru \(x=n\)

   E(n)=n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)

   Dăm factor comun \(n\), apoi aplicăm \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) pentru \(n^2-1\). Obținem \((n-1)\cdot n\cdot(n+1)\). Aceste trei numere se urmează unul după altul (diferă cu 1), deci sunt consecutive. Pentru \(n\) natural nenul, \(n-1\), \(n\), \(n+1\) sunt numere naturale. Deci \(E(n)\) este produs de trei numere naturale consecutive.

Răspuns: \(E(x)=x^3-x\), deci \(E(n)=(n-1)n(n+1)\), produs de trei numere naturale consecutive.

În Figura 2 este reprezentat un trapez dreptunghic \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(AD \perp AB\), \(AB = 12\text{ cm}\), \(AD = 12\text{ cm}\) și \(DC = 3\text{ cm}\). Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AD\) și punctul \(N\) este simetricul punctului \(C\) față de punctul \(M\). a) Arătați că aria trapezului \(ABCD\) este egală cu \(90\text{ cm}^2\).

Metoda: Formula ariei trapezului

1. 1

   Identificăm bazele și înălțimea

   AB = 12,\quad CD = 3,\quad h = AD = 12

   Aria trapezului depinde de cele două baze (laturile paralele) și de înălțime. Bazele sunt \(AB\) și \(CD\), pentru că \(AB \parallel CD\). Deoarece \(AD \perp AB\), latura \(AD\) este perpendiculară pe baze, deci este înălțimea trapezului.

2. 2

   Scriem formula ariei trapezului

   \mathcal{A}_{ABCD} = \frac{(AB + CD)\cdot AD}{2}

   Aria trapezului este media aritmetică a bazelor înmulțită cu înălțimea. Formula se scrie: \(\frac{(B+b)\cdot h}{2}\), unde \(B\) și \(b\) sunt bazele, iar \(h\) este înălțimea. O înlocuim cu datele noastre.

3. 3

   Înlocuim numerele și calculăm

   \mathcal{A}_{ABCD} = \frac{(12+3)\cdot 12}{2} = 15\cdot 6 = 90\ \text{cm}^2

   Suma bazelor este \(15\), iar înălțimea este \(12\). Ca să fie mai ușor, împărțim întâi \(12\) la \(2\) și obținem \(6\). Apoi \(15\cdot 6 = 90\). Unitatea de măsură pentru arie este \(\text{cm}^2\), pentru că lungimile sunt în \(\text{cm}\). Astfel am arătat că aria este \(90\ \text{cm}^2\).

Răspuns: Aria trapezului \(ABCD\) este \(90\ \text{cm}^2\).

În trapezul dreptunghic \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(AD \perp AB\), \(AB = 12\) cm, \(AD = 12\) cm și \(DC = 3\) cm, punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AD\), iar punctul \(N\) este simetricul punctului \(C\) față de punctul \(M\). b) Demonstrați că punctele \(N\), \(A\) și \(B\) sunt coliniare.

Metoda: Paralelogram și coliniaritate

1. 1

   Ce înseamnă datele despre punctul M

   M \text{ mijlocul } AD, \quad M \text{ mijlocul } CN

   Punctul \(N\) este simetricul lui \(C\) față de \(M\). Asta înseamnă că \(M\) se află la mijlocul segmentului \(CN\). În enunț ni se spune și că \(M\) este mijlocul laturii \(AD\). Deci \(M\) este mijlocul a două segmente: \(AD\) și \(CN\).

2. 2

   Arătăm că ACDN este paralelogram

   AM = MD, \quad CM = MN \Rightarrow ACDN \text{ paralelogram}

   Diagonalele patrulaterului \(ACDN\) sunt \(AD\) și \(CN\). Ele se intersectează în \(M\), iar \(M\) este mijlocul ambelor. Un patrulater ale cărui diagonale au același mijloc este paralelogram. Deci \(ACDN\) este paralelogram.

3. 3

   Folosim paralelele și concluzionăm

   AN \parallel CD, \quad AB \parallel CD \Rightarrow N, A, B \text{ coliniare}

   Într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele, deci \(AN \parallel CD\). Din enunț știm că \(AB \parallel CD\). Prin punctul \(A\) trece o singură paralelă la \(CD\) (axioma paralelelor). Deci dreptele \(AN\) și \(AB\) coincid, adică \(N\), \(A\) și \(B\) sunt coliniare.

Răspuns: Punctele \(N\), \(A\) și \(B\) sunt coliniare, deoarece \(ACDN\) este paralelogram, deci \(AN \parallel CD\), iar \(AB \parallel CD\).

În Figura 2 este reprezentat un trapez dreptunghic \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(AD \perp AB\), \(AB = 12\) cm, \(AD = 12\) cm și \(DC = 3\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AD\) și punctul \(N\) este simetricul punctului \(C\) față de punctul \(M\). c) Determinați distanța de la punctul \(M\) la dreapta \(BC\).

Metoda: Metoda ariilor

1. 1

   Aflăm aria trapezului și a triunghiurilor \(MCD\) și \(MAB\)

   \mathcal{A}_{ABCD}=90,\ \mathcal{A}_{MCD}=\frac{3\cdot 6}{2}=9,\ \mathcal{A}_{MAB}=\frac{12\cdot 6}{2}=36

   Aria trapezului este 90 cm² (am arătat la punctul a). Cum \(M\) este mijlocul lui \(AD\), avem \(MD = MA = 6\) cm. Triunghiul \(MCD\) este dreptunghic în \(D\), cu catetele \(DC=3\) și \(MD=6\), deci aria este \(\frac{3\cdot 6}{2}=9\) cm². Triunghiul \(MAB\) este dreptunghic în \(A\), cu catetele \(AB=12\) și \(MA=6\), deci aria este \(\frac{12\cdot 6}{2}=36\) cm².

2. 2

   Calculăm aria triunghiului \(MBC\)

   \mathcal{A}_{MBC}=90-9-36=45

   Trapezul este format din triunghiurile \(MCD\), \(MAB\) și \(MBC\), deci aria lui \(MBC\) este aria trapezului minus ariile celorlalte două: \(90-9-36=45\) cm².

3. 3

   Aflăm lungimea laturii \(BC\)

   BC=15

   În enunț lungimea \(BC\) nu este dată direct, dar o aflăm ducând din \(C\) perpendiculara pe \(AB\), în piciorul \(E\). Atunci \(CE=AD=12\) și \(EB=12-3=9\). Cu teorema lui Pitagora: \(BC^2=12^2+9^2=144+81=225\), deci \(BC=15\) cm.

4. 4

   Calculăm distanța de la \(M\) la \(BC\)

   \frac{15\cdot d(M,BC)}{2}=45\ \Rightarrow\ d(M,BC)=6

   Aria triunghiului \(MBC\) este \(\frac{BC\cdot d(M,BC)}{2}\), unde \(d(M,BC)\) este înălțimea din \(M\). Avem \(\frac{15\cdot d}{2}=45\), deci \(15\cdot d=90\), adică \(d=6\) cm.

Răspuns: Distanța de la punctul \(M\) la dreapta \(BC\) este de 6 cm.

În Figura 3 este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB = 12\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AB\), punctul \(N\) este mijlocul laturii \(A'D'\) și punctul \(P\) este situat pe latura \(C'D'\) astfel încât \(C'P = 3D'P\). a) Arătați că \(CM = 6\sqrt{5}\) cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora

1. 1

   Găsim triunghiul dreptunghic

   \triangle BCM,\ \angle B = 90^\circ

   Punctele \(B\), \(C\) și \(M\) se află în baza \(ABCD\), care este un pătrat. Latura \(BC\) este perpendiculară pe \(AB\), iar \(M\) se află pe \(AB\), deci \(BC \perp BM\). Așadar triunghiul \(BCM\) este dreptunghic în \(B\), iar \(CM\) este ipotenuza. Alegem acest triunghi pentru că putem aplica teorema lui Pitagora.

2. 2

   Aflăm lungimile catetelor

   BC = 12,\quad BM = \frac{AB}{2} = 6

   \(BC\) este latură a cubului, deci \(BC = 12\) cm. \(M\) este mijlocul lui \(AB\), deci \(BM\) este jumătate din \(AB\), adică \(12 : 2 = 6\) cm. Avem nevoie de lungimile catetelor ca să aplicăm teorema lui Pitagora.

3. 3

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   CM = \sqrt{BC^2 + BM^2} = \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 36}

   În triunghiul dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. De aceea \(CM^2 = BC^2 + BM^2\), iar \(CM\) este rădăcina pătrată a sumei. Calculăm \(12^2 = 144\) și \(6^2 = 36\).

4. 4

   Scoatem factorii de sub radical

   CM = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}\ \text{cm}

   Descompunem \(180 = 36 \cdot 5\), unde 36 este pătrat perfect. Putem scoate \(\sqrt{36} = 6\) în fața radicalului. Astfel obținem \(CM = 6\sqrt{5}\) cm, exact ce trebuia arătat.

Răspuns: \(CM = 6\sqrt{5}\) cm

În Figura 3 este reprezentat un cub \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB = 12\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AB\), punctul \(N\) este mijlocul laturii \(A'D'\) și punctul \(P\) este situat pe latura \(C'D'\) astfel încât \(C'P = 3D'P\). b) Demonstrați că dreapta \(NP\) este paralelă cu planul \((B'MC)\).

Metoda: Dreaptă paralelă cu un plan

1. 1

   Dreapta ajutătoare ME și paralelogramul MCC'E

   ME \parallel BB',\ ME = BB' \ \text{și}\ BB' \parallel CC',\ BB'=CC' \Rightarrow MCC'E\ \text{paralelogram} \Rightarrow CM \parallel C'E

   Fie \(E\) mijlocul laturii \(A'B'\). Segmentul \(ME\) unește mijloacele laturilor \(AB\) și \(A'B'\) ale feței laterale \(ABB'A'\), care este pătrat. Deci \(ME\) este paralel și egal cu \(BB'\). Dar \(BB'\) este paralel și egal cu \(CC'\) (muchii ale cubului). Rezultă că \(ME\) este paralel și egal cu \(CC'\), deci patrulaterul \(MCC'E\) are două laturi opuse paralele și egale, adică este paralelogram. Într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele, deci \(CM \parallel C'E\).

2. 2

   NP este linie mijlocie în triunghiul D'A'F

   NP \parallel A'F

   Fie \(F\) mijlocul laturii \(C'D'\). Cum \(C'P = 3D'P\), avem \(D'P = 12:4 = 3\) cm, iar \(D'F = 6\) cm, deci \(P\) este mijlocul lui \(D'F\). De asemenea \(N\) este mijlocul lui \(A'D'\). În triunghiul \(D'A'F\), segmentul \(NP\) unește mijloacele laturilor \(D'A'\) și \(D'F\), deci este linie mijlocie și \(NP \parallel A'F\).

3. 3

   A'EC'F este paralelogram, deci C'E ∥ A'F

   A'E \parallel C'F,\ A'E = C'F \Rightarrow A'EC'F\ \text{paralelogram} \Rightarrow C'E \parallel A'F

   Pe fața \(A'B'C'D'\) (pătrat), \(A'E\) este jumătate din \(A'B'\), iar \(C'F\) este jumătate din \(C'D'\). Cum \(A'B' \parallel C'D'\) și au aceeași lungime, \(A'E \parallel C'F\) și \(A'E = C'F = 6\) cm. Deci \(A'EC'F\) este paralelogram și \(C'E \parallel A'F\).

4. 4

   Concluzia: NP ∥ (B'MC)

   NP \parallel A'F \parallel C'E \parallel CM \Rightarrow NP \parallel CM,\ CM \subset (B'MC) \Rightarrow NP \parallel (B'MC)

   Din \(NP \parallel A'F\), \(A'F \parallel C'E\) și \(C'E \parallel CM\) rezultă \(NP \parallel CM\). Dreapta \(CM\) este conținută în planul \((B'MC)\), iar \(NP\) nu este în acel plan. O dreaptă paralelă cu o dreaptă dintr-un plan, fără a fi în plan, este paralelă cu planul. Deci \(NP \parallel (B'MC)\).

Răspuns: Am arătat că \(NP \parallel CM\) și \(CM \subset (B'MC)\), deci \(NP \parallel (B'MC)\).

Subiectul III, 2. c): În Figura 3 este reprezentat un cubul \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB=12\text{ cm}\). Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AB\), punctul \(N\) este mijlocul laturii \(A'D'\) și punctul \(P\) este situat pe latura \(C'D'\) astfel încât \(C'P=3D'P\). c) Demonstrați că distanța de la punctul \(P\) la dreapta \(CM\) este egală cu \(\frac{6\sqrt{145}}{5}\text{ cm}\).

Metoda: Perpendiculara pe plan și asemănare

1. 1

   Coborâm P în planul bazei

   CQ=3DQ,\quad PQ\perp(ABC),\quad PQ=12

   Alegem Q pe latura CD astfel încât CQ = 3DQ. Atunci PQ este paralelă cu muchia verticală DD' (P este pe C'D' în aceeași proporție ca Q pe CD), deci PQ este perpendiculară pe planul bazei (ABC). Lungimea ei este egală cu muchia cubului, adică 12 cm. Facem asta ca să mutăm problema în planul bazei, unde CM se vede ușor.

2. 2

   Perpendiculara pe CM

   QT\perp CM,\ T\in CM \Rightarrow PT\perp CM,\quad d(P,CM)=PT

   În planul bazei ducem QT perpendiculară pe CM, cu T pe dreapta CM. Pentru că PQ este perpendiculară pe planul (ABC), iar CM este în acest plan și QT ⊥ CM, teorema celor trei perpendiculare spune că PT ⊥ CM. Deci distanța de la P la CM este chiar segmentul PT.

3. 3

   Calculăm QC și aflăm QT prin asemănare

   \angle QCT\equiv\angle BMC\Rightarrow \frac{QT}{QC}=\frac{BC}{CM}\Rightarrow QT=\frac{9\cdot 12}{6\sqrt5}=\frac{18\sqrt5}{5}

   Cum CD = 12 și CQ = 3DQ, avem CQ = 9 cm. Unghiurile QCT și BMC sunt congruente (unghiuri alterne interne, pentru că CD este paralelă cu AB). Triunghiurile dreptunghice QTC și CBM au un unghi ascuțit egal, deci sinusurile lor sunt egale: QT/QC = BC/CM. Cu BC = 12 și CM = 6\sqrt5 (din a)) obținem QT = 9·12/(6\sqrt5) = 18/\sqrt5 = 18\sqrt5/5 cm.

4. 4

   Teorema lui Pitagora în triunghiul PQT

   PT=\sqrt{PQ^2+QT^2}=\sqrt{144+\frac{324}{5}}=\sqrt{\frac{1044}{5}}=\frac{6\sqrt{145}}{5}

   Triunghiul PQT este dreptunghic în Q, deoarece PQ ⊥ (ABC) și QT este în plan. Aplicăm teorema lui Pitagora: \(PT^2=12^2+\left(\frac{18\sqrt5}{5}\right)^2=144+\frac{324\cdot5}{25}=144+\frac{324}{5}=\frac{1044}{5}\). Atunci \(PT=\sqrt{\frac{1044}{5}}=\frac{\sqrt{5220}}{5}\). Cum \(5220=36\cdot145\), obținem \(PT=\frac{6\sqrt{145}}{5}\) cm, exact ce trebuia demonstrat.

Răspuns: Distanța de la P la dreapta CM este \(PT=\frac{6\sqrt{145}}{5}\) cm.