Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2021, model de subiect

Cel mai mare divizor prim al numărului \(154\) este numărul: a) \(2\); b) \(7\); c) \(11\); d) \(77\).

Metoda: Descompunerea în factori primi

1. 1

   Descompunem numărul 154 în factori primi

   154=2\cdot 7\cdot 11

   Împărțim pe rând numărul la numere prime: \(154\) este par, deci \(154:2=77\). Apoi \(77:7=11\), iar \(11\) este număr prim, deci ne oprim. Factorii primi sunt exact divizorii primi ai lui \(154\).

2. 2

   Alegem cel mai mare divizor prim

   \max\{2,7,11\}=11

   Divizorii primi ai lui \(154\) sunt \(2\), \(7\) și \(11\). Cel mai mare dintre ei este \(11\). Varianta \(77\) nu este bună, pentru că \(77=7\cdot 11\) este număr compus, deci nu este prim. Variantele \(2\) și \(7\) sunt prime, dar mai mici decât \(11\). Răspunsul corect este c).

Răspuns: Cel mai mare divizor prim al lui 154 este 11, deci varianta corectă este c).

Se consideră numerele naturale \(a=5\) și \(b=11\). Raportul dintre numerele \(a\) și \(b\) are aceeași valoare cu raportul: a) \(\frac{10}{11}\); b) \(\frac{1}{2}\); c) \(\frac{10}{22}\); d) \(\frac{5}{22}\).

Metoda: Amplificarea fracțiilor (rapoarte egale)

1. 1

   Scriem raportul dintre a și b

   \frac{a}{b}=\frac{5}{11}

   Raportul dintre \(a\) și \(b\) se scrie \(\frac{a}{b}\). Punem \(a=5\) sus și \(b=11\) jos, pentru că raportul se citește „a la b”, în această ordine.

2. 2

   Amplificăm fracția cu 2

   \frac{5}{11}=\frac{5\cdot 2}{11\cdot 2}=\frac{10}{22}

   Dacă înmulțim și numărătorul, și numitorul cu același număr nenul (amplificare), valoarea fracției nu se schimbă. Căutăm între variante o fracție de acest fel; \(\frac{10}{22}\) apare la varianta c).

3. 3

   Verificăm celelalte variante

   \frac{10}{11}\neq\frac{5}{11},\ \frac{1}{2}\neq\frac{5}{11},\ \frac{5}{22}\neq\frac{10}{22}

   Varianta a) are același numitor 11, dar numărătorul 10 este diferit de 5, deci nu e egală. Varianta d) are numitorul 22, dar numărătorul 5, nu 10: s-a înmulțit doar numitorul. Varianta b) ar fi \(\frac{5}{10}\) la numitor 10, dar 11 nu este 10, deci nu convine. Doar c) este corectă.

Răspuns: Varianta corectă este c) \(\frac{10}{22}\), deoarece \(\frac{5}{11}=\frac{10}{22}\).

Luni, temperatura măsurată la ora \(10\), la o stație meteo, a fost de \(-5^\circ C\), iar marți, la aceeași oră, au fost înregistrate \(-7^\circ C\). Diferența dintre temperatura înregistrată marți și cea înregistrată luni este egală cu: a) \(-9^\circ C\); b) \(-2^\circ C\); c) \(6^\circ C\); d) \(9^\circ C\).

Metoda: Scăderea numerelor întregi

1. 1

   Scriem diferența cerută

   (-7)-(-5)

   Enunțul cere diferența dintre temperatura de marți și cea de luni, deci pornim de la marți și scădem luni. Marți au fost \(-7^\circ C\), iar luni \(-5^\circ C\). Ordinea contează la scădere, de aceea o scriem atent.

2. 2

   Transformăm scăderea în adunare

   (-7)-(-5)=(-7)+5

   Pentru a scădea un număr întreg, adunăm opusul lui. Opusul lui \(-5\) este \(5\). Deci scăderea lui \(-5\) devine adunarea lui \(5\).

3. 3

   Calculăm rezultatul

   (-7)+5=-2

   Adunăm un număr negativ cu unul pozitiv. Numerele au semne diferite, deci scădem modulele: \(7-5=2\). Rezultatul ia semnul numărului cu modulul mai mare, adică \(-7\), deci minus. Obținem \(-2\). Temperatura a scăzut cu \(2\) grade, ceea ce se potrivește: \(-7\) este mai rece decât \(-5\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   -2^\circ C

   Rezultatul este \(-2^\circ C\), deci varianta b). Varianta a) \(-9\) ar rezulta din \(-5-7+3\), adică adunând modulele, greșit. Varianta c) \(6\) nu rezultă din nicio operație corectă cu aceste numere. Varianta d) \(9\) ar apărea dacă am aduna \(7+5+...\) fără sens sau am ignora semnele; semnele însă contează.

Răspuns: Varianta b): \(-2^\circ C\).

Dintre următoarele seturi de numere, cel scris în ordine crescătoare este: a) \(\frac{1}{18}, \frac{1}{3}, \frac{5}{6}, \frac{8}{9}\); b) \(\frac{1}{3}, \frac{1}{18}, \frac{5}{6}, \frac{8}{9}\); c) \(\frac{8}{9}, \frac{5}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{18}\); d) \(\frac{1}{3}, \frac{8}{9}, \frac{5}{6}, \frac{1}{18}\).

Metoda: Compararea fracțiilor la numitor comun

1. 1

   Găsim un numitor comun

   [3, 6, 9, 18] = 18

   Numitorii sunt 18, 3, 6 și 9. Toți sunt divizori ai lui 18, deci cel mai mic multiplu comun este 18. Fracțiile cu același numitor se compară direct după numărător.

2. 2

   Amplificăm fracțiile la numitorul 18

   \frac{1}{3}=\frac{6}{18},\ \frac{5}{6}=\frac{15}{18},\ \frac{8}{9}=\frac{16}{18},\ \frac{1}{18}=\frac{1}{18}

   Amplificăm fiecare fracție cu numărul care duce numitorul la 18: pe 1/3 cu 6, pe 5/6 cu 3, pe 8/9 cu 2. Valoarea fracției nu se schimbă, pentru că înmulțim și numărătorul, și numitorul cu același număr.

3. 3

   Ordonăm crescător numărătorii

   1<6<15<16 \Rightarrow \frac{1}{18}<\frac{1}{3}<\frac{5}{6}<\frac{8}{9}

   La același numitor, este mai mare fracția cu numărătorul mai mare. Ordinea crescătoare a numărătorilor 1, 6, 15, 16 dă ordinea fracțiilor: 1/18, 1/3, 5/6, 8/9.

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \text{Varianta a)}

   Șirul 1/18, 1/3, 5/6, 8/9 este exact varianta a). La b) 1/3 este pus înaintea lui 1/18, deși 1/3 este mai mare. La c) șirul este descrescător. La d) 1/18 apare la final, deși este cea mai mică.

Răspuns: Răspunsul corect este a) \(\frac{1}{18}, \frac{1}{3}, \frac{5}{6}, \frac{8}{9}\).

Bogdan, Ana, Cătălin și Laura înmulțesc numărul \(n=\sqrt{2}-\sqrt{8}+\sqrt{18}\) cu \(\sqrt{2}\) și obțin rezultatele din tabel: Bogdan \(-4\), Ana \(2\sqrt{2}\), Cătălin \(0\), Laura \(4\). Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect al înmulțirii este: a) Bogdan, b) Ana, c) Cătălin, d) Laura.

Metoda: Scoaterea factorilor de sub radical

1. 1

   Scoatem factorii de sub radical

   \sqrt{8}=2\sqrt{2},\quad \sqrt{18}=3\sqrt{2}

   Descompunem \(8=4\cdot 2\) și \(18=9\cdot 2\). Cum \(4\) și \(9\) sunt pătrate perfecte, ele ies de sub radical ca \(2\) și \(3\). Astfel toți radicalii devin de forma \(\sqrt{2}\) și îi putem aduna sau scădea.

2. 2

   Reducem termenii asemenea

   n=\sqrt{2}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(1-2+3)\sqrt{2}=2\sqrt{2}

   Acum toți termenii conțin \(\sqrt{2}\), deci putem aduna coeficienții: \(1-2+3=2\). Obținem \(n=2\sqrt{2}\).

3. 3

   Înmulțim cu \(\sqrt{2}\)

   n\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot 2=4

   Știm că \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\). Deci rezultatul este \(2\cdot 2=4\).

4. 4

   Alegem elevul corect

   4\Rightarrow \text{Laura}

   Rezultatul \(4\) apare la Laura, deci varianta d). Bogdan are \(-4\) (greșit de semn), Ana are \(2\sqrt{2}\), adică doar \(n\) fără înmulțire cu \(\sqrt{2}\), iar Cătălin are \(0\), care ar apărea dacă termenii s-ar scădea greșit.

Răspuns: d) Laura

În tabelul următor sunt înregistrate punctajele obținute de elevii unei clase la un test de cultură generală: punctaj 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, cu numărul de elevi 2, 4, 5, 2, 4, 2, 1. Media aritmetică a punctajelor obținute de elevii participanți la test este: a) \(60,9\) b) \(66\) c) \(69,5\) d) \(69\)

Metoda: Media aritmetică a unui set de date

1. 1

   Aflăm câți elevi sunt în total

   2+4+5+2+4+2+1=20

   Media aritmetică se obține împărțind suma tuturor punctajelor la numărul de elevi. De aceea avem nevoie mai întâi de numărul total de elevi: adunăm numerele din rândul al doilea al tabelului.

2. 2

   Calculăm suma tuturor punctajelor

   2\cdot 40+4\cdot 50+5\cdot 60+2\cdot 70+4\cdot 80+2\cdot 90+1\cdot 100

   Cei 2 elevi cu punctajul 40 contribuie cu \(2\cdot 40\), cei 4 elevi cu 50 contribuie cu \(4\cdot 50\) și așa mai departe. Înmulțim fiecare punctaj cu numărul de elevi și adunăm rezultatele: \(80+200+300+140+320+180+100=1320\).

3. 3

   Împărțim suma la numărul de elevi

   m_a=\frac{1320}{20}=66

   Media aritmetică este suma punctajelor împărțită la numărul de elevi: \(1320:20=66\). Deci varianta corectă este b). Celelalte variante nu corespund: de exemplu 69,5 și 69 sunt prea mari, iar 60,9 prea mic față de rezultatul calculat.

Răspuns: Media aritmetică este 66, deci varianta corectă este b).

Subiectul II, item 1: În figura alăturată sunt reprezentate punctele \(A\), \(M\) și \(C\), coliniare, în această ordine. Punctul \(C\) este simetricul punctului \(A\) față de punctul \(M\). Dacă \(AM = 3\text{ cm}\), atunci segmentul \(CM\) are lungimea egală cu: a) \(3\text{ cm}\); b) \(4\text{ cm}\); c) \(6\text{ cm}\); d) \(9\text{ cm}\).

Metoda: Simetricul față de un punct

1. 1

   Ce înseamnă „C este simetricul lui A față de M”

   M \text{ este mijlocul segmentului } AC \Rightarrow AM = CM

   Dacă \(C\) este simetricul lui \(A\) față de \(M\), atunci \(M\) este mijlocul segmentului \(AC\). Mijlocul împarte segmentul în două părți egale, deci \(AM = CM\). Facem acest pas ca să legăm lungimea cunoscută \(AM\) de cea cerută \(CM\).

2. 2

   Aflăm lungimea lui CM

   CM = AM = 3\text{ cm}

   Din \(AM = CM\) și \(AM = 3\text{ cm}\) obținem \(CM = 3\text{ cm}\). Răspunsul este varianta a). Varianta c) (6 cm) este lungimea întregului segment \(AC = 3+3\), nu a lui \(CM\). Variantele b) și d) nu se obțin din nicio regulă potrivită.

Răspuns: Varianta a) \(3\text{ cm}\), pentru că \(M\) este mijlocul lui \(AC\), deci \(CM = AM = 3\text{ cm}\).

Subiectul al II-lea, itemul 2. În figura alăturată sunt reprezentate punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(O\), astfel încât \(A\), \(B\) și \(C\) sunt situate la distanțe egale față de punctul \(O\), iar punctele \(A\), \(O\) și \(C\) sunt coliniare. Măsura unghiului \(ABC\) este egală cu: a) \(120^\circ\) b) \(90^\circ\) c) \(60^\circ\) d) \(30^\circ\). Din figură: pe caroiaj, \(A\) și \(B\) sunt pe aceeași orizontală, \(C\) este sus în dreapta, deasupra lui \(B\), iar \(O\) este între \(A\) și \(C\).

Metoda: Unghi înscris în semicerc

1. 1

   Descoperim cercul

   OA=OB=OC

   Punctele \(A\), \(B\) și \(C\) sunt la aceeași distanță de \(O\). Asta înseamnă că se află pe un cerc cu centrul în \(O\), iar \(OA\), \(OB\), \(OC\) sunt raze ale lui.

2. 2

   Observăm că AC este diametru

   A,O,C\ \text{coliniare},\ OA=OC \Rightarrow AC=2\cdot OA

   Punctele \(A\), \(O\), \(C\) sunt coliniare, deci \(AC\) trece prin centru. O coardă care trece prin centru este diametru. Deci \(AC\) este diametrul cercului.

3. 3

   Folosim unghiul înscris în semicerc

   \angle ABC=\frac{\overset{\frown}{AC}}{2}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ

   Unghiul \(ABC\) are vârful \(B\) pe cerc, iar laturile lui trec prin \(A\) și \(C\): este unghi înscris în cerc. Arcul \(AC\) pe care se sprijină este un semicerc, de \(180^\circ\). Un unghi înscris are măsura jumătate din arcul cuprins între laturile lui, deci \(\angle ABC=90^\circ\). Răspunsul corect este b).

4. 4

   Verificăm și celelalte variante

   \angle ABC=90^\circ \Rightarrow \text{b)}

   Variantele a) \(120^\circ\), c) \(60^\circ\) și d) \(30^\circ\) nu merg, deoarece unghiul ABC se sprijină pe un semicerc și are exact \(90^\circ\). Mai putem observa din caroiaj: \(AB\) este orizontală, iar \(BC\) verticală, deci formează un unghi drept.

Răspuns: Măsura unghiului \(ABC\) este \(90^\circ\), deci răspunsul corect este b).

Locuința Alinei, marcată pe schiță cu punctul \(A\), este situată la distanțe egale față de locuințele celor doi colegi de clasă, Radu și Paul, marcate cu punctele \(R\), respectiv \(P\). Radu pornește de acasă spre Paul, pe drumul cel mai scurt. La jumătatea distanței, adică în punctul \(M\), se hotărăște să se îndrepte spre șoseaua \(AP\), parcurgând distanța cea mai scurtă. Ajuns la șosea, în punctul \(D\), Radu află că până la locuința Alinei sunt \(400\) m. La ce distanță se află locuința lui Paul față de punctul \(D\), în care s-a oprit Radu, dacă măsura unghiului \(RAP\) este de \(120^\circ\)? Variante: a) 400 m; b) 800 m; c) 1200 m; d) 1600 m. Figura: triunghiul \(RAP\) cu \(AR=AP\), \(M\) pe \(RP\), \(D\) pe \(AP\), \(MD\) perpendiculară pe \(AP\).

Metoda: Triunghi isoscel și unghi de 30°

1. 1

   Aflăm unghiurile de la baza triunghiului

   \angle R=\angle P=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ

   Cum \(AR=AP\), triunghiul \(RAP\) este isoscel cu baza \(RP\), deci unghiurile de la bază sunt congruente. Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\), deci \(\angle R+\angle P=180^\circ-120^\circ=60^\circ\), iar fiecare are \(30^\circ\).

2. 2

   Folosim triunghiul dreptunghic MDP

   MD\perp AP,\ \angle P=30^\circ \Rightarrow MD=\frac{MP}{2}

   \(M\) este mijlocul lui \(RP\) și \(MD\) este perpendiculară pe \(AP\) (drumul cel mai scurt de la \(M\) la dreapta \(AP\)). Triunghiul \(MDP\) este dreptunghic în \(D\) și are unghiul \(P=30^\circ\). Atunci cateta \(MD\), opusă unghiului de \(30^\circ\), este jumătate din ipotenuza \(MP\).

3. 3

   Arătăm că AD = 400 m = AM

   AM\perp RP \text{ (mediana în isoscel)},\ \angle AMP=90^\circ,\ \angle MAP=60^\circ

   În triunghiul isoscel \(RAP\), mediana \(AM\) este și înălțime, deci \(AM\perp RP\). În triunghiul \(AMP\), unghiul \(P=30^\circ\), deci \(AM=\frac{AP}{2}\) (cateta opusă unghiului de \(30^\circ\)). În triunghiul dreptunghic \(AMD\) (dreptunghic în \(D\)) avem \(\angle MAD=60^\circ\), deci \(\angle AMD=30^\circ\) și \(AD=\frac{AM}{2}\). Deci \(AP=2AM=4AD\).

4. 4

   Calculăm distanța de la D la P

   DP=AP-AD=1600-400=1200\text{ m}

   Punctul \(D\) este pe segmentul \(AP\), deci \(DP=AP-AD\). Cu \(AP=1600\) m și \(AD=400\) m obținem \(DP=1200\) m. Varianta corectă este c). Celelalte nu se potrivesc: 400 m este chiar \(AD\), 800 m ar fi \(AM\), iar 1600 m este \(AP\), toată șoseaua.

Răspuns: Locuința lui Paul se află la 1200 m de punctul D. Varianta corectă este c).

În figura alăturată este reprezentată schița unei grădini de plante aromatice, în formă de romb \(ABCD\). Suprafața hașurată, corespunzătoare triunghiului \(AMN\), unde \(M\) și \(N\) sunt mijloacele laturilor \(BC\), respectiv \(CD\), este acoperită cu cimbru, iar restul suprafeței grădinii este acoperită cu lavandă. Din aria totală a grădinii, aria suprafeței acoperite cu cimbru reprezintă: a) \(\frac{1}{2}\) b) \(\frac{1}{3}\) c) \(\frac{3}{8}\) d) \(\frac{1}{5}\)

Metoda: Descompunerea ariei rombului

1. 1

   Notăm aria rombului

   \mathcal{A}_{ABCD}=\mathcal{A}

   Alegem aria rombului ca unitate: o notăm \(\mathcal{A}\) și exprimăm celelalte arii ca părți din ea. Astfel obținem direct fracția cerută.

2. 2

   Aria triunghiului ABM

   \mathcal{A}_{ABM}=\frac{1}{2}\mathcal{A}_{ABC}=\frac{1}{4}\mathcal{A}

   Triunghiurile \(ABM\) și \(ABC\) au aceeași înălțime din \(A\). Cum \(M\) este mijlocul lui \(BC\), baza \(BM\) este jumătate din \(BC\), deci aria \(ABM\) este jumătate din aria \(ABC\). Aria \(ABC\) este \(\frac{\mathcal{A}}{2}\), deci \(\mathcal{A}_{ABM}=\frac{\mathcal{A}}{4}\). La fel, \(\mathcal{A}_{ADN}=\frac{\mathcal{A}}{4}\).

3. 3

   Aria triunghiului CMN

   \mathcal{A}_{CMN}=\frac{1}{2}\cdot\frac{CM\cdot CN\cdot \sin C}{1}\Rightarrow \mathcal{A}_{CMN}=\frac{1}{8}\mathcal{A}

   Triunghiul \(CMN\) are laturile \(CM\) și \(CN\) jumătate din \(CB\), respectiv \(CD\), cu același unghi \(C\) ca triunghiul \(CBD\). Deci \(\mathcal{A}_{CMN}=\frac{1}{4}\mathcal{A}_{CBD}\), iar \(\mathcal{A}_{CBD}=\frac{\mathcal{A}}{2}\). Rezultă \(\mathcal{A}_{CMN}=\frac{\mathcal{A}}{8}\). (Alternativ: \(MN\) este linie mijlocie în \(CBD\), deci triunghiul \(CMN\) este asemenea cu \(CBD\) cu raportul \(\frac12\), iar ariile au raportul \(\frac14\).)

4. 4

   Aria triunghiului AMN și răspunsul

   \mathcal{A}_{AMN}=\mathcal{A}-\frac{\mathcal{A}}{4}-\frac{\mathcal{A}}{4}-\frac{\mathcal{A}}{8}=\frac{3\mathcal{A}}{8}

   Din romb scădem cele trei triunghiuri de lavandă. Așa rămâne exact triunghiul \(AMN\). Cu numitor comun 8: \(1-\frac{2}{8}-\frac{2}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\). Deci cimbrul ocupă \(\frac{3}{8}\) din grădină, varianta c). Celelalte nu dau \(\frac{3}{8}\): \(\frac12\), \(\frac13\) și \(\frac15\) nu rezultă din calcul.

Răspuns: Varianta c): aria suprafeței acoperite cu cimbru reprezintă \(\frac{3}{8}\) din aria grădinii.

Punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) sunt situate pe un cerc de centru \(O\), astfel încât punctele \(A\) și \(B\) sunt diametral opuse și măsura unghiului \(ACD\) este de \(55^\circ\). Măsura unghiului \(DOB\) este egală cu: a) \(55^\circ\); b) \(70^\circ\); c) \(110^\circ\); d) \(180^\circ\). (Figura: cerc de centru \(O\), diametrul \(AB\), punctele \(C\) și \(D\) pe cerc, \(D\) în partea de sus și \(C\) în partea de jos.)

Metoda: Unghi înscris și unghi la centru

1. 1

   Ce arc «vede» fiecare unghi

   \angle ACD = 55^\circ

   Unghiul \(ACD\) este înscris în cerc, pentru că vârful \(C\) este pe cerc. El cuprinde arcul \(AD\), cel care nu conține punctul \(C\). Deci arcul \(AD\) este arcul care ne interesează.

2. 2

   Aflăm măsura arcului AD

   \widehat{AD} = 2\cdot \angle ACD = 2\cdot 55^\circ = 110^\circ

   Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului pe care îl cuprinde. Deci arcul \(AD\) este dublul unghiului \(ACD\).

3. 3

   Folosim faptul că AB este diametru

   \widehat{AB} = 180^\circ,\quad \widehat{AD}+\widehat{DB} = 180^\circ

   Punctele \(A\) și \(B\) sunt diametral opuse, deci semicercul \(AB\) are \(180^\circ\). Punctul \(D\) se află pe acest semicerc și îl împarte în arcele \(AD\) și \(DB\). Atunci arcul \(DB\) este restul până la \(180^\circ\).

4. 4

   Unghiul la centru DOB și concluzia

   \angle DOB = \widehat{DB} = 70^\circ

   Un unghi la centru are aceeași măsură ca arcul pe care îl cuprinde. Unghiul \(DOB\) cuprinde arcul \(DB\), deci are \(70^\circ\). Varianta b) este corectă. Variantele a) și d) nu sunt bune: \(55^\circ\) este unghiul înscris, nu cel la centru, iar \(180^\circ\) este tot semicercul. Varianta c) este arcul \(AD\), nu \(DB\).

Răspuns: Varianta b) \(70^\circ\).

În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\) care are muchia egală cu \(12\text{ cm}\). Secționăm cubul \(ABCDA'B'C'D'\) în \(27\) de cubulețe cu volume egale. Lungimea muchiei unui cubuleț este egală cu: a) \(1\text{ cm}\); b) \(2\text{ cm}\); c) \(4\text{ cm}\); d) \(6\text{ cm}\).

Metoda: Volumul cubului și puteri

1. 1

   Volumul cubului mare

   V=l^3=12^3=1728

   Volumul unui cub cu muchia \(l\) este \(l^3\). Avem nevoie de volumul total ca să-l putem împărți la cele 27 de cubulețe.

2. 2

   Volumul unui cubuleț

   V_{cubulet}=1728:27=64

   Cele 27 de cubulețe au volume egale și împreună umplu cubul mare. Deci volumul unuia este volumul total împărțit la 27.

3. 3

   Muchia cubulețului

   a^3=64 \Rightarrow a=4

   Căutăm numărul care ridicat la puterea a treia dă 64. Cum \(4\cdot4\cdot4=64\), muchia este 4 cm.

4. 4

   Verificare și alegerea variantei

   3\cdot4=12

   Pe fiecare muchie încap \(12:4=3\) cubulețe, deci în total \(3\cdot3\cdot3=27\), exact cât în enunț. Varianta c) este corectă. Pentru 1 cm ar ieși 1728 cubulețe, pentru 2 cm ar ieși 216, iar pentru 6 cm ar ieși 8, deci a), b) și d) nu merg.

Răspuns: Varianta c): muchia unui cubuleț este 4 cm.

Dacă într-o clasă se așază câte doi elevi într-o bancă, atunci un elev rămâne singur în bancă, iar două bănci rămân libere. Dacă elevii se așază câte trei în bancă, atunci șase bănci rămân libere, iar celelalte bănci sunt ocupate complet. a) Este posibil ca în clasă să fie 14 elevi? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul de bănci din clasă.

Metoda: Ecuație din două așezări

1. 1

   a) Ce fel de număr este numărul elevilor?

   N = 2k + 1

   Când se așază câte doi elevi în bancă, toate băncile ocupate sunt pline, în afară de una, în care stă un singur elev. Deci elevii se împart în perechi (câte doi în bancă) și mai rămâne unul. Numărul elevilor este de forma \(2k+1\), adică un număr impar.

2. 2

   a) Concluzia: se poate 14 elevi?

   14 = 2\cdot 7

   Numărul 14 se împarte exact la 2, deci este par. Elevii din clasă formează un număr impar, așa că 14 nu poate fi numărul elevilor. Răspuns: nu este posibil.

3. 3

   b) Alegem necunoscuta și scriem numărul elevilor în două feluri

   2(x-3)+1 = 3(x-6)

   Fie \(x\) numărul de bănci. La prima așezare, 2 bănci sunt libere, deci \(x-2\) bănci sunt ocupate. Dintre acestea, una are un singur elev, deci \(x-3\) bănci au câte doi elevi. Numărul elevilor este \(2(x-3)+1\). La a doua așezare, 6 bănci sunt libere, deci \(x-6\) bănci sunt pline, cu câte trei elevi: \(3(x-6)\). Numărul elevilor e același, deci cele două expresii sunt egale.

4. 4

   b) Rezolvăm ecuația

   2x-6+1=3x-18 \Rightarrow 2x-5=3x-18 \Rightarrow x=13

   Desfacem parantezele: \(2x-6+1=3x-18\), adică \(2x-5=3x-18\). Mutăm termenii: \(-5+18=3x-2x\), deci \(x=13\). Sunt 13 bănci în clasă.

5. 5

   Verificare

   2\cdot 10+1 = 21 = 3\cdot 7

   Cu 13 bănci: la prima așezare sunt 10 bănci cu câte doi elevi și una cu unul, deci \(2\cdot 10+1=21\) elevi. La a doua așezare sunt 7 bănci pline, deci \(3\cdot 7=21\) elevi. Numerele coincid, deci soluția este corectă. Și 21 este impar, în acord cu punctul a).

Răspuns: a) Nu, numărul elevilor este impar, iar 14 este par. b) În clasă sunt 13 bănci (și 21 de elevi).

Se consideră expresia \(E(x)=\left(x-\dfrac{1}{2-x}\right):\dfrac{x^3-2x^2+x}{x^2-7x+10}\), unde \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1,2,5\}\). a) Arată că \(x^2-7x+10=(x-2)(x-5)\), pentru orice număr real \(x\). b) Demonstrează că \(E(x)=\dfrac{x-5}{x}\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1,2,5\}\).

Metoda: Descompunere în factori, fracții algebrice

1. 1

   a) Descompunem trinomul \(x^2-7x+10\)

   x^2-7x+10=x^2-2x-5x+10=x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5)

   Îl scriem pe \(-7x\) ca \(-2x-5x\), pentru că \(2+5=7\) și \(2\cdot5=10\). Apoi grupăm termenii doi câte doi și dăm factor comun. Așa apare factorul comun \((x-2)\), pe care îl scoatem în fața parantezei.

2. 2

   b) Aducem paranteza la același numitor

   x-\dfrac{1}{2-x}=\dfrac{x(2-x)-1}{2-x}=\dfrac{2x-x^2-1}{2-x}

   Scriem \(x\) ca fracție cu numitorul \(2-x\), apoi scădem fracțiile. Astfel paranteza devine o singură fracție.

3. 3

   b) Descompunem și transformăm împărțirea în înmulțire

   E(x)=\dfrac{2x-x^2-1}{2-x}\cdot\dfrac{(x-2)(x-5)}{x(x^2-2x+1)}

   La al doilea raport, numărătorul se scrie \(x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)\) (factor comun \(x\)), iar numitorul este \((x-2)(x-5)\) din punctul a). Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei.

4. 4

   b) Simplificăm

   2x-x^2-1=-(x-1)^2,\; 2-x=-(x-2),\; x^2-2x+1=(x-1)^2 \Rightarrow E(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x-2}\cdot\dfrac{(x-2)(x-5)}{x(x-1)^2}=\dfrac{x-5}{x}

   Observăm că \(2x-x^2-1=-(x^2-2x+1)=-(x-1)^2\) (formula \((a-b)^2\)), iar \(2-x=-(x-2)\). Semnele minus se simplifică între ele, deci prima fracție este \(\frac{(x-1)^2}{x-2}\). Apoi se simplifică \((x-1)^2\) și \((x-2)\), lucru permis deoarece \(x\neq1,2\). Rămâne \(\frac{x-5}{x}\).

Răspuns: a) \(x^2-7x+10=(x-2)(x-5)\); b) \(E(x)=\dfrac{x-5}{x}\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1,2,5\}\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=-x+6\). a) Calculează \(f(0)\cdot f(6)\). b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Determină distanța de la punctul \(O\) la dreapta \(AB\).

Metoda: Funcția liniară și teorema lui Pitagora

1. 1

   a) Calculăm f(6)

   f(6)=-6+6=0

   Pentru a afla \(f(6)\), înlocuim pe \(x\) cu 6 în formula \(f(x)=-x+6\). Obținem \(-6+6=0\).

2. 2

   a) Calculăm f(0) și produsul

   f(0)=-0+6=6,\quad f(0)\cdot f(6)=6\cdot 0=0

   Înlocuim \(x=0\): \(f(0)=6\). Cum \(f(6)=0\), produsul este \(6\cdot 0=0\), pentru că orice număr înmulțit cu 0 dă 0.

3. 3

   b) Aflăm punctele A și B

   A:\ f(x)=0\Rightarrow x=6,\ A(6,0);\quad B:\ x=0\Rightarrow y=6,\ B(0,6)

   Graficul taie axa \(Ox\) unde \(y=f(x)=0\), adică \(-x+6=0\), deci \(x=6\). Taie axa \(Oy\) unde \(x=0\), adică \(y=f(0)=6\). Deci \(OA=6\) și \(OB=6\).

4. 4

   b) Calculăm AB cu teorema lui Pitagora

   AB^2=OA^2+OB^2=6^2+6^2=72,\quad AB=6\sqrt{2}

   Triunghiul \(AOB\) este dreptunghic în \(O\) (axele sunt perpendiculare), cu catetele \(OA=OB=6\). Ipotenuza \(AB\) se află cu teorema lui Pitagora.

5. 5

   b) Distanța de la O la AB

   d(O,AB)=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{6\cdot 6}{6\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}

   Distanța de la \(O\) la dreapta \(AB\) este înălțimea din \(O\) în triunghiul dreptunghic \(AOB\). Aria se poate scrie în două feluri: \(\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{AB\cdot h}{2}\), de unde \(h=\frac{OA\cdot OB}{AB}\). Apoi raționalizăm: \(\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2\).

Răspuns: a) \(f(0)\cdot f(6)=0\); b) distanța de la \(O\) la dreapta \(AB\) este \(3\sqrt{2}\).

Subiectul III, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral \(ABC\), cu \(AB = 8\,\text{cm}\). Notăm cu \(M\) mijlocul laturii \(AB\) și construim din \(M\) perpendiculara pe \(AC\), care intersectează pe \(AC\) în \(P\) și paralela prin \(C\) la \(AB\) în \(D\). (2p) a) Arată că \(CD = 12\,\text{cm}\). (3p) b) Calculează aria trapezului \(AMCD\). Date din figură: \(MP \perp AC\), \(P\in AC\), \(CD \parallel AB\), iar \(D\) se află pe dreapta \(MP\).

Metoda: Asemănare și aria trapezului

1. 1

   Aflăm \(AP\) și \(PC\) (cerința a)

   AM=\frac{8}{2}=4,\quad \angle AMP=30^\circ \Rightarrow AP=\frac{AM}{2}=2,\quad PC=8-2=6

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, deci \(\angle A=60^\circ\). \(M\) este mijlocul lui \(AB\), deci \(AM=4\,\text{cm}\). Triunghiul \(AMP\) este dreptunghic în \(P\), deci \(\angle AMP = 90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Cateta \(AP\) este opusă unghiului de \(30^\circ\), deci este jumătate din ipotenuza \(AM\): \(AP=2\,\text{cm}\). Cum \(P\) este pe \(AC\) și \(AC=8\), obținem \(PC=8-2=6\,\text{cm}\).

2. 2

   Triunghiuri asemenea și \(CD\) (cerința a)

   \triangle AMP\sim\triangle CDP\Rightarrow \frac{AM}{CD}=\frac{AP}{CP}\Rightarrow \frac{4}{CD}=\frac{2}{6}\Rightarrow CD=12

   Dreptele \(AM\) și \(CD\) sunt paralele, iar \(MD\) și \(AC\) sunt secante. Unghiurile \(\angle MAP\) și \(\angle DCP\) sunt alterne interne, deci congruente. Unghiurile \(\angle APM\) și \(\angle CPD\) sunt opuse la vârf, deci congruente. Triunghiurile \(AMP\) și \(CDP\) sunt asemenea, iar laturile lor sunt proporționale: \(\frac{AM}{CD}=\frac{AP}{CP}\). Înlocuim \(AM=4\), \(AP=2\), \(CP=6\) și obținem \(CD=\frac{4\cdot 6}{2}=12\,\text{cm}\).

3. 3

   Înălțimea trapezului: \(CM\) (cerința b)

   CM=\frac{AB\sqrt3}{2}=\frac{8\sqrt3}{2}=4\sqrt3

   În triunghiul echilateral \(ABC\), \(CM\) este mediană, deci și înălțime, adică \(CM\perp AB\). Cum \(CD\parallel AB\), \(CM\) este perpendiculară și pe \(CD\). Deci \(CM\) este înălțimea trapezului \(AMCD\). Înălțimea unui triunghi echilateral de latură \(8\) este \(\frac{8\sqrt3}{2}=4\sqrt3\,\text{cm}\). O putem afla și din teorema lui Pitagora în triunghiul \(CMB\): \(CM^2=8^2-4^2=48\).

4. 4

   Aria trapezului \(AMCD\) (cerința b)

   \mathcal{A}_{AMCD}=\frac{(AM+CD)\cdot CM}{2}=\frac{(4+12)\cdot 4\sqrt3}{2}=32\sqrt3

   Trapezul \(AMCD\) are bazele \(AM=4\) și \(CD=12\), iar înălțimea \(CM=4\sqrt3\). Aria trapezului este \(\frac{(\text{baza mare}+\text{baza mică})\cdot\text{înălțimea}}{2}\). Calculăm: \(\frac{16\cdot4\sqrt3}{2}=32\sqrt3\,\text{cm}^2\).

Răspuns: a) \(CD=12\,\text{cm}\); b) \(\mathcal{A}_{AMCD}=32\sqrt3\,\text{cm}^2\).

Subiectul III, itemul 5. În figură este reprezentat triunghiul \(ABC\) dreptunghic în \(A\). Notăm cu \(E\) proiecția punctului \(A\) pe dreapta \(BC\). Lungimea laturii \(AC\) este de \(6\text{ cm}\), iar lungimea segmentului \(EC\) este de \(4\text{ cm}\). (2p) a) Arată că \(BC = 9\text{ cm}\). (3p) b) Demonstrează că perimetrul triunghiului \(ABC\) este mai mic decât \(22\text{ cm}\).

Metoda: Teorema catetei

1. 1

   a) Scriem teorema catetei

   AC^2 = EC \cdot BC

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), iar \(AE \perp BC\), deci \(E\) este proiecția catetei \(AC\) pe ipotenuza \(BC\). Teorema catetei spune că pătratul unei catete este egal cu produsul dintre proiecția ei pe ipotenuză și ipotenuza întreagă.

2. 2

   a) Calculăm BC

   6^2 = 4 \cdot BC \Rightarrow BC = \frac{36}{4} = 9

   Înlocuim \(AC = 6\) și \(EC = 4\) în relația \(AC^2 = EC \cdot BC\). Obținem \(36 = 4 \cdot BC\), deci \(BC = 36 : 4 = 9\text{ cm}\), exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Aflăm BE

   BE = BC - EC = 9 - 4 = 5

   Punctul \(E\) este între \(B\) și \(C\), deci \(BE = BC - EC\). Avem nevoie de \(BE\) pentru a găsi cateta \(AB\) cu teorema catetei.

4. 4

   b) Calculăm AB

   AB^2 = BE \cdot BC = 5 \cdot 9 = 45 \Rightarrow AB = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}

   Aplicăm teorema catetei și pentru cateta \(AB\), a cărei proiecție pe ipotenuză este \(BE\). Apoi scoatem factorii de sub radical: \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\).

5. 5

   b) Perimetrul și comparația cu 22

   P = 6 + 9 + 3\sqrt{5} = 15 + 3\sqrt{5}, \quad 3\sqrt{5} = \sqrt{45} < \sqrt{49} = 7 \Rightarrow P < 22

   Perimetrul este suma laturilor: \(AC + BC + AB = 6 + 9 + 3\sqrt{5} = 15 + 3\sqrt{5}\). Pentru a arăta că \(P < 22\), e suficient să arătăm că \(3\sqrt{5} < 7\). Cum \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\) și \(45 < 49\), avem \(\sqrt{45} < 7\). Deci \(P < 15 + 7 = 22\text{ cm}\).

Răspuns: a) BC = 9 cm, din \(AC^2 = EC \cdot BC\). b) \(AB = 3\sqrt{5}\) cm, iar \(P_{ABC} = 15 + 3\sqrt{5} < 22\) cm, deoarece \(3\sqrt{5} < 7\).

Se consideră cubul \(ABCDA'B'C'D'\). Distanța de la mijlocul unei diagonale a cubului la mijlocul unei diagonale a unei fețe laterale este de \(50\) cm. a) Câți litri de vopsea sunt necesari pentru a vopsi exteriorul cubului, știind că pentru a vopsi un metru pătrat este nevoie de \(0{,}5\) litri de vopsea? b) Calculează distanța de la punctul \(A\) la planul \((A'D'C)\). (În figură: cubul \(ABCDA'B'C'D'\), iar triunghiul \(A'D'C\) este hașurat.)

Metoda: Linie mijlocie, arii, perpendicularitate

1. 1

   Aflăm muchia cubului (a)

   \ell = 2\cdot 50 = 100\text{ cm} = 1\text{ m}

   Mijlocul diagonalei cubului este centrul cubului, care este și mijlocul diagonalei oricărei fețe opuse. Segmentul dintre mijlocul diagonalei cubului și mijlocul unei diagonale a feței laterale este linie mijlocie într-un triunghi și are lungimea egală cu jumătate din muchie. Deci muchia este dublul lui 50 cm, adică 100 cm. Transformăm în metri, pentru că vopseaua este dată pe metru pătrat.

2. 2

   Aria totală și cantitatea de vopsea (a)

   \mathcal{A}_{totala}=6\ell^2=6\cdot 1^2=6\text{ m}^2,\quad 0{,}5\cdot 6=3\text{ litri}

   Cubul are 6 fețe pătrate egale, fiecare cu aria \(\ell^2\). Aria exterioară este \(6\text{ m}^2\). Pentru fiecare metru pătrat trebuie \(0{,}5\) litri, deci înmulțim aria cu \(0{,}5\).

3. 3

   Găsim perpendiculara din A pe plan (b)

   AQ\perp A'B,\; A'D'\perp (A'AB)\Rightarrow AQ\perp A'D'

   Fie Q mijlocul lui \(A'B\), diagonala feței \(ABB'A'\). Pătratul \(ABB'A'\) are diagonalele perpendiculare, deci \(AQ\perp A'B\). Mai mult, \(A'D'\) este perpendiculară pe planul \((A'AB)\), deci pe orice dreaptă din plan, în particular pe \(AQ\). Astfel \(AQ\) este perpendiculară pe două drepte concurente \(A'B\) și \(A'D'\) din planul \((A'D'C)\), care se intersectează în \(A'\). Dreapta \(A'B\) este inclusă în planul \((A'D'C)\) pentru că \(B\) și \(C\) sunt pe aceeași muchie paralelă cu \(A'D'\). Rezultă \(AQ\perp (A'D'C)\), deci \(AQ\) este chiar distanța de la A la plan.

4. 4

   Calculăm AQ (b)

   AQ=\frac{A'B}{2}=\frac{100\sqrt2}{2}=50\sqrt2\text{ cm}

   \(A'B\) este diagonala unui pătrat cu latura 100 cm, deci \(A'B=100\sqrt2\) cm. Q este mijlocul ei, deci \(AQ\) este jumătate din diagonală (în pătratul \(ABB'A'\), \(AQ\) este jumătate din cealaltă diagonală, egală cu prima).

Răspuns: a) 3 litri de vopsea; b) distanța de la A la planul \((A'D'C)\) este \(50\sqrt2\) cm.