Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2021, simulare

Rezultatul calculului \(45:5+4\) este egal cu: a) \(4\); b) \(5\); c) \(9\); d) \(13\).

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   45:5+4

   Într-un calcul fără paranteze, înmulțirile și împărțirile se fac înaintea adunărilor și scăderilor. Aici avem o împărțire și o adunare, deci începem cu împărțirea \(45:5\). Dacă am aduna mai întâi, am obține un rezultat greșit.

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   45:5=9

   Calculăm \(45:5\). Ne întrebăm: ce număr înmulțit cu 5 dă 45? Este 9, pentru că \(9\cdot 5=45\). Calculul devine \(9+4\).

3. 3

   Efectuăm adunarea și alegem varianta

   9+4=13

   Acum adunăm: \(9+4=13\). Deci rezultatul este 13, varianta d). Varianta c) \(9\) apare dacă uităm să adunăm 4 după împărțire. Varianta b) \(5\) apare dacă adunăm întâi \(5+4=9\) și apoi \(45:9=5\), adică greșim ordinea. Varianta a) \(4\) nu rezultă din niciun calcul corect.

Răspuns: Rezultatul este \(13\), deci varianta corectă este d).

Numărul care reprezintă \(40\%\) din \(50\) este egal cu: a) \(20\); b) \(25\); c) \(40\); d) \(50\).

Metoda: Procent dintr-un număr

1. 1

   Scriem procentul ca fracție

   40\% = \frac{40}{100}

   Procentul \(40\%\) înseamnă 40 de părți din 100 de părți egale. De aceea îl scriem ca fracția \(\frac{40}{100}\). Putem simplifica prin 10 și obținem \(\frac{4}{10}\), apoi prin 2 și obținem \(\frac{2}{5}\).

2. 2

   Calculăm fracția din număr

   \frac{40}{100}\cdot 50 = \frac{40\cdot 50}{100} = \frac{2000}{100} = 20

   „40% din 50” înseamnă că înmulțim fracția \(\frac{40}{100}\) cu 50. Înmulțim 40 cu 50 și obținem 2000, apoi împărțim la 100 și obținem 20. Același rezultat ies și cu fracția simplificată: \(\frac{2}{5}\cdot 50 = 2\cdot 10 = 20\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   40\% \text{ din } 50 = 20

   Rezultatul 20 corespunde variantei a). Varianta b), 25, ar fi 50% din 50, adică jumătate. Varianta c), 40, ar fi 80% din 50, iar varianta d), 50, ar fi 100% din 50, adică tot numărul. Cum 40% este mai puțin decât jumătate, rezultatul trebuie să fie mai mic decât 25, deci 20 se potrivește.

Răspuns: Varianta a) 20

Subiectul I, itemul 3. Suma numerelor \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\) și \(3\) este egală cu: a) \(-9\); b) \(-3\); c) \(3\); d) \(9\).

Metoda: Adunarea numerelor întregi

1. 1

   Găsim perechile de numere opuse

   (-2)+2=0,\quad (-1)+1=0

   Două numere opuse sunt la aceeași distanță de 0, dar de o parte și de alta a lui. Când le adunăm, se anulează și obținem 0. Aici \(-2\) are opusul \(2\), iar \(-1\) are opusul \(1\). Grupând așa, calculul devine mult mai simplu.

2. 2

   Adunăm ce a rămas

   (-2)+(-1)+0+1+2+3=0+0+0+3=3

   După ce perechile \(-2\) cu \(2\) și \(-1\) cu \(1\) dau 0, iar \(0\) nu schimbă nimic la adunare, rămâne doar numărul \(3\), care nu are pereche. Deci suma este \(3\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   \text{Suma}=3\Rightarrow \text{c)}

   Suma este \(3\), deci varianta corectă este c). Varianta a) \(-9\) ar apărea dacă am aduna toate numerele ca și cum ar fi negative; b) \(-3\) ar însemna că am greșit semnul lui 3; d) \(9\) ar însemna că am ignorat semnele minus.

Răspuns: Varianta corectă este c) 3.

Subiectul I, itemul 4. Fracția \(\frac{14}{21}\) este echivalentă cu: a) \(\frac{3}{7}\) b) \(\frac{2}{3}\) c) \(\frac{21}{14}\) d) \(\frac{7}{3}\).

Metoda: Simplificarea fracțiilor

1. 1

   Găsim un divizor comun

   14=2\cdot 7,\quad 21=3\cdot 7

   Căutăm un număr cu care se împart exact și 14, și 21. Descompunem fiecare număr într-un produs și observăm că amândouă îl conțin pe 7. Cel mai mare divizor comun este \(7\).

2. 2

   Simplificăm fracția

   \frac{14}{21}=\frac{14:7}{21:7}=\frac{2}{3}

   Împărțim numărătorul și numitorul la același număr, 7. Valoarea fracției nu se schimbă, deci obținem o fracție echivalentă cu cea dată: \(\frac{2}{3}\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   \frac{14}{21}=\frac{2}{3}\Rightarrow \text{varianta b)}

   Fracția \(\frac{2}{3}\) apare la varianta b). Celelalte nu merg: \(\frac{21}{14}\) este inversa fracției (e supraunitară, iar \(\frac{14}{21}\) este subunitară); \(\frac{7}{3}\) este supraunitară; iar \(\frac{3}{7}\) nu se obține prin simplificare, deoarece \(\frac{3}{7}\) ar însemna \(3\cdot 3=9\ne 7\cdot 2\) la verificarea încrucișată cu \(\frac{2}{3}\) și valoarea ei este mai mică decât jumătate, pe când \(\frac{14}{21}\) este mai mare decât jumătate.

Răspuns: Varianta b) \(\frac{2}{3}\)

Se consideră mulțimea \(A=\{x\in\mathbb{Z}\mid -2\le x<2\}\). Dintre următoarele mulțimi, cea care reprezintă scrierea mulțimii \(A\) prin enumerarea elementelor sale este: a) \(\{-2,-1,0,1,2\}\); b) \(\{-2,-1,0,1\}\); c) \(\{0,1,2\}\); d) \(\{-1,0,1,2\}\).

Metoda: Enumerarea elementelor mulțimii

1. 1

   Citim condiția din mulțime

   x\in\mathbb{Z},\quad -2\le x<2

   Mulțimea A are ca elemente numerele \(x\) care sunt întregi (\(x\in\mathbb{Z}\)) și care sunt cuprinse între \(-2\) și \(2\). Semnul \(\le\) din stânga înseamnă că \(-2\) este permis, iar semnul \(<\) din dreapta înseamnă că \(2\) NU este permis.

2. 2

   Scriem numerele întregi din interval

   A=\{-2,-1,0,1\}

   Numerele întregi care sunt mai mari sau egale cu \(-2\) și strict mai mici decât \(2\) sunt: \(-2, -1, 0, 1\). Numărul \(2\) este exclus, deoarece condiția este \(x<2\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   A=\{-2,-1,0,1\}\Rightarrow \text{b)}

   Mulțimea noastră este \(\{-2,-1,0,1\}\), deci varianta b) este corectă. Varianta a) greșește pentru că îl include pe \(2\), care nu respectă \(x<2\). Varianta c) are doar numere pozitive și lipsesc \(-2\) și \(-1\), în plus îl are pe \(2\). Varianta d) îl omite pe \(-2\), deși condiția \(-2\le x\) îl permite, și îl include pe \(2\).

Răspuns: b) \(\{-2,-1,0,1\}\)

La alegerile pentru stabilirea responsabilului unei clase, elevii candidați au fost: Andrei, Vali, Sanda și Dana. După ce toți elevii clasei au votat, procentele obținute de candidați au fost: Andrei \(15\%\), Vali \(25\%\), Sanda \(35\%\), Dana \(x\%\). Dana a fost votată de: a) \(45\%\) din elevii clasei; b) \(35\%\) din elevii clasei; c) \(25\%\) din elevii clasei; d) \(15\%\) din elevii clasei.

Metoda: Procente: întregul este 100%

1. 1

   Ce știm despre procente

   15\%+25\%+35\%+x\%=100\%

   Fiecare elev a votat exact un candidat, deci voturile celor patru candidați acoperă toată clasa. Toată clasa înseamnă \(100\%\). De aceea suma procentelor este \(100\%\).

2. 2

   Adunăm procentele cunoscute

   15+25+35=75

   Adunăm procentele lui Andrei, Vali și Sanda ca să vedem câți elevi au votat deja pe unul dintre ei.

3. 3

   Aflăm procentul Danei

   x=100-75=25

   Ce rămâne din \(100\%\) după ce scădem procentele celorlalți este procentul Danei. Deci Dana a primit \(25\%\) din voturi, adică varianta c).

4. 4

   Verificare și celelalte variante

   15+25+35+25=100

   Verificăm: adunând toate procentele obținem \(100\%\), deci e corect. Varianta a) \(45\%\) ar da suma \(120\%\), prea mult. Varianta b) \(35\%\) ar da \(110\%\), prea mult. Varianta d) \(15\%\) ar da \(90\%\), prea puțin. Doar \(25\%\) dă exact \(100\%\).

Răspuns: Dana a fost votată de \(25\%\) din elevii clasei, varianta c).

În figura alăturată punctele \(A, B, C, D\) și \(E\), în această ordine, sunt coliniare, astfel încât \(AB \neq BC\). Dacă segmentul \(AB\) este congruent cu segmentul \(CD\) și segmentul \(BC\) este congruent cu segmentul \(DE\), atunci: a) punctul \(B\) este mijlocul segmentului \(AC\); b) punctul \(C\) este mijlocul segmentului \(CD\); c) punctul \(D\) este mijlocul segmentului \(CE\); d) punctul \(C\) este mijlocul segmentului \(AE\). (Figura: cinci puncte pe o dreaptă, în ordinea A, B, C, D, E, cu AB mai lung decât BC.)

Metoda: Mijlocul unui segment

1. 1

   Notăm lungimile segmentelor

   AB = CD = a,\quad BC = DE = b

   Problema spune că \(AB\) este congruent cu \(CD\) și \(BC\) este congruent cu \(DE\). Segmentele congruente au aceeași lungime, deci le dăm aceeași notație: \(AB = CD = a\) și \(BC = DE = b\). Mai știm că \(a \neq b\).

2. 2

   Calculăm lungimea întregului segment AE

   AE = AB + BC + CD + DE = a + b + a + b = 2(a+b)

   Punctele sunt coliniare în ordinea A, B, C, D, E, deci lungimea \(AE\) este suma lungimilor segmentelor mici puse cap la cap. Rezultă \(AE = 2(a+b)\).

3. 3

   Calculăm distanțele de la C la A și de la C la E

   CA = AB + BC = a + b,\quad CE = CD + DE = a + b

   Distanța de la \(C\) la \(A\) este \(CA = BC + AB = a + b\). Distanța de la \(C\) la \(E\) este \(CE = CD + DE = a + b\). Cele două distanțe sunt egale, iar \(C\) se află între \(A\) și \(E\). Deci \(C\) este mijlocul segmentului \(AE\).

4. 4

   Verificăm celelalte variante

   AB \neq BC

   a) \(B\) ar fi mijlocul lui \(AC\) doar dacă \(AB = BC\), dar știm că \(AB \neq BC\), deci nu. b) \(C\) nu poate fi mijlocul lui \(CD\), pentru că este chiar un capăt al segmentului \(CD\). c) \(D\) ar fi mijlocul lui \(CE\) doar dacă \(CD = DE\), adică \(a = b\), dar \(a \neq b\). Rămâne varianta d).

Răspuns: Varianta corectă este d): punctul \(C\) este mijlocul segmentului \(AE\), deoarece \(CA = CE = a + b\).

Subiectul al II-lea, itemul 2. Unghiurile congruente \(AOB\), \(BOC\), \(COD\), \(DOE\) și \(EOA\) sunt unghiuri formate în jurul punctului \(O\). Măsura unghiului \(AOC\) este egală cu: a) \(144^\circ\); b) \(120^\circ\); c) \(72^\circ\); d) \(36^\circ\). (Figura: cinci semidrepte cu originea în \(O\), către punctele \(A, B, C, D, E\), care formează cinci unghiuri congruente în jurul lui \(O\); unghiul \(AOC\) cuprinde unghiurile \(AOB\) și \(BOC\).)

Metoda: Unghiuri în jurul unui punct

1. 1

   Suma unghiurilor din jurul unui punct

   m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)+m(\angle DOE)+m(\angle EOA)=360^\circ

   Unghiurile formate în jurul unui punct acoperă tot cercul din jurul lui, deci suma măsurilor lor este \(360^\circ\). Cele cinci unghiuri din figură sunt tocmai astfel de unghiuri.

2. 2

   Măsura unui unghi

   m(\angle AOB)=360^\circ:5=72^\circ

   Cele cinci unghiuri sunt congruente, deci au aceeași măsură. Împărțim \(360^\circ\) în 5 părți egale.

3. 3

   Măsura unghiului AOC

   m(\angle AOC)=m(\angle AOB)+m(\angle BOC)=72^\circ+72^\circ=144^\circ

   Din figură, semidreapta \(OB\) se află în interiorul unghiului \(AOC\), deci \(AOC\) este format din unghiurile \(AOB\) și \(BOC\). Adunăm măsurile lor. Varianta corectă este a) \(144^\circ\). Varianta c) \(72^\circ\) este măsura unui singur unghi, nu a două. Varianta b) \(120^\circ\) ar veni din 3 unghiuri egale, nu din 5. Varianta d) \(36^\circ\) ar fi jumătate dintr-un unghi.

Răspuns: Varianta a) \(144^\circ\).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\) dreptunghic în \(A\), cu măsura unghiului \(ABC\) de \(30^\circ\). Bisectoarea unghiului \(ACB\) intersectează dreapta \(AB\) în punctul \(M\) și \(AM = 3\text{ cm}\). Lungimea catetei \(AB\) este egală cu: a) \(3\text{ cm}\); b) \(6\text{ cm}\); c) \(9\text{ cm}\); d) \(12\text{ cm}\). (Din figură: \(M\) se află pe cateta \(AB\), între \(A\) și \(B\).)

Metoda: Cateta opusă unghiului de 30°

1. 1

   Aflăm unghiurile triunghiului ABC

   \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ

   Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\). Știm că unghiul \(A\) este drept (\(90^\circ\)) și unghiul \(B\) are \(30^\circ\), deci unghiul \(C\) este restul până la \(180^\circ\). Avem nevoie de el ca să putem împărți unghiul în două cu bisectoarea.

2. 2

   Folosim bisectoarea unghiului C

   \angle ACM = \angle MCB = 60^\circ : 2 = 30^\circ

   Bisectoarea împarte unghiul \(ACB\) în două unghiuri egale. Deci fiecare are \(30^\circ\). Astfel \(\angle MCB = 30^\circ = \angle MBC\), adică triunghiul \(MBC\) este isoscel, cu \(MB = MC\).

3. 3

   Aflăm MC din triunghiul AMC

   \angle ACM = 30^\circ \Rightarrow AM = \frac{MC}{2} \Rightarrow MC = 2\cdot 3 = 6\text{ cm}

   Triunghiul \(AMC\) este dreptunghic în \(A\) și are unghiul \(ACM = 30^\circ\). Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este \(AM\), iar ea este jumătate din ipotenuza \(MC\). Deci \(MC\) este dublul lui \(AM\).

4. 4

   Aflăm AB

   MB = MC = 6\text{ cm},\quad AB = AM + MB = 3 + 6 = 9\text{ cm}

   Din triunghiul isoscel \(MBC\) avem \(MB = MC = 6\) cm. Punctul \(M\) este între \(A\) și \(B\), deci \(AB = AM + MB\).

5. 5

   Verificare cu altă cale

   BC = 2AC,\quad AB^2 + AC^2 = BC^2

   Din \(AB = 9\) și \(MB = 6\): în triunghiul \(ABC\), \(AC\) este opusă lui \(30^\circ\), deci \(BC = 2AC\). Din Pitagora, \(81 + AC^2 = 4AC^2\), deci \(AC^2 = 27\). Iar în \(AMC\): \(AC^2 = 6^2 - 3^2 = 27\). Cele două rezultate coincid, deci \(AB = 9\) cm este corect. Varianta c) este cea bună; 3 cm este chiar \(AM\), iar 6 cm ar fi \(MB\) sau \(MC\), nu toată cateta; 12 cm nu se potrivește calculului.

Răspuns: Lungimea catetei AB este 9 cm, deci varianta corectă este c).

Subiectul al II-lea, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat rombul \(ABCD\). Punctele \(E\), \(F\), \(G\) și \(H\) sunt mijloacele segmentelor \(AB\), \(BC\), \(CD\), respectiv \(AD\). Raportul dintre aria patrulaterului \(EFGH\) și aria rombului \(ABCD\) este egal cu: a) \(\frac{1}{4}\); b) \(\frac{1}{2}\); c) \(\frac{2}{3}\); d) \(\frac{3}{4}\). (În figură, rombul are diagonalele \(AC\) și \(BD\), iar \(EFGH\) are laturile paralele cu ele.)

Metoda: Linia mijlocie și aria

1. 1

   Laturile lui EFGH din liniile mijlocii

   EF=\frac{AC}{2},\quad EH=\frac{BD}{2}

   În triunghiul \(ABC\), punctele \(E\) și \(F\) sunt mijloacele laturilor \(AB\) și \(BC\), deci \(EF\) este linie mijlocie și \(EF=\frac{AC}{2}\), \(EF\parallel AC\). La fel, în triunghiul \(ABD\), \(EH\) este linie mijlocie: \(EH=\frac{BD}{2}\), \(EH\parallel BD\). Aceleași lucruri se obțin pentru \(GH\) și \(FG\), deci \(EFGH\) este paralelogram.

2. 2

   EFGH este dreptunghi

   AC\perp BD\Rightarrow EF\perp EH

   Diagonalele rombului sunt perpendiculare. Cum \(EF\parallel AC\) și \(EH\parallel BD\), rezultă \(EF\perp EH\). Paralelogramul \(EFGH\) are un unghi drept, deci este dreptunghi.

3. 3

   Aria dreptunghiului EFGH

   \mathcal{A}_{EFGH}=EF\cdot EH=\frac{AC}{2}\cdot\frac{BD}{2}=\frac{AC\cdot BD}{4}

   Aria dreptunghiului este produsul laturilor, deci \(\frac{AC\cdot BD}{4}\).

4. 4

   Aria rombului și raportul

   \mathcal{A}_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2},\quad \frac{\mathcal{A}_{EFGH}}{\mathcal{A}_{ABCD}}=\frac{AC\cdot BD/4}{AC\cdot BD/2}=\frac{1}{2}

   Aria rombului este produsul diagonalelor împărțit la 2. Raportul ariilor este \(\frac{1}{4}:\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\). Deci varianta corectă este b). Celelalte nu merg: \(\frac14\) ar fi raportul dacă am uita că aria rombului se împarte la 2, iar \(\frac23\) și \(\frac34\) nu rezultă din nicio relație dintre ariile calculate.

Răspuns: Raportul este \(\frac{1}{2}\), varianta b).

În figura alăturată punctele distincte \(A, B, C\) și \(D\) sunt situate pe cerc, astfel încât arcele \(AB, BC, CD\) și \(AD\) sunt congruente. Dacă \(AC = 12\) cm, atunci lungimea cercului este egală cu: a) \(3\pi\) cm; b) \(4\pi\) cm; c) \(6\pi\) cm; d) \(12\pi\) cm. (În figură: patru puncte A, B, C, D pe cerc, în această ordine; A și C sunt capetele unei coarde.)

Metoda: Lungimea cercului, diametrul

1. 1

   Ce fel de coardă este AC?

   \overset{\frown}{ABC} = \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{BC} = 180^\circ

   Cercul are \(360^\circ\) și este împărțit în 4 arce congruente, deci fiecare arc are \(360^\circ : 4 = 90^\circ\). Arcul \(ABC\) are două astfel de arce, adică \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\). Un arc de \(180^\circ\) este un semicerc, deci AC trece prin centrul cercului: AC este diametru.

2. 2

   Aflăm raza cercului

   d = AC = 12 \text{ cm} \Rightarrow R = \frac{d}{2} = 6 \text{ cm}

   Deoarece AC este diametru, \(d = 12\) cm. Raza este jumătate din diametru, deci \(R = 12 : 2 = 6\) cm.

3. 3

   Calculăm lungimea cercului

   L = 2\pi R = 2\pi \cdot 6 = 12\pi \text{ cm}

   Lungimea cercului este \(L = 2\pi R\). Înlocuim \(R = 6\) cm și obținem \(L = 2 \cdot 6 \cdot \pi = 12\pi\) cm. Este varianta d). Celelalte nu merg: \(3\pi\) ar corespunde unei raze de 1,5 cm, \(4\pi\) unei raze de 2 cm, iar \(6\pi\) unei raze de 3 cm (sau unui diametru de 6 cm), ceea ce nu se potrivește cu AC = 12 cm.

Răspuns: Varianta d) \(12\pi\) cm.

Subiectul al II-lea, item 6. În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\). Măsura unghiului dreptelor \(BC'\) și \(D'C\) este egală cu: a) \(30^\circ\); b) \(45^\circ\); c) \(60^\circ\); d) \(90^\circ\). (În figură, \(BC'\) este diagonala feței \(BCC'B'\), iar \(D'C\) este diagonala feței \(DCC'D'\).)

Metoda: Unghiul a două drepte în spațiu

1. 1

   Alegem o paralelă potrivită

   BC' \parallel AD'

   Unghiul dintre două drepte oarecare din spațiu se află ducând paralele la ele. În cub, fața \(ABC'D'\) este un dreptunghi, deci \(AD'\parallel BC'\). Atunci unghiul dreptelor \(BC'\) și \(D'C\) este egal cu unghiul dreptelor \(AD'\) și \(D'C\), adică cu unghiul \(\angle AD'C\).

2. 2

   Triunghiul \(AD'C\) este echilateral

   AD' = D'C = AC = l\sqrt{2}

   Toate cele trei segmente sunt diagonale de fețe ale cubului: \(AD'\) este diagonala feței \(ADD'A'\), \(D'C\) a feței \(DCC'D'\), iar \(AC\) a bazei \(ABCD\). Fețele sunt pătrate congruente, deci diagonalele au aceeași lungime, \(l\sqrt{2}\), unde \(l\) este latura cubului. Așadar triunghiul \(AD'C\) are toate laturile egale.

3. 3

   Măsura unghiului

   \angle AD'C = 60^\circ

   Într-un triunghi echilateral toate unghiurile au \(60^\circ\), pentru că suma lor este \(180^\circ\) și sunt egale: \(180^\circ:3=60^\circ\). Deci unghiul dreptelor \(BC'\) și \(D'C\) are \(60^\circ\). Răspunsul corect este c). Variantele \(30^\circ\), \(45^\circ\) și \(90^\circ\) nu merg, deoarece unghiul triunghiului echilateral nu poate avea alte valori decât \(60^\circ\).

Răspuns: c) \(60^\circ\)

Oana începe să citească o carte. În prima zi citește jumătate din numărul paginilor cărții, în a doua zi jumătate din rest, iar în a treia zi citește jumătate din numărul paginilor rămase și constată că mai are de citit 32 de pagini. a) Dacă ar continua să citească zilnic jumătate din numărul de pagini rămase, câte pagini ar avea de citit în cea de-a cincea zi? b) Determină numărul de pagini ale cărții.

Metoda: Calcul cu jumătăți și ecuație

1. 1

   a) Ziua a patra

   32:2=16

   După a treia zi au rămas 32 de pagini. În ziua a patra Oana citește jumătate din ele, deci îi rămâne tot jumătate din 32. Împărțim 32 la 2 ca să aflăm câte pagini rămân după a patra zi.

2. 2

   a) Ziua a cincea

   16:2=8

   După a patra zi au rămas 16 pagini. În ziua a cincea citește jumătate din ele, iar rămân tot jumătate: 16 împărțit la 2. Atunci ar avea de citit 8 pagini.

3. 3

   b) Scriem ecuația

   \frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+32=x

   Notăm cu \(x\) numărul paginilor cărții. În prima zi citește \(\frac{x}{2}\), rămân \(\frac{x}{2}\). În a doua zi citește jumătate din rest, adică \(\frac{x}{4}\), rămân \(\frac{x}{4}\). În a treia zi citește jumătate din rest, adică \(\frac{x}{8}\), iar rămân \(\frac{x}{8}\), care este egal cu 32. Paginile citite plus cele rămase dau toată cartea, deci obținem ecuația.

4. 4

   b) Rezolvăm ecuația

   \frac{x}{8}=32 \Rightarrow x=32\cdot 8=256

   Ecuația se poate rezolva direct: după trei zile rămâne \(\frac{x}{8}\) din carte, iar aceasta este 32 de pagini. Dacă o optime din carte este 32, cartea întreagă are \(32\cdot 8=256\) pagini. Același rezultat îl dă și ecuația din baremul oficial: aducem la numitor comun 8, avem \(\frac{4x+2x+x}{8}+32=x\), deci \(\frac{7x}{8}+32=x\), adică \(32=\frac{x}{8}\).

5. 5

   Verificare

   128+64+32+32=256

   Verificăm cu \(x=256\): ziua întâi 128, rămân 128; ziua a doua 64, rămân 64; ziua a treia 32, rămân 32. Corect, rămân 32 de pagini, la fel ca în enunț.

Răspuns: a) În a cincea zi ar avea de citit 8 pagini. b) Cartea are 256 de pagini.

Se consideră expresia \(E(x)=(x+1)^2-2(x^2-1)+(x-1)^2-x^2\), unde \(x\) este număr real. a) Arată că \(E(x)=(2+x)(2-x)\), pentru orice număr real \(x\). b) Arată că numărul \(A=E(\sqrt{2})+E(-\sqrt{2})-7\) aparține intervalului \([-\sqrt{10},-2\sqrt{2}]\).

Metoda: Calcul algebric și formule prescurtate

1. 1

   a) Grupăm termenii și folosim diferența de pătrate

   E(x)=\big((x+1)-(x-1)\big)^2-x^2

   Observăm că \((x+1)^2-2(x^2-1)+(x-1)^2\) arată ca \(a^2-2ab+b^2\), unde \(a=x+1\) și \(b=x-1\). Într-adevăr \(ab=(x+1)(x-1)=x^2-1\). Deci primii trei termeni formează \((a-b)^2=\big((x+1)-(x-1)\big)^2\), conform formulei \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

2. 2

   a) Calculăm și ajungem la forma cerută

   E(x)=2^2-x^2=4-x^2=(2-x)(2+x)

   Diferența \((x+1)-(x-1)=2\), deci \(E(x)=2^2-x^2=4-x^2\). Acum folosim formula \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) cu \(a=2\) și \(b=x\), și obținem \((2+x)(2-x)\), pentru orice \(x\) real.

3. 3

   b) Calculăm E(√2) și E(−√2)

   E(\sqrt2)=4-(\sqrt2)^2=4-2=2,\quad E(-\sqrt2)=4-(-\sqrt2)^2=2

   Folosim forma \(E(x)=4-x^2\). Pătratul lui \(\sqrt2\) este 2, iar pătratul lui \(-\sqrt2\) este tot 2, deoarece un număr negativ la pătrat devine pozitiv. Deci ambele valori sunt egale cu 2.

4. 4

   b) Calculăm A

   A=2+2-7=-3

   Înlocuim valorile găsite în \(A=E(\sqrt2)+E(-\sqrt2)-7\) și obținem \(A=2+2-7=-3\).

5. 5

   b) Încadrăm −3 în interval

   -\sqrt{10}<-\sqrt9<-\sqrt8 \Rightarrow -\sqrt{10}<-3<-2\sqrt2

   Scriem \(-3=-\sqrt9\). Cum \(10>9>8\), rădăcinile păstrează ordinea: \(\sqrt{10}>\sqrt9>\sqrt8\). Prin schimbarea semnului, ordinea se inversează: \(-\sqrt{10}<-\sqrt9<-\sqrt8\). Dar \(\sqrt8=2\sqrt2\), deci \(-\sqrt{10}<-3<-2\sqrt2\). Prin urmare \(A\in[-\sqrt{10},-2\sqrt2]\).

Răspuns: a) \(E(x)=4-x^2=(2+x)(2-x)\); b) \(A=-3\), iar \(-\sqrt{10}<-3<-2\sqrt2\), deci \(A\in[-\sqrt{10},-2\sqrt2]\).

Se consideră numerele reale \(a=\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\right):\frac{31}{12}\) și \(b=\frac{3}{\sqrt{2}}:\left(5\sqrt{2}-3a\sqrt{8}\right)\). a) (2p) Arată că \(a=\frac{1}{2}\). b) (3p) Arată că numărul \(N=\frac{\sqrt{2a+4b}}{2}\) este natural.

Metoda: Operații cu numere reale

1. 1

   Calculăm înmulțirea din paranteză

   \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}=\frac{15}{24}=\frac{5}{8}

   Ordinea operațiilor: în paranteză, înmulțirea se face înaintea adunării. Înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei: \(\frac{3\cdot5}{4\cdot6}=\frac{15}{24}\), apoi simplificăm cu 3 și obținem \(\frac{5}{8}\).

2. 2

   Adunăm fracțiile din paranteză

   \frac{2}{3}+\frac{5}{8}=\frac{16}{24}+\frac{15}{24}=\frac{31}{24}

   Pentru a aduna fracții cu numitori diferiți le aducem la numitor comun. Cel mai mic multiplu comun al lui 3 și 8 este 24. Amplificăm \(\frac{2}{3}\) cu 8 și \(\frac{5}{8}\) cu 3.

3. 3

   Împărțim la 31/12 și obținem a

   a=\frac{31}{24}:\frac{31}{12}=\frac{31}{24}\cdot\frac{12}{31}=\frac{1}{2}

   Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Simplificăm 31 cu 31 și 12 cu 24, rămâne \(\frac{1}{2}\). Așa am arătat punctul a).

4. 4

   Calculăm paranteza lui b

   5\sqrt{2}-3\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{8}=5\sqrt{2}-\frac{3}{2}\cdot2\sqrt{2}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}

   Înlocuim \(a=\frac{1}{2}\). Scoatem factorul de sub radical: \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\). Apoi reducem termenii asemenea: \(5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\).

5. 5

   Calculăm b

   b=\frac{3}{\sqrt{2}}:2\sqrt{2}=\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{2\cdot2}=\frac{3}{4}

   Împărțim la \(2\sqrt{2}\), adică înmulțim cu \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\). La numitor avem \(\sqrt{2}\cdot2\cdot\sqrt{2}=2\cdot2=4\), deoarece \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\).

6. 6

   Calculăm N (punctul b)

   N=\frac{\sqrt{2\cdot\frac{1}{2}+4\cdot\frac{3}{4}}}{2}=\frac{\sqrt{1+3}}{2}=\frac{\sqrt{4}}{2}=\frac{2}{2}=1

   Înlocuim \(a=\frac{1}{2}\) și \(b=\frac{3}{4}\). Sub radical obținem 1 + 3 = 4, iar \(\sqrt{4}=2\). Rezultă N = 1, care este număr natural.

Răspuns: a) \(a=\frac{1}{2}\); b) \(b=\frac{3}{4}\) și \(N=1\), număr natural.

În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(AD = BC = 6\text{ cm}\) și \(AB = 2CD = 8\text{ cm}\). Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\). a) Arată că perimetrul triunghiului \(ADM\) este egal cu \(16\text{ cm}\). b) Știind că punctul \(N\) aparține segmentului \(DM\) astfel încât \(DN = 4\text{ cm}\) și punctul \(P\) este centrul de greutate al triunghiului \(BCD\), demonstrează că dreptele \(NP\) și \(AC\) sunt paralele. (Figura: trapez cu baza mare \(AB\) jos, baza mică \(CD\) sus, diagonalele \(AC\) și \(BD\), segmentul \(DM\), punctele \(N\) pe \(DM\) și \(P\) în interiorul triunghiului \(BCD\).)

Metoda: Paralelogram, centru de greutate, reciproca Thales

1. 1

   a) Aflăm lungimea lui AM și arătăm că MBCD este paralelogram

   AM = MB = \frac{AB}{2} = 4 \text{ cm}, \quad MB = CD = 4 \text{ cm}, \quad MB \parallel CD

   Cum \(M\) este mijlocul lui \(AB\) și \(AB = 8\) cm, avem \(AM = MB = 4\) cm. Din \(AB = 2CD\) rezultă \(CD = 4\) cm, deci \(MB = CD\). În plus, \(MB \subset AB\) și \(AB \parallel CD\), deci \(MB \parallel CD\). Un patrulater cu două laturi opuse paralele și egale este paralelogram, deci \(MBCD\) este paralelogram.

2. 2

   a) Calculăm perimetrul triunghiului ADM

   DM = BC = 6 \text{ cm}, \quad P_{ADM} = AD + DM + AM = 6 + 6 + 4 = 16 \text{ cm}

   Într-un paralelogram laturile opuse sunt egale: \(DM = BC = 6\) cm. Perimetrul este suma laturilor \(AD = 6\), \(DM = 6\), \(AM = 4\). Rezultă 16 cm, ca în cerință.

3. 3

   b) N este centrul de greutate al triunghiului ADB

   DN = 4, \; DM = 6 \Rightarrow DN = \frac{2}{3}DM

   \(DM = 6\) cm și \(DN = 4\) cm, deci \(DN = \frac{2}{3}DM\). Dar \(DM\) este mediană în triunghiul \(ADB\), pentru că \(M\) este mijlocul lui \(AB\). Un punct al medianei aflat la \(\frac{2}{3}\) de vârf este centrul de greutate. Deci \(N\) este centrul de greutate al triunghiului \(ADB\). Fie \(O\) mijlocul lui \(BD\). Atunci \(AO\) este altă mediană și \(N \in AO\), cu \(\frac{AN}{AO} = \frac{2}{3}\).

4. 4

   b) P este centrul de greutate al triunghiului BCD

   \frac{CP}{CO} = \frac{2}{3}

   În triunghiul \(BCD\), \(O\) este mijlocul lui \(BD\), deci \(CO\) este mediană. Cum \(P\) este centrul de greutate, \(P\) se află pe \(CO\) și \(\frac{CP}{CO} = \frac{2}{3}\).

5. 5

   b) Folosim reciproca teoremei lui Thales

   \frac{AN}{AO} = \frac{CP}{CO} = \frac{2}{3} \Rightarrow NP \parallel AC

   Punctele \(N\) și \(P\) sunt pe dreapta \(AO\), respectiv \(CO\), laturi ale triunghiului \(AOC\), cu \(N \in AO\) și \(P \in CO\). Rapoartele \(\frac{AN}{AO}\) și \(\frac{CP}{CO}\) sunt egale cu \(\frac{2}{3}\). Din reciproca teoremei lui Thales (în forma echivalentă cu \(\frac{ON}{OA}=\frac{OP}{OC}=\frac{1}{3}\)) rezultă \(NP \parallel AC\).

Răspuns: a) \(P_{ADM} = 16\) cm. b) \(NP \parallel AC\), deoarece \(\frac{AN}{AO} = \frac{CP}{CO} = \frac{2}{3}\).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\) dreptunghic în \(A\), \(AB = 5\text{ cm}\) și \(AC = 12\text{ cm}\). Punctul \(D\) aparține segmentului \(AC\) astfel încât \(DC = 3AD\). Perpendiculara din punctul \(D\) pe dreapta \(BC\) intersectează latura \(BC\) în punctul \(E\). a) Arată că sinusul unghiului \(ACB\) este egal cu \(\frac{5}{13}\). b) Arată că lungimea segmentului \(DE\) este mai mică decât \(3{,}5\text{ cm}\).

Metoda: Pitagora, sinus, triunghiuri asemenea

1. 1

   a) Aflăm ipotenuza BC

   BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), deci ipotenuza este \(BC\). Pentru sinus avem nevoie de ipotenuză, așa că o calculăm cu teorema lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. Obținem \(BC^2=5^2+12^2=169\), deci \(BC=13\text{ cm}\).

2. 2

   a) Calculăm sinusul unghiului ACB

   \sin(\angle ACB)=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}

   Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre cateta opusă unghiului și ipotenuză. Cateta opusă unghiului \(C\) este \(AB=5\), iar ipotenuza este \(BC=13\). Rezultă \(\sin C=\frac{5}{13}\), exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Aflăm lungimea lui DC

   DC=\frac{3}{4}AC=\frac{3}{4}\cdot 12=9

   Din \(DC=3AD\) și \(AD+DC=AC=12\) rezultă că \(AC\) are 4 părți egale: \(AD\) are o parte și \(DC\) are 3 părți. Deci \(DC=\frac{3}{4}\cdot 12=9\text{ cm}\) (iar \(AD=3\text{ cm}\)).

4. 4

   b) Triunghiuri asemenea și calculul lui DE

   \triangle ACB\sim\triangle ECD\Rightarrow \frac{BC}{CD}=\frac{AB}{DE}\Rightarrow DE=\frac{AB\cdot CD}{BC}=\frac{45}{13}

   Triunghiurile \(ACB\) și \(ECD\) sunt dreptunghice (în \(A\), respectiv în \(E\)) și au unghiul \(C\) comun, deci sunt asemenea. Laturile corespunzătoare sunt proporționale: \(\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{DE}\), adică \(\frac{13}{9}=\frac{5}{DE}\). De aici \(DE=\frac{5\cdot 9}{13}=\frac{45}{13}\text{ cm}\).

5. 5

   b) Comparăm DE cu 3,5

   \frac{45}{13}<3{,}5\Leftrightarrow 45<45{,}5

   Comparăm \(\frac{45}{13}\) cu \(3{,}5\). Calculăm \(3{,}5\cdot 13=45{,}5\). Cum \(45<45{,}5\), avem \(\frac{45}{13}<3{,}5\). Deci \(DE<3{,}5\text{ cm}\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: a) \(\sin(\angle ACB)=\frac{5}{13}\), pentru că \(BC=13\text{ cm}\). b) \(DE=\frac{45}{13}\text{ cm}<3{,}5\text{ cm}\), deci \(DE\) este mai mică decât \(3{,}5\text{ cm}\).

Subiectul al III-lea, itemul 6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată \(VABCD\) cu baza \(ABCD\), \(AB = VA = 6\) cm. Punctele \(M\), \(N\) și \(P\) sunt mijloacele muchiilor \(BC\), \(AD\), respectiv \(VB\). (2p) a) Arată că unghiul dintre dreapta \(VB\) și planul \((ABC)\) are măsura de \(45^\circ\). (3p) b) Arată că planele \((NCV)\) și \((AMP)\) sunt paralele.

Metoda: Unghi dreaptă–plan; plane paralele

1. 1

   a) Proiecția dreptei VB pe planul bazei

   \measuredangle(VB,(ABC))=\measuredangle VBO,\quad O=AC\cap BD

   Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Piramida este regulată, deci înălțimea \(VO\) cade în centrul bazei, adică în punctul \(O\), intersecția diagonalelor. Atunci proiecția lui \(V\) pe plan este \(O\), iar proiecția lui \(B\) este \(B\) însuși. Deci proiecția dreptei \(VB\) este dreapta \(OB\), iar unghiul căutat este \(\measuredangle VBO\).

2. 2

   a) Triunghiul VBD este dreptunghic isoscel

   BD=6\sqrt2,\quad VB=VD=6,\quad VB^2+VD^2=BD^2\Rightarrow \measuredangle BVD=90^\circ

   Baza este pătrat cu latura 6, deci diagonala este \(BD=6\sqrt2\). Muchiile laterale sunt \(VB=VD=6\). Verificăm: \(6^2+6^2=72=(6\sqrt2)^2\), deci conform reciprocei teoremei lui Pitagora triunghiul \(VBD\) este dreptunghic în \(V\) și isoscel. Mediana \(VO\) este și bisectoare, deci \(\measuredangle VBO=\measuredangle VBD=45^\circ\), pentru că într-un triunghi dreptunghic isoscel unghiurile de la bază au câte \(45^\circ\).

3. 3

   b) AM este paralelă cu CN

   AMCN\text{ paralelogram}\Rightarrow AM\parallel CN

   Pătratul \(ABCD\) are \(AN\parallel MC\) (laturile \(AD\) și \(BC\) sunt paralele). În plus \(AN=\frac{AD}{2}=3\) și \(MC=\frac{BC}{2}=3\), deci \(AN=MC\). Un patrulater cu două laturi opuse paralele și egale este paralelogram, deci \(ANCM\) este paralelogram, de unde \(AM\parallel CN\).

4. 4

   b) PM este paralelă cu CV

   PM\text{ linie mijlocie în }\triangle BCV\Rightarrow PM\parallel CV

   În triunghiul \(BCV\), \(P\) este mijlocul lui \(VB\) și \(M\) este mijlocul lui \(BC\). Segmentul \(PM\) unește mijloacele a două laturi, deci este linie mijlocie și \(PM\parallel CV\).

5. 5

   b) Concluzia: planele sunt paralele

   CN\parallel MA,\ CV\parallel MP,\ CN\cap CV=\{C\},\ MA\cap MP=\{M\}\Rightarrow (NCV)\parallel(AMP)

   Planul \((NCV)\) conține dreptele concurente \(CN\) și \(CV\), iar planul \((AMP)\) conține dreptele concurente \(MA\) și \(MP\). Am arătat \(CN\parallel MA\) și \(CV\parallel MP\). Dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu două drepte concurente din alt plan, planele sunt paralele. Deci \((NCV)\parallel(AMP)\).

Răspuns: a) Unghiul dintre \(VB\) și planul \((ABC)\) este \(\measuredangle VBO=45^\circ\). b) \(CN\parallel MA\) și \(CV\parallel MP\), deci planele \((NCV)\) și \((AMP)\) sunt paralele.