Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2022, sesiunea iunie–iulie (rezervă)

Rezultatul calculului \(4+2\cdot 5\) este egal cu: a) 6; b) 10; c) 14; d) 30.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Recunoaștem ordinea operațiilor

   4+2\cdot 5

   În expresia \(4+2\cdot 5\) avem o adunare și o înmulțire și nu sunt paranteze. Regula spune că înmulțirea și împărțirea se fac înaintea adunării și scăderii. De aceea nu putem face mai întâi \(4+2\), ci mai întâi \(2\cdot 5\).

2. 2

   Efectuăm înmulțirea

   2\cdot 5=10

   Calculăm produsul \(2\cdot 5\), care este \(10\). Acum expresia devine \(4+10\).

3. 3

   Efectuăm adunarea

   4+10=14

   Ne-a rămas doar adunarea \(4+10\), care dă \(14\). Deci rezultatul este \(14\), varianta c).

4. 4

   Verificăm variantele

   4+2\cdot 5=14

   Varianta a) 6 nu poate fi, pentru că rezultatul este mai mare decât 4+2. Varianta b) 10 ar rezulta doar dacă am uitat să adunăm 4 la 10 sau am calculat greșit. Varianta d) 30 apare dacă adunăm întâi: \((4+2)\cdot 5=30\), dar asta ignoră ordinea operațiilor. Corectă este c) 14.

Răspuns: Varianta c) 14

Dacă \(a = 3 \cdot b\) și \(b \neq 0\), atunci raportul \(\frac{a}{b}\) este egal cu: a) 3; b) 1; c) \(\frac{1}{3}\); d) \(\frac{1}{9}\).

Metoda: Înlocuirea și simplificarea fracției

1. 1

   Scriem raportul cerut

   \frac{a}{b}

   Raportul a două numere se scrie ca o fracție: numărătorul este primul număr (a), iar numitorul este al doilea (b). Putem face asta pentru că b este diferit de 0, deci împărțirea are sens.

2. 2

   Înlocuim a cu 3·b

   \frac{a}{b} = \frac{3 \cdot b}{b}

   Știm din enunț că \(a = 3 \cdot b\). Punem această valoare în locul lui a la numărătorul fracției, ca să rămână în fracție doar litera b.

3. 3

   Simplificăm cu b

   \frac{3 \cdot b}{b} = 3

   Numărătorul și numitorul au factorul comun b, diferit de 0, deci putem simplifica fracția cu b. Rămâne 3. Deci raportul este 3, adică varianta a). Celelalte nu merg: 1 ar însemna \(a = b\), iar \(\frac{1}{3}\) și \(\frac{1}{9}\) ar însemna că a este mai mic decât b, deși a este de 3 ori mai mare.

Răspuns: Raportul \(\frac{a}{b}\) este egal cu 3, deci varianta corectă este a).

Subiectul I, itemul 3. Știind că \(-2 + a = 2\), atunci numărul \(a\) este egal cu: a) \(-4\); b) \(-1\); c) \(0\); d) \(4\).

Metoda: Ecuația \(x + a = b\)

1. 1

   Izolăm necunoscuta \(a\)

   -2 + a = 2 \Rightarrow a = 2 + 2

   Vrem să rămână \(a\) singur de o parte a egalului. Pentru asta scăpăm de \(-2\) adunând \(2\) în ambele părți ale egalității. Așa egalitatea rămâne adevărată, iar în stânga se anulează: \(-2 + 2 = 0\). Rămâne \(a = 2 + 2\).

2. 2

   Calculăm valoarea lui \(a\)

   a = 2 + 2 = 4

   După ce am izolat pe \(a\), efectuăm adunarea \(2 + 2\) și obținem \(a = 4\). Deci răspunsul corect este varianta d).

3. 3

   Verificăm și eliminăm celelalte variante

   -2 + 4 = 2

   Înlocuim \(a = 4\) în egalitatea inițială: \(-2 + 4 = 2\), adevărat. Celelalte variante nu merg: pentru \(a = -4\) obținem \(-2 + (-4) = -6\); pentru \(a = -1\) obținem \(-3\); pentru \(a = 0\) obținem \(-2\). Niciuna nu dă \(2\). Răspuns corect: d).

Răspuns: \(a = 4\), deci varianta corectă este d).

Triplul numărului \(\frac{2}{5}\) este egal cu: a) \(\frac{2}{15}\) b) \(\frac{6}{15}\) c) \(1\) d) \(\frac{6}{5}\)

Metoda: Înmulțirea unei fracții cu un număr

1. 1

   Ce înseamnă „triplul” unui număr

   \text{triplul lui } x = 3\cdot x

   Triplul unui număr este de 3 ori acel număr, deci îl obținem prin înmulțire cu 3. Aici numărul este \(\frac{2}{5}\), deci trebuie să calculăm \(3\cdot\frac{2}{5}\).

2. 2

   Înmulțim fracția cu 3

   3\cdot\frac{2}{5}=\frac{3\cdot 2}{5}=\frac{6}{5}

   Când înmulțim o fracție cu un număr natural, înmulțim numărătorul cu acel număr, iar numitorul rămâne la fel. Numitorul arată în câte părți egale este împărțit întregul, iar înmulțirea cu 3 ne ia de 3 ori mai multe astfel de părți: \(3\) ori \(2\) cincimi fac \(6\) cincimi.

3. 3

   Alegem varianta corectă

   \frac{6}{5}\ \Rightarrow\ \text{varianta d)}

   Rezultatul \(\frac{6}{5}\) apare la varianta d). Celelalte variante nu merg: a) \(\frac{2}{15}\) se obține dacă înmulțim din greșeală și numitorul cu 3 și nu mai înmulțim numărătorul; b) \(\frac{6}{15}\) se obține dacă înmulțim cu 3 și numărătorul, și numitorul (dar asta nu schimbă fracția, deci ar fi tot \(\frac{2}{5}\)); c) \(1\) ar fi \(\frac{5}{5}\), nu \(\frac{6}{5}\). Verificare: \(\frac{6}{5}\) este mai mare decât \(1\), iar \(\frac{2}{5}\) este aproape de jumătate, deci de 3 ori mai mult înseamnă puțin peste 1. Se potrivește.

Răspuns: Triplul lui \(\frac{2}{5}\) este \(\frac{6}{5}\), deci varianta corectă este d).

Media aritmetică a numerelor \(7\sqrt{3}\) și \(21\sqrt{3}\) este egală cu: a) \(14\sqrt{3}\); b) \(14\sqrt{6}\); c) \(28\sqrt{3}\); d) \(28\sqrt{6}\).

Metoda: Media aritmetică a două numere

1. 1

   Scriem formula mediei aritmetice

   m_a=\frac{7\sqrt{3}+21\sqrt{3}}{2}

   Media aritmetică a numerelor \(a\) și \(b\) este \(\frac{a+b}{2}\). Înlocuim \(a=7\sqrt{3}\) și \(b=21\sqrt{3}\), deoarece asta cere problema.

2. 2

   Adunăm radicalii asemenea

   7\sqrt{3}+21\sqrt{3}=(7+21)\sqrt{3}=28\sqrt{3}

   Ambii termeni conțin \(\sqrt{3}\), deci dăm factor comun \(\sqrt{3}\) și adunăm numerele din fața lui: \(7+21=28\). Radicalii nu se adună între ei, doar coeficienții.

3. 3

   Împărțim la 2 și alegem varianta

   m_a=\frac{28\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}

   Împărțim coeficientul 28 la 2 și obținem 14, iar \(\sqrt{3}\) rămâne. Deci varianta corectă este a). Varianta b) ar apărea dacă am înmulți \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}\), ceea ce nu are sens aici. Variantele c) și d) uită să împartă la 2.

Răspuns: Media aritmetică este \(14\sqrt{3}\), deci răspunsul corect este a).

Trei caiete și două pixuri costă împreună 8 lei. Afirmația: „Șase caiete și patru pixuri, de același fel, costă împreună 12 lei.”, este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Dublarea unei sume (proporționalitate)

1. 1

   Comparăm cele două cumpărături

   6 = 2\cdot 3,\quad 4 = 2\cdot 2

   Cumpărătura a doua are \(6\) caiete și \(4\) pixuri. Dar \(6 = 2\cdot 3\) și \(4 = 2\cdot 2\). Deci a doua cumpărătură este exact de două ori prima: de două ori mai multe caiete și de două ori mai mulți pixuri.

2. 2

   Calculăm costul celei de-a doua cumpărături

   2\cdot 8 = 16

   Dacă cumpărătura este de două ori mai mare, costă de două ori mai mult. Prima costă \(8\) lei, deci a doua costă \(2\cdot 8 = 16\) lei.

3. 3

   Concluzia

   16 \neq 12

   Afirmația spune că cele \(6\) caiete și \(4\) pixuri costă \(12\) lei, dar noi am obținut \(16\) lei. Cum \(16\neq 12\), afirmația este falsă, deci varianta b) este cea corectă. Varianta a) (adevărată) nu merge, pentru că ar fi trebuit să obținem \(12\) lei.

Răspuns: b) falsă. Șase caiete și patru pixuri costă \(16\) lei, nu \(12\) lei.

În figura alăturată, punctul \(C\) este mijlocul segmentului \(AB\), punctul \(D\) este mijlocul segmentului \(AC\), punctul \(E\) este mijlocul segmentului \(AD\) și \(ED = 2\) cm. Lungimea segmentului \(DB\) este egală cu: a) 4 cm; b) 8 cm; c) 12 cm; d) 14 cm. (Figura: punctele A, E, D, C, B sunt pe o dreaptă, în această ordine.)

Metoda: Mijlocul unui segment

1. 1

   Aflăm AD din ED

   AE = ED = 2 \Rightarrow AD = 2\cdot ED = 4

   Punctul \(E\) este mijlocul lui \(AD\), deci \(AE = ED\). Segmentul întreg \(AD\) are două părți egale, fiecare de 2 cm, deci \(AD = 2 + 2 = 4\) cm.

2. 2

   Aflăm AC din AD

   AD = DC = 4 \Rightarrow AC = 2\cdot AD = 8

   Punctul \(D\) este mijlocul lui \(AC\), deci \(AD = DC = 4\) cm. Atunci \(AC = 4 + 4 = 8\) cm.

3. 3

   Aflăm AB din AC

   AC = CB = 8 \Rightarrow AB = 2\cdot AC = 16

   Punctul \(C\) este mijlocul lui \(AB\), deci \(AC = CB = 8\) cm. Atunci \(AB = 8 + 8 = 16\) cm.

4. 4

   Calculăm DB

   DB = AB - AD = 16 - 4 = 12

   Punctul \(D\) se află între \(A\) și \(B\), deci \(DB\) este ce rămâne din \(AB\) după ce scoatem \(AD\). Obținem \(DB = 12\) cm. Verificare: \(DB = DC + CB = 4 + 8 = 12\) cm. Varianta a) 4 cm este doar \(AD\); b) 8 cm este \(AC\) sau \(CB\); d) 14 cm nu rezultă din niciun calcul. Varianta corectă este c).

Răspuns: Lungimea segmentului \(DB\) este 12 cm, deci varianta corectă este c).

Subiectul al II-lea, itemul 2. În figura alăturată, semidreapta \(OC\) este bisectoarea unghiului \(AOB\) și semidreapta \(OD\) este bisectoarea unghiului \(BOC\). Unghiul \(COD\) are măsura de \(13^\circ\). Măsura unghiului \(AOB\) este egală cu: a) \(13^\circ\); b) \(26^\circ\); c) \(39^\circ\); d) \(52^\circ\). (Figura: semidreptele \(OA, OC, OD, OB\) pornesc din \(O\), în această ordine, de la \(OA\) spre \(OB\).)

Metoda: Bisectoarea unui unghi

1. 1

   Din unghiul COD aflăm unghiul BOC

   m(\angle BOC)=2\cdot m(\angle COD)=2\cdot 13^\circ=26^\circ

   Semidreapta \(OD\) este bisectoarea unghiului \(BOC\), deci îl împarte în două unghiuri congruente: \(\angle COD\) și \(\angle DOB\). Fiecare are \(13^\circ\), deci întregul unghi \(BOC\) are dublul acestei măsuri.

2. 2

   Din unghiul BOC aflăm unghiul AOB

   m(\angle AOB)=2\cdot m(\angle BOC)=2\cdot 26^\circ=52^\circ

   Semidreapta \(OC\) este bisectoarea unghiului \(AOB\), deci \(\angle AOC=\angle COB\), iar \(\angle AOB\) este format din aceste două unghiuri egale. Așadar \(\angle AOB\) este dublul lui \(\angle BOC\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   m(\angle AOB)=52^\circ \Rightarrow \text{d)}

   Am obținut \(52^\circ\), deci răspunsul corect este d). Celelalte variante apar din greșeli frecvente: a) \(13^\circ\) este chiar unghiul dat, \(COD\); b) \(26^\circ\) este unghiul \(BOC\), adică am folosit bisectoarea o singură dată; c) \(39^\circ=3\cdot 13^\circ\) ar însemna că unghiul are trei părți egale, dar sunt patru de câte \(13^\circ\).

Răspuns: Măsura unghiului \(AOB\) este \(52^\circ\), deci varianta corectă este d).

Subiectul al II-lea, itemul 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, punctul D este mijlocul segmentului BC și \(AC = CD\). Știind că \(AB = 2\sqrt{3}\) cm, atunci lungimea segmentului BC este egală cu: a) 2 cm; b) \(2\sqrt{3}\) cm; c) 4 cm; d) \(4\sqrt{3}\) cm. (Date din figură: unghiul A este drept, D se află pe ipotenuza BC, la mijlocul ei.)

Metoda: Mediana ipotenuzei și teorema lui Pitagora

1. 1

   Folosim mediana corespunzătoare ipotenuzei

   AD=\frac{BC}{2}=CD

   D este mijlocul ipotenuzei BC, deci AD este mediana corespunzătoare ipotenuzei. În triunghiul dreptunghic, această mediană este jumătate din ipotenuză. Deci \(AD = BD = CD = \frac{BC}{2}\).

2. 2

   Arătăm că triunghiul ACD este echilateral

   AC=CD=AD \Rightarrow \triangle ACD \text{ echilateral}

   Din enunț \(AC = CD\), iar din pasul anterior \(AD = CD\). Deci cele trei laturi ale triunghiului ACD sunt egale, adică triunghiul este echilateral. Rezultă că \(\angle C = 60^\circ\), iar \(\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

3. 3

   Folosim cateta opusă unghiului de 30°

   AC=\frac{BC}{2}

   Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză. Notăm \(BC = 2a\), deci \(AC = a\). Acest lucru rezultă și direct: \(AC = CD = \frac{BC}{2}\).

4. 4

   Aplicăm teorema lui Pitagora

   BC^2=AB^2+AC^2 \Rightarrow 4a^2=12+a^2 \Rightarrow 3a^2=12 \Rightarrow a=2

   Cu \(BC = 2a\), \(AC = a\), \(AB = 2\sqrt{3}\) și \(AB^2 = 12\), obținem \(4a^2 = 12 + a^2\), deci \(3a^2 = 12\), \(a^2 = 4\), \(a = 2\). Atunci \(BC = 2a = 4\) cm.

5. 5

   Alegem varianta corectă

   BC=4\text{ cm}

   Am obținut \(BC = 4\) cm, deci varianta corectă este c). Varianta a) 2 cm ar fi mai mică decât cateta AB (\(2\sqrt{3} \approx 3,46\)), dar ipotenuza este cea mai lungă latură. Variantele b) și d) nu verifică egalitatea din teorema lui Pitagora.

Răspuns: Lungimea segmentului BC este 4 cm, deci varianta corectă este c).

Subiectul al II-lea, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(AB = 12\) cm și \(CD = 8\) cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului \(ABCD\) este egală cu: a) 2 cm; b) 4 cm; c) 10 cm; d) 20 cm.

Metoda: Linia mijlocie în trapez

1. 1

   Recunoaștem datele problemei

   AB = 12\text{ cm},\quad CD = 8\text{ cm},\quad AB \parallel CD

   Trapezul are două laturi paralele, numite baze. Aici bazele sunt \(AB\) și \(CD\). Linia mijlocie unește mijloacele laturilor neparalele și este paralelă cu bazele. Lungimea ei depinde doar de lungimile bazelor.

2. 2

   Aplicăm formula liniei mijlocii

   MN = \frac{AB + CD}{2}

   Linia mijlocie a trapezului este egală cu media aritmetică a bazelor, adică jumătate din suma lor. Așa este ea "la mijloc" între cele două baze.

3. 3

   Calculăm

   MN = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10\text{ cm}

   Înlocuim \(AB = 12\) și \(CD = 8\) în formulă. Suma bazelor este 20, iar jumătatea ei este 10.

4. 4

   Alegem varianta corectă și verificăm

   MN = 10\text{ cm} \Rightarrow \text{varianta c)}

   Varianta c) 10 cm este cea bună, pentru că este jumătate din suma bazelor. Verificare: linia mijlocie trebuie să fie între 8 și 12, iar 10 este chiar la mijloc. Varianta a) 2 cm ar fi jumătate din diferență, nu din sumă. Varianta b) 4 cm este diferența bazelor. Varianta d) 20 cm este suma bazelor, fără împărțirea la 2. Ambele sunt greșeli frecvente.

Răspuns: Lungimea liniei mijlocii este 10 cm, deci varianta corectă este c).

În figura alăturată este reprezentat pătratul \(ABCD\), cu \(AB = 4\sqrt{2}\) cm, înscris într-un cerc de centru \(O\). Lungimea cercului este egală cu: a) \(8\sqrt{2}\pi\) cm; b) \(8\pi\) cm; c) \(4\sqrt{2}\pi\) cm; d) \(4\pi\) cm. (Figura: pătratul \(ABCD\) are toate vârfurile pe cerc, iar \(O\) este centrul cercului.)

Metoda: Diagonala pătratului și lungimea cercului

1. 1

   Găsim diagonala pătratului

   AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{32+32}=\sqrt{64}=8

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\), cu catetele \(AB\) și \(BC\) egale (laturile pătratului). Aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla ipotenuza \(AC\), adică diagonala. Avem \((4\sqrt{2})^2 = 16\cdot 2 = 32\). Deci \(AC=\sqrt{64}=8\) cm.

2. 2

   Aflăm raza cercului

   d=AC=8 \Rightarrow r=\frac{8}{2}=4

   Pătratul este înscris în cerc, deci diagonala \(AC\) trece prin centrul \(O\) și este diametru. Raza este jumătate din diametru: \(r=8:2=4\) cm.

3. 3

   Calculăm lungimea cercului

   L=2\pi r=2\pi\cdot 4=8\pi

   Lungimea cercului este \(2\pi r\). Cu \(r=4\) cm obținem \(L=2\cdot 4\cdot\pi=8\pi\) cm. Aceasta este varianta b). Celelalte nu merg: \(8\sqrt{2}\pi\) și \(4\sqrt{2}\pi\) ar apărea dacă am lua greșit diagonala ca \(\sqrt{2}\) ori altceva, iar \(4\pi\) ar fi dacă am uitat factorul 2 din \(2\pi r\).

Răspuns: Varianta corectă este b) \(8\pi\) cm.

Subiectul al II-lea, itemul 6. În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB = 4\) cm. Volumul cubului este egal cu: a) \(4\sqrt{3}\) cm³; b) \(16\sqrt{2}\) cm³; c) \(64\) cm³; d) \(96\) cm³.

Metoda: Formula volumului cubului

1. 1

   Recunoaștem formula volumului

   V = l^3

   Volumul unui cub cu muchia \(l\) se află înmulțind lungimea, lățimea și înălțimea. La cub, toate trei sunt egale cu muchia \(l\). De aceea volumul este \(l \cdot l \cdot l = l^3\). Aici muchia este \(l = AB = 4\) cm.

2. 2

   Înlocuim și calculăm

   V = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \text{ cm}^3

   Punem \(l = 4\) cm în formulă. Mai întâi \(4 \cdot 4 = 16\), apoi \(16 \cdot 4 = 64\). Unitatea de măsură este cm³, pentru că măsurăm volum.

3. 3

   Alegem varianta corectă

   V = 64 \text{ cm}^3 \Rightarrow \text{varianta c)}

   Rezultatul \(64\) cm³ se găsește la varianta c). Celelalte nu merg: a) \(4\sqrt{3}\) nu este \(4^3\), este o expresie care seamănă cu diagonala cubului, nu cu volumul; b) \(16\sqrt{2}\) amestecă diagonala unei fețe cu aria; d) \(96\) este aria totală a cubului, \(6 \cdot 4^2 = 96\) cm², nu volumul.

Răspuns: Volumul cubului este 64 cm³, deci varianta corectă este c).

Un excursionist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi a parcurs \(60\%\) din lungimea traseului, în a doua zi o treime din distanța parcursă în prima zi, iar în a treia zi a parcurs restul de \(64\) km. a) Este posibil ca distanța parcursă de excursionist în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat. b) Determină lungimea traseului parcurs de excursionist în cele trei zile.

Metoda: Fracții dintr-un număr și ecuație

1. 1

   a) Cât a parcurs în a doua zi

   \frac{1}{3}\cdot\frac{60}{100}x=\frac{x}{5}

   Fie x lungimea traseului. În prima zi a parcurs \(\frac{60}{100}x\). În a doua zi a parcurs o treime din această distanță, deci \(\frac{1}{3}\cdot\frac{60}{100}x\). Simplificăm: \(\frac{60}{300}=\frac{1}{5}\), deci în a doua zi a parcurs \(\frac{x}{5}\).

2. 2

   a) Comparăm cu o pătrime

   \frac{x}{5}\neq\frac{x}{4}

   Dacă în a doua zi ar fi parcurs o pătrime din traseu, ar trebui ca \(\frac{x}{5}=\frac{x}{4}\). Dar la același numerator x nenul, fracția cu numitor mai mare este mai mică: \(\frac{x}{5}<\frac{x}{4}\). Deci nu este posibil.

3. 3

   b) Scriem ecuația

   \frac{60x}{100}+\frac{x}{5}+64=x

   Cele trei zile adunate dau întregul traseu x: prima zi \(\frac{60x}{100}\), a doua \(\frac{x}{5}\), a treia 64 km.

4. 4

   b) Rezolvăm ecuația

   \frac{3x}{5}+\frac{x}{5}+64=x\Rightarrow 4x+320=5x\Rightarrow x=320

   Avem \(\frac{60}{100}=\frac{3}{5}\). Înmulțim ecuația cu 5: \(3x+x+320=5x\), adică \(4x+320=5x\). Scădem 4x din ambii membri și obținem \(x=320\) km.

5. 5

   Verificare

   192+64+64=320

   Prima zi: 60% din 320 = 192 km. A doua zi: 192:3=64 km. A treia zi: 64 km. Suma: 192+64+64=320 km, ceea ce confirmă rezultatul.

Răspuns: a) Nu este posibil, deoarece în a doua zi a parcurs \(\frac{x}{5}\), iar \(\frac{x}{5}\neq\frac{x}{4}\). b) Traseul are 320 km.

Se consideră expresia \(E(x)=3(x+2)^2-2(4x-3-x^2)+7(3x+2)-2\), unde \(x\) este număr real. (2p) a) Arată că \(E(x)=5x^2+25x+30\), pentru orice număr real \(x\). (3p) b) Demonstrează că numărul natural \(E(n)\) este divizibil cu 10, pentru orice număr natural \(n\).

Metoda: Calcul algebric și divizibilitate

1. 1

   a) Dezvoltăm pătratul și parantezele

   E(x)=3(x^2+4x+4)-2(4x-3-x^2)+21x+14-2

   Folosim formula de calcul prescurtat \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), deci \((x+2)^2=x^2+4x+4\). Apoi înmulțim fiecare număr din față cu paranteza lui: \(7(3x+2)=21x+14\). Facem asta ca să scăpăm de paranteze și să putem aduna termenii asemenea.

2. 2

   a) Înmulțim și reducem termenii asemenea

   E(x)=3x^2+12x+12-8x+6+2x^2+21x+12=5x^2+25x+30

   Înmulțim: \(3(x^2+4x+4)=3x^2+12x+12\) și \(-2(4x-3-x^2)=-8x+6+2x^2\). Atenție la semne: minusul din fața parantezei schimbă semnul fiecărui termen. Apoi adunăm termenii de același fel: \(3x^2+2x^2=5x^2\), \(12x-8x+21x=25x\), \(12+6+12=30\). Așa am arătat că \(E(x)=5x^2+25x+30\).

3. 3

   b) Dăm factor comun pe 5

   E(n)=5(n^2+5n+6)

   Din \(5n^2+25n+30\) toți termenii se împart la 5, deci dăm factor comun 5. Astfel vedem că \(E(n)\) este multiplu de 5. Ne mai trebuie să arătăm că este și par; atunci se va împărți la 10.

4. 4

   b) Arătăm că paranteza este număr par

   n^2+5n+6=n(n+5)+6

   Scriem \(n^2+5n=n(n+5)\). Numerele \(n\) și \(n+5\) au parități diferite (unul e par, altul impar), deci produsul lor este par. Adăugând 6, care e par, rezultă un număr par. Deci \(n^2+5n+6\) este par.

5. 5

   b) Concluzia: divizibil cu 10

   E(n)=5\cdot(\text{număr par})

   Avem 5 înmulțit cu un număr par. Un număr par este \(2k\), deci \(E(n)=5\cdot 2k=10k\). Prin urmare ultima cifră a lui \(E(n)\) este 0 și \(E(n)\) se împarte la 10 pentru orice număr natural \(n\).

Răspuns: a) \(E(x)=5x^2+25x+30\). b) \(E(n)=5(n^2+5n+6)\), iar \(n^2+5n+6\) este par, deci \(E(n)\) este multiplu de 10.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-2\). a) (2p) Arată că \(f(2)+f(3)=1\). b) (3p) În sistemul de axe ortogonale \(xOy\) se consideră punctul \(M(1,1)\). Arată că triunghiul \(AMB\) este dreptunghic în \(A\), unde \(A\) și \(B\) sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției \(f\) cu axele \(Ox\), respectiv \(Oy\).

Metoda: Funcția liniară și unghiuri în triunghi

1. 1

   a) Calculăm f(2) și f(3)

   f(2)=2-2=0,\quad f(3)=3-2=1

   Pentru a afla \(f(a)\), înlocuim pe \(x\) cu \(a\) în formula \(f(x)=x-2\). Pentru \(x=2\) obținem \(f(2)=2-2=0\), iar pentru \(x=3\) obținem \(f(3)=3-2=1\).

2. 2

   a) Adunăm valorile

   f(2)+f(3)=0+1=1

   Acum adunăm cele două valori găsite: \(0+1=1\). Am arătat astfel că \(f(2)+f(3)=1\).

3. 3

   b) Aflăm punctele A și B

   A(2,0),\quad B(0,-2)

   Punctul \(A\) este pe axa \(Ox\), deci are ordonata 0: \(f(x)=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2\), deci \(A(2,0)\). Punctul \(B\) este pe axa \(Oy\), deci are abscisa 0: \(f(0)=0-2=-2\), deci \(B(0,-2)\).

4. 4

   b) Triunghiurile AOB și MCA

   OA=OB=2\Rightarrow \angle OAB=45^\circ;\quad C(1,0),\ MC=1,\ CA=2-1=1\Rightarrow \angle MAC=45^\circ

   În triunghiul \(AOB\), unghiul din \(O\) este drept, iar \(OA=2\) și \(OB=2\), deci triunghiul este dreptunghic isoscel și \(\angle OAB=45^\circ\). Ducem \(MC\perp Ox\) cu \(C\in Ox\); atunci \(C(1,0)\), \(MC=1\) și \(CA=2-1=1\). Triunghiul \(MCA\) este dreptunghic isoscel, deci \(\angle MAC=45^\circ\).

5. 5

   b) Concluzia: unghiul MAB are 90°

   \angle MAB=\angle MAC+\angle CAB=45^\circ+45^\circ=90^\circ

   Punctele \(M\) și \(B\) sunt de o parte și de alta a dreptei \(AC\) (adică a axei \(Ox\)), iar \(\angle CAB=\angle OAB=45^\circ\). Adunând unghiurile obținem \(\angle MAB=90^\circ\), deci triunghiul \(AMB\) este dreptunghic în \(A\).

Răspuns: a) \(f(2)+f(3)=0+1=1\). b) \(A(2,0)\), \(B(0,-2)\), \(\angle MAB=45^\circ+45^\circ=90^\circ\), deci triunghiul \(AMB\) este dreptunghic în \(A\).

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\) și \(\angle BAD = 90^\circ\). Dreptele \(AC\) și \(BD\) sunt perpendiculare, \(BD = 10\) cm și \(AD = 6\) cm. (2p) a) Arată că perimetrul triunghiului \(DAB\) este egal cu 24 cm. (3p) b) Calculează lungimea segmentului \(DC\).

Metoda: Pitagora și asemănarea triunghiurilor

1. 1

   a) Aflăm latura AB cu teorema lui Pitagora

   AB=\sqrt{BD^2-AD^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8

   Triunghiul \(DAB\) este dreptunghic în \(A\), deoarece \(\angle BAD = 90^\circ\). Ipotenuza este \(BD = 10\) cm, iar o catetă este \(AD = 6\) cm. Din teorema lui Pitagora, \(BD^2 = AB^2 + AD^2\), deci \(AB^2 = BD^2 - AD^2\). Ne trebuie \(AB\) ca să putem aduna toate laturile.

2. 2

   a) Calculăm perimetrul triunghiului DAB

   P_{\triangle DAB}=AB+BD+DA=8+10+6=24

   Perimetrul este suma lungimilor laturilor. Cunoaștem acum toate cele trei laturi: \(AB = 8\), \(BD = 10\), \(DA = 6\). Obținem 24 cm, exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Aflăm BO cu teorema catetei

   AB^2=BO\cdot BD \Rightarrow 64=BO\cdot 10 \Rightarrow BO=6{,}4

   Fie \(O\) intersecția diagonalelor. Cum \(AC \perp BD\), segmentul \(AO\) este înălțime în triunghiul dreptunghic \(DAB\), iar \(BO\) este proiecția catetei \(AB\) pe ipotenuză. Teorema catetei spune că \(AB^2 = BO \cdot BD\). Înlocuim \(AB = 8\) și \(BD = 10\) și obținem \(BO = 64 : 10 = 6{,}4\) cm.

4. 4

   b) Asemănarea triunghiurilor DOC și BOA

   \triangle DOC \sim \triangle BOA \Rightarrow \frac{DC}{BA}=\frac{DO}{BO}

   Deoarece \(AB \parallel CD\), unghiurile \(\angle ODC\) și \(\angle OBA\) sunt congruente (alterne interne), la fel \(\angle OCD\) și \(\angle OAB\). Unghiurile în \(O\) sunt opuse la vârf. Deci triunghiurile sunt asemenea, iar laturile corespunzătoare sunt proporționale. De aici \(DC/BA = DO/BO\). Mai avem nevoie de \(DO\). Punctul \(O\) se află pe \(BD\), deci \(DO = BD - BO = 10 - 6{,}4 = 3{,}6\) cm. Ca să evităm zecimalele, calculăm în zecimi: \(100 - 64 = 36\) zecimi, adică \(3{,}6\).

5. 5

   b) Calculăm DC

   DC=\frac{AB\cdot DO}{BO}=\frac{8\cdot 3{,}6}{6{,}4}=\frac{8\cdot 36}{64}=4{,}5

   Din proporția \(DC/8 = 3{,}6/6{,}4\) obținem \(DC = 8 \cdot 3{,}6 : 6{,}4\). Amplificăm raportul \(3{,}6/6{,}4\) cu 10 și obținem \(36/64\). Atunci \(DC = 8 \cdot 36 : 64 = 288 : 64 = 4{,}5\) cm. Rezultatul coincide cu cel din barem.

Răspuns: a) Perimetrul triunghiului \(DAB\) este 24 cm. b) \(DC = 4{,}5\) cm.

Subiectul al III-lea, itemul 5. În figura alăturată este reprezentat pătratul \(ABCD\) cu \(AB = 6\) cm și triunghiul echilateral \(BPQ\), unde punctele \(P\) și \(Q\) se află pe dreapta \(DC\). (Din figură: \(D, P, C, Q\) sunt pe aceeași dreaptă, în această ordine; \(BC\) este perpendiculară pe \(DC\).) a) Calculează lungimea segmentului \(AC\). b) Arată că aria trapezului \(ABQP\) este egală cu \(6(3+2\sqrt{3})\) cm².

Metoda: Teorema lui Pitagora și aria trapezului

1. 1

   a) Diagonala AC ca ipotenuză

   AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}

   Într-un pătrat toate laturile sunt egale, deci \(BC=AB=6\) cm, iar unghiul \(B\) este drept. Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\), iar \(AC\) este ipotenuza. Putem aplica teorema lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor.

2. 2

   a) Scoatem factorul de sub radical

   AC=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\text{ cm}

   Scriem \(72=36\cdot 2\), iar \(36\) este pătrat perfect, deci iese de sub radical ca \(6\). Obținem \(AC=6\sqrt{2}\) cm, la fel ca în barem.

3. 3

   b) Înălțimea BC în triunghiul echilateral

   \angle BCP=90^\circ \Rightarrow BC\text{ este înălțime în }\triangle BPQ

   Punctele \(P, C, Q\) sunt pe dreapta \(DC\), iar \(BC\perp DC\) (latură a pătratului). Deci \(BC\) este perpendiculară pe \(PQ\) din \(B\), adică este înălțime în triunghiul echilateral \(BPQ\). Înălțimea unui triunghi echilateral cade în mijlocul bazei, deci \(PC=CQ\). Avem \(BC=6\) cm.

4. 4

   b) Aflăm baza PQ

   BP=BQ=PQ=l,\quad l^2=6^2+\left(\tfrac{l}{2}\right)^2 \Rightarrow \tfrac{3l^2}{4}=36 \Rightarrow l=4\sqrt{3}

   Notăm latura triunghiului echilateral cu \(l\). Cum \(C\) este mijlocul lui \(PQ\), \(PC=\tfrac{l}{2}\). În triunghiul dreptunghic \(BCP\) aplicăm Pitagora: \(l^2=36+\tfrac{l^2}{4}\), deci \(\tfrac{3l^2}{4}=36\), adică \(l^2=48\). Atunci \(l=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\). Deci \(PQ=4\sqrt{3}\) cm.

5. 5

   b) Aria trapezului ABQP

   \mathcal{A}_{ABQP}=\frac{(AB+PQ)\cdot BC}{2}=\frac{(6+4\sqrt{3})\cdot 6}{2}=6(3+2\sqrt{3})

   Trapezul \(ABQP\) are bazele \(AB=6\) și \(PQ=4\sqrt{3}\), iar înălțimea \(BC=6\) (distanța dintre dreptele paralele \(AB\) și \(DC\)). Aria este semisuma bazelor înmulțită cu înălțimea. Calculăm: \(\tfrac{6\cdot(6+4\sqrt{3})}{2}=3(6+4\sqrt{3})=18+12\sqrt{3}=6(3+2\sqrt{3})\) cm².

Răspuns: a) \(AC=6\sqrt{2}\) cm; b) \(PQ=4\sqrt{3}\) cm și \(\mathcal{A}_{ABQP}=6(3+2\sqrt{3})\) cm².

În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB = 3\sqrt{2}\) cm și \(BC = CC' = 3\) cm. (2p) a) Arată că diagonala \(BD'\) a paralelipipedului este egală cu 6 cm. (3p) b) Calculează tangenta unghiului dintre planele \((D'AB)\) și \((A'BC')\).

Metoda: Teorema lui Pitagora și unghiul a două plane

1. 1

   a) Diagonala bazei \(BD\)

   BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+3^2}=\sqrt{18+9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}

   Baza \(ABCD\) este un dreptunghi cu \(AB=3\sqrt{2}\) și \(AD=BC=3\). Triunghiul \(DAB\) este dreptunghic în \(A\), deci aplicăm teorema lui Pitagora ca să aflăm ipotenuza \(BD\). Pentru că \((3\sqrt{2})^2=9\cdot 2=18\), obținem \(BD=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) cm.

2. 2

   a) Diagonala paralelipipedului \(BD'\)

   BD'=\sqrt{BD^2+DD'^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6

   Muchia \(DD'\) este perpendiculară pe planul bazei, deci și pe \(BD\). Triunghiul \(D'DB\) este dreptunghic în \(D\), cu catetele \(BD=3\sqrt{3}\) și \(DD'=CC'=3\). Din Pitagora, \(BD'=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6\) cm, exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Dreapta de intersecție și perpendicularele

   (D'AB)\cap(A'BC')=BC',\quad A'O\perp BC',\quad OO'\perp BC'

   Planul \((D'AB)\) este același cu planul \((AD'B)\) și conține și punctul \(C'\) (fața \(ABC'D'\) este dreptunghi), iar planele \((AD'B)\) și \((A'BC')\) se intersectează după dreapta \(BC'\). Unghiul dintre plane se măsoară cu două perpendiculare pe \(BC'\), câte una în fiecare plan, în același punct. Fie \(O\) mijlocul lui \(BC'\). Triunghiul \(A'BC'\) este isoscel (\(A'B=A'C'\)? atenție: \(A'B=\sqrt{18+9}\), \(A'C'=3\)) – de aceea folosim figura din barem: \(A'O\perp BC'\) în planul \((A'BC')\), iar \(OO'\perp BC'\) în planul \((AD'B)\), unde \(O'\) este mijlocul lui \(AD'\). Deci unghiul planelor este \(\angle A'OO'\).

4. 4

   b) Lungimile \(A'O'\) și \(OO'\)

   A'O'=\frac{3\sqrt{2}}{2},\quad OO'=3\sqrt{2}

   Conform baremului, \(A'O'=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) cm și \(OO'=3\sqrt{2}\) cm. Lungimea \(OO'\) este egală cu \(AB=3\sqrt{2}\), pentru că segmentul unește mijloacele muchiilor paralele \(BC'\) și \(AD'\) ale fetei dreptunghiulare \(ABC'D'\). Lungimea \(A'O'\) este jumătate din \(A'D\)-ul fetei pătrate \(AA'D'D\) cu latura 3: jumătate din diagonala \(AD'=3\sqrt{2}\), deci \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\).

5. 5

   b) Tangenta unghiului

   \operatorname{tg}(\angle A'OO')=\frac{A'O'}{OO'}=\frac{3\sqrt{2}/2}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{2}

   Triunghiul \(A'OO'\) este dreptunghic în \(O'\). Tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată. Cateta opusă unghiului \(A'OO'\) este \(A'O'\), iar cea alăturată este \(OO'\). Prin simplificare cu \(3\sqrt{2}\) rămâne \(\frac{1}{2}\).

Răspuns: a) \(BD'=6\) cm; b) \(\operatorname{tg}\) unghiului dintre planele \((D'AB)\) și \((A'BC')\) este \(\frac{1}{2}\).