Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2022, sesiunea iunie–iulie (varianta 02)

Rezultatul calculului \(10+10:10\) este egal cu: a) 2; b) 9; c) 10; d) 11.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   10+10:10

   Într-un exercițiu fără paranteze, înmulțirile și împărțirile se fac înaintea adunărilor și scăderilor. Deci, în \(10+10:10\), întâi calculăm \(10:10\), nu \(10+10\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   10:10=1

   Orice număr nenul împărțit la el însuși dă 1. Deci \(10:10=1\), iar exercițiul devine \(10+1\).

3. 3

   Efectuăm adunarea

   10+1=11

   După împărțire rămâne doar adunarea \(10+1\), care dă 11.

4. 4

   Alegem varianta corectă

   10+10:10=11

   Rezultatul este 11, deci varianta corectă este d). Varianta a) 2 s-ar obține dacă am împărți 20 la 10, deci dacă am aduna întâi \(10+10\): \((10+10):10=2\). Aceasta este greșeala clasică de ordine a operațiilor. Variantele b) 9 și c) 10 nu rezultă din niciun calcul corect.

Răspuns: Varianta d) 11

Dacă \(b \neq 0\) și \(\frac{a}{2}=\frac{10}{b}\), atunci \(a \cdot b\) este egal cu: a) 2; b) 5; c) 10; d) 20.

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Scriem proprietatea fundamentală a proporțiilor

   \frac{a}{2}=\frac{10}{b}\Rightarrow a\cdot b=2\cdot 10

   Într-o proporție \(\frac{x}{y}=\frac{z}{t}\) avem \(x\cdot t=y\cdot z\). Adică înmulțim „în cruce”. Aici înmulțim a cu b și 2 cu 10. Facem asta pentru că ne apare chiar produsul \(a\cdot b\), cel cerut în problemă.

2. 2

   Calculăm produsul

   a\cdot b=2\cdot 10=20

   Acum doar efectuăm înmulțirea. Obținem \(a\cdot b=20\). Condiția \(b\neq 0\) ne asigură că fracția din dreapta are sens.

3. 3

   Alegem varianta corectă

   a\cdot b=20\Rightarrow \text{varianta d)}

   Valoarea 20 corespunde variantei d). Celelalte variante sunt greșite: 2 și 10 apar în proporție, dar nu sunt produsul lor, iar 5 se obține dacă ai împărți 10 la 2 în loc să le înmulțești. Se poate verifica cu un exemplu: pentru \(a=4\) și \(b=5\) avem \(\frac{4}{2}=2\) și \(\frac{10}{5}=2\), deci proporția e adevărată, iar \(4\cdot 5=20\).

Răspuns: d) 20

Opusul numărului \(5\) este: a) \(-5\); b) \(-\frac{1}{5}\); c) \(\frac{1}{5}\); d) \(5\).

Metoda: Opusul unui număr întreg

1. 1

   Ce este opusul unui număr

   a + (-a) = 0

   Opusul unui număr este numărul care, adunat cu el, dă 0. Pe axa numerelor, opusul se află de partea cealaltă a lui 0, la aceeași distanță de 0 ca numărul inițial. De aceea opusul unui număr se obține schimbând semnul lui.

2. 2

   Aflăm opusul lui 5 și alegem varianta

   5 + (-5) = 0 \Rightarrow \text{opusul lui } 5 \text{ este } -5

   Căutăm numărul care adunat cu \(5\) dă \(0\). Acesta este \(-5\), deci varianta a) este corectă. Varianta d) este chiar numărul \(5\), care adunat cu \(5\) dă \(10\), nu \(0\). Variantele b) și c) sunt \(-\frac{1}{5}\) și \(\frac{1}{5}\), adică inversul lui \(5\) (cu semn), nu opusul: ele apar la înmulțire, nu la adunare.

Răspuns: Varianta corectă este a) \(-5\).

Subiectul I, itemul 4. Transformând numărul \(1,3\) în fracție ordinară se obține: a) \(\frac{1}{3}\); b) \(\frac{13}{10}\); c) \(\frac{4}{3}\); d) \(\frac{13}{9}\).

Metoda: Fracție zecimală în fracție ordinară

1. 1

   Citim numărul zecimal

   1{,}3 = 1 \text{ întreg și } 3 \text{ zecimi}

   Numărul \(1,3\) are o singură zecimală (cifra 3), deci ea reprezintă zecimi. Prima cifră după virgulă arată câte zecimi are numărul, adică părți din 10. De aceea numitorul fracției va fi 10.

2. 2

   Scriem fracția cu numitor 10

   1{,}3 = \frac{13}{10}

   Mutăm virgula cu o poziție spre dreapta și obținem numărătorul 13, iar numitorul este 10, pentru că avem o zecimală. Verificăm: \(\frac{13}{10}\) înseamnă 13 : 10 = 1,3, adică 1 întreg și 3 zecimi, exact numărul dat.

3. 3

   Alegem varianta corectă

   1{,}3 = \frac{13}{10} \Rightarrow \text{b)}

   Varianta b) este \(\frac{13}{10}\), exact ce am obținut. Celelalte nu merg: a) \(\frac{1}{3}\) este mai mică decât 1, iar 1,3 este mai mare decât 1. c) \(\frac{4}{3}\) este 1 întreg și \(\frac{1}{3}\), adică 1,333... cu zecimale la infinit, deci nu este 1,3. d) \(\frac{13}{9}\) este 1 întreg și \(\frac{4}{9}\), adică 1,444..., tot nu este 1,3.

Răspuns: Varianta corectă este b) \(\frac{13}{10}\).

Patru elevi, Ana, George, Radu și Elena, au calculat produsul numerelor \(x = 2\sqrt{2}\) și \(y = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\), iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabel: Ana: \(4\sqrt{2}\); George: \(\sqrt{2}\); Radu: \(1\); Elena: \(8\). Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Ana; b) George; c) Radu; d) Elena.

Metoda: Înmulțirea numerelor reale

1. 1

   Scriem produsul cerut

   x\cdot y = 2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}

   Problema ne cere produsul numerelor \(x\) și \(y\). De aceea începem prin a le scrie unul lângă altul, cu semnul înmulțirii între ele.

2. 2

   Înmulțim fracția cu numărul

   2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}

   Când înmulțim un număr cu o fracție, înmulțim numărul cu numărătorul fracției. Numărătorul este \(1\), iar \(2\sqrt{2}\cdot 1 = 2\sqrt{2}\). Numitorul rămâne neschimbat.

3. 3

   Simplificăm fracția

   \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 1

   Numărătorul și numitorul sunt egale (și nenule), deci fracția este egală cu \(1\). Orice număr nenul împărțit la el însuși dă \(1\).

4. 4

   Alegem elevul potrivit

   x\cdot y = 1 \Rightarrow \text{Radu}

   În tabel, rezultatul \(1\) apare doar la Radu, deci varianta corectă este c). Ceilalți au greșit: Ana (\(4\sqrt{2}\)) și Elena (\(8\)) au probabil înmulțit \(2\sqrt{2}\) cu alte numere sau au ignorat numitorul, iar George (\(\sqrt{2}\)) a făcut o simplificare incompletă. Niciunul dintre aceste rezultate nu este egal cu \(1\).

Răspuns: Rezultatul corect este \(x\cdot y = 1\), obținut de Radu. Varianta corectă: c) Radu.

Andrei are 28 de ani, iar Cătălina are 13 ani. Andrei afirmă: „Peste doi ani voi avea dublul vârstei pe care o va avea Cătălina.”. Afirmația lui Andrei este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Verificarea unei afirmații prin calcul

1. 1

   Vârstele peste doi ani

   28+2=30,\quad 13+2=15

   Afirmația vorbește despre momentul de peste doi ani. De aceea adăugăm 2 ani la vârsta fiecăruia: \(28+2=30\) pentru Andrei și \(13+2=15\) pentru Cătălina.

2. 2

   Dublul vârstei Cătălinei

   2\cdot 15=30

   Dublul unui număr înseamnă numărul înmulțit cu 2. Dublul vârstei Cătălinei de peste doi ani este \(2\cdot 15=30\).

3. 3

   Comparăm și concluzionăm

   30=2\cdot 15

   Peste doi ani Andrei va avea 30 de ani, iar dublul vârstei Cătălinei este tot 30. Cele două numere sunt egale, deci afirmația lui Andrei este adevărată. Răspunsul b) „falsă” nu este bun, pentru că numerele coincid.

Răspuns: Varianta corectă este a) adevărată.

În figura alăturată este reprezentat segmentul \(AB\) cu lungimea de \(10\) cm. Punctul \(A\) este mijlocul segmentului \(CB\), iar punctul \(B\) este mijlocul segmentului \(CD\). Lungimea segmentului \(CD\) este egală cu: a) \(10\) cm; b) \(20\) cm; c) \(30\) cm; d) \(40\) cm. (Pe figură, punctele sunt în ordinea C, A, B, D, pe aceeași dreaptă.)

Metoda: Mijlocul unui segment

1. 1

   Aflăm lungimea segmentului CB

   CA = AB = 10 \text{ cm}, \quad CB = CA + AB = 20 \text{ cm}

   Punctul \(A\) este mijlocul lui \(CB\), deci \(CA = AB\). Cum \(AB = 10\) cm, avem și \(CA = 10\) cm. Punctul \(A\) se află între \(C\) și \(B\), așa că lungimea \(CB\) este suma lungimilor \(CA\) și \(AB\).

2. 2

   Aflăm lungimea segmentului CD

   CB = BD = 20 \text{ cm}, \quad CD = CB + BD = 40 \text{ cm}

   Punctul \(B\) este mijlocul lui \(CD\), deci \(CB = BD\). Am aflat că \(CB = 20\) cm, deci și \(BD = 20\) cm. Punctul \(B\) se află între \(C\) și \(D\), deci \(CD = CB + BD\).

3. 3

   Alegem varianta corectă și verificăm

   CD = 4 \cdot AB = 4 \cdot 10 = 40 \text{ cm}

   Lungimea \(CD\) este de 4 ori cât \(AB\): \(CD = 40\) cm, deci varianta d) este corectă. Varianta a) \(10\) cm este doar \(AB\). Varianta b) \(20\) cm este \(CB\), nu \(CD\). Varianta c) \(30\) cm ar apărea dacă am aduna doar \(CA + AB + 10\) fără să dublăm corect, dar \(BD\) este \(20\), nu \(10\).

Răspuns: Lungimea segmentului \(CD\) este \(40\) cm, deci răspunsul corect este d).

Subiectul al II-lea, itemul 2: În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf \(AOC\) și \(BOD\) (dreptele \(AD\) și \(BC\) se intersectează în punctul \(O\)). Măsura unghiului \(AOC\) este egală cu \(60^\circ\). Măsura unghiului \(BOD\) este egală cu: a) \(30^\circ\); b) \(60^\circ\); c) \(90^\circ\); d) \(120^\circ\).

Metoda: Unghiuri opuse la vârf

1. 1

   Recunoaștem unghiurile opuse la vârf

   \angle AOC \text{ și } \angle BOD \text{ sunt opuse la vârf}

   În figură, dreptele \(AD\) și \(BC\) se intersectează în \(O\). Semidreptele \(OA\) și \(OD\) sunt opuse, iar semidreptele \(OC\) și \(OB\) sunt opuse. Astfel unghiurile \(AOC\) și \(BOD\) sunt unul în fața celuilalt, cu vârful comun \(O\). Ele sunt opuse la vârf, iar enunțul ne spune chiar asta. Trebuie să știm acest lucru ca să putem folosi proprietatea lor.

2. 2

   Folosim congruența unghiurilor opuse la vârf

   \angle AOC = \angle BOD

   Proprietatea din clasa a VI-a spune că unghiurile opuse la vârf sunt congruente, adică au aceeași măsură. Motivul: fiecare dintre ele este suplementar cu același unghi vecin (de exemplu \(\angle AOB\)), adică împreună cu el dă \(180^\circ\). Deci \(\angle AOC = 180^\circ-\angle AOB\) și \(\angle BOD = 180^\circ-\angle AOB\), adică sunt egale.

3. 3

   Calculăm măsura unghiului BOD

   \angle BOD = \angle AOC = 60^\circ

   Din congruență și din faptul că \(\angle AOC = 60^\circ\), rezultă că \(\angle BOD = 60^\circ\). Verificare: unghiul vecin \(AOB\) are \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\), iar \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\), la fel.

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \text{Răspuns: } b)\ 60^\circ

   Varianta b) este corectă pentru că unghiurile opuse la vârf sunt congruente. Varianta a) \(30^\circ\) ar fi jumătate din \(60^\circ\), dar nu există o astfel de regulă. Varianta c) \(90^\circ\) ar fi pentru drepte perpendiculare. Varianta d) \(120^\circ\) este măsura unghiului vecin (suplementar), nu a celui opus la vârf.

Răspuns: Varianta b): \(\angle BOD = 60^\circ\).

Subiectul al II-lea, itemul 3: În figura alăturată este reprezentat rombul \(ABCD\) cu \(AB = BD = 12\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(CD\) și dreapta \(BM\) intersectează dreapta \(AC\) în punctul \(G\). Lungimea segmentului \(AG\) este egală cu: a) \(12\sqrt{3}\) cm; b) \(10\sqrt{3}\) cm; c) \(9\sqrt{3}\) cm; d) \(8\sqrt{3}\) cm. (În figură: diagonalele \(AC\) și \(BD\) se taie în \(O\), iar \(BM\) taie \(AC\) în \(G\), între \(O\) și \(C\).)

Metoda: Centrul de greutate al triunghiului

1. 1

   Triunghiul ABD este echilateral

   AB=AD=BD=12\text{ cm}

   Într-un romb toate laturile sunt egale, deci \(AB = AD = 12\) cm. Din enunț, \(BD = 12\) cm. Triunghiul \(ABD\) are toate laturile egale cu 12 cm, deci este echilateral. De aici aflăm și lungimile diagonalelor.

2. 2

   Calculăm AO și AC

   AO=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3},\quad AC=2\cdot AO=12\sqrt{3}

   Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc în \(O\). Deci \(AO\) este înălțime în triunghiul echilateral \(ABD\), cu \(AO = \frac{l\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\) cm. \(O\) este mijlocul lui \(AC\), deci \(AC = 12\sqrt{3}\) cm. De asemenea \(CO = 6\sqrt{3}\) cm și \(BO = OD = 6\) cm.

3. 3

   G este centrul de greutate al triunghiului BCD

   CO\text{ și }BM\text{ sunt mediane în }\triangle BCD\Rightarrow CG=\frac{2}{3}CO

   În triunghiul \(BCD\), \(O\) este mijlocul lui \(BD\), deci \(CO\) este mediană. \(M\) este mijlocul lui \(CD\), deci \(BM\) este mediană. Medianele \(CO\) și \(BM\) se intersectează în \(G\), deci \(G\) este centrul de greutate. El se află pe mediană la \(\frac{2}{3}\) de vârf, adică \(CG = \frac{2}{3}CO\).

4. 4

   Calculăm CG și AG

   CG=\frac{2}{3}\cdot 6\sqrt{3}=4\sqrt{3},\quad AG=AC-CG=12\sqrt{3}-4\sqrt{3}=8\sqrt{3}

   Avem \(CG = \frac{2}{3}\cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\) cm. Punctul \(G\) se află pe \(AC\), deci \(AG = AC - CG = 12\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\) cm. Răspunsul este d). Celelalte variante nu ies: \(12\sqrt{3}\) este toată diagonala \(AC\) (G ar fi în \(C\)), iar \(10\sqrt{3}\) și \(9\sqrt{3}\) nu rezultă din calcul.

Răspuns: Varianta corectă este d): \(AG = 8\sqrt{3}\) cm.

În figura alăturată este reprezentat trapezul \(ABCD\) cu bazele \(AB\) și \(CD\), în care măsura unghiului \(BAD\) este egală cu \(90^\circ\), \(AD = DC = 5\) cm și \(AB = 10\) cm. Măsura unghiului \(ABC\) este egală cu: a) \(30^\circ\) b) \(45^\circ\) c) \(60^\circ\) d) \(90^\circ\). (În figură: \(D\) și \(C\) sus, \(A\) și \(B\) jos, \(AD\) vertical, \(CD\) paralel cu \(AB\).)

Metoda: Trapez dreptunghic, perpendiculara din C

1. 1

   Ducem perpendiculara din C pe AB

   CE \perp AB,\ E \in AB

   Ducem \(CE\) perpendiculară pe \(AB\), cu \(E\) pe \(AB\). Deoarece \(AD \perp AB\) și \(CE \perp AB\), avem \(AD \parallel CE\). Cum \(CD \parallel AE\), patrulaterul \(AECD\) are laturile opuse paralele și un unghi drept, deci este dreptunghi. Astfel \(CE = AD = 5\) cm și \(AE = DC = 5\) cm.

2. 2

   Aflăm lungimea lui EB

   EB = AB - AE = 10 - 5 = 5

   Punctul \(E\) este pe \(AB\), deci \(EB = AB - AE\). Cum \(AE = 5\) cm și \(AB = 10\) cm, obținem \(EB = 5\) cm.

3. 3

   Triunghiul CEB este dreptunghic isoscel

   CE = EB = 5,\ \angle CEB = 90^\circ \Rightarrow \angle EBC = 45^\circ

   În triunghiul \(CEB\) avem unghiul \(E\) drept și catetele \(CE = EB = 5\) cm, deci triunghiul este dreptunghic isoscel. Unghiurile de la bază sunt egale, iar suma lor este \(90^\circ\), deci fiecare are \(45^\circ\). Unghiul \(ABC\) este chiar unghiul \(EBC\), deci are \(45^\circ\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \angle ABC = 45^\circ

   Varianta corectă este b) \(45^\circ\). Nu merge \(30^\circ\) sau \(60^\circ\), pentru că triunghiul \(CEB\) are catete egale, deci unghiurile sunt egale. Nu merge \(90^\circ\), pentru că \(BC\) nu este perpendiculară pe \(AB\): unghiul \(EBC\) este ascuțit.

Răspuns: b) \(45^\circ\)

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\) și diametru \(BC = 10\) cm. Punctul \(A\) aparține cercului astfel încât măsura arcului mic \(AC\) este de \(120^\circ\). Lungimea segmentului \(AB\) este egală cu: a) \(5\) cm; b) \(5\sqrt{2}\) cm; c) \(5\sqrt{3}\) cm; d) \(10\) cm. (Din figură: \(BC\) este diametru, \(O\) este centrul, \(A\) este pe cerc, iar \(AB\) este o coardă.)

Metoda: Unghi înscris și Pitagora

1. 1

   Triunghiul ABC este dreptunghic

   \angle BAC = 90^\circ

   Punctul \(A\) se află pe cerc, iar \(BC\) este diametru. Unghiul \(BAC\) este înscris în cerc și cuprinde un semicerc (arcul \(BC\) are \(180^\circ\)). Un unghi înscris are măsura jumătate din arcul cuprins, deci \(180^\circ : 2 = 90^\circ\). Așadar triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), cu ipotenuza \(BC = 10\) cm.

2. 2

   Aflăm unghiul ACB

   \angle ACB = \dfrac{\text{arc}(AB)}{2}

   Arcul \(AC\) mic are \(120^\circ\), iar semicercul \(BC\) are \(180^\circ\) și conține arcul \(AC\) și arcul \(AB\). Deci arcul \(AB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Unghiul înscris \(ACB\) cuprinde arcul \(AB\), deci măsoară jumătate din el: \(60^\circ : 2 = 30^\circ\).

3. 3

   Folosim cateta opusă unghiului de 30°

   AB = \dfrac{BC}{2}\ ?

   Atenție: \(AB\) este opusă unghiului \(ACB\) de \(30^\circ\)? Da, în triunghiul \(ABC\) latura din fața vârfului \(C\) este \(AB\). Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză, deci \(AB = 10 : 2 = 5\) cm.

4. 4

   Concluzie

   AB = 5\text{ cm}

   Din pasul anterior \(AB = 5\) cm, deci varianta corectă este a). Celelalte nu merg: \(5\sqrt{2}\) ar fi pentru un unghi de \(45^\circ\), \(5\sqrt{3}\) este cealaltă catetă \(AC\) (opusă unghiului de \(60^\circ\)), iar \(10\) cm este diametrul. Verificăm cu Pitagora: \(AC^2 = 10^2 - 5^2 = 75\), deci \(AC = 5\sqrt{3}\).

Răspuns: Varianta corectă este a) 5 cm.

Subiectul al II-lea, itemul 6: În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic \(ABCDEFGH\) cu \(AB = 4\) cm, \(BC = 3\) cm și \(AE = 12\) cm. Lungimea diagonalei \(AG\) a paralelipipedului este egală cu: a) 5 cm; b) 13 cm; c) 14 cm; d) 19 cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora în spațiu

1. 1

   Diagonala bazei \(AC\)

   AC^2=AB^2+BC^2=4^2+3^2=25

   Baza \(ABCD\) este un dreptunghi, deci triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\). Aplicăm teorema lui Pitagora ca să aflăm \(AC\), pentru că \(AC\) va fi o catetă în triunghiul care conține diagonala \(AG\). Obținem \(AC^2=16+9=25\), deci \(AC=5\) cm.

2. 2

   Triunghiul \(ACG\) și diagonala \(AG\)

   AG^2=AC^2+CG^2=5^2+12^2=169

   Muchia \(CG\) este paralelă și egală cu \(AE\), deci \(CG=12\) cm. Ea este perpendiculară pe planul bazei, deci \(CG\perp AC\) și triunghiul \(ACG\) este dreptunghic în \(C\). Aplicăm din nou teorema lui Pitagora: \(AG^2=25+144=169\), deci \(AG=13\) cm.

3. 3

   Alegerea variantei corecte

   AG=13\text{ cm}

   Lungimea diagonalei este 13 cm, deci varianta corectă este b). Varianta a) 5 cm este doar diagonala bazei \(AC\), nu diagonala cutiei. Variantele c) 14 și d) 19 apar dacă se adună greșit lungimile (de exemplu \(4+3+12=19\)), dar diagonala nu este suma muchiilor.

Răspuns: b) 13 cm

Ana, Maria și Vlad au în total 396 de timbre. Ana are cu 25 de timbre mai multe decât Maria și cu 16 timbre mai puține decât Vlad. a) Poate avea Ana 132 de timbre? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul de timbre pe care le are Vlad.

Metoda: Verificare și ecuație liniară

1. 1

   a) Aflăm câte timbre ar avea Maria și Vlad

   132-25=107,\quad 132+16=148

   Presupunem că Ana are 132 de timbre. Ana are cu 25 mai multe decât Maria, deci Maria are cu 25 mai puține: \(132-25=107\). Ana are cu 16 mai puține decât Vlad, deci Vlad are cu 16 mai multe: \(132+16=148\).

2. 2

   a) Comparăm totalul cu 396

   132+107+148=387\neq 396

   Adunăm timbrele celor trei copii. Dacă totalul nu ar fi 396, presupunerea este falsă. Obținem \(387\), care este diferit de \(396\), deci Ana nu poate avea 132 de timbre.

3. 3

   b) Notăm numărul de timbre și exprimăm pe ceilalți

   \text{Vlad}=x,\ \text{Ana}=x-16,\ \text{Maria}=x-41

   Notăm cu \(x\) numărul de timbre ale lui Vlad. Ana are cu 16 mai puține: \(x-16\). Maria are cu 25 mai puține decât Ana: \(x-16-25=x-41\).

4. 4

   b) Scriem și rezolvăm ecuația

   x+(x-16)+(x-41)=396 \Rightarrow 3x-57=396 \Rightarrow 3x=453 \Rightarrow x=151

   Suma celor trei numere este 396. Reducem termenii: \(3x-57=396\). Adunăm 57 la ambii membri: \(3x=453\). Împărțim la 3 și obținem \(x=151\). Deci Vlad are 151 de timbre.

5. 5

   Verificarea rezultatului

   151+135+110=396

   Vlad are 151, Ana \(151-16=135\), Maria \(135-25=110\). Suma este 396, deci rezultatul este corect.

Răspuns: a) Nu, deoarece 132+107+148=387≠396. b) Vlad are 151 de timbre.

Se consideră expresia \(E(x)=(x+1)^2+2(x-1)^2-3(x^2-1)\), unde \(x\) este număr real. a) Arată că \(E(x)=6-2x\), pentru orice număr real \(x\). b) Determină mulțimea numerelor reale \(x\), pentru care \(E(x)<x\).

Metoda: Formule de calcul prescurtat și inecuații

1. 1

   a) Desfacem parantezele cu formulele de calcul prescurtat

   E(x)=x^2+2x+1+2(x^2-2x+1)-3(x^2-1)

   Folosim formulele \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) și \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Astfel \((x+1)^2=x^2+2x+1\) și \((x-1)^2=x^2-2x+1\). Apoi păstrăm factorii 2 și 3 în fața parantezelor, urmând să-i înmulțim la pasul următor.

2. 2

   a) Înmulțim și reducem termenii asemenea

   E(x)=x^2+2x+1+2x^2-4x+2-3x^2+3=6-2x

   Înmulțim 2 cu fiecare termen din a doua paranteză și -3 cu fiecare termen din ultima paranteză (atenție la semne: \(-3\cdot(-1)=+3\)). Grupăm termenii: \(x^2+2x^2-3x^2=0\), \(2x-4x=-2x\), iar \(1+2+3=6\). Rezultă \(E(x)=6-2x\), pentru orice \(x\) real, deci cerința a) este demonstrată.

3. 3

   b) Scriem inecuația

   6-2x<x

   Cerința este \(E(x)<x\). Din a) știm că \(E(x)=6-2x\), deci înlocuim și obținem inecuația \(6-2x<x\).

4. 4

   b) Rezolvăm inecuația

   6<3x \Rightarrow x>2 \Rightarrow x\in(2,+\infty)

   Adunăm \(2x\) în ambele părți: \(6<3x\), adică \(3x>6\). Împărțim la 3, număr pozitiv, deci sensul inegalității rămâne același: \(x>2\). Mulțimea soluțiilor este intervalul \((2,+\infty)\), cu 2 exclus, deoarece inegalitatea este strictă.

Răspuns: a) \(E(x)=6-2x\) pentru orice \(x\) real; b) \(x\in(2,+\infty)\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x-1\). a) Arată că \(f(0)+f(1)=-1\). b) Știind că A și B sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției f cu axele Ox, respectiv Oy ale sistemului de axe ortogonale xOy, iar punctul C este mijlocul segmentului AB, calculează aria triunghiului OBC. (Figura: dreapta graficului taie axa Ox în A, axa Oy în B; C este pe segmentul AB.)

Metoda: Funcția liniară și aria triunghiului

1. 1

   a) Calculăm f(0)

   f(0)=0-1=-1

   Pentru a afla \(f(0)\), înlocuim pe \(x\) cu 0 în formula \(f(x)=x-1\). Așa citim valoarea funcției în punctul 0.

2. 2

   a) Calculăm f(1) și suma

   f(1)=1-1=0,\quad f(0)+f(1)=-1+0=-1

   Înlocuim \(x\) cu 1 și obținem 0. Apoi adunăm cele două valori și vedem că suma este \(-1\), exact cum trebuia arătat.

3. 3

   b) Aflăm punctele A și B

   A(1,0),\quad B(0,-1)

   Punctul A este pe axa Ox, deci are ordonata 0: rezolvăm \(x-1=0\), de unde \(x=1\), deci \(A(1,0)\). Punctul B este pe axa Oy, deci are abscisa 0: \(f(0)=-1\), deci \(B(0,-1)\).

4. 4

   b) Aria triunghiului OAB

   \mathcal{A}_{OAB}=\dfrac{OA\cdot OB}{2}=\dfrac{1\cdot 1}{2}=\dfrac12

   Triunghiul OAB este dreptunghic în O (axele sunt perpendiculare), cu catetele \(OA=1\) și \(OB=1\). Aria este semiprodusul catetelor.

5. 5

   b) Aria triunghiului OBC

   \mathcal{A}_{OBC}=\dfrac{\mathcal{A}_{OAB}}{2}=\dfrac{1}{4}

   C este mijlocul lui AB, deci OC este mediană în triunghiul OAB. Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu aceeași arie (aceeași înălțime din O și baze egale BC = CA). Deci aria OBC este jumătate din \(\frac12\), adică \(\frac14\).

Răspuns: a) \(f(0)+f(1)=-1+0=-1\). b) \(\mathcal{A}_{OBC}=\dfrac14\) (unități de arie).

În figura alăturată sunt reprezentate punctele \(A, B, C, D\) și \(E\) astfel încât \(AB = 4\) cm, \(AC = 8\) cm, \(AD = 10\) cm și \(AE = 20\) cm. Măsura unghiului \(BAC\) este egală cu măsura unghiului \(DAE\) și \(\angle CAD = 30^\circ\). a) (2p) Arată că aria triunghiului \(CAD\) este egală cu \(20\ \text{cm}^2\). b) (3p) Demonstrează că \(CE = 2 \cdot BD\).

Metoda: Aria triunghiului; asemănarea triunghiurilor

1. 1

   a) Aflăm înălțimea din C pe AD

   d(C,AD)=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm}

   Fie \(P\) piciorul perpendicularei din \(C\) pe dreapta \(AD\). Triunghiul \(ACP\) este dreptunghic în \(P\) și are unghiul \(A\) de \(30^\circ\), deci cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) (adică \(CP\)) este jumătate din ipotenuză \(AC\). Așadar \(CP = 8:2 = 4\) cm. Ne trebuie această înălțime ca să putem calcula aria.

2. 2

   a) Calculăm aria triunghiului CAD

   \mathcal{A}_{CAD}=\frac{AD\cdot CP}{2}=\frac{10\cdot 4}{2}=20\text{ cm}^2

   Aria unui triunghi este baza înmulțită cu înălțimea, împărțită la 2. Luăm baza \(AD = 10\) cm și înălțimea corespunzătoare \(CP = 4\) cm. Obținem \(10\cdot 4:2 = 20\) cm², exact cât trebuia arătat.

3. 3

   b) Arătăm că unghiurile BAD și CAE sunt congruente

   \angle BAD=\angle BAC+\angle CAD,\quad \angle CAE=\angle CAD+\angle DAE

   Unghiul \(BAD\) este format din \(BAC\) și \(CAD\). Unghiul \(CAE\) este format din \(CAD\) și \(DAE\). Știm din enunț că \(\angle BAC=\angle DAE\), iar \(\angle CAD\) apare în ambele sume. Deci cele două sume sunt egale: \(\angle BAD=\angle CAE\). Avem nevoie de acest unghi egal pentru asemănare.

4. 4

   b) Arătăm că triunghiurile BAD și CAE sunt asemenea

   \frac{AB}{AC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\quad \frac{AD}{AE}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\Rightarrow \Delta BAD\sim\Delta CAE

   Calculăm rapoartele laturilor care formează unghiul \(A\): \(AB/AC = 4/8 = 1/2\) și \(AD/AE = 10/20 = 1/2\). Rapoartele sunt egale, iar unghiurile dintre aceste laturi sunt congruente. Conform criteriului LUL de asemănare, \(\Delta BAD\sim\Delta CAE\).

5. 5

   b) Concluzia: CE = 2 · BD

   \frac{BD}{CE}=\frac{1}{2}\Rightarrow CE=2\cdot BD

   Din asemănare, toate rapoartele laturilor corespunzătoare sunt egale cu \(1/2\). Latura \(BD\) corespunde laturii \(CE\), deci \(BD/CE = 1/2\). Înmulțind în cruce, \(CE = 2\cdot BD\), ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: a) Aria triunghiului \(CAD\) este \(20\ \text{cm}^2\). b) Din \(\Delta BAD\sim\Delta CAE\) rezultă \(BD/CE=1/2\), deci \(CE=2\cdot BD\).

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(\measuredangle ABC = 45^\circ\) și \(AD = CD = 10\) cm. Paralela prin \(D\) la dreapta \(BC\) intersectează dreapta \(AB\) în punctul \(R\). Dreptele \(AD\) și \(BC\) se intersectează în punctul \(T\), iar \(O\) este punctul de intersecție a dreptelor \(TR\) și \(AC\). a) Arată că punctul \(R\) este mijlocul segmentului \(AB\). b) Calculează lungimea segmentului \(TO\). (Figură: \(\measuredangle DAB = 90^\circ\), \(T\) se află pe prelungirea lui \(AD\) dincolo de \(D\), \(R\) se află pe \(AB\).)

Metoda: Paralelogram, linie mijlocie, centru de greutate

1. 1

   a) Arătăm că BCDR este paralelogram

   CD\parallel AB,\ DR\parallel CB \Rightarrow BCDR \text{ paralelogram} \Rightarrow BR=CD=10

   Patrulaterul \(BCDR\) are \(CD \parallel BR\) (pentru că \(R\) este pe \(AB\)) și \(DR \parallel CB\) (din construcție). Un patrulater cu laturile opuse paralele este paralelogram, iar într-un paralelogram laturile opuse sunt egale. Deci \(BR = CD = 10\) cm.

2. 2

   a) Triunghiul ADR este dreptunghic isoscel

   \measuredangle DAR=90^\circ,\ \measuredangle ARD=45^\circ \Rightarrow AR=AD=10

   Unghiul \(ARD\) este congruent cu unghiul \(ABC\) (\(45^\circ\)), pentru că \(DR \parallel BC\) (unghiuri corespondente). Triunghiul \(ADR\) are unghiul \(A = 90^\circ\) și unghiul \(R = 45^\circ\), deci și unghiul \(D = 45^\circ\). Este dreptunghic isoscel, deci \(AR = AD = 10\) cm.

3. 3

   a) Concluzia: R este mijlocul lui AB

   AR=10,\ RB=10 \Rightarrow AR=RB

   Am obținut \(AR = 10\) cm și \(RB = 10\) cm. Cum \(R\) se află pe segmentul \(AB\) și \(AR = RB\), punctul \(R\) este mijlocul lui \(AB\). Atunci \(AB = 20\) cm.

4. 4

   b) CD este linie mijlocie în triunghiul TAB

   CD\parallel AB,\ CD=\frac{AB}{2} \Rightarrow C \text{ mijlocul lui } TB,\ D \text{ mijlocul lui } TA

   \(CD \parallel AB\) și \(CD = 10 = \frac{20}{2} = \frac{AB}{2}\). Un segment paralel cu o latură a triunghiului, care are jumătate din lungimea ei, este linie mijlocie. Deci \(C\) este mijlocul lui \(TB\) și \(D\) este mijlocul lui \(TA\).

5. 5

   b) Calculăm TR cu teorema lui Pitagora

   TR=\sqrt{TA^2+AR^2}=\sqrt{20^2+10^2}=10\sqrt5

   Triunghiul \(TAR\) este dreptunghic în \(A\), cu \(TA = 20\) și \(AR = 10\). Ipotenuza \(TR\) se află cu teorema lui Pitagora: \(TR^2 = 400 + 100 = 500\), deci \(TR = \sqrt{500} = 10\sqrt5\) cm.

6. 6

   b) O este centrul de greutate și calculăm TO

   TO=\frac23\cdot TR=\frac23\cdot 10\sqrt5=\frac{20\sqrt5}{3}

   \(TR\) este mediană în triunghiul \(TAB\) (\(R\) este mijlocul lui \(AB\)), iar \(AC\) este altă mediană (\(C\) este mijlocul lui \(TB\)). Intersecția lor \(O\) este centrul de greutate. Acesta se află la două treimi de vârf pe mediană, deci \(TO = \frac23 TR = \frac{20\sqrt5}{3}\) cm.

Răspuns: a) \(R\) este mijlocul lui \(AB\), pentru că \(AR = RB = 10\) cm. b) \(TO = \frac{20\sqrt5}{3}\) cm.

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă \(ABCDEF\) cu baza triunghiul echilateral \(ABC\) și \(AB = AD = 10\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\). a) Arată că volumul prismei \(ABCDEF\) este egal cu \(250\sqrt{3}\) \(\text{cm}^3\). b) Demonstrează că distanța de la punctul \(B\) la planul \((EMC)\) este egală cu \(2\sqrt{5}\) cm. (Date din figură: \(AD\), \(BE\), \(CF\) sunt muchiile laterale, perpendiculare pe baza \(ABC\); \(E\) se află deasupra lui \(B\).)

Metoda: Volum prismă; distanța de la punct la plan

1. 1

   a) Aria bazei (triunghi echilateral)

   \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB^2\sqrt{3}}{4}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}\ \text{cm}^2

   Baza prismei este triunghiul echilateral \(ABC\) cu latura de 10 cm. Aria unui triunghi echilateral de latură \(l\) este \(\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\). Avem nevoie de ea pentru că volumul prismei se calculează din aria bazei.

2. 2

   a) Volumul prismei

   V=\mathcal{A}_{\Delta ABC}\cdot AD=25\sqrt{3}\cdot 10=250\sqrt{3}\ \text{cm}^3

   La o prismă dreaptă, volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea. Înălțimea este muchia laterală \(AD=10\) cm. Obținem exact valoarea cerută.

3. 3

   b) Construim perpendiculara din B pe EM

   BP\perp EM,\ P\in EM

   Distanța de la un punct la un plan este lungimea perpendicularei duse din punct pe plan. Ducem în planul \((BEM)\) perpendiculara \(BP\) pe dreapta \(EM\), cu \(P\in EM\). Urmează să arătăm că \(BP\) este perpendiculară pe tot planul \((EMC)\).

4. 4

   b) Arătăm că BP ⊥ (EMC)

   CM\perp AB,\ CM\perp AD,\ AB\cap AD=\{A\}\Rightarrow CM\perp (BAD)\Rightarrow BP\perp CM

   Triunghiul \(ABC\) este echilateral, iar \(CM\) este mediană, deci și înălțime: \(CM\perp AB\). Prisma este dreaptă, deci \(CM\perp AD\). Cum \(AB\) și \(AD\) sunt drepte concurente din planul \((BAD)\), rezultă \(CM\perp(BAD)\). Dar \(BP\) este în planul \((BAD)\), deci \(BP\perp CM\). Avem și \(BP\perp EM\), iar \(CM\cap EM=\{M\}\), deci \(BP\perp(EMC)\). Astfel distanța cerută este \(BP\).

5. 5

   b) Calculăm BP în triunghiul BEM

   MB=5,\ BE=10,\ EM=\sqrt{5^2+10^2}=5\sqrt{5},\ BP=\frac{MB\cdot BE}{EM}=\frac{5\cdot 10}{5\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\ \text{cm}

   Triunghiul \(MBE\) este dreptunghic în \(B\), deoarece \(BE\perp(ABC)\). Avem \(MB=\frac{AB}{2}=5\) cm și \(BE=10\) cm. Cu teorema lui Pitagora, \(EM=\sqrt{25+100}=5\sqrt{5}\). \(BP\) este înălțimea din \(B\) pe ipotenuză, deci \(BP=\frac{MB\cdot BE}{EM}\) (aria triunghiului calculată în două moduri). Rezultă \(BP=2\sqrt{5}\) cm, ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: a) \(V=250\sqrt{3}\ \text{cm}^3\); b) \(d(B,(EMC))=BP=2\sqrt{5}\) cm.