Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2023, sesiunea iunie–iulie (rezervă) (varianta 05)

Rezultatul calculului \(2+3\cdot 5\) este egal cu: a) 1; b) 10; c) 17; d) 25.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ce operație se face prima

   2+3\cdot 5

   În calcule fără paranteze, înmulțirile și împărțirile se efectuează înaintea adunărilor și scăderilor. Aici avem o adunare și o înmulțire, deci începem cu înmulțirea \(3\cdot 5\), nu cu adunarea \(2+3\).

2. 2

   Calculăm înmulțirea

   3\cdot 5=15

   Efectuăm produsul \(3\cdot 5\) și îl înlocuim în expresie. Astfel calculul devine \(2+15\).

3. 3

   Efectuăm adunarea

   2+15=17

   După ce am făcut înmulțirea, rămâne doar adunarea \(2+15\). Rezultatul este 17, deci varianta corectă este c).

4. 4

   Verificăm celelalte variante

   (2+3)\cdot 5=25

   Varianta d) 25 apare dacă greșim ordinea și adunăm întâi \(2+3=5\), apoi înmulțim cu 5. Dar nu avem paranteze, deci înmulțirea are prioritate. Variantele a) 1 și b) 10 nu se obțin din nicio ordine corectă a calculului.

Răspuns: Rezultatul este 17, deci varianta corectă este c).

Dacă \(\frac{1}{2}=\frac{a}{3}\), atunci numărul \(a\) este egal cu: a) \(\frac{2}{3}\); b) \(1\); c) \(\frac{3}{2}\); d) \(6\).

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor

   \frac{1}{2}=\frac{a}{3}\Rightarrow 1\cdot 3=2\cdot a

   Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Extremii sunt \(1\) și \(3\), iar mezii sunt \(2\) și \(a\). Așa scăpăm de fracții și obținem o egalitate simplă.

2. 2

   Aflăm necunoscuta a

   3=2\cdot a\Rightarrow a=3:2=\frac{3}{2}

   Dacă \(2\) înmulțit cu \(a\) dă \(3\), atunci \(a\) se află împărțind \(3\) la \(2\), operația inversă înmulțirii. Rezultatul este \(\frac{3}{2}\), adică varianta c).

3. 3

   Verificăm rezultatul

   \frac{1}{2}=\frac{3/2}{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}

   Înlocuim \(a=\frac{3}{2}\) în fracția din dreapta: \(\frac{3}{2}:3=\frac{1}{2}\), exact fracția din stânga. Deci răspunsul c) este corect. Celelalte nu merg: pentru \(a=\frac{2}{3}\) ar ieși \(\frac{2}{9}\), pentru \(a=1\) ar ieși \(\frac{1}{3}\), iar pentru \(a=6\) ar ieși \(2\), niciuna nu este \(\frac{1}{2}\).

Răspuns: Varianta corectă este c): \(a=\frac{3}{2}\).

Produsul numerelor \(-2\) și \(7\) este egal cu: a) \(-14\); b) \(-5\); c) \(5\); d) \(14\).

Metoda: Înmulțirea numerelor întregi

1. 1

   Înmulțim numerele fără semn

   2 \cdot 7 = 14

   Produsul a două numere întregi are ca valoare absolută produsul valorilor absolute. De aceea calculăm întâi \(2 \cdot 7\), adică înmulțim numerele ca și cum ar fi naturale.

2. 2

   Stabilim semnul produsului

   (-2) \cdot 7 = -14

   Regula semnelor: plus ori plus dă plus, minus ori minus dă plus, iar minus ori plus (sau plus ori minus) dă minus. Aici avem un număr negativ și unul pozitiv, deci rezultatul este negativ: \(-14\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   (-2) \cdot 7 = -14

   Rezultatul este \(-14\), deci varianta corectă este a). Varianta d) \(14\) ar fi corectă doar dacă ambele numere ar avea același semn. Varianta b) \(-5\) vine din adunarea \(-2+7\)... de fapt din \(-2-7\) sau confuzie cu operația, iar c) \(5\) este chiar \(7-2\), adică o scădere, nu un produs.

Răspuns: Varianta corectă este a) \(-14\), deoarece \((-2) \cdot 7 = -14\).

Scris sub formă de fracție ordinară, numărul \(2,3\) este egal cu: a) \(\frac{23}{9}\); b) \(\frac{23}{10}\); c) \(\frac{2}{3}\); d) \(\frac{23}{100}\).

Metoda: Fracție zecimală în fracție ordinară

1. 1

   Observăm câte zecimale are numărul

   2{,}3 \;\to\; \text{o zecimală}

   Numărul \(2,3\) are o singură cifră după virgulă (cifra 3, adică zecimi). Numărul de zecimale ne spune ce putere a lui 10 punem la numitor: o zecimală înseamnă numitor 10, două zecimale înseamnă 100 etc.

2. 2

   Scriem numărul fără virgulă la numărător și 10 la numitor

   2{,}3=\frac{23}{10}

   Eliminăm virgula și obținem numărătorul 23. Numitorul este 10, pentru că avem o zecimală. Practic, 2,3 înseamnă 2 întregi și 3 zecimi, adică \(\frac{20}{10}+\frac{3}{10}=\frac{23}{10}\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   \frac{23}{10}\;\Rightarrow\; \text{varianta b)}

   Varianta b) este \(\frac{23}{10}\), exact ce am obținut. Celelalte nu merg: \(\frac{23}{100}=0,23\) (două zecimale), \(\frac{23}{9}\) are numitorul 9, care nu este putere a lui 10 (ar fi aproximativ 2,55), iar \(\frac{2}{3}\) este mai mic decât 1, deci nu poate fi egal cu 2,3.

Răspuns: Varianta b) \(\frac{23}{10}\)

În tabelul de mai jos sunt prezentate informații referitoare la rezultatele obținute de elevii unei clase la un test de matematică. Nota: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; Număr de elevi: 2, 1, 3, 8, 6, 4, 1. Conform informațiilor din tabel, numărul de elevi care au obținut note mai mari sau egale cu 8, la acest test, este egal cu: a) 5 b) 6 c) 11 d) 14

Metoda: Citirea datelor dintr-un tabel

1. 1

   Alegem notele care ne interesează

   \text{note} \geq 8 \Rightarrow 8,\ 9,\ 10

   Enunțul cere note „mai mari sau egale cu 8”. Asta înseamnă nota 8 (egal) și notele mai mari decât 8, adică 9 și 10. Notele 4, 5, 6 și 7 sunt mai mici decât 8, deci nu le luăm în calcul.

2. 2

   Citim numărul de elevi pentru fiecare notă

   8 \to 6,\quad 9 \to 4,\quad 10 \to 1

   Sub fiecare notă, tabelul ne arată câți elevi au luat-o: 6 elevi au luat 8, 4 elevi au luat 9 și 1 elev a luat 10.

3. 3

   Adunăm numerele de elevi

   6+4+1=11

   Fiecare elev are o singură notă, deci nu se numără de două ori. Putem aduna direct elevii din cele trei coloane: 6 + 4 + 1 = 11 elevi.

4. 4

   Alegem varianta corectă și verificăm celelalte

   \text{Răspuns: c) } 11

   Rezultatul 11 corespunde variantei c). Varianta a) 5 ar fi 4 + 1, adică doar notele 9 și 10, uitând nota 8. Varianta b) 6 ar fi doar elevii cu nota 8. Varianta d) 14 ar fi 8 + 6, adică notele 7 și 8 adunate, dar nota 7 nu e cerută.

Răspuns: 11 elevi, varianta c).

Se consideră numerele reale \(a = 2\sqrt{3}\) și \(b = 3\sqrt{2}\). Radu afirmă că: „Numărul \(a\) este mai mic decât numărul \(b\).” Afirmația lui Radu este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Introducerea factorilor sub radical

1. 1

   Introducem factorii sub radical

   2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot 3}=\sqrt{12},\quad 3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}

   Un număr pozitiv din fața radicalului intră sub radical ridicat la pătrat: \(k\sqrt{m}=\sqrt{k^2\cdot m}\). Facem asta ca ambele numere să fie scrise ca radical dintr-un număr, iar atunci le putem compara direct.

2. 2

   Comparăm numerele de sub radical

   12<18\ \Rightarrow\ \sqrt{12}<\sqrt{18}

   Dacă două numere pozitive au aceeași formă de radical, este mai mic cel cu numărul mai mic sub radical. Cum \(12<18\), obținem \(\sqrt{12}<\sqrt{18}\), adică \(a<b\).

3. 3

   Concluzia

   a<b\ \Rightarrow\ \text{afirmația este adevărată}

   Radu spune că \(a<b\) și am arătat că așa este. Deci varianta corectă este a) adevărată. Varianta b) nu merge, pentru că ar însemna \(a\ge b\), iar noi am obținut \(a<b\).

Răspuns: a) adevărată

În figura alăturată sunt reprezentate punctele \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) și \(E\). Simetricul punctului \(B\) față de punctul \(E\) este punctul: a) \(A\); b) \(B\); c) \(C\); d) \(D\). (Din figură: punctele \(A\), \(E\), \(C\) sunt pe aceeași linie orizontală, iar \(D\), \(E\), \(B\) sunt pe aceeași linie verticală; \(D\) este deasupra lui \(E\), \(B\) este dedesubt, la distanțe egale.)

Metoda: Simetricul unui punct față de un punct

1. 1

   Ce înseamnă simetricul față de un punct

   E \text{ este mijlocul segmentului } BB'

   Punctul \(B'\) este simetricul lui \(B\) față de \(E\) dacă \(E\) este mijlocul segmentului \(BB'\). Deci \(B\), \(E\), \(B'\) sunt pe aceeași dreaptă, iar \(EB = EB'\).

2. 2

   Citim din figură direcția și distanța

   B \to E: \text{ în sus}, \quad BE = DE

   Din figură, \(B\) este exact sub \(E\), pe aceeași verticală cu \(D\) și \(E\). De la \(B\) la \(E\) mergem în sus, iar distanța \(BE\) este egală cu distanța \(ED\) (pe caroiaj sunt același număr de pătrățele).

3. 3

   Concluzia

   E \text{ este mijlocul lui } BD \Rightarrow B' = D

   Cum \(D\) este pe dreapta \(BE\), de cealaltă parte a lui \(E\) față de \(B\), și \(ED = EB\), punctul \(E\) este mijlocul segmentului \(BD\). Deci simetricul lui \(B\) față de \(E\) este \(D\), adică varianta d). Celelalte nu merg: \(A\) și \(C\) sunt pe orizontală, nu pe dreapta \(BE\); \(B\) este chiar punctul inițial, nu simetricul lui.

Răspuns: d) \(D\)

În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele \(AB\) și \(CD\), cu punctele \(A\) și \(D\) de aceeași parte a dreptei \(BC\). Măsura unghiului \(BCD\) este egală cu \(45^\circ\). Măsura unghiului \(ABC\) este egală cu: a) \(45^\circ\) b) \(75^\circ\) c) \(135^\circ\) d) \(145^\circ\)

Metoda: Unghiuri între paralele și secantă

1. 1

   Recunoaștem tipul de unghiuri

   \angle ABC \text{ și } \angle BCD \text{ sunt interioare de aceeași parte a secantei } BC

   Dreptele \(AB\) și \(CD\) sunt paralele, iar \(BC\) este secanta lor. Punctele \(A\) și \(D\) sunt de aceeași parte a dreptei \(BC\), deci unghiurile \(ABC\) și \(BCD\) sunt amândouă între paralele și de aceeași parte a secantei. Se numesc unghiuri interioare de aceeași parte.

2. 2

   Calculăm măsura unghiului ABC

   \angle ABC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ

   Fiind suplementare, suma lor este \(180^\circ\). Deci \(\angle ABC = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). Varianta corectă este c). Varianta a) ar fi corectă doar dacă unghiurile ar fi egale (alterne interne), dar aici sunt de aceeași parte. Variantele b) și d) nu rezultă din nicio proprietate.

Răspuns: c) \(135^\circ\)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral \(ABC\), cu lungimea laturii de \(12\,\text{cm}\). Punctul \(M\) se află în interiorul triunghiului \(ABC\), la distanțe egale de laturile triunghiului. Distanța de la punctul \(M\) la dreapta \(BC\) este egală cu: a) \(4\sqrt{3}\) cm; b) \(6\) cm; c) \(4\) cm; d) \(2\sqrt{3}\) cm.

Metoda: Centrul triunghiului echilateral

1. 1

   Ce fel de punct este M?

   M \in \text{bisectoare} \Rightarrow M = \text{centrul cercului înscris}

   Punctele din interiorul unui unghi care sunt la distanțe egale de laturile lui se găsesc pe bisectoarea unghiului. Cum M este la distanțe egale de toate cele trei laturi, el se află pe toate bisectoarele, deci este centrul cercului înscris. Distanța de la M la BC este raza \(r\) a cercului înscris. În triunghiul echilateral, bisectoarea, mediana și înălțimea coincid, deci M este și centrul de greutate: se află la o treime de bază pe înălțime.

2. 2

   Calculăm înălțimea triunghiului

   h=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}

   Fie D mijlocul lui BC. În triunghiul echilateral, AD este înălțime, deci triunghiul ADB este dreptunghic în D, cu \(BD=6\) și \(AB=12\). Din teorema lui Pitagora: \(AD^2=12^2-6^2=144-36=108\), deci \(AD=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) cm.

3. 3

   Distanța de la M la BC

   MD=\frac{AD}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}

   Centrul cercului înscris este centrul de greutate, deci se află la o treime din înălțime față de bază. Distanța de la M la BC este MD, adică \(\frac{1}{3}\) din \(AD=6\sqrt{3}\). Obținem \(MD=2\sqrt{3}\) cm. Deci varianta corectă este d). Varianta a) ar fi \(\frac{2}{3}\) din înălțime (distanța AM), nu cea de la M la BC; b) 6 cm este jumătate din latură; c) 4 cm nu rezultă din calcul.

Răspuns: Varianta d) \(2\sqrt{3}\) cm

În figura alăturată este reprezentat trapezul \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(CD = 20\) cm și \(AB = 4 \cdot CD\). Lungimea liniei mijlocii a acestui trapez este egală cu: a) 30 cm; b) 50 cm; c) 80 cm; d) 100 cm. (Date din figură: baza mică \(CD\) este sus, baza mare \(AB\) este jos.)

Metoda: Linia mijlocie în trapez

1. 1

   Aflăm lungimea bazei mari AB

   AB = 4 \cdot CD = 4 \cdot 20 = 80

   Enunțul spune că \(AB\) este de 4 ori mai mare decât \(CD\). Deoarece \(CD = 20\) cm, înmulțim 4 cu 20 ca să aflăm \(AB\). Avem nevoie de lungimile ambelor baze pentru linia mijlocie.

2. 2

   Folosim formula liniei mijlocii

   l = \frac{AB + CD}{2} = \frac{80 + 20}{2} = \frac{100}{2} = 50

   Linia mijlocie a unui trapez unește mijloacele laturilor neparalele și are lungimea egală cu jumătate din suma bazelor. Adunăm bazele \(80 + 20 = 100\) și împărțim la 2.

3. 3

   Alegem varianta corectă

   l = 50 \text{ cm}

   Rezultatul 50 cm corespunde variantei b). Varianta a) 30 nu rezultă din nicio operație corectă. Varianta c) 80 este doar baza mare. Varianta d) 100 este suma bazelor, la care am uitat să împărțim la 2.

Răspuns: Varianta b) 50 cm

În figura alăturată, punctele \(A\) și \(B\) aparțin cercului de centru \(O\). Măsura arcului mic \(AB\) este egală cu \(46^\circ\). Măsura unghiului \(BAO\) este egală cu: a) \(23^\circ\) b) \(46^\circ\) c) \(67^\circ\) d) \(134^\circ\)

Metoda: Triunghi isoscel și unghi la centru

1. 1

   Aflăm măsura unghiului la centru

   \angle AOB = \widehat{AB} = 46^\circ

   Unghiul \(AOB\) are vârful în centrul cercului, deci este unghi la centru. Măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului pe care îl cuprinde. Arcul mic \(AB\) are \(46^\circ\), deci \(\angle AOB = 46^\circ\).

2. 2

   Observăm că triunghiul AOB este isoscel

   OA = OB = r \Rightarrow \angle BAO = \angle ABO

   \(OA\) și \(OB\) sunt raze ale aceluiași cerc, deci sunt egale. Într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt congruente, deci \(\angle BAO = \angle ABO\).

3. 3

   Folosim suma unghiurilor triunghiului

   \angle BAO = \frac{180^\circ - 46^\circ}{2} = \frac{134^\circ}{2} = 67^\circ

   Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\). Cele două unghiuri egale însumează \(180^\circ - 46^\circ = 134^\circ\), deci fiecare are \(134^\circ : 2 = 67^\circ\). Așadar \(\angle BAO = 67^\circ\).

4. 4

   Verificare și alegerea variantei

   46^\circ + 67^\circ + 67^\circ = 180^\circ

   Suma unghiurilor este \(180^\circ\), deci rezultatul este corect. Varianta c) este corectă. Varianta a) ar fi jumătatea arcului, ceea ce ar fi unghi înscris, dar aici unghiul \(BAO\) nu este înscris pe arcul \(AB\). Varianta b) ar însemna că triunghiul are \(46+46+46 \ne 180\). Varianta d) este \(180-46\), adică suma celor două unghiuri, nu unul singur.

Răspuns: Varianta c) \(67^\circ\)

Subiectul al II-lea, itemul 6. În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat \(ABCD\) cu \(AB = 6\) cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor acestui tetraedru este egală cu: a) 18 cm; b) 24 cm; c) 30 cm; d) 36 cm.

Metoda: Numărarea muchiilor tetraedrului

1. 1

   Câte muchii are tetraedrul?

   4 \text{ vârfuri } A,B,C,D

   Tetraedrul \(ABCD\) are 4 fețe triunghiulare. Baza \(BCD\) are 3 muchii: \(BC, CD, BD\). Din vârful \(A\) pleacă alte 3 muchii: \(AB, AC, AD\). În total \(3+3=6\) muchii. Se vede și în figură: 3 muchii la bază și 3 care urcă spre vârf.

2. 2

   Cât măsoară fiecare muchie?

   AB=AC=AD=BC=BD=CD=6\text{ cm}

   Tetraedrul este regulat, deci toate fețele sunt triunghiuri echilaterale și toate muchiile sunt egale. Cum \(AB = 6\) cm, fiecare muchie are 6 cm.

3. 3

   Calculăm suma lungimilor muchiilor

   6\cdot 6=36\text{ cm}

   Avem 6 muchii, fiecare de 6 cm. Adunăm lungimile lor, adică înmulțim numărul de muchii cu lungimea unei muchii: \(6\cdot 6 = 36\) cm.

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \text{d) } 36\text{ cm}

   Suma este 36 cm, deci varianta d) este corectă. Varianta a) 18 cm ar rezulta dacă am număra doar 3 muchii. Varianta b) 24 cm ar rezulta din 4 muchii (\(4\cdot 6\)). Varianta c) 30 cm ar rezulta din 5 muchii. Tetraedrul are 6 muchii, deci doar 36 cm este corect.

Răspuns: Varianta d) 36 cm

La ora de geometrie, fiecare dintre cei 25 de elevi ai unei clase a desenat pe caiet fie un triunghi, fie un patrulater. a) Este posibil ca exact 7 elevi să fi desenat câte un triunghi și numărul total de laturi desenate de cei 25 de elevi să fie egal cu 90? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul de elevi care au desenat câte un patrulater, știind că numărul total de laturi ale figurilor geometrice desenate de elevii clasei este egal cu 91.

Metoda: Calcul cu numărul de laturi

1. 1

   a) Laturile triunghiurilor

   7\cdot 3=21

   Dacă 7 elevi au desenat triunghiuri, fiecare triunghi are 3 laturi. Înmulțim numărul de elevi cu 3 ca să aflăm câte laturi au desenat în total.

2. 2

   a) Laturile patrulaterelor și concluzia

   (25-7)\cdot 4=72,\quad 72+21=93\neq 90

   Ceilalți elevi sunt 25 − 7 = 18 și au desenat patrulatere, fiecare cu 4 laturi. Adunăm laturile triunghiurilor și ale patrulaterelor: obținem 93. Cum 93 nu este egal cu 90, situația nu este posibilă.

3. 3

   b) Scriem datele ca ecuații

   a+b=25,\quad 3a+4b=91

   Notăm cu a numărul elevilor care au desenat triunghiuri și cu b numărul celor care au desenat patrulatere. Toți elevii sunt 25, deci a + b = 25. Numărul de laturi este 3a + 4b = 91.

4. 4

   b) Aflăm numărul de patrulatere

   3a+3b=75 \Rightarrow 3a+4b-(3a+3b)=91-75 \Rightarrow b=16

   Înmulțim prima egalitate cu 3: 3a + 3b = 75. Scădem această egalitate din 3a + 4b = 91. Termenii 3a dispar și rămâne b = 91 − 75 = 16. Deci 16 elevi au desenat patrulatere.

5. 5

   Verificare

   a=9,\; b=16,\; 3\cdot 9+4\cdot 16=91

   Din a + b = 25 și b = 16 obținem a = 9. Verificăm: 27 + 64 = 91, deci rezultatul este corect.

Răspuns: a) Nu este posibil, deoarece s-ar obține 93 de laturi, nu 90. b) 16 elevi au desenat câte un patrulater.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}\right):\frac{2x+1}{x^2+3x+2}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq 0\), \(x\neq -1\), \(x\neq -2\) și \(x\neq -\frac{1}{2}\). (2p) a) Arată că \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\), pentru orice număr real \(x\). (3p) b) Dacă \(n\) este număr natural par, nenul, arată că numărul \(N=\frac{1}{E(n)}\) este natural.

Metoda: Calcul algebric, fracții algebrice

1. 1

   Punctul a): înmulțim parantezele

   (x+1)(x+2)=x^2+2x+x+2

   Pentru a arăta o egalitate, calculăm partea stângă și vedem dacă ajungem la partea dreaptă. Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua: \(x\cdot x\), \(x\cdot 2\), \(1\cdot x\), \(1\cdot 2\).

2. 2

   Punctul a): reducem termenii asemenea

   x^2+2x+x+2=x^2+3x+2

   Termenii \(2x\) și \(x\) sunt asemenea (conțin același \(x\)), deci îi adunăm: \(2x+x=3x\). Am obținut exact partea dreaptă, deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real \(x\).

3. 3

   Punctul b): aducem paranteza la numitor comun

   \frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}=\frac{(x+1)(x+2)+2x(x+2)-3x(x+1)}{x(x+1)(x+2)}

   Numitorul comun este \(x(x+1)(x+2)\). Amplificăm: prima fracție cu \((x+1)(x+2)\), a doua cu \(x(x+2)\), a treia cu \(x(x+1)\). La numărător: \(x^2+3x+2+2x^2+4x-3x^2-3x\). Reducem termenii asemenea: \(x^2+2x^2-3x^2=0\), iar \(3x+4x-3x=4x\), deci numărătorul este \(4x+2=2(2x+1)\).

4. 4

   Punctul b): împărțim și simplificăm

   E(x)=\frac{2(2x+1)}{x(x+1)(x+2)}\cdot\frac{(x+1)(x+2)}{2x+1}=\frac{2}{x}

   Din punctul a) știm că \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\), deci a doua fracție are numitorul \((x+1)(x+2)\). Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Apoi simplificăm \((2x+1)\) și \((x+1)(x+2)\), care sunt nenule conform condițiilor din enunț. Rămâne \(E(x)=\frac{2}{x}\).

5. 5

   Punctul b): arătăm că N este natural

   N=\frac{1}{E(n)}=\frac{1}{\frac{2}{n}}=\frac{n}{2}

   Inversul lui \(\frac{2}{n}\) este \(\frac{n}{2}\). Cum \(n\) este număr natural par, el se împarte exact la 2, deci \(\frac{n}{2}\) este număr natural. Observație: \(n\) par și nenul respectă condițiile \(x\neq 0\), \(-1\), \(-2\), \(-\frac12\).

Răspuns: a) \((x+1)(x+2)=x^2+3x+2\). b) \(E(x)=\frac{2}{x}\), deci \(N=\frac{n}{2}\), care este număr natural pentru \(n\) par, nenul.

Se consideră funcția \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\frac{x}{3}-1 \). a) Arată că \( f(3)+f(9)=2 \). b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \( f \) intersectează axele \( Ox \) și \( Oy \) ale sistemului de axe ortogonale \( xOy \) în punctele \( M \), respectiv \( N \). Calculează distanța de la punctul \( O \) la reprezentarea geometrică a graficului funcției \( f \).

Metoda: Funcții liniare și Pitagora

1. 1

   a) Calculăm f(3)

   f(3)=\frac{3}{3}-1=0

   Pentru a afla f(3), înlocuim peste tot x cu 3 în formula funcției. Împărțim 3 la 3 și scădem 1.

2. 2

   a) Calculăm f(9) și suma

   f(9)=\frac{9}{3}-1=2,\quad f(3)+f(9)=0+2=2

   Procedăm la fel pentru x=9, apoi adunăm cele două valori. Obținem exact 2, deci egalitatea cerută este adevărată.

3. 3

   b) Găsim punctele M și N

   f(x)=0\Rightarrow \frac{x}{3}=1\Rightarrow x=3,\ M(3,0);\quad f(0)=-1,\ N(0,-1)

   Punctul M se află pe axa Ox, deci are ordonata 0: rezolvăm f(x)=0 și obținem x=3. Punctul N se află pe axa Oy, deci are abscisa 0: calculăm f(0)=-1.

4. 4

   b) Aflăm lungimea MN

   OM=3,\ ON=1,\ MN=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}

   Axele sunt perpendiculare, deci triunghiul MON este dreptunghic în O, cu catetele OM=3 și ON=1. Ipotenuza MN se află cu teorema lui Pitagora.

5. 5

   b) Distanța de la O la grafic

   OP\perp MN\Rightarrow OP=\frac{OM\cdot ON}{MN}=\frac{3\cdot 1}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}

   Distanța de la O la dreapta MN este lungimea perpendicularei OP, unde P este pe MN. Aria triunghiului MON se poate scrie în două moduri: (OM·ON)/2 și (MN·OP)/2. Egalând, obținem OP=OM·ON/MN. Apoi raționalizăm numitorul.

Răspuns: a) f(3)+f(9)=0+2=2. b) Distanța de la O la grafic este \( \frac{3\sqrt{10}}{10} \) (adică \( \frac{3}{\sqrt{10}} \)) unități.

În figura alăturată sunt reprezentate triunghiurile echilaterale \(ABC\) și \(CDE\), cu \(AB = 8\) cm, \(CD = 4\) cm, iar punctele \(B\), \(C\) și \(D\) sunt coliniare, în această ordine. Punctele \(M\) și \(N\) sunt mijloacele segmentelor \(AB\), respectiv \(DE\). a) Arată că \(CM = 2 \cdot CN\). b) Aria triunghiului \(MCN\) reprezintă \(p\%\) din aria triunghiului \(ACD\). Determină valoarea lui \(p\).

Metoda: Înălțimi, asemănare, raportul ariilor

1. 1

   a) CM este înălțime în triunghiul ABC

   CM = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}

   În triunghiul echilateral ABC, M este mijlocul laturii AB, deci CM este mediană. Într-un triunghi echilateral mediana este și înălțime. Înălțimea unui triunghi echilateral cu latura \(l\) este \(\frac{l\sqrt{3}}{2}\). Cu \(l = 8\) obținem \(CM = 4\sqrt{3}\) cm.

2. 2

   a) CN este înălțime în triunghiul CDE; concluzia

   CN = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}, \quad CM = 4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot CN

   În triunghiul echilateral CDE, N este mijlocul laturii DE, deci CN este înălțime. Latura este \(CD = 4\) cm, deci \(CN = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\) cm. Comparând cu \(CM = 4\sqrt{3}\), vedem că \(CM = 2 \cdot CN\).

3. 3

   b) Unghiul MCN are 120°

   \angle BCM = \angle DCN = 30^\circ \Rightarrow \angle MCN = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ

   În triunghiul echilateral, înălțimea CM este și bisectoare, deci \(\angle BCM = 60^\circ : 2 = 30^\circ\). La fel, \(\angle DCN = 30^\circ\). Punctele B, C, D sunt coliniare, deci unghiul alungit BCD are 180°, iar \(\angle MCN = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\). Și \(\angle ACD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\), deci \(\angle MCN = \angle ACD\).

4. 4

   b) Triunghiurile MCN și ACD sunt asemenea

   \frac{CM}{AC} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{CN}{CD} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}

   Avem \(\angle MCN = \angle ACD\) și laturile care formează aceste unghiuri sunt proporționale: \(\frac{CM}{AC} = \frac{CN}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), cu \(AC = 8\) și \(CD = 4\). Conform criteriului LUL de asemănare, \(\triangle MCN \sim \triangle ACD\), cu raportul de asemănare \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

5. 5

   b) Raportul ariilor și valoarea lui p

   \frac{\mathcal{A}_{MCN}}{\mathcal{A}_{ACD}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75\% \Rightarrow p = 75

   Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare: \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}\). Dar \(\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75\%\), deci \(p = 75\).

Răspuns: a) \(CM = 4\sqrt{3}\) cm și \(CN = 2\sqrt{3}\) cm, deci \(CM = 2 \cdot CN\). b) \(p = 75\).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\), cu \(AB = AC = 10\) cm și \(\angle BAC = 120^\circ\). Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\) și punctul \(S\) este simetricul punctului \(M\) față de punctul \(A\). (2p) a) Arată că \(BC = 10\sqrt{3}\) cm. (3p) b) Demonstrează că distanța de la punctul \(M\) la dreapta \(SC\) este mai mică decât 7 cm.

Metoda: Triunghi isoscel, sinus, Pitagora

1. 1

   a) Mediana AM este înălțime și bisectoare

   AM\perp BC,\quad \angle CAM=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ

   Triunghiul \(ABC\) este isoscel (\(AB=AC\)), iar \(AM\) este mediană (M e mijlocul lui BC). Într-un triunghi isoscel, mediana dusă din vârf este și înălțime și bisectoare. Deci \(AM\perp BC\) și unghiul \(\angle BAC\) este împărțit în două unghiuri egale de \(60^\circ\).

2. 2

   a) Calculăm CM cu sinusul

   \sin(\angle CAM)=\frac{CM}{AC}\Rightarrow \frac{\sqrt3}{2}=\frac{CM}{10}\Rightarrow CM=5\sqrt3

   Triunghiul \(AMC\) este dreptunghic în \(M\). Sinusul unghiului \(CAM\) este cateta opusă (CM) împărțită la ipotenuză (AC). Știm că \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), deci \(CM=10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3\) cm.

3. 3

   a) Aflăm BC

   BC=2\cdot CM=2\cdot5\sqrt3=10\sqrt3\ \text{cm}

   M este mijlocul lui \(BC\), deci \(BC\) este dublul lui \(CM\). Obținem \(BC=10\sqrt3\) cm, ceea ce trebuia arătat.

4. 4

   b) Calculăm SC cu Pitagora

   MS=2\cdot AM=2\cdot5=10,\quad SC^2=MC^2+MS^2=75+100=175\Rightarrow SC=5\sqrt7

   În triunghiul \(AMC\), \(\cos 60^\circ=\frac{AM}{10}\), deci \(AM=5\) cm (sau, cum \(\angle ACM=30^\circ\), cateta opusă lui 30° e jumătate din ipotenuză). Cum S este simetricul lui M față de A, \(MS=2\cdot AM=10\) cm. Triunghiul \(SMC\) este dreptunghic în \(M\) (deoarece \(S\in AM\), iar \(AM\perp BC\)). Din Pitagora: \(SC^2=(5\sqrt3)^2+10^2=75+100=175\), deci \(SC=\sqrt{175}=5\sqrt7\) cm.

5. 5

   b) Distanța de la M la SC

   d(M,SC)=MT=\frac{SM\cdot MC}{SC}=\frac{10\cdot5\sqrt3}{5\sqrt7}=\frac{10\sqrt{21}}{7}

   Ducem \(MT\perp SC\), cu \(T\in SC\); \(MT\) este distanța cerută. În triunghiul dreptunghic \(SMC\), înălțimea din unghiul drept este produsul catetelor împărțit la ipotenuză (aria se calculează în două moduri). Obținem \(MT=\frac{50\sqrt3}{5\sqrt7}=\frac{10\sqrt3}{\sqrt7}=\frac{10\sqrt{21}}{7}\) cm.

6. 6

   b) Comparăm cu 7

   \frac{10\sqrt{21}}{7}<7\iff10\sqrt{21}<49\iff2100<2401

   Vrem să arătăm că \(MT<7\). Înmulțim cu 7 (număr pozitiv) și obținem \(10\sqrt{21}<49\). Ridicăm la pătrat ambele părți pozitive: \(100\cdot21=2100<2401=49^2\), adevărat. Deci \(MT<7\) cm.

Răspuns: a) \(BC=10\sqrt3\) cm. b) \(d(M,SC)=\frac{10\sqrt{21}}{7}\) cm \(<7\) cm, deoarece \(2100<2401\).

În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\), cu \(AB = 2\sqrt{3}\) cm, \(BC = 2\) cm și \(AA' = 4\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\). (2p) a) Arată că volumul paralelipipedului dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\) este egal cu \(16\sqrt{3}\ \text{cm}^3\). (3p) b) Demonstrează că dreapta \(A'C\) este paralelă cu planul \((MAB')\).

Metoda: Volum și dreaptă paralelă cu plan

1. 1

   a) Volumul paralelipipedului

   \mathcal{V} = AB \cdot BC \cdot AA'

   Volumul unui paralelipiped dreptunghic este produsul celor trei dimensiuni: lungimea, lățimea și înălțimea. Aici ele sunt \(AB\), \(BC\) și \(AA'\).

2. 2

   a) Calculul volumului

   \mathcal{V} = 2\sqrt{3}\cdot 2 \cdot 4 = 16\sqrt{3}\ \text{cm}^3

   Înlocuim valorile: \(2\cdot 2\cdot 4 = 16\), iar radicalul rămâne ca factor. Obținem exact \(16\sqrt{3}\ \text{cm}^3\), cum cere enunțul.

3. 3

   b) Mijlocul diagonalei \(A'B\)

   A'B \cap AB' = \{O\},\ O \text{ mijlocul lui } A'B

   Fața \(ABB'A'\) este un dreptunghi. Într-un dreptunghi diagonalele \(A'B\) și \(AB'\) se înjumătățesc. Notăm cu \(O\) punctul lor de intersecție; el este mijlocul lui \(A'B\) și se află în planul \((MAB')\), fiindcă \(O\in AB'\).

4. 4

   b) Linia mijlocie în triunghiul \(A'BC\)

   OM \parallel A'C

   În triunghiul \(A'BC\), punctul \(O\) este mijlocul lui \(A'B\), iar \(M\) este mijlocul lui \(BC\). Deci \(OM\) este linie mijlocie și este paralelă cu a treia latură, \(A'C\).

5. 5

   b) Concluzia: dreapta este paralelă cu planul

   OM \subset (MAB'),\ A'C \parallel OM \Rightarrow A'C \parallel (MAB')

   Dreapta \(OM\) este în planul \((MAB')\), deoarece \(M\) și \(O\) (care este pe \(AB'\)) sunt în acest plan. Cum \(A'C\) este paralelă cu o dreaptă din plan, este paralelă cu planul.

Răspuns: a) \(\mathcal{V}=16\sqrt{3}\ \text{cm}^3\); b) \(A'C\parallel OM\), \(OM\subset(MAB')\), deci \(A'C\parallel(MAB')\).