Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2023, model de subiect

Rezultatul calculului \(64-56:8\) este egal cu: a) 0; b) 1; c) 56; d) 57.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ce operație se face prima

   64-56:8

   În calculele fără paranteze, înmulțirile și împărțirile se fac înaintea adunărilor și scăderilor. Aici avem o scădere și o împărțire, deci întâi facem împărțirea \(56:8\).

2. 2

   Efectuăm împărțirea

   56:8=7

   Calculăm \(56:8\). Știm din tabla înmulțirii că \(8\cdot 7=56\), deci câtul este 7.

3. 3

   Efectuăm scăderea

   64-7=57

   După ce am înlocuit \(56:8\) cu 7, rămâne scăderea \(64-7\), care dă 57.

4. 4

   Alegem varianta corectă

   64-56:8=57

   Rezultatul 57 corespunde variantei d). Varianta b) 1 ar ieși dacă am scădea întâi \(64-56=8\) și apoi am împărți la 8, dar asta încalcă ordinea operațiilor. Variantele a) și c) nu se obțin din niciun calcul corect.

Răspuns: Varianta d) 57

Știind că \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}\), atunci rezultatul calculului \(4a-3b\) este egal cu: a) 0; b) 1; c) 7; d) 12.

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor

   \frac{a}{3}=\frac{b}{4}\Rightarrow 4\cdot a=3\cdot b

   Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Aici extremii sunt \(a\) și \(4\), iar mezii sunt \(3\) și \(b\). Deci \(a\cdot 4=3\cdot b\), adică \(4a=3b\). Facem acest pas pentru că astfel apar exact termenii \(4a\) și \(3b\) din expresia cerută.

2. 2

   Calculăm expresia \(4a-3b\)

   4a-3b=3b-3b=0

   Din pasul anterior știm că \(4a\) și \(3b\) sunt egale. Atunci diferența lor este zero: \(4a-3b=0\). Răspunsul corect este varianta a) 0. Celelalte variante nu merg pentru că două numere egale au mereu diferența 0, nu 1, 7 sau 12.

3. 3

   Verificăm cu un exemplu

   a=3,\ b=4\Rightarrow 4\cdot 3-3\cdot 4=0

   Alegem valori care respectă proporția, de exemplu \(a=3\) și \(b=4\), pentru că \(\frac{3}{3}=\frac{4}{4}\). Atunci \(4a-3b=12-12=0\), la fel ca mai sus.

Răspuns: Varianta a) 0

Suma numerelor întregi din intervalul \([-2022, 2022]\) este egală cu: a) \(-2022\); b) \(-2021\); c) \(0\); d) \(2022\).

Metoda: Perechi de numere opuse

1. 1

   Ce numere întregi sunt în interval

   [-2022,2022]\cap\mathbb{Z}=\{-2022,-2021,\ldots,-1,0,1,\ldots,2021,2022\}

   Intervalul închis \([-2022, 2022]\) conține toate numerele de la \(-2022\) până la \(2022\), inclusiv capetele. Ne interesează doar cele întregi, adică numerele negative întregi, zero și numerele pozitive întregi din acest interval.

2. 2

   Grupăm numerele în perechi de opuse

   (-2022)+2022=0,\ (-2021)+2021=0,\ \ldots,\ (-1)+1=0

   Fiecare număr de la \(1\) la \(2022\) are în interval opusul său, de la \(-1\) la \(-2022\). Suma a două numere opuse este \(0\), așa că fiecare pereche dispare din calcul. Rămâne doar \(0\), care nu are pereche, dar nu schimbă suma.

3. 3

   Calculăm suma totală

   S=\underbrace{(-2022+2022)}_{0}+\underbrace{(-2021+2021)}_{0}+\ldots+\underbrace{(-1+1)}_{0}+0=0

   Toate perechile dau \(0\), iar numărul rămas este tot \(0\). Suma lor este deci \(0\), adică varianta c). Celelalte variante nu merg: \(-2022\), \(-2021\) sau \(2022\) ar însemna că a rămas un număr fără pereche, dar nu e așa; \(2022\) are perechea \(-2022\), iar \(-2021\) nu poate rămâne nici el singur.

Răspuns: Răspunsul corect este c) 0.

În tabelul de mai jos este prezentată situația notelor obținute de elevii claselor a VIII-a dintr-o școală, la un test de matematică: nota 5, 6, 7, 8, 9, 10 și numărul elevilor 6, 9, 12, 15, 12, 6. Media notelor obținute de elevii claselor a VIII-a din această școală la testul de matematică este egală cu: a) \(6{,}00\) b) \(7{,}60\) c) \(7{,}90\) d) \(8{,}60\)

Metoda: Media aritmetică ponderată

1. 1

   Aflăm câți elevi sunt în total

   6+9+12+15+12+6=60

   Media este suma tuturor notelor împărțită la numărul de elevi. De aceea avem nevoie întâi de numărul total de elevi: adunăm numerele din rândul al doilea al tabelului.

2. 2

   Aflăm suma tuturor notelor

   5\cdot 6+6\cdot 9+7\cdot 12+8\cdot 15+9\cdot 12+10\cdot 6=456

   Cei 6 elevi cu nota 5 aduc împreună \(5\cdot 6\) puncte, și tot așa pentru celelalte note. Înmulțim fiecare notă cu numărul de elevi care a luat-o, apoi adunăm produsele. Așa evităm să adunăm de 60 de ori.

3. 3

   Calculăm media

   m=\frac{456}{60}=7{,}6

   Media este suma notelor împărțită la numărul de elevi. Obținem \(456:60=7{,}6\). Deci răspunsul corect este b) \(7{,}60\). Varianta a) 6,00 este prea mică: cele mai multe note sunt de 7 și 8, deci media nu poate fi 6. Varianta c) 7,90 și d) 8,60 sunt prea mari față de rezultatul calculului.

Răspuns: Media este 7,60, deci răspunsul corect este b).

Patru elevi, Ioana, Mara, Petrică și Ștefan, au calculat produsul numerelor \(a=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|\) și \(b=|\sqrt{3}+\sqrt{2}|\), iar rezultatele sunt: Ioana: \(-1\); Mara: \(5-2\sqrt{6}\); Petrică: \(1\); Ștefan: \(5+2\sqrt{6}\). Rezultatul corect a fost obținut de: a) Ioana; b) Mara; c) Petrică; d) Ștefan.

Metoda: Modul și formula (a-b)(a+b)

1. 1

   Scăpăm de modulul lui a

   \sqrt{2}<\sqrt{3}\Rightarrow a=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}

   Modulul unui număr negativ este opusul lui. Deoarece \(2<3\), avem \(\sqrt{2}<\sqrt{3}\), deci diferența \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) este negativă. Modulul ei este opusul: \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\).

2. 2

   Scăpăm de modulul lui b

   b=|\sqrt{3}+\sqrt{2}|=\sqrt{3}+\sqrt{2}

   Suma a două numere pozitive este pozitivă, deci modulul nu schimbă nimic.

3. 3

   Calculăm produsul

   a\cdot b=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1

   Produsul are forma \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\), cu \(x=\sqrt{3}\) și \(y=\sqrt{2}\). Pătratul unei radicali dă numărul de sub radical: \((\sqrt{3})^2=3\) și \((\sqrt{2})^2=2\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   a\cdot b=1

   Produsul este 1, deci răspunsul corect este Petrică (c). Ioana a greșit pentru că produsul a două numere pozitive nu poate fi negativ (\(-1\)). Mara și Ștefan au calculat ca la \((\sqrt{3}\mp\sqrt{2})^2\), adică au ridicat la pătrat, dar noi avem produs între diferență și sumă, unde termenul \(2\sqrt{6}\) dispare.

Răspuns: c) Petrică (produsul este 1)

O mașină se deplasează în intervalul orar \(12:56 - 14:26\) cu o viteză medie de \(80\,\text{km/h}\). Mihai afirmă că, în acest interval de timp, mașina a parcurs o distanță egală cu \(200\,\text{km}\). Afirmația lui Mihai este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Distanța = viteză × timp

1. 1

   Aflăm durata deplasării

   14{:}26-12{:}56 = 1\text{ h } 30\text{ min}

   Durata se află scăzând ora de start din ora de sosire. De la 12:56 la 13:56 e o oră, apoi de la 13:56 la 14:26 sunt încă 30 de minute. Deci mașina a mers \(1\) oră și \(30\) de minute.

2. 2

   Transformăm timpul în ore

   1\text{ h } 30\text{ min}=1{,}5\text{ h}

   Viteza este dată în km pe oră, deci timpul trebuie scris în ore. 30 de minute reprezintă jumătate de oră, adică \(0{,}5\) h. Rezultă \(1{,}5\) ore.

3. 3

   Calculăm distanța parcursă

   d = v \cdot t = 80 \cdot 1{,}5 = 120\text{ km}

   La viteză constantă, distanța este viteza înmulțită cu timpul. Într-o oră mașina face 80 km, iar în jumătate de oră încă 40 km. Împreună fac \(120\) km.

4. 4

   Comparăm cu afirmația lui Mihai

   120\text{ km}\neq 200\text{ km}

   Mașina a parcurs 120 km, nu 200 km. Afirmația lui Mihai nu este corectă, deci este falsă. Varianta a) nu merge, pentru că ar însemna că distanța este 200 km. Varianta corectă este b).

Răspuns: b) falsă (mașina a parcurs 120 km, nu 200 km)

Subiectul al II-lea, itemul 1. În figura alăturată punctele \(A\), \(B\) și \(C\) sunt coliniare, în această ordine, astfel încât \(AB = 7\text{ cm}\) și \(BC = 9\text{ cm}\). Știind că punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\), iar punctul \(N\) este mijlocul segmentului \(BC\), lungimea segmentului \(MN\) este egală cu: a) 8 cm; b) 11,5 cm; c) 12,5 cm; d) 16 cm. (În figură, punctele sunt așezate în ordinea A, M, B, N, C pe aceeași dreaptă.)

Metoda: Mijlocul unui segment

1. 1

   Aflăm lungimea lui MB

   MB = \frac{AB}{2} = \frac{7}{2} = 3{,}5\text{ cm}

   Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\), deci îl împarte în două segmente congruente: \(AM = MB\). Prin urmare, \(MB\) este jumătate din \(AB\), adică \(7 : 2 = 3{,}5\) cm.

2. 2

   Aflăm lungimea lui BN

   BN = \frac{BC}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5\text{ cm}

   Punctul \(N\) este mijlocul segmentului \(BC\), deci \(BN = NC\), iar \(BN\) este jumătate din \(BC\): \(9 : 2 = 4{,}5\) cm.

3. 3

   Calculăm MN

   MN = MB + BN = 3{,}5 + 4{,}5 = 8\text{ cm}

   Punctul \(B\) se află între \(M\) și \(N\), deci lungimea \(MN\) este suma lungimilor \(MB\) și \(BN\). Obținem \(3{,}5 + 4{,}5 = 8\) cm, adică varianta a). Varianta 11,5 ar apărea dacă am aduna greșit 7 + 4,5, iar 16 este \(AB + BC\), adică lungimea întregului segment \(AC\), nu a lui \(MN\).

4. 4

   Verificăm cu altă metodă

   MN = \frac{AB + BC}{2} = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}

   Putem vedea că \(MN\) este jumătate din \(AB\) plus jumătate din \(BC\), adică jumătate din \(AC = 7 + 9 = 16\) cm. Jumătate din 16 este 8, același rezultat.

Răspuns: Varianta a) 8 cm

Subiectul al II-lea, itemul 2. În figură sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf \(AOC\) și \(BOD\) (dreptele \(AD\) și \(BC\) se taie în punctul \(O\)). Măsura unghiului \(AOB\) este egală cu \(120^\circ\). Măsura unghiului \(BOD\) este egală cu: a) \(30^\circ\); b) \(60^\circ\); c) \(90^\circ\); d) \(120^\circ\).

Metoda: Unghiuri suplementare, unghiuri opuse la vârf

1. 1

   Observăm ce știm din figură

   \angle AOB = 120^\circ

   Punctele \(A, O, D\) sunt coliniare, iar punctele \(B, O, C\) sunt coliniare, deoarece dreptele \(AD\) și \(BC\) se intersectează în \(O\). Unghiul \(AOB\) este dat, iar noi trebuie să aflăm \(\angle BOD\). Vedem că unghiurile \(AOB\) și \(BOD\) sunt unul lângă altul (au latura comună \(OB\)), iar celelalte două laturi ale lor, \(OA\) și \(OD\), formează o dreaptă.

2. 2

   Folosim unghiurile suplementare

   \angle AOB + \angle BOD = 180^\circ

   Deoarece \(A, O, D\) sunt coliniare, unghiul \(AOD\) este alungit, adică are \(180^\circ\). El este format din unghiurile adiacente \(AOB\) și \(BOD\). Deci cele două unghiuri sunt suplementare: suma lor este \(180^\circ\).

3. 3

   Calculăm măsura unghiului BOD

   \angle BOD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

   Din relația de la pasul anterior scădem \(120^\circ\) din \(180^\circ\). Obținem \(\angle BOD = 60^\circ\). Prin urmare, varianta corectă este b).

4. 4

   Verificare cu unghiurile opuse la vârf

   \angle AOC = \angle BOD = 60^\circ,\quad \angle AOB = \angle COD = 120^\circ

   Unghiurile \(AOB\) și \(COD\) sunt opuse la vârf, deci sunt congruente, la fel \(AOC\) și \(BOD\). Suma celor patru unghiuri din jurul lui \(O\) trebuie să fie \(360^\circ\): \(120+60+120+60=360\). Se potrivește! Celelalte variante nu merg: \(30^\circ\) și \(90^\circ\) nu dau suma \(180^\circ\) cu \(120^\circ\), iar \(120^\circ\) ar fi unghiul \(AOB\), nu \(BOD\) (în figură \(BOD\) este unghi ascuțit).

Răspuns: Măsura unghiului \(BOD\) este \(60^\circ\), deci varianta corectă este b).

Subiectul al II-lea, itemul 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(BC = 6\) cm și măsura unghiului \(B\) egală cu \(60^\circ\). Lungimea segmentului \(AB\) este egală cu: a) \(2\sqrt{3}\) cm; b) \(3\) cm; c) \(3\sqrt{2}\) cm; d) \(3\sqrt{3}\) cm. (Din figură: unghiul drept este în \(A\), ipotenuza este \(BC = 6\) cm, iar \(AB\) este una dintre catete.)

Metoda: Cateta opusă unghiului de 30°

1. 1

   Aflăm măsura unghiului C

   \angle C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ

   Într-un triunghi suma unghiurilor este \(180^\circ\). Unghiul \(A\) are \(90^\circ\), iar unghiul \(B\) are \(60^\circ\), deci unghiurile \(B\) și \(C\) însumează \(90^\circ\). Prin urmare \(\angle C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Ne trebuie unghiul de \(30^\circ\) ca să folosim proprietatea catetei opuse lui.

2. 2

   Identificăm cateta opusă unghiului de 30°

   AB \text{ este opusă unghiului } C = 30^\circ

   Cateta \(AB\) se află în fața vârfului \(C\), deci este opusă unghiului \(C\) de \(30^\circ\). Din teorema catetei opuse unghiului de \(30^\circ\), această catetă este jumătate din ipotenuză, adică \(AB = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\) cm.

3. 3

   Concluzia și verificarea

   AB = \frac{BC}{2} = 3 \text{ cm}

   Deci \(AB = 3\) cm, varianta b). Verificăm cu Pitagora: \(AC = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\), valoare care apare printre variante, dar ea este lungimea lui \(AC\), nu a lui \(AB\) (varianta d este deci o capcană). Celelalte variante nu respectă proprietatea: \(2\sqrt{3}\approx 3{,}46\) și \(3\sqrt{2}\approx 4{,}24\) nu sunt jumătate din 6.

Răspuns: Lungimea lui AB este 3 cm, deci varianta corectă este b).

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul \(ABCD\), cu \(AD = BD\) și cu măsura unghiului \(DAB\) egală cu \(45^\circ\). Măsura unghiului \(CBD\) este egală cu: a) \(135^\circ\); b) \(90^\circ\); c) \(60^\circ\); d) \(45^\circ\).

Metoda: Unghiuri în triunghi isoscel și paralelism

1. 1

   Triunghiul ABD este isoscel

   AD = BD \Rightarrow \angle DAB = \angle DBA = 45^\circ

   Din \(AD = BD\) rezultă că triunghiul \(ABD\) este isoscel cu baza \(AB\). Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente, adică \(\angle DAB = \angle DBA\). Cum \(\angle DAB = 45^\circ\), obținem \(\angle DBA = 45^\circ\).

2. 2

   Unghiul ADB din triunghi

   \angle ADB = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ

   Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\). Din ea scădem cele două unghiuri de \(45^\circ\) și aflăm al treilea unghi, \(\angle ADB = 90^\circ\). Deci triunghiul \(ABD\) este dreptunghic în \(D\), iar \(BD \perp AD\).

3. 3

   Folosim paralelismul laturilor

   AD \parallel BC \Rightarrow \angle CBD = \angle ADB = 90^\circ

   Într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele, deci \(AD \parallel BC\). Dreapta \(BD\) este secantă pentru ele. Unghiurile \(ADB\) și \(CBD\) sunt alterne interne, deci sunt congruente. Atunci \(\angle CBD = 90^\circ\).

4. 4

   Concluzie și verificarea variantelor

   \angle CBD = 90^\circ

   Unghiul \(CBD\) măsoară \(90^\circ\), deci varianta corectă este b). Varianta a) \(135^\circ\) este unghiul \(ABC\) al paralelogramului (\(45^\circ + 90^\circ\)), nu \(CBD\). Variantele c) și d) nu ies din calcul.

Răspuns: b) \(90^\circ\)

Subiectul al II-lea, itemul 5: În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(AMB\), cu \(AB = 8\sqrt{2}\) cm, înscris într-un cerc care are raza egală cu 8 cm. Măsura unghiului \(AMB\) este egală cu: a) \(15^\circ\); b) \(30^\circ\); c) \(45^\circ\); d) \(60^\circ\).

Metoda: Unghi înscris și triunghi dreptunghic isoscel

1. 1

   Desenăm razele și formăm triunghiul AOB

   OA = OB = 8

   Fie \(O\) centrul cercului. Unim \(O\) cu \(A\) și cu \(B\). \(OA\) și \(OB\) sunt raze, deci au lungimea 8 cm. Obținem triunghiul \(AOB\), isoscel, cu laturile \(OA=OB=8\) și baza \(AB=8\sqrt{2}\). Facem acest pas ca să aflăm unghiul la centru \(\angle AOB\), care este legat de unghiul înscris \(\angle AMB\).

2. 2

   Verificăm că triunghiul AOB este dreptunghic (reciproca teoremei lui Pitagora)

   OA^2+OB^2=8^2+8^2=128=(8\sqrt{2})^2=AB^2

   Calculăm \(OA^2+OB^2=64+64=128\). Pe de altă parte \(AB^2=(8\sqrt{2})^2=64\cdot 2=128\). Cum \(OA^2+OB^2=AB^2\), din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul \(AOB\) este dreptunghic în \(O\), deci \(\angle AOB=90^\circ\). Observăm că este și isoscel.

3. 3

   Aplicăm legătura dintre unghiul înscris și unghiul la centru

   \angle AMB=\dfrac{\angle AOB}{2}=\dfrac{90^\circ}{2}=45^\circ

   Unghiul \(AMB\) este înscris în cerc și subântinde același arc \(AB\) ca unghiul la centru \(AOB\). Un unghi înscris are măsura egală cu jumătate din măsura arcului pe care îl subântinde, adică jumătate din unghiul la centru corespunzător. Așadar \(\angle AMB=90^\circ:2=45^\circ\). Punctul \(M\) este pe arcul mare, așa cum se vede în figură, deci nu apar alte cazuri.

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \angle AMB=45^\circ

   Am obținut \(45^\circ\), deci varianta corectă este c). Variantele a) \(15^\circ\), b) \(30^\circ\) și d) \(60^\circ\) nu se potrivesc: ar cere un unghi la centru de \(30^\circ\), \(60^\circ\), respectiv \(120^\circ\), dar noi am demonstrat că unghiul la centru este \(90^\circ\).

Răspuns: Varianta corectă este c) \(45^\circ\).

Subiectul al II-lea, itemul 6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept care are secțiunea axială un triunghi echilateral cu înălțimea egală cu \(6\text{ cm}\). Generatoarea conului are lungimea egală cu: a) \(2\sqrt{3}\text{ cm}\); b) \(4\sqrt{3}\text{ cm}\); c) \(6\text{ cm}\); d) \(12\text{ cm}\). Din figură: conul are vârful C, centrul bazei O, diametrul bazei AB, iar înălțimea este CO.

Metoda: Înălțimea în triunghiul echilateral

1. 1

   Ce este secțiunea axială și ce legătură are cu generatoarea

   \triangle ABC \text{ echilateral},\ CO=6,\ CO\perp AB

   Secțiunea axială este triunghiul ABC. Fiind echilateral, are toate laturile egale: \(AB=BC=AC\). Generatoarea conului este segmentul \(CA\) (sau \(CB\)), deci este chiar latura triunghiului. Înălțimea conului \(CO=6\text{ cm}\) este înălțimea triunghiului echilateral, iar O este mijlocul lui AB.

2. 2

   Folosim teorema lui Pitagora în triunghiul COA

   CA^2=CO^2+OA^2,\quad OA=\frac{AB}{2}=\frac{CA}{2}

   Triunghiul COA este dreptunghic în O, deoarece înălțimea este perpendiculară pe baza AB. Notăm generatoarea \(CA=l\). Cum O este mijlocul lui AB și \(AB=l\), avem \(OA=\frac{l}{2}\). Teorema lui Pitagora devine: \(l^2=6^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2\).

3. 3

   Calculăm generatoarea

   l^2=36+\frac{l^2}{4}\Rightarrow \frac{3l^2}{4}=36\Rightarrow l^2=48\Rightarrow l=4\sqrt{3}

   Din \(l^2-\frac{l^2}{4}=36\) obținem \(\frac{3l^2}{4}=36\), deci \(l^2=\frac{36\cdot 4}{3}=48\). Apoi \(l=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\) cm, scoțând factorul 16 de sub radical.

4. 4

   Verificare și alegerea variantei

   l=4\sqrt{3}\ \text{cm}\Rightarrow \text{varianta b)}

   Verificăm: \(l^2=(4\sqrt{3})^2=48\), iar \(6^2+(2\sqrt{3})^2=36+12=48\). Se potrivește, deci varianta corectă este b). Celelalte nu merg: a) \(2\sqrt{3}\approx 3,46\) este mai mică decât înălțimea 6, iar generatoarea (ipotenuza) trebuie să fie mai mare decât 6; c) 6 este egal cu înălțimea, dar ipotenuza e mai mare decât o catetă; d) 12 ar da latura 12 și înălțimea \(6\sqrt{3}\neq 6\).

Răspuns: Generatoarea conului are lungimea \(4\sqrt{3}\text{ cm}\), deci varianta corectă este b).

Un excursionist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi a parcurs \(30\%\) din lungimea traseului, în a doua zi o treime din distanța parcursă în prima zi, iar în a treia zi a parcurs restul de \(72\,\text{km}\). a) Este posibil ca distanța parcursă de excursionist în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat. b) Determină lungimea traseului parcurs de excursionist în cele trei zile.

Metoda: Fracții dintr-un număr și ecuație

1. 1

   a) Cât a parcurs în a doua zi

   \frac{1}{3}\cdot\frac{30}{100}x=\frac{x}{10}

   Notăm cu x lungimea traseului. În prima zi a parcurs 30% din x, adică \(\frac{30}{100}x\). În a doua zi a parcurs o treime din distanța din prima zi, deci \(\frac{1}{3}\cdot\frac{30}{100}x\). Simplificăm cu 3 și obținem \(\frac{x}{10}\), adică o zecime din traseu.

2. 2

   a) Comparăm cu o pătrime

   \frac{x}{10}\neq\frac{x}{4}

   Pentru a doua zi am obținut \(\frac{x}{10}\) din traseu. O pătrime din traseu ar fi \(\frac{x}{4}\). Cum x este o lungime pozitivă, iar 10 ≠ 4, fracțiile \(\frac{x}{10}\) și \(\frac{x}{4}\) sunt diferite (\(\frac{1}{10}<\frac{1}{4}\)). Deci nu este posibil.

3. 3

   b) Scriem ecuația traseului

   \frac{30}{100}x+\frac{x}{10}+72=x

   Cele trei zile adunate dau tot traseul x. Prima zi este \(\frac{30}{100}x\), a doua este \(\frac{x}{10}\), iar a treia este 72 km. De aceea suma lor este egală cu x.

4. 4

   b) Rezolvăm ecuația

   4x+720=10x\Rightarrow 6x=720\Rightarrow x=120

   Înmulțim ecuația cu 10 ca să scăpăm de numitori: \(3x+x+720=10x\), adică \(4x+720=10x\). Scădem 4x din ambele părți: \(720=6x\). Împărțim la 6 și obținem x = 120 km.

5. 5

   Verificare

   36+12+72=120

   Cu x=120: prima zi 30% din 120 = 36 km, a doua zi 36:3 = 12 km, a treia zi 72 km. Suma este 120 km, deci rezultatul este corect.

Răspuns: a) Nu este posibil, deoarece în a doua zi a parcurs \(\frac{x}{10}\), iar \(\frac{x}{10}\neq\frac{x}{4}\). b) Traseul are 120 km.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}\right):\frac{x^2+4}{x^2-x-2}\), unde \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-2,-1,2\}\). (2p) a) Arată că \(E(x)=\frac{x+1}{x+2}\), pentru orice \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-2,-1,2\}\). (3p) b) Determină numerele întregi \(a\) pentru care \(E(a)\in\mathbb{Z}\).

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   Aducem fracțiile din paranteză la numitor comun

   \frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{2(x+2)+x(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}

   Cele două fracții au numitori diferiți, \(x-2\) și \(x+2\). Numitorul comun este \((x-2)(x+2)\). Amplificăm prima fracție cu \(x+2\) și a doua cu \(x-2\). La numărător: \(2x+4+x^2-2x=x^2+4\).

2. 2

   Transformăm împărțirea în înmulțire și descompunem

   E(x)=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x^2-x-2}{x^2+4}, \quad x^2-x-2=(x-2)(x+1)

   A împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei. Descompunem \(x^2-x-2=x^2-2x+x-2=x(x-2)+(x-2)=(x-2)(x+1)\), ca să putem simplifica.

3. 3

   Simplificăm și obținem E(x) (cerința a)

   E(x)=\frac{(x^2+4)(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)(x^2+4)}=\frac{x+1}{x+2}

   Simplificăm cu \(x^2+4\) și cu \(x-2\). Putem face asta pentru că \(x\neq 2\), iar \(x^2+4>0\) mereu. Rezultă \(E(x)=\frac{x+1}{x+2}\), exact ce trebuia arătat.

4. 4

   Scriem E(a) ca 1 minus o fracție (cerința b)

   E(a)=\frac{a+1}{a+2}=\frac{(a+2)-1}{a+2}=1-\frac{1}{a+2}

   Scriem \(a+1=(a+2)-1\) și separăm fracția în două. Primul termen este 1, deci \(E(a)\) este întreg exact când \(\frac{1}{a+2}\) este întreg.

5. 5

   Folosim divizorii lui 1

   a+2\in\{-1,1\}\Rightarrow a\in\{-3,-1\}

   Cum \(a\) este întreg, \(a+2\) este întreg. Fracția \(\frac{1}{a+2}\) este întreagă doar dacă \(a+2\) divide 1, adică \(a+2=-1\) sau \(a+2=1\). Rezultă \(a=-3\) sau \(a=-1\). Dar \(a=-1\) nu face parte din domeniu (\(x\neq -1\)), deci nu convine. Rămâne \(a=-3\): \(E(-3)=\frac{-2}{-1}=2\in\mathbb{Z}\).

Răspuns: a) \(E(x)=\frac{x+1}{x+2}\); b) \(a=-3\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x+2\). (2p) a) Rezolvă ecuația \(3\cdot f(x)=-4-2x\). (3p) b) Știind că \(A\) și \(B\) sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției \(f\) cu axele \(Ox\), respectiv \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\), iar punctul \(C\) este simetricul punctului \(A\) față de punctul \(B\), determină coordonatele punctului \(C\).

Metoda: Ecuație liniară și simetric față de punct

1. 1

   a) Înlocuim f(x) în ecuație

   3(x+2)=-4-2x

   Știm că \(f(x)=x+2\), deci în loc de \(f(x)\) scriem \(x+2\). Obținem \(3(x+2)=-4-2x\), adică \(3x+6=-4-2x\) după ce înmulțim 3 cu fiecare termen din paranteză.

2. 2

   a) Rezolvăm ecuația

   3x+2x=-4-6 \Rightarrow 5x=-10 \Rightarrow x=-2

   Mutăm termenii cu x în stânga și numerele în dreapta (schimbându-le semnul). Apoi împărțim la 5. Verificare: \(3(-2+2)=0\) și \(-4-2\cdot(-2)=0\). Corect.

3. 3

   b) Aflăm punctele A și B

   A(-2,0),\ B(0,2)

   Intersecția cu Ox se află când \(y=0\): \(x+2=0\), deci \(x=-2\) și \(A(-2,0)\). Intersecția cu Oy se află când \(x=0\): \(f(0)=2\), deci \(B(0,2)\).

4. 4

   b) Folosim simetria: B este mijlocul lui AC

   CT\perp Ox,\ OB\text{ linie mijlocie în }\triangle ATC \Rightarrow CT=2\cdot BO=4,\ OT=AO=2

   C este simetricul lui A față de B, deci B este mijlocul segmentului AC. Ducem \(CT\perp Ox\), \(T\in Ox\). Atunci \(OB\) este linie mijlocie în triunghiul ATC, deci \(CT=2\cdot BO=4\) și O este mijlocul lui AT, deci \(OT=AO=2\). Rezultă \(C(2,4)\). Se poate verifica cu mijlocul: \(\frac{-2+2}{2}=0\) și \(\frac{0+4}{2}=2\), adică B.

Răspuns: a) \(x=-2\); b) \(C(2,4)\)

Subiectul III, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat pătratul \(ABCD\) cu \(AB = 4\) cm și triunghiul echilateral \(ABP\) (P se află în exteriorul pătratului, de partea lui AB opusă lui D). a) Arată că măsura unghiului \(DPB\) este egală cu \(45^\circ\). b) Demonstrează că \(AM = 4(2-\sqrt{3})\) cm, unde \(\{M\} = AB \cap PD\).

Metoda: Triunghi isoscel și asemănare

1. 1

   a) Unghiul PAD și triunghiul isoscel APD

   \angle PAD = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ,\quad AD = AP

   Unghiul PAD este format din unghiul drept DAB (al pătratului) și unghiul PAB de \(60^\circ\) (al triunghiului echilateral), deci are \(150^\circ\). Mai mult, \(AD = AB\) (laturi ale pătratului) și \(AP = AB\) (laturi ale triunghiului echilateral), deci \(AD = AP\). Triunghiul APD este isoscel, cu baza DP, iar unghiurile de la bază sunt congruente: \(\angle ADP \equiv \angle APD\).

2. 2

   a) Calculăm unghiul APD și apoi DPB

   \angle APD = \frac{180^\circ-150^\circ}{2} = 15^\circ,\quad \angle DPB = 60^\circ - 15^\circ = 45^\circ

   Suma unghiurilor în triunghiul APD este \(180^\circ\). Unghiurile de la bază sunt egale, deci fiecare măsoară \((180^\circ-150^\circ):2 = 15^\circ\). Unghiul APB al triunghiului echilateral este \(60^\circ\), iar dreapta PD se află în interiorul lui, deci \(\angle DPB = \angle APB - \angle APD = 60^\circ - 15^\circ = 45^\circ\).

3. 3

   b) Înălțimea PQ în triunghiul echilateral

   PQ = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \text{cm},\quad AQ = 2\ \text{cm}

   Ducem \(PQ \perp AB\), cu \(Q \in AB\). În triunghiul echilateral înălțimea cade în mijlocul laturii, deci \(AQ = 4:2 = 2\) cm. În triunghiul dreptunghic APQ, cu teorema lui Pitagora: \(PQ^2 = 4^2 - 2^2 = 12\), deci \(PQ = 2\sqrt{3}\) cm.

4. 4

   b) Asemănarea triunghiurilor DAM și PQM

   PQ \parallel AD \Rightarrow \triangle DAM \sim \triangle PQM \Rightarrow \frac{AD}{PQ}=\frac{AM}{MQ}

   PQ și AD sunt amândouă perpendiculare pe AB, deci sunt paralele. Atunci triunghiurile DAM și PQM sunt asemenea (unghiuri egale: cele de la M sunt opuse la vârf, iar cele drepte la A și Q). Laturile corespunzătoare sunt proporționale: \(\frac{AD}{PQ}=\frac{AM}{MQ}\), adică \(\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{AM}{MQ}\).

5. 5

   b) Calculăm AM

   \frac{AM}{2-AM}=\frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow AM\sqrt{3}=4-2AM \Rightarrow AM=\frac{4}{2+\sqrt{3}}=4(2-\sqrt{3})

   Cum \(MQ = AQ - AM = 2 - AM\), obținem \(AM\sqrt{3} = 2(2-AM) = 4 - 2AM\), deci \(AM(\sqrt{3}+2)=4\) și \(AM=\frac{4}{2+\sqrt{3}}\). Raționalizăm amplificând cu \(2-\sqrt{3}\): \(\frac{4(2-\sqrt{3})}{4-3}=4(2-\sqrt{3})\) cm. Am ajuns la ce trebuia demonstrat.

Răspuns: a) \(\angle DPB = 45^\circ\); b) \(AM = 4(2-\sqrt{3})\) cm.

În figura alăturată este reprezentat trapezul \(ABCD\) cu \(AB \parallel CD\), \(AB = 6\) cm și \(CD = 4\) cm. Punctele \(R\), \(S\) și \(T\) sunt mijloacele laturilor \(AD\), \(AB\), respectiv \(BC\). (2p) a) Arată că lungimea segmentului \(RT\) este egală cu 5 cm. (3p) b) Arată că aria patrulaterului \(DRST\) este egală cu jumătate din aria trapezului \(ABCD\).

Metoda: Linia mijlocie în trapez

1. 1

   a) Recunoaștem linia mijlocie

   RT \text{ este linie mijlocie în } ABCD

   R este mijlocul laturii \(AD\) și T este mijlocul laturii \(BC\). Aceste laturi sunt laturile neparalele ale trapezului (bazele sunt \(AB\) și \(CD\)). Segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele se numește linia mijlocie a trapezului.

2. 2

   a) Calculăm lungimea lui RT

   RT=\frac{AB+CD}{2}=\frac{6+4}{2}=5\text{ cm}

   Linia mijlocie a trapezului este egală cu media aritmetică a bazelor (semisuma bazelor). Înlocuim \(AB=6\) și \(CD=4\).

3. 3

   b) Aria trapezului

   \mathcal{A}_{ABCD}=RT\cdot DQ,\quad DQ\perp AB,\ Q\in AB

   Ducem înălțimea \(DQ\) a trapezului, cu \(Q\) pe \(AB\). Aria trapezului este semisuma bazelor înmulțită cu înălțimea, iar semisuma bazelor este chiar \(RT\). Deci \(\mathcal{A}_{ABCD}=RT\cdot DQ\).

4. 4

   b) Ariile triunghiurilor DRT și RST

   \mathcal{A}_{DRT}=\frac{DP\cdot RT}{2},\quad \mathcal{A}_{RST}=\frac{QP\cdot RT}{2},\ \{P\}=DQ\cap RT

   Notăm \(P\) intersecția dintre \(DQ\) și \(RT\). Deoarece \(RT\parallel AB\) și \(DQ\perp AB\), avem \(DP\perp RT\) și \(QP\perp RT\). Astfel \(DP\) este înălțimea triunghiului \(DRT\) față de baza \(RT\), iar \(QP\) este înălțimea triunghiului \(RST\) față de aceeași bază \(RT\).

5. 5

   b) Adunăm ariile

   \mathcal{A}_{DRST}=\frac{DP\cdot RT}{2}+\frac{QP\cdot RT}{2}=\frac{RT\cdot(DP+QP)}{2}=\frac{RT\cdot DQ}{2}=\frac{\mathcal{A}_{ABCD}}{2}

   Patrulaterul \(DRST\) este format din triunghiurile \(DRT\) și \(RST\). Dăm factor comun \(RT\), iar \(DP+QP=DQ\), pentru că \(P\) este pe \(DQ\). Obținem \(\frac{RT\cdot DQ}{2}\), adică jumătate din aria trapezului.

Răspuns: a) \(RT=5\) cm; b) \(\mathcal{A}_{DRST}=\frac{\mathcal{A}_{ABCD}}{2}\), adică aria lui \(DRST\) este jumătate din aria trapezului.

Subiectul al III-lea, itemul 6. În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(D'C' = 6\) cm. (2p) a) Arată că volumul cubului \(ABCDA'B'C'D'\) este egal cu \(216\ \text{cm}^3\). (3p) b) Demonstrează că dreapta \(OO'\) este perpendiculară pe planul \((A'D'C)\), unde \(\{O\} = AC \cap BD\) și \(\{O'\} = BC' \cap B'C\). Figura: cub cu muchia de 6 cm; O este centrul bazei ABCD, iar O' este centrul feței BCC'B'.

Metoda: Volumul cubului; perpendicularitate

1. 1

   a) Volumul cubului

   V = l^3 = 6^3 = 216\ \text{cm}^3

   Cubul are toate muchiile egale. Muchia \(D'C' = 6\) cm, deci latura cubului este \(l = 6\) cm. Volumul unui cub este latura la puterea a treia, adică \(l\cdot l\cdot l\). Avem \(6^3 = 6\cdot 6\cdot 6 = 36\cdot 6 = 216\), deci \(V = 216\ \text{cm}^3\).

2. 2

   b) OO' este linie mijlocie

   OO' \parallel AB'

   O este mijlocul diagonalei AC (diagonalele pătratului ABCD se taie la jumătate). O' este mijlocul lui B'C (diagonalele pătratului BCC'B' se taie la jumătate). Deci în triunghiul \(AB'C\), segmentul OO' unește mijloacele laturilor AC și B'C, adică este linie mijlocie. O linie mijlocie este paralelă cu a treia latură, deci \(OO' \parallel AB'\).

3. 3

   b) AB' este perpendiculară pe planul (A'D'C)

   AB' \perp A'B,\quad AB' \perp A'D',\quad A'B \cap A'D' = \{A'\} \Rightarrow AB' \perp (A'D'C)

   Fața ABB'A' este un pătrat, iar diagonalele pătratului sunt perpendiculare, deci \(AB' \perp A'B\). Apoi \(A'D'\) este perpendiculară pe planul feței ABB'A' (muchie a cubului perpendiculară pe acea față), deci \(A'D' \perp AB'\). Dreapta \(AB'\) este astfel perpendiculară pe două drepte concurente din planul (A'D'C), anume \(A'B\) și \(A'D'\) (iar \(A'B\) este inclusă în planul (A'D'C), deoarece planul conține punctele A', D', C, B, care sunt coplanare). Rezultă \(AB' \perp (A'D'C)\).

4. 4

   b) Concluzia

   OO' \parallel AB',\quad AB' \perp (A'D'C) \Rightarrow OO' \perp (A'D'C)

   Dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă perpendiculară pe un plan, atunci și ea este perpendiculară pe acel plan. Cum \(OO' \parallel AB'\) și \(AB' \perp (A'D'C)\), obținem \(OO' \perp (A'D'C)\), ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: a) \(V = 216\ \text{cm}^3\). b) \(OO' \parallel AB'\) și \(AB' \perp (A'D'C)\), deci \(OO' \perp (A'D'C)\).