Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2023, simulare

Numărul natural scris în baza zece, de forma \(\overline{17x}\), divizibil cu \(10\), este egal cu: a) \(17\) b) \(70\) c) \(100\) d) \(170\)

Metoda: Criteriul de divizibilitate cu 10

1. 1

   Reținem criteriul de divizibilitate cu 10

   10 \mid N \Leftrightarrow u(N)=0

   Un număr natural este divizibil cu \(10\) dacă și numai dacă ultima lui cifră este \(0\). Asta se întâmplă pentru că \(10\) este baza de numerație: multiplii lui \(10\) au mereu zero la unități, de exemplu \(10, 20, 30, 170\).

2. 2

   Aflăm cifra x

   \overline{17x}=170 \Rightarrow x=0

   Numărul \(\overline{17x}\) are ultima cifră \(x\). Pentru ca numărul să fie divizibil cu \(10\), trebuie ca \(x=0\). Deci numărul este \(170\).

3. 3

   Verificăm și alegem varianta corectă

   170:10=17

   Verificăm: \(170:10=17\), rest \(0\), deci \(170\) este divizibil cu \(10\). Corect este d). Celelalte variante nu merg: \(17\) are doar două cifre și nu este de forma \(\overline{17x}\); \(70\) are tot două cifre și nu începe cu \(17\); \(100\) nu începe cu cifrele \(1\) și \(7\). Deși ele sunt divizibile cu 10 (în afară de 17), nu au forma cerută.

Răspuns: d) 170

Subiectul I, itemul 2. Numărul care reprezintă \(20\%\) din \(50\) este egal cu: a) \(10\); b) \(20\); c) \(25\); d) \(100\).

Metoda: Procent dintr-un număr

1. 1

   Scriem procentul ca fracție

   20\% = \frac{20}{100}

   Semnul % înseamnă "la sută", adică împărțit la 100. De aceea \(20\%\) se scrie ca fracția \(\frac{20}{100}\). Putem simplifica prin 20 și obținem \(\frac{1}{5}\).

2. 2

   Calculăm fracția din număr

   \frac{20}{100}\cdot 50 = \frac{1}{5}\cdot 50 = 10

   Pentru a afla o fracție dintr-un număr, înmulțim fracția cu acel număr. Deci \(\frac{1}{5}\) din 50 înseamnă \(50:5=10\). Putem calcula și direct: \(50:100=0{,}5\), apoi \(0{,}5\cdot 20=10\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   20\% \text{ din } 50 = 10

   Rezultatul 10 corespunde variantei a). Varianta b) 20 este chiar procentul, nu rezultatul. Varianta c) 25 ar fi \(50\%\) din 50. Varianta d) 100 este dublul lui 50, deci prea mare, pentru că \(20\%\) dintr-un număr este mai mic decât numărul.

Răspuns: a) 10

Suma numerelor întregi din intervalul \([-2,3]\) este egală cu: a) \(-9\); b) \(-3\); c) \(3\); d) \(6\).

Metoda: Intervale și suma numerelor întregi

1. 1

   Citim intervalul

   [-2,3]=\{x\in\mathbb{R}\mid -2\le x\le 3\}

   Intervalul închis \([-2,3]\) conține toate numerele reale de la \(-2\) până la \(3\), inclusiv capetele \(-2\) și \(3\), pentru că parantezele sunt pătrate.

2. 2

   Scriem numerele întregi din interval

   \{-2,-1,0,1,2,3\}

   Numerele întregi sunt cele fără zecimale, pozitive, negative sau zero. Între \(-2\) și \(3\) le luăm pe rând, de la stânga la dreapta pe axa numerelor, fără să omitem zero.

3. 3

   Calculăm suma

   (-2)+(-1)+0+1+2+3=3

   Numerele opuse se anulează: \((-2)+2=0\) și \((-1)+1=0\). Rămân doar \(0\) și \(3\), deci suma este \(3\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \text{Răspuns: } c)\ 3

   Suma obținută este \(3\), deci varianta corectă este c). Varianta a) \(-9\) și b) \(-3\) nu pot fi, pentru că la sumă apar și numere pozitive care compensează negativele. Varianta d) \(6\) ar apărea dacă am aduna doar \(1+2+3\), uitând de \(-2\) și \(-1\).

Răspuns: c) 3

Subiectul I, itemul 4. Inversul numărului \(\frac{2}{3}\) este numărul: a) \(-\frac{3}{2}\); b) \(-\frac{2}{3}\); c) \(\frac{2}{3}\); d) \(\frac{3}{2}\).

Metoda: Inversul unui număr rațional

1. 1

   Ce înseamnă inversul unui număr

   a\cdot \frac{1}{a}=1

   Inversul unui număr nenul este numărul cu care îl înmulțim ca să obținem 1. Deci căutăm un număr care, înmulțit cu \(\frac{2}{3}\), dă 1.

2. 2

   Inversul unei fracții

   \frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=1

   La o fracție, inversul se obține inversând numărătorul cu numitorul. Aici, inversul lui \(\frac{2}{3}\) este \(\frac{3}{2}\).

3. 3

   Verificăm și alegem varianta

   \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=\frac{6}{6}=1

   Produsul este 1, deci \(\frac{3}{2}\) este inversul căutat: varianta d). Celelalte variante nu merg: \(\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\), \(\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{4}{9}\), iar \(\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\); niciunul nu dă 1.

Răspuns: Varianta d) \(\frac{3}{2}\)

Patru elevi, Elena, Maria, George și Mihai, au calculat media geometrică a numerelor \(x = 3-2\sqrt{2}\) și \(y = 3+2\sqrt{2}\) și au obținut următoarele rezultate: Elena: \(\sqrt{17}\); Maria: \(\sqrt{2}\); George: \(1\); Mihai: \(3\). Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este: a) Elena; b) Maria; c) George; d) Mihai.

Metoda: Media geometrică și formula (a-b)(a+b)

1. 1

   Scriem formula mediei geometrice

   m_g=\sqrt{x\cdot y}

   Media geometrică a două numere reale pozitive \(x\) și \(y\) este \(\sqrt{x\cdot y}\). Numerele sunt pozitive: \(3-2\sqrt{2}\) este pozitiv pentru că \(2\sqrt{2}=\sqrt{8}<3=\sqrt{9}\). Deci putem folosi formula.

2. 2

   Calculăm produsul x·y

   x\cdot y=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1

   Produsul are forma \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), cu \(a=3\) și \(b=2\sqrt{2}\). Avem \((2\sqrt{2})^2=4\cdot 2=8\). Deci produsul este \(9-8=1\).

3. 3

   Aflăm media geometrică și alegem varianta

   m_g=\sqrt{1}=1

   Media geometrică este \(\sqrt{x\cdot y}=\sqrt{1}=1\). Rezultatul \(1\) este cel calculat de George, deci varianta corectă este c). Elena (\(\sqrt{17}\)) probabil a făcut \(x^2+y^2\) sau a adunat greșit; Maria (\(\sqrt{2}\)) și Mihai (\(3\)) nu coincid cu \(1\). Nu au calculat produsul corect.

Răspuns: Media geometrică este \(1\), deci a calculat corect George — varianta c).

Subiectul I, itemul 6. Afirmația „Numărul 4 este mai mare decât numărul \(2\sqrt{5}\).” este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Compararea numerelor reale

1. 1

   Introducem factorul 2 sub radical

   2\sqrt{5}=\sqrt{2^2\cdot 5}=\sqrt{20}

   Ca să comparăm numerele mai ușor, le scriem pe amândouă sub formă de radical. Un factor din fața radicalului se introduce sub radical ridicat la pătrat: \(2\sqrt{5}=\sqrt{2^2\cdot 5}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{20}\).

2. 2

   Scriem și numărul 4 sub radical

   4=\sqrt{4^2}=\sqrt{16}

   Pentru a compara \(4\) cu \(\sqrt{20}\), îl scriem și pe 4 ca radical. Pentru că \(4^2=16\), avem \(4=\sqrt{16}\).

3. 3

   Comparăm radicalii

   16<20\Rightarrow \sqrt{16}<\sqrt{20}\Rightarrow 4<2\sqrt{5}

   Dacă două numere pozitive se compară într-un fel, la fel se compară și rădăcinile lor pătrate: cum \(16<20\), avem \(\sqrt{16}<\sqrt{20}\), deci \(4<2\sqrt{5}\). Prin urmare, 4 NU este mai mare decât \(2\sqrt{5}\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   4<2\sqrt{5}\Rightarrow \text{afirmația este falsă}

   Afirmația spune că \(4>2\sqrt{5}\), dar am arătat că \(4<2\sqrt{5}\). Deci afirmația este falsă, varianta b). Varianta a) nu merge, pentru că ar însemna că 4 este mai mare, ceea ce contrazice comparația \(16<20\).

Răspuns: b) falsă, deoarece \(4=\sqrt{16}<\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).

Subiectul al II-lea, itemul 1. În figura alăturată este reprezentat segmentul \(AB\) cu lungimea de \(5\) cm. Punctul \(C\) este simetricul punctului \(B\) față de punctul \(A\), iar punctul \(D\) este simetricul punctului \(C\) față de punctul \(B\). Lungimea segmentului \(CD\) este egală cu: a) \(5\) cm; b) \(10\) cm; c) \(15\) cm; d) \(20\) cm. (Din figură: punctele sunt în ordinea C, A, B, D pe aceeași dreaptă.)

Metoda: Simetricul unui punct față de un punct

1. 1

   Aflăm lungimea segmentului AC

   AC = AB = 5 \text{ cm}

   \(C\) este simetricul lui \(B\) față de \(A\), deci \(A\) este mijlocul segmentului \(BC\). Mijlocul împarte segmentul în două părți egale, deci \(AC = AB = 5\) cm.

2. 2

   Aflăm lungimea segmentului BC

   BC = AB + AC = 5 + 5 = 10 \text{ cm}

   Punctele \(C, A, B\) sunt în această ordine pe dreaptă, deci \(BC = CA + AB\).

3. 3

   Aflăm lungimea segmentului BD

   BD = BC = 10 \text{ cm}

   \(D\) este simetricul lui \(C\) față de \(B\), deci \(B\) este mijlocul lui \(CD\). Prin urmare \(BD = BC = 10\) cm.

4. 4

   Calculăm lungimea lui CD

   CD = CB + BD = 10 + 10 = 20 \text{ cm}

   Punctul \(B\) este între \(C\) și \(D\), deci \(CD = CB + BD = 10 + 10 = 20\) cm. Este răspunsul d). Celelalte nu merg: 5 cm este doar \(AB\), 10 cm este doar \(BC\), iar 15 cm ar fi \(CB + AB\), adică \(BD\) nu a fost luat întreg.

Răspuns: d) 20 cm

În figura alăturată, unghiurile \(AOC\) și \(BOD\) sunt opuse la vârf. Măsura unghiului \(AOC\) este egală cu \(30^\circ\), iar semidreapta \(OE\) este bisectoarea unghiului \(BOC\). Măsura unghiului \(DOE\) este egală cu: a) \(75^\circ\) b) \(90^\circ\) c) \(105^\circ\) d) \(150^\circ\). (Din figură: punctele A, O, B sunt pe o dreaptă, iar punctele C, O, D sunt pe altă dreaptă; OE este în interiorul unghiului BOC.)

Metoda: Unghiuri opuse la vârf și bisectoare

1. 1

   Unghiul BOD din unghiuri opuse la vârf

   \angle BOD=\angle AOC=30^\circ

   Unghiurile AOC și BOD sunt opuse la vârf, iar unghiurile opuse la vârf sunt congruente. Deci au aceeași măsură.

2. 2

   Unghiul BOC din unghiuri suplementare

   \angle BOC=180^\circ-\angle AOC=180^\circ-30^\circ=150^\circ

   Punctele A, O, B sunt coliniare, deci unghiul AOB este alungit (\(180^\circ\)). Unghiurile AOC și BOC sunt adiacente și se completează până la \(180^\circ\), adică sunt suplementare.

3. 3

   Unghiul COE cu ajutorul bisectoarei

   \angle COE=\angle BOE=\frac{\angle BOC}{2}=\frac{150^\circ}{2}=75^\circ

   OE este bisectoarea unghiului BOC, deci îl împarte în două unghiuri congruente. Fiecare are jumătate din \(150^\circ\).

4. 4

   Unghiul DOE

   \angle DOE=180^\circ-\angle COE=180^\circ-75^\circ=105^\circ

   Punctele C, O, D sunt coliniare, deci unghiurile COE și DOE sunt suplementare. Atunci DOE se obține scăzând \(75^\circ\) din \(180^\circ\). Altfel: \(\angle DOE=\angle BOD+\angle BOE=30^\circ+75^\circ=105^\circ\), același rezultat.

Răspuns: Măsura unghiului DOE este \(105^\circ\), deci varianta corectă este c). Varianta a) \(75^\circ\) este unghiul COE, nu DOE; \(90^\circ\) și \(150^\circ\) nu ies din calcule (\(150^\circ\) este unghiul BOC).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\) cu \(AB = 12\) cm, \(BC = 13\) cm și \(AC = 7\) cm. Punctele \(M\), \(N\) și \(P\) sunt mijloacele segmentelor \(AB\), \(BC\), respectiv \(AC\). Perimetrul triunghiului \(MNP\) este egal cu: a) \(8\) cm; b) \(16\) cm; c) \(18\) cm; d) \(32\) cm.

Metoda: Linia mijlocie în triunghi

1. 1

   Recunoaștem liniile mijlocii

   MN,\ NP,\ MP \text{ sunt linii mijlocii}

   Punctele \(M\), \(N\), \(P\) sunt mijloacele laturilor \(AB\), \(BC\), \(AC\). Un segment care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie. Deci \(MN\), \(NP\) și \(MP\) sunt linii mijlocii în triunghiul \(ABC\). Facem asta pentru că linia mijlocie are o proprietate care ne dă lungimea ei.

2. 2

   Calculăm lungimile liniilor mijlocii

   MN=\frac{AC}{2},\ NP=\frac{AB}{2},\ MP=\frac{BC}{2}

   Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din ea. \(MN\) unește mijloacele lui \(AB\) și \(BC\), deci este paralelă cu \(AC\): \(MN = 7 : 2 = 3,5\) cm. \(NP\) unește mijloacele lui \(BC\) și \(AC\), deci este jumătate din \(AB\): \(NP = 12 : 2 = 6\) cm. \(MP\) unește mijloacele lui \(AB\) și \(AC\), deci este jumătate din \(BC\): \(MP = 13 : 2 = 6,5\) cm.

3. 3

   Calculăm perimetrul triunghiului MNP

   P_{MNP}=MN+NP+MP=3{,}5+6+6{,}5=16

   Perimetrul este suma lungimilor laturilor: \(3,5+6+6,5=16\) cm. Observă că este jumătate din perimetrul triunghiului \(ABC\), care este \(12+13+7=32\) cm. Deci răspunsul corect este varianta b) \(16\) cm. Varianta d) \(32\) cm este perimetrul triunghiului mare \(ABC\), iar \(8\) și \(18\) nu rezultă din niciun calcul corect.

Răspuns: Perimetrul triunghiului MNP este 16 cm, deci varianta corectă este b).

În figura alăturată este reprezentat patrulaterul \(ABCD\). Dreapta \(AC\) este perpendiculară pe dreapta \(BC\) și dreapta \(AD\) este perpendiculară pe dreapta \(BD\). Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\) și măsura unghiului \(DCM\) este egală cu \(40^\circ\). Măsura unghiului \(CMD\) este egală cu: a) \(80^\circ\) b) \(90^\circ\) c) \(100^\circ\) d) \(120^\circ\)

Metoda: Mediana în triunghiul dreptunghic

1. 1

   Mediana din C în triunghiul ACB

   CM=\frac{AB}{2}=MA=MB

   Triunghiul ACB are unghiul drept în C, pentru că AC ⊥ BC. Ipotenuza este AB, iar M este mijlocul ei. Mediana corespunzătoare ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic este jumătate din ipotenuză, deci \(CM=\frac{AB}{2}\).

2. 2

   Mediana din D în triunghiul ADB

   DM=\frac{AB}{2}=MA=MB

   La fel, triunghiul ADB are unghiul drept în D, pentru că AD ⊥ BD. Ipotenuza este tot AB, deci \(DM=\frac{AB}{2}\). Așadar \(MA=MB=MC=MD\).

3. 3

   Triunghiul MCD este isoscel

   MC=MD\Rightarrow \angle MDC=\angle MCD=40^\circ

   Cum \(MC=MD\), triunghiul MCD este isoscel cu baza CD. Unghiurile de la bază sunt congruente, deci \(\angle MDC=\angle DCM=40^\circ\).

4. 4

   Suma unghiurilor în triunghiul MCD

   \angle CMD=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ

   Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\). Scădem cele două unghiuri de câte \(40^\circ\) din \(180^\circ\) și obținem \(\angle CMD\).

Răspuns: Răspunsul corect este c) \(100^\circ\). Varianta c) este cea bună pentru că \(MC=MD\) (mediane ale ipotenuzei), deci triunghiul MCD are unghiurile de la bază de \(40^\circ\), iar al treilea unghi este \(180^\circ-80^\circ=100^\circ\). Variantele a), b) și d) nu rezultă din calcul.

Subiectul al II-lea, itemul 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\) și diametru \(BC\). Punctul \(A\) aparține cercului, astfel încât măsura arcului mic \(AC\) este egală cu \(120^\circ\). Măsura unghiului \(ACB\) este egală cu: a) \(30^\circ\); b) \(60^\circ\); c) \(90^\circ\); d) \(120^\circ\).

Metoda: Unghi înscris în cerc

1. 1

   Aflăm arcul cuprins între laturile unghiului \(ACB\)

   \widehat{AB}=\widehat{BC}-\widehat{AC}

   Unghiul înscris \(ACB\) subîntinde arcul mic \(AB\), adică arcul din interiorul unghiului. Deoarece \(BC\) este diametru, semicercul \(BC\) are \(180^\circ\). Arcul \(AC\) are \(120^\circ\) și face parte din acest semicerc, deci arcul \(AB\) este ce rămâne: \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

2. 2

   Folosim măsura unghiului înscris

   m(\angle ACB)=\frac{m(\widehat{AB})}{2}=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ

   Un unghi înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din măsura arcului subîntins. Arcul \(AB\) are \(60^\circ\), deci \(\angle ACB=60^\circ:2=30^\circ\). Răspunsul corect este a).

3. 3

   Verificăm și celelalte variante

   Varianta b) \(60^\circ\) ar fi măsura arcului \(AB\), nu a unghiului: am uitat să împărțim la 2. Varianta c) \(90^\circ\) ar fi unghiul \(BAC\) (înscris pe diametru), nu \(ACB\). Varianta d) \(120^\circ\) este arcul \(AC\). Doar a) \(30^\circ\) respectă regula unghiului înscris. Verificare: în triunghiul \(ABC\), \(\angle A=90^\circ\) și \(\angle B=60^\circ\) (jumătate din arcul \(AC\)), deci \(\angle C=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\).

Răspuns: Măsura unghiului \(ACB\) este \(30^\circ\), deci varianta corectă este a).

Subiectul al II-lea, itemul 6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic \(VAB\) și raza bazei conului \(AO = 4\) cm. Generatoarea acestui con are lungimea egală cu: a) \(4\) cm; b) \(4\sqrt{2}\) cm; c) \(8\) cm; d) \(8\sqrt{2}\) cm.

Metoda: Teorema lui Pitagora în triunghiul VAB

1. 1

   Aflăm lungimea diametrului AB

   AB = 2\cdot AO = 2\cdot 4 = 8

   Baza secțiunii axiale este diametrul bazei conului. Diametrul este dublul razei, deci \(AB = 2\cdot AO\).

2. 2

   Folosim faptul că triunghiul VAB este dreptunghic isoscel

   VA = VB,\quad \angle AVB = 90^\circ \Rightarrow AB^2 = VA^2 + VB^2 = 2\cdot VA^2

   Toate generatoarele conului sunt egale, deci \(VA = VB\). Unghiul drept este în \(V\), deci \(AB\) este ipotenuza. Aplicăm teorema lui Pitagora.

3. 3

   Calculăm generatoarea VA

   2\cdot VA^2 = 64 \Rightarrow VA^2 = 32 \Rightarrow VA = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

   Din \(2\cdot VA^2 = 64\) rezultă \(VA^2 = 32\). Scoatem factorii de sub radical: \(\sqrt{32} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\). Deci generatoarea are \(4\sqrt{2}\) cm, varianta b). Varianta a) ar fi doar raza, c) ar fi diametrul, iar d) este prea mare (ar da \(VA^2 = 128\)).

Răspuns: Generatoarea conului are lungimea \(4\sqrt{2}\) cm, deci varianta corectă este b).

Într-un bloc de locuințe sunt \(22\) de apartamente cu două, respectiv cu patru camere, în total fiind \(60\) de camere. a) Este posibil ca în acest bloc să fie \(16\) apartamente cu patru camere? Justifică răspunsul dat. b) Determină numărul de apartamente cu două camere din acest bloc.

Metoda: Calcul și ecuație simplă

1. 1

   a) Câte camere ar fi în 16 apartamente cu patru camere

   4\cdot 16=64

   Dacă ar fi 16 apartamente cu patru camere, fiecare ar avea 4 camere, deci am număra \(4\cdot 16=64\) de camere doar din ele.

2. 2

   a) Comparăm cu totalul și concluzionăm

   64>60

   În tot blocul sunt doar 60 de camere, dar numai apartamentele cu patru camere ar însemna 64 de camere. O parte nu poate fi mai mare decât întregul, deci nu este posibil.

3. 3

   b) Notăm necunoscuta și scriem ecuația

   2x+4(22-x)=60

   Fie \(x\) numărul apartamentelor cu două camere. Atunci cele cu patru camere sunt \(22-x\). Camerele din primele sunt \(2x\), din celelalte \(4(22-x)\), iar suma lor este 60.

4. 4

   b) Rezolvăm ecuația

   2x+88-4x=60 \Rightarrow -2x=-28 \Rightarrow x=14

   Desfacem paranteza: \(4(22-x)=88-4x\). Reducem termenii: \(88-2x=60\), deci \(2x=88-60=28\), de unde \(x=14\).

5. 5

   Verificare

   2\cdot 14+4\cdot 8=60

   Sunt 14 apartamente cu două camere și \(22-14=8\) cu patru camere. Camerele: \(2\cdot14+4\cdot8=28+32=60\), exact cât în enunț.

Răspuns: a) Nu este posibil, deoarece \(4\cdot16=64>60\). b) Sunt 14 apartamente cu două camere.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{x^2-9}{x^2-16}-1\right):\left(\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-4}-\frac{3}{x^2-16}\right)\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -4\), \(x\neq 4\) și \(x\neq \frac{3}{2}\). a) Arată că \(E(x)=\frac{7}{2x-3}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -4\), \(x\neq 4\) și \(x\neq \frac{3}{2}\). b) Determină numerele naturale \(n\) pentru care \(E(n)\) este număr natural.

Metoda: Calcul cu fracții algebrice

1. 1

   Prima paranteză: numitor comun

   \frac{x^2-9}{x^2-16}-1=\frac{x^2-9-x^2+16}{x^2-16}=\frac{7}{x^2-16}

   Scriem 1 ca \(\frac{x^2-16}{x^2-16}\), ca să avem același numitor și să putem scădea numărătorii. Atenție la semn: \(-(x^2-16)=-x^2+16\). Termenii \(x^2\) se reduc, rămâne \(-9+16=7\).

2. 2

   A doua paranteză: numitor comun

   \frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-4}-\frac{3}{x^2-16}=\frac{x-4+x+4-3}{(x-4)(x+4)}=\frac{2x-3}{(x-4)(x+4)}

   Știm că \(x^2-16=(x-4)(x+4)\) (formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)). Acesta este numitorul comun. Amplificăm prima fracție cu \(x-4\) și a doua cu \(x+4\). Apoi adunăm numărătorii: \(x-4+x+4-3=2x-3\).

3. 3

   Împărțirea și simplificarea (a)

   E(x)=\frac{7}{(x-4)(x+4)}\cdot\frac{(x-4)(x+4)}{2x-3}=\frac{7}{2x-3}

   Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Factorii \((x-4)(x+4)\) apar sus și jos și se simplifică; se poate, fiindcă \(x\neq\pm 4\). Condiția \(x\neq\frac{3}{2}\) asigură că \(2x-3\neq 0\). Am obținut exact \(E(x)=\frac{7}{2x-3}\), deci punctul a) este demonstrat.

4. 4

   Condiția ca E(n) să fie număr natural (b)

   E(n)=\frac{7}{2n-3}\in\mathbb{N}\Rightarrow (2n-3)\mid 7

   Fracția \(\frac{7}{2n-3}\) este număr natural doar dacă \(2n-3\) este un divizor al lui 7. Divizorii naturali ai lui 7 sunt 1 și 7. Pentru \(n\) natural, \(2n-3\) este număr întreg; valorile negative (de exemplu \(-1\) la \(n=1\)) dau \(E=-7\), care nu este natural, iar \(n=0\) dă \(-\frac{7}{3}\), nici el natural. Rămân doar \(2n-3=1\) sau \(2n-3=7\).

5. 5

   Rezolvarea ecuațiilor și verificare

   2n-3=1\Rightarrow n=2;\quad 2n-3=7\Rightarrow n=5

   Din \(2n-3=1\) obținem \(2n=4\), deci \(n=2\). Din \(2n-3=7\) obținem \(2n=10\), deci \(n=5\). Ambele sunt naturale și diferite de \(4\) și \(\frac{3}{2}\), deci convin. Verificare: \(E(2)=\frac{7}{1}=7\) și \(E(5)=\frac{7}{7}=1\), ambele naturale.

Răspuns: a) \(E(x)=\frac{7}{2x-3}\); b) \(n\in\{2,5\}\).

Se consideră numerele \(a=\left(-\frac{1}{3}\right)^{32}:\left(-\frac{1}{3}\right)^{30}\cdot(-6)^2\) și \(b=\left(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}\right)\cdot(0{,}5)^{-2}\). (2p) a) Arată că \(a=4\). (3p) b) Calculează media aritmetică a numerelor \(a\) și \(b\).

Metoda: Reguli de calcul cu puteri

1. 1

   a) Împărțim puterile cu aceeași bază

   \left(-\frac{1}{3}\right)^{32}:\left(-\frac{1}{3}\right)^{30}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}

   Primele două puteri au aceeași bază, \(-\frac{1}{3}\). La împărțirea puterilor cu aceeași bază scădem exponenții: \(32-30=2\). Pătratul unui număr negativ este pozitiv, deci \(\left(-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}\).

2. 2

   a) Calculăm \((-6)^2\) și îl găsim pe a

   a=\frac{1}{9}\cdot(-6)^2=\frac{1}{9}\cdot 36=4

   Avem \((-6)^2=36\), pentru că exponentul este par. Apoi \(\frac{1}{9}\cdot 36=\frac{36}{9}=4\). Deci am arătat că \(a=4\).

3. 3

   b) Calculăm suma din paranteză

   \frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

   Mai întâi efectuăm sumele de la numitori: \(1+2=3\) și \(1+2+3=6\). Pentru a aduna fracțiile, le aducem la numitorul comun 6: \(\frac{1}{3}=\frac{2}{6}\). Obținem \(\frac{3}{6}\), care se simplifică la \(\frac{1}{2}\).

4. 4

   b) Calculăm \((0{,}5)^{-2}\) și pe b

   (0{,}5)^{-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=2^2=4,\quad b=\frac{1}{2}\cdot 4=2

   Avem \(0{,}5=\frac{1}{2}\). Puterea cu exponent negativ se calculează inversând baza: \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=2^2=4\). Apoi \(b=\frac{1}{2}\cdot 4=2\), la fel ca în barem (unde se folosește \(\frac{5}{10}\) și se obține \(\left(\frac{10}{5}\right)^2=4\)).

5. 5

   b) Media aritmetică a lui a și b

   m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{4+2}{2}=3

   Media aritmetică a două numere este suma lor împărțită la 2. Avem \(a=4\) și \(b=2\), deci \(\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3\).

Răspuns: a) \(a=4\); b) media aritmetică a numerelor \(a\) și \(b\) este \(3\).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\) cu \(BC=10\) cm, \(AC=20\) cm și măsura unghiului \(ACB\) egală cu \(30^\circ\). Punctul \(D\) aparține segmentului \(AC\), astfel încât unghiul \(DBC\) este congruent cu \(BAC\). (2p) a) Arată că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu \(50\ \text{cm}^2\). (3p) b) Calculează lungimea segmentului \(CD\).

Metoda: Aria triunghiului și asemănare

1. 1

   a) Construim înălțimea din B

   BP\perp AC,\ P\in AC

   Pentru aria unui triunghi avem nevoie de o latură și de înălțimea corespunzătoare ei. Alegem latura \(AC=20\) cm și ducem din \(B\) perpendiculara \(BP\) pe \(AC\). Astfel triunghiul \(BPC\) este dreptunghic în \(P\), iar unghiul \(C\) are \(30^\circ\).

2. 2

   a) Aflăm BP și aria

   BP=\frac{BC}{2}=5,\quad \mathcal{A}_{ABC}=\frac{AC\cdot BP}{2}=\frac{20\cdot 5}{2}=50

   În triunghiul dreptunghic \(BPC\) cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză. Ipotenuza este \(BC=10\) cm, deci \(BP=5\) cm. Apoi aria este baza \(AC\) înmulțită cu înălțimea \(BP\), împărțită la 2.

3. 3

   b) Arătăm că triunghiurile sunt asemenea

   \angle BCD\equiv\angle BCA,\ \angle CBD\equiv\angle BAC\Rightarrow \triangle CBD\sim\triangle CAB

   Triunghiurile \(CBD\) și \(CAB\) au unghiul \(C\) comun (pentru că \(D\) este pe \(AC\)). În plus, \(\angle CBD\equiv\angle BAC\) din ipoteză. Două unghiuri congruente înseamnă că triunghiurile sunt asemenea (criteriul UU). Vârfurile se corespund în ordinea: \(C\to C\), \(B\to A\), \(D\to B\).

4. 4

   b) Scriem proporția și aflăm CD

   \frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow \frac{CD}{10}=\frac{10}{20}\Rightarrow CD=5

   La triunghiuri asemenea, laturile care se corespund sunt proporționale. Laturile \(CD\) și \(BC\) din triunghiul mic corespund laturilor \(BC\) și \(AC\) din triunghiul mare. Din \(\frac{CD}{10}=\frac{10}{20}=\frac12\) rezultă \(CD=10\cdot\frac12=5\) cm.

Răspuns: a) Aria triunghiului \(ABC\) este \(50\ \text{cm}^2\). b) \(CD=5\) cm.

În figura alăturată sunt reprezentate rombul \(ABCD\) cu măsura unghiului \(BAD\) egală cu \(45^\circ\) și triunghiul dreptunghic isoscel \(ABE\) cu \(AB = BE = 10\) cm. Punctele \(C\) și \(E\) sunt de o parte și de alta a dreptei \(AB\). (2p) a) Arată că dreapta \(DA\) este perpendiculară pe dreapta \(AE\). (3p) b) Arată că tangenta unghiului \(CAE\) este egală cu \(\sqrt{2}+1\). (Figură: \(D\) și \(C\) deasupra dreptei \(AB\), \(E\) sub \(B\), cu \(BE \perp AB\).)

Metoda: Unghiuri, rombul și trigonometrie

1. 1

   a) Unghiul BAE în triunghiul ABE

   \angle BAE = 45^\circ

   Triunghiul \(ABE\) este dreptunghic în \(B\) (cateta \(BE\) e perpendiculară pe \(AB\)) și isoscel, cu \(AB = BE\). Într-un triunghi dreptunghic isoscel, unghiurile de la ipotenuză sunt congruente. Suma unghiurilor este \(180^\circ\), deci fiecare are \((180^\circ - 90^\circ):2 = 45^\circ\).

2. 2

   a) Unghiul DAE este drept

   \angle DAE = \angle DAB + \angle BAE = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ

   Punctele \(D\) și \(E\) sunt de o parte și de alta a dreptei \(AB\), deci semidreapta \(AB\) se află în interiorul unghiului \(DAE\). Atunci măsurile se adună. Cum \(\angle DAB = 45^\circ\) (este unghiul \(BAD\) din ipoteză) și \(\angle BAE = 45^\circ\), obținem \(90^\circ\). Deci \(DA \perp AE\).

3. 3

   b) Construim înălțimea BN și aflăm BN și AN

   AE = 10\sqrt{2},\quad BN = AN = \frac{AE}{2} = 5\sqrt{2}

   Fie \(N\) intersecția dreptelor \(BC\) și \(AE\). Într-un romb laturile opuse sunt paralele, deci \(BC \parallel DA\), adică \(BN \parallel DA\). Cum \(DA \perp AE\), rezultă \(BN \perp AE\). În triunghiul dreptunghic isoscel \(ABE\), \(AE = 10\sqrt{2}\) cm (Pitagora: \(AE^2 = 100+100\)). \(BN\) este înălțime, deci și mediană, așa că \(N\) este mijlocul lui \(AE\). Mediana pe ipotenuză este jumătate din ea: \(BN = AN = 5\sqrt{2}\) cm.

4. 4

   b) Calculăm CN și tangenta

   CN = BC + BN = 10 + 5\sqrt{2},\quad \operatorname{tg}(\angle CAE) = \frac{CN}{AN} = \frac{10+5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1

   Punctul \(B\) se află între \(C\) și \(N\), iar \(BC = AB = 10\) (latura rombului). Deci \(CN = 10 + 5\sqrt{2}\). În triunghiul \(ACN\), dreptunghic în \(N\), tangenta unghiului \(CAE\) este cateta opusă supra cateta alăturată: \(CN/AN\). Împărțim fiecare termen: \(\frac{10}{5\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\), iar \(\frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 1\). Rezultă \(\sqrt{2}+1\).

Răspuns: a) \(\angle DAE = 90^\circ\), deci \(DA \perp AE\). b) \(\operatorname{tg}(\angle CAE) = \sqrt{2}+1\).

Subiectul al III-lea, itemul 6. În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB = 6\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(B'C'\) și dreptele \(BM\) și \(B'C\) se intersectează în punctul \(R\). Punctul \(P\) aparține segmentului \(AC\), astfel încât \(AP = 2\sqrt{2}\) cm. a) (2p) Arată că \(CP = 2 \cdot AP\). b) (3p) Determină măsura unghiului dreptelor \(PR\) și \(AD'\).

Metoda: Diagonala pătratului și asemănarea triunghiurilor

1. 1

   a) Calculăm lungimea diagonalei AC

   AC = AB\sqrt{2} = 6\sqrt{2}

   AC este diagonala pătratului ABCD, cu latura de 6 cm. Diagonala unui pătrat de latură \(l\) este \(l\sqrt{2}\) (din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic isoscel ABC: \(AC^2 = 6^2+6^2 = 72\)). Avem nevoie de AC ca să putem afla CP prin scădere.

2. 2

   a) Calculăm CP și comparăm cu AP

   CP = AC - AP = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} = 2 \cdot AP

   Punctul P se află pe segmentul AC, deci \(CP = AC - AP\). Scădem: \(6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). Cum \(AP = 2\sqrt{2}\), avem \(4\sqrt{2} = 2 \cdot 2\sqrt{2}\), deci \(CP = 2 \cdot AP\).

3. 3

   b) Aflăm raportul \(B'R/RC\) din asemănare

   \triangle BRC \sim \triangle MRB' \Rightarrow \frac{B'R}{RC} = \frac{B'M}{BC} = \frac{1}{2}

   În fața \(BCC'B'\) (un pătrat), dreptele BC și B'M sunt paralele (fiind muchii/laturi paralele ale fețelor), iar R este intersecția diagonalelor-secante BM și B'C. Atunci triunghiurile BRC și MRB' sunt asemenea. Raportul lor este \(B'M / BC\). Cum M este mijlocul lui B'C' și \(B'C' = BC\), avem \(B'M = \frac{1}{2}BC\), deci \(\frac{B'R}{RC} = \frac{1}{2}\).

4. 4

   b) Arătăm că PR este paralelă cu AB'

   \frac{AP}{PC} = \frac{1}{2} = \frac{B'R}{RC} \Rightarrow PR \parallel AB'

   Din punctul a), \(CP = 2 \cdot AP\), deci \(\frac{AP}{PC} = \frac{1}{2}\). Am obținut și \(\frac{B'R}{RC} = \frac{1}{2}\). În triunghiul \(ACB'\), punctele P pe AC și R pe CB' împart laturile în același raport, deci, conform reciprocei teoremei lui Thales, \(PR \parallel AB'\).

5. 5

   b) Aflăm unghiul dreptelor PR și AD'

   \measuredangle(PR, AD') = \measuredangle(AB', AD') = \measuredangle D'AB' = 60^\circ

   Cum \(PR \parallel AB'\), unghiul dreptelor PR și AD' este egal cu unghiul dreptelor AB' și AD', adică \(\measuredangle D'AB'\). Triunghiul \(D'AB'\) are toate laturile egale cu diagonala unei fețe a cubului (\(AD' = AB' = D'B' = 6\sqrt{2}\)), deci este echilateral. Un triunghi echilateral are unghiurile de \(60^\circ\).

Răspuns: a) \(CP = 4\sqrt{2} = 2 \cdot AP\). b) Unghiul dreptelor PR și AD' măsoară \(60^\circ\).