Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2024, model de subiect

Rezultatul calculului \(3+2\cdot 5\) este egal cu: a) 25; b) 13; c) 10; d) 1.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Găsim operația care se face prima

   3+2\cdot 5

   În calcul apar o adunare și o înmulțire, fără paranteze. Regula ordinii operațiilor spune că înmulțirea (și împărțirea) se efectuează înaintea adunării (și scăderii). De aceea calculăm mai întâi \(2\cdot 5\), nu \(3+2\).

2. 2

   Efectuăm adunarea

   3+2\cdot 5=3+10=13

   După ce am înlocuit \(2\cdot 5\) cu 10, rămâne doar adunarea \(3+10\), care dă 13.

3. 3

   Alegem varianta corectă

   13

   Rezultatul 13 corespunde variantei b). Varianta a) 25 apare dacă adunăm întâi \(3+2=5\) și apoi înmulțim cu 5, adică ignorăm regula ordinii operațiilor. Variantele c) 10 și d) 1 nu se obțin din niciun calcul corect al acestei expresii.

Răspuns: Varianta corectă este b) 13.

Dacă \(\frac{x}{2}=\frac{3}{4}\), atunci \(4\cdot x\) este egal cu: a) \(\frac{3}{2}\); b) \(\frac{8}{3}\); c) \(6\); d) \(12\).

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Aflăm valoarea lui x

   \frac{x}{2}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{2\cdot 3}{4}=\frac{3}{2}

   Într-o proporție, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor (proprietatea fundamentală a proporțiilor). Aici avem \(x\cdot 4=2\cdot 3\), deci \(x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\). Facem asta pentru a afla mai întâi numărul x.

2. 2

   Calculăm \(4\cdot x\)

   4\cdot x=4\cdot\frac{3}{2}=\frac{12}{2}=6

   Acum că știm \(x=\frac{3}{2}\), îl înmulțim cu 4. Se poate și direct: din \(x\cdot 4=2\cdot 3\) rezultă \(4\cdot x=6\). Deci varianta corectă este c) 6.

3. 3

   Verificare și celelalte variante

   \frac{3/2}{2}=\frac{3}{4}

   Verificăm: \(\frac{x}{2}=\frac{3}{2}:2=\frac{3}{4}\), corect. Celelalte variante nu merg: \(\frac{3}{2}\) este chiar x, nu \(4x\); \(\frac{8}{3}\) și 12 nu rezultă din calcul.

Răspuns: Varianta corectă este c) 6.

Soluția ecuației \(2 - x = 2\) este numărul: a) \(-4\); b) \(0\); c) \(2\); d) \(4\).

Metoda: Rezolvarea unei ecuații simple

1. 1

   Aflăm necunoscuta

   2 - x = 2 \Rightarrow x = 2 - 2 = 0

   În ecuația \(2 - x = 2\), necunoscuta \(x\) este scăzătorul. Scăzătorul se află scăzând rezultatul din descăzut: \(x = 2 - 2\). Obținem \(x = 0\).

2. 2

   Verificăm și alegem varianta

   2 - 0 = 2

   Înlocuim \(x = 0\) în ecuație: \(2 - 0 = 2\), adevărat. Deci varianta b) este corectă. Celelalte nu merg: pentru \(x = -4\) avem \(2 - (-4) = 6\); pentru \(x = 2\) avem \(2 - 2 = 0\); pentru \(x = 4\) avem \(2 - 4 = -2\). Niciunul nu dă 2.

Răspuns: Varianta corectă este b) 0.

Cel mai mic element al mulțimii \(A=\left\{\frac{1}{9},\frac{1}{99},\frac{1}{999},\frac{1}{9999}\right\}\) este: a) \(\frac{1}{9}\) b) \(\frac{1}{99}\) c) \(\frac{1}{999}\) d) \(\frac{1}{9999}\)

Metoda: Compararea fracțiilor cu același numărător

1. 1

   Observăm ce au în comun fracțiile

   \frac{1}{9},\ \frac{1}{99},\ \frac{1}{999},\ \frac{1}{9999}

   Toate cele patru fracții au același numărător, \(1\). Diferă doar numitorii: \(9<99<999<9999\). Când numărătorul este același, compararea se face după numitori.

2. 2

   Aplicăm regula de comparare

   \frac{1}{a}>\frac{1}{b}\ \text{dacă}\ a<b

   Dintre două fracții cu același numărător, este mai mică cea cu numitorul mai mare. Motivul: cu cât împărțim întregul în mai multe părți egale, cu atât fiecare parte este mai mică.

3. 3

   Ordonăm fracțiile și alegem cea mai mică

   \frac{1}{9999}<\frac{1}{999}<\frac{1}{99}<\frac{1}{9}

   Numitorul cel mai mare este \(9999\), deci fracția cu acest numitor este cea mai mică. Deci cel mai mic element al mulțimii \(A\) este \(\frac{1}{9999}\), adică varianta d). Celelalte variante au numitori mai mici, deci fracții mai mari: \(\frac{1}{9}\), \(\frac{1}{99}\) și \(\frac{1}{999}\) sunt toate mai mari decât \(\frac{1}{9999}\).

Răspuns: Varianta d) \(\frac{1}{9999}\).

Patru elevi, Andra, Marius, Ioana și David, au calculat produsul numerelor \(a=\sqrt{5}\) și \(b=\sqrt{20}\). Rezultatele obținute sunt: Andra: \(10\), Marius: \(5\), Ioana: \(2\sqrt{5}\), David: \(\sqrt{10}\). Rezultatul corect a fost obținut de către: a) Andra, b) Marius, c) Ioana, d) David.

Metoda: Înmulțirea radicalilor

1. 1

   Scriem produsul cerut

   a\cdot b=\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}

   Problema cere produsul numerelor \(a\) și \(b\). Îl scriem mai întâi, ca să știm exact ce trebuie calculat.

2. 2

   Înmulțim radicalii

   \sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 20}=\sqrt{100}

   Produsul a doi radicali din numere pozitive este radical din produsul numerelor: \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{x\cdot y}\). Așa scăpăm de două radicale și avem unul singur, ușor de calculat.

3. 3

   Calculăm radicalul

   \sqrt{100}=10

   Știm că \(10^2=100\), deci rădăcina pătrată a lui 100 este 10. Produsul \(a\cdot b\) este 10.

4. 4

   Alegem varianta corectă

   a\cdot b=10

   Produsul este 10, deci a obținut rezultatul corect Andra (varianta a). Ceilalți au greșit: Marius a scris 5 (doar \(\sqrt{25}\), nu \(\sqrt{100}\)), Ioana a scris \(2\sqrt{5}=\sqrt{20}\), adică doar al doilea număr, iar David a scris \(\sqrt{10}\), ca și cum ar fi adunat 5 cu 5 sub radical, nu ar fi înmulțit.

Răspuns: Varianta a) Andra, deoarece \(\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\).

Alina afirmă că: „În intervalul de numere reale \([-3, 2]\) sunt 7 numere întregi.” Afirmația Alinei este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Numere întregi dintr-un interval

1. 1

   Ce înseamnă intervalul \([-3, 2]\)

   [-3,2]=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\le x\le 2\}

   Intervalul \([-3, 2]\) conține toate numerele reale cuprinse între -3 și 2. Parantezele pătrate arată că și -3, și 2 aparțin intervalului. Noi căutăm doar numerele întregi dintre ele.

2. 2

   Scriem numerele întregi din interval

   \{-3,-2,-1,0,1,2\}

   Pornim de la -3 și mergem spre dreapta pe axă, din unu în unu, până la 2. Nu sărim peste 0, care este și el număr întreg.

3. 3

   Comparăm cu afirmația Alinei

   6\neq 7

   Am găsit 6 numere întregi, iar Alina a spus 7. Deci afirmația ei este falsă, adică varianta b). Probabil a greșit calculând \(2-(-3)=5\) și adăugând 2 în loc de 1, sau a numărat un număr în plus, de exemplu 3, care nu aparține intervalului. Varianta a) nu merge, pentru că sunt doar 6 numere.

Răspuns: Varianta b) falsă, deoarece în intervalul \([-3, 2]\) sunt 6 numere întregi: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\), în această ordine, astfel încât \(AB = BC = CD\), iar lungimea segmentului \(CD\) este egală cu \(10\text{ cm}\). Lungimea segmentului \(AD\) este egală cu: a) \(30\text{ cm}\); b) \(20\text{ cm}\); c) \(15\text{ cm}\); d) \(10\text{ cm}\).

Metoda: Adunarea lungimilor segmentelor

1. 1

   Aflăm lungimile segmentelor AB și BC

   AB = BC = CD = 10\text{ cm}

   Enunțul ne spune că \(AB = BC = CD\), adică toate cele trei segmente au aceeași lungime. Cum \(CD = 10\text{ cm}\), rezultă că și \(AB\) și \(BC\) au câte \(10\text{ cm}\).

2. 2

   Calculăm lungimea lui AD

   AD = AB + BC + CD = 10 + 10 + 10 = 30\text{ cm}

   Punctele \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sunt coliniare, în această ordine, deci \(B\) se află între \(A\) și \(C\), iar \(C\) între \(B\) și \(D\). Atunci segmentul \(AD\) este format din cele trei segmente puse cap la cap, deci lungimea lui este suma lungimilor lor.

3. 3

   Alegem varianta corectă

   AD = 30\text{ cm}

   Am obținut \(AD = 30\text{ cm}\), deci varianta corectă este a). Varianta b) \(20\text{ cm}\) ar fi lungimea a doar două segmente (de exemplu \(AC\)). Varianta c) \(15\text{ cm}\) și varianta d) \(10\text{ cm}\) sunt prea mici: \(10\text{ cm}\) este lungimea unui singur segment.

Răspuns: Varianta corectă este a) \(30\text{ cm}\).

Subiectul al II-lea, itemul 2. În figură sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf \(AOB\) și \(COD\), cu punctele \(A\), \(O\) și \(D\) coliniare. Măsura unghiului \(AOB\) este egală cu \(50^\circ\) și \(OM\) este bisectoarea unghiului \(AOB\). Măsura unghiului \(DOM\) este egală cu: a) \(25^\circ\); b) \(50^\circ\); c) \(130^\circ\); d) \(155^\circ\).

Metoda: Bisectoare și unghiuri suplementare

1. 1

   Aflăm măsura unghiului \(AOM\)

   \angle AOM=\frac{\angle AOB}{2}=\frac{50^\circ}{2}=25^\circ

   OM este bisectoarea unghiului \(AOB\), adică îl împarte în două unghiuri congruente: \(AOM\) și \(MOB\). Deci \(AOM\) este jumătate din \(50^\circ\), adică \(25^\circ\).

2. 2

   Folosim unghiurile suplementare

   \angle DOM=180^\circ-\angle AOM=180^\circ-25^\circ=155^\circ

   Punctele \(A\), \(O\), \(D\) sunt coliniare, deci unghiul \(AOD\) este alungit și măsoară \(180^\circ\). Unghiurile \(AOM\) și \(DOM\) sunt adiacente și împreună formează \(AOD\), deci sunt suplementare: suma lor este \(180^\circ\). Așadar \(DOM=180^\circ-25^\circ=155^\circ\).

3. 3

   Verificăm variantele

   155^\circ\Rightarrow \text{d)}

   Varianta a) \(25^\circ\) este doar \(AOM\), nu \(DOM\). Varianta b) \(50^\circ\) este \(AOB\), iar c) \(130^\circ\) ar rezulta dacă am scădea \(50^\circ\) din \(180^\circ\), uitând de bisectoare. Corect este d) \(155^\circ\).

Răspuns: Varianta corectă este d) \(155^\circ\).

Subiectul II, itemul 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel \(ABC\) cu \(AB = AC\) și \(\measuredangle BAC = 50^\circ\). Punctul \(D\) aparține segmentului \(AC\), astfel încât \(BD = BC\). Măsura unghiului \(BDC\) este egală cu: a) \(50^\circ\) b) \(65^\circ\) c) \(115^\circ\) d) \(130^\circ\).

Metoda: Unghiurile triunghiului isoscel

1. 1

   Aflăm unghiurile de la baza triunghiului ABC

   \measuredangle ABC=\measuredangle ACB=\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ

   Triunghiul \(ABC\) este isoscel cu \(AB = AC\), deci unghiurile de la bază, \(\measuredangle ABC\) și \(\measuredangle ACB\), sunt congruente. Suma unghiurilor este \(180^\circ\), iar unghiul din vârf este \(50^\circ\). Rămân \(180^\circ-50^\circ=130^\circ\) pentru cele două unghiuri egale, deci fiecare are \(130^\circ:2=65^\circ\).

2. 2

   Folosim triunghiul isoscel BDC

   \measuredangle BDC=\measuredangle BCD=65^\circ

   În triunghiul \(BDC\) avem \(BD = BC\), deci este isoscel cu baza \(DC\). Unghiurile de la bază sunt \(\measuredangle BDC\) și \(\measuredangle BCD\), deci sunt congruente. Cum \(D\) este pe \(AC\), unghiul \(\measuredangle BCD\) este chiar \(\measuredangle ACB=65^\circ\). Așadar \(\measuredangle BDC=65^\circ\).

3. 3

   Verificăm și alegem răspunsul

   \measuredangle DBC=180^\circ-2\cdot65^\circ=50^\circ

   Verificăm: în triunghiul \(BDC\), unghiul \(\measuredangle DBC=180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ\), iar suma este \(65^\circ+65^\circ+50^\circ=180^\circ\). Deci \(\measuredangle BDC=65^\circ\), varianta b). Varianta a) (50°) ar fi unghiul din vârf, nu cel de la bază. Variantele c) 115° și d) 130° sunt prea mari: într-un triunghi isoscel cu doi de 115° suma ar depăși 180°.

Răspuns: Măsura unghiului \(BDC\) este \(65^\circ\), deci varianta corectă este b).

Subiectul al II-lea, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul \(ABCD\) cu \(AB = 10\text{ cm}\) și \(BC = 6\text{ cm}\). Perimetrul paralelogramului \(ABCD\) este egal cu: a) \(16\text{ cm}\); b) \(24\text{ cm}\); c) \(32\text{ cm}\); d) \(40\text{ cm}\).

Metoda: Perimetrul paralelogramului

1. 1

   Găsim toate laturile paralelogramului

   CD = AB = 10\text{ cm},\quad AD = BC = 6\text{ cm}

   Într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele și egale. Deci \(CD = AB = 10\text{ cm}\) și \(AD = BC = 6\text{ cm}\). Astfel cunoaștem lungimile tuturor celor patru laturi.

2. 2

   Calculăm perimetrul

   P_{ABCD} = 2\cdot(AB + BC) = 2\cdot(10 + 6) = 2\cdot 16 = 32\text{ cm}

   Perimetrul este suma laturilor: \(10 + 6 + 10 + 6\). Cum laturile apar câte două, putem scrie \(2\cdot(10+6)\). Adunăm \(10+6=16\), apoi înmulțim cu 2 și obținem 32 cm.

3. 3

   Alegem varianta corectă

   P_{ABCD} = 32\text{ cm} \Rightarrow \text{varianta c)}

   Rezultatul 32 cm corespunde variantei c). Varianta a) 16 cm este doar \(AB+BC\), adică jumătate din perimetru. Varianta b) 24 cm ar veni din \(6\cdot 4\), adică a fost folosită doar latura de 6 cm. Varianta d) 40 cm ar veni din \(10\cdot 4\), adică a fost folosită doar latura de 10 cm.

Răspuns: Perimetrul paralelogramului \(ABCD\) este \(32\text{ cm}\), deci răspunsul corect este c).

Subiectul al II-lea, itemul 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\). Punctele \(A\) și \(B\) aparțin cercului, astfel încât măsura unghiului \(AOB\) este de \(60^\circ\) și \(AB = 10\text{ cm}\). Lungimea cercului este egală cu: a) \(10\pi\text{ cm}\); b) \(20\pi\text{ cm}\); c) \(100\pi\text{ cm}\); d) \(200\pi\text{ cm}\).

Metoda: Triunghi echilateral și lungimea cercului

1. 1

   Ce fel de triunghi este AOB?

   OA = OB = r

   Punctele \(A\) și \(B\) sunt pe cerc, deci \(OA\) și \(OB\) sunt raze ale cercului și sunt egale. Triunghiul \(AOB\) este așadar isoscel, cu vârful în \(O\). Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\), deci celelalte două unghiuri au împreună \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Fiind egale (unghiurile de la baza unui triunghi isoscel), fiecare are \(60^\circ\). Toate unghiurile sunt de \(60^\circ\), deci triunghiul este echilateral.

2. 2

   Aflăm raza cercului

   OA = OB = AB = 10\text{ cm}

   Într-un triunghi echilateral toate laturile sunt egale. Cum \(AB = 10\text{ cm}\), obținem \(OA = OB = 10\text{ cm}\). Deci raza cercului este \(r = 10\text{ cm}\).

3. 3

   Calculăm lungimea cercului

   L = 2\pi r = 2\pi \cdot 10 = 20\pi\text{ cm}

   Lungimea cercului se calculează cu formula \(L = 2\pi r\). Punem \(r = 10\) și obținem \(2 \cdot 10 = 20\), deci \(L = 20\pi\text{ cm}\). Răspunsul corect este varianta b). Varianta a) \(10\pi\) ar corespunde unei raze de \(5\text{ cm}\) (ai uitat factorul 2). Variantele c) și d) ar veni din confuzii cu pătratul razei sau cu aria.

Răspuns: Lungimea cercului este \(20\pi\text{ cm}\), deci varianta corectă este b).

Subiectul al II-lea, itemul 6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic \(VAB\). Înălțimea conului are lungimea egală cu \(2\sqrt{2}\) cm. Aria bazei conului este egală cu: a) \(8\text{ cm}^2\); b) \(16\text{ cm}^2\); c) \(8\pi\text{ cm}^2\); d) \(16\pi\text{ cm}^2\). Din figură: \(V\) este vârful conului, \(AB\) este diametrul bazei, \(O\) este centrul bazei, iar \(VO\) este înălțimea.

Metoda: Triunghi dreptunghic isoscel, aria discului

1. 1

   Aflăm ce fel de triunghi este VAB

   VA=VB,\ \angle AVB=90^\circ \Rightarrow \angle VAB=\angle VBA=45^\circ

   Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi isoscel, pentru că \(VA\) și \(VB\) sunt generatoare și sunt egale. Cum triunghiul este dreptunghic în \(V\), unghiurile de la bază sunt egale și au suma \(90^\circ\), deci fiecare are \(45^\circ\).

2. 2

   Aflăm raza bazei

   VO\perp AB,\ VO \text{ mediană} \Rightarrow OA=OB=VO=2\sqrt{2}

   Înălțimea \(VO\) este și mediană în triunghiul isoscel, deci \(O\) este mijlocul lui \(AB\). Mediana corespunzătoare ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic este jumătate din ipotenuză, deci \(VO=\frac{AB}{2}=OA\). Astfel raza este egală cu înălțimea: \(r=2\sqrt{2}\) cm. (Același lucru rezultă din triunghiul \(VOA\), dreptunghic isoscel, cu unghiurile de \(45^\circ\).)

3. 3

   Calculăm aria bazei

   \mathcal{A}_b=\pi r^2=\pi\cdot(2\sqrt{2})^2=\pi\cdot 8=8\pi\ \text{cm}^2

   Baza este un disc de rază \(r\), deci aria este \(\pi r^2\). Avem \((2\sqrt{2})^2=2^2\cdot(\sqrt{2})^2=4\cdot 2=8\). Rezultă \(8\pi\) cm², adică varianta c). Variantele a) și b) nu au \(\pi\), deși aria unui cerc conține \(\pi\). Varianta d) ar corespunde lui \(r^2=16\), adică \(r=4\), greșit.

Răspuns: Varianta corectă este c) \(8\pi\text{ cm}^2\).

Mihai a cheltuit o sumă de bani în patru zile. În prima zi a cheltuit \(20\%\) din întreaga sumă, în a doua zi \(30\%\) din suma rămasă, în a treia zi cu 20 de lei mai mult decât a doua zi, iar în a patra zi a cheltuit ultimii 44 de lei. a) (2p) Verifică dacă Mihai a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani. Justifică răspunsul dat. b) (3p) Determină suma de bani cheltuită de Mihai, în total, în cele patru zile.

Metoda: Procente dintr-o sumă și ecuație

1. 1

   a) Suma cheltuită în a doua zi

   \frac{30}{100}\left(x-\frac{20}{100}x\right)=\frac{24x}{100}

   Notăm cu x întreaga sumă. În prima zi a cheltuit 20% din x, deci a rămas x minus 20% din x, adică 80% din x. În a doua zi a cheltuit 30% din această sumă rămasă: 30/100 · 80/100 · x = 24x/100.

2. 2

   a) Comparăm cu un sfert

   \frac{24x}{100}<\frac{25x}{100}=\frac{1}{4}\cdot x

   Un sfert din x este x/4 = 25x/100. Cum 24x/100 < 25x/100, în a doua zi Mihai a cheltuit mai puțin decât un sfert din suma întreagă. Deci răspunsul este: NU, nu a cheltuit un sfert.

3. 3

   b) Cheltuielile din celelalte zile

   \frac{x}{5}+\frac{6x}{25}+\left(\frac{6x}{25}+20\right)+44=x

   Prima zi: 20% din x = x/5. A doua zi: 24x/100 = 6x/25. A treia zi: cu 20 lei mai mult decât a doua, deci 6x/25 + 20. A patra zi: 44 lei. Toate la un loc alcătuiesc întreaga sumă x, de aceea suma lor este egală cu x.

4. 4

   b) Reducem termenii și rezolvăm ecuația

   \frac{17x}{25}+64=x \Rightarrow 64=\frac{8x}{25} \Rightarrow x=200

   Amplificăm x/5 cu 5: 5x/25. Termenii cu x: 5x/25 + 6x/25 + 6x/25 = 17x/25. Numerele: 20 + 44 = 64. Rămâne 17x/25 + 64 = x. Scădem 17x/25 din ambele părți: 64 = 8x/25. Atunci x = 64 · 25 : 8 = 200.

5. 5

   Verificare

   40+48+68+44=200

   Cu x = 200: ziua 1: 40 lei; rămân 160; ziua 2: 30% din 160 = 48 lei; ziua 3: 48 + 20 = 68 lei; ziua 4: 44 lei. Suma: 200 lei, deci rezultatul este corect.

Răspuns: a) Nu, în a doua zi a cheltuit 24% din sumă, mai puțin decât un sfert (25%). b) Suma totală cheltuită este 200 de lei.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{x}{9+3x}-\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x^2+3x}\right):\left(\frac{x}{3}+\frac{3}{x}-2\right)\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -3\), \(x\neq 0\) și \(x\neq 3\). a) Arată că \(\frac{x}{9+3x}-\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x^2+3x}=\frac{(x-3)^2}{3x(x+3)}\), pentru orice număr real \(x\), \(x\neq -3\) și \(x\neq 0\). b) Determină numărul natural \(n\) pentru care \(5\cdot E(n)\) este număr natural.

Metoda: Fracții algebrice și descompuneri în factori

1. 1

   a) Descompunem numitorii

   9+3x=3(x+3),\quad x^2+3x=x(x+3)

   Scoatem factorul comun la numitorii \(9+3x\) și \(x^2+3x\). Astfel vedem ce au în comun toți numitorii și putem găsi numitorul comun. Suma devine: \(\frac{x}{3(x+3)}-\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x(x+3)}\).

2. 2

   a) Aducem la numitor comun și calculăm

   \frac{x^2-6x+9}{3x(x+3)}=\frac{(x-3)^2}{3x(x+3)}

   Numitorul comun este \(3x(x+3)\). Amplificăm prima fracție cu \(x\), a doua cu \(3x\), iar a treia cu \(3\). Obținem \(\frac{x\cdot x-2\cdot 3x+3\cdot 3}{3x(x+3)}=\frac{x^2-6x+9}{3x(x+3)}\). Numărătorul este pătratul diferenței \((x-3)^2=x^2-6x+9\), deci egalitatea este demonstrată.

3. 3

   b) Simplificăm a doua paranteză

   \frac{x}{3}+\frac{3}{x}-2=\frac{x^2+9-6x}{3x}=\frac{(x-3)^2}{3x}

   Aducem la numitorul comun \(3x\): \(\frac{x\cdot x+3\cdot 3-2\cdot 3x}{3x}\). Numărătorul \(x^2-6x+9\) este din nou \((x-3)^2\).

4. 4

   b) Calculăm E(x)

   E(x)=\frac{(x-3)^2}{3x(x+3)}\cdot\frac{3x}{(x-3)^2}=\frac{1}{x+3}

   Împărțirea se transformă în înmulțire cu inversa fracției. Simplificăm \((x-3)^2\) (nenul, pentru că \(x\neq 3\)) și \(3x\) (nenul, pentru că \(x\neq 0\)). Rămâne \(E(x)=\frac{1}{x+3}\).

5. 5

   b) Aflăm n

   5\cdot E(n)=\frac{5}{n+3}\in\mathbb{N}\Rightarrow n+3\in\{1,5\}\Rightarrow n=2

   Fracția \(\frac{5}{n+3}\) este număr natural doar dacă \(n+3\) este divizor al lui 5, adică 1 sau 5. Cum \(n\) este natural, \(n+3\geq 3\), deci \(n+3=1\) nu se poate. Rămâne \(n+3=5\), deci \(n=2\). Verificare: \(n=2\) respectă condițiile \(n\neq 0\) și \(n\neq 3\).

Răspuns: a) Egalitatea este demonstrată, ambele părți fiind \(\frac{(x-3)^2}{3x(x+3)}\). b) \(E(x)=\frac{1}{x+3}\), iar \(n=2\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x+2\). a) Arată că \(2023\cdot f(-2)=0\). b) Punctele \(A\) și \(B\) sunt punctele de intersecție a graficului funcției \(f\) cu axele \(Ox\), respectiv \(Oy\), ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\), iar punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\). Arată că punctele \(N\), \(O\) și \(M\) sunt coliniare, unde \(N(3,-3)\). (În figură: graficul dreptei \(f\), originea \(O\) și punctul \(N\) în cadranul al patrulea.)

Metoda: Funcția liniară și coliniaritate

1. 1

   a) Calculăm f(-2)

   f(-2)=-2+2=0

   Pentru a afla \(f(-2)\), înlocuim pe \(x\) cu \(-2\) în formula \(f(x)=x+2\). Obținem \(-2+2=0\).

2. 2

   a) Calculăm produsul

   2023\cdot f(-2)=2023\cdot 0=0

   Cum \(f(-2)=0\), produsul cu orice număr este 0. Deci egalitatea cerută este adevărată.

3. 3

   b) Punctele de intersecție A și B

   A(-2,0),\ B(0,2)

   Intersecția cu \(Ox\): punem \(f(x)=0\), adică \(x+2=0\), deci \(x=-2\) și \(A(-2,0)\). Intersecția cu \(Oy\): punem \(x=0\), deci \(f(0)=2\) și \(B(0,2)\).

4. 4

   b) Unghiul MOB

   \triangle AOB \text{ dreptunghic isoscel},\ OA=OB=2 \Rightarrow \angle MOB=45^\circ

   Triunghiul \(AOB\) este dreptunghic în \(O\), cu \(OA=OB=2\), deci isoscel. Mediana \(OM\) este și bisectoare, deci \(\angle MOB=90^\circ:2=45^\circ\).

5. 5

   b) Coliniaritatea punctelor N, O, M

   \angle MON=\angle MOB+\angle BOP+\angle PON=45^\circ+90^\circ+45^\circ=180^\circ

   Proiecția lui \(N(3,-3)\) pe \(Ox\) este \(P(3,0)\). Triunghiul \(OPN\) are \(OP=PN=3\) și unghi drept în \(P\), deci \(\angle PON=45^\circ\). Unghiul \(BOP\) este 90° (între axele Oy și Ox). Suma este 180°, deci \(\angle MON\) este unghi alungit și punctele N, O, M sunt coliniare.

Răspuns: a) \(f(-2)=0\), deci \(2023\cdot f(-2)=0\). b) \(\angle MON=180^\circ\), deci punctele N, O și M sunt coliniare.

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul \(ABCD\) cu \(AB=12\,\text{cm}\) și \(BC=9\,\text{cm}\). Punctul \(E\) aparține segmentului \(AC\), astfel încât \(AE=10\,\text{cm}\). Prin \(E\) se duc dreptele \(QN\) și \(PM\), paralele cu dreptele \(AB\), respectiv \(BC\). Punctele \(M, N, P\) și \(Q\) aparțin segmentelor \(AB\), \(BC\), \(CD\) și respectiv \(AD\). a) Arată că \(AC=15\,\text{cm}\). b) Arată că aria patrulaterului \(AMEQ\) este de patru ori mai mare decât aria patrulaterului \(CNEP\). (Figura: dreptunghiul \(ABCD\) cu diagonala \(AC\); \(E\) pe diagonală; \(QN\parallel AB\) și \(PM\parallel BC\) se taie în \(E\).)

Metoda: Teorema lui Pitagora și asemănare

1. 1

   a) Diagonala AC cu teorema lui Pitagora

   AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\), pentru că \(ABCD\) este dreptunghi. Latura \(AC\) este ipotenuza, deci \(AC^2=AB^2+BC^2\). Calculăm: \(12^2=144\), \(9^2=81\), suma este \(225\), iar \(\sqrt{225}=15\). Deci \(AC=15\,\text{cm}\).

2. 2

   b) Dreptunghiurile AMEQ și CNEP

   QN\parallel AB\parallel CD,\ PM\parallel BC\parallel AD,\ \angle QAM=\angle PCN=90^\circ

   Dreptele \(QN\) și \(PM\) sunt paralele cu laturile dreptunghiului, deci patrulaterul \(AMEQ\) are laturile paralele două câte două și un unghi drept în \(A\). Este dreptunghi. La fel, \(CNEP\) are unghi drept în \(C\) și laturi paralele două câte două, deci este dreptunghi. Putem calcula ariile prin produsul laturilor.

3. 3

   b) Asemănarea triunghiurilor PEC și MEA

   PC\parallel AM\Rightarrow \triangle PEC\sim\triangle MEA,\ \frac{PE}{ME}=\frac{PC}{AM}=\frac{EC}{EA}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}

   Avem \(PC\parallel AM\), iar \(E\) este pe diagonala \(AC\). Deci triunghiurile \(PEC\) și \(MEA\) sunt asemenea. Raportul de asemănare este raportul laturilor corespunzătoare \(EC\) și \(EA\). Avem \(EC=AC-AE=15-10=5\), deci \(\frac{EC}{EA}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). Rezultă \(PE=\frac{1}{2}ME\) și \(PC=\frac{1}{2}AM\), adică \(ME=2\cdot PE\) și \(AM=2\cdot PC\).

4. 4

   b) Compararea ariilor

   \mathcal{A}_{AMEQ}=AM\cdot ME=2PC\cdot 2PE=4\cdot PC\cdot PE=4\cdot\mathcal{A}_{CNEP}

   Aria unui dreptunghi este produsul laturilor. Înlocuim \(AM=2\cdot PC\) și \(ME=2\cdot PE\): obținem \(2\cdot 2\cdot PC\cdot PE=4\cdot PC\cdot PE\). Dar \(PC\cdot PE\) este chiar aria dreptunghiului \(CNEP\). Deci aria lui \(AMEQ\) este de patru ori mai mare decât aria lui \(CNEP\), ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: a) \(AC=15\,\text{cm}\). b) \(\mathcal{A}_{AMEQ}=4\cdot\mathcal{A}_{CNEP}\), deoarece laturile lui \(AMEQ\) sunt de două ori mai mari decât cele corespunzătoare din \(CNEP\).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(B\), cu \(AB = 2\sqrt{2}\) cm, \(BC = 2\sqrt{6}\) cm și triunghiul dreptunghic isoscel \(AEB\) cu \(AE = EB\). Punctele \(E\) și \(C\) sunt de aceeași parte a dreptei \(AB\). (2p) a) Arată că perimetrul triunghiului \(ABC\) este egal cu \(2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})\) cm. (3p) b) Calculează distanța de la punctul \(E\) la dreapta \(AC\).

Metoda: Pitagora și aria triunghiului

1. 1

   a) Aflăm ipotenuza AC

   AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8+24}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}

   Triunghiul ABC este dreptunghic în B, deci AC este ipotenuza. Aplicăm teorema lui Pitagora: \(AC^2=AB^2+BC^2\). Avem \((2\sqrt{2})^2=8\) și \((2\sqrt{6})^2=24\), deci \(AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) cm.

2. 2

   a) Calculăm perimetrul

   P=AB+BC+AC=2\sqrt{2}+2\sqrt{6}+4\sqrt{2}=2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})

   Perimetrul este suma laturilor. Adunăm \(2\sqrt{2}+4\sqrt{2}=6\sqrt{2}\). Mai scriem \(2\sqrt{6}=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\). Dăm factor comun \(2\sqrt{2}\): \(2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})\) cm, exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Înălțimea EM și distanțele la AB și BC

   EM=\frac{AB}{2}=\sqrt{2},\quad EN=EM=\sqrt{2}

   Triunghiul AEB este dreptunghic isoscel (unghi drept în E), deci mediana EM din E pe ipotenuza AB este și înălțime, și bisectoare, și \(EM=AB/2=\sqrt{2}\). Cum BE este bisectoarea unghiului ABC (unghiul EBA are 45°, iar ABC are 90°), punctul E este la aceeași distanță de AB și BC: \(EN=EM=\sqrt{2}\) cm, unde \(EN\perp BC\).

4. 4

   b) Aria triunghiului AEC

   \mathcal{A}_{AEC}=\mathcal{A}_{ABC}-\mathcal{A}_{AEB}-\mathcal{A}_{BEC}=2\sqrt{3}\cdot 2-\ldots=2(\sqrt{3}-1)

   Triunghiul ABC se descompune în AEB, BEC și AEC, deci aria lui AEC se obține prin scădere. \(\mathcal{A}_{ABC}=\frac{2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\). \(\mathcal{A}_{AEB}=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}=2\). \(\mathcal{A}_{BEC}=\frac{2\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}}{2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Rezultă \(4\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2=2(\sqrt{3}-1)\) cm².

5. 5

   b) Distanța de la E la AC

   \mathcal{A}_{AEC}=\frac{AC\cdot EP}{2}\Rightarrow EP=\frac{2\cdot2(\sqrt{3}-1)}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}

   Distanța de la E la AC este înălțimea EP a triunghiului AEC, cu \(EP\perp AC\). Din \(\mathcal{A}=\frac{AC\cdot EP}{2}\) avem \(EP=\frac{2\mathcal{A}}{AC}=\frac{4(\sqrt{3}-1)}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\). Raționalizăm cu \(\sqrt{2}\): \(\frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\) cm.

Răspuns: a) Perimetrul triunghiului ABC este \(2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})\) cm. b) Distanța de la E la AC este \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\) cm.

În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\) cu \(AB = AA' = 4\text{ cm}\) și \(BC = 2\text{ cm}\). (2p) a) Arată că aria totală a paralelipipedului dreptunghic \(ABCDA'B'C'D'\) este egală cu \(64\text{ cm}^2\). (3p) b) Arată că dreapta \(NP\) este paralelă cu planul \((ACD')\), unde punctul \(N\) este proiecția punctului \(C'\) pe dreapta \(B'D'\) și punctul \(P\) este proiecția punctului \(C'\) pe dreapta \(CB'\). (În figură: baza \(ABCD\), fața de sus \(A'B'C'D'\), diagonala \(B'D'\) a feței de sus, diagonala \(CB'\) a feței laterale \(BCC'B'\) și planul \((ACD')\).)

Metoda: Aria totală și paralelism dreaptă-plan

1. 1

   a) Aria totală a paralelipipedului

   \mathcal{A}_t = 2\cdot(AB\cdot AA' + BC\cdot AA' + AB\cdot BC)

   Paralelipipedul dreptunghic are 6 fețe, câte două egale (perechi de dreptunghiuri). Dimensiunile sunt \(L=AB=4\), \(l=BC=2\), \(h=AA'=4\). Adunăm ariile celor trei tipuri de fețe diferite și înmulțim cu 2, deoarece fiecare apare de două ori.

2. 2

   a) Calculul ariei totale

   \mathcal{A}_t = 2\cdot(16+8+8) = 2\cdot 32 = 64\ \text{cm}^2

   Înlocuim în formulă: \(AB\cdot AA'=16\), \(BC\cdot AA'=8\), \(AB\cdot BC=8\). Suma este 32, iar prin dublare obținem 64, exact cât trebuia arătat.

3. 3

   b) Triunghiurile \(B'C'D'\) și \(B'C'C\) sunt congruente

   \Delta B'C'D' \equiv \Delta B'C'C \Rightarrow B'D' = B'C

   Fața de sus \(A'B'C'D'\) este dreptunghi cu \(B'C'=2\), \(C'D'=4\). Fața laterală \(BCC'B'\) este dreptunghi cu \(B'C'=2\) și \(CC'=AA'=4\). Cele două triunghiuri dreptunghice (în \(C'\)) au catetele 2 și 4, deci sunt congruente (C.C.). Atunci ipotenuzele sunt egale: \(B'D'=B'C\).

4. 4

   b) Teorema catetei pentru \(B'N\) și \(B'P\)

   B'N=\frac{B'C'^2}{B'D'},\qquad B'P=\frac{B'C'^2}{B'C} \Rightarrow B'N=B'P

   În triunghiul dreptunghic \(B'C'D'\), \(C'N\) este înălțimea pe ipotenuză, deci \(B'N\) este proiecția catetei \(B'C'\) pe ipotenuză și teorema catetei dă \(B'C'^2=B'N\cdot B'D'\). La fel, în \(B'C'C\), \(C'P\) este înălțimea pe ipotenuza \(CB'\), deci \(B'C'^2=B'P\cdot B'C\). Cum \(B'D'=B'C\), obținem \(B'N=B'P\).

5. 5

   b) Concluzia: \(NP \parallel (ACD')\)

   \frac{B'N}{B'D'}=\frac{B'P}{B'C}\Rightarrow NP\parallel D'C,\ D'C\subset (ACD')\Rightarrow NP\parallel (ACD')

   Din \(B'N=B'P\) și \(B'D'=B'C\) rezultă rapoartele egale în triunghiul \(B'D'C\). Conform reciprocei teoremei lui Thales, \(NP\parallel D'C\). Dreapta \(D'C\) se află în planul \((ACD')\), iar o dreaptă paralelă cu o dreaptă a planului (și care nu este în plan) este paralelă cu planul. Deci \(NP\parallel (ACD')\).

Răspuns: a) \(\mathcal{A}_t = 64\text{ cm}^2\). b) \(B'N=B'P\), deci \(NP\parallel D'C\), iar \(D'C\subset (ACD')\), prin urmare \(NP\parallel (ACD')\).