Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2026, sesiunea iunie–iulie (rezervă) (varianta 05)

Rezultatul calculului \(27-24:3\) este egal cu: a) 19; b) 17; c) 1; d) 0.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   27-24:3

   În calcul apar o scădere și o împărțire, fără paranteze. Regula spune că înmulțirile și împărțirile se fac înaintea adunărilor și scăderilor. Deci întâi calculăm \(24:3\), nu \(27-24\).

2. 2

   Calculăm împărțirea

   24:3=8

   Împărțim 24 la 3. Cum \(3\cdot 8=24\), câtul este 8. Expresia devine \(27-8\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   27-8=19

   Acum mai rămâne doar scăderea \(27-8\), care dă 19. Deci rezultatul este 19, adică varianta a).

4. 4

   Verificăm celelalte variante

   27-24:3=19

   Varianta b) 17 nu se obține. Varianta c) 1 și d) 0 apar dacă scădem greșit întâi: \((27-24):3=3:3=1\). Acest calcul ar fi corect doar dacă am avea paranteze, dar în enunț nu sunt. Deci singurul răspuns corect este a) 19.

Răspuns: Rezultatul este 19, deci varianta corectă este a).

Știind că \(\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=5\), rezultatul calculului \(a+b\) este egal cu: a) 7; b) 10; c) 12; d) 35.

Metoda: Șir de rapoarte egale

1. 1

   Aflăm numărul a

   \frac{a}{3}=5 \Rightarrow a=5\cdot 3=15

   Raportul \(\frac{a}{3}\) este egal cu 5. Dacă a împărțit la 3 dă 5, atunci a este de 3 ori mai mare decât 5, deci îl aflăm prin înmulțire: \(a=5\cdot 3=15\).

2. 2

   Aflăm numărul b

   \frac{b}{4}=5 \Rightarrow b=5\cdot 4=20

   Procedăm la fel: \(\frac{b}{4}=5\), deci b este de 4 ori mai mare decât 5: \(b=5\cdot 4=20\).

3. 3

   Calculăm a + b și alegem varianta

   a+b=15+20=35

   Adunăm cele două numere găsite: \(15+20=35\). Este varianta d). Celelalte nu merg: 7 este 3+4 (suma numitorilor, nu a numerelor a și b), 12 este 3·4, iar 10 este 5+5. Niciuna nu provine din a=15 și b=20.

Răspuns: d) 35

Soluția ecuației \(5 - x = 5\) este numărul: a) \(-10\); b) \(-1\); c) \(0\); d) \(10\).

Metoda: Ecuație de forma 5 - x = 5

1. 1

   Izolăm necunoscuta

   5 - x = 5 \Rightarrow -x = 5 - 5

   Vrem să-l avem pe x singur. Scădem 5 din ambii membri ai egalității, ca ea să rămână adevărată. Astfel, în stânga rămâne doar \(-x\), iar în dreapta \(5 - 5\).

2. 2

   Aflăm valoarea lui x

   -x = 0 \Rightarrow x = 0

   Dacă opusul lui x este 0, atunci x este chiar 0, pentru că singurul număr care are opusul egal cu el însuși este 0. Deci soluția este 0.

3. 3

   Verificăm și alegem varianta

   5 - 0 = 5

   Înlocuim x cu 0 în ecuația inițială: \(5 - 0 = 5\), adevărat. Deci varianta c) este corectă. Celelalte nu merg: pentru \(x = -10\) avem \(5 - (-10) = 15\); pentru \(x = -1\) avem \(5 - (-1) = 6\); pentru \(x = 10\) avem \(5 - 10 = -5\). Niciunul nu dă 5.

Răspuns: Varianta c): x = 0.

Inversul numărului \(\frac{5}{9}\) este numărul: a) \(-\frac{9}{5}\); b) \(-\frac{5}{9}\); c) \(\frac{5}{9}\); d) \(\frac{9}{5}\).

Metoda: Inversul unui număr rațional

1. 1

   Ce înseamnă inversul unui număr

   a\cdot \frac{1}{a}=1

   Inversul unui număr nenul \(a\) este numărul care, înmulțit cu \(a\), dă rezultatul \(1\). Deci, ca să verificăm un invers, înmulțim cele două numere și vedem dacă obținem \(1\).

2. 2

   Aflăm inversul lui 5/9

   \frac{5}{9}\cdot\frac{9}{5}=\frac{45}{45}=1

   Pentru o fracție, inversul se obține inversând numărătorul cu numitorul. Inversul lui \(\frac{5}{9}\) este \(\frac{9}{5}\). Verificăm: produsul lor este \(\frac{5\cdot 9}{9\cdot 5}=\frac{45}{45}=1\).

3. 3

   Alegem varianta corectă

   \frac{9}{5}

   Varianta d) este \(\frac{9}{5}\), iar produsul ei cu \(\frac{5}{9}\) este \(1\). Variantele a) și b) sunt negative: produsul lui \(\frac{5}{9}\) cu un număr negativ ar fi negativ, deci nu poate fi \(1\). Varianta c) este chiar \(\frac{5}{9}\): \(\frac{5}{9}\cdot\frac{5}{9}=\frac{25}{81}\neq 1\).

Răspuns: Răspunsul corect este d) \(\frac{9}{5}\).

Patru elevi, Mihai, Cristina, Ionuț și Ana, calculează produsul numerelor \(a = 5 - 2\sqrt{6}\) și \(b = 5 + 2\sqrt{6}\). Rezultatele obținute sunt: Mihai \(10\), Cristina \(1\), Ionuț \(4\sqrt{6}\), Ana \(10 + 4\sqrt{6}\). Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Mihai; b) Cristina; c) Ionuț; d) Ana.

Metoda: Formula (a−b)(a+b)=a²−b²

1. 1

   Scriem produsul cerut

   a\cdot b=(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})

   Începem prin a scrie exact ce trebuie calculat: produsul \(a\cdot b\), cu valorile date. Observăm că cei doi factori au aceiași termeni, \(5\) și \(2\sqrt{6}\), dar unul are minus, iar celălalt plus.

2. 2

   Aplicăm formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)

   (5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})=5^2-(2\sqrt{6})^2

   Folosim formula \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\) cu \(x=5\) și \(y=2\sqrt{6}\). Astfel scăpăm de parantezele înmulțite și nu mai apar termeni amestecați cu radicali.

3. 3

   Calculăm \((2\sqrt{6})^2\)

   (2\sqrt{6})^2=2^2\cdot(\sqrt{6})^2=4\cdot 6=24

   Puterea unui produs se calculează ridicând la pătrat fiecare factor. Iar \((\sqrt{6})^2=6\), pentru că rădăcina pătrată și ridicarea la pătrat se „anulează” între ele.

4. 4

   Efectuăm scăderea și alegem varianta

   a\cdot b=25-24=1

   Acum scădem: \(25-24=1\). Produsul este \(1\), deci rezultatul corect este cel obținut de Cristina, varianta b). Celelalte nu merg: Mihai a scris \(10\) (probabil a calculat \(5+5\) și a ignorat radicalii), Ionuț a scris \(4\sqrt{6}\) (a păstrat doar termenii cu radical), iar Ana a scris \(10+4\sqrt{6}\) (care este \(a+b\) dacă am aduna, nu produsul; de fapt suma este \(10\)), deci niciunul nu coincide cu \(1\).

Răspuns: b) Cristina. Produsul este \(a\cdot b=25-24=1\).

Un telefon care costă 1000 de lei se scumpește cu \(20\%\). Matei afirmă: „Noul preț al telefonului este 1200 de lei.”. Afirmația lui Matei este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Procente dintr-un număr

1. 1

   Aflăm cât reprezintă 20% din 1000 de lei

   20\% \cdot 1000 = \frac{20}{100}\cdot 1000 = 200

   Scumpirea de \(20\%\) înseamnă că prețul crește cu \(20\%\) din prețul vechi. Un procent este o fracție cu numitorul 100, deci \(20\%=\frac{20}{100}\). Calculăm această fracție din 1000.

2. 2

   Calculăm noul preț

   1000 + 200 = 1200

   Scumpirea înseamnă că adăugăm la prețul vechi suma cu care a crescut prețul. Deci noul preț este \(1000+200=1200\) lei.

3. 3

   Concluzia: valoarea de adevăr a afirmației

   1200 = 1200 \Rightarrow \text{afirmația este adevărată}

   Noul preț calculat de noi, 1200 de lei, este exact cel spus de Matei. Deci afirmația lui este adevărată, varianta a). Varianta b) „falsă” nu merge, pentru că nu am găsit nicio nepotrivire între calcul și afirmația lui Matei.

Răspuns: Răspunsul corect este a) adevărată: noul preț este 1000 + 200 = 1200 de lei.

În figura alăturată, punctele \(A, B, C\) și \(D\) sunt coliniare, în această ordine. Dacă \(AB = 2\text{ cm}\), \(CD = 2 \cdot AB\) și \(AD = 9\text{ cm}\), atunci lungimea segmentului \(BC\) este egală cu: a) 3 cm; b) 5 cm; c) 6 cm; d) 7 cm.

Metoda: Adunarea lungimilor segmentelor

1. 1

   Aflăm lungimea lui CD

   CD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 2 = 4\text{ cm}

   Problema spune că \(CD\) este de două ori mai mare decât \(AB\). Cum \(AB = 2\text{ cm}\), înmulțim 2 cu 2 și obținem \(CD = 4\text{ cm}\). Avem nevoie de CD ca să știm cât din AD este ocupat de el.

2. 2

   Scriem AD ca sumă de segmente

   AD = AB + BC + CD

   Deoarece punctele sunt coliniare în ordinea A, B, C, D, segmentul AD se împarte în trei segmente consecutive: AB, BC, CD. Lungimea totală este suma lor.

3. 3

   Calculăm BC

   9 = 2 + BC + 4 \Rightarrow BC = 9 - 2 - 4 = 3\text{ cm}

   Înlocuim în suma de la pasul anterior: \(9 = 2 + BC + 4\), adică \(9 = 6 + BC\). Deci BC este ce lipsește din 6 până la 9, adică 3 cm.

4. 4

   Verificăm și alegem varianta

   2 + 3 + 4 = 9

   Adunăm cele trei lungimi: \(2+3+4=9\), exact cât este AD, deci rezultatul este corect. Varianta corectă este a) 3 cm. Varianta b) 5 cm ar da \(2+5+4=11\neq 9\); c) 6 cm ar da 12; d) 7 cm ar da 13. Niciuna nu dă 9.

Răspuns: BC = 3 cm, deci varianta corectă este a).

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile congruente \(AOB\), \(BOC\) și \(COA\). Semidreapta \(OD\) este bisectoarea unghiului \(AOB\) și semidreapta \(OE\) este bisectoarea unghiului \(DOB\). Măsura unghiului \(EOC\) este egală cu: a) \(60^\circ\); b) \(90^\circ\); c) \(120^\circ\); d) \(150^\circ\).

Metoda: Unghiuri și bisectoare

1. 1

   Măsura unghiului AOB

   3\cdot \angle AOB=360^\circ \Rightarrow \angle AOB=120^\circ

   Unghiurile \(AOB\), \(BOC\) și \(COA\) sunt formate în jurul punctului O și acoperă tot cercul, deci suma lor este \(360^\circ\). Fiind congruente, fiecare măsoară \(360^\circ:3=120^\circ\).

2. 2

   Măsura unghiului DOB

   \angle DOB=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ

   OD este bisectoarea unghiului \(AOB\), deci îl împarte în două unghiuri congruente. Așadar \(\angle DOB=120^\circ:2=60^\circ\).

3. 3

   Măsura unghiului EOB

   \angle EOB=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ

   OE este bisectoarea unghiului \(DOB\), deci îl împarte în două părți egale: \(60^\circ:2=30^\circ\).

4. 4

   Măsura unghiului EOC

   \angle EOC=\angle EOB+\angle BOC=30^\circ+120^\circ=150^\circ

   Semidreapta OB se află în interiorul unghiului \(EOC\), între OE și OC, deci unghiurile \(EOB\) și \(BOC\) sunt adiacente și se adună: \(30^\circ+120^\circ=150^\circ\). Este varianta d). Variantele a), b), c) nu ies: \(120^\circ\) este doar \(\angle BOC\), iar \(60^\circ\) este \(\angle DOB\).

Răspuns: d) 150°

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), cu \(BC = 4\text{ cm}\) și măsura unghiului \(C\) egală cu \(30^\circ\). Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\). Perimetrul triunghiului \(ABM\) este egal cu: a) \(\sqrt{3}\) cm; b) 6 cm; c) 8 cm; d) \(6\sqrt{3}\) cm.

Metoda: Proprietăți ale triunghiului dreptunghic

1. 1

   Aflăm latura AB (cateta opusă unghiului de 30°)

   AB=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2

   În triunghiul \(ABC\), dreptunghic în \(A\), unghiul \(C\) are \(30^\circ\). Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este \(AB\). Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză. Ipotenuza este \(BC = 4\) cm, deci \(AB = 2\) cm.

2. 2

   Aflăm BM (M este mijlocul lui BC)

   BM=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2

   Punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(BC\), deci îl împarte în două segmente egale. Astfel \(BM = 4:2 = 2\) cm.

3. 3

   Aflăm AM (mediana corespunzătoare ipotenuzei)

   AM=\frac{BC}{2}=2

   \(AM\) este mediana dusă din vârful unghiului drept \(A\) pe ipotenuza \(BC\). Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză. Deci \(AM = 4:2 = 2\) cm.

4. 4

   Calculăm perimetrul triunghiului ABM

   P_{ABM}=AB+BM+AM=2+2+2=6

   Perimetrul este suma lungimilor laturilor: \(2+2+2 = 6\) cm. Triunghiul \(ABM\) este chiar echilateral. Varianta corectă este b) 6 cm. Celelalte nu se potrivesc: \(\sqrt{3}\) este prea mic, iar 8 și \(6\sqrt{3}\) nu rezultă din laturile de 2 cm.

Răspuns: Perimetrul triunghiului ABM este 6 cm, deci varianta corectă este b).

Subiectul al II-lea, itemul 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul \(ABCD\), cu \(AB \parallel CD\) și \(AD = BC = DC\). Măsura unghiului \(DAC\) este egală cu \(20^\circ\). Măsura unghiului \(ABC\) este egală cu: a) \(20^\circ\); b) \(30^\circ\); c) \(40^\circ\); d) \(60^\circ\).

Metoda: Unghiuri în trapez isoscel

1. 1

   Triunghiul ADC este isoscel

   AD = DC \Rightarrow \angle DCA = \angle DAC = 20^\circ

   Deoarece \(AD = DC\), triunghiul \(ADC\) este isoscel cu baza \(AC\). Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente, deci \(\angle DCA = \angle DAC = 20^\circ\).

2. 2

   Unghiul CAB din paralelism

   AB \parallel CD \Rightarrow \angle CAB = \angle DCA = 20^\circ

   Dreptele \(AB\) și \(CD\) sunt paralele, iar \(AC\) este secantă. Unghiurile \(DCA\) și \(CAB\) sunt alterne interne, deci sunt congruente: \(\angle CAB = 20^\circ\).

3. 3

   Unghiul DAB

   \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ

   Semidreapta \(AC\) se află în interiorul unghiului \(DAB\), deci unghiurile se adună: \(\angle DAB = 40^\circ\).

4. 4

   Unghiul ABC în trapezul isoscel

   \angle ABC = \angle DAB = 40^\circ

   Trapezul are laturile neparalele \(AD = BC\), deci este isoscel. Într-un trapez isoscel unghiurile de la aceeași bază sunt congruente, deci \(\angle ABC = \angle DAB = 40^\circ\). Varianta corectă este c). Celelalte nu se potrivesc: \(20^\circ\) este doar unghiul \(DAC\), iar \(30^\circ\) și \(60^\circ\) nu rezultă din calcule.

Răspuns: Măsura unghiului \(ABC\) este \(40^\circ\), varianta c).

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\), înscris în cercul de centru \(O\). Dacă măsura unghiului \(ABO\) este egală cu \(30^\circ\), atunci măsura unghiului \(ACB\) este egală cu: a) \(30^\circ\); b) \(60^\circ\); c) \(90^\circ\); d) \(120^\circ\). (Figură: punctele \(A, B, C\) sunt pe cerc, \(O\) este centrul cercului, iar segmentele \(OA\) și \(OB\) sunt desenate.)

Metoda: Triunghi isoscel și unghi înscris

1. 1

   Observăm că triunghiul AOB este isoscel

   OA = OB = R \Rightarrow \triangle AOB \text{ isoscel}

   Punctele \(A\) și \(B\) sunt pe cerc, iar \(O\) este centrul. Deci \(OA\) și \(OB\) sunt raze și au aceeași lungime. Un triunghi cu două laturi egale este isoscel, iar unghiurile de la bază sunt egale: \(\angle OAB = \angle OBA\).

2. 2

   Calculăm unghiul de la centru AOB

   \angle AOB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ

   Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\). Cunoaștem două unghiuri, de \(30^\circ\) fiecare, deci al treilea este diferența până la \(180^\circ\).

3. 3

   Trecem de la unghiul de la centru la unghiul înscris

   \angle ACB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ

   Unghiul \(AOB\) este unghi la centru, iar unghiul \(ACB\) este unghi înscris în cerc; amândouă subîntind același arc \(AB\). Măsura unghiului înscris este jumătate din măsura unghiului la centru care subîntinde același arc (arcul mic \(AB\) are \(120^\circ\), iar \(C\) este pe arcul mare). Deci \(\angle ACB = 60^\circ\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \angle ACB = 60^\circ \Rightarrow \text{varianta b)}

   Am obținut \(60^\circ\), deci varianta corectă este b). Varianta a) ar fi \(30^\circ\), adică doar unghiul de la baza triunghiului \(AOB\), nu cel cerut. Varianta c) ar fi dublul lui \(ACB\)... de fapt \(90^\circ\) nu apare în calcul. Varianta d) \(120^\circ\) este unghiul de la centru \(AOB\), nu cel înscris \(ACB\).

Răspuns: b) \(60^\circ\)

Subiectul al II-lea, itemul 6. În figura alăturată este reprezentat cubul \(ABCDA'B'C'D'\). Măsura unghiului dreptelor \(AC\) și \(C'D'\) este egală cu: a) \(30^\circ\) b) \(45^\circ\) c) \(60^\circ\) d) \(90^\circ\).

Metoda: Unghiul a două drepte în cub

1. 1

   Găsim o dreaptă paralelă cu C'D'

   C'D' \parallel CD

   Unghiul a două drepte neconcurente se măsoară cu ajutorul unei paralele duse la una dintre ele printr-un punct de pe cealaltă. În cub, fețele opuse sunt paralele, iar muchiile \(C'D'\) și \(CD\) sunt paralele (sunt laturi opuse ale dreptunghiului \(CDD'C'\)). Dreapta \(CD\) se întâlnește cu \(AC\) în punctul \(C\).

2. 2

   Reducem la un unghi din triunghiul ACD

   \measuredangle(AC, C'D') = \measuredangle(AC, CD) = \measuredangle ACD

   Deoarece \(C'D' \parallel CD\), unghiul dintre \(AC\) și \(C'D'\) este egal cu unghiul dintre \(AC\) și \(CD\), adică \(\measuredangle ACD\), unghi aflat în baza cubului, care este pătrat.

3. 3

   Calculăm măsura unghiului ACD

   \measuredangle ACD = 90^\circ : 2 = 45^\circ

   În pătratul \(ABCD\), diagonala \(AC\) este și bisectoarea unghiului drept \(C\). Astfel ea îl împarte în două unghiuri egale. Alternativ, triunghiul \(ADC\) este dreptunghic isoscel (\(AD=DC\), unghiul \(D\) este de \(90^\circ\)), deci unghiurile de la bază au \((180^\circ-90^\circ):2=45^\circ\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \measuredangle(AC, C'D') = 45^\circ

   Unghiul dreptelor \(AC\) și \(C'D'\) este \(45^\circ\), deci varianta corectă este b). Varianta d) ar fi corectă pentru \(AD\) și \(C'D'\), nu pentru diagonală. Variantele a) și c) nu apar, deoarece \(AC\) nu face \(30^\circ\) sau \(60^\circ\) cu latura pătratului.

Răspuns: b) 45°

Maria are o sumă de bani. În prima zi cheltuiește un sfert din această sumă. În a doua zi cheltuiește un sfert din suma rămasă. În a treia zi, Maria cheltuiește 45 de lei și constată că i-a rămas un sfert din suma de bani pe care a avut-o inițial. a) (2p) Este posibil ca Maria să fi cheltuit în a doua zi mai mult decât în prima zi? Justifică răspunsul dat. b) (3p) Determină suma de bani pe care a avut-o Maria inițial.

Metoda: Ecuație cu fracții din enunț

1. 1

   a) Cât a cheltuit în prima și în a doua zi

   \frac{x}{4}\quad\text{și}\quad \frac{1}{4}\left(x-\frac{x}{4}\right)

   Notăm cu \(x\) suma inițială. În prima zi Maria cheltuiește un sfert din ea, adică \(\frac{x}{4}\). Rămâne \(x-\frac{x}{4}\). În a doua zi cheltuiește un sfert din suma rămasă, deci \(\frac{1}{4}\left(x-\frac{x}{4}\right)\).

2. 2

   a) Comparăm cele două cheltuieli

   \frac{1}{4}\left(x-\frac{x}{4}\right)<\frac{x}{4}

   Suma rămasă \(x-\frac{x}{4}\) este mai mică decât \(x\). Un sfert dintr-un număr mai mic este mai mic decât un sfert din \(x\). Deci cheltuiala din a doua zi este mai mică decât cea din prima zi. Răspuns: nu, nu este posibil ca Maria să fi cheltuit mai mult în a doua zi.

3. 3

   b) Scriem ecuația

   \frac{x}{4}+\frac{1}{4}\left(x-\frac{x}{4}\right)+45+\frac{x}{4}=x

   Suma cheltuită în cele trei zile plus ce a rămas (un sfert din \(x\)) trebuie să dea exact suma inițială \(x\). Adunăm: prima zi, a doua zi, cei 45 de lei din a treia zi și restul \(\frac{x}{4}\).

4. 4

   b) Simplificăm ecuația

   \frac{11x}{16}+45=x

   Calculăm: \(\frac{x}{4}=\frac{4x}{16}\). Apoi \(x-\frac{x}{4}=\frac{3x}{4}\), iar un sfert din el este \(\frac{3x}{16}\). Suma \(\frac{x}{4}+\frac{3x}{16}+\frac{x}{4}=\frac{4x+3x+4x}{16}=\frac{11x}{16}\). Rămâne \(\frac{11x}{16}+45=x\).

5. 5

   b) Rezolvăm ecuația

   45=x-\frac{11x}{16}=\frac{5x}{16}\;\Rightarrow\; x=45\cdot\frac{16}{5}=144

   Scădem \(\frac{11x}{16}\) din ambii membri: \(45=\frac{16x-11x}{16}=\frac{5x}{16}\). Deci \(x=45\cdot 16:5=9\cdot 16=144\). Maria a avut inițial 144 de lei.

6. 6

   Verificare

   36+27+45+36=144

   Prima zi: 144:4=36 lei. Rămân 108 lei. A doua zi: 108:4=27 lei. A treia zi: 45 lei. Rămâne 144−36−27−45=36 lei, adică un sfert din 144. Totul se potrivește.

Răspuns: a) Nu, a doua zi Maria cheltuiește mai puțin decât în prima zi. b) Maria a avut inițial 144 de lei.

Se consideră expresia \(E(x)=\left(\frac{7}{x^2-4}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x+2}\right):\frac{5(x^2+2x+1)}{x-2}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq -2\), \(x\neq -1\) și \(x\neq 2\). a) Arată că \(\frac{7}{x^2-4}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x+2}=\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}\), pentru orice număr real \(x\), \(x\neq -2\) și \(x\neq 2\). b) Determină numărul natural \(n\), \(n\neq 2\), pentru care \(E(n)=\frac{1}{6}\).

Metoda: Fracții algebrice, numitor comun

1. 1

   a) Descompunem numitorul și alegem numitorul comun

   x^2-4=(x-2)(x+2)

   Numitorul \(x^2-4\) se descompune cu formula \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), adică \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Astfel vedem că ceilalți doi numitori, \(x-2\) și \(x+2\), sunt chiar factorii lui. Numitorul comun este \((x-2)(x+2)\).

2. 2

   a) Amplificăm și adunăm fracțiile

   \frac{7+2(x+2)+3(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{5x+5}{(x-2)(x+2)}=\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}

   Fracția \(\frac{2}{x-2}\) o amplificăm cu \(x+2\), iar \(\frac{3}{x+2}\) cu \(x-2\). Adunăm numărătorii: \(7+2x+4+3x-6=5x+5\). Scoatem factor comun 5: \(5x+5=5(x+1)\). Astfel am arătat egalitatea cerută.

3. 3

   b) Simplificăm expresia E(x)

   E(x)=\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x-2}{5(x+1)^2}=\frac{1}{(x+2)(x+1)}

   Observăm că \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) (formula de calcul prescurtat). Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei. Simplificăm factorii \(5\), \(x-2\) și un factor \(x+1\) (sunt nenuli, conform condițiilor date). Rămâne \(E(x)=\frac{1}{(x+2)(x+1)}\).

4. 4

   b) Rezolvăm ecuația E(n)=1/6

   (n+1)(n+2)=6\Rightarrow n=1

   Din \(\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{6}\) rezultă \((n+1)(n+2)=6\). Produsul a două numere naturale consecutive este 6 pentru \(2\cdot 3\), deci \(n+1=2\), adică \(n=1\). Alte valori naturale nu merg: pentru \(n=0\) produsul este 2, iar pentru \(n\geq 2\) este cel puțin 12. Verificăm: \(n=1\) respectă condițiile \(n\neq 2\), \(n\neq -1\).

Răspuns: a) Egalitatea este demonstrată: suma este \(\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}\). b) \(E(x)=\frac{1}{(x+2)(x+1)}\), iar \(E(n)=\frac{1}{6}\) pentru \(n=1\).

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{3}{2}x+3\). a) (2p) Arată că \(f(-1)+f(1)=6\). b) (3p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Arată că distanța de la punctul \(C(2,3)\) la dreapta \(AB\) este egală cu \(\frac{6\sqrt{13}}{13}\).

Metoda: Funcția liniară și aria triunghiului

1. 1

   a) Calculăm f(-1)

   f(-1)=\frac{3}{2}\cdot(-1)+3=\frac{3}{2}

   Pentru a afla f(-1), înlocuim peste tot x cu -1 în formula funcției. Apoi calculăm: \(-\frac{3}{2}+3=\frac{-3+6}{2}=\frac{3}{2}\).

2. 2

   a) Calculăm f(1) și suma

   f(1)=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2},\quad f(-1)+f(1)=\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6

   Înlocuim x cu 1: \(\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\). Fracțiile au același numitor, deci le adunăm direct: \(\frac{3+9}{2}=\frac{12}{2}=6\). Am arătat ce se cerea.

3. 3

   b) Aflăm punctele A și B

   A(-2,0),\quad B(0,3)

   Punctul A este pe axa Ox, deci are ordonata 0: \(\frac{3}{2}x+3=0\), de unde \(\frac{3}{2}x=-3\), deci \(x=-2\). Punctul B este pe axa Oy, deci are abscisa 0: \(f(0)=3\). Așadar A(-2,0) și B(0,3).

4. 4

   b) Lungimea segmentului AB

   AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}

   Triunghiul AOB este dreptunghic în O, cu catetele OA=2 și OB=3. Conform teoremei lui Pitagora, \(AB^2=4+9=13\), deci \(AB=\sqrt{13}\).

5. 5

   b) Distanța de la C la AB prin arii

   \mathcal{A}_{ABC}=\frac{AB\cdot d(C,AB)}{2}=\frac{BC\cdot d(A,BC)}{2}

   Distanța de la C la AB este înălțimea din C în triunghiul ABC. Triunghiul ABC are B(0,3) și C(2,3), deci BC este orizontală, BC=2. Distanța de la A(-2,0) la dreapta BC (y=3) este 3. Aria este \(\frac{2\cdot3}{2}=3\). Apoi \(\frac{\sqrt{13}\cdot d}{2}=3\), deci \(d=\frac{6}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}\).

Răspuns: a) f(-1)+f(1)=3/2+9/2=6; b) d(C,AB)=6√13/13.

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel \(ABC\), cu \(AB = AC\). Punctul \(O\) este mijlocul laturii \(BC\), iar punctele \(A\) și \(D\) sunt de o parte și de alta a dreptei \(BC\), astfel încât \(\measuredangle BDC = 90^\circ\) și \(\measuredangle BCD = 60^\circ\). a) Demonstrează că \(AO = CD\). b) Arată că \(AB = CE\), unde punctul \(E\) aparține segmentului \(BD\), astfel încât \(\measuredangle BCE = 15^\circ\).

Metoda: Mediana ipotenuzei și congruența triunghiurilor

1. 1

   a) Lungimea medianei AO

   AO=\frac{BC}{2}

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\), iar \(O\) este mijlocul ipotenuzei \(BC\). Deci \(AO\) este mediana corespunzătoare ipotenuzei. Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză.

2. 2

   a) Lungimea lui CD

   \measuredangle DBC=90^\circ-60^\circ=30^\circ \Rightarrow CD=\frac{BC}{2}

   În triunghiul \(DBC\), dreptunghic în \(D\), unghiul \(C\) are \(60^\circ\), deci \(\measuredangle DBC = 30^\circ\). Cateta opusă unghiului de \(30^\circ\) este jumătate din ipotenuză, deci \(CD = \frac{BC}{2}\). Cum și \(AO = \frac{BC}{2}\), obținem \(AO = CD\).

3. 3

   b) Unghiul ECD

   \measuredangle ECD=\measuredangle BCD-\measuredangle BCE=60^\circ-15^\circ=45^\circ

   Punctul \(E\) se află pe \(BD\), deci semidreapta \(CE\) este în interiorul unghiului \(BCD\). Atunci \(\measuredangle ECD\) se obține scăzând \(15^\circ\) din \(60^\circ\). Rezultă că triunghiul \(CDE\) este dreptunghic în \(D\) cu un unghi de \(45^\circ\), deci este dreptunghic isoscel.

4. 4

   b) Unghiul AOB

   \measuredangle AOB=90^\circ

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic isoscel, deci mediana \(AO\) este și înălțime. Rezultă \(AO \perp BC\), adică \(\measuredangle AOB = 90^\circ\). Mai mult, \(\measuredangle ABO = 45^\circ\), deci triunghiul \(AOB\) este dreptunghic isoscel.

5. 5

   b) Triunghiurile AOB și CDE sunt congruente

   \triangle AOB\equiv\triangle CDE \Rightarrow AB=CE

   Triunghiurile \(AOB\) și \(CDE\) sunt dreptunghice (în \(O\), respectiv \(D\)) și au un unghi de \(45^\circ\). Catetele \(AO\) și \(CD\) sunt egale, conform punctului a). Deci triunghiurile sunt congruente (cateta și unghiul ascuțit alăturat, sau cateta și unghiul opus). Ipotenuzele lor sunt egale, adică \(AB = CE\).

Răspuns: a) \(AO = CD = \frac{BC}{2}\); b) \(\triangle AOB \equiv \triangle CDE\), deci \(AB = CE\).

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul \(ABCD\), cu \(AB = 6\) cm și \(BC = 3\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul laturii \(AB\), iar dreptele \(AC\) și \(DM\) se intersectează în punctul \(P\). a) Arată că \(CP = 2 \cdot AP\). b) Determină lungimea segmentului \(MT\), unde punctul \(T\) este mijlocul segmentului \(CP\).

Metoda: Asemănarea triunghiurilor și Pitagora

1. 1

   a) Triunghiuri asemenea

   AM \parallel DC \Rightarrow \triangle APM \sim \triangle CPD

   În dreptunghi, \(AB \parallel CD\), deci \(AM \parallel DC\). Dreptele \(AC\) și \(DM\) se taie în \(P\), iar unghiurile \(\angle PAM\) și \(\angle PCD\) sunt alterne interne congruente, la fel \(\angle PMA\) și \(\angle PDC\). Rezultă că triunghiurile \(APM\) și \(CPD\) au unghiurile congruente, deci sunt asemenea.

2. 2

   a) Raportul de asemănare

   \frac{AP}{CP}=\frac{AM}{CD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \Rightarrow CP = 2\cdot AP

   Din asemănare, laturile corespunzătoare sunt proporționale. \(AM = 3\) cm (jumătate din \(AB\)), iar \(CD = AB = 6\) cm. Raportul este \(\frac{1}{2}\), deci \(CP = 2\cdot AP\).

3. 3

   b) Lungimea diagonalei AC

   AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\text{ cm}

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\), deci aplicăm teorema lui Pitagora. Avem \(\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}\).

4. 4

   b) Unghiul PMC este drept

   \triangle AMD,\ \triangle BMC \text{ dreptunghice isoscele} \Rightarrow \angle AMD=\angle BMC=45^\circ \Rightarrow \angle PMC=90^\circ

   \(AM=AD=3\) cm și \(MB=BC=3\) cm. Triunghiurile \(AMD\) și \(BMC\) sunt dreptunghice isoscele, deci unghiurile \(AMD\) și \(BMC\) au câte \(45^\circ\). Unghiul alungit în \(M\) are \(180^\circ\), deci \(\angle PMC = 180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ\).

5. 5

   b) Calculul lui MT

   CP=\frac{2}{3}AC=2\sqrt{5},\quad MT=\frac{CP}{2}=\sqrt{5}\text{ cm}

   Din \(CP=2\cdot AP\) rezultă că \(CP\) este două treimi din \(AC\): \(\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{5}=2\sqrt{5}\). În triunghiul dreptunghic \(PMC\) (unghi drept în \(M\)), \(MT\) este mediana corespunzătoare ipotenuzei \(CP\), deci este jumătate din ea: \(MT=\sqrt{5}\) cm.

Răspuns: a) \(CP = 2\cdot AP\) (din asemănarea \(\triangle APM \sim \triangle CPD\), raport \(\frac{1}{2}\)); b) \(MT = \sqrt{5}\) cm.

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată \(VABCD\), cu baza \(ABCD\), \(VA = AB = 12\) cm. Punctul \(M\) este mijlocul muchiei \(VA\), iar punctul \(N\) este proiecția punctului \(M\) pe planul \((ABC)\). a) Arată că volumul piramidei \(VABCD\) este egal cu \(288\sqrt{2}\) cm\(^3\). b) Determină tangenta unghiului dintre dreapta \(MN\) și planul \((VAD)\).

Metoda: Volumul piramidei și unghi dreaptă-plan

1. 1

   a) Înălțimea piramidei

   AC = 12\sqrt{2},\quad AO = 6\sqrt{2},\quad VO = \sqrt{VA^2 - AO^2} = \sqrt{144 - 72} = 6\sqrt{2}

   Fie \(O\) intersecția diagonalelor bazei. Piramida este regulată, deci \(VO \perp (ABC)\) și \(VO\) este înălțimea. Diagonala pătratului este \(AC = 12\sqrt{2}\), deci \(AO = 6\sqrt{2}\). În triunghiul dreptunghic \(VOA\) (dreptunghic în \(O\)) aplicăm teorema lui Pitagora: \(VO^2 = 144 - 72 = 72\), deci \(VO = 6\sqrt{2}\) cm.

2. 2

   a) Volumul piramidei

   V = \frac{\mathcal{A}_{ABCD}\cdot VO}{3} = \frac{144\cdot 6\sqrt{2}}{3} = 288\sqrt{2}\ \text{cm}^3

   Volumul piramidei este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime. Aria bazei este \(12^2 = 144\) cm\(^2\). Atunci \(V = 144\cdot 6\sqrt{2}:3 = 288\sqrt{2}\) cm\(^3\), exact cât trebuia arătat.

3. 3

   b) Identificăm unghiul dintre MN și planul (VAD)

   MN \perp (ABC)\Rightarrow MN\perp AD,\quad NQ\perp AD \Rightarrow AD \perp (QNM)

   Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Dreapta \(MN\) este perpendiculară pe planul bazei, deci \(MN \perp AD\). Fie \(Q\in AD\) cu \(NQ \perp AD\). Atunci \(AD\) este perpendiculară pe două drepte concurente din planul \((QNM)\), deci \(AD \perp (QNM)\). Ducem \(NT \perp MQ\), \(T \in MQ\). Cum \(NT \perp AD\) și \(NT\perp MQ\), obținem \(NT \perp (VAD)\). Prin urmare proiecția lui \(N\) pe planul \((VAD)\) este \(T\), iar unghiul căutat este \(\angle(MN, MT) = \angle NMQ\).

4. 4

   b) Calculăm MN și NQ

   MN = \frac{VO}{2} = 3\sqrt{2},\quad NQ = 3

   \(M\) este mijlocul lui \(VA\) și \(MN \parallel VO\) (ambele perpendiculare pe baza). \(N\) este mijlocul lui \(AO\), deci \(MN\) este linie mijlocie în triunghiul \(VOA\): \(MN = VO:2 = 3\sqrt{2}\) cm. \(N\) se află pe diagonala \(AC\) la distanța \(AN = 3\sqrt{2}\) de \(A\). Unghiul \(NAQ\) are 45°, deci triunghiul \(AQN\) este dreptunghic isoscel, cu ipotenuza \(AN = 3\sqrt{2}\), de unde \(NQ = 3\) cm.

5. 5

   b) Tangenta unghiului

   \operatorname{tg}(\angle NMQ)=\frac{NQ}{MN}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

   În triunghiul \(MNQ\), dreptunghic în \(N\), tangenta unghiului \(NMQ\) este cateta opusă împărțită la cateta alăturată: \(NQ : MN = 3 : 3\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Raționalizăm numitorul și obținem \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Răspuns: a) \(V = 288\sqrt{2}\) cm\(^3\); b) \(\operatorname{tg}(\angle(MN,(VAD))) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).