Rezolvare pas cu pas: Matematică – Evaluarea Națională 2026, sesiunea iunie–iulie

Rezultatul calculului \(12-2\cdot 5\) este egal cu: a) 50; b) 22; c) 2; d) 0.

Metoda: Ordinea efectuării operațiilor

1. 1

   Stabilim ordinea operațiilor

   12-2\cdot 5

   Într-un calcul fără paranteze, înmulțirea și împărțirea se fac înaintea adunării și scăderii. Aici avem o scădere și o înmulțire, deci începem cu \(2\cdot 5\), nu cu \(12-2\).

2. 2

   Efectuăm înmulțirea

   2\cdot 5=10

   Calculăm produsul \(2\cdot 5\) și îl înlocuim în expresie. Astfel expresia devine \(12-10\).

3. 3

   Efectuăm scăderea

   12-10=2

   Acum a rămas doar scăderea. Rezultatul este 2, deci varianta corectă este c).

4. 4

   Verificăm celelalte variante

   (12-2)\cdot 5=50

   Varianta a) 50 apare dacă scădem întâi \(12-2=10\) și apoi înmulțim cu 5, adică ignorăm prioritatea înmulțirii. Este o greșeală frecventă. Variantele b) 22 și d) 0 nu rezultă din nicio ordine corectă a operațiilor. Rămâne c) 2.

Răspuns: Rezultatul este 2, deci varianta corectă este c).

Dintre cei 250 de elevi participanți la un concurs, 40% sunt băieți. Numărul băieților participanți la acest concurs este egal cu: a) 150; b) 125; c) 100; d) 90.

Metoda: Procent dintr-un număr

1. 1

   Transformăm procentul în fracție

   40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}

   Procentul \(40\%\) înseamnă 40 din 100, adică fracția \(\frac{40}{100}\). O simplificăm prin 20 ca să avem numere mai mici și calculul mai ușor: \(\frac{2}{5}\).

2. 2

   Calculăm fracția din număr

   \frac{2}{5}\cdot 250 = 250 : 5 \cdot 2 = 50\cdot 2 = 100

   Pentru a afla \(\frac{2}{5}\) din 250, împărțim 250 în 5 părți egale, iar apoi luăm 2 dintre aceste părți. O parte are 50 de elevi, deci 2 părți au 100 de elevi.

3. 3

   Alegem varianta corectă și verificăm

   \text{Băieți} = 100

   Numărul băieților este 100, deci varianta corectă este c). Celelalte nu merg: 150 ar fi 60% din 250, 125 ar fi jumătate (50%), iar 90 nu corespunde unui procent rotund. Verificare: 100 din 250 este \(\frac{100}{250}=\frac{40}{100}=40\%\).

Răspuns: Numărul băieților este 100, deci varianta corectă este c).

Suma dintre numărul \(10\) și opusul numărului \(10\) este egală cu: a) \(\frac{101}{10}\); b) \(\frac{11}{10}\); c) \(1\); d) \(0\).

Metoda: Opusul unui număr întreg

1. 1

   Aflăm opusul lui 10

   -10

   Opusul unui număr este numărul aflat pe axa numerelor la aceeași distanță de zero, dar de partea cealaltă. Se obține schimbând semnul numărului. Deci opusul lui \(10\) este \(-10\).

2. 2

   Calculăm suma și alegem răspunsul

   10+(-10)=10-10=0

   Adunăm numărul cu opusul lui: \(10+(-10)=10-10=0\). Pe axa numerelor, facem 10 pași spre dreapta și apoi 10 pași înapoi, deci ajungem din nou în 0. Suma unui număr cu opusul său este mereu \(0\). Varianta corectă este d). Celelalte sunt fracții sau \(1\), iar niciuna nu rezultă din \(10-10\).

Răspuns: d) 0

Transformând fracția zecimală \(1,(2)\) în fracție ordinară se obține: a) \(\frac{11}{10}\); b) \(\frac{6}{5}\); c) \(\frac{11}{9}\); d) \(\frac{4}{3}\).

Metoda: Fracție zecimală periodică în fracție ordinară

1. 1

   Separăm partea întreagă de perioadă

   1,(2)=1+0,(2)

   Numărul are partea întreagă 1 și partea zecimală \(0,(2)\). Transformăm separat partea periodică, apoi adunăm 1. Astfel calculul rămâne simplu.

2. 2

   Transformăm \(0,(2)\) în fracție

   0,(2)=\frac{2}{9}

   La o fracție periodică simplă cu partea întreagă 0, numărătorul este perioada (2), iar numitorul este format din atâția de 9 câte cifre are perioada. Perioada are o cifră, deci numitorul este 9.

3. 3

   Adunăm partea întreagă

   1+\frac{2}{9}=\frac{9}{9}+\frac{2}{9}=\frac{11}{9}

   Scriem 1 ca fracție cu numitorul 9, adică \(\frac{9}{9}\), ca să putem aduna fracțiile cu același numitor. Rezultă \(\frac{11}{9}\), adică varianta c).

4. 4

   Verificăm și celelalte variante

   \frac{11}{9}=1,222\ldots

   \(\frac{11}{10}=1,1\), nu are perioadă. \(\frac{6}{5}=1,2\), zecimală finită. \(\frac{4}{3}=1,(3)\), perioada este 3. Numai \(\frac{11}{9}=1,(2)\), deci răspunsul este c).

Răspuns: Varianta corectă este c) \(\frac{11}{9}\).

Patru elevi, Ioana, Andreea, Luca și Radu, determină numărul real \(x\) din proporția \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{x}{\sqrt{5}+1}\). Răspunsurile date de cei patru elevi sunt: Ioana – 1, Andreea – 2, Luca – 3, Radu – 4. Răspunsul corect a fost obținut de către: a) Ioana; b) Andreea; c) Luca; d) Radu.

Metoda: Proprietatea fundamentală a proporțiilor

1. 1

   Aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor

   x\cdot 2=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)

   Într-o proporție \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: \(a\cdot d=b\cdot c\). Aici obținem \(2x=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)\). Astfel scăpăm de fracții.

2. 2

   Calculăm produsul cu formula diferenței de pătrate

   (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5})^2-1^2=5-1=4

   Produsul are forma \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), cu \(a=\sqrt{5}\) și \(b=1\). Avem \((\sqrt{5})^2=5\), deci produsul este \(5-1=4\).

3. 3

   Aflăm pe x

   2x=4\Rightarrow x=\frac{4}{2}=2

   Din \(2x=4\) împărțim la 2 și obținem \(x=2\).

4. 4

   Alegem răspunsul corect

   x=2\Rightarrow \text{Andreea}

   Am obținut \(x=2\), iar numărul 2 a fost dat de Andreea, deci răspunsul corect este b). Ceilalți elevi au dat 1, 3 și 4, care nu verifică proporția: de exemplu, pentru \(x=4\) am avea \(2x=8\neq 4\).

Răspuns: b) Andreea (x = 2)

Subiectul I, itemul 6. În diagrama cu bare sunt prezentate informații despre numărul de mașini vândute de un comerciant în primele patru luni ale anului 2026. Din diagramă: ianuarie \(1000\), februarie \(2000\), martie \(500\), aprilie \(2500\). Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, cele mai puține mașini au fost vândute în luna martie.” este: a) adevărată; b) falsă.

Metoda: Citirea unei diagrame cu bare

1. 1

   Citim valorile de pe diagramă

   \text{ianuarie}=1000,\ \text{februarie}=2000,\ \text{martie}=500,\ \text{aprilie}=2500

   Pentru fiecare lună privim înălțimea barei și vedem în dreptul cărei valori de pe axa verticală ajunge vârful ei. Așa aflăm numărul de mașini vândute în acea lună: ianuarie \(1000\), februarie \(2000\), martie \(500\), aprilie \(2500\).

2. 2

   Comparăm valorile și alegem cea mai mică

   500<1000<2000<2500

   Comparăm cele patru numere. Cel mai mic este \(500\), iar acesta corespunde lunii martie. Deci cele mai puține mașini au fost vândute în martie.

3. 3

   Decidem dacă afirmația este adevărată

   \text{martie}=500=\text{valoarea minimă}\Rightarrow\text{afirmația este adevărată}

   Afirmația spune că în martie s-au vândut cele mai puține mașini. Am văzut că martie are \(500\), cea mai mică valoare. Deci afirmația este adevărată, varianta a). Varianta b) (falsă) nu merge, pentru că nicio altă lună nu are o valoare mai mică decât \(500\).

Răspuns: Varianta a) — afirmația este adevărată.

În figura alăturată, punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) sunt coliniare, în această ordine, astfel încât \(AB = 1\text{ cm}\) și \(AD = 6\text{ cm}\). Punctul \(C\) este mijlocul segmentului \(AD\). Lungimea segmentului \(BC\) este egală cu: a) 5 cm; b) 3 cm; c) 2 cm; d) 1 cm.

Metoda: Lungimi de segmente, mijlocul segmentului

1. 1

   Aflăm lungimea segmentului AC

   AC=\frac{AD}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}

   Punctul \(C\) este mijlocul segmentului \(AD\), deci îl împarte în două segmente congruente: \(AC = CD\). Prin urmare \(AC\) este jumătate din \(AD\), adică \(6 : 2 = 3\) cm.

2. 2

   Aflăm lungimea segmentului BC

   BC=AC-AB=3-1=2\text{ cm}

   Punctele sunt în ordinea A, B, C, D, deci B se află între A și C. Atunci \(AC = AB + BC\), de unde \(BC = AC - AB = 3 - 1 = 2\) cm.

3. 3

   Alegem varianta corectă

   BC=2\text{ cm}

   Am obținut \(BC = 2\) cm, deci varianta corectă este c). Varianta a) 5 cm ar fi \(AD - AB\), adică lungimea lui \(BD\), nu a lui \(BC\). Varianta b) 3 cm este \(AC\). Varianta d) 1 cm este \(AB\).

Răspuns: c) 2 cm

În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele \(AB\) și \(CD\). Punctele \(E\), \(A\) și \(C\) sunt coliniare, în această ordine, iar punctele \(B\) și \(D\) sunt situate de o parte și de alta a dreptei \(AC\). Măsura unghiului \(DCA\) este egală cu \(80^\circ\). Măsura unghiului \(EAB\) este egală cu: a) \(110^\circ\); b) \(100^\circ\); c) \(90^\circ\); d) \(80^\circ\).

Metoda: Unghiuri formate de paralele cu o secantă

1. 1

   Identificăm dreptele paralele și secanta

   AB \parallel CD,\quad AC \text{ secantă}

   Dreptele \(AB\) și \(CD\) sunt paralele, iar dreapta \(AC\) (pe care se află și punctul \(E\)) le taie pe amândouă. Deci \(AC\) este secantă. Acest lucru ne permite să folosim regulile pentru unghiuri formate de două paralele cu o secantă.

2. 2

   Găsim unghiul \(BAC\)

   \angle BAC + \angle DCA = 180^\circ

   Punctele \(B\) și \(D\) sunt de o parte și de alta a secantei \(AC\), deci unghiurile \(BAC\) și \(DCA\) sunt alterne interne. Unghiurile alterne interne formate de paralele sunt congruente, deci \(\angle BAC = \angle DCA = 80^\circ\).

3. 3

   Calculăm unghiul \(EAB\)

   \angle EAB = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ

   Punctele \(E\), \(A\), \(C\) sunt coliniare, deci unghiurile \(EAB\) și \(BAC\) sunt adiacente și suplementare: suma lor este \(180^\circ\). Deci \(\angle EAB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   \angle EAB = 100^\circ

   Răspunsul corect este b) \(100^\circ\). Varianta a) \(110^\circ\) ar apărea dacă am greși calculul. Variantele c) \(90^\circ\) ar însemna drepte perpendiculare, iar d) \(80^\circ\) este unghiul \(BAC\) (alterne interne), nu \(EAB\), care este suplementul lui.

Răspuns: b) \(100^\circ\)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul \(ABC\). Punctul \(D\) este mijlocul segmentului \(BC\) și punctul \(G\) este centrul de greutate al triunghiului \(ABC\). Aria triunghiului \(DGC\) este egală cu \(15\ \text{cm}^2\). Aria triunghiului \(ABC\) este egală cu: a) \(30\ \text{cm}^2\); b) \(45\ \text{cm}^2\); c) \(60\ \text{cm}^2\); d) \(90\ \text{cm}^2\). (Din figură: \(AD\) este mediană, \(G\) se află pe \(AD\), iar \(D\) este pe \(BC\).)

Metoda: Centrul de greutate și aria triunghiului

1. 1

   Poziția lui G pe mediana AD

   GD=\frac{1}{3}AD

   Punctul \(D\) este mijlocul lui \(BC\), deci \(AD\) este mediană. Centrul de greutate \(G\) se află pe mediană la o treime de bază și două treimi de vârf: \(GD=\frac{1}{3}AD\).

2. 2

   Raportul dintre aria DGC și aria ADC

   \frac{\mathcal{A}_{DGC}}{\mathcal{A}_{ADC}}=\frac{GD}{AD}=\frac{1}{3}

   Triunghiurile \(DGC\) și \(ADC\) au același vârf \(C\), deci aceeași înălțime dusă din \(C\) pe dreapta \(AD\). Ariile sunt proporționale cu bazele \(GD\) și \(AD\). Cum \(GD=\frac{1}{3}AD\), avem \(\mathcal{A}_{ADC}=3\cdot\mathcal{A}_{DGC}=3\cdot 15=45\ \text{cm}^2\).

3. 3

   Aria triunghiului ABC

   \mathcal{A}_{ABC}=2\cdot\mathcal{A}_{ADC}=2\cdot 45=90

   Mediana \(AD\) împarte triunghiul \(ABC\) în două triunghiuri, \(ABD\) și \(ADC\), cu baze egale (\(BD=DC\)) și aceeași înălțime din \(A\). Deci au arii egale, iar \(\mathcal{A}_{ABC}=2\cdot 45=90\ \text{cm}^2\). Răspunsul corect este d).

4. 4

   Verificare și celelalte variante

   \mathcal{A}_{DGC}=\frac{1}{6}\mathcal{A}_{ABC}

   Verificăm: \(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\), deci aria \(ABC\) este de 6 ori aria \(DGC\): \(6\cdot 15=90\). Variantele a) 30, b) 45 și c) 60 ar corespunde unor rapoarte de 2, 3, respectiv 4 față de 15, care nu se potrivesc.

Răspuns: Aria triunghiului \(ABC\) este \(90\ \text{cm}^2\), deci varianta corectă este d).

Subiectul al II-lea, item 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul \(ABCD\), cu diagonala \(BD\) perpendiculară pe latura \(BC\) și \(BD \cdot BC = 12\ \text{cm}^2\). Aria paralelogramului \(ABCD\) este egală cu: a) \(6\ \text{cm}^2\); b) \(12\ \text{cm}^2\); c) \(18\ \text{cm}^2\); d) \(24\ \text{cm}^2\). (Din figură: \(BD \perp BC\), adică \(BD\) este înălțimea corespunzătoare laturii \(BC\).)

Metoda: Aria paralelogramului

1. 1

   Observăm că BD este înălțime

   BD \perp BC

   Formula ariei unui paralelogram este bază · înălțime. Înălțimea trebuie să fie perpendiculară pe bază. Cum \(BD \perp BC\), luăm \(BC\) ca bază, iar \(BD\) este înălțimea corespunzătoare ei. Punctul B este pe baza BC, iar D este pe latura opusă AD, deci BD măsoară distanța dintre dreptele paralele AD și BC.

2. 2

   Scriem formula ariei

   \mathcal{A}_{ABCD} = BC \cdot BD

   Aria paralelogramului este baza înmulțită cu înălțimea: \(\mathcal{A} = \text{bază} \cdot \text{înălțime}\). Cu baza \(BC\) și înălțimea \(BD\) obținem \(\mathcal{A} = BC \cdot BD\).

3. 3

   Înlocuim datele

   \mathcal{A}_{ABCD} = BD \cdot BC = 12\ \text{cm}^2

   Din enunț știm că \(BD \cdot BC = 12\ \text{cm}^2\). Nu trebuie să aflăm separat lungimile, pentru că produsul lor este exact aria. Deci aria paralelogramului este \(12\ \text{cm}^2\).

4. 4

   Verificăm variantele

   \text{Răspuns: b)}\ 12\ \text{cm}^2

   Varianta corectă este b) \(12\ \text{cm}^2\). Varianta a) 6 ar fi aria triunghiului BCD (jumătate din 12), adică o greșeală dacă folosești formula triunghiului. Variantele c) și d) nu se obțin din formula aria = bază · înălțime cu datele problemei. Varianta d) 24 ar veni din dublarea produsului, fără motiv.

Răspuns: b) \(12\ \text{cm}^2\)

Subiectul al II-lea, itemul 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\). Punctele \(A\), \(B\), \(C\) și \(D\) sunt situate pe cerc, în această ordine, astfel încât \(AC\) este diametru și măsura unghiului \(BDC\) este egală cu \(40^\circ\). Măsura unghiului \(BCA\) este egală cu: a) \(40^\circ\); b) \(50^\circ\); c) \(60^\circ\); d) \(80^\circ\).

Metoda: Unghi înscris în cerc

1. 1

   Unghiurile \(BDC\) și \(BAC\) cuprind același arc

   \angle BAC=\angle BDC=40^\circ

   Unghiurile \(BDC\) și \(BAC\) sunt unghiuri înscrise în cerc și subîntind același arc mic \(BC\). Unghiurile înscrise care cuprind același arc au aceeași măsură, deci \(\angle BAC = 40^\circ\).

2. 2

   Triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(B\)

   \angle ABC=90^\circ

   Segmentul \(AC\) este diametru, deci unghiul înscris \(ABC\) subîntinde un semicerc (arc de \(180^\circ\)). Un unghi înscris are jumătate din măsura arcului, deci \(\angle ABC = 180^\circ : 2 = 90^\circ\).

3. 3

   Calculăm \(\angle BCA\)

   \angle BCA=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ

   Suma unghiurilor unui triunghi este \(180^\circ\). În triunghiul \(ABC\) avem \(\angle ABC = 90^\circ\) și \(\angle BAC = 40^\circ\), deci \(\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\). Acesta este răspunsul b). Varianta a) ar fi \(\angle BAC\), nu \(\angle BCA\); variantele c) și d) nu ies din calcul.

Răspuns: Varianta corectă este b) \(50^\circ\).

În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată \(VABCD\), cu înălțimea \(VO = 6\text{ cm}\) și \(AB = 4\text{ cm}\). Volumul piramidei \(VABCD\) este egal cu: a) \(32\text{ cm}^3\); b) \(48\text{ cm}^3\); c) \(72\text{ cm}^3\); d) \(96\text{ cm}^3\).

Metoda: Volumul piramidei

1. 1

   Reținem formula volumului

   V=\frac{A_b\cdot h}{3}

   Volumul unei piramide este o treime din produsul dintre aria bazei \(A_b\) și înălțimea \(h\). O piramidă încape de trei ori în prisma cu aceeași bază și aceeași înălțime, de aceea împărțim la 3.

2. 2

   Calculăm aria bazei

   A_b=AB^2=4^2=16

   Piramida este patrulateră regulată, deci baza \(ABCD\) este un pătrat cu latura \(AB=4\text{ cm}\). Aria pătratului este latura la pătrat.

3. 3

   Calculăm volumul

   V=\frac{16\cdot 6}{3}=32

   Înlocuim în formulă aria bazei \(16\text{ cm}^2\) și înălțimea \(VO=6\text{ cm}\). Avem \(16\cdot 6=96\), iar \(96:3=32\).

4. 4

   Alegem varianta corectă

   V=32\text{ cm}^3

   Volumul obținut este \(32\text{ cm}^3\), deci varianta corectă este a). Varianta d) (96) se obține dacă uităm să împărțim la 3. Variantele b) și c) nu rezultă din niciun calcul corect cu datele problemei.

Răspuns: Varianta a) \(32\text{ cm}^3\).

Mai mulți copii doresc să cumpere împreună o minge. Dacă fiecare copil contribuie cu câte 18 lei, mai sunt necesari 30 de lei. a) Este posibil ca mingea să coste 153 de lei? Justifică răspunsul dat. b) Dacă fiecare copil contribuie cu câte 24 de lei, atunci sunt în plus 12 lei. Determină cât costă mingea.

Metoda: Ecuații liniare din problemă

1. 1

   a) Scriem prețul mingii cu ajutorul lui n

   P = 18n + 30

   Dacă n copii dau câte 18 lei, strâng 18n lei. Mai lipsesc 30 de lei, deci mingea costă cu 30 de lei mai mult decât au strâns copiii: \(18n+30\).

2. 2

   a) Verificăm dacă prețul poate fi 153 de lei

   18n+30=153 \Rightarrow n=\dfrac{123}{18}

   Punem prețul egal cu 153: \(18n=153-30=123\), deci \(n=123:18\). Numărul de copii trebuie să fie număr natural, dar 123 nu se împarte exact la 18 (\(18\cdot 6=108\), \(18\cdot 7=126\)). Deci nu este posibil ca mingea să coste 153 de lei.

3. 3

   b) Scriem prețul în al doilea caz și egalăm

   18n+30=24n-12

   Dacă fiecare dă 24 de lei, se strâng \(24n\) lei și sunt 12 lei în plus, deci mingea costă \(24n-12\). Prețul este același în ambele cazuri, deci cele două expresii sunt egale.

4. 4

   b) Rezolvăm ecuația

   6n=42 \Rightarrow n=7

   Mutăm termenii: \(30+12=24n-18n\), deci \(42=6n\). Împărțim la 6 și obținem \(n=7\) copii.

5. 5

   b) Calculăm prețul mingii și verificăm

   P = 18\cdot 7+30 = 156

   Înlocuim n = 7 în prețul din primul caz: \(18\cdot 7=126\), iar \(126+30=156\). Verificare cu al doilea caz: \(24\cdot 7-12=168-12=156\). Rezultatele coincid, deci mingea costă 156 de lei.

Răspuns: a) Nu este posibil, pentru că numărul de copii ar fi 123/18, care nu este număr natural. b) Mingea costă 156 de lei (sunt 7 copii).

Se consideră expresia \(E(x)=\frac{x}{x-3}+\frac{1}{x-2}+\frac{7-3x}{(x-2)(x-3)}\), unde \(x\) este număr real, \(x\neq 2\) și \(x\neq 3\). (2p) a) Arată că \(E(x)=\frac{x-2}{x-3}\), pentru orice număr real \(x\), \(x\neq 2\) și \(x\neq 3\). (3p) b) Arată că numărul \(A=(E(4))^n+(E(4))^{n+3}\) este divizibil cu 18, pentru orice număr natural nenul \(n\).

Metoda: Fracții algebrice și descompuneri

1. 1

   a) Numitorul comun

   \frac{x(x-2)+1\cdot(x-3)+7-3x}{(x-2)(x-3)}

   Numitorii sunt \(x-3\), \(x-2\) și \((x-2)(x-3)\). Numitorul comun este \((x-2)(x-3)\). Amplificăm prima fracție cu \(x-2\) și a doua cu \(x-3\); a treia rămâne neschimbată. Așa putem aduna numărătorii.

2. 2

   a) Reducerea termenilor și simplificarea

   \frac{x^2-2x+x-3+7-3x}{(x-2)(x-3)}=\frac{x^2-4x+4}{(x-2)(x-3)}=\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x-3)}=\frac{x-2}{x-3}

   Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: \(-2x+x-3x=-4x\) și \(-3+7=4\). Numărătorul devine \(x^2-4x+4\), adică \((x-2)^2\) (formula de calcul prescurtat). Simplificăm cu \(x-2\), care este nenul deoarece \(x\neq 2\). Am obținut exact ce trebuia arătat.

3. 3

   b) Calculăm E(4)

   E(4)=\frac{4-2}{4-3}=2

   Folosim forma simplă de la a). Înlocuim \(x=4\); este permis, pentru că \(4\neq 2\) și \(4\neq 3\). Obținem \(E(4)=2\).

4. 4

   b) Factor comun și divizibilitatea

   A=2^n+2^{n+3}=2^n(1+2^3)=2^n\cdot 9

   Înlocuim \(E(4)=2\): \(A=2^n+2^{n+3}\). Scoatem factor comun \(2^n\) și obținem \(2^n\cdot 9\). Cum \(n\ge 1\), \(2^n\) se divide cu 2, deci \(A=2^n\cdot 9\) se divide cu \(2\cdot 9=18\).

Răspuns: a) \(E(x)=\frac{x-2}{x-3}\); b) \(E(4)=2\), iar \(A=2^n\cdot 9\) este divizibil cu 18 pentru orice \(n\) natural nenul.

Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=3x-6\). a) Arată că \(f(1)+f(3)=0\). b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Calculează lungimea segmentului \(OM\), știind că punctul \(M\) este mijlocul segmentului \(AB\).

Metoda: Funcția liniară și Pitagora

1. 1

   a) Calculăm f(1)

   f(1)=3\cdot 1-6=-3

   Pentru a afla \(f(1)\), înlocuim peste tot pe \(x\) cu 1 în formula funcției. Astfel aflăm valoarea funcției în punctul 1.

2. 2

   a) Calculăm f(3) și adunăm

   f(3)=3\cdot 3-6=3,\quad f(1)+f(3)=-3+3=0

   La fel, înlocuim \(x\) cu 3. Apoi adunăm cele două valori obținute și vedem că suma este 0, exact cum se cerea.

3. 3

   b) Punctele A și B

   A(2,0),\quad B(0,-6)

   Graficul taie axa \(Ox\) acolo unde \(y=0\): \(3x-6=0\), deci \(x=2\) și \(A(2,0)\). Taie axa \(Oy\) acolo unde \(x=0\): \(f(0)=-6\), deci \(B(0,-6)\).

4. 4

   b) Lungimea lui AB

   AB^2=OA^2+OB^2=2^2+6^2=40\Rightarrow AB=2\sqrt{10}

   Axele sunt perpendiculare, deci triunghiul \(AOB\) este dreptunghic în \(O\), cu catetele \(OA=2\) și \(OB=6\). Aplicăm teorema lui Pitagora ca să aflăm ipotenuza \(AB\).

5. 5

   b) Lungimea lui OM

   OM=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}\text{ (unități)}

   În triunghiul dreptunghic \(AOB\), \(OM\) este mediana corespunzătoare ipotenuzei, deci este jumătate din ipotenuză. Împărțim pe \(AB\) la 2.

Răspuns: a) \(f(1)+f(3)=-3+3=0\). b) \(OM=\sqrt{10}\).

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru \(O\) și raza de \(6\) cm. Punctele \(A, B, C\) și \(D\) aparțin cercului, astfel încât dreptele \(AB\) și \(CD\) sunt perpendiculare. Punctul \(M\) este mijlocul coardei \(AB\) și \(OM = 3\) cm. a) Arată că \(AM = 3\sqrt{3}\) cm. b) Demonstrează că \(AC^2 + BD^2 = 144\) cm\(^2\).

Metoda: Teorema lui Pitagora în cerc

1. 1

   a) Arătăm că OM este perpendiculară pe AB

   OA = OB = 6,\ M \text{ mijlocul lui } AB \Rightarrow OM \perp AB

   Triunghiul \(AOB\) este isoscel, pentru că \(OA\) și \(OB\) sunt raze ale cercului, deci egale. În triunghiul isoscel, mediana din vârf (aici \(OM\), pentru că \(M\) este mijlocul bazei \(AB\)) este și înălțime. Deci \(OM \perp AB\) și triunghiul \(OMA\) este dreptunghic în \(M\).

2. 2

   a) Calculăm AM cu teorema lui Pitagora

   AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}

   În triunghiul dreptunghic \(OMA\) (unghi drept în \(M\)), ipotenuza este \(OA = 6\), iar o catetă este \(OM = 3\). Din teorema lui Pitagora \(AM^2 = OA^2 - OM^2 = 36 - 9 = 27\). Apoi scoatem factorul de sub radical: \(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}\) cm.

3. 3

   b) Construim diametrul BE și folosim unghiul înscris în semicerc

   BE \text{ diametru} \Rightarrow \angle BAE = \angle BDE = 90^\circ

   Construim diametrul \(BE\), cu \(E\) pe cerc. Un unghi înscris în cerc care subîntinde un semicerc (adică are latura opusă diametru) măsoară \(90^\circ\). Deci \(\angle BAE = 90^\circ\) și \(\angle BDE = 90^\circ\).

4. 4

   b) Arătăm că AC = DE

   AE \perp AB,\ CD \perp AB \Rightarrow AE \parallel CD \Rightarrow \widehat{AC}=\widehat{DE} \Rightarrow AC = DE

   Și \(AE\), și \(CD\) sunt perpendiculare pe \(AB\), deci sunt paralele. Arcele cuprinse între coarde paralele sunt congruente, deci arcele \(AC\) și \(DE\) sunt egale. La arce congruente corespund coarde congruente, deci \(AC = DE\).

5. 5

   b) Teorema lui Pitagora în triunghiul BDE

   AC^2+BD^2=DE^2+BD^2=BE^2=12^2=144

   Triunghiul \(BDE\) este dreptunghic în \(D\), deci \(DE^2 + BD^2 = BE^2\). Cum \(AC = DE\), obținem \(AC^2 + BD^2 = BE^2\). Dar \(BE\) este diametru, deci \(BE = 2\cdot 6 = 12\) cm. Rezultă \(AC^2 + BD^2 = 12^2 = 144\) cm\(^2\).

Răspuns: a) \(AM = 3\sqrt{3}\) cm; b) \(AC^2 + BD^2 = 144\) cm\(^2\).

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul \(ABCD\), cu \(AB = 10\) cm și \(AD = 8\) cm. Punctele \(M\), \(N\) și \(T\) sunt mijloacele segmentelor \(BC\), \(CD\), respectiv \(AB\), iar \(Q\) este punctul de intersecție a dreptelor \(BN\) și \(AM\). a) Calculează perimetrul patrulaterului \(ATND\). b) Calculează valoarea raportului \(\frac{AQ}{QM}\).

Metoda: Paralelogram, linie mijlocie, asemănare

1. 1

   a) Arătăm că ATND este paralelogram

   DN \parallel AT,\; DN = AT = 5 \text{ cm}

   Într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele și egale, deci \(DC \parallel AB\) și \(DC = AB = 10\) cm. Punctul \(N\) este mijlocul lui \(CD\), deci \(DN = 10 : 2 = 5\) cm. Punctul \(T\) este mijlocul lui \(AB\), deci \(AT = 5\) cm. Cum \(DN \parallel AT\) (fac parte din laturi paralele) și \(DN = AT\), patrulaterul \(ATND\) are două laturi opuse paralele și egale, deci este paralelogram.

2. 2

   a) Calculăm perimetrul lui ATND

   P_{ATND} = 2\cdot AT + 2\cdot AD = 2\cdot 5 + 2\cdot 8 = 26 \text{ cm}

   Într-un paralelogram laturile opuse sunt egale, deci perimetrul este dublul sumei a două laturi vecine: \(AT = 5\) cm și \(AD = 8\) cm. Obținem \(2\cdot 5 + 2\cdot 8 = 10 + 16 = 26\) cm.

3. 3

   b) Linia mijlocie în triunghiul ABM

   ST = 2 \text{ cm},\quad SN = 6 \text{ cm}

   Fie \(S\) intersecția dreptelor \(AM\) și \(NT\). \(T\) este mijlocul lui \(AB\), iar \(TN \parallel AD \parallel BC\) (din paralelogramul \(ATND\) avem \(TN \parallel AD\), iar \(AD \parallel BC\)). Dreapta \(TS\) trece prin mijlocul lui \(AB\) și este paralelă cu \(BM\), deci \(S\) este mijlocul lui \(AM\) și \(TS\) este linie mijlocie în triunghiul \(ABM\). Cum \(BM = BC : 2 = 4\) cm, obținem \(ST = BM : 2 = 2\) cm. Deoarece \(TN = AD = 8\) cm, rezultă \(SN = TN - ST = 8 - 2 = 6\) cm.

4. 4

   b) Triunghiuri asemenea QNS și QBM

   \frac{QS}{QM} = \frac{SN}{MB} = \frac{6}{4}...

   Avem \(SN \parallel BM\), deci triunghiurile \(QNS\) și \(QBM\) sunt asemenea. Raportul laturilor este \(\frac{QS}{QM} = \frac{SN}{MB}\). Cu \(SN = 6\) cm și \(MB = 4\) cm obținem \(\frac{QS}{QM} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\). Atunci \(QS = 3k\) și \(QM = 2k\), deci \(SM = QS + QM = 5k\) și \(\frac{SM}{QM} = \frac{5}{2}\).

5. 5

   b) Calculăm raportul AQ/QM

   \frac{AM}{QM} = 2\cdot\frac{SM}{QM} = 2\cdot\frac{5}{2} = 5 \Rightarrow \frac{AQ}{QM} = 5 - 1 = 4

   \(S\) este mijlocul lui \(AM\), deci \(AM = 2\cdot SM\). Atunci \(\frac{AM}{QM} = 2\cdot\frac{5}{2} = 5\). Cum \(AM = AQ + QM\), avem \(\frac{AQ}{QM} = \frac{AM}{QM} - 1 = 5 - 1 = 4\).

Răspuns: a) Perimetrul patrulaterului \(ATND\) este \(26\) cm. b) \(\frac{AQ}{QM} = 4\).

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă \(ABCDA'B'C'D'\), cu baza pătratul \(ABCD\), \(AB = 4\) cm și \(AA' = 4\sqrt{2}\) cm. a) Calculează aria laterală a prismei \(ABCDA'B'C'D'\). b) Arată că distanța de la punctul \(A'\) la planul \((C'BD)\) este egală cu \(\frac{8\sqrt{10}}{5}\) cm. (Figură: prismă dreaptă cu baza pătratul ABCD; se desenează triunghiul C'BD și diagonala C'D.)

Metoda: Arie laterală și distanța la un plan

1. 1

   a) Aria laterală a prismei

   \mathcal{A}_l = 4\cdot AB\cdot AA' = 4\cdot 4\cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2}

   Prisma este dreaptă cu baza pătrat, deci are 4 fețe laterale, toate dreptunghiuri cu laturile \(AB = 4\) cm și \(AA' = 4\sqrt{2}\) cm. Aria laterală este suma ariilor lor: \(4\cdot AB\cdot AA'\), adică perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea. Rezultă \(64\sqrt{2}\) cm².

2. 2

   b) Dreapta BD este perpendiculară pe planul (A'AC)

   BD\perp AC,\ BD\perp A'A \Rightarrow BD\perp (A'AC)

   Diagonalele pătratului sunt perpendiculare, deci \(BD\perp AC\). Prisma este dreaptă, deci \(A'A\perp (ABC)\) și implicit \(BD\perp A'A\). Dreapta BD este perpendiculară pe două drepte concurente din planul \((A'AC)\) (se taie în A), deci \(BD\perp (A'AC)\).

3. 3

   b) Construim perpendiculara din A' pe planul (C'BD)

   A'P\perp C'O,\ P\in C'O \Rightarrow A'P\perp BD \Rightarrow A'P\perp (C'BD)

   Fie \(AC\cap BD=\{O\}\). Ducem \(A'P\perp C'O\), cu \(P\in C'O\). Cum \(A'P\subset (A'AC)\) și \(BD\perp (A'AC)\), rezultă \(A'P\perp BD\). Deoarece \(A'P\) este perpendiculară pe \(C'O\) și pe \(BD\), drepte concurente în O din planul \((C'BD)\), avem \(A'P\perp (C'BD)\). Deci distanța cerută este \(A'P\).

4. 4

   b) Calculăm A'P cu aria triunghiului A'OC'

   \mathcal{A}_{A'OC'}=\frac{A'P\cdot C'O}{2}=16 \Rightarrow A'P=\frac{32}{2\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}

   Triunghiul \(A'OC'\) are baza \(A'C'=4\sqrt{2}\cdot\)... mai precis \(A'C'=AC=4\sqrt{2}\) (diagonala pătratului cu latura 4) și înălțimea \(AA'=4\sqrt{2}\), deci aria \(=\frac{4\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}}{2}=16\) cm². Apoi \(C'O=\sqrt{CC'^2+CO^2}=\sqrt{32+8}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) cm, unde \(CO=2\sqrt{2}\). Aria se scrie și ca \(\frac{A'P\cdot C'O}{2}\), deci \(A'P=\frac{32}{2\sqrt{10}}=\frac{16}{\sqrt{10}}=\frac{16\sqrt{10}}{10}=\frac{8\sqrt{10}}{5}\) cm. Am ajuns la valoarea cerută.

Răspuns: a) Aria laterală este \(64\sqrt{2}\) cm². b) Distanța de la \(A'\) la planul \((C'BD)\) este \(\frac{8\sqrt{10}}{5}\) cm.